くだらねぇ問題はここへ書け
[問1]周長1の円の面積と、周長1のn角形の面積との差のうち最小の値をV_2(n)とするとき、数列{n^2・V_2(n)}は収束するか。収束する場合は極限値を示せ
[問2]表面積1の球の体積と、表面積1のn多面体の体積との差のうち最小の値をV_3(n)とするとき、数列{n・V_3(n)}は収束するか。収束する場合は極限値を示せ 夕食のオカズがイカ、マグロ、サンマのうちどれか1品である。
それぞれの確率が 1/4、 1/4、 1/2 であるとする。
調理法としては、「イカは焼くかナマかの確率が 1/2 ずつ」
「マグロは必ずナマ」「サンマは必ず焼く」ということが分っている。
いま、帰宅時に家から煙があがっているのが見えたとき
今日のオカズがイカである確率はどれだけか? …
焼いてるのがハッキリしているのだから
1/2でイカかサンマだ
イカは1/2で焼かれるので
1/4でイカだ (1/4)*(1/2)/{(1/4)*(1/2)+(1/2)*(1)}=1/(1+4)=1/5 >>426
問1→周長1の円の面積=1/(4π), 周長1の正n角形=1/(4n tan(π/n)) より
V_2(n)=1/(4π)-1/(4n tan(π/n)) とすると
このとき、lim{n→∞} n^2×V_2(n) = π/12
問2→表面積1の球の体積=1/(6√π)
表面積1のn多面体の体積:厳密ではないが、面積の等しいn枚の正6角形で構成されたとして近似すると
(1/6)√(((sin(π(1+1/n)/3))^3/sin(π/n)-1)/(n(sin(π/3))^3)) を得る
このとき、lim{n→∞} n×V_3(n) = ((√π)/6)(4(cos(π/6))^2-cos(2π/6))/sin(2π/6) = (5/108)√(3π) 近所のお店でやってる1000円の買い物で1回数字を引ける
ビンゴイベントの確率について教えてください。
1から16の数字がランダムに記入された4×4のビンゴカードがある。
1から16の数字を箱からランダムに引き、タテ・ヨコ・ナナメいずれか4つの数字が揃うと景品が得られる。
一度引いた数字は次の数字を引く前に箱に戻すものとする。
ダブルトリプルでのビンゴの場合はそれぞれ景品は2つ、3つ得られる。
景品を得られても続きから数字を引くことは可能。
カードのリセットは自由なのですが、どのタイミングで
カードをリセットすると最も多くの景品を得られますか。 >>433
1-3×1/20-6×7/160-3×3/32=49/160 >>433
別解
△ABCの重心から各辺(AB,BC,CA)の中点および各頂点(A,B,C)まで線分を引くと、それらの各々7/10,7/16の距離に六角形の頂点が位置する
面積比はこれらの積で49/160となる すみませんが、皆様お知恵をお貸しください。
小学1年の息子の宿題プリントの問題なのですが…
『バスに おきゃくが 15にん のっていました。つぎの バスていで
7にん おりました。バスの なかは なんにんになりましたか。』
算数だったら 15−7=8 でしょうけど…
なぞなぞだったら (15−7)+1(運転手)=9
どちらの答えが求められているのかが判らないんです
ちなみに息子は、15−7=8と回答してましたが… >>436
うんてんしゅがいるから9にんです
と、理由つきで答えた場合、それを正解にしてくれる度量の広い先生だといいなあと切に思う次第。 >>436
乗務員もカウントするなら
運転手だけとは限らないから
後者の解答は△だろう
バスガイドや、交代要員の運転手が乗ってるような場合はどうなのかとか
そもそも、バスの客とは言っておらず
接待旅行で、持ち上げる側の社員も乗ってるかもしれないし
運転手だけを数えるのは片手落ちだろう >>436
おまえ、なぞなぞが科目にある珍しい学校にでも子供を通わせてるのか?
そもそも何科の宿題なのか確かめるのが先だろ
それとも算数の宿題でなぞなぞ出すような担任か? 別所でしょうもないと言われたので。
高校数学までを範囲と想定した問題
nを自然数とする。数列{a_n}及びa_0を a_0 = 1 , a_n = a_n-1 +3-(-1)^n と、また数列{p_n}を、素数を小さい方から順に並べた数列と定める。
(1) a_n の一般項を1つの式で表せ。
(2) b_n = a_n / p_n と定める。lim[n→∞] b_1 * b_2 * b_3 * ... * b_n-1 * b_n の収束・発散を調べ、収束する場合はその値を求めよ。 前>>417
>>436ワンマンバスの場合、
15-7+1=9
9人
自動運転の場合、
15-7=8
8人 100gの重りがn個と、100gでない重り(100gより重いか軽いかは分からない)が1個ある。
天秤を2回だけ使って、100gでない重りを確実には見つけられないようなnのうち、
最小のものを求めよ。 きのうVIPに貼られてた問題
√(1+√(2+√(3+√(…)))) を求めよ。
おそらく解析的には解けない
似たような式として、黄金比の値 φ について
φ=(1+√5)/2=√(1+√(1+√(1+√(…))))
また、Wikipediaにあるラマヌジャン発見の式
3=√(1+2√(1+3√(1+4√(…))))
を変形すると
3=√((1!)^2+√((2!)^2+√((3!)^2+√(…))))
元のスレでは誰かが =e と予想していたが
誰も計算せずスレが落ちた >>449
Nested Radical Constant
√{1 + √{2 + √{3 + ・・・・ + √n}・・・} ≒ 1.75793275661800 - exp(6.15 - 2.16n), >>446
φ = √(1+φ)
は
φφ = 1 + φ,
で簡単に解ける くだらない質問です
ジョーカーを入れたトランプ54枚
これをシャッフルしたとき同じ数字が二枚以上連続する確率は?
これ実際やるとほぼ100%で何かしらが連続するので
ずっと気になってました。
分かる方よろしくお願い申し上げ >>455
さて、これは面倒な問題。
基本的な計算方法はわかるが、実際に計算しようとすると場合わけが複雑になるパターン。
計算機を使った方が良い。
定式化:C[1]からC[54]までに1から13までの数字を4つずつと、14から15までの数字を1つずつ(ジョーカー2枚に相当)とを、無作為に振り分けるとき、
1≦i≦53のいずれかのiで、C[i]=C[i+1]となる確率はいくつか? 返答ありがとうございます!
お答えいただいても頭が??ですw >>456
さて、求める確率は
p = P(∃i C[i]=C[i+1]) なのだが、
手始めに i をどこか1か所に固定してしまって、
P(C[1]=C[2]) のようなものを考えた場合、これは簡単に求まる。
C[1] が1から13までの数字のいずれかである場合、C[2] は、残り53通りの可能性のうち、3通りで C[1] と等しくなるので、
P(C[1]=C[2]) = (52/54) * (3/53) = 26/477
この条件は、すべての 1≦i≦53 において同様なので、
P(C[i]=C[i+1]) = (52/54) * (3/53) = 26/477
1≦i≦53のいずれかのiで、C[i]=C[i+1]となる確率を求めたいので、これらの和を取ると…
Σ[1≦i≦53] P(C[i]=C[i+1]) = 53 * (52/54) * (3/53) = 26/9 となり、1より大きくなる
この和が1を超えてしまうのは、異なる i1 と i2 で P(C[i1]=C[i1+1]) と P(C[i2]=C[i2+1]) の両方に
「C[i1]=C[i1+1] かつ C[i2]=C[i2+1]」の場合を含んでしまっているからであって、そのような重複したケースの確率を差し引く必要がある。
Σ[1≦i1≦53] P(C[i1]=C[i1+1]) - Σ[1≦i1<i2≦53] P(C[i1]=C[i1+1] かつ C[i2]=C[i2+1])
このようにすると、さらに「C[i1]=C[i1+1] かつ C[i2]=C[i2+1] かつ C[i3]=C[i3+1]」の場合を過剰に差し引いてしまうので、これらは加算する必要がある。
これらを繰り返すと、結局確率 p は、
p = P(1≦∃i≦53 C[i]=C[i+1]) = Σ[m=1..53] (-1)^(m-1) * Σ[1≦i_1<..<i_m≦53] P(∧[k=1..m] C[i_k]=C[i_k+1])
のような式で求めることができる。 >>458
P(∧[k=1..m] C[i_k]=C[i_k+1]) の求め方について、
m=1 の場合は先に述べた通り、
P(∧[k=1..1] C[i_k]=C[i_k+1]) = P(C[i_k]=C[i_k+1]) = 26/477
Σ[1≦i_1≦53] P(∧[k=1..1] C[i_k]=C[i_k+1]) = 53C1 * 26/477 = 26/9
m=2 については、P(C[i1]=C[i1+1] ∧ C[i2]=C[i2+1]) となるが、まず、i1+1=i2 と i1+1<i2 の場合に分けて、
P(i1+1=i2 ∧ C[i1]=C[i1+1] ∧ C[i2]=C[i2+1]) = P(C[i1]=C[i1+1]=C[i1+2]) = (52/54) * (3/53) * (2/52) = 1/477
i1+1<i2 の場合をさらに C[i1]=C[i2] と C[i1]≠C[i2] の場合に分けて、
P(i1+1<i2 ∧ C[i1]=C[i2] ∧ C[i1]=C[i1+1] ∧ C[i2]=C[i2+1]) = P(i1+1<i2 ∧ C[i1]=C[i1+1]=C[i2]=C[i2+1]) = (52/54) * (3/53) * (2/52) * (1/51) = 1/24327
P(i1+1<i2 ∧ C[i1]≠C[i2] ∧ C[i1]=C[i1+1] ∧ C[i2]=C[i2+1]) = P(i1+1<i2 ∧ C[i1]=C[i1+1]≠C[i2]=C[i2+1]) = (52/54) * (3/53) * (48/52) * (3/51) = 8/2703
よって、これらの総和を取ると、
Σ[1≦i_1<i_2≦53] P(∧[k=1..2] C[i_k]=C[i_k+1]) = (52C1 * 1/477 + 52C2 * 1/24327 + 52C2 * 8/2703) = 650/159
m=3 について…(つづく) >>459
ここから先は複雑なので計算機を使うのですが、得られた式は
1から13までの各数字nに対して、ワンペア(C[i1]=C[i1+1]=n)の件数を K1, ツーペア(C[i1]=C[i1+1]=C[i2]=C[i2+1])の件数をK2
スリーカード(C[i1]=C[i1+1]=C[i1+2]=n)の件数を K3, フォーカード(C[i1]=C[i1+1]=C[i1+2]=C[i1+3]=n)の件数をK4としたとき、
求める確率=Σ[1≦K1+K2+K3+K4≦13] (P(13,K1+K2+K3+K4) * (-12)^K1 * 12^K2 * 24^K3 * (-24)^K4) / (P(54,K1+2*K2+2*K3+3*K4) * K1! * K2! * K3! * K4!)
= 94.9003848140933…% (191135009168054682358110966461550615319823/201405936912143954711242007104140005859375)
(P(m,n)=m!/(m-n)!) ひぇ〜
なんかとんでもないことを軽々しく聞いてしまって申し訳ないけど、
積年の謎が溶けて嬉しい限りです
ありがとうー! 乱数で1億回シャッフルしてみたら約94.90%と出た
数字はだいたい合ってそう ランダムかつ概算(になっているかもよくわかってないけど)で。
一枚のカード(ジョーカー以外)に注目して、次のカードが同じ数字である確率は、50/53。
ジョーカーが連続になるのはレアだから無視。ジョーカーが最後になるのもレアだから無視ということにすると、
最後以外の51枚の数字のカードには次のカードがあるから、51枚のカードで上記が成り立つためには、(50/53)^(51)
というわけで、少なくともどこかで2枚が並ぶ確率は
1-(50/53)^(51)=0.948785... くらい。
いい線いってる? ジョーカーを入れるとか軽はずみでめんどくさいことを言ってすいません……
ないほうがいいですよね?w >>463
1枚のカードに着目して、それがジョーカー以外であり、かつ、次が同じ数字である確率は、(52/54)×(3/53)。
これをもとに概算すると1-(1-(52/54)×(3/53))^53=94.87…% >>464
ジョーカーの有無は式の中の定数が少し変わるだけなのであまり難しさに影響しなさそうよ
ジョーカーがない場合(52枚)の確率=
Σ[1≦K1+K2+K3+K4≦13] (-P(13,K1+K2+K3+K4) * (-12)^K1 * 12^K2 * 24^K3 * (-24)^K4) / (P(52,K1+2*K2+2*K3+3*K4) * K1! * K2! * K3! * K4!)
= 95.45…% 乱数で 10^10 回試行したところ 94.9003…% まで数値が一致
かかった時間5h弱 3615
かずきち@dy_dt_dt_dx 8月28日
学コン8月号Sコース1等賞1位とれました!
マジで嬉しいです!
来月からも理系に負けず頑張りたいと思います!
https://twitter.com/dy_dt_dt_dx
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account) 証明問題
「5個の整数が与えられている。
その中の3個を上手く選べば、その和が3の倍数になる。」 1回3.6%で激レアが出るガチャを10回回した確率って
36%なのでしょうか?
それとも1-(0.964*0.964*0.964)(略 1引く0.964を10回電卓にかけた数の%なのでしょうか?
教えてください。 >>470
> それとも0.964*0.964*0.964(略 0.964を10回電卓にかけた数なのでしょうか?
1-「1回も出ない確率」だからこれであっている
> 36%なのでしょうか?
出る枚数の期待値は0.36枚になる >>471
回答ありがとうございます。
一枚でる確率だったので1-「1回も出ない確率なんですね。
助かりました。 1枚出る確率はそうじゃないぞ
「1-『1回も出ない確率』」で求まるのは1枚以上出る確率
2枚、3枚出る確率も含まれてる >>473
そうなんですね、ありがとうございました。 ある数(a_o)のp乗から0以外の数(y)を引きます。
その結果に −a_o を掛ける一方で、yとpで割ります。
そして、その結果をa_oに加えます。つまり、次式の演算を行います。
{a_o^(p)−y}×(−a_o)/(yp)+a_o
この結果(a_1)をa_oの代わりに用いてこの演算を再び行います。
そして、a_1,a_2,a_3,…と繰り返すと、
やがてyのp乗根(正又は負の実根)の極めて精密な近似値となります。
ただし指数(p)が奇数のときは、a_oの正負をyの正負と一致させ、
かつ絶対値が次式の範囲内に存在する必要があります。(偶数のときにはもっと広くとり得る。正負は不問)
0<|a_o|<[p]√{|y|×(p+1)} ([p]√kは、kのp乗根)
長くなりましたので、次のレスで収束速度と精度について補足します。
長文失礼しました。 >>475の続き
ほとんどのケースでニュートン法と同じくらいの演算回数で算出されます。
ただし、初期値の絶対値が>>475の第二式の下限又は上限に近いときは、
本方法の方が多くなりやすいようです。
しかし、下限よりある程度大きく真の値より小さいときなどには、
逆に、少なくなりやすいようです。(特に指数が大きいとき)
精度も極めて良いです。(以下、普通の電卓を用います)
指数がよほど大きくない限り、電卓のケタ数と同数のケタ数において、例えば12ケタの電卓であれば、
上位12ケタ(限度内の全ケタ)の数字が全て一致するか、
上位12ケタ目(限度内で末位)の数字のみが(限度内では)1異なります。(2と1.999…9のような境目のケースも含む)
まず精度を確かめたければ、電卓のケタ数の半数以上、
つまり上位6ケタ以上の数字が真の値と一致する近似値をa_nとして
>>475の演算を一回もしくは二回行えばよいでしょう(指数がよほど大きくない限り)。
長文失礼しました。 x>0 とするとき
(x^2020 -x^2 +4)/(x^6 +2) の最小値を求めよ。 2014x^2024 +4040x^2018 +4x^6 -24x^4 -4 = 0,
の実根は
x。 = ±0.9972618331127334631938246515195619175923
(x^2020 -x^2 +4)/(x^6 +2) ≧ 1.008619375112916534599176779154067780593 (x^2020 -x^2 +3)/(x^6 +2) の最小値を求めよ。 2014x^2024 +4040x^2018 +4x^6 -18x^4 -4 = 0,
の実根は
x。 = ±0.997120078481544
(x^2020 -x^2 +3)/(x^6 +2) ≧ 0.67341826074836 >>469
3で割ったときの余り (0,1,2) に着目する。
同じものが3個以上あるときは、その3個を選ぶ。
どれも2個以下のときは、0,1,2をすべて含むから、1個づつ選ぶ。 以下、単なる表現練習
命題
半径が1である球に対して、球の中心を通るような平面で切ると断面は半径が1の円にな
る。この円周上に、正n角形となるように、円周に点を取ることにする。この方法をn回く
りかえして球を切り、それぞれの円周上に、正n角形ができるようにn個の点ととったとき、
円に存在する正多角形の対角線と辺の長さの平方和をすべて合計すると、nの3乗になる。
証明
半径1の円に内接する正n角形の辺および対角線の長さの平方和がnの二乗で表されるこ
とがしられている(参考資料参照)。これは、半径が1である球に存在するn個の円のそれ
ぞれに対して成り立つので、これにnをかけたものが、球の切断面に存在する正n角形の対
角線と辺の長さの平方和になる。
参考資料
堀部和経、林一雄、早苗史『数学の課題研究 テーマ選びのヒント・・第一集』pp.20-23 命題
半径1の球に対し、任意の平面で切る。その平面と球の中心との距離は
√{1^2−(x/2)^2} である
証明
二等辺三角形を考えればわかる。底面をx(0以上2未満)とすると、その高さは
√{1^2−(x/2)^2} となるが、これが平面と球の中心との距離である。
これは球を中心を通る平面できったときにも成立する 所要時間の距離化
距離の定義
d(A、B)は任意の実数を示すものとする
次の三条件を満たすものがAとBの距離である
1 d(A,B)は0以上であり、d(A,B)が0になるのはAとBが等しいときである
2 d(A、B)=d(B,A)
3 d(A,C)≦d(A,B)+d(B、C)
A=神戸駅、B=大阪駅、C=京都駅とし、d(A、B)を神戸駅と大阪駅を移動する間に
かかる時間とする。すると、所要時間を距離として計算できる。
参考資料
堀部和経、林一雄、早苗史『数学の課題研究 テーマ選びのヒント・・第一集』p.52 表現練習
長文失礼
数学の証明について、正しい知識を伝えましょう
問題提起
新井(2009)は数学の証明について以下のように述べている。
数学の対象領域は、(証明なしに正しいと了解できるような)最小限の命題群からなる公理
系によって定義づけられていなければならない。公理系に含まれる公理と論理のみによっ
て正しいことが示された命題を定理とよぶ。また、定理であることを示す過程を証明とよぶ。
数理論理学の専門家がこのようなことを書いているのは、数学を専門としない一般の人を
読者に想定したからかもしれないが、このような認識は多くの人が数学の証明について抱
いている考えであるように思われる。
数学の証明について、高等学校の数学までしか勉強しなかったとしたら、この認識に何の疑
問も抱かないのは当然のことと思われるが、事実はこれとは異なるので、せめて、理数系に
すすむ高校生などには、もう少し正確な理解をえるように正確に知識を伝えたほうがいい
のではないだろうか。 数学の特定の体系
数学の特定の体系とは、基本的に、論理公理+等号の公理+特定の公理系+推論規則と、
そこから推論によってみちびかれる定理のことである。
ユークリッド幾何学もこれに沿ったものと考えられるが、その公理系は現実世界をモデル
としたものであり、現在の公理系とは異なっている。現在の公理系は、このような特定の
モデルを想定することはないのだ。
ユークリッド幾何学の議論は、新井が述べているような、「証明なしに正しいと了解でき
るような」公理から出発するが、現在の公理系ではこれは問題にはされない。真偽が問題
にされるのは、それに対するモデルを考えるときである。
結論
数学の証明について研究が進んだ結果、現代人は証明について古代ギリシャ人たちとはこ
となる認識をもつにいたった。これを知らなければ生死にかかわるとか、そういったこと
はないが、すくなくとも理系にすすむ人たちには、教養、あるいは理系の常識として、正
確な情報をもっと広く伝えるようにしたほうがいいんじゃないだろうか。
引用文献
新井紀子(2009)『数学は言葉』東京図書 p.184
参考文献
小島寛之(2017)『証明と論理に強くなる』技術評論社
野崎昭弘(2008)『不完全性定理』筑摩書房 pp. 147-204 >>478
下限1
x^2020 - xx - x^2018 +1 = (xx -1)(x^2018 -1) ≧ 0,
x^2018 - x^6 - x^2012 +1 = (x^6 -1)(x^2012 -1) ≧ 0,
より
x^2020 - xx +4 ≧ x^2018 +3 ≧ x^2012 + x^6 +2 > x^6 +2, 最高に美しいおっぱいにそっくりな曲面の方程式を作れ >>475 >>476
f(x) = 1 - η/(x^p) (ηは定数)
に対してニュートン法を使ったのですね。その場合は
x' - η^(1/p) ≒ -((p+1)/2)・η^(-1/p)・{x-η^(1/p)}^2,
なので2乗収束です。
f(x) = (x^p -η)/x^{(p-1)/2},
に対してニュートン法を使えば
x ' - η^(1/p) ≒ ((pp-1)/12)・η^(-2/p)・{x - η^(1/p)}^3,
で3乗収束になり、速度が改善します。 後者では f "(η^(1/p)) = 0
つまり x=η^(1/p) が変曲点となるので、
直線近似が効果的になるらしい。。。 〔問題〕
a,b,n,p が非負実数のとき
|na - pb| ≧ (n-p)(a-b).
[不等式スレ10.362] >>492
右辺は絶対値ではありません。念のため。
例: p=a ≠ n=b 前スレが分からねぇ
ここ迄が限界
くだらねぇ問題はここへ書け ver3.14(67桁略)4062
http://uni.5ch.net/test/read.cgi/math/1319117617/ >>478
x≧1 に限れば
x^2020 -x^2 +4 ≧ x^10 -x^2 +4
≧ x^8 + 3
= (4/3){(x^8+x^8+x^8+1)/4 + 2}
≧ (4/3)(x^6 +2),
>>480
x≧1 に限れば
x^2020 -x^2 +3 ≧ x^8 -x^2 +3
≧ x^6 +2, 激しくガイシュツ問題の魚拓が見付かったんで此処に挙げさせて頂く。
飽く迄も魚拓なんで別途正規に保管して頂きたし。
激しくガイシュツ問題
https://web.archive.org/web/20181107033930/http://www.geocities.co.jp/CollegeLife-Club/7442/math/index.html >>446
ラマヌジャン発見の式を変形すると
k+1 = √[1 + k√{1 + (k+1)√(1+・・・・・・・)}],
かな? 原油がマイナスの価格がついて話題になっていますが
複素数の価格はあるんですか? 赤玉i個、黄玉j個、青玉k個を2人で分ける。
i_1 + i_2 = i,
j_1 + j_2 = j
k_1 + k_2 = k,
(i,j,k)が
i+j+k = 偶数,
|i-j| ≦ k ≦ i+j,
の条件を満たすとき、
{i_1, j_1, k_1} = {i_2, j_2, k_2} ←集合として同じ
とすることができるか?
(色違いは許して同数) 500げとー
〔問題〕
a>b>c>0 のとき、次式をヴィジュアルに示せ。
(1) (a+b)(aa-ab+bb) = a^3 + b^3,
(2) (1/2){(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2} = aa+bb+cc -ab-bc-ca,
(3) aa(b-c) + bb(c-a) + cc(a-b) = - (a-b)(b-c)(c-a),
(4) a^3 +b^3 +c^3 -3abc = (a+b+c)(aa+bb+cc -ab-bc-ca),
(5) (a+b+c)(ab+bc+ca) -abc = (a+b)(b+c)(c+a),
(6) (a+b+c)^3 -a^3 -b^3 -c^3 = 3(a+b)(b+c)(c+a),
http://suseum.jp/gq/question/3146
[面白スレ32.064,067]
百聞は一見に如かず(?) >>499
i_1 = j_2 =(i+j-k)/2,
j_1 = k_2 =(-i+j+k)/2,
k_1 = i_2 =(i-j+k)/2,
など。(Ravi変換?) まだ早いが次スレのナンバリングどうする?
円周率桁追いに戻す?その場合は ver3.14(69桁略)6286 になる。
それとも標準にする?その場合は part76 になる。
>>494
くだらねぇ問題はここへ書け ver3.14(68桁略)0628
を冠するスレは不在、よって復活後初の当スレが該当、前スレは
くだらねぇ問題はここへ書け ver3.14(67桁略)4062 そうけ、了解
過去スレ添付は復活前最終とこの現行を貼っときゃいーな
更にその後のスレはそのスレの前スレだけ貼っときゃ、まんずまんずだんべ [例9-3]
次の不等式をみたす整数a,b,cで、どれか1つは0でなく、
かつどの絶対値も100万を超えないものが存在することを示せ。
|a + b√2 + c√3|< 10^(-12),
(参考)
秋山 仁 + ピーター・フランクル 共著:
[完全攻略]数学オリンピック, p.47-48, 日本評論社 (1991/Nov)
注)鳩ノ巣原理では解けません。 >>505
[1文字変えたら難易度が激変する問題スレ3.173-175]
[不等式スレ10.433,438,439] 〔問題4〕
4444^4444 を10進表示して、その各桁に現れる数の和をAとする。
Aの各桁に現れる数の和をBとする。
Bの各桁に現れる数の和をCとする。
Cを求めよ。
IMO-1975 (ブルガリア大会) N=4444^4444 とする。このとき
log(N) = 4444 log(4444) = 16210.707879
であるから、Nが10進法で書かれているとき、Nの桁数は 16211 である。
また、Nの各桁に現れる数は9以下であるから、
A ≦ 16211×9 = 145899
となる。
同様の方法で、Aは多くとも6桁であるから、Aの桁に現れる数の和は54
(=6×9)以下ということになり、B≦54 である。
54以下の正整数で、各桁に現れる数の和が最大になるのは49であり、その
値は13である。よって C≦13 である。
一方、この解答の鍵は次の事実を使うことである。 A=72601
これより
B = 7+2+6+0+1 = 16,
C = 1+6 = 7,
「[完全攻略]数学オリンピック」(1991) p.70-71 飯を食っているときに思いついた問題
私は食事にご飯かパンを食べるがどちらを食べるかは次のルールで決めている。
ご飯を食べた後にサイコロを振り1〜5が出たら次もご飯を食べる。
パンを食べた後にサイコロを振り1〜2が出たら次もパンを食べる。
私は生涯のうちでご飯をどの割合で食べているか期待値を求めよ。 https://twitter.com/KEUMAYA/status/1279219657015062528
これ投票率が100%になったとしても得票の割合的は変わらない印象なのですが
どういった原理で無投票の人間が結果をひっくり返すんですか?
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account) >>505
a=96051, b=-616920, c=448258 のとき
a + b√2 + c√3 = 3.352882344113・・・×10^(-13) >>510
仮に無投票の人の半分が与党じゃない特定の政党に入れたとしたら、全体の25%くらいになる。
与党は全体の24%くらいだったらしいから、これで逆転できる。
実際はもともと投票してる人たちの何%かはその政党に入れてるからもうちょっと少なくてもいい。
とはいえ2000万人以上の人間を動かすのが簡単とはとても思えない。 2題あるんだが…1題目。
もう5-6年ほども前な。近所の私立の学園で中等部なんだろうな、バス遠足に行くらしい。金持ちの子が多いからそりゃもう豪華なリムジンバスなのよ。
リムジンバスって普通は客席数40くらい。2人がけ席1つを1列として2列(セル数だと4セル)で、長辺の席数が10行くらいかな。
ただ最近は1クラスって人数少ないのね。しかも私立だし。
で、奇数行は荷物、偶数行にガキが乗ってた。実質ガキは5行×4セルしか乗ってない1クラスで20人クラスなのか。
この人数なら2台じゃなくて2クラスを1台に詰め込んでもイケるじゃんね。
ただ、そこで「ん?」と思ったのは2台で各20人と1台に40人詰め込むのと、交通事故にあう確率は同じか、違うか?どちらが安全と言えるか?これが気になる。
ここでバスは2台とも新品、運転手の技量も同等と仮定した場合、何をパラメータにしてどう考えればええんや?
分数の割り算のリクツを甥っ子に説明できない俺のレベルを前提にΣとかの記号より文字数多めで説明してくれ。 2題目。
少子化だな。で、マッマ(以下マ)は12歳で初経が来て閉経が51歳とする。
2歳年上のパッパ(以下パ)は14歳で精通して53歳の今でも出るには出るとする。
計算しやすく、この40年間に限ることとする。
マは健康優良児で月一で順調にタマゴ(以下タ)を生産し、生涯で40*12=480個を生産した。
パは中坊の毎日猿状態を経てその年齢に応じた数のオタマジャクシ(以下オ)を無駄打ちマックしまくった。
参考になる統計が見つからないので、畑、タ、オはいずれも40年間を通じて健康度や数量が一定で妥当っぽい数(特にオの統計が見つからん)の具体的数値を提示して何か代入してくれな。
さて、マパの間には一粒種の中二病反抗期男子がいて荒れている。
ガキ「俺なんかどうせ負け組なんだよっ!」
マ「何言ってんのよ。あんたは生まれた時点で勝ち組なのよ!(以下説明)という計算なんだから、なんとあんたがこの世に出てこられた確率はX分のYなんだからねっ!」
ガキ「ぐぬぬ…」
生産可能期間を40年間と仮定して、
イ:それぞれの要素の妥当っぽい前提条件の値を全て列挙して示せ。
ロ:採用した各前提条件の値による計算式や考え方を示せ。
ハ:最終的な計算結果、X分のYを示せ。
但し、分数の割り算のリクツを説明できない中二病反抗期のガキにわかるようなレベルの説明方法で回答すること。 〔問題〕
2021^2021 を10進表示して、その各桁に現れる数の和をAとする。
Aの各桁に現れる数の和をBとする。
Bの各桁に現れる数の和をCとする。
Cを求めよ。 N = 2021^2021
= 35442113・・・・・274406421 (6681桁)
Nの各桁の数の和 A = 30251,
Aの各桁の数の和 B = 11,
Bの各桁の数の和 C = 2. 〔出題1〕
(x+3y)(x-3y) = xx - 9yy = 8^3,
のとき
(x + 8(x+3y)^{1/3} + 8(x-3y)^{1/3})^2
= 48 [3(128+yy)^2 - 128^2 + xy^3]^{1/3}
+ 48 [3(128+yy)^2 - 128^2 - xy^3]^{1/3}
+ xx + 1024,
を示せ。
[代数学総合スレ.377-378] (略証)
p = (x+3y)^{1/3},
q = (x-3y)^{1/3},
とおくと
pq = (xx-9yy)^{1/3} = 8,
(左辺) = (x+8p+8q)^2
= xx + 16(p+q)x + 64(p+q)^2
= 16(px+4qq) + 16(qx+4pp) + xx + 128pq
= 16p{x +(1/2)q^3} +16q{x +(1/2)p^3} + xx+1024
= 48p(x-y)/2 + 48q(x+y)/2 + xx + 1024
= 48 [3(128+yy)^2 - 128^2 + xy^3]^{1/3}
+ 48 [3(128+yy)^2 - 128^2 - xy^3]^{1/3}
+ xx + 1024,
[代数学総合スレ6.377-378] 市況2板から来たFXトレーダーです。
以下の条件をもとに、トレード回数分実施後の資金を算出する計算式を教えて下さい。
・初期資金
・勝率
・勝ったときの利益率
・負けたときの損失率
・トレード回数
※勝ったときは、増えた資金も含めて次回トレード(例えば1.0万円から1.2万円に増えたら、次は1.2万円でトレード)
負けたときは、減った資金を含めずに次回トレード(例えば1.0万円から0.8万円に減っても、次も1.0万円でトレード)
※破産(資金が0になるケース)は考慮しなくてもよいです。 〔出題2〕
(1)
A = √(N+1) + √(N - 1/2) + √(N - 1/2),
B = √(N-1) + √(N + 1/2) + √(N + 1/2),
とおくとき
3√N > A > B
を示せ。 (左側)
(二乗平均) > (相加平均) で。
(右側)
A - B = {√(N+1) - √(N-1)} - 2{√(N+1/2) - √(N-1/2)}
= 2/{√(N+1) + √(N-1)} -2/{√(N+1/2) + √(N-1/2)}
> 0,
〔補題1〕
√(N+1/2) + √(N-1/2) > √(N+1) + √(N-1),
(略証)
g(x) = √(N+x) は上に凸(g " <0)だから
√(N+1/2) > (3/4)√(N+1) + (1/4)√(N-1),
√(N-1/2) > (1/4)√(N+1) + (3/4)√(N+1),
辺々たす。
または
{√(N+1/2) + √(N-1/2)}^2 - {√(N+1) + √(N-1)}^2
= 2{N + √(NN -1/4)} - 2{N + √(NN-1)}
= 2{√(NN -1/4) - √(NN-1)} > 0, (右側)
g(x) = √(N+x) とおくと
A - B = {g(1) + 2g(-1/2)} - {2g(1/2) + g(-1)}
= (1/4) g '''(r) (補題2)
= (3/32)(N+r)^{-5/2}
> 0,
〔補題2〕
g(x) は(-1,1) において3回微分可能 とする。然らば
g(1) - 2g(1/2) + 2g(-1/2) - g(-1) = (1/4)g'''(r), -1<r<1
なるrが存在する。
(平均値の定理を3回使う) 〔出題2〕
(2)
√2 + √z ≒ y
となる自然数 y,z を見つけよ。
---------------------------------
xx - 2yy = -1 ならば
(xx +5 -4x)/2 = yy + 2 - (2√2)y - 2(x-y√2)
= (y-√2)^2 + 2/(x+y√2),
∴ √2 + √{(xx +5 -4x)/2} = y + 1/{(x+y√2)(y-√2)} + … ≒ y,
xx - 2yy = 1 ならば
(xx +3 -4x)/2 = yy + 2 - (2√2)y - 2(x-y√2)
= (y-√2)^2 - 2/(x+y√2),
∴ √2 + √{(xx +3 -4x)/2} = y - 1/{(x+y√2)(y-√2)} + … ≒ y,
例)
x = ((1+√2)^n + (1-√2)^n)/2,
y = ((1+√2)^n - (1-√2)^n)/(2√2),
は「ペル方程式」
xx - 2yy = (-1)^n
をみたす。 ・xx-2yy = ±1 とする。
z = yy -2x +2
= (y-√2)^2 - 2(x-y√2)
= (y-√2)^2 干 2/(x+y√2),
とおけば
√2 + √z = y 干 1/{(x+y√2)(y-√2)} + … ≒ y,
| 1/{(x+y√2)(y-√2)} | < 1/{(2√2)(y-√2)^2} → 0 (y→∞)
他にも
z' = xx -4y +2
= (x-√2)^2 + (2√2)(x-y√2)
= (x-√2)^2 ± (2√2)/(x+y√2),
とおけば
√2 + √z' = x ± (√2)/{(x+y√2)(x-√2)} + … ≒ x,
| (√2)/{(x+y√2)(x-√2)} | < 1/{(√2)(x-√2)^2} → 0 (x→∞) >>509
n回目の食事にご飯を食べる確率 a_n, パンをたべる確率を b_n とすると
a_n + b_n = 1,
ご飯を食べて次もご飯を食べる確率をp、パンに変える確率を1-pとする。
パンを食べて次もパンを食べる確率をq、ご飯に変える確率を1-qとする。
(1-p)a_n + (1-q)b_n = c_n, p+q-1 = r
とおくと
c_{n+1} = r・c_n = ・・・・ = r^n・c_1, (-1<r<1)
よって
a_n = (1-q + c_1・r^{n-1})/(1-r),
b_n = (1-p - c_1・r^{n-1})/(1-r),
求める期待値 = (1/N)Σ[n=1,N] a_n
≒ [(1-q)N + c_1/(1-r)]/((1-r)N)
→ (1-q)/(1-r) (N→∞)
= (1-q)/(2-p-q).