初等整数論の問題３

**１３２人目の素数さん** · 2014/05/14(水) 01:53:20.74

初等整数論の問題を出し合おう。

初等整数論の問題
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1286119277/
初等整数論の問題②
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1289917753/

**１３２人目の素数さん** · 2014/05/14(水) 01:54:00.64

０＾０＝１。

**１３２人目の素数さん** · 2014/05/15(木) 22:41:13.19

x|(yz-1)
y|(xz-1)
z|(xy-1)
を満たす整数x,y,zを求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2014/05/15(木) 23:06:44.18

とりま、x=y=z=0.

**１３２人目の素数さん** · 2014/05/15(木) 23:38:01.14

へー

**１３２人目の素数さん** · 2014/05/16(金) 08:44:32.23

ちごた。x=y=z=±1.

**１３２人目の素数さん** · 2014/05/17(土) 11:09:44.36

-10<=x<=10,-10<=y<=10,-10<=z<=10

(-1,-1,n)
(1,1,n)
(-1,n,-1-n)
(1,n,1-n)

(-8,-5,3)
(-7,-3,2)
(-5,-3,-2)
(-3,-2,1)
(-3,5,8)
(-2,3,7)
(-1,2,3)
(2,3,5)

**１３２人目の素数さん** · 2014/05/18(日) 21:51:14.71

xyz|(xy-1)(xz-1)(yz-1)
xyz|(xy+xz+yz-1)
1|(1/x+1/y+1/z-1/xyz)

**１３２人目の素数さん** · 2014/05/20(火) 13:26:38.17

-3<1/x+1/y+1/z-1/xyz<3だから－２、－１、０、１、２のどれか
1/x+1/y+1/z-1/xyz=2だとx,y,zのうち一つは１
z=1とすると
1/x+1/y-1/xy=1
(1/x-1)(1/y-1)=0
x=1ory=1

(1,1,a)

◆BhMath2chk · 2014/05/22(木) 00:00:00.16

ｎが１以上の整数のとき（２ｎ）！／（ｎ！）＾２が２の倍数であることを示せ。
ｎが１以上の整数のとき（２ｎ）！／（ｎ！）＾２が２ｎ－１の倍数であることを示せ。
ｎが３以上の整数のとき（３ｎ）！／（ｎ！）＾３がｎ＋２の倍数であることを示せ。
ｎが６以上の整数のとき（３ｎ）！／（ｎ！）＾３がｎ＋３の倍数であることを示せ。

**１３２人目の素数さん** · 2014/05/22(木) 19:32:15.38

(-1)|0!/(0!)^2

**１３２人目の素数さん** · 2014/05/22(木) 19:35:32.89

そうだねー

**１３２人目の素数さん** · 2014/05/25(日) 00:24:15.16

a(n)=(2n)!/(n!)^2/2
a(0)=1 / 2
a(1)=1
a(2)=3
a(3)=10
a(4)=35
a(5)=126
a(6)=462
a(7)=1716
a(8)=6435
a(9)=24310
a(10)=92378
a(11)=352716
a(12)=1352078
a(13)=5200300
a(14)=20058300
a(15)=77558760
a(16)=300540195
a(17)=1166803110
a(18)=4537567650
a(19)=17672631900
a(20)=68923264410
a(21)=269128937220
a(22)=1052049481860
a(23)=4116715363800
a(24)=16123801841550
a(25)=63205303218876
a(26)=247959266474052
a(27)=973469712824056
a(28)=3824345300380220
a(29)=15033633249770520
a(30)=59132290782430712

**１３２人目の素数さん** · 2014/05/25(日) 00:25:20.46

a(n)=(2n)!/(n!)^2/(2n-1)
a(0)=-1
a(1)=2
a(2)=2
a(3)=4
a(4)=10
a(5)=28
a(6)=84
a(7)=264
a(8)=858
a(9)=2860
a(10)=9724
a(11)=33592
a(12)=117572
a(13)=416024
a(14)=1485800
a(15)=5348880
a(16)=19389690
a(17)=70715340
a(18)=259289580
a(19)=955277400
a(20)=3534526380
a(21)=13128240840
a(22)=48932534040
a(23)=182965127280
a(24)=686119227300
a(25)=2579808294648
a(26)=9723892802904
a(27)=36734706144304
a(28)=139067101832008
a(29)=527495903500720
a(30)=2004484433302736

**１３２人目の素数さん** · 2014/05/25(日) 00:26:25.95

a(n)=(3n)!/(n!)^3/(n+2)
a(0)=1 / 2
a(1)=2
a(2)=45 / 2
a(3)=336
a(4)=5775
a(5)=108108
a(6)=2144142
a(7)=44341440
a(8)=946551177
a(9)=20715766500
a(10)=462583065945
a(11)=10502076574080
a(12)=241766554465800
a(13)=5631873204857760
a(14)=132535791619420500
a(15)=3146763516786743040
a(16)=75296970244778615685
a(17)=1814203089306904180500
a(18)=43980986374290153012825
a(19)=1072112687240313979260000
a(20)=26265055203567082901448450
a(21)=646364286648209277057709800
a(22)=15972142289902030895888862000
a(23)=396171930407647863806443491840
a(24)=9860649509845802699909976735000
a(25)=246212967992331143254712187090528
a(26)=6165886590447002846389086708957912
a(27)=154834013203562029756919651485340160
a(28)=3897985780872430109852328991360654176
a(29)=98365419248819445716383999210470422400
a(30)=2487743423985351131705448326698805707848

**１３２人目の素数さん** · 2014/05/25(日) 00:27:29.35

a(n)=(3n)!/(n!)^3/(n+3)
a(0)=1 / 3
a(1)=3 / 2
a(2)=18
a(3)=280
a(4)=4950
a(5)=189189 / 2
a(6)=1905904
a(7)=39907296
a(8)=860501070
a(9)=18989452625
a(10)=426999753180
a(11)=9751928247360
a(12)=225648784168080
a(13)=5279881129554150
a(14)=124739568582984000
a(15)=2971943321409701760
a(16)=71333971810842899070
a(17)=1723492934841558971475
a(18)=41886653689800145726500
a(19)=1023380292365754252930000
a(20)=25123096281672861905733300
a(21)=619432441371200557180305225
a(22)=15333256598305949660053307520
a(23)=380934548468892176736964896000
a(24)=9495440268740402599913310930000
a(25)=237419647706890745281329608980152
a(26)=5953269811466071713754980270717984
a(27)=149672879430109962098355663102495488
a(28)=3772244304070093654695802249703858880
a(29)=95291499897293838037746999235143221700
a(30)=2412357259622158673168919589526114625792

**１３２人目の素数さん** · 2014/06/01(日) 23:46:52.26

◆BhMath2chk · 2014/06/02(月) 12:00:00.27

ｎが素数のときｘ＾８≡１６（ｍｏｄ．ｎ）が整数解を持つことを示せ。
ｎが３２の倍数でない整数のときｘ＾８≡１６（ｍｏｄ．ｎ）が整数解を持つことを示せ。

**１３２人目の素数さん** · 2014/06/07(土) 08:24:36.07

n=1,x=0(mod.n)
n=2,x=0(mod.n)
n=3,x=1,2(mod.n)
n=4,x=0,2(mod.n)
n=5,x=1,2,3,4(mod.n)
n=6,x=2,4(mod.n)
n=7,x=3,4(mod.n)
n=8,x=0,2,4,6(mod.n)
n=9,x=4,5(mod.n)
n=10,x=2,4,6,8(mod.n)
n=11,x=3,8(mod.n)
n=12,x=2,4,8,10(mod.n)
n=13,x=4,6,7,9(mod.n)
n=14,x=4,10(mod.n)
n=15,x=1,2,4,7,8,11,13,14(mod.n)
n=16,x=0,2,4,6,8,10,12,14(mod.n)
n=17,x=3,5,6,7,10,11,12,14(mod.n)
n=18,x=4,14(mod.n)
n=19,x=6,13(mod.n)
n=20,x=2,4,6,8,12,14,16,18(mod.n)
n=21,x=4,10,11,17(mod.n)
n=22,x=8,14(mod.n)
n=23,x=5,18(mod.n)
n=24,x=2,4,8,10,14,16,20,22(mod.n)
n=25,x=6,8,17,19(mod.n)
n=26,x=4,6,20,22(mod.n)
n=27,x=5,22(mod.n)
n=28,x=4,10,18,24(mod.n)
n=29,x=11,13,16,18(mod.n)
n=30,x=2,4,8,14,16,22,26,28(mod.n)
n=31,x=8,23(mod.n)
n=32,x=(mod.n)

**１３２人目の素数さん** · 2014/06/07(土) 08:25:38.73

n=33,x=8,14,19,25(mod.n)
n=34,x=6,10,12,14,20,22,24,28(mod.n)
n=35,x=3,4,11,17,18,24,31,32(mod.n)
n=36,x=4,14,22,32(mod.n)
n=37,x=5,7,30,32(mod.n)
n=38,x=6,32(mod.n)
n=39,x=4,7,17,19,20,22,32,35(mod.n)
n=40,x=2,4,6,8,12,14,16,18,22,24,26,28,32,34,36,38(mod.n)
n=41,x=8,10,11,17,24,30,31,33(mod.n)
n=42,x=4,10,32,38(mod.n)
n=43,x=16,27(mod.n)
n=44,x=8,14,30,36(mod.n)
n=45,x=4,13,14,22,23,31,32,41(mod.n)
n=46,x=18,28(mod.n)
n=47,x=7,40(mod.n)
n=48,x=2,4,8,10,14,16,20,22,26,28,32,34,38,40,44,46(mod.n)
n=49,x=10,39(mod.n)
n=50,x=6,8,42,44(mod.n)
n=51,x=5,7,10,11,14,20,22,23,28,29,31,37,40,41,44,46(mod.n)
n=52,x=4,6,20,22,30,32,46,48(mod.n)
n=53,x=22,24,29,31(mod.n)
n=54,x=22,32(mod.n)
n=55,x=3,8,14,19,36,41,47,52(mod.n)
n=56,x=4,10,18,24,32,38,46,52(mod.n)
n=57,x=13,25,32,44(mod.n)
n=58,x=16,18,40,42(mod.n)
n=59,x=23,36(mod.n)
n=60,x=2,4,8,14,16,22,26,28,32,34,38,44,46,52,56,58(mod.n)
n=61,x=10,12,49,51(mod.n)
n=62,x=8,54(mod.n)
n=63,x=4,31,32,59(mod.n)
n=64,x=(mod.n)

**１３２人目の素数さん** · 2014/06/07(土) 08:26:14.19

n=65,x=4,6,7,9,17,19,22,32,33,43,46,48,56,58,59,61(mod.n)
n=66,x=8,14,52,58(mod.n)
n=67,x=20,47(mod.n)
n=68,x=6,10,12,14,20,22,24,28,40,44,46,48,54,56,58,62(mod.n)
n=69,x=5,28,41,64(mod.n)
n=70,x=4,18,24,32,38,46,52,66(mod.n)
n=71,x=12,59(mod.n)
n=72,x=4,14,22,32,40,50,58,68(mod.n)
n=73,x=12,26,28,32,41,45,47,61(mod.n)
n=74,x=30,32,42,44(mod.n)
n=75,x=8,17,19,31,44,56,58,67(mod.n)
n=76,x=6,32,44,70(mod.n)
n=77,x=3,25,52,74(mod.n)
n=78,x=4,20,22,32,46,56,58,74(mod.n)
n=79,x=9,70(mod.n)
n=80,x=2,4,6,8,12,14,16,18,22,24,26,28,32,34,36,38,42,44,46,48,52,54,56,58,62,64,66,68,72,74,76,78(mod.n)
n=81,x=22,59(mod.n)
n=82,x=8,10,24,30,52,58,72,74(mod.n)
n=83,x=9,74(mod.n)
n=84,x=4,10,32,38,46,52,74,80(mod.n)
n=85,x=3,6,7,11,12,14,22,23,24,27,28,29,31,37,39,41,44,46,48,54,56,57,58,61,62,63,71,73,74,78,79,82(mod.n)
n=86,x=16,70(mod.n)
n=87,x=11,13,16,40,47,71,74,76(mod.n)
n=88,x=8,14,30,36,52,58,74,80(mod.n)
n=89,x=25,33,35,40,49,54,56,64(mod.n)
n=90,x=4,14,22,32,58,68,76,86(mod.n)
n=91,x=4,17,32,45,46,59,74,87(mod.n)
n=92,x=18,28,64,74(mod.n)
n=93,x=8,23,70,85(mod.n)
n=94,x=40,54(mod.n)
n=95,x=6,13,32,44,51,63,82,89(mod.n)
n=96,x=(mod.n)

**１３２人目の素数さん** · 2014/06/07(土) 08:26:45.99

n=97,x=14,17,21,23,74,76,80,83(mod.n)
n=98,x=10,88(mod.n)
n=99,x=14,41,58,85(mod.n)
n=100,x=6,8,42,44,56,58,92,94(mod.n)

**１３２人目の素数さん** · 2014/06/11(水) 01:57:59.83

>>10
二項係数をC(a,b)と書くことにする。

＞（２ｎ）！／（ｎ！）＾２が２の倍数であること
C(2n,n)=2C(2n-1,n)より明らか。

＞（２ｎ）！／（ｎ！）＾２が２ｎ－１の倍数であること
C(2n,n)=2C(2n-1,n)だから、C(2n-1,n)が2n-1で割り切れることが言えればよい。
nC(2n-1,n)=(2n-1)C(2n-2,n-1)
ここでnと2n-1は互いに素だから、C(2n-1,n)が2n-1で割り切れることがいえる
よっていえた。

>>18
＞ｎが素数のときｘ＾８≡１６（ｍｏｄ．ｎ）
n=2のときは明らか
nが奇素数のとき
2or-2が平方剰余のとき、16=2^4=(-2)^4より明らか
2,-2が平方非剰余のとき、-4=2・-2が平方剰余
x^2≡-4 (mod n)をみたすxが存在する。
このとき、(1+x/2)^8≡{(x^2+4)/4+x}^4≡x^4≡(x^2)^2≡(-4)^2≡16 (mod n)
よって、いえた。

＞ｎが３２の倍数でない整数のときｘ＾８≡１６（ｍｏｄ．ｎ）が整数解を持つことを示せ。
n=4,8,16のときは明らか
上記より、nが素数のときはいえた。
したがって、下記にあるHensel's lemmaとChinese remainder theoremより明らか。

http://en.wikipedia.org/wiki/Hensel's_lemma
http://en.wikipedia.org/wiki/Chinese_remainder_theorem

**１３２人目の素数さん** · 2014/06/11(水) 04:12:07.66

2,-2,-4のうち少なくとも1つが奇素数べきの平方剰余になることは直接わかるから、
ヘンゼルは使わなくてもできるね
ヒントから察するに使って欲しそうにも見えるけど

**１３２人目の素数さん** · 2014/06/23(月) 19:14:12.05

x＾５ーy＾３＝１７　を満足する整数x、yをもとめよ

**１３２人目の素数さん** · 2014/07/01(火) 22:44:44.13

>>18
整数論の問題を出し合うスレ
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1106654316/
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1106654316/

292 名前： ◆BhMath2chk [sage] 投稿日：2006/06/30(金) 00:00:00
ａは整数でｎは正の整数とする。
任意の素数ｐに対して整数ｘが存在しｘ＾ｎ≡ａ（ｍｏｄ．ｐ）となるとき
ｘ＾ｎ＝ａとなる整数ｘは存在するか。

**１３２人目の素数さん** · 2014/07/17(木) 23:06:47.74

>>18は>>26の反例になっているんだな。

さて、俺も出題
(1)
aを整数とする。
任意の素数pに対して、x^2≡a (mod p)をみたす整数が存在するとき、aは平方数か？

(2)
x＾2=y＾3+7をみたす整数x,yは存在するか？

**１３２人目の素数さん** · 2014/07/17(木) 23:19:44.04

>>27
修正

×任意の素数pに対して、x^2≡a (mod p)をみたす整数が存在するとき、aは平方数か？

○任意の素数pに対して、x^2≡a (mod p)をみたす整数xが存在するとき、aは平方数か？

**１３２人目の素数さん** · 2014/10/30(木) 23:25:00.81

問。
完全数とその性質を調べることは、何の役に立つか？（応用や発展など）

**１３２人目の素数さん** · 2014/11/07(金) 22:45:42.49

何の役にも立たないでしょ
数秘術の概念だし、ソレ

**１３２人目の素数さん** · 2014/11/08(土) 16:49:29.67

だよね
なにが完全なんだよと言いたくなるよね
改名してほしい。
整数論において全然重要な概念ではないんだから

**１３２人目の素数さん** · 2014/11/11(火) 14:18:20.68

>>30
完全数を唱えたピタゴラス

・万物は数であるという宗教をはじめた
・霊魂不滅を信じて禁欲主義的な宗教団体を作った
・ピタゴラスの定理から無理数の存在が従うが、無理数のことを「神が手違いで誤って作ってしまった数」と考えた

いらんなあ。この数秘術的な神秘思想は。

偶数、奇数、素数などのネーミングは彼のおかげだが
完全数は数論の発展に何の寄与もしていない

**１３２人目の素数さん** · 2014/11/16(日) 15:28:07.67

あとに数学者になる人でも最初のとっかかりはそういうわかりやすいものからの場合もあるだろう

**１３２人目の素数さん** · 2014/11/19(水) 21:24:13.31

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣＼
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　阪京 ◆z9KeXNDo6kという包茎ハゲ豚そっくりの童貞が去勢されいなくなれば |
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜　|
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　金正恩を守るため！！｜阪京 ◆BkMobJaj1A とかいう変質者を見付け次第、すぐさま屠殺してしまえーッ！、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿／
　　　　　　　　　　 _＿_　　　　　　　　　　　〇
　　　　　　　　 .´. : : : : : : : : : .　　　　　　　ｏ
　　　　　　／. : : : : : : : : : : : : : : ｀ : ､　　　　 °
.　　　　 / . : : : : : : : : : : : : : r‐-　: . ＼
　　　　 / . : : : : : : : : : : : : : . |　-‐　｀ヽ冫
　　　 | : : : : : /⌒ヽ: : : : .／ ∠￣＼_|
　　　｜: : : : :' /⌒ | : : ./　　､__≧_､ﾉ）　　＿＿＿_　　　　　　　 (圭)　　　　　　　　　＿＿＿
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**１３２人目の素数さん** · 2015/01/04(日) 18:29:12.00

>>27の(2)の回答らしきもの

x＾2=y＾3+7をみたす整数x,yが存在すると仮定する。
x＾2 +1=y^3 +8=(y+2)(y^2 -2y+4)

yが偶数のとき
左辺≡0 or 1 (mod 4)、右辺≡0 (mod 4)だから不合理

yが奇数のとき
y＾2 -2y+4≡3 (mod 4)だから、y＾2 -2y+4は4で割ると3余る素因数pを持つ。
よって、x＾2 +1≡0 (mod p)となるが、これは平方剰余の相互法則の
第一補充法則に反する。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B9%B3%E6%96%B9%E5%89%B0%E4%BD%99%E3%81%AE%E7%9B%B8%E4%BA%92%E6%B3%95%E5%89%87#.E7.9B.B8.E4.BA.92.E6.B3.95.E5.89.87

35 · 2015/01/21(水) 21:54:03.55

>>35
1.yが偶数のとき
＞左辺≡0 or 1 (mod 4)、右辺≡0 (mod 4)だから不合理

35 · 2015/01/21(水) 21:55:45.31

>>35
×yが偶数のとき
×左辺≡0 or 1 (mod 4)、右辺≡0 (mod 4)だから不合理

○yが偶数のとき
○左辺≡1 or 2 (mod 4)、右辺≡0 (mod 4)だから不合理

**１３２人目の素数さん** · 2015/02/26(木) 21:15:02.92

問題
pをp≡3 (mod 4)をみたす素数、aをpと互いに素な正の整数とする。
x^2≡a (mod p)が解を持つとき、x=±a^{(p+1)/4}は前述の方程式の解であることを示せ。

**１３２人目の素数さん** · 2015/03/08(日) 11:04:47.94

問題

x^n-1を整数係数多項式で因数分解したときの、因子の個数と因子の最大次数を求めよ。
http://biteki-math.hatenablog.com/
にあり。

**１３２人目の素数さん** · 2015/03/13(金) 22:36:06.53

>>38
x^2≡a (mod p)が解を持つとき、a^{(p-1)/2}≡1 (mod p)となる。したがって
（±a^{(p+1)/4}）＾2≡a^{(p+1)/2}≡(a^{(p-1)/2})・a≡1・a≡a (mod p)
がいえるから題意は言えた。

**１３２人目の素数さん** · 2015/04/25(土) 03:01:14.93

問題
pをp≡1 (mod 4)をみたす素数とする。
x=±{(p-1)/2}!はx^2≡-1 (mod p)の解であることを示せ。

**１３２人目の素数さん** · 2015/05/13(水) 23:16:31.96

>>41
(p-1)/2は偶数となることに注目すると、
(±{(p-1)/2}!)＾2≡({(p-1)/2}!)＾2≡{(p-1)/2}!(p-{(p-1)/2})!(p-{(p-3)/2})…!(p-1)≡(p-1)! (mod p)
ウィルソンの定理より、(p-1)!≡-1 (mod p)がいえるから、(±{(p-1)/2}!)＾2≡-1 (mod p)がいえる
から題意は言えた。

**１３２人目の素数さん** · 2015/06/02(火) 21:24:58.90

問題
（1）因数分解「x^(2k+1) +1=(x+1){x^(2k) -x^(2k-1)+…+1}」を利用して
任意の正の整数nに対して、n^2+1の素因数は2あるいは4で割ると1余る素数であることを示せ。
（2）上記の（1）にある事実を用いて、4で割ると1余る素数が無限に存在することを示せ。

**１３２人目の素数さん** · 2015/06/16(火) 01:59:39.54

>>43
(1)
n^2+1が4で割ると3余る素数4h+3を素因数に持つと仮定する。
問題の因数分解を使うと、n^(4h+2)+1={n^2+1}{(n^2)^(2h+1)-(n^2)^(2h)+・・・+1}
よって、n^(4h+2)+1≡0 (mod 4h+3)がいえる。
n^2≡-1(mod　4h+3)だから、nは4h+3では割り切れない。
よって、フェルマーの小定理を用いると
2≡n^(4h+2)+1≡0 (mod 4h+3)がいえるがこれは不合理。

(2)
4で割ると1余る素数がp(1),…,p(m)のみであると仮定する。
{2p(1)・p(2)・...・p(m)}^2+1は2,p(1),…,p(m)のいずれでも割り切れない。
よって、{2p(1)・p(2)・...・p(m)}^2+1の素因数qは2,p(1),…,p(m)のいずれでもない。
(1)を考慮すると、qはp(1),…,p(m)のいずれとも異なる4で割ると1余る素数
であることがいえるが、このことは、4で割ると1余る素数がp(1),…,p(m)のみ
とういう仮定に反する。
以上より、4で割ると1余る素数が無限に存在することが示された。

44 · 2015/06/18(木) 02:18:16.29

☓n^(4h+2)+1={n^2+1}{(n^2)^(2h+1)-(n^2)^(2h)+・・・+1}
○n^(4h+2)+1={n^2+1}{(n^2)^(2h)-(n^2)^(2h-2)+・・・+1}

**１３２人目の素数さん** · 2015/06/24(水) 01:03:59.50

>>27の(1)は正しいことを示す。

以下aは平方数ではないとき、(a/p)=-1となうような素数pが存在することを示す。
ただし、(a/p)はルジャンドルの記号

a=-b^2（bは正の整数）となるとき
p≡1 (mod 4)かつ、bの素因数になりえない素数pをとると
(a/p)=(-1/p)=-1がいえる。

v_2(a)が奇数になるとき
aの素因数qを任意に取る。
p≡5 (mod 8)，p≡1 (mod q)をみたす素数pをとると
(a/p)=(±1/p)(2/p)Π(q/p)=-Π(p/q)=-Π(1/q)=-1
となるから正しい、

aのある奇数の素因数rに対して、v_r(a)が奇数になるとき
aの(r以外の)素因数qを任意に取る。
ここで、rの平方非剰余sをとる。
p≡1 (mod 8)，p≡1 (mod q)、p≡s (mod r)をみたす素数pをとると
(a/p)=(±1/p)(2/p)(r/p)Π(q/p)=(p/r)Π(p/q)=(s/r)Π(1/q)=-1

以上よりいえた。

**１３２人目の素数さん** · 2015/07/20(月) 23:29:43.32

任意の正の整数nに対して、1からnまでの素数の積をP(n)とおくことにする。
このとき以下の不等式が成立することを証明せよ。
P(n)＜4^n

**１３２人目の素数さん** · 2015/08/06(木) 02:21:39.25

>>47
まず、任意の正の整数mに対して、P(2m+1)/P(m+1)＜4^mである事を示す。

P(2m+1)/P(m+1)はm+2?以上でかつ2m+1以下の素数の積である。
ここで、m+2?以上でかつ2m+1以下の素数pを任意に取る。
pは二項係数C(2m+1,m+1)=(2m+1)!/{m!・(m+1)!}の分子には
現れるが、分母には現れない。
したがって、素数pは二項係数C(2m+1,m+1)を割り切る。
したがって、m+2?以上でかつ2m+1以下の素数の積P(2m+1)/P(m+1)
は、二項係数C(2m+1,m+1)を割り切る。
したがって、P(2m+1)/P(m+1)≦C(2m+1,m+1)がいえる。

また、2・C(2m+1,m+1)=C(2m+1,m+1)+C(2m+1,m)
＜C(2m+1,0)+…+C(2m+1,m+1)+C(2m+1,m)+…+C(2m+1,2m+1)
=2^(2m+1)より、C(2m+1,m+1)＜2^(2m)=4^mがいえる。

以上より、P(2m+1)/P(m+1)＜4^mがいえた。

**１３２人目の素数さん** · 2015/08/06(木) 02:23:54.19

数学的帰納法で>>47のP(n)＜4^nを示す。

n=1,2のとき、P(1)=1、4^1=4、P(2)=2、4^2=16より明らか、

1≦n＜kのときP(n)＜4^nが成立すると仮定する。

n=kのときを考える。

kが偶数のとき
kは合成数だから、
P(k)=P(k-1)＜4^(k-1)＜4^k

kが奇数のとき
k=2m+1とかける。
>>48の補題を用いると
P(2m+1)=P(m+1)・{P(2m+1)/P(m+1)}＜4^(m+1)・4^m=4^(2m+1)=4^k

いずれにしても、P(k)＜4^kは正しい。

以上から数学的帰納法によりP(n)＜4^nであることが示された。

**１３２人目の素数さん** · 2015/08/17(月) 02:53:11.08

kを正の偶数とするとき、次の条件を満たすような整数n(n＞1)は無限に存在する事を示せ

nのある隣り合う(2つの)約数のk乗の和がnと一致する。

**１３２人目の素数さん** · 2015/08/31(月) 00:36:07.39

>>50
n=2^k(2^k +1)とおく。
n=4^k +2^kかつn≡4^k +2^k≡2 (mod 3)よりnは3で割り切れない。また、k≧2より4|nがいえるから、2,4はnの約数である。
よって、n=2^k(2^k +1)は問題の条件をみたしている。

nが隣り合う正の約数d,e(d＜e)のk乗の和で書けるとき、n=d^k +e^kがいえる。nより大きな素数pを任意にとるとき、
np^kが問題の条件をみたすことをいう。

np^k=(dp)^k +(ep)^kである。ここで、dp＜s＜epをみたすnp^kの約数sが存在すると仮定する

sはpで割り切れないと仮定する
このときsとpは互いに素である。np^kがsで割り切れ、でかつsとp^kが互いに素だから、nがsで割り切れることが言える。
よってs≦n＜pがいえる。ところがs＞dp≧pよりs＞pがいえるから、これは不合理。

よってsはpで割り切れる。
このときnp^kはsで割り切れるから、np^(k-1)はs/pで割り切れる。また、d＜s/p＜e≦n＜pだから、s/pはpで割り切れない。
よってs/pとpは互いに素である。したがってs/pとp^(k-1)も互いに素である。したがってnはs/pで割り切れる。

よって、s/pはnの約数でかつd＜s/p＜eだからs/pはdとeの間にあるnの約数となるが、このことはd,eがnの隣り合う約数であることに反し不合理

したがって、np^kは問題の条件をみたすことがいえる。よって、問題の条件をみたす整数は無数にあることが言える。

**１３２人目の素数さん** · 2015/08/31(月) 01:04:39.93

ちなみに、>>51の「4|n」は「nは4で割り切れる」という意味です。

**１３２人目の素数さん** · 2015/09/12(土) 01:36:54.92

kを正の奇数とするとき、次の条件を満たすような整数n(n＞1)は存在しない事を示せ

nのある隣り合う(2つの)約数のk乗の和がnと一致する。

**１３２人目の素数さん** · 2015/09/22(火) 17:14:05.69

どの教科書にも載っているベズーの等式
ax + by = GCM(a, b)
の証明なんだけど，
ユークリッドの互除法で丁寧に解説するものと，
https://ja.wikisource.org/wiki/%E5%88%9D%E7%AD%89%E6%95%B4%E6%95%B0%E8%AB%96%E8%AC%9B%E7%BE%A9/%E7%AC%AC1%E7%AB%A0/%E4%B8%80%E6%AC%A1%E3%81%AE%E4%B8%8D%E5%AE%9A%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F
のように，なんだかよくわからない理屈でごまかしている（ようにみえる）のと，があるけれども，
後者のようなのも理解しないといけないの？というか，本質的な議論なの？
ユークリッドの互除法で済むんならそうしたいんだが

**１３２人目の素数さん** · 2015/09/23(水) 00:22:53.66

>>54
後者はかなり本質的な議論、ていうか整数論の勉強をする上で
なくてはならない考え方。
個人的には、前者よりも後者の方が大切だと思う。

後者の方が大事だと思う理由としては以下がある。
(1)n文字への拡張が容易にできること。
(2)位数の議論など、後々似たような議論がよく出てくる。
(3)この考え方が、後々代数学でやるユークリッド整域につながってくる。

**１３２人目の素数さん** · 2015/09/23(水) 19:48:11.83

>>55
コメントありがとうございます．

(1)たしかに3文字以上への拡張ができることは理解できます．
(2)(3)は届くか分かりませんが楽しみにしています．

**１３２人目の素数さん** · 2015/09/29(火) 20:47:34.16

>>53

nが隣り合う約数a,bを用いてn=a^k +b^kと書けると仮定する。
(a＜bとする)

a+bが偶数のとき
n=a^k +b^k=(a+b){a^(k-1) -a^(k-2)*b+…+b^(k-1)}=2*{(a+b)/2}{a^(k-1) -a^(k-2)*b+…+b^(k-1)}

よって(a+b)/2はnの約数となるがa＜(a+b)/2＜bより、a,bが隣り合うnの約数であることに
反し不合理

a+bが奇数のとき
aが偶数かつbが奇数、またはaが奇数かつbが偶数となる
いずれにしてもn=a^k +b^kだからnは奇数となる。…☆

ところが、a,bはnの約数だから
aが偶数のとき、nが偶数であることがいえる。
bが偶数のとき、nが偶数であることがいえる。
よってnが偶数となる。…★

☆と★は矛盾している。

よって、問題の条件をみたすnが存在しないことがいえた。

**１３２人目の素数さん** · 2015/11/24(火) 00:08:48.77

・2015年度のUSMOの問題
a,b,c,dは相異なる正整数であり、
a^4+b^4=c^4+d^4=e^4
を満たす。このとき、ac+bdは合成数であることを示せ。

**１３２人目の素数さん** · 2015/12/30(水) 21:59:56.25

初等整数論の本を読んでいますが、質問があります。

以下の問題の「解答」で「命題1」がどのように使われているのかが分かりません。
どのように使われているのか詳しく教えてください。

「命題1」
自然数a,bが互いに素、dが積a*bの約数ならば
d=d1*d2, ここで d1 = gcd(a, d), d2 = gcd(b, d)

「問題」
自然数nの約数の和をσ(n)と書く。

m, nが互いに素ならば

σ(m*n)=σ(m)*σ(n)

となることを証明せよ。

「解答」
mの約数をc1, c2, ..., c_rとし、nの約数をd1, d2, ..., d_sとすると、「命題1」より
c_i*d_j, (i=1, 2, ..., r; j=1, 2, ..., s), がm*nの約数だから
σ(m*n) = Σc_i*d_j = (Σc_i)*(Σd_j) = σ(m)*σ(n)

**１３２人目の素数さん** · 2015/12/30(水) 22:12:10.58

↑は非常に有名な数学者の本に書かれていることです。

**１３２人目の素数さん** · 2015/12/31(木) 21:49:26.07

まず「命題１」が使われているのは、
σ(m*n) を Σc_i*d_j と変形する段階。

w(i，j)をm*nの任意の約数とする。
σ(m*n)=Σw(i，j)=Σgcd（m*n，w(i，j) ）

ここで命題１を使って
Σgcd（w(i，j)，m*n）=Σgcd（m，w(i，j) ）gcd（n，w(i，j) ）
gcd（m，w(i，j) ）=c_i、gcd（n，w(i，j) ）=d_jとおくと

Σgcd（m，w(i，j) ）gcd（n，w(i，j) ）＝Σc_i*d_j

酔っているので、変なところがあったらスマソ。

**１３２人目の素数さん** · 2015/12/31(木) 21:50:26.53

>>61は>>59へのレスです。やっぱり酔っていると駄目だw

**１３２人目の素数さん** · 2016/01/07(木) 16:21:02.34

この問題、どうやって解くの？
http://suseum.jp/gq/question/1417

**１３２人目の素数さん** · 2016/01/07(木) 17:15:03.04

>>59
c_i*d_jがm*nの約数なのは明らか
命題1により、逆に、m*nの約数dについて
　　　d=gcd(a, d)*gcd(b, d) = c_i*d_j
つまり、m*nの約数はc_i*d_j, (i=1, 2, ..., r; j=1, 2, ..., s)で（重複もなく）尽くされている
重複がないのはm, nが互いに素だから

**１３２人目の素数さん** · 2016/01/07(木) 17:17:13.12

3行目を訂正
d=gcd(m, d)*gcd(n, d) = c_i*d_j

**１３２人目の素数さん** · 2016/01/09(土) 12:13:27.48

>>63
IDがSEX

**１３２人目の素数さん** · 2016/01/27(水) 00:11:24.88

自然数a, b, c, dがあり、a > b > 0、c > d > 0のとき、
(a^a) (b^b) = (c^c) (d^d)
を満たすa=c, b=d以外の解は存在しますか？