読み物としては面白い
実際に式の誘導なんかもあったらいいのだが、文庫本にそこまで求めてもね。
文庫本で1,000円とは高くなったね。
探検
5次方程式の解を表現できる数体系 [転載禁止]©2ch.net
読み物としては面白い
実際に式の誘導なんかもあったらいいのだが、文庫本にそこまで求めてもね。
文庫本で1,000円とは高くなったね。
どなたか意見ないの？
複素数だろ
貴様、ガウスの「代数学の基本定理」知らねぇのか？
何を以て解の公式と呼ぶかによるが、
いくらでも正確に解を近似する数値解法がある
それで実用上は十分 なんか文句あんのか？ゴルァ
メチエの時はもっと高かった
何かしたいという気持ちがあるのはわかる。
しかし、何ができるのか何ができないのかがわかっていないから、
何がしたいのか自分自身わかっていないんだろうな。
5次方程式の前に、実数とは何かを勉強した方がいいと思う。
数学は、基本をおろそかにしたら、悲しいくらい何もできないよ。
いくらでも正確に数値解を求める方法がある
だから（代数的な）解の公式がないことに
発狂する必要はない
・一方で代数的一般解法の為には
1、2次方程式には2象元必要、実数体
3、4次方程式には4象元必要、複素数体
5～8整数次方程式には8象元必要、4元数体
2^(n-1)+1～2^n整数次方程式にはn象元必要
・代数的一般解法は可換体上でのみ成立する
・4元数体は非可換体である
無理無意味無駄無用
代数的って言葉の意味、勉強してから出直してこい
バカなのはわかった
それに復素はまだしも象元ってなんだよ
それ、象限な
で、4元数体は4次元だから16象限だけどな
>>447はネタぽいなｗ
2次方程式の時点で複素数解あるもんなｗ
数学科卒の賢い人が何かを書き込んでくれるか期待しているのだが。
解の表現より重要な「ガロア群」の発見に至る→天才の数学
https://logtube.jp/variety/28439
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https://nicotubers.com/yutuber/hikakin-nensyu-gessyu/
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https://youtuberhyouron.com/hikakinnensyu/
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https://mitarashi-highland.com/blog/fun/hikakin
なぜか観てしまう！！サバイバル系youtuberまとめ
http://tokyohitori.hatenablog.com/entry/2016/10/01/102830
あのPewDiePieがついに、初心YouTuber向けに「視聴回数」「チャンネル登録者数」を増やすコツを公開！
http://naototube.com/2017/08/14/for-new-youtubers/
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https://headlines.yahoo.co.jp/article?a=20170802-00017174-forbes-bus_all
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https://gigazine.net/news/20151016-highest-paid-youtuber-2015/
おもちゃのレビューで年間12億円！ 今、話題のYouTuberは6歳の男の子
https://www.businessinsider.jp/post-108355
彼女はいかにして750万人のファンがいるYouTubeスターとなったのか？
https://www.businessinsider.jp/post-242
1億円稼ぐ9歳のYouTuberがすごすぎる……アメリカで話題のEvanTubeHD
https://weekly.ascii.jp/elem/000/000/305/305548/
世界で最も稼ぐユーチューバー、2連覇の首位は年収17億円
https://forbesjapan.com/articles/detail/14474
年収25億円の7歳児、世界で最も稼ぐユーチューバーに
http://mevius.5ch.net/test/read.cgi/illustrator/1543884071/l50
・一方で代数的一般解法の為には
1、2次方程式には2象限必要、実数体
(但し2次方程式完全記述の為には4象限必要、複素数体)
3～4整数次方程式には4象限必要、複素数体
5～8整数次方程式には8象限必要、3元数体不在の為、16象限ある4元数体
2^(n-1)+1～2^n整数次方程式にはn象元必要
・代数的一般解法は可換体上でのみ成立する
・4元数体は非可換体である
よって無理無意味無駄無用
四則演算と通常の冪根をとることに加えて超冪根（英語版）（すなわち既約な方程式 x5 + x - a = 0 の唯一の実根）をとる操作も「代数的操作」として許容した場合、この拡張された意味において一般五次方程式が「代数的に」解けることが知られている。
http://d.hatena.ne.jp/Hyperion64/touch/20140807/p1
任意の五次方程式の解が構成する五角形がどういう形なのかは代数的数でないという事はやはり定規とコンパスで描けないのかね。直感ではできそうな気もするが。
ちなみに円周等分方程式が根号で解けるのも、素数p=2^n+1角形
なら定規とコンパスで作図可能だというのも
すべてガロア群の性質から来ている。
数学科の3年くらいで習う、現代代数学の基本的事項。
ガウスは円周等分方程式の代数的解法を"Disquisitiones Arithmeticae"
の第7章で詳述しているが、ガロア理論を分かった立場で書けば
ずっと見通しよく少ないページ数で済ますことができただろう。
どういう特殊函数を使えば高次方程式の解が表せるとか
そういう研究もガロア理論を使ってできる。
数学者はあんまり面白いと思わなくなったから
現代では見捨てられてる（メインではなくなった）だけじゃね。
正20面体と5次方程式 改訂新版 (シュプリンガー数学クラシックス)
とかあるね。原著は100年以上前だろう。
（有理係数）5次方程式の解は代数的数だぞ
方程式の「代数的に解ける」とは少し用語の意味が違う
定規とコンパスで書ける数はそれよりさらに狭い。3次方程式の時点で解が作図できないものはある
……有理係数多項式の零点になる数。冪根と四則で書けるか否かは問わない。
方程式での所謂「代数的に解ける」という言い方（誤解を防ぐため「冪根で解ける」と言うことも）
……数が冪根と四則で書けること。
定規とコンパスで作図できる（作図可能数）
……数が平方根と四則で書けること。
というわけで後のものほど狭い。
既約3次方程式の解はどれも冪根で解けるが作図できない。角の3等分ができないのもこれに起因。
既約5次は冪根で解けるのと解けないのがある。作図できない。
群論を使わなくても良いということ
> 「虚数ではないし負数でもないが2乗すると実数になるのに実数ではない数」が定義できれば
通常の数学では所謂超複素数で複素数を拡張するが、用語としては超複素数の要素で実数以外を虚数と呼ぶので、用語的にはそのような数はない。
超複素数では二乗して実数になる複素数に含まれない要素も扱い、本質的にはそれらは
二乗して-1になるもの
二乗して０になるもの
二乗して1になるもの
だけ考えればよいことがわかっている。
しかし、二乗して-1になるもの以外を含むような超複素数は一般に割り算ができない。だから、四元数を扱うことが多くなる。
割り算ができなくていいのなら三元数だろうが十六元数だろう百二十八元数だろうが作るだけなら作れるが、割り算もできるようにしたければ四元数と八元数以外に複素数の拡張はできない。
折り紙にも折り紙公理の他に追加すれば5次方程式を解けるようになる操作があるらしい
φ(n)はオイラーのφ函数。特にn=p（素数）ならば、φ(p)=p-1。
ガウスは次数が無限に増加していく方程式の無限列の代数的解法を一挙に示したわけである。
（p-1が2のべきならば、正p角形が定木とコンパスで作図可能であることを含む。）
しかし、ガウスはこれらの代数方程式の「解の公式」を示したのではないことは注意すべきだろう。
のことだとして、その式に我々が期待することは、実は何らかの意味ある情報が
読み取れることなのである。
（数値解法であれば様々なアルゴリズムが知られており、根号による解法は全く効率的ではない。）
しかし、「公式」に意味があると思うのは、我々が「良い公式」を見慣れている
ことから来る錯覚に過ぎない。
たとえば「n番目の素数を表す公式」は実は存在する
https://primes.utm.edu/notes/faq/p_n.html
が、これらの公式から読み取れる情報はほぼ無く
エラトステネスの篩の方が遥かに直接多くのことを示している。
つまり「公式」と言っても「良い公式」でなければ、数学的にはほとんど無意味
ということもあるのだ。
知識はあるけど知恵はない人の文章
実数でも虚数でもなく2乗して実数になる数なども有り得ず
4象限を超える体系は可換体ではない
結局やっぱり、5次方程式の代数的解法一般公式は存在しないわけね
それも>>1が指摘する数体系不備などではなく、と
やはり数値的解法や超越的解法にしかならんわけね
「解の公式できました」
→「この記号（√）は二乗してその数になる数という意味です※正確な値は解らないけど」
→「この記号（i）は二乗して-1になる数です※実数にないけど」
とか言われても普通は納得しないよなぁ。
新しい数の定義を都合よく作り出して問題解決したと言い張るのはサッカーで試合が始まってゴールポストを動かすのと同じなんじゃないのかな。
平方根や立方根は正確な値を計算できるよ
大昔は中学高校の数学で習った
n乗根を筆算で計算することも一応できる
無理数なんだから無限に近似できるってだけだろ。
それに記号を与え定義し二次方程式の解を一般化して三角関数や幾何学にまで応用していって得体のしれない平方根という物を実体のある数学的対象に拡張していったのは当時の天才の想像力によるものだよ。
複素数も同じ。三次方程式の解を一般化するにはどうしても必要で定義されたが、電磁気学や解析学に応用され立派な実体のある数学的対象となった。
このスレで論じてるのは五次方程式の解が代数的数でないという事に思考停止して五時方程式の解を表現できる超代数的数の体系が持つ性質を研究するのを放棄すべきでは無いのではないかという事である。
梅村浩の結果じゃ駄目かい？
へぇ、超越積分で何次までででもいけるんだ
でもまぁどんどん繁雑度は上がるんだろうね
>>481
その大昔に習ったのがホーナー法の和算式筆算版、開平計算、開立計算を含む開方計算ね
数値解法としての求値速度効率は低いが一桁ずつ求めていける利点がある
有理数の平方根はコンパスと定規で長さを正確に作図できるよ
https://ameblo.jp/accade/entry-10479355318.html
https://mathtrain.jp/sqrtsakuzu
5次だろうが何次だろうが、方程式の係数が代数的数ならその根は代数的数。
係数が何だろうが、既約多項式の根を添加した体は係数体上の代数拡大。
係数体をKとして、その多項式環をK[x]とおく、方程式を定める多項式をf(x)とおくと
f(x)=0の根を添加した代数系はK[x]/(f(x))という剰余環で記述できる。
ちなみに実数体上の既約多項式の次数はすべて2以下になるという主張が「代数学の基本定理」
「これが公式か」と何かの本で書いてたけど、確かに違和感があって、何がダメか分かった。
だから、「公式」そのものに意味があるというのが妄信なだけ。
公式にあらわれている「情報」が大事
1のべき根だって、exp(2rπi/n)という立派な表示があるが
この表示からは、複素平面上で単位円周上の等分点になることは分かるが
定木とコンパスによる作図についての情報は得られない。
根号による解法理論が必要だったわけ。
何かすげーすげー沸いてる小学生を鼻で笑う中二病みたいな事してるな
元 y を K上の代数的な関係 P(y)=0 を満たすものとして体Kに添加
して出来る代数拡大体 K(ｙ) の中では、P(x)が完全に１次因子にまで
分解されるので、根を持つことがわかる。（その一つの根はｘ＝ｙである。
他の本もｙのK係数有理式として表せる）
一般に、体K上の既約な多項式全てをもってきて、それらの定義多項式
を用いて定義される代数的な元をすべてKに添加して得られるK上の
代数拡大体A(K)は、代数閉体となり、A(K)の中ではA(K)係数の代数
方程式は必ず根を持つ。
＞K(ｙ) の中では、P(x)が完全に１次因子にまで分解される～（～他の根もｙのK係数有理式として表せる）
できたっけ？
「根のうち1つだけを添加した体」は「根を全部添加した体」より真に小さいことがあり、必ずしもできないと認識しているが。
たとえば K=Q, x^3-2, 根の1つに a=2^(1/3) を選ぶ場合
Q(2^(1/3))の元は実数しかないから虚な根は当然作れない。
1次×2次 (x-a)(x^2+ax+a^2) までしか分解できない。
Kになんか条件ついてるとか？
その解釈を横道に逸れているとして研究方針を変えなかった人による著
↓
書籍詳細：5次方程式の代数的一般解法 計算編 - 文芸社
https://www.bungeisha.co.jp/bookinfo/detail/4-88737-894-7.jsp
ガロア理論によって解法不可能とされる5次方程式の代数的一般解法に新たな「知の鉱脈」を探究する
題名に計算編とあるが文芸社に頼み詳細を著作者に尋ねて貰ったら
「これが最初にして最後、続編は年齢の事もあり後世に委ねる」という回答されたと聞いた
知ってはいたにも関わらず続編を後世に委ねた辺り、理解はしていなかった模様
無い山を目指し続けてしまった
コンツェビッチとザギエが「周期」（数の名称としては不自然ではないか）と呼んでいる数の集合はどう？
ある種の積分で表すことができる数のことで、
代数的数の集合を真に含んでいるらしいけど……
誰か知らない？
四元数八元数以外にも割り算可能で可換なn元数は一般のnに対してある！という内容の本も出版されている。
もちろん数学としてはゴミ。
と学会も呆然しちゃうなぁ
「L/Rネジ」と言う「ハードロックナット」とは異なる緩まない
IHIに採用されたネジを発明開発してるんだけど…
[PDF] 2015.11.7 Hiroshi Michiwaki 道脇 裕 ゼロのゼロ乗とゼロ除算 定義 http://www.next-innovation.com/assets/pdf/dbz11.pdf
[PDF] 100×0＝0の真の意味 ～ゼロ乗算とゼロ除算 http://www.next-innovation.com/assets/pdf/dbz56.pdf
道脇裕の年収や経歴は!結婚した嫁に子供やゼロ除算って何? http://katzesokuhou.com/archives/3790
L/Rネジ - NejiLaw http://www.nejilaw.com/product.html
こいつのゼロ除算理論、東北のどこかの教授が賛同していたが、足立恒雄には一笑に付されていたな。
つーかゼロ除算スレに貼れば？
論理的に説明できる？
残念。可換体の最終拡張である超現実数体や超現複素数体でも同じ事だ｡
そこから先の元は最早、数ではなくゲームという概念になる模様｡
>>過去の俺
超現実数は可換体。拠って超現実数体でも0.999…≠1とは成らない｡
できないからやりたくなる。角の三等分も同じｗ
「角の三等分家」で検索してみなよ。よく似た心理だと思う。
できないことには意味があるとは考えられない。
ベキ根で解けないだけで、ベキ根（指数函数）を
拡張して別の特殊函数を使えば解けることもあるだろう。
ただ、そのことにどういう意味があるかは考えるべき。
行列解だったら根号とか使わなくてもあらわせる。
線形代数勉強しろって話になるね。
じゃあ楕円函数利用してんのと変わらないじゃんって事になる
超現実数にはすべての順序数に対応する数が含まれるから超現実数全体の集まりは集合にはならないので。
集合ではない事を断った上で初めて順序体と言えてゲームのクラスなのか
ゲームもわけわかめ、クラスもわけわかめ、ふわぁ眠い
こんなんゼロ除算スレに貼ったら誤解伝染するわ…
[PDF]Hiroshi Michiwaki 道脇 裕 正接とゼロ除算
http://www.next-innovation.com/assets/pdf/dbz32.pdf#search='intitle%3A%E9%81%93%E8%84%87%E8%A3%95+intitle%3A%E3%82%BC%E3%83%AD%E9%99%A4%E7%AE%97'
どなたか、この本読み通された方いますか。
ほんとに5次方程式解けてましたか。
そのひと有名なトンデモでしょw
解けてるわけない。
そんなゴミ本読むくらいなら、クラインの本をちゃんと読むべき。
発売年の夏に読んだ。朝日新聞の広告に出てたんだ。朝日は理工学知識に関しては抜群だからな
日経が太刀打ちできない位に（但し流石に赤日、軍事や国事が関わる内容は除く)
もうそろそろ発売19周年か…内容は「ラグランジュ先生が見つけた「知の鉱脈」」云々
「オイラーの方法は便利だが邪道」云々で先ず5次方程式の前の足掛かりとして4次方程式から始まり
和の分解方程式なる羅列や謎の積分方程式を組み立て純代数学的一般公式に至ろうとした模様
Excel的に数多の計算値がどっさり記されていて
5次方程式にも突入しているが、やはり無い山を昇ってしまった模様
と言うか計算数値をどっさり載せている所から傍から見たら迷走にしか見えない内容だった
が、本人は王道を探った経緯を記した積もりで
>>497でも書いたが続編を後世に委ねている
5次代数方程式の楕円積分公式解がもっと知られ
そしてそれを更に純代数学的公式にはならない事が知られていれば…
いやでも、やっぱり、こういう人は三体問題の一般解とかを目指しちゃうんだろうなぁ
ひょっとしたらと思っていたけど、やはりだめでしたか。
a x^5 + b x^4 + c x^3 + d x^2 + e x + f = 0 の5次方程式に対して、
a ～ f の数値を入力したら、さらっと答えが出るようになるまでには
まだ道が遠いですね。
ガウスの代数学の基本定理により複素数解の存在は示されてる
数値解法でいくらでも正確に解を求めることができる
代数的解法に固執するのは精神異常者
典型的な「数学が分かってないひと」
みんな大好きうぃきぺであに書いてあったよ
四則演算と通常の冪根をとることに加えて超冪根（英語版）（すなわち既約な方程式 x5 + x - a = 0 の唯一の実根）をとる操作も「代数的操作」として許容した場合、この拡張された意味において一般五次方程式が「代数的に」解けることが知られている。
https://www.youtube.com/watch?v=pkSVf5maalg
数III方式～でかなりのところまで計算実行してみせたけど面倒くさくなったのか頁の都合かわからんがとにかく途中までで力尽きたんだったかな
「飲酒の死亡リスクで飲み過ぎが高くなるのは当然だが全く飲まぬ場合より僅かに飲む場合の方が小さい」と言う
結論が導かれ、世界大多数の人が信じ込んだが実は「そもそも全く飲めぬ人も検査統計対象に入っていた」事が分かり
新たに統計結果を吟味され「飲酒による死亡リスクは量に対して単調増加」であると結論を改められた
何を言いたいか分かる？何で君のその意見と飲酒量死亡リスクの話と比べて述べたか分かる？
> 数学が理解できてないことが理解できないのは精神異常
その物の言い方が許されるなら
「飲酒の正しい量と死亡リスクの関係が理解できてないことが理解できないのは精神異常｣
という言い方も許されて世界大多数が精神異常って事になる
その程度じゃ世間だけではなく専門医だって精神異常とは言わない
言うのは君みたいにすぐ精神異常と診断する医者気取りばかり
/:::::::-、:::i´i|::|/:::::::::::ヽ
/::::::,,、ミ"ヽ｀ "゛ / ::::::ヽ
こ の 嘘 で 、 /::::::== `-::::::::ヽ
::::::::／.,,,=≡, ,≡=、、 l:::::::l
騙 し 切 る 。 i::::::::l゛.,／･＼,!.／･＼ l:::::::!
|`:::| :⌒ノ/.. i＼:⌒ .|:::::i
(i ″ ,ィ____.i i i //
自 民 党 ヽ / l .i i /
lヽ ノ `ﾄｪｪｪｲヽ、/´
／|、 ヽ `ー'´ ／
,---i´ l ヽ ｀ "ー－´/
'´￣ | ＼ ＼__ ／ |＼＿
| ゝ、 ｀/-＼ | ＼ ｀ヽ
①井口・千明（東京都葛飾区青戸６－２３－１６）
※盗聴盗撮・嫌がらせつきまとい犯罪者のリーダー的存在／犯罪組織の一員で様々な犯罪行為に手を染めている
低学歴で醜いほどの学歴コンプレックスの塊／超変態で食糞愛好家である／醜悪で不気味な顔つきが特徴的である
②宇野壽倫（東京都葛飾区青戸６－２３－２１ハイツニュー青戸２０２）
※色黒で醜く太っている醜悪黒豚宇野壽倫／低学歴で人間性が醜いだけでなく今後の人生でもう二度と女とセックスをすることができないほど容姿が醜悪である
③色川高志（東京都葛飾区青戸６－２３－２１ハイツニュー青戸１０３）
※色川高志はyoutubeの視聴回数を勝手に短時間に何百何千時には何万回と増やしたり高評価・低評価の数字を一人でいくつも増やしたり減らしたりなどの
youtubeの正常な運営を脅かし信頼性を損なわせるような犯罪的業務妨害行為を行っています
※色川高志は現在、生活保護を不正に受給している犯罪者です／どんどん警察や役所に通報・密告してやってください
【通報先】
◎葛飾区福祉事務所（西生活課）
〒１２４－８５５５
東京都葛飾区立石５－１３－１
℡０３－３６９５－１１１１
④清水（東京都葛飾区青戸６－２３－１９）
※低学歴脱糞老女：清水婆婆 ☆☆低学歴脱糞老女・清水婆婆は高学歴家系を一方的に憎悪している☆☆
清水婆婆はコンプレックスの塊でとにかく底意地が悪い／醜悪な形相で嫌がらせを楽しんでいるまさに悪魔のような老婆である
⑤高添・沼田（東京都葛飾区青戸６－２６－６）
※犯罪首謀者井口・千明の子分／いつも逆らえずに言いなりになっている金魚のフン／親子孫一族そろって低能
⑥高橋（東京都葛飾区青戸６－２３－２３）
※高橋母は夫婦の夜の営み亀甲縛り食い込み緊縛プレイの最中に高橋親父にどさくさに紛れて首を絞められて殺されそうになったことがある
⑦長木義明（東京都葛飾区青戸６－２３－２０） ※日曜日になると風俗店に行っている
数学的に記述できていないな
ヒトモドキニホンザル老害戦中ヒトモドキ自殺しろ
ニホンザルゴキブリ劣等ゴミ国産爆発スマホで自爆自殺しろ
ロスケ負け犬飢餓奴隷民族ゴキブリ死ねゴキブリハゲ糞食いプーチン
障害者ニホンザルの国技レイプされる
ニホンザルはキチガイ人種レイパー
ヒトモドキアメ公ニホンザル白ゴキブリ豚自殺しろ
雑種ニホンザルゴキブリイザナミの糞から生まれたニホンザル
キチガイニホンザルゴキブリ死ねよ
7r12bBQ1fP8
劣等キチガイニホンザルゴキブリ抹殺しろ
障害者ニホンザルゴキブリは統合失調症
そういや２ちゃん時代は二次方程式スレだったな
(一般5次方程式は代数的にブリング・ジラードの標準形に帰着される)
というような話が昔のカーマトーラス(東大数学科の同人誌)に出ていた。
関係する（あるいは調和解析、保形表現と関係する）
から重要なのであって、超冪根にはそのような性質はなく
はっきり言って下らないと思う。
志村五郎がそのようなことを書いていたし、それには100%同意する。
つまりそれは数学パズル家の数学であって
数学者のやる数学では全くないと思う。
代数的な解の公式にこだわっていたわけで
それがガロア理論として結実して様々な性質が分かるようになった事を考えれば
ゴローの言ってるのは後付けでしかないと思う
どんなものも注目される前から、いろんな性質が分かってるわけではないのに
君はどんな研究でもくだらなくは無いと思っているのか？
あと、超べき根の話はガロア、アーベルの後だ。
べき根が代数的に重要な「構造」と関係しているという認識は当時もあったと思う。
ガウスが円分方程式のべき根解法で用いた"ガウスの和"="1のべき根のラグランジュリゾルベント"
は数論にも応用があり、直後かほぼ同時期くらいにガウス自身によって
べき剰余相互法則の証明に応用されている。
ガロア群から見ると、べき根を取るという操作は巡回群という単純群に対応している。
5次の場合は5次交代群という巡回群よりも格段に複雑な単純群が
あらわれることが障害となるわけで、それを扱ったのがクラインの本。
超べき根はセンスのないつまらない一般化にすぎない。
超べき根を使った方程式の解法の話ではないが
数学者の考え方が分かるので文献を明示しておこう。
半世紀以上前、若き気鋭の数学者 志村五郎の論説
保型函数と整数論I
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/11/4/11_4_193/_article/-char/ja/
の4ページ目くらい
(7) F(x)=X^n-a
たとえば,(7)がわかったならば,次にわれわれは
F(X)=X^n+bX+a
を考えるべきだろうか．少し考えてみれば,このような発想法が
非常に幼稚なものであることに気がつくであろう．
これは極端な例であるが，われわれはすでに存在する理論の
拡張を考えるとき，時としてこのような発想法におちいり易いのである．
もっと‘自然なもの’を求めなければ理論は進展しない．
それに基本的に同意なんだけど、志村氏が例に挙げたのは純n次体Q(a^(1/n))で、こういう体の算術はよくわからないので、冪根で方程式の解を表すのは無意味だ、と言ってたと思いますよ。
3↑↑3=3^3^3
3↑↑↑3=3↑↑3↑↑3
ところやってる。
F2={0,1}からF4={0,1,i,1+i}でiはi^2+i+1=0の根
3除算は10数法はもちろん情報数学でよく使う16進法ですら割り切れんから「3で割り切れる数体系」と
として昔の人が角度や時間の単位に60進法を考えたのから角3等分作図ができなくても実用上補完できてる。
カードを集めどんどん自分の街を発展させて勝利を目指せ
http://news.livedoor.com/article/detail/10962802/
経済が巡る！！ 労働者と職場のマネジメントが癖になるワーカープレイスメント「ナショナルエコノミー」
http://bged.info/national-economy
風刺画「顧客が本当に必要だったもの」がアナログゲームに
https://headlines.yahoo.co.jp/hl?a=20180513-00000005-it_nlab-life
かわいいひつじを増やして増やして増やしまくれ！ “一人用”カードゲーム『シェフィ』
http://www.moguragames.com/entry/shephy/
ゲムマ2018大阪・春での話題作「Liqueur the GAME (リキュール・ザ・ゲーム)」
http://www.comonox.com/entry/boardgames/open/Liqueur-the-GAME
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シノミリアを徹底解説！ギャンブル漫画の主人公になれる2人用ボードゲーム！
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正体隠蔽系ゲームに革命『斯くして我は独裁者に成れり』の感想
http://www.unjyou.com/entry/2019/01/13/200000
理系魂を刺激するカードゲーム、技術者におススメ
https://tech.nikkeibp.co.jp/atcl/nxt/column/18/00160/091100061/
大富豪（大貧民）のようなカードゲーム「ReCURRRing（リカーリング）」
http://www.tk-game-diary.net/recurrring/recurrring.html
>http://oshiete.goo.ne.jp/qa/9055107.html
>可能無限は加算無限集合ですから
それ間違い
可算でも非可算でも無限集合なら実無限
可能無限とは無限集合を認めない立場だから
ω＝｛0,1,2,・・・}
は無限公理によって存在が認められる無限集合
これ可算無限集合だから
ωのべき集合2＾ω（ωの部分集合全体の集合）
これが非可算無限集合
哀れな素人氏は集合ωの存在は認めないでしょ
だったら可算無限集合は、可能無限ではないね
>>648
>お前の言葉で説明してくれ
工学馬鹿のスレ主に何を尋ねても無駄だよ
彼は誠意がないサイコパスだから
無知のくせに無知を隠蔽しようとする卑怯者
それがスレ主だよ
>自然数は、どこまでも増やすことが可能だから、
>これを可能無限と呼んでいる
おそらく
「今、作られている自然数の全体は有限個
しかし、それは今後いくらも増やせる
上限がないという意味で無限であって
個数としては有限個」
といいたいのだろう
一方可算無限集合とは
「もはや付け加えるものがない
自然数全体の完全な集合」
というもの
（当然要素は無限個）
したがって、可算無限集合は
実無限の立場で考えられたもの
であって可能無限ではない
お前、どこに向かって喋ってんの
ふうL@Fu_L12345654321
学コン1傑いただきました！
とても嬉しいです！
https://pbs.twimg.com/media/D-IuUuqVUAALnAB.jpg
https://twitter.com/Fu_L12345654321/status/1144528199654633477
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荒らしか
ふうL@Fu_L12345654321
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ふうL@Fu_L12345654321
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1500頃 デル・フェロ 3次方程式を解決
1535 タルターニャ 数学勝負で勝つ
1543 フェーラーリ 4次方程式を解決
1545 カルダノ 「大いなる技法」出版
1823 アーベル 5次方程式に代数的な解の公式が無いことを発見
1829 ガロ ガロア理論発見
1844 アイゼンシュタイン 5次方程式の解の公式発見
1858 エルミート 5次方程式の解の公式発見
アイゼンシュタインは無限級数を使い、エルミートは楕円関数を使って
解の公式を発見したんだそうである。
そうだな
5次方程式に代数的な解の公式が無いことを発見したのは
どっちかというとルフィニさんです
ラグランジュさんが考えた置換論を用いて計算しまくった結果、発見しました
ルフィニさんの論文に感動してコーシー噴いたコーシーさんが一般化された置換論を築いて
それを読んだのがアーベルさん
ど田舎に住んでたアーベルさんは、コーシーさんの置換論が出てきた経緯を知らず
5次方程式に使えるんじゃね？と里帰りのような事を始めたら
ルフィニさんがやった時よりも、厳密な証明ができましたって話なんで
実根が「実冪根で表現可能」(expressive by real radical)という用語で存在している
実根しか持たないQ係数多項式では、根が実平方根のみで表せることが必要十分条件の一つ
複素根の実部が実冪根で表せるかどうかは
彼に自力でやってもらいましょう
解けたというよりは、ネットで調べた公式をエクセルで実行しただけだが。
代数形式一般解は存在せん事も、数体系を幾ら弄くってみて実数系に応用できる一般解にならない事も
もう分かってる事なんだから、先ず既出の超越形式での5次代数方程式一般解を調べてみれば？
（一般には120）
>5次代数方程式一般解を調べてみれば？
やってますけど、まだたどれてません。
どなたかお分かりの方、やってみた方おられますか？
書名、著作者名、出版社名、URL等教えていただければ
非常に助かります。
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)
これ以上書き込んでも、クレクレ君と書き込まれるだけだが。
東京大学出版会 梅村浩著 「楕円関数論」
フェリックス・クライン著 正20面体と5次方程式 改訂新版 (シュプリンガー数学クラシックス)
Mumford Tata Lectures II Umemura
と代表的な文献3つ出てるのにわからんわからんと言うクレクレ未満のアホ
大丈夫、相手が答えられないと見るや罵倒してきた実代数的くんほど酷くはないよ（苦笑）
そういえばpixivに答えらしきものがあったんじゃ
x^4 +2ax^3 +bx^2 +a(b-aa)x + c = 0
を次の手順で解け。
(1) (x +a/2)^2 = y とおいて左辺をyで表わせ。
(2) yについて解け。
(3) xをyによって表わせ。
あれ？そうだっけ？そんな話知らない。
5次方程式の解の公式を求める - ねくノート
http://neqmath.blogspot.com/2018/08/5.html
[PDF] エルミートのモジュラー方程式 1.1858年以前 - 津田塾大学
https://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo03/03kasahara.pdf
x^4 + x^3 - 2x + 1 > 0
を示せ。
[高校数学の質問スレPart404．051～070]
(1/4)x^4 + x^3 - 2x + 1 = (xx/2 + x - 1)^2
x = 0.7626918603256712159
[面白スレ32問目．278]
= (x - 0.7626918603256712159)
* (x*x -0.6100038387443596*x +2.4229341986697917)
* (x*x +0.37269569907003080*x +1.6234186219278017)
実根 0.7626918603256712159
複素根 0.3050019193721798 ± 1.5264036254703662*i
-0.1863478495350154 ± 1.2604336955593805*i
Bring-Jerrared の標準形
z^5 + z + a = 0,
チルンハウス変換によってこの形に変形できるらしい。
数セミ増刊「数学100の定理」日本評論社 (1983)
p.70 囲い記事
>>596
どうやって解かれたのでしょうか。
https://keisan.casio.jp/exec/user/1388468056
四則演算とベキ根による解の公式がない、というだけで
ベキ根以外の手段を認めれば解の公式はあるよ
＞実数の数体系(有理数と有理数の冪根の加減乗除で表される数)
＞で表現できないというだけで、
有理数と有理数の冪根の加減乗除で表される数＝実数とは違うよ
まず「有理数の冪根だが実数でない数」がある
例：√ー１
そして「実数だが有理数の冪根で表せない数」がある
例：e、π
＞実数の新しい表現を与えてやれば表現できるはず。
実数じゃなく複素数なら、任意の自然数ｎについて
ｎ次方程式の解が（重複を込めて）ｎ個必ず存在するよ
それがガウスの「代数学の基本定理」ね
だから「新しい表現」は必要ない
単にベキ根だけでは解けないというだけ
多項式f(z)の零点の数がどれだけあるかわかる
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%81%8F%E8%A7%92%E3%81%AE%E5%8E%9F%E7%90%86
だから範囲を狭めていけばいくらでも正確に零点の位置がわかる
別に解の公式なんていらない
偏角の原理を使った方法は用いてないみたいだ
めんどくさいんだろうか？
５次といわず任意の次数の代数方程式の
解の公式ができる
https://en.wikipedia.org/wiki/Thomae%27s_formula
でも実用的ではないのでお勧めしない
さんざん既出
FAQでまとめといたほうがいいかもね
Q.５次以上の代数方程式の解の公式をつくりたい
A.既にあります
Thomae's formula
ただし実用的でないので数値解法をお勧めします
DKA法、等
ちなみにｎ次代数方程式は（重複を含めて）必ずｎ個の複素数解をもつ、と
すでにガウスの「代数学の基本定理」で証明されているので、
複素数を拡大する必要は全くありません
自演恥ずかしい
仮にID違う>>606-607も自演と指摘しているとしてもスレの盛り上がりの流れから鑑みるに此の自演指摘は蛇足
何が言いたいのかさっぱりわからん
>>608は悔しかったんでしょう 何が、かは知りませんが
あとは5次方程式に関係する駄弁りに転じてるのは
読んだらわかるでしょ
それは専門家（見習い）のコミュニティの話
一般人との関心の折り合いをどう付けていくかが課題
「解はあるが根号だけでは解が表示できない」という言葉の意味がわからない
ガロア群が可解じゃないと・・・では通じない
「解を表現できる数体系」とか言い始める>>1みたいなアホには説明のしようがない
優秀な高校生なら理解可能であろうがwikiやネットで読んだ程度の雑多な知識面はともかく
理解力などの意味で「優秀な高校生」レベルでない人が多いw
>>329
3次方程式の解が全て実数の時でも虚数を含まない形で根号だけで
解を表示することができないことの証明も同じく7章に書いてある
などと書いても多分>>614でいう一般人には刺さらないだろう
そういう応対は私みたいなカスじゃなくブルーバックス書くような先生にお任せします
カスなら死ね
>「解はあるが根号だけでは解が表示できない」
>という言葉の意味がわからない
そもそも
「解があれば根号で解が表示できる筈」
という主張の根拠がわからんが
根号に固執する必要ないだろう
なんで数値解析を嫌うのかわからん
精神異常なのか？
4次方程式の解を根号で表したときの複雑さをガロア群の大きさで分類した
有理数係数の4次式 f(x) の有理数体上のガロア群を G とし
n = #G とする。
f(x) = 0 の解は...
n = 1 : 解は有理数。
n = 2 : 解は有理数か、平方根1個で表せる。
n = 3, 6 : 解の1つが有理数。他の3つは3次方程式の解の公式で解くので立方根の中に平方根が入る程度。
n = 4, 8 : 解は高々2重の平方根で表せる。
n = 12, 24 : 解は平方根の中に3次方程式の解の公式が入る式を3つ足したもの。唯一書く気が失せるレベル。
英語のウルトラよりも
こっちの異って名付け方が好みだ
早川書房 マリオ・リビオ著 「なぜこの方程式は解けないか？」
5次方程式が解けないことから群論まであれこれ書いてある。
その時点で「代数的」じゃなくなってるんだわ
もし出来たら凄いことなのでしょうか？特許とか取れるでしょうか？
誰か教えてもらえませんか。
周りにそういう人は居ません。
自分としては非常に手応えを感じており、もしも上手くいった場合に
折角なら金銭的なメリットを得られないものかと、尋ねてみました。
たまたま代数的に解ける特殊な5次方程式は存在するが、
一般の5次方程式に一般的に通用する代数的解法は存在しないことが証明済み。
このことに反する主張は、学術的には門前払い。
必然的に、あなたのやり方はどこかが間違っていることになるが、
どこが間違っているのかを指摘する義務すらなく、ひたすらに門前払いを食らう。
だって、代数的解法は存在しないことが証明済みだから。
学術的にはこういう塩対応になる。
知らんがな。
親切な人なら、あなたのやり方のどこが間違っているのか
具体的に指摘してくれるかもしれんが、特許がどうこうとか色気を出してる時点で、
できるだけ秘匿にしておきたいという魂胆が丸見えなので、自分で自分の首を絞めている。
あと、このような古い話題では、「代数的解法がない」という内容が正しいことに
もはや疑いようがないので、そのような結果に反する主張が
特許として受理されることはないと思われる(特許庁の信頼に関わるので)。
確かにどうも勘違いしていたようです。
ご指摘ありがとうございました。
両方ガロア理論が使えるだけあって。
ガロアいなかったら代数学のそこそこマニアックな結果になってたのかな…
そのガロア群としては、最も一般の場合の位数5！＝120次の対称群S_5と
それの正規部分群である位数60の5次の交代群A_5、
があるがそれらはいずれも可解ではない場合になる。
解ける場合のガロア群は、位数が5ｘ4＝20次の場合と、
位数が5ｘ2＝10次の場合と、位数が5次の場合巡回群C_5のものだけである。
それらに対しては、ラグランジュの分解式を使って、K上で解の代数的表示
（べき根と四則だけの組あわせで）を書くことができる。
体K上での多項式のガロア群は何になるかは、代数的に決定する方法があるが、
長くなるのでここでは述べない。それにはK上での多項式の因数分解を用いる。
ことが出来る。それは丹念に有限体の元を1つずつ入れてみて根であるものを
拾い上げれば良いのである。でもそれを、四則演算とべき根の操作による
式として表したことにならないとすれば、拾い上げでは代数的解法とは
呼べないであろう。一般の係数についての解を与えたことにならないから。
はたして、有限体の場合には拾い上げではない代数的解法はないのだろうか？
なお、べき根を使うとなると、それにより有限体が拡大される場合もおこる。
二次方程式 x^2 = b がK=Z_pの中に解を持つかどうかを判定し、解があればそれを
具体的に導くにはどうすれば良いか。
さらに、三次方程式 x^3=c がKの中に解を持つかどうかを判定し，
解があればそれを具体的に導くにはどうすれば良いか。
5次方程式ｘ＾5＝ｄが。。。
平方根自体を千桁の数としてZ_pの中から求めなければならないのだが。
どうやるのが最も合理的かな。
「判定し、」と書いてるから平方剰余を知らないと思った
K 上の2次方程式の解が四則と冪根で表せない場合があるよ(>>49)
面倒だね
根を文字でおいて無理矢理拡大できるから
もう今の学者は冪根で解くことに執着していないのだろう
ニュートン法を使えば反復で収束するのだろうか？
>>ニュートン法を使えば反復で収束するのだろうか？
どんな距離に関して？
つまり一致するかしないかだけ。
たとえば平方根を求めるためのニュートン法は有理式の反復の形にかけるから、
体上では実行可能だろう。それがどのような挙動を示すだろうか。
たとえば、比較的体の要素数が大きくても、初期値のある程度の割りあいに
対して少数回の反復でもって、平方根に到達するということがあったりすれば
（願望だが）、良いのになという話。たぶんそうならないかもしれないが、
それはそれで面白い。
どうもニュートン反復式は、素体の中で平方根を
求める役には全然たちそうもないことがわかった。
1次因子があれば、それがf(x)=0のZ/pZに於ける解になる。
2次の既約因子があればZ/pZ上の2次拡大体の中に2次既約因子の個数の2倍の解がある。
3次の既約因子があればZ/ｐZ上の3次各大体の中に3次既約因子の個数の3倍の解が、
。。。
既約分解を行う算法は既に存在していて、数式処理などでは使われている。
要素数が素数ｐからなる要素数がｐの体であるか
またはそれの任意次数の代数拡大で得られる体に同型である。
拡大次数をｍとすればその要素数はｐのｍ巾になる。
つまり、要素数が有限である体は極めて限られた存在で
豊富さに欠ける。
Abel方程式にはまだ執着しているようだ
https://i.imgur.com/auL6Smd.jpg
https://i.imgur.com/oCm47qO.jpg
https://i.imgur.com/kRu3kH0.jpg
https://i.imgur.com/4TKqdHP.jpg
https://i.imgur.com/VhvLhak.jpg
https://i.imgur.com/kfHpj76.jpg
https://i.imgur.com/YT0E4rZ.jpg
https://i.imgur.com/qjExLts.jpg
https://i.imgur.com/GUSPRLW.jpg
https://i.imgur.com/qurLBfF.jpg
https://i.imgur.com/0u2Zc4o.jpg
同型写像となる
G/G'
和と積
⊗と⊕
4次以下の場合と、条件を同じにできると思うんですよね。
一度くらいはこれをメインに扱ったちゃんとした教科書読んだ方がいいぞ
ラグランジュの考えたなぜ3次方程式や4次方程式は解けるのか?
ラグランジュの分解式みたいな話から読んだ方が多分いい
ガロア理論使うと5次以上の一般解がない証明はかなり短いんだけど
具体的な計算とはかけ離れた証明で一般人置いてけぼりだからな
5次対称群には正規部分群の系列がないみたいな証明
だったら誰かやってるはずだろ、という
考えに至らないとか
アーベルによる不可能性の証明があるにも関わらず
「それでも俺にはできそうな気がする」
という信念が何処から来るのかが気になる。
が、これはそれほど珍しいことではなく
「角の三等分家」という類型として知られており
世の中には一定数いるタイプ。
・5次以上の一般代数方程式が代数的には解けないことの証明。
・一般的には解けなくても、個々の方程式は解ける場合もある
その違いはどこから来るか？という問題に対して
「方程式のガロア群」が定義されて、それが
可解群であるか非可解群であるかによって定まる
という解答を与える。
・ガロア群が可解群であり、その根への作用が
分かっている場合には、べき根解法に対して
透明な計算法を提供する。
というわけで、この天才の仕事によって
話はほぼ終わっている。
それは5つよりも多くの置換パターンを表現しており、例えば、5種類の置換しか表現しないもの（5つの数の巡回置換とか）から
始めると重複ができて120通りの置換が網羅できないのですが、一手目のパターンが多ければ力業で網羅できる訳です。
５＊４＊３＊２だと1つでも重複すればダメですが、２０＊４＊３＊２とかなら多少の重複があっても120通りをすべて表現
できるという感じです。
正規部分群でなくとも、部分群を束ねて、「そのどれかが条件を満たせばいい」とはならないのでしょうか？
私は、ガロア理論も群の概念も分かっていないので全部直感なのですが、抜け道があるとすれば、その辺りなのではないかと
思うんですよね。
係数がややこしいと難しいが、簡単なものは解けるようになった。
実数解だけだが。
係数がややこしいと難しいが、簡単なものは解けるようになった。
実数解だけだが。
「代数的解法」とは言ってませんね。
実数解が1個、又は2個見つかったら以下のように因数分解できる。
与式 ＝ (x-α)(ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e) = 0
与式 = (x - α)(x - β)(ax^3 + bx^2 + cx + d) = 0
3次方程式と4次方程式はすでに解けるようになっているので、5次方程式は
解けるようになったという次第だ。
ベースが数表だから、今のところ -15 < x < 15 の範囲で
最初の実数解を探すようにした。
3次方程式や4次方程式を解けた際は少なからず誇ろばしく
思ったものだが、5次方程式の解法は能が無いというかイマイチ
恥ずかしい。
やってみたんか？
あり、3次方程式に興味を持ったからである。
数年かかりであったが解けるようになった。
さらにさかのぼると学生のころベンゼン分子の分子軌道の計算
につまづいていた。ベンゼンは炭素数が6個だから6次方程式になる。
6次方程式を解くのがぼやーっとした目標だった。
さてセミリタイヤ中の爺の暇つぶしである。
6次方程式はどうしたものやら。
思考以前の妄想中である。
ニュートン法を書き下すだけやで
まあ勘違いの可能性が高いですし、いざ方程式を解こうと試行錯誤するにも計算量的に大変だろうしと、それ以上は手つかずなんで
すけども。
いつか、解けないという証明を信じている人達の鼻を明かす事が出来たら面白いだろうなあと思って、解法への直観的理解が降りて
来るのを待っている状態なんですよね。
あまりにも類型に当てはまっている。
「彼らのほとんどは年取った男である」とか
「定年間際にやっと自分の方法を見つけるのである」
とか。世の中にそんなひとが一定数いるのが不思議だが事実。
もちろん、絶対に「分からせよう」などと思ってはいけない。
数学者や編集者に送り付けてくる手紙への返事の仕方まで
マニュアル化されているくらい。
の巻末に収録されている元数学セミナー編集長の亀井哲治郎氏
の文章が面白かった。数学雑誌の編集部では「角の三等分の
証明ができました」と読者が言ってきても「相手をするな」
というのが先輩からのきついお達しだった。ところが、
あるとき魔がさして１人の「三等分家」のお手紙に返事を
書いてしまう。それから、延々と証明とその問題点の指摘
のやりとりが何日も続き、相手のオジサンがあまりに
しつこいので、最後は、電話が来たときに怒鳴りつけて
しまったというお話。なんだか、可哀想なような、
後悔の念にさいなまれたというような懺悔っぽい文章だった。
「フェルマーの初等的証明」や「5次方程式の代数的解法」
という変種もある。フェルマーの方は数学者との
やり取りを公開した本まで出版されてたはず。
ただし、フェルマーの最終定理は「初等的証明はない」
という数学的証明があるわけではないのに対して
「5次の一般代数方程式」の方は「代数的解法の不可能」
の数学的証明があるのが、「初等幾何における角の三等分」
と同じ。
返事を書くのはゲッチンゲン大学の数学科の助手の職務だった。
証明が日本語で書いてあると
返事は「私は日本語が読めません」でよいので
楽だったという。
ざっくりいうと「冪根を使った解法」という意味なので
冪根以外のものを使った場合なんて一切考えてない
ガウスは代数学の基本定理で
「任意の複素数係数ｎ次方程式は重複まで含めて必ずｎ個の複素数解を持つ」
と証明した
そして代数的でない方法まで認めていいなら
ｎ個の解を全て見つける解法が存在する
だから実用的には何も困らない
一般人に「５次以降の代数方程式を代数的に解く方法は存在しない」というのは
百害あって一利もない
偉大な研究の出発点になりうる
そんな奴はここには来ないよ
いい歳して厳密解と近似解の話の違いが理性的に理解できないようじゃ相当残念だがな。
複素数の定義を正しく理解しているなら、わかる
しかし定義も知らん奴には理性のかけらもない
一般人しか来ないか？
したがって、有限体の拡大はすべて巡回拡大であるガロア拡大である。
５つの数の置換パターンは１２０通りですが、それを生成する過程において「どことどこを置換したのか」という情報まで含めて
区別すると、もっとパターン数が多くなります。もしかしたら、４次方程式までは偶々その区別が必要でなかったのが、５次では
必要になったので、それまでの考え方が通用しなくなっているだけという可能性はないでしょうか？
四元数よりも簡単に三次元の回転を表せたりしないだろうか。すごく自然なので、何かしらの価値がある気がする。
ネット情報だと、三元数を構成するのは無理だというような言説をよく見たので、数学者と言えども言外の思い込みが
色々あるのだろうなあと思った。
積の可換性は？
積は、非可換で非結合的なので、必ず先頭から掛けていかねばなりません。
ちなみに、私の考えたものは三元数とは言えないかも知れないと思えてきました。
私は、ｘ元数の呼称をどういう基準で決めているのかが分からなかったので、とりあえず、他の元の和で作れないものを独立した元と
見做すのだろうと考えていたのですが、なぜか”実数＋虚数”が二元数と呼ばれている事を受け入れていたんですよね。
しかし、マイナスと虚数単位はどちらも独立していますが、一方は単なる符号で、もう一方は元扱いなんですよね。
本来なら、一元数は＋、二元数は＋とー、三元数は＋とωとω²、四元数は＋とーとｉと－ｉ、となるべきではないでしょうか。
マイナスが符号なら、複素数平面上の角度はどれも符号という解釈もありだと思うんですよね。
という訳で、私の考えた演算規則に意味が無かったとは全く思っていませんが、三元数であるかどうかは恣意的で重要ではないのかも
しれないと思いました。
線形独立って知ってますかね？
1+(-1)=0
1+ω+ω^2=0
i+(-i)=0
だから、線形独立ではない。
だからたとえば、a,b,cを正の実数として「a+bω+cω^2の全体が3元数だ！」
と言ったとしても、実際には2元数にしかならない。
自分の思い付きを「本来なら」なんて言ってのけるのも迷惑
a, b, c を有理数としたときの a+bω+cω^2 であれば
その全体は円分体 Q(ζ_3) というこれまた既存のものになる。
a+bω+cω^2=(a-c)+(b-c)ω なのでQの2次拡大にすぎない。
Q(ζ_5) はQの4次拡大だがこれを4元数だと思ってもいけない。
R(ζ_5)=R(ζ_3)=R(i)=C とも別の話。
とか、
「R(ζ_5)=R(ζ_3)=R(i)=C」
とか、
この考え方は果たして当たり前なのでしょうか。
もしかすると、どれも実軸と虚軸との直交座標で考えられるという事なのかもしれませんが、それだと、行列計算との整合性は
取れるのでしょうか。
マジっすか？
a+bi がとる値全体は C だし a+bω がとる値全体も C
添加元の選び方が違うだけで新しい数は作れてないでしょ
R(ω)=R(i) が意味するのはこれに近い
a+b(5+7i) みたいなのでもいいの
基底はガウス平面で直交しないが斜交座標での計算は行列の守備範囲内だろう
それとも
ωを複素数にない独自のものの記号として使っているの？
だとしたら複素数解を得られる保証はない
最新の安否不明者のリストには載ってないから
安否確認されたんだろうな。
角の三等分家とマチガッテル系というか
このスレの三等分家さんとも心理的な共通項
があると感じるから。今井というひとは
現代数学が初歩の部分でマチガッテルまたは
不十分であるという主張だったから。
みたいなことやってたのも、このスレのひとと
共通点がある。このスレの三等分家さんは理解が
まだまだ不十分だが、理解が深まって「完成」に
近づけば、結局「車輪の再発見」のようになるはず。
fg=1、gf=1、全単射のときのみ
結合法則(ab)x=a(bx)
1x=x
スカラー乗法
φ(a+b)=φ(a)++φ(b)
準同型。同型
V≃V'
複素数解と言っても、得られる保証が有るのは数値解でしかないと思います。
だとすれば、幾何と代数の同一視が過ぎると思うんですよね。
という意味でしかないと認識すべきだと思います。
どうしても代数的に表せない場合は、仮に幾何的な直観で正しいように見えても、実は的外れであるという危険性が存在していると
思うんですよね。
訳の分からないことを言ってる自覚はありますか？
噂ってか当たり前のことじゃね？
五次方程式が代数的に解けないってのは
そのR(a,b)を代数的に表せないってことと等価なんだから
係数が全部実数ならね
事実が有るそうです。（Yahoo知恵袋より）
構造的に無理なのに、幾何的直観だと、何か都合のいい適当な実数を使えばa+biと表せるはずと感じるわけです。しかし、その
適当な実数が正確に何なのかは、そもそも原理的に表すことが出来ないということです。それは、本当に数直線上に存在している
のでしょうか？
また、１の原始５乗根のような基本的な対象は、（お互いに、他の元との実数倍の和では移れないという意味で）それぞれが独立
していそうなものですが、複素数平面上では独立していないことになります。私は、４乗根まではちゃんと独立しているのに５乗根
では成り立たなくなる事と、５次方程式が代数的に解けないと思われている事とが、同根だと思うんですよね。
果たして２重根号は、数直線という直観で捉えられるものなのでしょうか？
あと、プラスの数とマイナスの数をそれぞれ独立にではなく、まず足してから複素数平面上にプロットするということは、絶対値で
考えるという事になってしまうと思います。
Impossible, n'est pas français.「不可能という言葉はフランス的ではない」
を見ると、「角の三等分家」が世に絶えない理由も分かる。
意外に世の中にはこういう思考法のひとが多いのかもしれない。
「代数方程式のべき根解法が一般的には不可能であるが、同時に
べき根解法可能な各次数の既約代数方程式のクラスが存在する」
という高度な認識は、ガウスからアーベル、ガロアにまで
連なるもので、現代数学では常識だが、一般人にとっては
空谷の跫音なのかも。（さらに一部のひとにとっては
断崖絶壁の理解の彼方なのかも。）
一時期
ここ5chみたいなSNSで「悪魔の証明」を連呼するニワカみたいなのをよく見かけたが
ネット認証もちゃんと数学的な証明を実用品として使ってる営みの一例なんだよなあ。
行列の計算というのは、「和で結ばれた異なる項に対して、それぞれ異なる符号を掛ける事」を許しているのが特徴だと思うんですよね。
理由は、例えば２＊２行列の掛け算では、|A C|を|A + C|と見做すと、１列目は「１列目にAを、２列目にBを掛ける数」で、２列目は
|B D| |B D|
「１列目にCを、２列目にDを掛ける数」と考えられるので、後は普通の掛け算（"α＋β"×"γ+Δ"）と同じと見做せます。ただし、
それぞれの項を掛け合わせる際は、左側が掛けられる対象で右側が掛ける倍数となり、例えばα×γなら「αの数値、αの列の位置、γの
数値、γの列の位置」と並べれば、真ん中の「αの列の位置、γの数値」で何倍するかが決まり、残りの情報と合わせて答えが出ます。
そして、A は +X +Yと分解できるので、結局「異なる項に異なる符号を掛ける演算」（+Y）が存在すると言えると思うんですよね。
B +X -Y -Y
例えば普通の計算上は”AーB＝C”だとしても、この演算の下では、”AーB”と”C”は必ずしも同じとは言えないと思うんですよね。ですから
プラスとマイナスを足してから複素数平面にプロットすることは、ある意味で絶対値をとっている様なものだと思います。
ちなみに、+と+（２列目は+と-）をプラスの符号と考えて、その逆はマイナスとすると、行列を２乗した時に普通の掛け算と比べて
+ - + +
マイナスが１回多く掛かる組み合わせを足し合わせると、行列式と等しくなります。行列式は絶対値の拡張だと思うので、正方行列で且つ
斜めの位置関係の要素を一纏まりの数と考えた方が自然だと見れば、そもそも普通の掛け算と行列の積をごっちゃに考えることが間違い
という可能性もあります。
>>757
行列の計算というのは、「和で結ばれた異なる項に対して、それぞれ異なる符号を掛ける事」を許しているのが特徴だと
思うんですよね。
例えば２＊２行列の掛け算では、｜A C｜を｜A＋C｜と見做すと、１列目は「１列目にAを、２列目にBを掛ける数」で
｜B D｜ ｜B D｜
２列目は「１列目にCを、２列目にDを掛ける数」と考えられますから、後は普通の掛け算”（α＋β）×（γ＋Δ）”と
同じ様に計算出来ます。（ただし、それぞれの項を掛け合わせる際は、左側が掛けられる対象で右側が掛ける倍数となり、
例えば上記の”α×Δ”なら「α、１列目、Δ、２列目」と情報を並べて真ん中の「１列目、Δ、」の部分で何倍するかが
決まり、残りの情報と合わせて答えが出ます。）それら各項は＋Xと＋Yに分解できるので、結局、「異なる項に異なる
＋X －Y
符号を掛ける演算の存在」が言えると思うんですよね。そして、この演算の下では”A－Aの個数”を気にする必要があるので
一概にプラスとマイナスを足して一つにすることは出来ないと思うんですよね。
ちなみに＋と＋（２列目は＋と－）がプラスの符号で、その反転はマイナスと考えて、2乗した時にマイナスが１回分余計に
＋ － ＋ ＋
掛かる組み合わせのみを足し合わせると、行列式と等しくなります。行列式は絶対値の拡張だと思うので、正方行列で且つ
斜めの位置関係の要素を一纏まりの数と考えた方が自然だと見れば、そもそも普通の掛け算と行列の積をごっちゃに考える
事が間違いという可能性も有ります。
cos(2π/11)は参考サイトの1番目に具体的な式が提示されているけど、
sin(2π/11)はググってもどこにも無い感じなので頑張って計算してみたのだが...
というかカンニングして何とか求まったって幹事だが...
どのスレに書こうか迷ったけどとりあえずここに貼ってみる
exp(i*2π/11)=cos(2π/11)+i*sin(2π/11)=
-1/10
+1/40(-1+√(5)+i√(10+2√(5)))(-11/4(89+25√(5)+(45√(5-2√(5))-5√(5+2√(5)))i))^(1/5)
+1/40(-1+√(5)+i√(10+2√(5)))(-11/4(89-25√(5)+(45√(5+2√(5))+5√(5-2√(5)))i))^(1/5)
+1/40(-1+√(5)-i√(10+2√(5)))(-11/4(89+25√(5)-(45√(5-2√(5))-5√(5+2√(5)))i))^(1/5)
+1/40(-1+√(5)-i√(10+2√(5)))(-11/4(89-25√(5)-(45√(5+2√(5))+5√(5-2√(5)))i))^(1/5)
+i/10√(55
-5(-11/4(89+25√(5)+(45√(5-2√(5))-5√(5+2√(5)))i))^(1/5)
-5/4(-1+√(5)-i√(10+2√(5)))(-11/4(89-25√(5)+(45√(5+2√(5))+5√(5-2√(5)))i))^(1/5)
-5(-11/4(89+25√(5)-(45√(5-2√(5))-5√(5+2√(5)))i))^(1/5)
-5/4(-1+√(5)+i√(10+2√(5)))(-11/4(89-25√(5)-(45√(5+2√(5))+5√(5-2√(5)))i))^(1/5)
)
=0.841253532831181168861811648919367717513292498420537898642650117...+0.540640817455597582107635954318691695431770607898113840035749889...i
cos(2π/11) を冪根で求めようとしたらとんでもないことになった(2/11,3/10追加) | てっぃちMarshの数学（Mathematics)教室
https://ameblo.jp/titchmarsh/entry-12570494916.html
Fermat's Last Theorem: Vandermonde: Eleventh Root of Unity expressed as radicals
http://fermatslasttheorem.blogspot.com/2008/01/vandermonde-eleventh-root-of-unity.html
math discoveries
https://mathandnumberystuff.tumblr.com/tagged/roots%20of%20unity
くろべえ: 1の累乗根（x^n-1=0 の解）の図
https://kurobe3463.blogspot.com/2007/05/figure-of-radical-root-of-1.html
5乗根を使っていますが、それは次の意味でいいですか？
「複素数zに対して、zの偏角の主値をArg(z)=θとするとき
z^{1/5}=|z|^{1/5}*exp(iθ/5) と定義する。」
偏角の主値
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A4%87%E7%B4%A0%E6%95%B0%E3%81%AE%E5%81%8F%E8%A7%92
あと、虚部の最初の項
>+i/10√(55
が明らかにおかしい。これはi√11/10 であるはず。
はっきり言ってど素人の計算。
とんでもなくなるのは、根本的なことが分かってないから。
200年以上前のガウスの計算の方が遥かに遥かにレベルが高い。
ど素人と数学者の差は大きいということ。
どこが曖昧さなく定まるのかということまで含めて
非常に注意深く書かれている。ところで、ガウスは
「べき根解法」とか「代数的解法」という言葉は使わない。
「混合方程式の純粋方程式への還元」という。
この言葉の遣い方も、よく考えられていると思う。
そこからsin(2π/11)の表示を得ることは
難しくはない。2次のガウス和及びヤコビ和という
ものが使われる。ただし、それはcos(2π/11)の
値が「きちんと、注意深く」求められていれば
という前提での話で、>>834のリンク先ではそれが
なされていないので、全く明解ではない。
ど素人の計算たる由縁。
まず、cos(2π/11)のべき根表示を求めるのに
「短くなった」と言って、それでも十何ページも
かかっているのがおかしい。見通しが悪すぎる。
きちんと求まってもいない。単にべき根表示式と
数値計算が合うように腐心しているだけ。
きちんと求まっているとはどういうことか？
cos(2π/11)の表示が求まれば、そこから
sin(2π/11)の表示は難なく求まる。
また、exp(4πi/11),exp(6πi/11),...
の表示式も同時に明解に得られる。そういうこと。
> あと、虚部の最初の項
> >+i/10√(55
> が明らかにおかしい。これはi√11/10 であるはず。
>>834で正しいよ
>>835=ど素人未満
虚部の最初の項は2次のガウス和であらわされることは理解してますか？
ψを2次指標とすると、ψ(-1)=-1,τ(ψ)=i√11 であり
τ(ψ)/10 となるはず。
ちなみに実部の最初の項は、1を自明指標として、τ(1)/10 =-1/10
で合っている。
exp(i*4π/11),exp(i*6π/11),...
はどうなるの？ まったく示されていないよね。
べき根の意味も明示されていない。
>>835の意味でいいの？
そこまで考えられてないなら素人仕事と言われても
仕方ないね。
偏角の主値などを使って、意味を決めておく必要がある
そのことにまったく注意を払わないのはど素人。
本当はこういうことが数学的には大事なんだよ。
そのことにハタチそこらで自力で気づいていた
ガウスは天性の数学者であり
ともかく「公式のようなもの」さえ
得られればいいと思ってるのは、公式バカ。
それさえも>>834は間違ってるっぽいが
そうなったのも当然の帰結と言える。
間違いで一万桁も一致させられるなんて天才では.
「べき根表示式を元に数値計算した」なんて証拠はまったくない。
cos(2π/11),sin(2π/11)の函数値を書いただけなら
一致しているのは何ら不思議はない。
そんなロジックも分からないのは天才どころか「頭が弱い」。
DIGITS:=10240;
a:=
-1/10
+1/40*(-1+sqrt(5)+I*sqrt(10+2*sqrt(5)))*(-11/4*(89+25*sqrt(5)+(45*sqrt(5-2*sqrt(5))-5*sqrt(5+2*sqrt(5)))*I))^(1/5)
+1/40*(-1+sqrt(5)+I*sqrt(10+2*sqrt(5)))*(-11/4*(89-25*sqrt(5)+(45*sqrt(5+2*sqrt(5))+5*sqrt(5-2*sqrt(5)))*I))^(1/5)
+1/40*(-1+sqrt(5)-I*sqrt(10+2*sqrt(5)))*(-11/4*(89+25*sqrt(5)-(45*sqrt(5-2*sqrt(5))-5*sqrt(5+2*sqrt(5)))*I))^(1/5)
+1/40*(-1+sqrt(5)-I*sqrt(10+2*sqrt(5)))*(-11/4*(89-25*sqrt(5)-(45*sqrt(5+2*sqrt(5))+5*sqrt(5-2*sqrt(5)))*I))^(1/5)
+I/10*sqrt(55
-5*(-11/4*(89+25*sqrt(5)+(45*sqrt(5-2*sqrt(5))-5*sqrt(5+2*sqrt(5)))*I))^(1/5)
-5/4*(-1+sqrt(5)-I*sqrt(10+2*sqrt(5)))*(-11/4*(89-25*sqrt(5)+(45*sqrt(5+2*sqrt(5))+5*sqrt(5-2*sqrt(5)))*I))^(1/5)
-5*(-11/4*(89+25*sqrt(5)-(45*sqrt(5-2*sqrt(5))-5*sqrt(5+2*sqrt(5)))*I))^(1/5)
-5/4*(-1+sqrt(5)+I*sqrt(10+2*sqrt(5)))*(-11/4*(89-25*sqrt(5)-(45*sqrt(5+2*sqrt(5))+5*sqrt(5-2*sqrt(5)))*I))^(1/5)
);
b:=float(a);
c:=abs(b^11-1)*10^10000;
print(float(floor(c*10^300)/10^300));
end_proc();
0.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000\
00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000\
00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000\
00000000000000000000000000044470036415117348991742799543132170618158629999\
260373
なるほどね。
>+I/10*sqrt(55
以下式が続いてたわけね。それなら合ってるのかもね。
根をべき根たちの線形結合の形であらわせば
平方根の項（ガロア群の作用で±1倍の違いが生じる）
として、i√11/10 が単独で必ず括り出されることは確かだけどね。
なぜこの形にすることに意味があるかと言えば
ガロア群の作用による係数の変化が一目瞭然だから。
結果として、exp(2π/11)の一つのべき根表示式から
すべてのexp(2kπ/11),(k=2,3,...,10)のべき根表示
が同時に得られることになる。
つまり、一つの表示式は簡単な係数変化で、同時に
10個の根の表示を兼ねるわけ。2次方程式の解の
公式が2つの根を同時に示しているようにね。
>exp(2π/11), exp(2kπ/11)
→exp(2πi/11), exp(2kπi/11)
うむ。
結局、「sin(2π/11)」の冪根を求めるのか、「i*sin(2π/11)」の冪根を求めるのかって話だね。
結論から言うとどちらも可能だが、「i*sin(2π/11)」よりは「sin(2π/11)」で表した方が便利だよねって話。
sin(2pi/x)=√(2-cos(2pi/x))/2
すいません。間違えてます
こうですね。
nが4以上のとき (0≦θ≦π/2)
√(1-cos(2π/n)^2)=sin(2π/n)
√(1-sin(2π/n)^2)=cos(2π/n)
√(cos(2π/n)^2-1)=sin(-2π/n)=i*sin(2π/n)
√(sin(2π/n)^2-1)=cos(-2π/n)=i*cos(2π/n)
√(cos(-2π/n)^2-1)=sin(-2π/n)
√(sin(-2π/n)^2-1)=cos(-2π/n)
やってしまった
nが4以上のとき (-π/2≦θ≦π/2)
√(1-cos(2π/n)^2)=sin(2π/n)
√(1-sin(2π/n)^2)=cos(2π/n)
√(cos(2π/n)^2-1)=sin(-2π/n)=i*sin(2π/n)
√(sin(2π/n)^2-1)=cos(-2π/n)=i*cos(2π/n)
√(cos(-2π/n)^2-1)=sin(-2π/n)
√(sin(-2π/n)^2-1)=cos(-2π/n)
√(1-cos(-2π/n)^2)=sin(-2π/n)
√(1-sin(-2π/n)^2)=cos(-2π/n)
それらの公式だけからsinとcosの値の体論的な関係が
把握できると思ってるなら間違ってますよ。
たとえば nが4で割れない整数のとき、√(1-sin(2π/n)^2)の
√記号は見かけに過ぎない。すなわちこのとき、cos(2π/n)は
sin(2π/n)のQ係数有理式であらわされる。
証明できますか？
現代的にスマートな記述はできないと思う。
ガウスは220年前に、これら無しで完全な記述を
行っているが、天才であり例外。
834のリンク先の著者がn=11のケースで既に
「とんでもないことになった」とバカなことを
言っているのは、正にこの理解が欠けているから。
複素解析は多少大げさだが、べき根の多価性を理解
していないのは致命的。主値などを使ってべき根の意味
を明示していないというのは分かってないということ。
ソフトの出力に任せて、自分では考えていないのだろう。
このリンクは確か某コピペバカも引用して真に受け
「n=11くらいが既に計算の限界なんだ」と言っていたから
罪が重い。一体、何のつもりでゴミをネットに上げて
いるのだろう？
V1=1/5(-1+Δ1+Δ2+Δ3+Δ4)のような式に代入するが、
そのままでは目的の値にならないので、
1の5乗根のω0(=1),ω1,ω2,ω3,ω4として、
それぞれのΔに適当なωを掛ける必要がある。
結果的に、(1の11乗根をz_0=1,z_1,z_2,z_3,...,z_8,z_9,z_10として)
V1＝z_1+z_10=cos(2π/11)
V2=z_2+z_9=cos(4π/11)
V3=z_3+z_8=cos(6π/11)
V4=z_4+z_7=cos(8π/11)
V4=z_5+z_6=cos(10π/11)
が得られます。
上記の値は5次方程式の解です。、
しかしsin(2π/11)の値は10次方程式の解なので何らかの処理が必要です。
ここはまだ勉強が必要ですが、
(z_2+z_9)^2 = z_1-z_11-2 = -(z_1-z_11-2)+2になるようです。
なので、√(2-"V2")/2によりsin(2π/11)が求まるようです。
√(1-("V1"/2)^2)
でもsin(2π/11)が求まりますが、V2を使ったほうが、
2乗が消えるためスマートです。
訂正
誤
(z_2+z_9)^2 = z_1-z_11-2 = -(z_1-z_11-2)+2になるようです。
正
(z_2+z_9)^2 = z_1-z_11-2 = -(z_1-z_11)+2になるようです。
(z_1+ｚ_10)^2 - z_2+ｚ_9=2
z_2+ｚ_9 - (z_1+ｚ_10)^2=-2
より
(z_2+z_9)^2 = z_1-z_11 -2 = 2- (z_1-z_11-2)
また三角関数にして計算すれば分かりやすい
>なので、√(2-"V2")/2によりsin(2π/11)が求まるようです。
半角の公式を使ってるわけね。確かにそれでも求まりますよ。
ただし、平方根の中にさらに5乗根を含むべき根表示式
が入る2重の形になりますが。しかし、ガロア理論が
分かっていれば、この2重の形も見かけに過ぎないこと
ことは明らか。なぜなら Q(sin(2π/11)/Qは巡回拡大
だから。実は、cos(2π/11)のべき根表示に用いたべき根たち
と√11の積、それらのQ(ζ_5)の数を係数とする一次結合
であらわされることが分かる。それが「正しい形」。
にあらわされる。どうやって証明するか？
倍角の公式を使って
sin(4π/11)=2sin(2π/11)cos(2π/11)で
cos(2π/11)=√(1-sin(2π/11)^2) だから...
とやると「どうやってルートが外れるのか？」
と悩むことになる。nが奇数のときsin(nx)
はsin(x)の整数係数多項式であらわされる。
したがって、sin(18π/11)=-sin(4π/11)は
sin(2π/11)の整数係数多項式であらわされる...
と気づけば解決。
この場合、証明に4π/11という値の特殊性
を使っていることが分かる。
三角函数論→変数が任意の実数や複素数で成立する事柄
数論→個々の数の"個性"に強く依存して成立する事柄
なってしまった。 もしかしたら同じ性質のダブった元が存在して、それを除外すればもう少し減るかもしれないけれども、いづれに
せよ１６よりはだいぶ多い。 この元同士の間には面白い性質が成り立つのだけれども、果たして自然が採用しているのは１６か２５６
か、それとも両方ハズレだろうか。
V5が抜けてた。あと求められる値は2cosね
V1＝z_1+z_10=2cos(2π/11)
V2=z_2+z_9=2cos(4π/11)
V3=z_3+z_8=2cos(6π/11)
V4=z_4+z_7=2cos(8π/11)
V4=z_5+z_6=2cos(10π/11)
V5=z_5+z_6=2cos(12π/11)=-2cos(π/11)
訂正
V1＝z_1+z_10=2cos(2π/11)
V2=z_2+z_9=2cos(4π/11)
V3=z_3+z_8=2cos(6π/11)
V4=z_4+z_7=2cos(8π/11)
V5=z_5+z_6=2cos(12π/11)=-2cos(π/11)
Qは有理数体、Q(a)はQに数aを添加して得られる数体
をあらわすものとする。
問1
√11∈Q(sin(2π/11)) を示せ。
問2
sin(2π/11)/√11∈Q(cos(2π/11)) を示せ。
おまけ
√11∉Q(cos(2π/11)) を示せ。
注:問1,問2とも計算だけで示すことができるが
大学数学はどう計算すればいいかの「見通し」を与える。
おまけは参考まで。問2の面白さが際立つと思う。
2sin(π/5)*2sin(2π/5)=√5
2sin(π/7)*2sin(2π/7)*2sin(3π/7)=√7
2sin(π/9)*2sin(2π/9)*2sin(3π/9)*2sin(4π/9)=√9=3
2sin(π/11)*2sin(2π/11)*2sin(3π/11)*2sin(4π/11)*2sin(5π/11)=√11
2sin(π/13)*2sin(2π/13)*2sin(3π/13)*2sin(4π/13)*2sin(5π/13)*2sin(6π/13)=√13
2cos(π/5)*2cos(2π/5)=1
2cos(π/7)*2cos(2π/7)*2cos(3π/7)=1
2cos(π/9)*2cos(2π/9)*2cos(3π/9)*2cos(4π/9)=1
2cos(π/11)*2cos(2π/11)*2cos(3π/11)*2cos(4π/11)*2cos(5π/11)=1
2cos(π/13)*2cos(2π/13)*2cos(3π/13)*2cos(4π/13)*2cos(5π/13)*2cos(6π/13)=1
ちなみに
√(2-x)/2の式で得られる値
V1 sin(10pi/11)
V2 sin(2pi/11)
V3 sin(8pi/11)
V4 sin(4pi/11)
V5 sin(6pi/11)
その計算法で2重根号が消えますか？
2重根号が避けられることはガロア理論から分かっている。
今、cos(P)のべき根表示が得られているとしよう。
（簡単のため 2π/11=Pとおいた。）
共役であるcos(2P),...,cos(5P)の表示は
簡単な係数変化で同時に得られる。
あくまでもこれらを利用して
sin(P)の値を表したいというのが動機。
且つ2重根号は避けたい。そのための工夫が>>867問2。
sin(P)/√11=c_1cos(P)+…+c_5cos(5P)
となる有理数c_1,...,c_5が得られればよい。
理屈としてはそういうこと。
exp(2π/5)=cos(2π/5)+i*sin(2π/5)
=1/4(-1+√(5))+i/2√(1/2(5+√(5)))
=1/4(-1+√(5))+5^(1/4)i/4(√(1-2i)+√(1+2i))
=1/2^5(sin(3P)sin(5P)sin(7P)sin(9P))
=-2^5 sin(P)sin(2P)sin(4P)sin(6P)sin(8P)sin(10P)/11
=-2^7 sin^2(P)sin^2(2P)cos(2P)sin^2(8P)cos(8P)/11
=-2^7(1-cos^2(P))(1-cos^2(2P))(1-cos^2(8P))cos(2P)cos(8P)/11
これで一応問2は解けている。ここからさらに目的の「簡単な形」
にするのはソフトを使った。たちどころに次が分かった。
sin(P)/√11=(1-cos(P)+2cos(3P)-2cos(5P))/11.
p≡3 (mod 4)のときに限ることを注意しておこう。
>>67問1は確かに任意の奇素数pに対して成立するが
「おまけ」がp≡1 (mod 4) のときには成立せず
√p∈Q(cos(2π/p)) となる。一方で
Q(sin(2π/n))⊃Q(cos(2π/n)) は任意の3以上の
奇数nに対して成立するから、問2は
p≡1 (mod 4)のときは成立しない。かわりに√pよりも
「もっと難しい数」を使う必要があるということ。
P=2π/11とおいたとき
sin(P)/√11=(1-cos(P)+2cos(3P)-2cos(5P))/11
の両辺において、Pをa倍 (a=2,...,10)すると何が起きるか？
→ ±1倍の違いが生じる。
これは、ガロア群が√11にも作用するから。
そして、この値は実はルジャンドル記号(a/11)に等しい。
すなわち
sin(aP)/√11="(a/11)"(1-cos(aP)+2cos(3aP)-2cos(5aP))/11.
（ただの分数と区別するために" "で示した。）
ルジャンドル記号
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AB%E3%82%B8%E3%83%A3%E3%83%B3%E3%83%89%E3%83%AB%E8%A8%98%E5%8F%B7
このことからも分かるように、この計算の背後にあるのは
本質的には数論なのである。
がなければ、ガウスの域には至らない。
第7章: 円の分割を定める方程式（第335条 - 366条）
https://ja.wikipedia.org/wiki/Disquisitiones_Arithmeticae
i√(11/20
-1/20(-11/4(89+25√(5)+(45√(5-2√(5))-5√(5+2√(5)))i))^(1/5)
-1/80(-1+√(5)-i√(10+2√(5)))(-11/4(89-25√(5)+(45√(5+2√(5))+5√(5-2√(5)))i))^(1/5)
-1/20(-11/4(89+25√(5)-(45√(5-2√(5))-5√(5+2√(5)))i))^(1/5)
-1/80(-1+√(5)+i√(10+2√(5)))(-11/4(89-25√(5)-(45√(5+2√(5))+5√(5-2√(5)))i))^(1/5)
)
ルートの中の最初の項が11/20になる。11/20*2=11/10
今日もネタもないのにageてやるからな！
￣￣∨￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
∧＿∧ ∧＿∧ age
（・∀・∩）（∩・∀・） age
（つ 丿 （ ⊂） age
（ ヽノ ヽ/ ） age
し（＿） （＿）Ｊ
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