次の極限値は2と４のとの間に存在することを証明せよ。
lim[n→0](1+1/n)^n
[解]
まず、nを正の整数として考えてみると、この(1+1/n)^nはnを増すにしたがって大きくなることが言える。
次に、これを説明する。
y^n-a^n=(y-a)*(y^(n-1)+a*y^(n-2)+a^2*y^(n-3)+・・・・・・a^(n-2)*y+a^(n-1))
となる。y>aとすれば、右辺の第二因数は指揮の中のaをすべてyに改めた n*y^(n-1)よりは小さいから、
次の不等式が考えられる。
y^n-a^n<n*(y-a)^(n-1)
そこで y、aをとくに、
y=1+1/(n-1) a=1+1/n ←①ここが分からない、ここでつっかえています。なぜこうやっておくのか？
とおけば、上の不等式は、
(1+1/(n-1))^n-(1+1/n)^n<{1/(n-1)}*{1+1/(n-1)}^(n-1)
となる。これを簡単にすると、次の不等式となるからである
