くだらねぇ問題はここへ書け
黒板に数字の 1 と数字の 2 が1つずつ書かれている。
2人のプレイヤーが, 交互に次の「」内の操作を行う。
「書かれている2つの数字のうち1つを任意に選ぶ。
選んだ数を a, 選ばなかった数を b とし, a を a+b に書き換える。」
例.
2 と 5 が書かれているときに 2 を選んだ場合, 2 を 7 に書き換える。
書かれている数字は 7 と 5 となる。
先に操作を行うプレイヤーを先手, そうでないプレイヤーを後手と呼ぶ。
先に 100 以上の数字を書いたプレイヤーを勝者とする。
このとき, 次の問いに答えよ。
(1) 勝者が決まった時点で黒板に書かれていた数字が 70 と 101 であったとき, 勝者は先手, 後手のどちらか。
(2) 勝者が決まった時点で黒板に書かれていた数字が n と 100 であったとする。このとき n としてとり得る値は何通りか。(各プレイヤーは最適な戦略をとるとは限らないとする)
この問題、案外と面白い
これどうやって解くのですか？
lim[x→0] sin7x/tan5x
途中計算を詳しくお願いします。 (^^;)
(2)は40通りよね
ありがとう
(2) はその通りです。
本当は先手必勝、後手必勝に関する問題にしたかったんだけど、
なかなか複雑でうまく問題に出来なかった。
ちなみにこのゲームが先手必勝なのか後手必勝なのかは知りません。
このゲームは後手有利なようです
初手は先手がどちらの手を出しても後手は2つの数字の合計が7になるような手とします
2手目は同様に合計が18以下の最大値となる手を、3手目は合計が41以下の最大値、4手目は合計が99以下の最大値になるよう手を選ぶと勝つことができます
分かスレ441 の 79-86 の辺り
m →∞ のとき、 n>1の項は迅速に減衰し、
1/{e^π - e^(-π)｝= 0.043294768765
に収束する。
C_2 π^7 ≒ C_3 π^11
より
π≒（C_2/C_3)^(1/4）=｛(2･3･5･7･11･13^2)/(19･211)}^(1/4）= 3．141345
「先に 100 以上の数字を書いたプレイヤーを勝者とする」のルールを一般化して
「先に N 以上の数字を書いたプレイヤーを勝者とする」(Nは3以上の整数)とする
3から100までを検証したところ、
Nが3,5〜7,11〜17,25〜41,59〜99のときは先手必勝
Nが4,8〜10,18〜24,42〜58,100のときは後手必勝と出ました
法則性もありそうですが、うまくすると証明もできるかもしれません
おおすごい！
確認してみましたが、確かに後手必勝ですね。
>>328の先手必勝の区切りが>>325の戦略に現れる数に似ていたので
試しに>>325の「18以下」を「17以下」に変えたものも考えてみましたが、
これでも後手必勝の戦略になってました。
a_0=a_1=a_2=a_3=a_4=1,
a_{n+5}=a_{n+4}+a_{n+3}+a_{n+2}+a_{n+1}+a_n
を満たすとき
Σ[n=0,∞]a_n/2^n
は収束するか？収束するならその値を求めよ。
プレーヤがコインを1枚ずつ投げ、n回連続して表が出たとき投げるのをやめ
そのプレーヤの投げたコインの枚数を得点とするゲームがある。
このゲームの得点の期待値をnで表せ。
a_n = P_{k+1｝- P_{k-1｝-2P_{k-2｝-3P_{k-3},
ここに P_k は Pentanabbi number
特性方程式 x^5 -x^4 -x^3 -x^2 -x -1 = 0
実根 r = 1.9659482366454853372… (Pentanacci constant)
｜β｜= 0.818788815767 < r
｜γ｜= 0.871047941737 < r
lim［n→∞］a_n / 2^n = 0
lim［n→∞］a_n / r^n = 0.1491215649669…
Σ［n=0，∞］a_n / 2^n = 2（a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + a_4）= 10,
Pentanacci number では
Σ［n=0，∞］P_n / 2^n = 2（0 + 1 + 1 + 2 + 4）= 16,
17以下が戦略になることは確認できました
確かにその通りですね
ただ、7,11の組が先手必勝でないことからもわかるように、単純に合計だけ見てもうまくいかない問題かもしれません
また、>>328のような法則性も、初期パターンによって異なるようで、1,3の組で始めるとゴールNと勝者との間にはっきりとした法則性はないように見えます
もう少し研究が必要そうです
正解
特性多項式/母関数を使わない解法：
a_{n+5}-a_{n+4}-a_{n+3}-a_{n+2}-a_{n+1}-a_n=0 ……(1)
↓(1)式のnをn+1に置き換えた式から(1)式を引く
a_{n+6}-2a_{n+5}+a_n=0
↓1/2^(n+6)倍して b_n=a_n/2^n と置く
b_{n+6}-b_{n+5}=-(1/64)b_n ……(2)
∴{b_n}は単調減少数列で
b_{n+6}<b_{n+5}-(1/64)b_{n+5}=(63/64)b_{n+5}<(63/64)^(n+1) b_5 ……(3)
一方(2)式をn=0からn=mまで足し合わせると
b_{m+6}-b_5=-(1/64)Σ[n=0,m]b_n
↓m→∞とすると(3)式よりb_{m+6}→0
Σ[n=0,m]b_n は 64b_5=2a_5=10 に収束
なにが分けられるの
分かった積り
「mを法とする原始根が存在する ⇒ nを法とする原始根が存在する」
の証明が分かりません。
74: 5,13,15,17,19,35,39,55,57,59,61,69
81: 2,5,11,14,20,23,29,32,38,41,47,50,56,59,65,68,74,77
82: 7,11,13,15,17,19,29,35,47,53,63,65,67,69,71,75
86: 3,5,19,29,33,55,61,63,69,71,73,77
94: 5,11,13,15,19,23,29,31,33,35,39,41,43,45,57,67,69,73,77,85,87,91
98: 3,5,17,33,45,47,59,61,73,75,87,89
プログラムを書いて解いたのでしょうか？
p^n （pは奇素数、nは自然数）を法とする原始根は、φ(φ(p^n)) 個ですが、
2p^n （pは奇素数、nは自然数）を法とする原始根の個数についても、何か公式はあるのですか？
式を立てるとき公式をかけ外してレアな数式で演算するといいよ。
さいころを振って１が出る確率は６分の１。これは、さいころを沢山振れば振るほど、
１が出る割合が６分の１に収束することを意味する。
では、その収束割合（何回振ればどの程度６分の１に近づくか）は、どうやって計算するんでしょう？
私は文系なので、言葉で説明してもらえればありがたいです。
どうぞよろしくお願いします。
数学の内容を計算無しで理解したいというなら、尚更
言葉には敏感でなくてはならないはずです。
用語を雑に使っては、言葉での理解は成立し得ません。
「さいころを沢山振れば振るほど、
１が出る割合が６分の１に収束する」という表現は、
おそらく、何かを誤解した上でのことでしょう。
「さいころを沢山振れば振るほど、
１が出る割合が６分の１に近づく」ことを
「さいころを振る回数が無限大に近づく極限で、
１が出る割合は６分の１に収束する」と言います。
「収束する」という言葉の意味を考えると、
「振れば振るほど、収束する」という表現は
あり得ないです。
「振れば振るほど、近づく」は、曖昧で
観念的な表現ですが、そこを雰囲気でなく正確な内容で
表現しようとすれば、「近づく」近づき方を定量的に
盛り込まざるを得ず、数式や計算を含む説明になります。
「近づく」で納得することにするか、
数学的な表現に踏み込むか、ここから先は
覚悟して選ばなければなりません。
↑これの正否は正しい、で正解ですよね？
間違ってる
3次元ユークリッド空間なら、たぶん、おk
∫(0,∞)sin(kx)/x dx = (k/2)+Σ[n=1,∞]sin(kn)/n
端っこはどうするんや？
∫(0，∞）sin(kx)/x dx = ∫(0，∞) sin(y)/y dy = π/2,
(x/2）+ Σ[n=1，∞］sin(nx)/n = π/2 （0<x<2π）
kを4で割ると1余る正の整数とするとき、以下の等式を証明せよ。
∫(0,∞)((2x)^k)/(e^(2πx)+1) dx = Σ[n=0,∞]((2n+1)^k)/(e^(π(2n+1))+1)
(左辺）= ∫(0,∞) (2x)^k /{e^(2πx) + 1} dx
= ∫(0,∞) (2x)^k Σ[L=1,∞] (-1)^(L-1) exp(-2Lπx) dx
= Σ[L=1,∞］(-1)^(L-1)｛∫(0,∞) (2x)^k exp(-2Lπx) dx}
=（1/2)(1/π)^(k+1)｛∫(0,∞) y^k exp(-y) dy} Σ[L=1,∞］(-1)^(L-1) / L^(k+1)
=（1/2)(1/π)^(k+1) Γ(k+1）（1 - 1/2^k) Σ[L=1,∞］1 / L^(k+1)
=（1/2)(1/π)^(k+1）k!（1 - 1/2^k）ζ(k+1),
>>352
>>355
その種の中学生とかで触れる幾何学(初等幾何学というんでしょうか？)の専門書ってどんなものがありますか？
参考書スレでは非ユークリッド空間とかの発展形の話題ばかりでした
スレ違いなら誘導して下さい
矢野健太郎「幾何の有名な定理」 共立出版（数学ﾜﾝﾎﾟｲﾝﾄ双書36)（1981/Dec) 150p．1512円
D．ヒルベルト「幾何学基礎論」 ちくま学芸文庫（2005/Dec) 242p．1296円
中村幸四郎・訳
寺阪英孝「初等幾何学」 岩波全書159（1952) 182p．絶版
同 第2版（1973) 284p．絶版
多辺形についてのJordanの定理の証明
「ユークリッド原論」追補版 共立出版（2011/May) 574p．6480円
中村・寺阪・伊東・池田（訳）「
岩田至康「幾何学大事典」 槇書店（1971〜）全6巻＋別巻2、高価
図書館の検索端末で探せばあるかも？
小平邦彦「幾何のおもしろさ」 岩波書店（数学入門シリーズ7）(1985/Sep) 330p．1850円
小平邦彦「怠け数学者の記」 岩波現代文庫（社会19）(2000/Aug) 315p．1080円
小平邦彦「ボクは算数しか出来なかった」 岩波現代文庫（社会60）（2002/May）186p．972円
専門バカでないものは唯のバカである。(*)
小平邦彦「幾何への誘い」 岩波現代文庫（学術7）（2009/Oct）228p．1037円
* 筒井康隆「文学部 唯野教授」 岩波現代文庫（文芸1）（2000/Jan）373p．1188円
自然数ｎに関する述語Ｐ（ｎ）で（ａ）（ｂ）が成り立つとする。
（ａ）Ｐ（１）である。
（ｂ）どんな自然数ｋにたいしてもＰ（ｋ）ならＰ（ｋ´）である。
このときどんな自然数ｎにたいしてもＰ（ｎ）が成り立つ。
これは自然数には１つの数列しかないことを宣言しているもの、と考えてよいんだよね？
例えば、１から始まる後続数のループで生まれるものを数列１とする。
公理１から４までだとこの数列１に属さない自然数Ｘの存在を許してしまう。
この自然数Ｘを排除するためのものが公理５。
という解釈でよいのだろうか。
時速って書くなら/hいらないし/h付けるなら時速いらないと思うがどうよ？
コクセターは文庫が出てる
ブロック積みが初等幾何かどうかはしらんが
>>363の質問は取り下げることにする。
>>361 にあるとおり。
「実魔方陣」を以下で定義する：
実魔方陣とは、9つの実数を 3×3 の形に並べたものであって、
各行、各列、各対角線上に並ぶ数の和が全て等しいものとする。
実魔方陣の和、実数倍を行列と同様に定めることにより、
実魔方陣全体の集合は実ベクトル空間をなす。
この実ベクトル空間の次元を求めよ。
３次元
各マスXij(i,j∈{1,2,3})の数からなる９次元の空間に対し、独立な制約条件が６つある為
制約条件の例
X11+X12+X13=X21+X22+X23
X31+X32+X33=X21+X22+X23
X11+X21+X31=X21+X22+X23
X13+X23+X33=X21+X22+X23
X11+X22+X33=X21+X22+X23
X13+X22+X31=X21+X22+X23
正解！
条件が独立だとか十分だとかの証明がほしいところだけど、まあいいか
（簡単に分かる方法があったら教えて下さい）
基底の例
e1=
1,-1,0
-1,0,1
0,1,-1
e2=
0,-1,1
1,0,-1
-1,1,0
e3=
1,1,1
1,1,1
1,1,1
「各行、各列、各対角線上の数の和が 0 になる実魔方陣全体」は 2 次元の部分空間を成し、
e1, e2 で生成される。
・ジャケット（9種）
・ズボン（7種）
・くつ（6種）
○「ジャケット（9種）・ズボン（7種）・くつ（6種）」
これらの、「重複ない組み合わせ」は「何通り」になるでしょうか。
○そして表の作り方も知りたいです。
○また、答えを導き出すための「解法や数式の名称」はなんというのでしょうか。
9･7･6=378(通り)
一年間ですべての組み合わせを着つくせないぐらいあります。
方法は乗法です。
名称は掛け算です。
重複しないの意味が一度履いた靴を二度と履かないだったら、最大で6通りです。
最高次の係数が1であるn次多項式を P(x) とし、
P(x) = 0 のn個の解を α1，α2，…，αn とする。
このとき、α1^3，α2^3，…，αn^3 を解にもつn次多項式で、
最高次の係数が1であるもの A(x) を求めよ。
http://www.toshin.com/concours/mondai/mondai29.php
P(x) = p0(x^3) + p1(x^3) x + p2(x^3) xx,
と表わせる。。。
Q(x) = p0(x^3)^3 + {p1(x^3)x}^3 + {p2(x^3)xx}^3 - 3 p0(x^3) {p1(x^3)x} {p2(x^3)xx}
は P(x) = p0(x^3) + p1(x^3)x + p2(x^3)xx を割り切る。
∴ ある多項式 R(x) が存在して、Q(x) = P(x)R(x) と表わされる。
Q(x) は x^3 の多項式となるから Q(x) = A(x^3) とおける。
A(x) = p0(x)^3 + p1(x)^3･x + p2(x)^3･xx - 3･p0(x)･p1(x)･p2(x)･x,
は 最高次の係数が1の n次多項式である。
また各iに対し、A(αi^3) = Q(αi) = P(αi)R(αi) = 0,
∴ A(x) が求める多項式の1つである。
以下、A(x) 以外にも解が存在すると仮定して矛盾を示そう。
最高次の係数が1であるn次多項式 B(x) も条件をみたすと仮定する。
すると、n-1次以下の多項式 A(x) - B(x) がn個の根 (αi)^3 をもつ。(矛盾)
∴ A(x) が唯一の解である。
700000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000007×11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111の答えの出し方。
https://youtu.be/4UOlX_r8ZcA
9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999×9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999の答えの出し方。
その他の動画もよろしく。最近は、美術２、図工２、数学２の私文修士卒の僕が
電卓、工作、絵を動画にして解説しています。
よろしく。
美術２、英検２級のわいの漫画と説明
機械、数学、物理学も少しだけあります。
そもそも方程式の一意性は “同じものがあったらそれを重解にもつ” ととっていいなら, はなから吟味する必要はない。
たとえばx = 1,1,2を根にもつ最高次が１の三次式は(x-1)^2(x-2)に一意にきまる。
しかし用意されてる模範解答でその吟味してるってことはその意味にとってはいけないのだろう。
となるとx=1,1,2を根にもつ最高次が１の三次式は(x-1)(x-2)(x-a)が一般解となる。
となるともとの問題も方程式が重解をもつ場合は多解問題になる。
つまりこの問題の解が一意に決まる事を示すにはもとのn次式が重根を持たないことを示さないと不完全。
よって元のサイトの模範解答も不完全なんだけど。
別スレでこの問題が話題になったときは “出題者は解答が不完全なのはわかってて完全な解答もできなくないけど敢えて伏せたのかも” と書いたけど、改めて考えてみると純粋に完全な解答書けなかっただけかもしれないと思えてきた。
最初の多項式 P(x) = x^2015 +2x^2014 -2x+2 の既約性だけ言えればいいと思ったけどよくよく考えたら>>397さんが指摘してる通り,α_i^3の全体が全部違うこと示さないと駄目な気がする。(別ルートあるかもしれないけど。)
しかしこのルートも結構険しい。
自分が思いついたこのルートの証明は
α、βがP(x)の根でα=βωとなっているとするとP(x)とP(ωx)が共通解をもち、P(x)≠P(ωx)からP(x)はガウス環R=Z[ω]で可約となる。
一方p=2RはRの素イデアルなのでp進付置でのEisensteinの判定でP(x)はRで既約とわかる。矛盾。
ある程度代数的整数論に通じてないとかなり苦しい。
仮に別ルートがあっても相当険しいルートしかない気がする。
もしかしたら作ってはみたけど証明つけられなかったのが真相かも。
あるいはこの部分にギャップがあるのに気づきすらしなかったか？
もし重解があれば、P(x) = 0，P '(x) = 0 を満たす。
元の問題は P(x) = x^2015 + 2 x^2014 -2x +2 なので
P '(x) = 2015 x^2014 + 2･2014 x^2013 -2,
P(x) + (1-x)P '(x) = -2014 x^2013 {xx +(2011/2014)x -2},
x = 0 は明らかに解でない。あとは
x = {-(2011/2014)±√[8 + (2011/2014)^2]}/2
= 1.0004966887145 & -1.99900711572542
が解でないことを示せばよい。
上にもかいたけどそれだけじゃ多分不十分だよ。
P(x)が重解を持たないことだけでは駄目だと思う。
(2015x+2･2014) P(x) - x(x+2) P '(x) = -2･2014 {xx +(2011/2014)x -2}.
無縁解 x=0 は出てこない…
Ｐ（ｘ）＝Π（ｘ−ａ）。
Ａ（ｘ）＝Π（ｘ−ａ＾３）。
Ｐ（ｔｘ）Ｐ（ｕｘ）Ｐ（ｖｘ）＝Π（（ｔｘ−ａ）（ｕｘ−ａ）（ｖｘ−ａ））＝Π（ｘ＾３−ａ＾３）＝Ａ（ｘ＾３）。
Ｐ（ｘ）＝Ｑ（ｘ＾３）＋Ｒ（ｘ＾３）ｘ＋Ｓ（ｘ＾３）ｘ＾２。
Ｐ（ｔｘ）＝Ｑ（ｘ＾３）＋Ｒ（ｘ＾３）ｔｘ＋Ｓ（ｘ＾３）ｔ＾２ｘ＾２。
t=ωのことだとして依然としてP(x)とP(ωx)が互いに素であることは示されてないじゃん。
スマホだと全く読めん
同じグループから複数個取り出すわけではないので
重複しない
例えばジャケットを2着選ぶのなら9×8通りから重複分の2で割るひつようがあるけれど。
表は3次元の座標を使うか、または
横９×縦７のマス目のそれぞれを6分割するのでも言いかと思います。
例えばジャケット１、ズボン1という更地に
くつという名前の高さ１0ｍ〜６0ｍのビルを建てるようなイメージですかね
問い
ある作業をaさんが行うと10日で完了する
同じ作業をbさんが行うと8日で完了する
aさんとbさんの二人で行うと何日で完了するか？
ただし、作業は適切に分割できるものとする
(解1)
ある作業の作業量をs[個] 作業速度をa[個/日] b[個/日]とする
s/a = 10
s/b = 8
x日で完了するとすると、
s/(a+b) = x
この3式を解くと
x = 40/9
答え 40/9日（4.444...日）
となるわけですが、分数が入るのと作業量sを結局消去してるので何か感覚的に分かりづらいんです。
そこで
(解2）
例えば作業量を2sとして一回目はsずつaさんとbさんで分けるとします。
一回目、bさんが作業を完了したとき、aさんはまだ「2」残っています
2回目、bさんはaさんの「1」を手伝います。
2回目、bさんが作業を完了したとき、aさんはまだ「0.2」残っています
3回目、bさんはaさんの半分「0.1」を手伝います。
3回目、bさんが作業を完了したとき、aさんはまだ「0.01」残っています
無限回繰り返すと、bさんの作業量bsは、
bs = s (1+0.1+0.01+......) = (10/9)s
反対にaさんの作業量asは、 = (8/9)s
as = s (1-0.1-0.01-......)
作業2sを完了する日数は、aさんが作業8/9を完了する日数と同じなので、
(8/9)s / (s/10) = 80/9
よって、作業sを完了する日数は
80/9 / 2 = 40/9
答え 40/9日 (4.444..日)
もっと難しくなった気がします...どうしたらいいんでしょう？何か感覚的に分かりやすい考え方が
思いつきません。例えば8日や10日を逆数にするとか。
作業量sを数式に入れたくないんです。
作業の総量を40とか80とかとおいて考える
小学生用の参考書だと○で囲ってあるやつだ
本質的に差があるわけではないけど
BさんがAさん何人分に相当するか考える。Aさんが10日かかる作業をBさんは8日で終わらせるからBさんはAさんの10/8倍しゅごい
つまり、Bさんを合わせると、Aさんが1+10/8=9/4人いるのと同じこと。Aさん一人なら10日、二人なら半分の5日。9/4人なら4/9倍の40/9日
全体の作業量を具体的な個数ではなく1として一日あたりの作業量を%で考える
Aさんは10日かかる = 一日で全体の1/10 = 10%。Bさんは8日だから一日で全体の1/8 = 12.5%
二人あわせて一日で全体の22.5%（9/40)なので、作業を完了させるには100/22.5 = 4.44....日かかる
かかる時間は1/1から1/2.25倍まで減る
aさん基準なので、10日間×1/2.25 = 4.444...日間・・・答え
こんなもんか
⇔ 蛇口Xからは1日で(d/c)の水が出る
⇔ 蛇口Xからは(c/d)日で1の水が出る
・ 蛇口Aからは10日で1の水が出る
・ 蛇口Bからは8日で1の水が出る
・ 蛇口Aからは1日で1/10の水が出る
・ 蛇口Bからは1日で1/8の水が出る
・ 蛇口A＆Bからは1日で(1/10＋1/8)の水が出る。
・ 蛇口A＆Bからは1/(1/10＋1/8)日で1の水が出る。
1/(1/10＋1/8)＝40/9
蛇口A＆Bからは40/9日で1の水が出る。
個々の流量を合計して逆数取れば、ある仕事量1単位あたりを完了させる時間が分かる
って言葉でまとめられるかな
単位仕事量あたりの時間、ととらえれば感覚的に分かりやすい
三角形は四角形に内包されますか？
別のレストランＤでは、会計時に次回の会計が１０％引きになるチケットを配布するという。
レストランに２回行くとき、どちらのレストランを選ぶのがお得か？
レストランのサービス内容に差はなく、初期状態でＤのチケットは持っていない。また、上記以外の割引はないものとする。
(理由)二回目が安くなるから。
やりたい人だけでお金を出し合ってやればいい
この意見に反論したいのですがどうすればいいですか
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