πって本当に無理数なの？
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http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%91%A8%E7%8E%87
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2a/Pi-unrolled-720.gif/250px-Pi-unrolled-720.gif
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π は x^4 -10x^2 +1 = 0 の根だから代数的数でつよん
π - 1/π = 2√2,
π + 1/π = 2√3,
二乗して辺々たすと
π^2 + (1/π)^2 = 10,
だよな。
π = √2 + √3,
π は {(x+1)/8}^4 -4{(x+1)/8}^2 +1 = 0 の根だから代数的数ですよん
π = 4(√6 -√2) -1 = 3.1411047
π は {(5x-13)/8}^4 -70{(5x-13)/8}^2 -192{(5x-13)/8} +73 = 0 の根だから代数的数ですよん
π = {13 +8(2√6 -2√2 -√3)}/5 = 3.1416025
π = 4 (√6 -√2) - 1 = 3.1411047 = 16sin(π/12) - 1,
x^4 -10x^2 +1 = 0
π = √2 + √3 = 3.146264
x^6 -10x^4 +x^2 +3 = 0
π = 3.141314
x^8 -10x^6 +x^4 +3x^2 -2 = 0
π = 3.141650
x^10 -10x^8 +x^6 +3x^4 -2x^2 +7/2 = 0
π = 3.1415907
π = 3.1416117
π + 1/π = (e^4)/10 - 2 = 3.459815 < 2√3,
π = 3.141495
π = (31 + 1/155)^{1/3} = 3.1415985
π = (97 + 9/22)^{1/4} = 3.14159265
π = (306 + 1/51)^{1/5} = 3.14159250
π = [(31^2) + 374/(31^2)]^{1/6} = 3.141592645
はπと30桁一致するが、πとは異なる超越数である。
[x] はxを超えない整数とすると
N = Σ(n=1,∞) [ n･e^{(π√163)/3} ] / 5^n
は 10^9 桁以上の精度で整数200100と一致するが、整数ではない。
M >>1 とすると、
Q = ln(10)･((1/M)Σ(n=-∞,∞) 10^{-(n/M)^2})^2
はπと (πM/ln(10))^2 桁一致するが、πとは異なる。
「円周率について語り合おう【π】」- 017
πは x^5 - 97x - 9/7 = 0 の根だから代数的数ですよ？
π = 3.1415940
>>171
π = (97 + 9/22)^{1/4} = 3.1415926525
は大昔に S.Ramanujan が発見してます。
他にも色々あります。
π= (63/25)[1 + 10/(7+15√5)] = 3.1415926538
π = (99^2)/(2206√2) = 3.141592730
π^2 + 1/π^2 = 10 + 21/(22π) -23/(7π^2),
より
x^4 - 10x^2 - (21/22)x + (30/7) = 0,
π = 3.14159318
π^3 = 31 + 187/(31^3),
π = 3.1415926665
>>174
π = (99 - 5/π)^{1/4},
より
x^5 - 99x + 5 = 0,
π = 3.14158747
ここに α = 1/137．035999
π = 3.14157416････
約率 (Ti)/(N)
蜜率 355/(Nh)
と言ったかも。
なお、355番元素は未発見。
フーリエ級数展開
π-θ = 2Σ[n=1,∞] sin(nθ)/n (0<θ<2π)
θ = π/2 とおくと
π/2 = 2Σ[n=1,∞] sin(nπ/2)/n = 2Σ[m=1,∞] (-1)^(m-1) /(2m-1),
種 類 中間子（ゲージボゾン)
π± π°
---------------------------------------------------------------
電 荷 ±e 0
クォーク組成 π+ = ud~, π- = u~d, π°= (uu~-dd~)/√2,
質 量 139.5700×10^6 [eV] 134.9764×10^6 [eV]
寿 命 2.603×10^(-8) [s] 8.4×10^(-17) [s]
スピン 0 0 (スカラー ボゾン)
アイソスピン 1 1
・C-2p軌道(2p_z)が重なって生じる。
・原子同士の場合、σ結合の60%ぐらいしか安定化しない。（エチレン）
∵ 電子雲が平行なのでσ結合よりも重なりＳが小さい。
・Cの数が多いときは平面状に広がって非局在化する。このため（超高圧でない場合）エネルギー的に有利。
例：グラフェン、グラファイト
・面対称性により、σ軌道や内殻軌道と直交している。
クーロン積分・交換積分など低次の積分は０である。
このため孤立性が強く、π電子だけを考慮する近似が可能。（ヒュッケル近似）
22/7 = π + 1.264489E-3 (バビロニア)
223/71 = π - 7.47583E-4 (アルキメデス)
377/120 = π + 7.401308E-5 (プトレマイオス)
355/113 = π - 2.667642E-7 (祖沖之)
103993/33102 = π - 5.77891E-10
104348/33215 = π + 3.31628E-10
103993/33102 (1個) と 104348/33215 (2個) の「平均」
312689/99532 = π + 2.91434E-11
103993/33102 (3個) と 104348/33215 (5個) の「平均」
833719/265381 = π - 8.715467E-12
103993/33102 (4個) と 104348/33215 (7個) の「平均」
1146408/364913 = π - 1.61074E-12
・連分数表示
3 + 1･1/{6 + 3･3/[6 + 5･5/(6 + 7･7/(6 + ････))]}
>>15
グレゴリー・ライプニッツ級数 4arctan(1) は収束が遅い。
10 - 7/48 < 6ζ(2) < (√2 + √3)^2 を示せ。
ただし ζ(2) = 1 + 1/4 + 1/9 + ････ = Σ[k=1,∞] 1/kk である。
〔系〕
3.139134 < √{6ζ(2)} < √2 + √3 = 3.146264
ζ(2) = 1 + 1/4 + 1/9 + Σ[k=4,∞] 1/kk
< 49/36 + Σ[k=4,∞] 1/(kk-1/4)
= 49/36 + Σ[k=4,∞] {1/(k-1/2) - 1/(k+1/2)}
= 5/6 + 19/36 + 2/7
= (5 + 205/42) /6,
∴ 6ζ(2) < 5 + 205/42 < 5 + 44/9 < 5 + 2√6 = (√2 + √3)^2,
6 - (22/9)^2 = 2/81 > 0 より √6 > 22/9,
左
ζ(2) = Σ[k=1,∞] 1/kk
= 2 - Σ[k=1,∞] {2/(2k-1) -2/(2k+1) -1/kk}
= 2 - Σ[k=1,∞] {4/(4kk-1) - 1/kk}
= 2 - Σ[k=1,∞] 1/{(4kk-1)kk}
= 2 - 1/3 - 1/60 - 1/315 - Σ[k=4,∞] 1/{(4kk-1)kk}
> 2 - 89/252 - (1/63)Σ[k=4,∞] 1/kk
= 2 - 89/252 - (1/63){ζ(2) - 49/36},
∴ 6ζ(2) > 10 - 7/48 = 9.854167
バーゼル問題
藤田岳彦： 数学セミナー, ５１(3), p.30-36 (2012/Mar)
「リーマン・ゼータ関数の特殊値を確率論で求める」
π^4 = 97 + 9/22
= 100 - 3(19/22)
= 100 - 3(20/23) + 9/(22･23)
> 100 - 20(3/23) + (3/23)^2
= (10 - 3/23)^2,
π^2 ≒ 10 - 3/23 = 9.869565
高校数学レベルのお話ですよ。
833719/265381 = π - 8.715467E-12
103993/33102 (4個) と 104348/33215 (7個) の「平均」
1146408/364913 = π - 1.61074E-12
・連分数表示
3 + 1･1/{6 + 3･3/[6 + 5･5/(6 + 7･7/(6 + ････))]}
(公財)日本数学検定協会(数検)が「数学の日」制定(1997)
日本パイ協会 の「パイの日」
http://www7a.biglobe.ne.jp/~pienohi/index.htm
A.アインシュタイン (1879/03/14〜1955/04/18)
下の近似式はモジュラー関数による公式
1/π = {(2√2)/(99^2)}Σ[n=0,∞] (4n)!(1103+26390n)/{(4･99)^n･n!}^4
の初項から。
π自乗/6
昨年度の大学への数学(大数)での勝率は、
学コンBコースが 1/1 = 100% ，
宿題が 3/10 = 30% でした！
宿題の勝率が低すぎると思うので、
これからは一層精進していきたいです！
https://twitter.com/shukudai_sujaku
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)
m→∞ のとき a_n (n>m)の存在する区間の幅が0に近づくような数列 {a_n} を考える。
（基本列 とか コーシー列 とか云うらしい。）
カントールはその極限をもって実数の定義とした。
（例）a_n により小数点下n桁まで決定する場合。
√(π/1.2) = 1.6180216 を利用して「Pibonacci数」を定義する。
P_1 = P_2 = 1,
P_{n+1} = {√(π/1.2) - √(1.2/π)}P_n + P_{n-1}
= 0.9999828706P_n + P_{n-1},
これに対する「ビネの公式」は
P_n = {(π/1.2)^(n/2) - (-1)^n･(1.2/π)^(n/2)}/{√(π/1.2) + √(1.2/π)}
= {(π/1.2)^(n/2) - (-1)^n･(1.2/π)^(n/2)}/2.236060317
・富士山麓オウムは災難
「ビネの公式」は
P_n = {(1 + 1/φ')･φ'^(n-1) - (-1)^n･(φ' - 1)･φ'^(1-n)}/(φ' + 1/φ')
= {(φ' +1)･φ'^(n-2) - (-1)^n･(1 - 1/φ')･φ'^(2-n)}/(φ' + 1/φ')
φ' = √(π/1.2) = 1.618021594
ですた。
・富士山麓オウムはサイナラ
[定理12] 実数αに収束する有理数列が存在する。
高木：「解析概論」改訂第三版、岩波書店 (1961)
附録Ｉ．無理数論、§6．極限、定理12、p.462-463
π =512.08/163 = 12802/(163･25),
e = 443.08/163 = 11077/(163･25) から。
学コン・宿題ボイコット実行委員会@gakkon_boycott 9月1日
#拡散希望
#みんなで学コン・宿題をボイコットしよう
雑誌「大学への数学」の誌上で毎月開催されている学力コンテスト(学コン)と宿題は、添削が雑で採点ミスが多く、訂正をお願いしても応じてもらえない悪質なコンテストです。(私も7月号の宿題でその被害に遭いました。)このようなコンテストに参加するのは時間と努力の無駄であり、参加する価値はありません。そこで私は、これ以上の被害者を出さないようにするため、また、出版社に反省と改善を促すために、学コン・宿題のボイコットを呼び掛けることにしました。少しでも多くの方がこの活動にご賛同頂き、このツイートを拡散して頂ければ幸いです。
https://twitter.com/gakkon_boycott/status/1300459618326388737
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)
より
π = 2(1 + [10 - (4/3)^8]^{1/8}),
たしかに無理数。(8次の代数的数?)
とおく。
次に「ペル方程式」の解を使って、√2 を分数で近似する。
7^2 - 2・5^2 = -1 より
√2 ≒ 7/5,
p = 3 + 0.1√2 ≒ 3 + 7/50 = 3.14
10^2 - 2・7^2 = 2 より
√2 ≒ 10/7,
q = 3 + 0.1√2 ≒ 3 + 1/7 = 3.142857
{p,p,p,p, q,q,q,q,q} の相加平均、調和平均より
π' = (4p+5q)/9 = 3 + 223/1575 = 3.1415873
π" = 9/(4/p + 5/q) = 3 + 1401/9895 = 3.14158666
17^2 - 2・12^2 = 1 より
√2 ≒ 17/12,
π = 3 + 0.1√2 ≒ 3 + 17/120 = 3.1416667
π = √(9 +0.6√2 +0.02)
≒ √(9 +0.85 +0.02) = √(9.87) = 3.1416556
π - 1/π ≒ 2√2,
これを改良して
π - 1/π + 1/(2π^4) = 2√2,
∴ π = 3.141603
π ＋ 1/π ≒ 2√3,
これを改良して
π + 1/π + 1/((√6)π^4) = 2√3,
∴ π = 3.1416016
また
π = √3 + √2 - (√3 + √2)/(4(√3)π^3),
1/π = √3 - √2 + (√3 - √2)/(4(√3)π^5),
√2 = 1 + 0.8^4
π = √3 + √2 = 2 + (1/2) 1.1^4 + 0.8^4 = 3.14165
無理数とは一生続くと考えられているが
無理数とは人間が解けないことにより勝手に
無理だと諦めた数字であるよって無理数は存在しない…(そう信じている！！)
π^2 = (3 + 14/99)^2
= 9 + 28/33 + 1/50
= 10 - 5/33 + 16/(23･33)
= 10 - 3/23
= 9.86956522
π^2 = (3 + 14/99)^2
= 9 + 28/33 + 1/50
= 10 - 5/33 + 23/(33^2)
= 9.86960514
φ = √(π/a) より
π = aφ^2,
π - a - √(aπ) = 0,
0 = (π-a)^2 - aπ
= π^2 - 3aπ + aa
= (π - 3a/2)^2 - 5aa/4,
π = aφ^2 = (3+√5)a/2 = 1.8 + √1.8
下から2行目
π = (√3 + √2) {1 - 1/(4√3･π^４)},
を4乗して
π^4 = (√3 + √2)^4 {1 - 1/(√3･π^4)},
これを解いて
{π/(√3 + √2)}^4 = (1 + √(1 - 196/√3 + 80√2))/2 = 0.994072927
∴ π = (0.994072927)^(1/4) * (√3 + √2)
= 0.998514926 (√3 + √2)
= 3.14159194
最後の行は
1/π = (√3 - √2) {1 + 1/(4√3･π^４)},
π = √(3-a) + √(2-a) = 3.141591246
1/π = √(3-a) - √(2-a) = 0.318310029
π + 1/π = 2√(3-a) = 3.459901275
π - 1/π = 2√(2-a) = 2.823281217
(a = 1 - exp(-α),
α = 0.00729735257 は Sommerfeld の微細構造定数)
π = (160/9)√2 - 22 = 3.14157444
π ≒ (64/27)(√2 - 4/45) = 3.14151
から
π = (64/29){(77/72)√2 - 4/45} = 3.14159216
p = √3 + √2 = 3.14626437
π = p - (√2) /p^5 - √(2/3) /p^8 - … = 3.14159223
(3 + √11)(√5 + √7) = 30.8366 < π^3,
π = [(3 + √5)(√5 + √7)(√7 + √11)(√11 + 3) - (√7)/2]^{1/6}
= 3.141587
= 3.1415926518
(略証)
1 = π/3 - δ,
δ = 0.04719755
加法公式で
tan(1) = tan(π/3 - δ)
= {tan(π/3) - tanδ}/{1 + tan(π/3)tanδ}
= (√3 - tanδ)/{1 + (√3)tanδ}
< 3/(√3 + 4 tanδ)
< 3/(√3 + 4 δ)
< 3/(1.732 + 4・0.047)
= 3 / 1.92
= (5/4)^2
< π/2,
なお tan(π/4) = 1,
√(π/1.2) = φ を利用して「円積問題」を解く。
半径rの円が与えられたとする。
(-r,0) (6r/5,0) を直径の両端とする円を描く。
y軸との交点は A(0,±L) L= r√(6/5),
B(L/2,0) とすると AB = (√5)/2・L
Bを中心とし、Aを通る円周を描く。
x軸との交点は C(Lφ,0)
OCを一辺とする正方形を描く。
その面積は与えられた円の面積にほぼ等しい。
(π^4)/90 = ζ(4) = 1.0823232337 = (97 + 9/22)/90,
兄さん兄さん兄さん…
(x^3 - x^2 - 10)^2 - 4x^3 = 0,
の解だから無理数だよ
arctan(2/π)
= 2 arctan(2/[π + √(π^2 + 4)]) (← 半角)
< 2 arctan(π/[π^2 + 1 - 1/π^2])
< 2 arctan(0.291745)
< 2{0.291745 - (0.291745^3)/3 + (0.291745^5)/5} (←マクローリン)
< 0.567781
< (π/2) - 1,
∴ arctan(π/2) > 1,
∴ π/2 > tan(1).
*) √(π^2 + 4) > π + (2/π) - 2/(π^3),
>>176
π = (31 + 6/31^2)^{1/3} = 3.14159153
π = (31^2 + 12/31)^{1/6} = 3.14159151
X=π^3 とおくと
X^4 - 31X^3 - 187 = 0,
X = 31.006273254
X^(1/3) = 3.141592538
(別解)
X^3 - 31X^2 -6 = 0,
X = {31 + [31^3 +81 +9√(2･31^3 + 81)]^(1/3) + [31^3 +81 -9√(2･31^3 +81]^(1/3)}/3
= 31.0062409821
X^(1/3) = 3.141591448
あとはこれに円周率3.1415926535897を足し算していくと22で22.0000000000000になります不思議です
https://i.imgur.com/UWuC3xt.jpg
https://i.imgur.com/nI174fw.jpg
https://i.imgur.com/l1xzufc.jpg
https://i.imgur.com/NH1QnXr.jpg
https://i.imgur.com/DgUxtac.jpg
https://i.imgur.com/jQpsiha.jpg
https://i.imgur.com/tWThUlu.jpg
https://i.imgur.com/n7ZufNj.jpg
https://i.imgur.com/gyz4dL2.jpg
https://i.imgur.com/vr0X5T5.jpg
https://i.imgur.com/isQ6EA9.jpg
ゲロ四苦八苦してるじゃん
もっといいのがあるかな
πの連分数展開ではどうか？
πの連分数展開からは代数性は明白ではない。
2次の無理数の特徴づけに類したものが必要であろう。
代数性はー−＞非代数性は
「循環をしない無限に続く連分数により与えられる数は無理数」？
超越数というのは実感に訴えにくい
だから解析数論という分野があるんだろう
有理数からの離れ具合で理解すれば
超越数は素朴に実感できる
それが代数的無理数にはならないというようなことを（うろ覚えだが）
たしか、ファンデルポールテンという人が示したというような記憶がある。
でもどこに証明が載っているかを知らない。
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