・n=5, k=1,2,3,4 の場合

定理
T を木とし、k を 1,2,3,4 のいずれかとする。
このとき、ある a∈T が存在して a≡k (mod 5) となる。

証明
b∈T を任意にとる。

b が 5 の倍数でなければ、
Z/5Z において 2 が原始根であることから、
　b*2^d≡k (mod 5)
となる d∈N が存在する。b*2^d∈T なのでOK。

b が 5 の倍数のときは、
奇数になるまで b を 2 で割って得られる奇数を b' とする。
b' も 5 の倍数で、b'∈T である。
さらに b' は奇数だから 3b'+1∈T
3b'+1≡1 (mod 5) なので、上の場合に帰着される。□