πって本当に無理数なの？

[0001 １３２人目の素数さん 2012/03/14(水) 20:04:46.44]

もしπが有理数だったら、文科省泣いちゃうよ？

[0010 １３２人目の素数さん 2012/03/15(木) 14:59:39.14]

俺はπは無理数なんじゃないかとそろそろ思い始めているが、
πを解としてもつ有理数係数の代数方程式が存在するという信念を
未だに捨てていない。

[0011 １３２人目の素数さん 2012/03/16(金) 17:02:52.92]

他スレで見つけたサイトに高校の知識でπとeが無理数と証明してあるプログあるよ。√2もあるけどいらんよね。

http://www.altmc.jp/stuff/2012/03/post_2.php
http://www.altmc.jp/stuff/2012/02/ef.php

[0012 １３２人目の素数さん 2012/03/18(日) 06:35:49.12]

パイはフーリエ級数で表現されるから

[0013 １３２人目の素数さん 2012/03/18(日) 07:13:58.34]

>>11
√2 の無理数性は
http://ohkawa.cc.it-hiroshima.ac.jp/math/math_pro_a003.htm
に何通りかの証明法が載っている。

[0014 １３２人目の素数さん 2012/03/18(日) 21:09:05.20]

2π=360
π=180

[0015 １３２人目の素数さん 2012/03/18(日) 21:21:38.02]

π=4(Σ(-1)^n/(2n+1))

[0016 １３２人目の素数さん 2012/03/18(日) 21:26:55.64]

1/(4n+1)-1/(4n+3)=2/(4n+1)(4n+3)

[0017 １３２人目の素数さん 2012/03/21(水) 08:28:07.66]

>>14
弧度法ワロタ

[0018 １３２人目の素数さん 2012/03/21(水) 10:54:16.53]

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[0019 １３２人目の素数さん 2012/03/22(木) 01:17:32.21]

>>14
すごく深いな

[0020 １３２人目の素数さん 2012/04/01(日) 13:39:34.87]

sage

[0021 １３２人目の素数さん 2012/04/03(火) 11:19:59.79]

最近東大が円周率は10桁で割り切れたとか言ってたな

[0022 １３２人目の素数さん 2012/04/12(木) 00:19:14.78]

11の証明何気にすごくね？

[0023 １３２人目の素数さん 2012/04/21(土) 21:01:09.51]

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[0024 １３２人目の素数さん 2012/04/22(日) 06:28:25.75]

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[0025 １３２人目の素数さん 2012/04/22(日) 08:38:46.19]

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[0026 １３２人目の素数さん 2012/04/22(日) 19:06:14.47]

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[0027 １３２人目の素数さん 2012/04/28(土) 17:17:28.77]

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[0028 １３２人目の素数さん 2012/04/29(日) 07:47:41.95]

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[0029 １３２人目の素数さん 2012/04/29(日) 09:45:12.24]

小平邦彦の「数学の学び方」って本に証明が載ってたな
ttp://www.amazon.co.jp/dp/4000055119

内容は>>11と同じ

[0030 １３２人目の素数さん 2012/04/29(日) 11:19:03.76]

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[0031 １３２人目の素数さん 2012/05/08(火) 20:48:52.84]

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[0032 １３２人目の素数さん 2012/05/11(金) 21:55:32.72]

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[0033 １３２人目の素数さん 2012/05/11(金) 23:31:25.29]

何らかのホモトピー集合を表しているのだったら違うだろうな。

[0034 １３２人目の素数さん 2012/05/11(金) 23:32:40.98]

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.　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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[0035 １３２人目の素数さん 2012/05/12(土) 05:52:02.81]

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　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
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[0036 １３２人目の素数さん 2012/05/19(土) 13:20:12.77]

定年間近で基礎数学の独習に躓いたことを告白する小平教授。
他の人も人間味のある話が満載で面白いのに絶版なのな。

[0037 １３２人目の素数さん 2012/05/19(土) 13:39:14.42]

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[0038 １３２人目の素数さん 2012/05/23(水) 08:56:09.56]

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[0039 １３２人目の素数さん 2012/05/23(水) 23:21:53.01]

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[0040 １３２人目の素数さん 2012/05/27(日) 07:20:00.27]

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[0041 １３２人目の素数さん 2012/05/29(火) 04:51:53.82]

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[0042 １３２人目の素数さん 2012/05/31(木) 14:38:21.87]

証明を見たが何かいてあるかさっぱりだった

[0043 １３２人目の素数さん 2012/05/31(木) 15:53:19.24]

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[0044 １３２人目の素数さん 2012/06/01(金) 01:07:04.70]

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[0045 １３２人目の素数さん 2012/06/02(土) 02:33:42.09]

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[0046 １３２人目の素数さん 2012/06/02(土) 14:31:05.09]

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[0047 １３２人目の素数さん 2012/06/05(火) 07:10:40.23]

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[0048 １３２人目の素数さん 2012/06/05(火) 13:07:10.04]

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.　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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[0049 １３２人目の素数さん 2012/06/05(火) 20:41:24.52]

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[0050 １３２人目の素数さん 2012/06/09(土) 20:25:13.12]

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[0051 １３２人目の素数さん 2012/06/12(火) 23:15:00.56]

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[0052 １３２人目の素数さん 2012/06/23(土) 00:16:18.93]

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[0053 １３２人目の素数さん 2012/06/30(土) 20:40:40.48]

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[0054 １３２人目の素数さん 2012/07/24(火) 01:41:10.98]

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[0055 １３２人目の素数さん 2012/08/06(月) 05:53:54.72]

小ネタ：円周率π = 0 であることの説明
　
e^πi = -1　　　　　　　　　オイラーの式 → 2乗する
e^2πi = 1　　　　　　　　　自然対数 log をとる
log ( e^2πi ) = log ( 1 )
2πi = 0　　　　　　　　　　よって、
π= 0

[0056 １３２人目の素数さん 2012/08/06(月) 06:41:02.67]

logは多価だから説明になってない
ちゃねらは馬鹿

[0057 １３２人目の素数さん 2012/08/06(月) 11:42:31.35]

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[0058 １３２人目の素数さん 2012/09/29(土) 20:11:53.42]

　　　　　(~)
　　　γ´⌒｀ヽ
　　　 {i:i:i:i:i:i:i:i:}
　　　（　´・ω・）
　　 　 (:::O┬O
　　◎-ヽJ┴◎

[0059 １３２人目の素数さん 2012/10/01(月) 19:24:34.51]

>>56
うそ（ネタ）はうそ（ネタ）であると見抜ける人でないと・・・

[0060 １３２人目の素数さん 2012/10/14(日) 13:07:54.86]

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[0061 御令嬢様 2012/11/14(水) 21:07:42.17]

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[0062 あのこうちやんは始皇帝だった 2012/11/15(木) 00:06:14.22]

>>61
こいつが嫌がらせしか出来ないクズだという風評は事実のようだ。
生まれつき愚鈍で下司な非人乞食に劣る部落民の分際で、
己れが何か人並みの存在であるかの如くに勘違いし
のぼせ上がっていたことも証明されている。
数学はなに一つ知らぬ無知無学な卑賤の身でありながら今では一端の数学２ｃｈネラー気取り。
「世も末だ」と人々が嘆くのも至当と言えよう。
数学どころか小学生並みの基礎知識さえ持ちあわせぬ阿呆だ(例えば米国大統領の名前も知らぬ始末)。
その上、田舎訛りで「おいら野田さんとポッポのボボが見たいばい」と口走っては哄笑の的になっている不様さだとか。

[0063 １３２人目の素数さん 2012/11/15(木) 00:42:08.37]

パンテーン

[0064 馬と鹿と豚さん 2012/11/15(木) 20:34:50.84]

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[0065 １３２人目の素数さん 2012/11/16(金) 12:11:53.04]

あげ

[0066 御令嬢様 2012/11/18(日) 08:38:10.95]

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　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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[0067 １３２人目の素数さん 2012/11/18(日) 08:42:59.96]

無理数ってアンレイショナルナンバー？

[0068 １３２人目の素数さん 2012/11/18(日) 11:01:29.77]

irrational number イラショナルナンバー
irreducible polynomial　既約多項式
irregular non-regular　お前の事

[0069 馬と鹿と豚 2012/11/18(日) 18:52:29.03]

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[0070 御令嬢 2012/12/23(日) 08:07:05.38]

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[0071 １３２人目の素数さん 2013/01/22(火) 19:34:09.44]

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[0072 １３２人目の素数さん 2013/03/25(月) 10:22:32.30]

キャッチャー

[0073 １３２人目の素数さん 2013/06/24(月) 22:52:28.13]

つ[ご参考]

http://ja.wikipedia.org/wiki/円周率の無理性の証明
http://ja.wikipedia.org/wiki/ネイピア数の無理性の証明

[0074 １３２人目の素数さん 2013/06/24(月) 23:11:42.51]

え゛ーっ　e = 2.7 + (1828/99990)　ぢゃないのぉ？

[0075 １３２人目の素数さん 2013/07/18(木) NY:AN:NY.AN]

The numeric string314159265appears at the 70,326,148th decimal digit of e.

[0076 １３２人目の素数さん 2013/07/19(金) NY:AN:NY.AN]

鮒一発二発一発二発…

[0077 １３２人目の素数さん 2013/07/24(水) NY:AN:NY.AN]

ちな√2の証明は中学でもできる

[0078 １３２人目の素数さん 2013/08/02(金) NY:AN:NY.AN]

√2に関連して
http://marksapir.wordpress.com/2013/08/01/short-proof-that-2sqrt2-is-not-rational/

[0079 １３２人目の素数さん 2013/09/14(土) 00:09:08.41]

簡単にπ＝無理数の説明をすると

『今のところ有理数という証明がされていない』

こういうことでしょ？

[0080 １３２人目の素数さん 2013/09/14(土) 00:10:27.01]

またヘンなのが湧いてきたか

[0081 １３２人目の素数さん 2013/09/14(土) 00:11:58.60]

数学の文脈で＝をbe動詞の意味で使うやつは漏れなく中学数学も覚束ないアホ

[0082 １３２人目の素数さん 2013/09/14(土) 00:16:37.05]

小六にできる最大限の説明がこれ

[0083 １３２人目の素数さん 2013/09/15(日) 07:59:55.55]

>>1
背理法による。
まず、n,p,q を自然数とし、2n 次式を
　f(x) = (1/n!){x(p-qx)}^n,
とおく。
　0 < f(x) ≦ (1/n!)(pp/4q)^n 　(0<x<p/q)
だから、
　0 < a_n = ∫[0,p/q] f(x)sin(x)dx
　　< ∫[0,p/q] f(x)dx
　　< (1/n!)(p/q)(pp/4q)^n
　　→　0　　(n→∞)
nが十分大きければ、a_n は整数でない。
ところで、
　f(0), f '(0), f "(0), ････, f(p/q), f'(p/q), f "(p/q), ････
はすべて整数である。
　F(x) = f(x) - f "(x) + f ""(x) - ･････
とおけば、
　f(x) = F(x) + F "(x),
　a_n = ∫[0, p/q] f(x)sin(x)dx
　　　= ∫[0, p/q] {F(x) + F "(x)}sin(x)dx
　　　= [ -F(x)cos(x) + F '(x)sin(x) ](x=0,p/q)
　　　= F(0) + F(p/q) + F'(p/q)sin(p/q),
上に述べたことから、F(0) と F(p/q) は整数である。
------------------------------------------------------------
ここで、背理法の仮定から、π=p/q となる自然数 p,q をとる。
そうすれば sin(p/q) = sinπ = 0 だから、
　a_n = F(0) + F(π) = (整数),
となって矛盾が生じる。

数セミ増刊「数の世界」日本評論社 (1982)　p.80.

[0084 １３２人目の素数さん 2013/09/15(日) 08:22:49.31]

πの超越性については

鹿野　健：数セミ増刊「数学100の定理」日本評論社（1983）p.85-86

　F.Lindemann(1882) の証明を A.Baker(1975) が簡単化したらしい。

[0085 １３２人目の素数さん 2013/09/15(日) 17:28:21.58]

>>83　訂正

　a_n = ･･････
　　　= F(0) - F(p/q)cos(p/q) + F '(p/q)sin(p/q),

　そうすれば sin(p/q) = sinπ = 0, cos(p/q) = cosπ = -1, だから、

[0086 １３２人目の素数さん 2013/09/21(土) 01:41:40.29]

　e^(代数的数≠0) = (超越数),
　e^(iπ) = -1,
を既知として、１行で証明せよ。

[0087 １３２人目の素数さん 2013/09/21(土) 01:44:40.12]

>>86

背理法でπが代数的だったと仮定するとiπも代数的だから -1 = e^(iπ) = (超越数）、となって矛盾を生じることから、πは代数的ではなく超越数だった。（73字）

[0088 １３２人目の素数さん 2013/09/24(火) 13:12:40.18]

>>86
e^(代数的数≠0) = (超越数)、を用いてよいなら、πの超越性は明らか。

[0089 １３２人目の素数さん 2013/09/24(火) 14:10:04.58]

>>5
まだ確認出来てはいないが、π^πは超越数で無理数の筈。
例え有理数だったとしても、分子が1になることはない。
π^πみたいなのになると、バリバリの解析でもしないといけないんだよな。
お手製の武器では不十分だ。まだ武器がない。

[0090 １３２人目の素数さん 2013/09/24(火) 14:19:02.53]

>>5
>例え有理数だったとしても、分子が1になることはない。
って当然かw
あ〜、π^πは確実に無理数だわ(多分超越数)。
ただ、とんでもない証明になりそうだ。

[0091 １３２人目の素数さん 2013/09/29(日) 08:45:15.41]

〔リンデマンの定理〕（1882）

　ｎは自然数、
　α_1, α_2, ･････, α_n, c_1, c_2, ･････, c_n は代数的数、
　α_1, α_2, ･････, α_n は相異なる。
　ｅはネイピア数（自然対数の底）、とする。このとき、

　c_1･e^(α_1) + c_2･e^(α_2) + ･･････ + c_n･e^(α_n) = 0

　⇒　(c_1, c_2, ････, c_n) = (0,0,･････,0)

[0092 １３２人目の素数さん 2013/09/29(日) 09:11:04.93]

>>86

〔系〕
　α（≠0）が代数的ならば、ｅ^α は超越数である。

(証明)
　リンデマンの定理において、n=2, α_1 = 0, α_2 = α とすると、
　１とｅ^α はＱ上一次独立。

[0093 １３２人目の素数さん 2013/09/29(日) 09:53:56.91]

〔問題〕
　θ（≠0）が代数的のとき、sinθ と cosθ は超越数か？

[0094 １３２人目の素数さん 2014/08/03(日) 01:23:31.47]

運営乙

[0095 １３２人目の素数さん 2014/08/29(金) 23:43:57.92]

言葉の使い方間違ってたら悪い

どんな方法でも代数的に表せない数って存在すんの？
ある数が代数的に表せないことはどうやって証明すんの？

[0096 １３２人目の素数さん 2014/08/30(土) 00:20:53.78]

代数的ってのは広い意味での代数ね

[0097 １３２人目の素数さん 2014/08/30(土) 00:23:13.20]

自分から傷を広げなくてもいいよ

[0098 １３２人目の素数さん 2014/08/30(土) 00:29:07.05]

>>97
うーん。例えば円周率とかだと
π/4＝1-1/3＋1/5-1/7＋……
みたいな数とかで表せるらしいじゃん？
こういう感じに超越数でも何らかの形で代数的に表せるのかなぁって思って
数学詳しくないから教えてほしいんだ

[0099 １３２人目の素数さん 2014/08/30(土) 00:38:22.13]

>>98
>広い意味での代数
を定義して

[0100 １３２人目の素数さん 2014/08/30(土) 00:43:31.37]

>>99
うーん。
うまく言えないけど
加算集合のように、自然数が1から無限まで(有限でもいいが)続いていくのと同じような形を要素として表せる数かな

[0101 １３２人目の素数さん 2014/08/30(土) 00:45:55.31]

現れる無限に続いていく数は規則的に並んだ数ね。規則的ってなに？と言われるかもしれんが

[0102 １３２人目の素数さん 2014/08/30(土) 00:57:47.51]

>>101
>規則的ってなに？と言われるかもしれんが
それを定義しないと無意味

[0103 １３２人目の素数さん 2014/08/30(土) 01:11:09.43]

>>102
f(x)＝の形で1番目の数から無限番目まで書ける数たちを規則的に並んでいる、とするのはどうだろう
フィボナッチ数列みたいに初期条件をつけるのもあり

無理数の集合は加算集合ではないのだからすべての実数が加算集合のもので表せるはずがないと言う人がいるかもしれんが
>>101の「規則」たちの集合が不可算集合になっていたり、>>98の「何らかの形で代数的に表せる」の「何らかの形」が不可算なのかもしれないのかなとも思ったり

[0104 １３２人目の素数さん 2014/08/30(土) 01:17:49.61]

エスパーしたぞ
f：俺にとってきれいで規則的っぽい関数、広い意味での代数な感じ
{an}：俺にとってきれいで規則的っぽい数列、広い意味での代数な感じ

問：lim[n->∞]f(an) で表せない数って存在すんの？

[0105 １３２人目の素数さん 2014/08/30(土) 01:36:21.25]

>>103
f(x)=(x=1のとき1, x=2のとき4, x=3のとき1, x=4のとき5, x=5のとき9, …)
のような「f(x)=の形」の（無限の長さの）規則はあり？

[0106 １３２人目の素数さん 2014/08/30(土) 01:38:10.96]

>>105
それはなしかな…

[0107 １３２人目の素数さん 2014/08/30(土) 02:00:59.26]

>>106
なぜ？

[0108 １３２人目の素数さん 2014/08/30(土) 02:08:08.34]

>>107
だって初期条件で無限個を設定してしまったらf(x)が関数じゃなくなるじゃん
関数からはじき出される数の列を規則的であると言うことにする、ていう意味

[0109 １３２人目の素数さん 2014/08/30(土) 02:35:02.79]

>>108
「関数」の定義(ry

[0110 １３２人目の素数さん 2014/08/30(土) 10:23:39.64]

>>109
それ嫌がらせ？普通の意味の関数だよ
僕の疑問に答えてよ