0≦x≦0を満たす有理数は無限にある。 [転載禁止]©2ch.net
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0≦x≦1(xは有理数)を満たす有理数は幾つあるだろうか?
「無限にある」というのが答えだろう。
では0≦x≦0(xは有理数)を満たす有理数は幾つあるだろうか?
「"0"一つだけ」が果たして答えだろうか?
私は考えた。
実は、0と0の間には無限の数があるのではないかと。
この概念を簡単に理解しては貰えないかもしれないが、簡単な例を挙げると、-1と1を足すと0になる。
では、-2と2を足すと、これもまた0になる。
同様に考えると、このような数は無限に存在する事になる。
つまり、様々な数が合成されて0という値が存在すると考える事も出来るのだ。
では、初めの問いに戻ってみよう。
では0≦x≦0(xは有理数)を満たす有理数は幾つあるだろうか?
上に述べた事を踏まえると、「その定義域の中には-1も1も-2も2も様々な値が無限に存在する。」という事になる。
つまり、0～0の間にも、無限の有理数が存在するのだ。
これは、スカラーにおいても同様のことが言える。
また、1≦x≦-1を満たす有理数も存在すると私は考えている。 その場合
無限にあるのは有理数じゃない。
計算結果が０になる式。 数学のスレでこう言うのはあれかもしれんが、そういう定義を考えて何か意義があるの？ 実数直線＋一点コンパクト化実無限大∞を射影した拡張実数円線に於いて
1≦x≦-1
とは
「1以上（∞を経て）-1以下のx｣
要するに
「『-1<x<1』を抜いた拡張実数領域｣
つまり数の大小が崩壊した順序規則 有理数
↓切断
実数
↓切断
超実数
↓切断
：
：
：
↓切断
超現実数
↓切断
「ゲームの理論」上のゲーム
超実数でさえ同一となる0.999…と1が異なる数となる数の切断の極致
そんな超現実数だって0は0、1は1
つまりスレ主の想起は数学的に非実 0≦x≦0だと
0≦0が成り立たなければいけなくなるが
0=0であるから
＜の部分ちがくね
ってかそれ定義しても役に立たないだろ。。 "考えるな. 感じろ." と言う奴は考えないと分からない事をしている. 言いたいことはなんとなく分かるんだけど理解あってるかな。
つまりその話は「いくつあるか」について、カウンティングの定義を掘る話だ。
通常の有理数の集合ではなく、有理数に同値な式（有理式)の集合を考えたとする。
この有理数に同値な式の集合について
その集合の要素数を集合濃度の議論を使ってカウントすることを考えると
この集合は
{ 0 - 0, 1 - 1, 2 - 2, 3 - 3, ... , a - a, ... }
などという形の集合を含んでおり、
この集合は明らかに自然数の集合からのトリビアルな全単射を構成できるので
少なくとも可算だろうというのは目算がつきます。
この有理式の集合を対象にとって、通常の意味の数のカウンティングを定義することを考えると面白いかもしれない。
明らかに有理数を正規形と定義して有理式のリダクションした集合の濃度を考えたり
有理式の同値類集合の濃度を考えるとかが通常の有理数の濃度と一致するなあ。まあ当たり前の話を掘ってみるだけではあるんだが……。 でまあこの有理式集合上での有理数としてのカウンティングについて
どのカウンティングの定義を採用するのかによって何らかの違いがあるのか？
というのが疑問になってくる。
もちろんこれは直感的には違いは無いはずなんだけど、そこで終わったらとまってしまう。
そこで何か特別な性質について違いの出るカウンティングを定義できたとしよう。
そのようなカウンティングが仮に多様に定義できるのだとしたら、
それらのカウンティング定義の関係を整理することが
有理数の特徴を捉える上で有益にならないだろうか？
ってことでその方向で考えてみるのがこの話は面白そうだと思った。
が、自然なカウンティング定義だが、違いがあるもの、を一切私は思いつかないな。。。 あと有理数というかいまの話は整数でも成り立つ話ではあるんだよな。
もちろん同様の議論が有理数や実数や複素数でもありえるわけなのだけど。 あともう1つ面白い方向があるとしたら
「自然な数のカウンティングとは？」
になってくるかもしれないなあ。
もっというと、ある演算とその正規形が定義された集合一般について、
正規形の数を「カウンティング」する時に「どのような物が自然であるか」
を考え始めると面白そうだ。
特に自然な正規形がどのようなものか分からない集合を相手に
カウンティングのほうが簡単に定義できるようなものが見つかりはしないか、
という点において興味を指摘できる。 正の有理数とは循環小数であり、互いに素な二つの自然数の分数である
循環小数ならば分数であり、分数ならば循環小数であるから、必要十分条件を満たしている
さて、［0,1］の閉区間に有理数はいくつ存在するだろうか
循環小数としてカウントするならば、「小数点以下のすべての循環リスト」を作ればよい
つまり
.00000……
から
.99999……
までの循環パターンをすべて列挙した後、一の位に「0」と書いていけばよい
そうすれば
0.00000……＝0
となり、また
0.99999……＝1
となるのだから、［0,1］の閉区間に存在するすべての有理数をあげつらったことになる
では、［1,2］の閉区間に有理数はいくつ存在するだろうか
これは、先ほど作った「小数点以下のすべての循環リスト」を使いまわして、一の位を「1」に書き直せばよい
そうすれば
1.00000……＝1
となり、また
1.99999……＝2
となるのだから、［1,2］の閉区間に存在するすべての有理数をあげつらったことになる
これを繰り返していけば、以下の結論が得られる
［n,n+1］の閉区間に存在する有理数の個数は常に等しい（nは0以上の整数）…① 次に分数としてカウントしてみよう
この場合、「互いに素な二つの自然数の組」をすべて持ってくればよい
ただし例外として（0,1）のペアを認めるべきだろう
そして、「大きい数を分母、小さい数を分子として分数を作る」
例外は二つの数が一致する（1,1）のペアのみであるが、これは1/1とすればよい
するとこれによって、［0,1］の閉区間に存在するすべての有理数をあげつらったことになる
では、上に挙げたすべての分数の「逆数」をとる、つまり、分子と分母を入れ替えると
［1,∞］の閉区間に存在するすべての有理数をあげつらったことになってしまう
「互いに素な二つの自然数の組」をすべて使ったのだから、重なりも落ちもない
すると、以下の結論が得られる
［0,1］の閉区間に存在する有理数の個数と［1,∞］の閉区間に存在する有理数の個数は等しい …②
よって①と②は矛盾する
どちらかが間違っている、とすれば、「循環小数ならば分数であり、分数ならば循環小数である」という要請と矛盾する
要は「有理数はまんべんなく存在する」のか「0～1の間だけめっちゃ濃く詰まってる」のか、という話 , - ― - 、
/ - - ヽ ふーん、それで？
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(( （" ）,～.。" ） )) ﾊﾞﾘｯ
｀> ゜ < ﾎﾞﾘｯ
／ ｀ヽ
（ ￣￣￣ヽ ヽ
｀ーＴ￣|'`'`'`'`'`'`７|
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| | Ｔ´
| ム========ゝ >>1
そういうのは、誰でも一度は考えるもんだよ。
だが普通は一瞬で答えに到達するんだ。
同じものが無限にあるなら、それは一種類と数えるんだよ。
そして一種類というのは、数学ではひとつ存在すると表現するのだよ。
わかる？ ジョンホプキンスの先生と話したことある。証明（問題に対するアプローチ）で数学のある程度の素養はわかるらしい >>1
つまり 1-1≠2-2 と言いたいわけか？ 自然数において0≦x≦0を満たすxが一つしかないことを証明する
ペアノの公理を使う
定義 すべての自然数a,bについて
1. a≦b⇔(a<bまたはa=b)
2. a<s(a)
3. a<bならばa<s(b)
4. a-0=a
5. s(a)-s(b)=a-b
0≦x≦0⇔(x≦0かつx≧0)
よってx≦0とx≧0のどちらかについてxが一つしかないことを証明すれば十分
x≦0⇔(x<0またはx=0)
・0=0(自明)
証明 0<nかつn=0であるような自然数nは存在しない
定義2よりx=s(a)であるようなaが存在する。ゆえにx≠0
こうだっけ？ F:={A⊂R|x∈A を満たす有理数xは無限に存在する}とおく
任意のε＞0に対して、(-ε,ε)∈Fより、
∩{ε＞0}(-ε,ε)={0}∈F
よって0≦x≦0を満たす有理数xは無限に存在する
結局、ルーベク測度の概念だろ。
明らかに、無限の集合の主観的な大きさの比較ができないことに
枠を示したわけじゃないかな。
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