数理論理学（数学基礎論） その11
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数学基礎論は、数学の基礎づけを目的として誕生したが
現在では、数理論理学として、証明論、再帰的関数論、
構成的数学、モデル理論、公理的集合論など、 多くの分野
に分かれ、極めて高度な純粋数学として発展を続けています。
（「数学基礎論」という言葉の使い方には、専門家でも
若干の個人差があるようです。）
応用、ないし交流のある分野は、計算機科学の諸分野や、
代数幾何学、 英米系哲学の一部などを含み、多岐にわたります。
（数学セミナー98年6月号、「数学基礎論の学び方」
ttp://www.math.tohoku.ac.jp/~tanaka/intro.html
或いは 岩波文庫「不完全性定理」 6.4 数学基礎論の数学化
などを参照）
前スレ
数学基礎論・数理論理学 その10
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1319895756/ >>1のテンプレ、敬体と常体くらいは文章作法として
合わせて下さい
×数学の基礎づけを目的として誕生したが
↓
○数学の基礎づけを目的として誕生しましたが
○数学の基礎づけを目的として誕生した分野ですが、 おまえいがいそんなことは気にしない
だからおまえはアスペだとしてきされるのではないか 直観主義論理は、ラッセルのパラドックスの解決を目的とするものではない。
パラドックスの解決法をしめしていないし、実際解決していない。
ttp://taurus.ics.nara-wu.ac.jp/staff/kamo/shohyo/logic-b.html ttp://taurus.ics.nara-wu.ac.jp/staff/kamo/shohyo/logic-b.html
直観主義論理でも {x | ¬ x ∈ x} の存在から
矛盾を導くことはできます。
要は、φから矛盾を導くことができることから
¬φ を導くのは直観主義論理でもアリ
なことがミソです。
やってみましょう。
R = {x | ¬ x ∈ x} とおく。 すなわち、
(*) x ∈ R ⇔ ¬ x ∈ x
である。 特に、x = R の場合を考えると、
(**) R ∈ R ⇔ ¬ R ∈ R
まず、R ∈ R と仮定すると (**) より ¬ R ∈ R が得られ、
仮定と矛盾する。 R ∈ R を仮定して矛盾が導かれたので、
¬ R ∈ R が成り立つ。
これに (**) を適用すると、R ∈ R が得られる。
R ∈ R と ¬ R ∈ R がともに成り立つので、矛盾する。 ちなみに、縮約規則がない論理では
{x | ¬ x ∈ x} の存在から
矛盾を導くことができない。
ttp://d.hatena.ne.jp/ytb/20070920
ttp://d.hatena.ne.jp/ytb/20070922
ttp://d.hatena.ne.jp/ytb/20070923
ttp://d.hatena.ne.jp/ytb/20070926
ttp://d.hatena.ne.jp/ytb/20070929
ttp://d.hatena.ne.jp/ytb/20070930 まとめ。
１．「論理主義」（フレーゲの理論）では
ラッセルのパラドックスが生じる。
但し、ツェルメロの公理的集合論では
ラッセルのパラドックスは生じない。
２．「直観主義」（排中律なしの論理）でも
ラッセルのパラドックスを防げない。
３．「形式主義」（ヒルベルト・プログラム）では
公理的集合論からパラドックスが生じない
という証明は出来ない。
結論：数学基礎論はラッセルのパラドックスとは直接関係ない。 ttp://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1319895756/964
＞自分が気に入らないとスタンフォードの事典すらも、素人扱いか。
>>12で根拠を示した。
スタンフォードという名前は意味がない。
引用したページでは、証明が示されている。
数学でも他の学問でも、重要なのは内容であって
無意味な権威ではない。 ＞「直観主義は直観主義論理を採用すること」等々、
＞素人っぷり丸出し
残念だが、ブラウアーは集合論に代わる理論を提示していない。
その意味でも、ラッセルのパラドックスを解決できていない。
誰が素人かは、当の素人以外には明らかだろう。 ＞直観主義っていうのは、論理の部分だけではなく、
＞非論理的公理の部分や、 その他数学のあるべき姿全般
＞に対する哲学的主張（例えば形式主義に反対するなど）
＞までひっくるめた文字通り一つの「主義」なんだけどな。
ブラウアーは、非論理的公理を示さなかった。
もともと公理論が嫌いだったともいわれている。
ブラウアーはナチ・シンパだったともいわれている。
直観主義が政治的な態度まで含めるかどうかは知らんが。 ラッセルのパラドックスの解決法に関しては
○○の一つ覚えのような論理主義・直観主義・形式主義
の三主義の呪文を唱えるより、以下のページおよび
これに関連するページを見たほうが、よほど多くのことを
学べるだろう。
ttp://d.hatena.ne.jp/ytb/20070912 ＞基礎論論争は、隔離スレでやってくれ
おやおや、それなら、わざわざスレッドのタイトルに
堂々と数学基礎論なんていれなきゃいいのにね。
ちなみにこちらは（）つき。
しかも、数理論理学によって、いわゆる○○主義が
ラッセル・パラドックスの解決には結びつかない
という事実を示している。つまり数学の話。 AKB全盛の今、「なっちって誰？」って
尋ねるようなもんだな。 質問
１．数学の理論に決定可能性は必要？
２．数学の理論に無矛盾性証明は必要？
３．１及び２の要件を満たさない
現在の集合論は数学ではない？ 数学の無矛盾性を証明されるべきとした人がいる.
数学の無矛盾性を証明できないらしいが,
無矛盾性を証明できないことの証明に誤りがあるといわれることもあり,今の事態は何か. >>20
公式見解
１．不必要
２．不必要
３．集合論から矛盾が導かれない限り
数学の理論として認められる。 >>21
＞数学の無矛盾性を証明されるべきとした人がいる
ヒルベルトのことかい？
＞数学の無矛盾性を証明できないらしいが,
ゲーデルの不完全性定理のことかい？
＞無矛盾性を証明できないことの証明に
＞誤りがあるといわれることもあり
誰の発言のことかい？素人のいいがかりなら忘れとけ 1 はい
2 いいえ
3 はい
だな、俺の感覚からすると >>24
一応確認しますが、
決定可能性の定義は
御存知ですか？ 数学の無矛盾性が数学の中で記述できるものとする。
数学が決定可能かつ矛盾が証明不能（無矛盾）ならば
無矛盾性は当然証明できる。 無限論の教室（野矢茂樹）
「ラッセル集合、つまり「自分自身を要素としてもたない集合」ですが、
これもまた、可能無限的観点からすれば、そういう集合を集めてくる
際限もない作業があるにすぎません。こうした生成するものとしての
集合というイメージのもとでは、「自分自身を要素に持つ／持たない」
ということも考え直さなければなりません。「ラッセル集合」とは、
そうした作業遂行の方法に付けられた名前に過ぎません。それは決して
完結した全体として対象化されえないものですから、それが要素になる
とならないとかいうのはナンセンスなのです。(p.167-168)」
これがブラウアーの見解かどうかはともかくとして、この主張は、
直観主義論理によって内包公理を救うものではなく、むしろ、
内包公理を否定しているわけで、単に集合論に難癖つけてると
しか思えん。 >26
証明概略はこれでいい？
決定可能性の前提から、
(1) |- Consis または |- not Consis
|- not Consis とすると |- false。これは無矛盾性の前提に反する。だから
(2) not |- not Consis
(1)と(2)から
(3) |- Consis 以上
>数学の無矛盾性が数学の中で記述できるものとする。
ここの｢数学｣は｢形式的体系｣くらいが適切？ >>27
内包公理に変わるものを構築しようとしていると考えることも出来る。 ★★★下記の本スレへ誘導のほどお願いします★★★
数学基礎論・数理論理学 その11
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1325513069/
★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★ http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1325513069/49
上記の文章では、直観主義がいかなる意味で
ラッセル・パラドックスなどの逆理を回避するのか
全く答えられていない。つまりトンデモ。 http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1325513069/51
上記の文章を書いた人は、きっと
「数学基礎論が生まれた動機の一つとして、
素朴集合論における逆理の解消があるんですよね。
ね、ね、そうだといってくださいよ。（泣）」
と懇願のメールを専門家に送りまくって
黙殺された苦い経験があるんだろう（笑） http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1325513069/53
「扇定理(Fan Theorem) と
連続選択公理(実数の選択関数で連続なものが取れる) により
ラッセル・パラドックスが解消される！」
という新説を唱える者現る（笑） http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1325513069/54
上記の文章を書いた人は、なにか重大な誤解をしているようだ。
「実数値関数はすべて連続である」ということは
「連続性を有しないものは実数値（全域）関数でない」
ということであるから、当然弱い。
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1325513069/
＞知識も話題も豊富なスレタイスレ446
おしゃべりの素人にだれも言い返せないとは
トンデモスレはどいつもこいつもカスだな。 ぶっちゃけ、決定厨（数学理論は決定可能でなければならない
と絶叫する奴）は人格障害かと思う。
数理論理学が、全ての問題の解決法を求めたがる
人格障害者をひきつけ易い傾向があるのは確かだ。 何かはしゃいでるようだけど、サッパリ分からないな。
ニートや無職の、ゴミ・クズ・カスの、クソガキは、死ね！！！！！！
>>39
何かイラついているようだが、理由がサッパリワカランなｗ http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1325513069/163
＞基礎論の最初の目的（の一つ）がパラドックスの解決だったかということと、
＞基礎論の研究の結果実際にパラドックスを解決できたかという、
＞全く別の問題（一方は歴史の問題、もう一方は数学または哲学の問題）を混同
言い訳にも何にもなっていないな。
まず「パラドックスの解決」は数学の問題。哲学でも歴史でもない。
そして、パラドックスの解決が目的だ、と主張するには、
少なくとも解決の案が提示されているという証拠が必要。
し・か・し・な・が・ら、そのような証拠は一切提示できていない。
要するに、当人がパラドックスに勝手に発狂し解決を求めてるだけ。
そんな人格障害者の精神の安定の問題を、
学問の問題に摩り替えないでほしいｗ
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1325513069/164
＞火傷しないようにスルーしとけ。
そうしたところで、勝手に>>40みたいに
「決定不可能なものは数学だなんて呼べないよ」なんて、
自らガソリンかぶって、ライターで着火するようなこと
平気でやるから、結局火達磨になって炭に成り果てるｗ 決定厨隔離スレ
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1325513069/
のテンプレートも
「素朴集合論における逆理の解消などを一つの動機として」ではなく
「集合論の逆理の出現による、数学の無矛盾性への疑念の解消を
一つの動機として」とでもしておけばよかったわけだ。
ツェルメロの公理系も応急処置でしかなく、絶対的な無矛盾性の保証
はないわけだから。しかし、そのような動機も結局
「無矛盾性の絶対的保証なんか無理。ま、諦めろ」
という常識的なところにオチついたわけで、いまだに不満を抱いてる
のは、決定厨のような人格障害者くらいのもの。 >>47
ま、
「集合論の逆理の出現による、数学の無矛盾性への疑念の解消を
一つの動機として」というのも、ヒルベルト・プログラムの
説明にしかなっていないわけだが。しかも疑念をいだいていたのは
ヒルベルトではないわけで、ヒルベルトとしては胡散臭げな疑念を
大義名分にして、狭い範囲に閉じこもろうとする反動主義者どもを
抹殺しようと企んだら、自爆しちまったというところか。 >>50
頭悪いな。
「逆理の解消」と「無矛盾性への疑念の解消」は違うんだよ。
横レスだが違うと思ってなきゃ元の方がいいだなんて思うわけないだろｗ >>52
違うっていったってどうせ字数が違うとかそういう話だろｗ
どちらの表現がいいかは別にしてお前の方が頭悪く見える件 前スレの
935 ：１３２人目の素数さん
Vopěnka's principle（VP）:="Cが言語のモデルの宇宙としてのプロパークラスとしたとき、
Cの2つの要素を任意にとると、片方がもう片方に初等埋め込み可能"
「VP⇒拡張可能基数」が成り立つからかなり強い仮定。
また膨大基数kを仮定すると、V_k（累積的階層）がVPのモデルになる。
が累積的階層であるとき、この階層のランクの添え字の基数がVopěnka基数。
に対して
958 ：１３２人目の素数さん：2012/01/02(月) 13:24:57.89
>>931
>Vopěnka's principle
でググっていたら
http://www.imub.ub.es/hocard11/Problems.pdf
が出て来た。 VP に同値な命題がいくつか書いてあり、
さらに WVP なる物もあった。このなかで一つ分からないのが
accessible category の定義だ。
accessible ordinal (cardinal) と似たような感じだとは思うが
解説希望
と質問したのだが、未だに回答が無い。
---------------------------------------
で、調べたわけだが
http://www.imub.ub.es/hocard11/Gutierrez.pdf
にも
Vopěnka's principle
が、沢山出て来ている。
圏論との関係を説明してくれ >>54
＞どちらの表現がいいかは別にして
頭悪っｗｗｗｗｗｗｗ http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1325513069/170
＞数理論理学･･･というのが、もはや一つの分野とは言いがたくて、
＞複数の分野の総称という感じ。
そんなもん、代数学でも幾何学でも解析学でも同じｗ
群論と代数幾何が一つの分野だというヤツは無知
微分幾何とトポロジーが一つの分野だというヤツは無知 http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1325513069/190
＞数学自体が一つの分野であって、本来は切り分けられないけど、
＞（岩澤理論は）便宜上分けた一部。
＞身体に対する右腕のような用語。
岩澤理論なんて数学の右腕じゃないだろ。
まあ、親指の爪みたいなもんだな。
ああ、そういえば爪切らなきゃ。パチン
ｗｗｗｗｗｗｗ 数理論理学を「数学の証明の形式的言語による記述」と思い込んでる
素人（数理論理学以外を専攻する数学者を含む）が多いが全く誤り。
数理論理学は「数学による各種論理の研究」である。
部分構造論理の独自性が明らかになった今日では
直観主義論理なんて古典論理と大して変わらん。 隔離スレ
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1325513069/
の常連、イタタ度ランキング
１．基礎論排斥厨（老い耄れ三流数学者）
２．基礎論固執厨（老い耄れトンデモ）
３．決定厨（ガキ）
１と２は論理に対する態度は正反対だが、
パラダイムとか目的とかに固執してる点で
まったく同じ爺臭さを有している。
「基礎論は逆理を解消するためにできた」というのは誤りだが
「無矛盾性が証明できないのなら論理学の研究は無意味」
というのもこれまた軽率。
論理学の研究は、別に無矛盾性を証明するためにあるのではない。 >>55
個人的にはこういうネタは
「集合論スレ」とか「巨大基数スレ」とか
立ててやったほうが盛り上がると思われる。
例えば「代数学スレ」「幾何学スレ」「解析学スレ」なんて
あっても個々の話題は書き込みにくい。なぜなら、個々人の
関心はそれこそバラバラだからだ。
そういう意味でいえば、「論理学スレ」も基本的には必要ない。
例えば、非標準論理について議論したければ「非標準論理スレ」
を立てるほうがリコウだろう。 >>63
そう、もはや数学基礎論ではなく数理論理学だから。 前スレの
935 ：１３２人目の素数さん
Vopěnka's principle（VP）:="Cが言語のモデルの宇宙としてのプロパークラスとしたとき、
Cの2つの要素を任意にとると、片方がもう片方に初等埋め込み可能"
「VP⇒拡張可能基数」が成り立つからかなり強い仮定。
また膨大基数kを仮定すると、V_k（累積的階層）がVPのモデルになる。
が累積的階層であるとき、この階層のランクの添え字の基数がVopěnka基数。
に対して
958 ：１３２人目の素数さん：2012/01/02(月) 13:24:57.89
>>931
>Vopěnka's principle
でググっていたら
http://www.imub.ub.es/hocard11/Problems.pdf
が出て来た。 VP に同値な命題がいくつか書いてあり、
さらに WVP なる物もあった。このなかで一つ分からないのが
accessible category の定義だ。
accessible ordinal (cardinal) と似たような感じだとは思うが
解説希望
と質問したのだが、未だに回答が無い。
---------------------------------------
で、調べたわけだが
http://www.imub.ub.es/hocard11/Gutierrez.pdf
にも
Vopěnka's principle
が、沢山出て来ている。
圏論との関係を説明してくれ >>65
こういうネタは
「集合論スレ」とか「巨大基数スレ」とか
立ててやったほうが盛り上がると思われる。
是非そうしたまえ。 >>66
巨大基数の集合論とその応用 そのアレフ 0
と言うタイトルで立て様と思ったが拒否された。 http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1325513069/456
>今夜0時までに
>田中の数学基礎論講義の5章までの定理をすべて
>Coqで証明するよ＾＾
もし、数理論理学が
「他人様がすでに自然言語で書いた証明を
計算機でチェックできる言語で書き直す作業」
だとしたら、そんなもんは確かにクソだ。
もちろん、実際の数理論理学は全く異なるわけだが。 何が言いたいのかわからん
単に他人を貶したかっただけか __ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
. | /::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ | '､ ＼
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| |／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
| /:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/ 決定性公理 AD って二階算術の命題として定式化出来ますか？
定式化出来るとして、 ADの否定は
ATR0やΠ11-CA0などの体系で証明できますか？ ★★★下記の本スレへ誘導のほどお願いします★★★
数学基礎論・数理論理学 その11
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1325513069/
★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★
>>103
自分の知識がないせいだと思うが専門知識が豊富な感じのレス __ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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１００未満を、四捨五入。１００未満が、四捨五入。
１２万６７５０ ＝ 答え（ ）
答えはいくつになりますか？
それが数理論理学とどう関係するんだ
質問スレが別にあるからそこに書けよ
お前のやってることは「あらし」だよ http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1325513069/660
>鶏のようなlofさんの型理論
「鶏のような」ってMartinのこと？
ちなみにlofじゃなくてlo"f(loef)ね。 ┌∩┐(◣_◢)┌∩┐
fuckin!
鶏ってのはCoqのことだZE!
Coqは型理論CoCの断片だZE!
CoCはMartinの構成的型理論由来DAZE!
Upps!FuckOff/// __ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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あっちのスレのレスに反応したければ、あっちのスレに書き込めばいいだろうに... >>81
もしかして、Martinが名前で、Lo"fが姓
だと思ってるんなら間違いだYO。
Martin-Lo"fで一つの姓。おぼえとけYO。 ┌∩┐(◣_◢)┌∩┐
Fuck!
お前あげあし、
俺は天下、
とるのかFucinBroootas!!
OZOZ...＠＠（くるくるくるくる）、
Yes!Fucing＠＠（くるくるくるくる）”！！
Coolish!!!!!!!!!!
例えば、草がある。
その草は「草」としてそこに存在している訳だが、我々がそれを草と認識するには、草がまず草であるという理解が必要となる。
何か分からないものに対して、その「もの」に自分の少しの理解が加われば、そこに存在しているものの見方も変わってくる。
汚い話になるが、うんこが目の前の道に落ちている。
殆どの人はうんこから遠ざかり、逃げるだろう。その状況下で「なぜ、うんこがそこに落ちているか」を考える人はそう少ない。「うんこ」に対する理解の仕方が一方的であるために、殆どの人は同じ行動をとってしまう。
ある問題に出会ったときに、いわゆる「答え」までの考える過程は人それぞれ。
ただ数学は答えが1つである。
その1つの答えを求めて、論理的に思考するのである。
論理的に思考することは、我々に行動の自信を与える。
自分が次に何をすればよいのか、どのような反応をとればよいのか。
人間が進化していく過程の中で、「考える」という時間があったはずだ。
考えることは、人間に与えられた楽しみであり、またそれは同時に喜びである。
数学の「緻密な論理性」はまさに、我々人間が持つ「最高の思考力」なのである。 >>84
ここは隔離スレ。ゴミ記事ばかりなのはこっちだろ。
本スレは有益な情報が結構ころがってるぜ。
猫に小判の価値は分からんのだろうが。 >>88
いや、実際には向こうのほうがゴミ記事が多い。
ゴミを有益という奴は、きっと産廃業者だろうｗ ８４＝８９は現実を直視できないアスペだろ。
その為の隔離スレなんだし、本人が隔離を気に入っているんなら、万々歳。 __ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
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(Ｐ⊃Ｑ)⊃(〜Ｑ⊃〜Ｐ) はトートロジーであり、
「(ＰならばＱ)ならば(ＱでないならばＰではない)」が成立する。
しかるに、[Ｐ⊃(ＱＶＲ)]⊃[(Ｐ⊃Ｑ)Ｖ(Ｐ⊃Ｒ)] はトートロジーである
にもかかわらず「Ｐならば(ＱかＲ)ならば(ＰならばＱかＰならばＲである)」
は成立しない。（^A^;）ﾊｧﾊｧ
シータパン予想ってなんですか？中国人が解いた有名な予想らしいですけど・・・ >>87
メシもうんこも、同じ陽子と中性子と電子から出来てるわけだが。
化学的にもうんこは例えば石や金属と比べればはるかにメシに近いｗ >>94
中国人の有能な数学者なんて過去にいくらでもいるがな。
チャーン（陳省身）とか、テレンス・タオとか。
論理学でも、莫少揆 (Moh Shaw-Kwei)とかいるよ。 リサイクルという点ではクソから食物を作るというのもアリｗ
お前たちは、定職に就くのが先決だろがあああああああああ！！！！！！
ニート・無職の、ゴミ・クズ・カスのクソガキどもがあああああ！！！！！！
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. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
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俺は、おまえなんかと、付き合いたくねーんだよ。 __ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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現行の数理論理学が間違っていることを示す好例：−
(Ｐ⊃Ｑ)⊃(〜Ｑ⊃〜Ｐ) はトートロジーであり、
「(ＰならばＱ)ならば(ＱでないならばＰではない)」が成立する。
しかるに、[Ｐ⊃(ＱＶＲ)]⊃[(Ｐ⊃Ｑ)Ｖ(Ｐ⊃Ｒ)] はトートロジーである
にもかかわらず「Ｐならば(ＱかＲ)ならば(ＰならばＱかＰならばＲである)」
は成立しない。 273 ウンコちゃん ◆TE6vHyq7MA age 2012/04/25(水) 21:24:50.30
241 １３２人目の素数さん 2012/04/21(土) 23:18:11.46
1億人から選ばれた1人（A)が、1億人全員から口座に1円づつ振り込まれるとする
毎月1人選ばれるとすると1年間に12人が1億円の資産を持つことができる
10年で120人 20年で240人 30年で360人が1億円を手にできる
宝くじより確実
1億人全員が1億円持つことは可能か __ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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人間の本性たる純粋直観により明らかに真と判る、
とか書いとけば丸貰えるんでしょ。 __ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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なんか違うのかな？
同じようにしか見えない… 厳密には、ベン図は集合を説明する図、オイラー図は伝統論理の説明に使われる図で違うけど、今は同じという説明もよく見かけるからそうなんだと思う。 >>116
お前さんの大学の試験ならそれで十分なのかもな __ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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がわかりません、よろしくお願いします。 __ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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f：X→Y を局所Noetherスキームの間の固有射であるとし、
X , Y の構造層 G , H の間には f*(G)＝H が成り立つと仮定する。
このとき、任意の y∈Y に対し、 f^-1(y) は、空でなく、連結である。 __ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
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ジョーは酒場で論理学の教授と知り合った。
「論理学ってのはどういったもんですか？」
「やって見せましょうか。お宅には芝刈機があります？」
「ありますよ」
「ということは、広い庭があるわけですね？」
「その通り！うちには広い庭があります」
「ということは、一戸建てですね？」
「その通り！一戸建てです」
「ということは、ご家族がいますね？」
「その通り！妻と２人の子供がいます」
「ということは、あなたはホモではないですね？」
「その通り！ホモじゃありません」
「つまりこれが論理学ですよ」
「なるほど！」
深く感心したジョーは、翌日友人のスティーブに言った。
「論理学を教えてやろう。君の家には芝刈機があるか？」
「いや。ないよ」
「ということは、君はホモだな！！」 , '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
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”「博士は眼鏡をいじった。「こう言いたいのかね」博士は迫った。
「本物の帽子屋がロンドンで盗みを働いていると」”
10 名無しのオプ 2011/06/22(水) 03:21:05.38 ID:ivdj3XDZ
>>9
・博士の話している相手は目上の人間ではない。
・こう言いたいのかね、の表現から博士が会話相手は自説を断言することを避けたことがわかる。
→推理：従って会話相手が伝えたかったことは、
「突飛な話」あるいは「博士の名誉に差し障る話」あるいは「自分自身が不利になる話」のいずれか。
・ロンドンで盗みを働いている、の表現から、犯罪は突発的なものではなく連続して起きている。
・本物の帽子屋が〜、の表現が暗に意味する「本物でない帽子屋」
→推理：帽子屋が犯罪を起こす小説等があり、それになぞられた事件が起きている？
18 名無しのオプ 2011/07/10(日) 08:45:43.16 ID:cQnGTeBY
”ハーフォードを出発する前、タナーはルース荘の応接間で見つけた写真に記されていた名前の写真師に手紙を出して、
サー・ウィリアム、オースチン、コスグローブの三人の写真の焼増しを注文しておいた。”
21 名無しのオプ sage 2011/07/10(日) 15:45:34.44 ID:tde/In6A
>>18 まず分かることはタナーは写真師と面識はない、ということ
（ルース荘で写真を見つけて初めて名を知った）。
にもかかわらず、写真の焼き増しを依頼できるということは、タナーには何らかの権限がある
（おそらく捜査関係者）。
ハーフォードを出発したタナーの目的地に写真師がいるのかどうかは分からない。
目的地に写真師がいるのだとすれば、かなり遠方（依頼の手紙の方が早く着くことを想定しているのだから）。
そうでない（ハーフォードから目的地へ出掛けて帰る間に焼き増しが出来上がるように依頼した、などの）
場合も考えられるから、目的地については何とも言えない。
ただ、後者の場合、目的地での調査には必ずしも写真は必要ではないことになる。 24 10 2011/07/11(月) 00:05:22.59 ID:tRxAZDqU
>>21
・手紙を送ってる所から、写真師はハーフォードにはいない。
手紙ならどこからでも(目的地からでも)送れるので、
わざわざ出発前に手紙を出したということは、
目的地に写真師がいる蓋然性が高い。
写真を撮る場合、近くの写真師に頼むはずなので写真師はルース荘の近くにいる。
したがって、タナーの目的地はルース荘であると考えられる。
→推理
見るだけなら目的地の応接室にあるというのに、
わざわざ焼き増しを必要とする理由は聞きこみに使うためと考えられる。
25 10 2011/07/11(月) 00:07:30.72 ID:tRxAZDqU
>>21（つづき）
・ハーフォードの名の都市は、アメリカのカンザスに存在する。
しかし、サーの称号からルース荘のある国はイギリスであることがわかる。
タナーが探偵であれ、捜査員であれ海外に調査に出かけるとは考えにくい。
したがって文中のハーフォードは、
イギリスの都市ハートフォードの書き間違いである可能性が高い。 __ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
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「3次元以上の『全ての』次元においても成り立つ」のに
「2次元ユークリッド平面においては成り立たない」のはなぜですか
2次元の場合でも「円を有限個の部分に分割して組替える事で、同じ面積の
正方形を作ることが出来るのである」とWikipediaにありますが円を分割して
２つの円にすることはできないみたいですね
どうも、「ＥＵＲＭＳ（∋ M_SHIRAISHI氏 ）の理論」のほうが正しいようだな。
例えば、対偶律は、従来は、 (Ｐ⊃Ｑ)⊃(¬Ｑ⊃¬Ｐ) で表わされるもののこと
と考えられていたのだっただが、これは、どうやら、誤りだったようだ。そして
ＥＵＲＭＳの言う［Ｐ(ｘ)⇒/x/Ｑ(ｘ)］⇒/p,q/［¬Ｑ(ｘ)⇒/x/¬Ｐ(ｘ)］
こそが、対偶律を正しく捉えてたものと考えられる。
ＥＵＲＭＳの主張する「論理大改革」は、恐らく、世界を席巻することとなろう。
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横で聞いていた、とある客が論理学者につっこみを入れた
「全然論理的じゃないな」
「ほう、どこがかね？」
「例えば家が芝刈り機の業者なら芝刈り機があっても広い庭はない」
「芝刈り機がある、とは、芝刈り機を所有する、という意味だ」
「としても、広い庭があるが共同所有のアパート住まいの場合もある」
「広い庭がある、というのも、当人が所有する、という意味だ」
「としても、家は親の遺産で、すでに死去してる場合もある。
生きていたとしても、親では、本人がホモセクシュアルでない
という根拠にはならない」
「・・・」
「さらにいえば、ホモセクシュアルだから子供がいないとはいえない。
単に子孫を残る必要のためだけに女性と交わる場合があるからだ。
したがって、芝刈り機があり広い庭がある一戸建てに住んでいて
さらに妻と子供がいるからといってホモセクシュアルでないとは
いえないわけだ。なぜならそれぞれの推論が全く論理的でないからだ。」
「あなたは一体・・・」
「君がなりすまそうとした論理学の教授だよ」 __ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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| l＾,人| ` `-' ゝ | このスレ 馬と鹿と豚ばかりね。
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（ ( ・ω・） ブヒ、 俺、もらい子だったんだ。ブヒ。
しー し─Ｊ >>184
企業は一応仕入れた売り物の財産権を保持して
在庫として所有しているところも多いような。
私的所有物として持っている、と言いたかったんだろうけど。
こういうあるかないか微妙な可能性を考えるのって
論理学の特徴というより数学の特徴だよね。
つまり論理とはどういうものであるかというよりも、
研究の主題がどれだけ厳密な推論を許すかの違いだと思う。 158はコピペだけど184はコピペじゃなくて
ちょっと的が外れたレスだと判断しました 描
>アホしかいない
>つまり、増田哲也自身がアホ
>
>しかも増田哲也は性犯罪者であり
>アホの中でも最底辺の者にだけ許される ジ・アホの称号を持っている
>
__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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死ね！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！ __ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
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一階関係記号と一階関数記号の例を探してるのですが
どのうよな例がありますでしょうか? ワシかてそう願ってるがな。
ケケケ狢
>236 名前：１３２人目の素数さん ：2013/02/05(火) 23:59:06.65
> そうは行きませんよ猫さん。
> 数学板は何度でも甦ります。
> >>197
ペアノ算術とか実閉体の例に出て来るものを書けば良いんじゃない？ ワシかてそう願ってるがな。
ケケケ狢
>236 名前：１３２人目の素数さん ：2013/02/05(火) 23:59:06.65
> そうは行きませんよ猫さん。
> 数学板は何度でも甦ります。
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@=nY=ZY
"You to KIRISE Equation."
sometimes is unreal simulations.
Unreal has a not Dream. ＞＞２０２
２０代の、無職の、ごくつぶしがあああああああああああああ！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！
死ね！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！ __ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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「１＝０は証明できない」ことは証明できない
となるらしいが、どうもよくわからん。「１≠０」は公理から簡単に出る気がするのだが・・・ K(新記号)=3.87/4.83
@=nK=ZK
"KIRISE Invariable."
1=0.801242236024845
TWO arithmetic operations.
"Fade in/out" φが証明できることと
not φが証明できないことは別のことだよ __ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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そこら辺のことがわかりやすく書かれている本なんかない？
「ゲーデルに挑む」を読んで大体理解したつもりになったんだけど、もやもやして仕方がないorz いや>>207の疑問が出て来る時点で
大体理解しているとは言いにくいし「ゲーデルに挑む」の
論文本編をちゃんと読めているとも言えない気がする
今度こそわかるゲーデル不完全性定理 (KS理工学専門書)
http://www.amazon.co.jp/dp/4061565060/
とかが分かりやすいと聞くけど持ってないから良く知らん >>207
数学セミナー20121年11月号に
「ゲーデルの第２不完全性定理はわからない」江田勝哉
というのがあるよ。 >>213
今日読んだ。俺の疑問は解決しなかったが、なかなか面白かった。 「数学」の「数学基礎論」の書評読んだが
数学の細分野化はついに数理論理内部でも
全分野を把握できないくらいに進んだんだなあ、と思った 【論理力テスト】次の文章は正しいようで実は論理的に間違っています。どこがどうおかしいか貴方は説明できますか→「何度学校を変わってもいじめられるのは、いじめられる側に原因がある証拠だ」…答えは「感情自己責任論」で検索 論理的に間違ってるわけではないよ
後件が真になるような仮説を前件に持ってくれば真になる
要するに総合命題 __ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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無職のクソガキども！ 大変なコトになるな！
憲法改正だ！ ９６条を改正してから、９条を改正する。 そして、何条を改正するか？
１８条だ！ そうして、国家総動員法ができて、オマエたち、無職のクソガキどもは、真っ先に徴兵だ！
オマエたちは、頭デッカチの虚弱児・ひ弱だから、最下等兵！ すぐ戦死だ！
アハハハハハハハハハハ！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！ __ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
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もちろん、「人間」であることが原因の一つなのは当然
同様に「学校に行く」も原因だがな 不完全性定理は原始再帰関数ではないけれど、計算可能関数に入るの？
それとも計算できない証明できないけど真ということになるの？
または全く関係ないの？ いや、不完全性定理はそもそも関数じゃないんで……
何を聞きたいのか分からない。
φ(x):ゲーデル数xの（試ｩ然数論の）論覧搦ｮの、Nにおける真理値
とするときφ(x)は計算可能なの？
とか聞かないと。因みにこれは計算可能ではありません。 閉論理式としないといかんしxがゲーデル数じゃないときの値も決めとかないとダメか
まあいいや 解析数論や幾何学的群論の有効性について数理論理学ではどのような研究があるの？ 質問なんですけど
∃x（Ax→Bx）が成り立つとするじゃないですか
∃xAx→∃xBxはありですか？ ？？？
としての部分の日本語の意味がよくわからないのでもう少しわかりやすく答えてもらえると助かるのですが ∃x（x≠0→x≠x）は成り立つ
（0≠0→0≠0だから）
しかし∃x(x≠0)→∃x(x≠x)は成り立たない まずは∃xAx→∃xBxは∃xAx→∃yByと等価だということを理解した方がいいね。
束縛範囲が違えば同じ記号でも意味が違ってくるから。 >>233
聞きたかったのはそれでした！！
うまく疑問が言葉に表せなかったので遠回しな聞き方になってしまいました >>228
∃x（Ax→Bx）は¬∃x（¬Ax→Bx）を含意しない 声優スレにこんなことが書いてあった
【彼氏できた】って”言わない”のと
【彼氏いない】って”言う”のは全く別の意味だからな >>228
∃x（Ax→Bx）が∀x（Ax→Bx）だったらいえるけどな 文系の私でも大学で論理学を学べますかね？
論理学で単位を取ってみたいです。 論理学なんてamazonや公立図書館で入手できる本を自習してわからない所を著者に聞けば勉強できます 俺やったこと無いから分らないけど
著者にメールしたらほとんどの場合分らないところ教えてくれるの？ むかし国文学の大先生に手紙で問い合わせをしたら先生の著作に付箋を沢山つけて
送ってくださったことがある。 論理学だけ学んでもあまり面白くないと思う
人工的な定義ばかりだし http://i.imgur.com/kKu6Yqh.jpg
大学の今期のテスト問題だったのですが、解答もなく結局分からずじまいでした。
どなたか解説お願いします。
第一不完全性定理関連の問題です。 Basicは
∀x¬( suc(x) = zero )
∀x∀y(( suc(x) = suc(y) ) → ( x = y ))
∀x( x + zero = x )
∀x∀y( x + suc(y) = suc(x + y) )
∀x(x × zero = zero )
∀x∀y (x × suc(y) = (x × y) + x )
∀x¬( x < zero )
∀x∀y(( x < suc(y) ) ⇔ (( x < y ) ∨ ( x = y )))
∀x∀y((( x < y ) ∨ ( x = y )) ∨ ( y < x ))
上の9つの論理式からなる集合で、suc(x)= x + 1と解釈します。
標準モデルとはBasicの標準ストラクチャーと同義のようです。
また、計算可能という言葉については
「自然数全体の集合Nの部分集合Sが計算可能であるとはSに属するか否かを判定するアルゴリズムが存在することである。」
と習っています。
他に不十分な説明がありましたら教えてください… (4')→(4)なので(1),(2),(3),(4')をみたすΓは(4)も満たします。
(4'')についてはBasicの公理である9個の式のそれぞれが
そもそも恒真であるかどうか考えてみると良いでしょう。
(4''')については排中律がヒントになります。
いずれにせよ、Basic以外のΓを考える必要は出て来ない問題です。 >>248
ありがとうございます。
糸口が見つかりました。 ゲーデルの不完全性定理と完全性定理を
組み合わせると、発狂する。
いや、別に矛盾はしないがね。
「矛盾の証明が存在する」という命題が
真となるモデルがある、というだけのことだが。
これだけでもナイーブな奴を発狂させるには十分だ。
実際には「矛盾の証明が存在する」という命題が
文字通りに表現されていないということになる。
で、その場合、文字通りの表現とは何だ、と考えると
・・・やっぱり発狂する。やはり無限は恐ろしいｗ ゲーデルの完全性定理は完備性定理とかの別の名前の方が良かった気がする。
いまだに混乱するわ。 逆に不完全性定理の方を不完備性定理と訳した本なら昔あった >「矛盾の証明が存在する」という命題
どんな無矛盾な体系Aにも、「体系Aが矛盾していることがAにおいて証明可能で
ある」という命題を真とするモデルが必ず存在する では解説しましょう。
完全性定理とは、
|= φ ←→ |- φ
第一不完全性定理とは、
Ｎ |= φ ← PA |- φ （右向きの矢印が成り立たない）
という状況をあらわしている。 すみません、以下のようなものを探しているのですが存在するんでしょうか？
・atomlessとseparativeのうち
片方が成り立って片方が成り立たないようなブール代数
・完備ブール代数に埋め込めないようなブール代数 >>246
いずれの場合もそのようなΓは存在しない。
（理由）(4')は(3)と矛盾。(4'')は(4)と等価。(4''')も(4)と等価。
ではないかな？ >>258
Comodo理論のΣバウンドとかエレフィスブール硬度が有名
ツァリスの結果でググってみ >どんな無矛盾な体系Aにも、「体系Aが矛盾していることがAにおいて証明可能で
>ある」という命題を真とするモデルが必ず存在する
Con(A) → ∃M( M |= [A |- [A |- φ∧¬φ]] )
論理式のが読みやすい＾＾ 論理学がさっぱりわかりません。
なにがわからないのかつきつめていった結果、
「無矛盾である」という言葉の意味が分かっていないことを認識しました。
これじゃ不完全性定理を理解するところまで進めませんね。 >>266
コイツ、２０代の、無職の、女性恐怖症の、ゴミ・クズ・カス・無能・虫けらのクソガキ！
無職のクソガキども！ 大変なコトになるな！
憲法改正だ！ ９６条を改正してから、９条を改正する。 そして、何条を改正するか？
１８条だ！ そうして、国家総動員法ができて、オマエたち、無職のクソガキどもは、真っ先に徴兵だ！
オマエたちは、頭デッカチの虚弱児・ひ弱だから、最下等兵！ すぐ戦死だ！
アハハハハハハハハハハ！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！
死にゆく、クソガキどもに、大伴家持の詩を贈ってやろう！
海行かば 水浸く屍 山行かば 草むす屍 大君の 辺にこそ死なめ かえりみはせじ！ なんか変なの呼んじゃった？
だれか「公理系が無矛盾である」の意味を教えてくれー 無矛盾とは、φと¬φの両方が証明可能になるようなφが無いことだよ
だいたいどんな教科書にも書いてあると思うけど >>270
範囲がわからないんですよ。
存在するとかしないとかって、考える範囲を決めておかなきゃ意味がはっきりしないじゃないですか。
２乗して-1になる数があるかって問いと一緒だと思うんですが、
いったいどういう範囲で考えてるのか、わけがわからなくなっちゃう。 >>271
君、定義をきちんと追わずに勘で理解しようとするタイプ？ 定義を追わないどころかステートメントも読まないタイプとみた φはその公理系の「言語」で書かれた論理式のどれかだよ
だいたいどんな教科書にも書いてあると思うけど つまり
Ａ＝Ｂと¬Ａ＝Ｂが両方証明されたらおかしいだろう
とはいえ、これは古典論理の場合のみ
パラコンスタント論理では両方証明できるのに矛盾しているとはいわない
他のみエリアツィヒンの補題とかカイラル三重奏みたいな現代論理の応用では
非分岐世界を連脱結合することで全図式を得ようとしているから
矛盾そのものは不要になってくる・・・ケラスの流体構成とかもそうだしね >>272,273.274
定義もステートメントも読んでるんですが？
> 公理系の「言語」で書かれた論理式
の範囲が明確にわからないって話ですよ。 初学者のために言っておくと>>275は無視してよいからね すんません。>>265＝>>276です。
>>275の3行目以降は意味不明でした。なので自動的に無視。
教科書では、まずatomic論理式から始まる¬と∨と∃の組み合わせによる構成が書かれています。
というか、それしか書いていないという印象です。 >278
規則に従って生成できる論理式全ての集合が言語の範囲だけど……どの辺りが明確に判らない？ >>278
ちゃんとかいてあるじゃん
そこにかいてある手順で構成した記号列だけがその言語における論理式
自由変数を含まない論理式の集合が、公理、または理論
公理から推論規則を適用して、○○という論理式がえられたら、それはその公理で証明可能ってこと
「○○」と、「¬○○」の両方とも、公理から推論で得られるとき、その理論は「矛盾している」
矛盾していないとき、「無矛盾」 （念のため補足）
矛盾する文が存在しないとき、「無矛盾」
矛盾する文が一つでも存在したら、「その理論は矛盾する」 >>280
論理式全ての集合が限定されてない点です
>>281
公理から推論で得られないかどうか確定するんですか？
>>282
存在する、存在しない、という対象の存在範囲が明確でないのでは？ >>283
>>280についてのレスがよくわからない
通常与えられた文字列が論理式かどうかが機械的に判定できる体系を扱うものだからね。 「証明体系」と「言語」と「論理式」がどういう関係になってるか混乱してるってことでしょう
まず「言語」ってのは
記号の集まり、◎や★でも何でも良いけど
普通は ∧ ∨ ¬ Ｒ ｆ ｘ （ ）などを使う
このＲとかｆは好きな数だけ入れれば良い
これらの記号をでたらめにつなぎ合わせると無数の記号列ができる
∧¬¬Ｒｆ とか ∨）¬ とか長さはいくらでも良い
そしてその中から論理式ってのを認定して選びだす
それが本に書いてある論理式のルールね
例えばＡとＢが論理式ならＡ∧Ｂも論理式とか
ちなみに当たり前だけど論理式に入ってる記号は言語にあるものだけね
そして今度は証明体系Ｈっていう公理と推論規則を定義する
推論規則ってのは例えばＡ∧ＢならばＡという論理式がＨで証明できますよってな形のもの
んで公理ってのは推論規則があっても一番はじめの論理式がＨになくちゃはじまらないから
何個か適当な論理式いれときますってこと
でＨから証明可能なのは何個か入れた公理と、それからを推論規則で出せるものね
このときＨを変な風に設定してみる
例えば当たり前だけど、公理にＲと¬Ｒを入れちゃうとＲも¬Ｒも証明できますってことになる
これを矛盾って定義しようってなってる、こうならないなら無矛盾なんだよ
ではなんでＲと¬Ｒが両方とも入ると無矛盾なのかっていうと
Ｒには「素数は無限個ある」とかを入れようとして論理体系ってのは作られることが多いからなんだ
「素数は無限個ある」と「素数は有限個である」が同時に証明できるＨは使い物にならないでしょ？
もちろんそういう体系も作り出せて矛盾許容論理ってよばれてる >>283
>論理式全ての集合が限定されてない点です
あらかじめ決めた構成法で得られる形に、なっているか、なっていないかは
記号列の形を見れば、機械的に判定できるよ。別の言い方だと「アルゴリズムが存在する」
もちろん、「カッコの省略」とか「可読性のための置き換え」を復元して判定するんだよ
それが「帰納的に定義するっ」てこと
その本にも書いてあるとおもうけど・・・ >存在する、存在しない、という対象の存在範囲が明確でないのでは？
何度もいうようだけど、「範囲」は明確
公理から推論規則を適用して得られる命題（定理）全体を、いま仮に「定理集合」と呼ぶことにすると
この「定理集合」に中に、○○と¬○○という『形』のものが存在するかどうかを判定する
だから、まず、この「定理集合」を構成していく様を頭の中でイメージすることから始めてはどうかな？ もちろん、逆に
ある命題をぱっと提出されて、「これはこの理論の定理？」と聞かれた場合に
判定できるかどうかは別問題
何しろ定理集合は無限にあるから、一つ一定理集合の元と比べていくやりかたなら
当然、「いつおわるかわかんない」
ただし、「証明できる」か、「証明できない」かのどちらかは成り立っている
と考えるのが普通の立場（直観論理の人ならみとめないでしょうね）
>公理から推論で得られないかどうか確定するんですか？
に対する答えは、「決まっているという立場をとる」じゃないかな
もちろん、実際に証明を構成してみせるアルゴリズムがあるかどうか、は別の話し 念のためにいっておくと
「この理論からはAは証明できない」と「この理論からは¬Aが証明できる」は
全く別な言明なので、混同しないように
ただし、理論が「無矛盾」かつ「完全」なら、両者は同じ意味になる >>288
初学者に対する答えとしてはアラが目立つ。
ズルいけど「実はややこしいこと」はサラッと述べるのが最善。 みなさんレスどうもです。
>>285
おっしゃっていることは全部クリアです
>>284,286
与えられた記号列についての判定ができることはクリアです
>>287
その「定理集合」の存在証明が欲しいです
>>288,289
おっしゃっていることは全部クリアです
与えられた記号列が論理式になっているかや、与えられた証明が本当に証明になっているか、
の判定が機械的にできる点は理解しているつもりです。
問題は「無矛盾」もそのようにクリアに理解できるか、ですね。 まず、与えられた公理系が矛盾しているか無矛盾かは
（一般には）機械的に判定できないよ。
まずその点で、ある文字列が論理式かどうかや、
或る証明が正しいかどうかの判定（これらは機械的にできる）とは決定的に違う。
機械的に判定できないけど普通は、人間の判断の
必ずしも及ばないところでどちらかに定まっていると考える。
それから、定理全体の集まりとか論理式全体の集まりの存在証明が欲しいということだが、
当然のことながら、メタ数学だろうがただの数学だろうが
無からは何も証明できない。何かを証明するには、何か証明不要の前提が要る。
無限のモノの集合の存在を言うにはそれなりの前提を無条件に認めることが必要になる。 >>293
最初の4行はわかります。
中段の2行についてですが、あまり関わりたくない部分です。ちょっと哲学ぽくて。
そういう議論がなくても数学はできるでしょ。
後段ですが、「それなりの前提を認めることが必要」とのことですが、前提があるってことは、
それが成り立つ場合と成り立たない場合の両方を考えられる、でいいですか？ >>296
> 前提があるってことは、それが成り立つ場合と成り立たない場合の両方を考えられる
論理的でなかなか結構ｗ
そりゃもちろん両方考えられるさ。
前者では議論できることが後者では議論できなくなるってだけだよ。 言っちゃなんだが、論理式全体の集合が確定していない気がするとかいうのも
同じくらい哲学っぽい話だよ。 >>299
ちょっと言い直させてもらいたいんですが、
気がする／しない、とか思う／思わないといった議論を避けたいんです。
>>287さんが、「範囲は明確だ。定理集合だ」と言うんで、その存在を認めるための
根拠を求めてるだけです。 堂々巡りじゃん、ルイスキャロルのあれじゃないんだから
はいもうこの話おしまい 論理式の集合といった場合に、
実際に論理式をすべて列挙してないのにそんなことが言えるのかという疑問だろうか。
「論理式全体の集合」ってのはイメージしやすいようにするための言葉くらいに思ったほうがよい。
実際は「論理式とは〜〜」という定義があって、
「記号列が論理式の定義をみたす場合は、〜〜〜」といったように言い換えられる話だから。 数学では、たとえば
「自然数 n に対して、それが偶数なら 2 で割る、奇数なら 3 倍して 1 を足す、
という操作を繰り返す。このとき有限回の操作で 1 になる
自然数 n の集合を M （⊂ N）とする」
みたいな無限集合の定義は普通に出て来るけど、
>>283はそもそもそういう無限集合の存在を認めない人？ >>301
堂々巡りって、根拠が出てくれば終わる話なんですよ。
>>303
数学での無限集合は認める認めないとかいう議論の対象じゃないですよ。
ここでの話とは無関係だと思いますが。 「論理式全ての集合」というのは認める認めないという議論の対象なの？何で？ >>305=303？
認める認めないという議論の対象というか、公理等のルールで認めているわけではなく、
かといって存在証明があるでもないから、 >>306
まあ、確かにそうだな
至極その通りだけど、俺は数学やるのに困ってない。 >304
論理式全ての集合は、自然数全ての集合と同じぐらいの確かさだよ。
ゲーデル数調べるよろし。 まあメタ数学でどの程度集合の言葉を使ってもよいかは
人によって考えが違うけど、公理系の無矛盾性を定義するのに
無限集合の存在は必須ではないし、
「論理式」というのも範囲が充分明確に定まっていると考える人が殆どだと思う
例えば、ある性質 P が
(1)原子論理式に対して成り立つ
(2)長さ n の論理式で成り立てば長さ n + 1 の論理式に対しても成り立つ
を満たせば当然全ての論理式に対して成り立つし、誰もがそれを認めるわけだが、
こういう一見明らかな性質だって、よくよく考えると
公理等のルールで認めているわけではなく、かといって証明があるでもない。 >>307
根拠のない事柄を認めようが認めまいが、数学やるのに困らないようにできてる、って重要なことですね。
>>308
自然数すべての集合と同じくらい根拠なし（思い込みに過ぎない）、ってことですよね。
で、存在を信じなくても別に困らないと。
>>309
無限集合を認めなくても無矛盾性を定義するのに困らなければそれでいいんですが。
できますかね？ 数学で出て来る無限集合は
認める認めないとかいう議論の対象じゃない、
ここでの議論と関係ないとか言っておきながら
論理式すべての集合は自然数全ての集合と同様に根拠が無い、
思い込みに過ぎないとか言い出したら言ってる事変わってるよ
考えている論理式の範囲なんて>>278で書いている
「atomic論理式から始まる¬と∨と∃の組み合わせによる構成」
がほぼ全てなんだから、この部分を無視したらそりゃ意味分からなくなる >>310
教わるふりをして教えてやろうとする愚か者だったか。 田中さんの数学基礎論講義の述語論理のドメインのところにも
集合をだすのはおかしいと思うが出さなくてもできることはできるとあったような気がする
証明論的意味論使えばいいんだけど
便宜的にでも集合とかを使いたくないなら
林さんの数論論理学とか論理学をつくるみたいな本で勉強すればよい
集合論は場合分けとか論理的な複雑さを避けるために使っているだけであまり関係ない >>311
数学で出てくる集合は始めから抽象概念だし、あると仮定しての理論じゃないですか。
あると仮定していろんな性質や派生概念が導けるって話で。
もし無いというなら、それらの性質や派生概念も一緒に無かったことになるだけ。
「認める認めないの議論の対象じゃない」は、認めようが認めまいが好きにすれば
いいって意味です。
また言ってる事変わってるように見えたらごめんなさい。
これに対して有限の論理式の集合や無矛盾性は素朴で具体的な概念です。
無矛盾性の問題が「すべての論理式の集合」の存在に依存するんなら、その存在証明が欲しい。
そうでなく、「すべての論理式」という概念を使わない定義があるならそれが欲しい。
>>312
教わるも教えるも別に一方通行の関係じゃないよね >310
>自然数すべての集合と同じくらい根拠なし（思い込みに過ぎない）、ってことですよね。
根拠なしというのは間違い。自然数がペアノ公理で定義されているのと同様に、
論理式（言語）も再帰的定義(>278)で定義されているよ。
再帰的定義を認めない立場なら自然数も論理式も根拠無しになるけど、
そんな立場の人間と論理学の話はできないわな。 >>314
無矛盾の定義で、証明出来ない論理式があること、というのもあるね。
矛盾してたら全ての論理式が証明出来ちゃうのを利用した定義。 「平家でないものは人ではない」が
平家でない有象無象全ての集まり X の存在を仮定しなくても
意味が分かるのと同じで、無矛盾の定義も「論理式全てを一つに集めたもの」
それ自体に言及はしてない。
集合自身に対して合併や冪集合や分出などの操作を加えるわけじゃない。
それに矛盾、無矛盾の話に限って言うと
「φかつ¬φが証明可能」はφにどんな命題を入れても同値だから、
たとえば具体的に
(A) 0 ＝ 0 かつ 0 ≠ 0
だと思っても良い。つまり無矛盾⇔「 0 ＝ 0 かつ 0 ≠ 0 が証明可能でない」。
メタ数学的な議論で、〜が存在する、
というときの量化の意味がきちんとしてない、とか言いたそうにも見えるがそれにしても
「ある論理式が存在して〜〜」というような
量化は認める立場がほとんどだと思う。こういう命題を認めないというのは、
任意の、とか存在する、というような言い回し全般を認めないとか、
形式的な論理式自体を認めないとか、そういう相当ラディカルな立場に近い。 >>315
いろいろ省略して考えてるでしょ？
再帰的定義を認めてるよ。
すべての自然数が定義されているのも認める。
「すべての自然数について○○」というのも明確な意味のある言葉だと認めます。
でも「自然数すべての集合」はそれとは別ものですよ。
ペアノ公理では言及してませんよ。
>>312
> 教わるふりをして教えてやろうとする
>>316
> 教わる「ふり」をしてる奴は一方向。
「教わるふりをしつつ教えてやろう」という２方向性を非難してるのかと思ったら、今度は「一方向」という主張か？ >319
集合がいやだったらクラスでも何でも良いよ。
便利だから使っているだけで集合であることに必然性はない。
>313の通り。 論理式全体についての集合はただの共通認識でしかなく文字によって定義されていない、ただの思い込みだ
ってことを言いたいだけのように見えてきた
ただそれが思い込みだとしても無矛盾性はみんな理解してる
亀がアキレスに言ったこと、ってわけだわなは >>318
難しいので第１段についてだけ。
「平家」の意味が明確だとして、「平家でないものは人ではない」自体は意味が明確ですね。
でも、「人のいない国」って概念になったらどうでしょうね。人も国も無限にあるんですよ。
>>320
集合とかクラスが「いや」とかぜんぜん言ってません。
すべての自然数について言及しているペアノの公理系が「すべての自然数の集合」について
言及しているわけじゃないと言っただけです。 >>323
「人も国も無限にある」っていうのはまずいな
本当に無限の意味がわかってないって思われるよ
国も人間も、有限でしょ、どう考えても
多分、未来を考えても有限
いずれ人類なんていなくなるのはほぼ確実だし １階述語論理は自然言語と正確に一致しないよ
現実に存在しない概念や成り立たないことが論理的に成立したりする
そこらへんを調整するために記述論理とか信念とか知識とかエージェントとか
メンタルスペースとか新しい形式化が試みられていて未解決問題もかなりある >>325
何に対するレス？
324にだったら
じゃあ、人や国が無限に存在することをその論理でしめして見せてよ
324に対するレスじゃないなら、無視してください >323
>集合とかクラスが「いや」とかぜんぜん言ってません。
じゃあ話を戻すか。
>292の通り、任意の記号列についてその記号列が論理式に属するか属しないかを
決めることができるのならば、論理式となる記号列を集めた集合を考えることができるよ。
論理式の集合が根拠無しというのならば、そもそも集合の定義を認めていないか、
あるいは>292を理解していないかのどちらかになりそうだね。 >>328
典型的な誤解だと思います。
集合論やそれをベースにした数学理論が理論として有効であることを認めています。
でも公理と推論規則から定理を導き出すゲームの一種であって、現実とは無関係。
集合論の主張が現実に適用できるかは、個別に検証が必要。
あなたが言ってるのは、集合論を認めるなら現実にも適用しろ、という事らしいけど、
それはちょっと乱暴。 24 ： テンプレよろ[sage] 投稿日：2011/10/04(火) 21:05:00.04
●命題論理
命題論理記号：¬,∧,∨,→,⊥(〜でない,かつ,または,ならば,矛盾する)
原子命題：a,b,c... ※a＝「1+1＝2」,b＝「2は素数」など。
原始命題は命題。a,bが命題のとき¬a,a∧b,a∨b,a→bは命題。
真理値関数V：命題aが真ならf(a)＝1,偽ならf(a)＝0とする。
aが原子命題のときV(a)＝f(a)
V(¬a)＝1⇔V(a)＝0
V(a∧b)＝1⇔V(a)＝1かつV(b)＝1
V(a∨b)＝1⇔V(a)＝1またはV(b)＝1
V(a→b)＝1⇔V(a)＝0またはV(b)＝1
Vは一意に存在。トートロジーとは任意のVでV(a)=1となる命題a( |＝ a と書く)。
|＝ a→(b→a)
|＝ (a→(b→c))→((a→b)→(a→c))
|＝ (¬b→¬a)→(a→b)
上の3つのトートロジーを公理と呼ぶ、まとめて理論と呼ぶ(集合Tや{a}と書く)。
理論Tのすべての公理を1にする関数Vが命題pを1にすることを T |＝ p と書く。
公理は定理。a→bとaが定理ならbも定理。(MP,三段論法,cut等と呼ぶ)
aが定理ならaは証明可能( |― a と書く)。
有名なトートロジー： |＝ ¬a→(a→b), |＝ ¬¬a→a
演繹定理：T∪{a} |― b ⇔ T |― a→b
命題aとbで |― a→b∧b→aならaをbに書換え可能でa≡bと書く。
a→b≡¬a∨b,¬a∨¬b≡¬(a∧b),⊥≡¬(a→a)など。
T |― ⊥ のときTは矛盾すると言う、そうでないなら無矛盾。
T∪{¬a} |― ⊥ ⇔ T |― a 。
命題論理の完全性定理：|＝ a ⇔ |― a
命題論理のコンパクト性定理：
理論Tの任意の有限部分集合Aの全命題を1にする関数が存在⇒Tの全命題を1にする関数が存在。
命題論理のコンパクト性定理⇔離散位相の入った位相空間{0,1}^Nがコンパクト。 >>323「どうでしょうね」じゃなくて自分で無意味であることを人に説明しないと。
なんだか最初から「無限個のものに言及するような命題は無意味だ」というのは
自明だとでも考えてるようだけど全然そんなことないし。
だいたい>>323の言うとおりにやると「リンゴは赤い」だって
可能的なリンゴは無限個あるんだから全てのリンゴの集合が存在しない以上無意味な文だ、
とかいうことになりかねんし
それにペアノ算術のような自然数論は集合論とは事情が違う。
ゲームの一種であって、∃n P(n)がペアノ算術で証明できることと、
現実に1、2、3、と順番に調べていったときにどこかで
P(n) が成り立つ n が見つかることは無関係だ、と言うのは乱暴すぎる。
論理式は自然数でゲーデル数化できるから、良く分からない無限集合を使ってる訳じゃない。 >>319
>>312
> 教わるふりをして教えてやろうとする
>>316
> 教わる「ふり」をしてる奴は一方向。
「教わるふりをしつつ教えてやろう」という２方向性を非難してるのかと思ったら、今度は「一方向」という主張か？
「教わりながら教える」なら2方向だけど
教わるふりをして教えてくれた人の言葉にケチをつけて自分の考えを通そうとしてるだけだから1方向 関連するＰＤＦはっとくわ
http://ac-net.org/tjst/archives/05710-tjst-kyouritsu.pdf
わからないことがあったら聞いていいよ
今は２４階述語論理やってる
きれいな対称性があるんだよね、この論理って >>329
集合論を現実に適用するのを認めないのは自由だ。
「論理式全体の集合の存在証明」を求めるのも自由だ。
それで公理系の無矛盾性概念は変わらないと思ってるの？
>>314も君だろ？よく読むとおかしいよ。 上にもあるように、証明出来ない論理式が存在すれば無矛盾、とすれば論理式全体の集合は出てこない。 >>334
公理系の無矛盾性概念は変えたくないですよ。変わっちゃおかしいでしょ。
>>329=>>314ですけど、どの箇所がおかしいんですか？
>>335
証明できない=>証明がどこにも存在しない
論理式が存在=>論理式がどこかに存在
という解釈になってしまい「どこかに」じゃ定義として認められないとなれば、
確定した全体として集合概念が結局は必要になってしまうんじゃないかと思います。 >>336
要らない。ある体系で証明できる式はこれこれこういう性質を持っている、ということが示せて、
その性質を持たない式を構成できれば無矛盾であることがわかる。 >>337
それって判定方法を示して用語を定義するやり方ですよね。
その場合いつか終わる判定方法じゃないとだめじゃないですか？
構成できればその瞬間に無矛盾であることはわかる。
いつまでたっても構成できれなければ判定は（一般には）永久に下せない。 >>338
私は>>336に答えただけだ。付随する事は自分で考えるか別の人にきいてくれ。 >>336
>>314で言ってる↓
> これに対して有限の論理式の集合や無矛盾性は素朴で具体的な概念です。
> 無矛盾性の問題が「すべての論理式の集合」の存在に依存するんなら、その存在証明が欲しい。
> そうでなく、「すべての論理式」という概念を使わない定義があるならそれが欲しい。
すべての論理式の集合よりも無矛盾性の方が素朴な概念と決めつけてるようだが？ >329
>集合論を認めるなら現実にも適用しろ
何か勘違いしとりゃせんかな。そんなことは言ってないよ。
論理式の集まりとかの話をするんだったら集合論の枠内で話をした方が楽だから
そうしているだけだよ。集合の定義を認めない立場での議論もあるだろうけど、
そんなのは面倒なのでやりたくない。
無矛盾性を扱うならどのみち論理式全体を扱わなきゃいけないんだしね。
>313は未読だけどそういった議論はあるわけだし、そっちで勉強したら？
>335
そうだっけ？（記号列としての）論理式は再帰的集合じゃ無かったっけ？
（自己言及と否定を含む体系の）定理全体の集合というのならわかる。
>338
それが不完全定理で証明した内容じゃないの？
不完全定理は対角線論法を用いて自己言及する再帰関数（と否定演算の組合せ）の
超越性を示したものだと思うけど。 >>341
田中一之さんが「不完全性定理に対角線論法は不要」と数セミに書いてたと思うが 的はずれな指摘だけど、それでも指摘するなら「自己言及する再帰関数」にもツッコミ入れないとおかしい つまり無矛盾性もそうだけど、「φは証明できる（φの証明が存在する）」
「φは証明できない（φの証明は存在しない）」みたいな
言葉自体がそもそもナンセンスだと言ってる訳だね。 不完全性定理って対角線論法じゃなくても証明できるよ
ＺＦＣのモデルの集合の連鎖から背理法でやるＷｏｏｄｉｎの第二不完全性定理証明とか
そこから完全性定理で第一を証明したりＰＡとかもっと弱い理論の不完全性も証明できる
また計算論で再帰的分離不能定理から系として証明されたり、
ブーロスの関数だけで証明するものとか（証明が簡単になるってわけじゃないけど）
一方限定算術で理論で理論を解釈してＰＡより弱い理論の不完全性を示すとか
このスレでも以前話題になったけど不完全性が成り立つにはその論理式Ａについて
Ａのゲーデル数＜2＾(Ａの論理式の長さ)
が成り立たなければならないとかx^(logy)オーダーの関数が入ってる必要があるとか
それに四則演算が入っててもウィラードの算術体系みたいな不完全性が証明できないものがある
無矛盾の話はもし的外れなら無視してもらっていいけど
言語はL＝｛∧、∨、→、¬、Ｒ｝のような集合で
記号列がその組み合わせ列でP(L)＝｛φ、∧、∧→、R¬、R∨R、・・・｝
ここで論理式を再帰的に定義して
論理式はその部分集合でF＝｛A∈P(L)｜Aは論理式｝
そしてある証明体系Hを設定したら
Th＝｛A∈F｜AはHで証明可能｝
このとき
あるB∈Fについて、
B∈Thかつ¬B∈Thが成り立つ ⇔ Hは矛盾
みたいなことが集合論とか計算論の本で出てくる典型的な導入だけど非常に簡潔だと思う >342-345
そうだったのか……サンキュー。
ちょっと調べてみよう。
>345
確かにそっちの方がイメージしやすいね。
ちょっと細かいけど、L自体は言語じゃなくて単なる記号の集合だよね。
Fみたいに構造を伴わないと言語にならないと思うけど。 >>346
どうでもいいと思ったけどやっぱり書くと
今まで見たほぼすべての本で
言語（language）Lは記号の集まり（プラス関数と述語に引数に該当する自然数を割り当てるルール）って定義されてた
ものすごい厳密には述語論理で定義されるこの関数と述語の記号は変数らしく、
具体的にZFCとかの理論を考える際に∈とかを代入しているらしい
言語は例えば新しく記号★を追加するときにL(★)みたいな書き方をする
この書き方はモデル理論とかの際に便利になってくる
記号の組み合わせの列は計算機科学とかだとクリーネスターとか言われてる
集合論では集合論の内部で定義可能性を定義したりするさいに
論理式の集合とか項の集合とか定理の集合とかってのはもっと厳密に定義されてる >>333
8ページ目に
自然数の集合Nは・・・Nを支持する「数学的現象」はなく、Nは、
集合論の公理によってしか支えられていないといっても過言ではない。
ってあるけど、一般的にそう認識されているの？ 言語と言った場合は論理記号は含めないのが普通だと思うけど オレ言葉ができる前から数を数えてたんだわ。
「論理がしっかりできてないうちから数をかぞえ始めるな」みたいな論調があるけど、
すごく違和感を覚える。 >>350
> 言葉ができる前から数を数えてた
そんなことはありえないｗ
論理は数に先行するので、論理の根本的な性質を語るのに自然数の性質を使っちゃダメ、というのは正しい。 >>352
囲碁の天才棋士なんかそんなんじゃないかな >>350
ガウスの生まれ変わりか？
いやガウスは、暗算までできたそうだから、ガウスの方が上だな。 あるpdfで
Σ1健全=1-無矛盾：「証明可能なΣ1文は真」とか言うのがずっとわからなかったんだが
昨日やっと氷解した
Ｎ |= ψ を「ψは標準モデルで真」とか書いてるから
「？モデルなら健全に決まってるじゃん、Σ1健全とか意味あんの？」って思ってた
標準「モデル」って言っちゃうから混乱しちゃった
一般の算術言語の文の真偽の話ししてるときは
標準「構造」とか言ってくれないと・・・
鹿島さんの本ではちゃんと「標準ストラクチャ」って書いてあった 永田雅宜「数学の本の誤りは考えればわかるから直さない」 まあ、標準モデルっていう言い方が業界の標準なんだろうけど >>247 に標準ストラクチャーの話しがあった
でも、このレスの
「標準モデルとはBasicの標準ストラクチャーと同義のようです。」
っていうのは、言葉使いがおかしいよね
標準ストラクチャーっていうのはあくまで算術の言語(={ 0, Succ, ＋, ・})の解釈のことであって
別に特定の理論には縛られない
「標準ストラクチャーは、Basicのモデルになっている」
「Basic は、標準ストラクチャーをモデルに持つ」っていわないと 標準モデルとの関係でいえば
「Basic は、標準ストラクチャーをモデルに持つ。
この時、標準ストラクチャーのことを、Basicの標準モデルと呼ぶ」かな せっかくなので >>246 の問題をに答えてみる
(4') そのようなΓは存在しない
Γの要素は自明にΓから導出できるので、(4')が成り立てば(4)が成り立ってしまう
(4'') そのようなΓは存在しない
問題文中の"Γ中の"は、"Γから導出される"と解釈する。(Γの元だと解釈すると
問題文が無意味になってしまう。)
完全性定理より、恒真な閉論理式は、Γから導出できる。よって(4'')が成り立てば(4)も成り立つ
(4''') Γ= Basic とすればよい
一般に、算術言語の任意のストラクチャにおいて、算術言語の任意の論理式は、真が偽のどち
らかに解釈されるので、明らかに(4''')は成り立つ。
(1)が成り立つことは自明
(2)Basicは標準ストラクチャをモデルに持つので、完全性定理より、無矛盾である
(3)Basicの閉論理式が有限個であることから、明らか >>361
> Γの要素は自明にΓから導出できるので、
ってなに？ 任意の命題 ψ に大して
ψ |- ψ
は成り立つでしょ
だから
ψ ∈ Γなら Γ|- ψ
言葉でわかりやすく言うと、「公理の文は、公理から自明に導出できる」 上の「すべての論理式」うんぬんの話だけど、
数学的帰納法と構造的帰納法について調べてみてください。
数学系の本は後者について軽めに流してる本が多いです。
情報系だと構文処理と関わってくるから説明してあるのが多い。
ゲーデルの不完全性定理の論文でももちろん説明してある。 > 構造的帰納法について調べてみてください。
「すべての論理式」の存在について何か理解が深まるのか？
単なる説明にとどまりそうだが。 まぁ実際にＺ言語とかＭｉｚａｒとかに触ってみればいいんじゃん？ 無限集合の存在は、ZFCからは証明できないのでは？
あ、もちろんZFCから無限公理を取り除いた理論から、って意味ね
無限集合の存在は、数学的な要請として受け入れるしかない 「全ての論理式」ってそんな難しいことかなあ
少なくとも、有限個の記号（{ 0, Succ, ＋,×}）から作られる算術言語Ｌの論理式の全体を考えるのは
極めて自然なことだと思うけど・・
まず、「Ｌの記号を有限個並べた記号列」ははっきり判別できるよね
その記号列が、Ｌの論理式になってるかどうかを判別する手続きも、きちんと定義されてるし
チェックは必ず有限回でおわる（帰納的に定義されてるし、記号列の長さは必ず短くなっていくから）
【「『有限個の記号』からなる有限列」の全体】を認めない、っていうなら、もう処置無しだと思う もし、記号が有限個じゃないとしても
「ある記号がＬの元かどうかが判別できる」ことさえ認めてしまえば
あとの論理式を構成する議論は全く同じだし
ＺＦＣは、あくまで集合論を形式化したものであって
ＺＦＣがあるから集合が存在するわけっじゃない >>370
> 【「『有限個の記号』からなる有限列」の全体】を認めない、っていうなら、もう処置無しだと思う
ははは。
宗教じゃないんだからさ。
認める認めないという態度表明から話が始まるなんておかしいだろ。 >>372
それは上のほうでぐちゃぐちゃ言ってるやつに言えよ
難癖つけてるのはそいつだし >>373
ぐちゃぐちゃ言ってるって言葉ができる前から数を数えてたやつのことか？ >>372
数学は認める認めない関係なくできるけど、議論は認める認めないがないと始まらない。
宗教を持ち出す必要はないぞ。 >>375
「論理式全体の集合」の存在証明が欲しいとかいってる奴だよ >認める認めないという態度表明から話が始まるなんておかしい
んな事言っても選択公理は認めるか認めないかのどちらかしかない
最初にそれを決めないと集合論は始まらない >>378
有る公理系と無い公理系が併存するだけで、特に問題はない。 >>379
だから、あってもなくてもどっちを選んでもいいけど
最初にどっちを選ぶか決めときゃなきゃダメだって話だろ >>378,>>380
キミはどうもわかってないね。
>>376や>>379の言う通り、数学は認める認めない関係なくできる。
ある公理を認めるという時と「論理式全体の集合」の存在を認めるという時では、
その意味は違うんだよ。 >>380
もしかして「論理式全体の集合」の存在も最初にどっちか選べばいい問題だと思ってるのか？ >372
数学の場合、公理とか前提は受け容れるもので信じる信じないは関係ないのにな。
前提が矛盾するならそれを指摘すればいいし。
>381
疑似問題引き起すから、「認める」と「前提(公理)とする」を使い分けた方が良いぜ。
そういえば、集合や帰属関係は無定義語とされるけど、無定義語は公理から
定義されていることにならないのかしらん？
∀x,y(x∈y∨¬(x∈y))
なんかは集合と帰属関係の定義にならんのかね？ >∀x,y(x∈y∨¬(x∈y))
>なんかは集合と帰属関係の定義にならんのかね？
ならんだろうね。排中律という論理的（無内容）命題だからね 似てるところと似てないところがある。
よって両者は同一のものではない。 排中律を認めない者でも、¬A∨A を公理に含む論理体系を理解できる。
無限集合を認めない者でも、ペアノ公理系とZF集合論を理解できる。
非常に清々しい。
自然数とか論理式全体の集合とか、それに比べてずいぶん生ぐさい話だ。 こと自然数になると神と一緒。
公理 ： 単なる前提に過ぎないんですよー
自然数全体 ： 認めないとかって、もう処置無しだと思う >>385
様々な宗教の敬虔な信者が数学で業績をあげているところをみると、多分数学と宗教はちがう。 まぁ自然数や整数までは真理
危険なのは実数の部分集合をとる操作あたりから
実数自体も謎に満ちているけど ＞まぁ自然数や整数までは真理
( ´∀｀)っ「 有限の中の無限 pdf 」 >>391
そんなのは先入観と恣意性のカタマリだし。
これだけは譲れない、なんてけち臭いこと言ってないで、なくて済ませる方法を考えろ クロネッカーかよ。>391
それを言い始めるんだったら数自体も恣意的なものだろ。
推論を恣意的とするやつはさすがにいないと思うけど。 京大はどんどん外人を取り込むらしいしな
駄目ポス毒や元指導教官の学内権力だけが
頼りの晩年特任が今後駆逐される流れになれば
それは日本の数学会にとっても良い
あとは論文碌に書かない老害教官どもを首にできればいいんだがな
10年近く，あるいはそれ以上に書いてないやつとか腐るほどいるからね 良くなればそれに越したことはないが、
おかしな方向に向かわなきゃいいが。。。 自然数とか整数を認めないと
それらに対する議論そのものが破綻するんだよね
あと「 有限の中の無限 pdf 」 は言いがかりみたいなのも多い
パリクとかベルナイ数とか無理があるし（このスレでかなり昔にでてる
所詮ペギオの内部観測を信奉する似非数理哲学者
新フレーゲ主義のライトの論理で自然数を構成したとかの強引なこじつけの類似物 もし恣意的だったら人類が滅亡したら論理は存在しなくなるね 論理の公理と推論規則のことを言ってるんだったら、それはもちろん恣意的なもの。
でも明示的に採用された明朗な存在だ。
しかし自然数全体とか論理式全体となると、途端に宗教がかった話になってしまう。
「正常な精神の持ち主なら認めざるを得ません。皆さん認めてらっしゃいますよ。」みたいな。
propositional axiom ： ¬A∨A
Cut Rule ： Infer B∨C from A∨B and ¬A∨C
こんな風に明示的に提示してくれりゃ文句ないんだけど、なんで裏口から入るような真似する？ >401
直観論理みたいに¬A∨Aが成立しないのもあるけどね。
あと、>328からさんざん話の出てきていることだけど、
論理式の全体を下記で定義できないとする理由は何？
記号列∧記号列が論理式の生成ルールに従っている
⇔論理式に属する
そんなものを（集合でもクラスでもドメインでも何でも）
定義したら論理が破綻するというのなら証明を示してくれよ。 ゲーデル数を考えれば、論理式全体の集合なんて、ものすごく自明な気がするが そんなの、「自然数全体の集合の存在を証明しろ」
って言ってるやつには無効でしょ
逆に、自然数の全体には文句言わないくせに
論理式の全体がわからないって言うヤツがいたら異常
どちらも有限のモノから有限の操作でつくられるモノ全体ってことでは同じなんだから それでは自然数の集合を仮定しないで不完全性定理を証明しよう。
まず
一階述語論理とは
言語、項、論理式、公理系、構造の組の総称である。
言語とはシグネチャ＜Ｒ，ｎ＞のことである。
つぎにオーバーライドを定義する。
オーバーライドとはＲに記号をｎに自然数を割り当てることである。
例えば
＜∧，2＞や＜¬，1＞のようなもの。
一階述語論理ではあらかじめいくつかオーバーライドしておく。
∧ ∨ → ⇔ ＝ には自然数2、
¬ ∀ ∃ には自然数1を割り当てておく。
とここまで書いておいて
http://ytb-logic.blogspot.jp/2013/06/blog-post.html
みたいなブログを発見した そこで言ってるのは、述語論理に意味論を与える為には
集合論が必要だ、というごく当然のことであって、
或る記号列が論理式(wff)であるとか、ある理論が無矛盾であるという
ことを言明するためには実は集合論が仮定されているとか、
そんなことを言ってない。
あとセマンティクスとシンタクスの違いと
メタとオブジェクトの違いは別物で、
セマンティクス≒オブジェクトレベルみたいな扱いは
人によっては違うというと思う >>403
論理が破綻？？
集合やら自然数全体やらを導入したら破綻どころかそれだけ論理は豊かになるだろう。
与えられた式が論理式かどうかの必要十分条件があって、それで論理式全体の集合が
定義できるなんて、そんなことあるわけないだろ。 >>404
自然数全体の集合
置換公理
の両方が必要になってくる。
全く自明でないし、存在しないという疑いはなくならない。 >>410
そこまで言うなら、1,2,3・・・という有限の自然数すら信じられなくなりそうだな。
そっちは明らかなのかよ？中途半端じゃね？ >>410
エドワードネルソンがペアノ算術は矛盾する、という論文を発表して、すぐ取り下げていたね。
彼曰く、「65536個の要素からなる集合は存在するが、そのベキ集合は存在しない」 彼らはベキ操作ではなくωを自然数と同様に使っていることが問題だということに気づいていないんだよね
それでグットスタイン数列の収束は不自然だと言い出す
ＺＦＣの基数や順序数の演算と具体的な自然数のベキは違う
普通に数学やるときは代数上の式にω、つまり自然数の集合を代入したりしない >>411
有限自然数だって疑いえない概念とは言えないかもしれない。
でも数学的な論理をやる場合はそれを問題にすることはない。
なぜなら互いに識別可能な記号を認識し、それを組み合わせる行為の中にその概念が含まれているからね。 >409
>集合やら自然数全体やらを導入したら破綻どころかそれだけ論理は豊かになるだろう。
基本的には同意だけど、それは言い過ぎ。
素朴集合論は実際に破綻したし。
>与えられた式が論理式かどうかの必要十分条件があって、それで論理式全体の集合が
>定義できるなんて、そんなことあるわけないだろ。
内包的記法はそんなもんだよ。 >>412
意味わからん
有限集合の冪集合なんか時間かければ実際につくれるだろ
それとも、「実際に誰かが紙に書いてみせなければ、存在するとはいえない」って主張？
もしそうなら、いったい何個の元を持つ集合なら
冪集合を作れるのかね
例えば、３個の元をもつ集合{ a, b, c }の冪集合なら
φ, ｛a｝, ｛b｝, ｛c｝, ｛a, b｝, {b, c}, {c, a}, {a, b, c} って実際にかけるし
どこからか、書けなくなる境目があるよね 論理は客観的な実在だよ
人類の最後の一人が死んだ瞬間に成立しなくなる類のものではない >>417
そうかもしれないし、そうでないかもしれない。
ただ数学で使用する論理は、そのような問題に影響されないようにできてる必要がある。
んーなんか逆説的かも。 数学の哲学スレでも立ててそこでやってろや
数学の哲学は数学やるのに無益すぎる >>410
「すべての自然数について、〜が成り立つ」という論理式は >>415
>素朴集合論は実際に破綻したし。
ラッセルのパラドクスのことだろうけど確かに一度破綻したけど
集合の上にクラスをつくることで素朴集合論の矛盾は簡単に回避された
ラッセルの作ったクラスを集合と仮定すると矛盾が発生するから集合でないという定理になる >そもそも数学というのは字面上の違いではなく、ある一定の同一視のもとで
>字面上違うものがどれだけ同じに見えてくるか、ということを探求するものだ
見識狭過ぎﾜﾛﾀ
もっと極端に「そもそも数学とは圏を研究するものだ」と言っちゃえば良いのに 直接的に説明したら見識が狭い、という理屈はわからん 425さんへ
YM @ym_duality 22時間
@CharStream そういうのも一例と言っても良いのですが、別に基礎論に限らなくて、数学というのはそもそも、字面上の違いではなく、ある一定の同一視のもとで、字面上違うものがどれだけ同じに見えてくるか、ということを探求するものです。それが構造を見るということです。
引用はこれ？この板での書き込みではないのでは？twitterのと混乱するが・・・ ガウスやニュートンのやってたことは「数学」じゃなくなるな このYMとかいう人のTwitterの書き込みと研究内容を少しみてみた
自分が数学やったことない哲学系の人が陥る典型
圏論なんて代数以外じゃ効率悪いのに >>429
ではその効率が悪いのがなぜかを説明してください。
よかったらTwitter上でもいいですよ、掲示板だと返信に時間がかかるので調べる時間ができてしまいます。
https://twitter.com/ym_duality
Twitterはアカウントが簡単にとれるのでぜひ来てください。
コテンパンにしてあげますよ。 調べる時間があっちゃいけないのか
数学をゲームかなんかと勘違いしてるな なんで掲示板だと時間がかかるのかさっぱりわからん
アカウントとるほうが面倒で時間かかるじゃん
しかも、そのためだけにわざわざアカウント作るとか本末転倒
そいつ、頭おかしいんじゃない？ >>430は本人ではなくて、面白がって焚き付けてるだけなんじゃないの >自分が数学やったことない哲学系の人が陥る典型
いやその人数学の人なんで
現代数学の分野の勢力関係から言うと
基礎論の人は代数幾何とか代数位相幾何とかの素養に多少欠けるのは事実
まあ関係が薄そうだから勉強してないだけだろうけどね いや数学じゃなくて情報・哲学
少なくとも数学に関する仕事はない >その人数学の人なんで
例の人も林氏も自他ともに自分が数学やってるなんて言ってないよ
基礎論でもないし
>現代数学の分野の勢力関係から言うと
>基礎論の人は代数幾何とか代数位相幾何とかの素養に多少欠けるのは事実
>まあ関係が薄そうだから勉強してないだけだろうけどね
基礎論の人が例の人のことを言ってるなら、
むしろ数学感が代数幾何とか代数的位相幾何にばかり偏ってると ただの形式主義マニア
昔でいう真フレーゲ主義者みたいな人ら 実際にかける数を自然数とみなす学派もあるらしい
彼らの間では大きな自然数は超越的なものとなる
その結果自然数の定義により具体的な値が常に変わる世界ができる
一方算術の無矛盾性にはε帰納法が使われてる
相対無矛盾性になるはずだ
しかしε帰納法が自明なメタ理論の原理とされるため
無条件な算術の無矛盾性証明といわれている
新フレーゲー主義のライトらは
算術でも自然数の具体的な値は論理によって決まると考え
実際にそういった体系の構築に成功した
いずれも数学的対象の研究と
それに使う言葉の研究をはき違えたものだ
何よりも致命的なのはその言葉は恣意的に作られたものだということだ
実際の数学では集合は公理的なシステムから出現せず
適宜共通了解のもとに逐一定義を行う >>441
はしょりすぎで電波文になってしまっている
参考文献の提示をお願いする いや文句あんなら論破にきなよ
コテンパンにしてあげるますよ。
それにしてもハイパードクトリンとか
朕もたいがい論理学については表面だけ見た知ったかばかりしてきたが
http://researchmap.jp/muow4v2e8-28320/?action=multidatabase_action_main_filedownload&;download_flag=1&upload_id=45909&metadata_id=16302
こういう知ったかみちゃうとまだまだ健全だなぁと思う
実は朕もWEB上にSブラウンのPDFをあげたり
Wikipediaに独自項目を増築したりしてきたけどフレーゲ主義にまで達したことはあらん とはいえ形式主義の利点は
破綻しなければ不自然でもなんでもありってことなんで
朕もネット上で暴れまくって論理学の普及を手伝ったけど
常に独創的な仕事をしてきた自負があるね、 うむ論理学からは久しく離れておったが今改めて降臨した
最近の朕とロジックの関係といえば
https://twitter.com/tri_iro
さんのツイートを眺めたりPDFあさりしたり程度でしかない 自分ではネタのつもりかもしれないけど>>449の人に
甚大な迷惑かけたりしてるのは事実だから自重してほしい そうするよ
以前朕がトンデモ文で引用した用語を
すべて作り直させてしまったらしいしね。
２ちゃんねるの書き込みなんて正式なものではないけど
Googleで検索して上の方にきちゃうことがあるからね。
苫米地氏、千葉氏などの一般向けのトンデモと
朕や江志村氏や上のYM氏のような少しコアなトンデモの異なるレイヤーで
同時に基礎論初学者を幻惑してしまったからね。
とはいえ朕が倭国ネクストパラダイムにおける基礎論のイメージを形成する役割を担っていると考えておりまする！ スレタイスレご本人だとしてご挨拶『おかえんなさあい』
あちなみに基礎論初学者というより基礎論オタクの４27人目としては是非狢氏（旧猫氏）を呼び出すくらいのブッ飛んだ議論を期待すます（〜〜）挨拶がわりにpdfネタを・・・
渕野センセーがフリーで上げてくれている「ゲーデルと２０世紀の論理学 第4巻」第2章
用の原稿ですなあ
?ttp://kurt.scitec.kobe-u.ac.jp/~fuchino/misc/goedel_et_logique_du_20e_siecle_4_I_2.pdf 個人的には
ω_1＝R＝2^R＝2^2^R＝・・・
だと思ってる。
カントール定理のどこがおかしいのか考えていたが
はじめの全単射の定義もしくは対角集合の定義がおかしい、
つまり非可算では成り立たないのではないかと考えている。
近いうちZFCの代替が作られ、集合・位相のテキストは書き換えられるだろう このスレッドは天才チンパンジー「アイちゃん」が
言語訓練のために立てたものです。
アイと研究員とのやり取りに利用するスレッドなので、
関係者以外は書きこまないで下さい。
京都大学霊長類研究所 あー「逃げ」ね
朕の書き込みの本質が見抜けない故に逃げね
いいけどね永久に逃げ続ければ
それが嫌なら有限自然数論において
仮想クラスが集合の上に作れることをさくっと証明しちゃってくださいな >>451
朕とか言ってるくせに
「おりまする」とか整合性とれてないな >>456
頭おかしくないと思ってたの？
>>457
まともなレスだと思ってたの？ いや数学で証明はおかしくないのに定義がおかしいとか普通はあり得ないから。
「定義」は「〜〜を〜〜と略記することにする」と書いてみた上で
どこが矛盾しているか探さないといけない。
長い表現をただ略記するだけで矛盾することはあり得ない。 >>460
以前もどこかに書いたが、定義が整合性を持つことを示すのに大理論が必要になる概念もある。 全単射の定義の話がいつの間にか大理論がどうのとまで膨らんじまったか >466様
できればブログのアドレスを教えてください <(_ _)> 白い本のエルブラン領域とかの定義のところが意味不明なんですけど、
分かるように補足お願いします。 白い本って何よ
数理論理の和書で表紙が白い本って何気に結構あるぞ この辺は理解できてる？
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A8%E3%83%AB%E3%83%96%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86#.E3.82.A8.E3.83.AB.E3.83.96.E3.83.A9.E3.83.B3.E9.A0.98.E5.9F.9F ハゲタカ外資ファンドに食い尽くされる商業施設
運営会社責任者は虚偽説明
商業施設トリアス久山 外資ファンドを取り巻く失望と疑念
http://www.data-max.co.jp/2013/10/07/post_16455_dm1504_2.html 白い本は表紙をめくると黒くなる本です。
ちなみに一日考えたら分りました。
それにしても説明が分りにくい。
領域の特殊化ということが抜けてるから
自分で考えるしかなかった。 なんで本の題名 著者 出版社 とか書けないんだろう
するーされるために書いてるの? と ついつい反応してしまった（〜〜） 白表紙をめくると焦げ茶の本
数理論理学
戸次 大介 >478
そ！そうなのか？表紙のカバーが問題なのか？？？
てっきりエルブラン領域の話がメインにくるのだと思ったが
ここは誰？俺ってお前？？？つーか・・・まあどーでもいいや
たかが2chだし（〜〜） 一項述語しか含まれない閉じた論理式は∀∃標準形に出来るじゃないですか。
例えばFを述語 oを演算子とすると
∃x∀yF( o(x,y))
っていう論理式は
どうやって変形して∀∃標準形にするんですか？
∀∃標準形とは∀x∀x_2 ・・・∃y∃y_2 Fのような形です。
どうしても分りません教えてください。 F'(o(x,y))=：NOT（F( o(x,y)）はずるい？（〜〜） >>482
御免 釣りかと勘違いしとった
一番わかりやすそうなヒントつーか考えようのとっかかりというか
∀x∃y A（x、y） ｜→ ∃x∀y A（x、y）
と
∃x∀y A（x、y） ｜→ ∀x∃y A（x、y）
と
LKでもLJでも普遍ゼクヴェツになるのはどーっちだ？
なーんちって（〜〜）正解は４８２さんなりに作成してちょ ググってみたんですよ。
そうしたら
http://hagi.is.s.u-tokyo.ac.jp/pub/staff/hagiya/kougiroku/ronri/5.txt
なホームページ見つけました。
単項一階述語論理は関数記号（演算子）もないってかいてあるんですよ。
それなら∀∃標準形に出来そうなんですけど。
白いカバーでカバーをめくると黒い本の練習問題5.114には記号に含まれる述語が
一項述語に限られているときは∀∃標準形に出来るって書いてあります。
どっちがあってますか？ >白いカバーでカバーをめくると黒い本
ねえ、本当に質問したいの？
そういう風にボカす目的は何？ >>480
単項述語論理でも関数が入ってたらダメでしょ
ところで∀∃標準形ってあるの？
そういう標準形になにか意味あるの？∃∀標準形の方なら意味あるかもだけど >>489
文字通りの双対を考えたら片一方だけ有意というのも言い過ぎでは？
もしかすると表紙厨氏は天才かもしれんしな（〜〜） >>491
確かにそうなんだがここで質問に付き合っておくことのメリット・デメリット
がなあ 実をいうと2chから天才数学者が出て「オラ出身は2chだがなんか問題あっか？」という夢を展開してみたいんだわ
自分じゃ無理なもんでなるたけ見込みのある書き手は囲い込んでおきたい
玉石混交になって読み辛いのは我慢しようと思って・・・長文ご無礼（〜〜） 鴨浩靖って人が
よく、不完全性定理について変なことが書いてある本やサイトを批判してて
「世の中には不完全性定理に「たいする誤解がはびこっている」と嘆いてるんだけど
なぜか野矢茂樹のことは批判しないね
明らかに変なことが書いてある本、しかもかなり売れてる本があるのに
本当に「世の中の定理の誤解を憂えて」いるんなら
こういう権威があって本も売れてて影響力の大きい人を責めなきゃ意味ないと思うんだが
こういう大物はほっといてネット等の雑魚ばかりいじめる感覚って何なのかね
まさか、東大のお偉いセンセイだから口がだせない、なんてみっともないことではないだろうから
ホント、謎 哲学の人で専門が違うからっていうんなら
「じゃあ、不完全定理に対する誤解が世間にあふれてても黙っとけよ」って思うわ >>493
野矢本が教室のことなら、あれはわかっていてあえて書いた古典数学からの恋文みたいなもんだからね。前原先生も同趣旨の文を数理科学誌に書いたりしていた。 >>495
うん、でも、その恋文が「世間の誤解におおいに影響ある」のが問題なのでは？
あれをほっとけるんなら、なんで雑魚に絡むの？って単純な疑問
あと、俺が直接念頭に置いてるのは、「入門！論理学」の方
あそこの不完全性定理に関する記述は
普段鴨が「典型的な誤解です！！」って言ってる事そのまんま、なんだけど 「入門！論理学」はかなり売れてるし
レビューでも基本絶賛が多い。「東大のセンセイ」が書いてるしね
影響力大きいでしょ。無名の教師のブログとかより 真ん中にどかーんとある一番大きなゴミ無視して
隅っこのホコリばっかり掃除して
「ふー、俺ってキレイ好き！」って言ってる奴見たら、滑稽だろ？ 不完全性定理の記述は一箇所しかないから
目次見ればわかると思うのだが・・・
188ページの「遠くにゲーデルの不完全性定理が見える」って節だよ
全部がヘンだけど
「論理学から数学に一歩でも踏み込めばそこは不完全になる」とか
あと、完全性定理の「完全」と不完全性定理の「完全」を同じって書いてるし
「数学の公理系はどうしたって不完全でしかありえない」とか
（完全な体系なんかいくらでも存在するって常識だよね？自分で証明はできなくても）
「典型的な誤解」のオンパレードなんだが・・・・ >>489
関数が入っててもその関数が単項関数なら∀∃と∃∀は交換可能だな。当たり前だけど
ここで標準形と言ってるのも交換可能のことを間違えて言ってると思うんだが 狸
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いま狸氏（狢氏OR猫氏）と名乗る大事なゲストが来ているんでFAQはあとでね
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あれ？そのままコピペじゃそろいませんね
お早う御座います（〜〜） 狸
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<p>
<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=UTF-8" />
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</p>
<p>
<title>Converted document</title>
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<div class="Unindented">■□
後半部分は次の書き込みで □■</div>
<hr class="footer" />
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Document generated by
<a href="http://elyxer.nongnu.org/";>
eLyXer 1.2.3 (2011-08-31)
</a>
on
<span class="create-date">2013-11-27T15:40:38.706294</span>
</div>
</div>
後半その二をさらに次の書き込みで <footer class="entry-footer">
<p class="entry-footer-section">
<span class="author vcard">
<span class="fn">
PbdP
</span>
</span>
<span class="entry-footer-time">
<a href="http://pbdp.hatenablog.jp/entry/2013/11/27/160927";>
<time data-relative datetime="2013-11-27T07:09:27Z"
title="2013-11-27T07:09:27Z" pubdate class="updated">
2013-11-27 16:09</time>
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</p>
<div class="hatena-star-container">
</div>
<!-- Google AFC -->
<div id="google_afc_user" class="section ">
<a href="http://blog.hatena.ne.jp/guide/pro"; class="open-pro-modal" data-guide-pro-modal-ad-url="http://hatenablog.com/guide/pro/modal/ad";>
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<div class="customized-footer">
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</footer>
</div>
</article> お 人が来るのひさしぶりだな
>>514殿
□学くそろん∝□リろんリ学 ⇔ リ ∽ ■
を所与としたとき ■ ∽ （＿）
どだあ Q:: （ ）の中身を満たすJIS第一水準のUTF-8コード
を全て列挙せよ
のA:: カキコできるけー（〜〜） 1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0 a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
m
n
o
p
q
r
s
t S.E.♪ぶーーーーーーーーー♪
正解は▼
<--◎http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1384592236/
「増田哲也→猫◆→狢◆→狸」ってスレだよーん α
β
γ
δ
ε
ζ
η
θ
ι
κ
λ
μ
ξ
ο
π
ρ
σ
τ
υ
ψ 数理論理学の「順序数」がよく分かりません
ご教授お願いします 数学基礎論・数理論理学 その14
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1348851752/
のほうが本スレ
ここはダミーですんで誰も答えてくれんと思います
せっかく来てくれたのに御免ねー（〜〜） >>493
＞なぜか野矢茂樹のことは批判しないね
君が知らないだけじゃね？
ま、鴨に限らず、ワカランチン叩きって全くのムダだけどね
あの人は人生終ってるから余生を全て暇つぶしに使うんでしょ あの人は基本的に数学的な間違い、
論理学的な間違い以外はそんなに批判しないと思うけど。
歴史的な間違いがあるという訳でもないし。
「数学的にはナンセンス」かもしれないけど、そう言われても
たぶん野矢はそれはそうです、この本は数学の本じゃありません、と答えるんだろうし。
黒木玄の「竹内外史以後の仕事に触れない本はまともな哲学の本じゃない」
みたいな発言もそれに負けず劣らずアレだからなあ、 http://www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/LaTeX/yougoshu.html
面白いからどんどん推奨（〜〜）
♪やー 玄木黒って ほんとーに凄いっすねー♪ 数学序説 (ちくま学芸文庫)
吉田 洋一, 赤 攝也(著)
これのアマゾンのレビューに、
ただ、本書の元版の初版が出てから60年近く経ていますので、この間に発展した数学観は反映されていません。
特に集合論、数学基礎論の発展は目覚ましいものがありましたから、このあたりの最新事情は他の本で補う必要があるでしょう。
とありますが、「集合論・数学基礎論」のよい入門書があれば教えてください。 「ゲーデルと20世紀の論理学」シリーズなら、数学的証明と、歴史解説の読み物的文章の両方が載ってる >>527「ゲーデルと20世紀の論理学」(田中 一之) って全4巻ですか？ >>526
第４巻第2章の淵野晶先生「公理的集合論の展開」が出版前の
pdfでうpされてるから参考までに見てみたら？
買うにしても第４巻のみでおkだと思う
http://kurt.scitec.kobe-u.ac.jp/~fuchino/misc/goedel_et_logique_du_20e_siecle_4_I_2.pdf すみません、ちょっと質問です。
原始再帰関数と整論理式（開論理式）の関係を調べているのですが、
何か良い本はありませんでしょうか？
（できれば日本語で） 「原始再帰関数と整論理式（開論理式）の関係」じゃ
大雑把過ぎて何を調べたいのか分からない >531
原始再帰関数と開論理式で表されるブール関数が同型かどうかを調べています。
多分同型だと思うのですが、どうやって証明したら良いか思い付かないので
参考書を探しています。 >532をちょっと修正します。
原始再帰関数(PR)と開論理式のブール関数(WFF)が計算複雑性の観点から
同じ複雑性クラスであることを調べたいと考えています。
思い付く範囲では、
PR＞WFF: PR⊃WFFのため自明
PR＜WFF
定数関数、後者関数、射影関数、合成、原始再帰、を模倣する論理式を
(PRの規模の対数領域に限定した)TMで構成可能
からPR=WFFになると考えています。
ただ、こんな証明で良いのかちょっとピンと来ないので、何か参考になるものがあれば、
と考えています。 去年の今頃の話。
新井「数学基礎論」は京都大学の各図書館・図書室に何冊か所蔵されており、
所蔵検索したところ一冊を除き全て貸し出し中であった。
その一冊を所蔵していたのは理学部数学教室図書室だった。 まあ、数学関係者なら欲しい数学の本は買うだろうからなぁ。
購入予算も付くだろうし。 今検索したら、東大は駒場図書館、数理図書室、本郷総合図書館に
一冊ずつあって貸出しは無し、京大は全部で五冊あって
理学部数学科のみ貸出中となっている。ちょっと深読みし過ぎじゃないの？
あとあの本は実は、図書館に置いてるような
第一刷は勘違いや技術的ミスが割と多くて図書館で借りて読むのはお勧めしな…（ｹﾞﾌﾝｹﾞﾌﾝ
最近の第四刷とかだとかなり修正されてるけどね。
それに理学部じゃないが京大数理研は照井先生が居る。
非古典論理だからちょっと毛色が違うが
文学部哲学科出身の准教授を採用するのはkurimsの視野が相当広いことの表れだと思う。
京大にロジック専攻の教員は大勢は居ないけど、集合論とかは
比較的近くの神戸大が強過ぎるので、昔から京大でロジックをやろうとした人は、
神戸大とかに行って勉強したりしてたみたいだよ。 因みに東大だとロジックの本は、分野にも依るけど
数理科学科よりも情報理工学科の理学部７号館
（コンピュータ科学）図書室の方が揃ってたりする。 ＞世の中には不完全性定理に対する誤解がはびこっている
でも別に実害はないｗ
誤解したせいで、プログラムにバグが混入して
システムが誤作動して災害が発生するとか
そういうことはないからｗ
もともと人格に障害があるロジシャンが発狂する程度のことｗ ＞ネット等の雑魚ばかりいじめる
数学者は人格障害者多いよ。
おかしな人には近づかないほうがいい。 >>541
＞でも別に実害はないｗ
変な所で笑うんだな
通 ハゲの甘えを楽しむ ハゲ本来の甘え ハゲでその店の甘えがわかる
は ハゲ最高 ハゲは甘え ハ ハゲは甘え ハゲは
ハ 「ハゲで」 ゲ 甘え
ゲ フサで甘ったれハゲが食えるか の フサ厨は甘え不足
ハゲは甘え 甘.. 異 甘えた店でハゲたことないんだろ？
臭いハゲをごまかすための遺伝 え . 論 ハゲは甘え
フサは子供用 ハゲは甘え 焼 は ハ
ハ ／￣￣￣＼ き 認 フサはフサの味しかしない ゲ
最終的にたどり着くのはハゲ ゲ ...彡. ／ ＼. ミ め は
は ／ (●> <●) ＼ 本 な 甘え＝ハゲ 甘
. 「フサ」から「ハゲ」に 甘 | （__人__） | 当 い え
普通はハゲ え ＼ `ー'´ ／ の 高い店ならハゲ、安い店でもハゲ
シンプルにハゲ .. ／ ＼ 甘
ハゲは甘え え フサ（笑） ハゲ本来の甘え
ハゲは甘え 子供の頃はフサだったが今はハゲ
ハゲこそ最高の甘え！！ 質問いいですか？
巨大基数を学ぶならどの文献が良いでしょう？
和書でいうなら渕野先生訳の巨大基数と集合論が出ていますが値段が高騰してるので、洋書で読みやすいものを探しています。
田中先生の公理的集合論を読み通したくらいの知識前提でお願いします。 普通にその原書のThe Higher Infiniteで良いじゃん 某スレより引用。 m(_ _)m
＞ どうも、M_SHIRAISHI氏(つーか、ＥＵＲＭＳ)の理論」のほうが正しいようだな。
＞
＞ 例えば、対偶律は、従来は、 (Ｐ⊃Ｑ)⊃(¬Ｑ⊃¬Ｐ) で表わされるもののこと
＞ と考えられていたのだっただが、これは、どうやら、誤りだったようだ。
＞
＞ そして、M_SHIRAISHI氏の言う［Ｐ(ｘ)⇒/x/Ｑ(ｘ)］⇒/p,q/［¬Ｑ(ｘ)⇒/x/¬Ｐ(ｘ)］
＞ こそが【対偶律】を正しく捉えてたものと考えられる。
＞
＞ M_SHIRAISHI氏（たち？）の主張する Logical Reformation は、おそらく、世界を
＞ 席巻することとなろう。 > ２ｃｈの某スレより引用＆編集 m(_ _)m
御大(M_SHIRAISHI氏)つーか ＥＵＲＭＳの人たちもいろいろと、つーか
「もの凄い苦労（多分）」したろうなぁ〜。御大の ペ―ジ をよく詠んでみると、
こんな記述がある↓
>「あっちが立てば、こっちが立たず・・・」、「こっちが立てばあっちが立たず」
これって「矛盾だらけ」ってことだよなぁ〜。そりゃ苦労するわ。
それに何よりも、Fregean 理論（＝要するに今の論理学の「標準理論」ｗ）での
「もしも・・・ならば・・・」の解釈は、驚いたことに、
古代ギリシャにまでさかのぼる問題だったらしい。 それをものの見事に
解いてしまっている。 凄いぞ！ マジで！！！）
それに比べて、松芯痰（＝松本真吾＠鉄道総合研究所）はどうだぁ？
そりゃ、某私立（私立と言ってもいろいろあるから、まぁ、一応ｗ 超一流の
私立の）修士課程を出てる。
でも、その程度 ---- 言ったら語弊があるかも知らんが(ｗ ---- のことで、
論理学をかじったつーか、教科書に書いてあるんだから、それが正しんだって
頭から信じ込んじゃって、今の理論には矛盾があるってことすら
気がつかなかった。
それでいて fj.sci,math に なんだぁ、「ＥＵＲＭＳのページがここにあります。
ここを読んだら３日（一週間？）笑えます」とかなんとかの趣旨の記事
投稿したんだよな〜。
そりゃ怒るは、いかに温厚な人でも 「未だに．．．」から引っ越してきました。
直観主義では
b⊆{a}->(b={}∨b={a})
はどのように証明するのでしょうか。偉い方、どうか
ご教示ください。 今は直観主義に、はまりたくないので恐る恐る質問しますが、
b⊆{a}->(b={}∨b={a})
が証明できないとして、要素を1つしか持たない集合に対して、
直観主義の方々はどのように思っているのでしょうか。あるいは、
要素を1つしか持たない集合という考え方がそもそもいけないのでしょうか。
あるいは、上記の論理式において、aが空集合のような具体的なものの
場合は話が違ってくるのでしょうか。
次から次へと．．．うーーむ。今は、はまりたくないのだが．．． >>559
あなたが参考にしてるサイトまたはテキストを教えてください 直観主義と言っただけで集合論の公理として何を採用するかまで
自動的に決まる訳ではないから、>>556はやや質問がおかしい >>560
直観主義的な集合論に関しては参考にしているものはありません。普通の集合論なら田中尚夫 「公理的集合論」です。
>>561
確かにそのとおりですが、直観主義的にはどのような公理なら公理として認めてよいのかまるでわかりません。
基礎の公理や選択公理が排中律を導いてしまうというのを聞いたことがある程度です。 ∀X∀Y(X≠∅∧X⊆{Y}⇒X={Y})
を公理にすれば多分証明できるよ^^ それを公理にすると、
〜〜を満たす〜〜は存在するか？
という問題に対して無条件に排中律が成り立つことになるから
いろいろ問題でしょ 分かってるとは思うけど >>573
誰も面白がってないってことにいい加減気付けよアスペ 数セミの菊池誠の文章は、眩惑的なことを書いて自分を深く見せようとするインチキ思想家そのもの。 有益な情報お待ちしております。>>556=>>562 含意と推論の違いについての考えているのですが,
P,Qを条件とする。その時,(¬P)∨Qをimplicationといい,P→Qと表す。
そして,
(Pは真)∧((P→Q)は真)をdeductionといい,P⇒Qと表す。
という解釈で大丈夫でしょうか? 数学から意味を奪ってただの記号操作と考えるというのはもっと幅広く適用出来そうなんだけどな 一時的に意味を忘れて考えて、また意味を思い出さなきゃ意味がない。 そりゃそうだが一旦意味を廃して抽象的な操作に置き換えることに意味があるんだよ
人間のバイアスから離れて推論出来るから 心臓手術で、人工心肺を使って一旦心臓を患者から切り離す事は意味がある。
しかし患者に戻さないと意味がない。 「そりゃそうだ」という言葉も貰っているのにまた同じ主張を繰り返して、この人は何がしたいのだろうか 実際に言語学とか計算機科学とかでは実際、普通に活用されてると思うけどなあ。
形式言語とかオートマトンとかモンタギュー文法とか
チョムスキー階層だとかはそういう例じゃないの？
それ（と哲学）以外に応用の可能性があるというのは、例えばどういう分野？ >>589
切り離す所だけを重視するのは良くないと言うこと >>590
それが分かるなら研究に取り組んでるわ
>>584のように学者の方々も数理論理学から離れてるのなら勿体ない気がするだけ 論理の筋道とか基礎全般がふらふらしてたらまずいからなあ…。
発展ってのをどう捉えるかだが、コペルニクス的な展開がそうそう出てきても…。 数学のような純粋に形式的なシステムと、そうした形式的なシステムを名指しして取り扱う対象との関係、みたいなことを論じている本はありますか
数学について考えている哲学者の本でもいいのですが…
哲学板できいたら数学板のほうがいいといわれたのでコピペですみません
初心者向けで良い本があったら教えてください >>595
内容はともかく
ホワイトヘッドとバートランド・ラッセルあたりがひっかかるかも。
ラッセルの数理哲学序説は岩波文庫で読めるだろう。 普通に述語論理とその意味論を勉強してみたら？
論理学者ではないけど
戸田山和久が書いた「論理学をつくる」とかが595には良いかも。
あとクワインの「ことばと対象」とかフーコーの「言葉と物」みたいな本も 森毅氏の、微積分の意味、を読むとガリレイ、パスカル、デカルト、ニュートン、
ライプニッツ、ボホナー、ボルケナウなど、を参考書としてあげていて面白い。
手作り対数の話なんかは歴史を踏まえたコンテキストの中で読むと、興味がわく
感じ。
位相のこころ、も数学と思想、と言うか、数学の思想、って意味では興味深い。
高木貞治氏や一松氏のエッセイは、どこまでも数学の話題なんだけど、
森氏の書くものは数学史やその系がかなり飛んで行くので、哲学的な味覚を味わいた
ければ、ひとつくらいは読んでみるといいかも。
無論あんなのつまらん、って人もいるんだけれど（笑 >>602
インチキってのはどういう意味なんだろう？（笑
つまらん、とか言うならわかるし、文にもクセがあって読みにくいって話しは聞いたこと
があるんだけど。 ゲーデルの不完全性定理の解説で、無矛盾とω-無矛盾の違いが本質的みたいな事を書いてたよ。 それだけじゃインチキとは言えないだろう。
本質的、ってのはその言葉の本質的な意味として、複数の本質を予見させるもの。
まあ、富士山登山と同じで、ルートは複数ありうるとき、どれをメインと考えるか、
みたいな話だ。
これはまた、扱っているコンテキストの性格にもからむ。概念的な話だと、
厳密性を犠牲にして先へすすむのは、数学者でも同じだろう。
パラドクスを無視した集合論を考えてみろよ（笑 そのへんの数学書はみんなそう。
>595の問いかけに意味があると思われるのはむしろそういう所なんじゃないかな。 >>605
あと例を一つ挙げたときの反論に「それだけ？」というのはただの詭弁 そもそもバードランド・ラッセルが
「"本質"というのは私には疑似概念であるように思える」
と言っていて、個人的には割と同意する。
なので「無矛盾とω-無矛盾の違いが本質的」という言葉に
インチキも正しいも無い。
ω無矛盾性に関係するゲーデル文と
無矛盾性に関係するロッサー文の間に、
非常に微妙だけど、数理論理的に決して無視できない違いがあるのは事実なので。
>>602>>604
http://www.amazon.co.jp/dp/4480022074 因みに「本質」Gk:ousia, L:substantia / essentia というのは
元はアリストテレス哲学で、個物が持つ形相のうちで、
それが失われると或るモノが当のそのモノであり得なくなってしまうような性質のことね You(309) are utterly mistaken !
>>309
＞＞modus ponens と syllogism とは、
＞＞全く別の論理法則なのに、
＞
＞modus ponens は syllogismの特殊形ともいえる
＞
＞modus ponensは
＞AをT⇒Aと同じとすれば、
T⇒A は、Aより論階が(一階だけ)高いので、両者は「同じ」では在り得ない。
東風（こち）吹かば
匂ひおこせよ
梅の花
才（サイ）は無くとも
財布（サイフ）忘るな
啄木 圖 どうも、M_SHIRAISHI氏(つーか、ＥＵＲＭＳ)の理論」のほうが正しいようだな。
例えば、対偶律は、従来は、 (Ｐ⊃Ｑ)⊃(¬Ｑ⊃¬Ｐ) で表わされるもののこと
と考えられていたのだっただが、これは、どうやら、誤りだったようだ。
そして、M_SHIRAISHI氏の言う［Ｐ(ｘ)⇒/x/Ｑ(ｘ)］⇒/p,q/［¬Ｑ(ｘ)⇒/x/¬Ｐ(ｘ)］
こそが【対偶律】を正しく捉えてたものと考えられる。
M_SHIRAISHI氏（たち？）の主張する Logical Reformationは、おそらく、世界を
席巻することとなろう。
http://www.age.ne.jp/x/eurms/
http://www.age.ne.jp/x/eurms/Ronri_Kaikaku.html ￥
>1 ：名無しさん ：2006/04/30(日) 01:41:01 ID:KPnB.CH2
> 迷惑かしらん
>
>5568 ：名無しさん：2016/08/17(水) 18:26:13 ID:???
> うるさい
>
>5569 ：kmath1107★：2016/08/17(水) 21:46:32 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
>5571 ：名無しさん：2016/08/17(水) 23:39:07 ID:???
> うるさい
>
>5576 ：kmath1107★ ：2016/08/18(木) 20:58:14 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
>5577 ：名無しさん ：2016/08/18(木) 21:05:02 ID:???
> >>5575
> うるさい
>
> >>5576
> 賛同致します
>
>5578 ：kmath1107★ ：2016/08/19(金) 08:46:22 ID:???
> 人への念の盗み見による介入を阻め。
>
> Re:>>5577 人への念の盗み見による介入が無くなれば世の不和が無くなるだろう.
>
>5582 ：￥ ◆2VB8wsVUoo ：2016/08/19(金) 08:53:36 ID:???
> 芳雄が理想とし、自ら体現する大学教授とは？
> ０．自分が『お教授である』という利点を徹底活用して、偉そうに振舞う。
> １．年寄りや権威には擦り寄って顔色を窺い、ラクして損しない様にスル。
> ２．難しい分野や困難な研究テーマは徹底して避けて、努力を最小化する。
> ３．高い学歴とか権威を効率的に利用して、自分を飾って偉く見せ掛ける。
> ４．他人に見える部分だけを巧みに繕ってメッキし、人格者のフリをする。
> ５．相手のオツムの質を窺い、シッタカだけで見識がある様に見せ掛ける。
> ６．自分よりも優秀な人間は絶対に敵に回さないでヘラヘラと仲良くする。
> ７．自分から見てダメオツムな野郎は、上から目線で威圧して屈服させる。
> ８．大して中身が無いカラッポ知識を針小棒大に騒ぎ立て、蘊蓄を傾ける。
> ９．自分の大脳が働いてない低能ぶりは、口先で適当に誤魔化して逃げる。
>
> ￥
> 直観論理の ¬A すなわち A ⊃ f はAを確認する方法が与えられたと仮定して、その方法に基づくと矛盾する、という意味ですよね？
（fは矛盾を表す）
であれば、¬Aが言えるならAを確認する方法はあり得ない？
いや、でもAを確認する方法を与えられると過程しないと矛盾が言えないわけだから、つまりどういうことなんです？ >>632
> 直観論理の ¬A すなわち A ⊃ f はAを確認する方法が与えられたと仮定して、その方法に基づくと矛盾する、という意味ですよね？
違う
構成主義的な説明（BHK解釈）が一番理解しやすいと思うので、そのスタイルで直観主義論理の含意命題の意味を述べると次のようになる
Aの証明が任意に与えられた時、それを元にしてBの証明を組み上げる手続き（Ａの証明木からＢを結論とする証明木への変換手続き）を具体的に構成できる、
というのが含意の形の命題 A ⊃ B が正しいことの証明
このBとして偽 f を採れば否定命題 ¬Aの証明とは、Aの証明が任意に与えられた時、それを元にして偽 f の証明を組み上げる手続き
（Ａの証明木から偽 f を結論とする証明木への変換手続き）を具体的に構成できる、ということになる
> であれば、¬Aが言えるならAを確認する方法はあり得ない？
そう、¬Aが証明できる（つまりそのような変換手続きを具体的に組み立てられる）場合には、Ａの証明を作れることは有り得ない
なぜならば仮にＡの証明を作れたならば、それを変換手続きの入力として食わせれば偽 f を結論とする証明木が得られてしまうからだ
> いや、でもAを確認する方法を与えられると過程しないと矛盾が言えないわけだから、つまりどういうことなんです？
いや、矛盾が言えないとかでなく、否定命題の証明とは上に述べたような証明木の間の変換手続きを具体的な形で保有しているということだからね 構成できる方法を持っている、という考えが命題論理の真偽にすり替わってしまった
慣れるしかないなぁ 直感主義って数学の証明法として
背理法が使えない。故に調べたい「対象」
について「具体的」に構成するしかない。
オーソドックスな方法は何通りかとそのバリエーションが
ある。という慣れ方ではだめ？ 論理学学び始めたものだけど初歩の初歩で躓いてる。
PV¬Pの証明図ってどうかけばい以下教えてくだされ。あと(A⇨B∧¬C)⇨(¬BVC⇨¬A)ってのが本当にわからん 現代の集合論って何が目的なの？何の研究をしているの？ >>637
TとFの表作って⇒の左右見比べる方法ではダメ？ 恥ずかしながらkleeneの"held constant"の意義がようやく分かった >>644
> おい、スマリヤン死んだぞ！
マジですか？！
ここ２〜３年、どんどん新しい本を出版してるから「生きてるうちに書けるものは書いておこう」って心境なのかなあ？とは想像してたんですが 数学基礎論って、いったいどういうの？
基礎っていうくらいだから簡単なの？ >>650
クソ古い版なのにたけーよ。
新品の再版で1000円ちょいで買えるのに。 自然演繹の証明図で、
Ｐ→Ｑ ├ Ｐ→Ｐ∧Ｑ
の解き方を教えてくれませんか？ >>663
自然演繹をシーケントの形で定式化した体系（†）での証明図は次の通り
P ├ P P→Q ├ P→Q
-------------------------
P ├ P P, P→Q ├ Q
----------------------------
P, P, P→Q ├ P∧Q
-----------------
P, P→Q ├ P∧Q
--------------------
P→Q ├ P → P∧Q
†：例えば、大芝猛：『数学基礎概説』（共立数学講座 10），§1.3，pp. 22--27 （共立出版，1987）を参照せよ 早速の回答ありがとうございます。
できれば、NK・NJでお願いしたいのですが…。 >>665
それは自分で考えなさい
NK/NJとシーケント形式のLK/LJとがどう対応するのかを理解するのに役立つよ
（大芝氏の本は普通の論理式によるNKとシーケント形式のLKとがどう対応するのかをちゃんと説明しており
その繋がりを示すために、この証明図で用いたNKをシーケント形式で定式化したスタイルを定義して
NKとLKとの対応を示す中間段階として活用している。NKとLKとの関係をちゃんと理解する上では
大芝氏の教科書は最良の解説なので第１章だけでも一読することをお薦めする）
シーケント A, B, C├ D は、D の証明で A, B, C を仮定として使っている（→-intro などでdischargeされていない仮定）ということを表す
つまり１つのシーケントはNKでの１つの演繹図での生きている仮定と帰結とを表している
だから、例えばその証明図での最後のステップの
P, P→Q ├ P∧Q
--------------------
P→Q ├ P → P∧Q
は、ここでNK/NJでの→-intro則を使って、仮定 P を落としている（dischargeしている）ことを表しているし、その前のステップの
P, P, P→Q ├ P∧Q
-----------------
P, P→Q ├ P∧Q
はNK/NJでは対応する規則はない（同じ仮定を２度以上使っているのを纏めるシーケント形式ならではの規則）
その前のステップは∧-intro則だし、その前のステップ（Qを結論部に持つ右側のステップ）は→-elim則だ 知る人ぞ知る、エムシラ御大∊ＥＵＲＭＳの世界的・歴史的名著
『改革論理要諦（Elements of the Reformed Theory of Logic）』
http://www.age.ne.jp/x/eums/
これを読まずして、最早。論理学・数学基礎論は語れない。（^A^;）ﾊｧﾊｧ >>663
>>666
故 前原昭二 先生 は、ＮＫやＬＫは＊どこかおかしい＊書いている。ｗ >>670
＞前原先生の言はどこに書いてたの？
放送大学のテキスト。 >>672
> 放送大学のテキスト。
90年代前半に出たあの竹内先生が最後の５つの章を担当してるテキストですね？（確か青っぽいカバーでしたよね）
それだったら昔買って本棚の奥に突っ込んだままになってるはずなので探して読んでみます
（ページか章を御存知でしたら教えて下さると助かります）
どうもありがとうございました m(__)m 不完全性定理の「この文は証明不可能である」は真なんですよね？
もしそうだと、完全性定理より証明可能とならなければならないですが、なりません
どういうことですか？ >>674
（ゲーデルの）完全性定理の完全性とは意味論的な完全性であり
他方、不完全性定理の（不）完全性とは証明論的な（不）完全性だから
全く異なる概念
さらに完全性定理は数学的な公理が含まれていない１階述語論理そのものについての完全性を保証しているだけで
論理以外の公理（例えばペアノ算術のなど）が追加された場合に完全性が成り立つか否かについて完全性定理は何ら保証しない τの任意のモデルに対してφが真となること
τからφが証明可能であること
これらが同値なことが完全性定理なわけですが、不完全性定理の文は自然数の標準モデルの場合は真ですがそれ以外の場合はそうではないらしいからです
自己解決しました それを証明するには竹内外史が生きていると仮定して矛盾を導くんじゃなくて
竹内外史が死んだという証拠を具体的に示すか竹内外史を実際に殺してみせる必要があると思うんだ >>694
常時はりついている人はそんな想像をしながら、今回は、と、じっと我慢してから書いたりするのかね。なるほど。 >>698
僕も負けず嫌いで粘着レスをよくするが、あまり良いことではない。 竹内外史の訃報
どこの新聞にも載ってないな
その程度の人だったのか・・・ >>711
竹内外史の場合、大衆受けする要素、つまり
・東大または京大の（名誉）教授である、
・ノーベル賞や文化勲章といった素人も重要性を「知って」いる表彰を受けたことがある、
・マスコミ受けまたは一般大衆に接する活動（例えば予備校の名物講師など）をしていた、
・マスコミへの登場頻度が高かった、
のどれでもないからだろう
新聞やテレビなんてものは大衆向けだからね
竹内外史の業績はその分野の玄人には重要度が理解できてもそれ以外の人間（基礎論以外の分野のプロの数学者も含め）には
理解できる者は極めて僅かだろうよ
君の言う「その程度」というのがどの程度を意味しているのかは不明だが、竹内さんは数学ファンには相当な人気のある数学者だったと思うし
竹内さん自身もそういう数学ファンに対する執筆・啓蒙活動は数学セミナーや単行本などで大いにやっていたが
数学ファン以外の一般大衆の存在は竹内さんの眼中にはなかっただろうから一般大衆も竹内さんを知らなくて当然だね
そもそも竹内の基本予想やordinal diagramなんて本職の数理論理学者でもその重要性を正しく理解・評価できている人間がどれだけいるかはかなり怪しい
まあ言い換えればそれら竹内さんのやってきたことは今となっては古いスタイルの基礎論と言われてしまうのかも知れないが
論理学的に正しい話と、確率論的に正しい話。
この境界が問題の時代かな。
lim[n→∞]P(x)=1 ⇒ xは真
という世界観かな。
情報はAIの前に、プリプロセッサで処理されている。
AIは条件付き確率で学習されているかもしれない。
将棋や囲碁のAIへ与えられる情報は論理的、
自然言語・画像データに関してAIに与えられるデータは確率論的、
世界はもっと見やすくなるべきだよ。
「ネットに書かれている情報が真なのか」
それがAI時代の命題だね。
大衆が支持するか、メディアが否定するか、
簡単な確率論に帰着すると思うが。
様々な回答があり得ると思いますが、いずれにせよ、排中律は絶対的に成り立つものではないということだけは確かです >>736
普通は公理として扱うでしょうね。でも、公理として認めたくない人達や、公理としない理論の
構築で楽しんでいる人達もいるようです。また、特定の理論では証明されてしまうこともある
ようです。 直観主義は一旦置いとくとして、古典論理でも、排中律を最初に置くよりは、二重否定除去を公理や推論規則に選んで、排中律はそこから証明するのが普通だと思う。
二重否定除去も別になくていいし、その方が好きだけどね。 選択公理を認めると、排中律が証明されてしまうというのもありますが。 外延性の公理を前提にするなら
しないで選択公理を認める直観主義集合論もある >>739
> 二重否定除去も別になくていいし、その方が好きだけどね。
まさかPeirceの論理式がお好みとか ；） パースの法則のほうが綺麗にプログラミングと対応するんだよね。 CooperのComputability theoryの二版って
もう売ってるはずなのに何故どこのサイトでも
入手不可なんだろう 初歩的な質問かも知れませんが、
(1) 自然数の有限集合すべての成す集合（つまり全自然数の集合の冪集合 P(ω) の部分集合でその要素は必ず有限集合）の濃度はどうなるんでしょうか？
（可算濃度ですか、それともP(ω)全体と同じく連続体濃度ですか？）
(2) X を要素数が２以上の有限集合で全順序＜が入っているとする時、Ｘの要素の有限個から成る列の全てから成る集合に＜に関する辞書式順序を入れた場合、
その順序型はどうなるのですか？
(3) (2)のXの代わりに全自然数の集合ωとした時、つまり有限個の自然数から成る列全てから成る集合に数の大小関係による辞書式順序を入れると
その順序型はどうなりますか？
ご教示下されば幸いです。宜しくお願い致します。
ところで、>>744の書籍に関して少し調べてみましたが、
出版元のはずのCRC Press (Chapman & Hall)のHPで検索すると第２版が出て来なくなってますね。（ここの検索は未刊でも出版予定がある本は表示されてました）
（Amazon USで第２版のとして表示されるISBNをCRC入力しても該当なしと返ってきます）
だから第２版の出版は取りやめになった可能性が極めて高いですね。
蛇足：
実は、ライフゲームなどで有名なJohn H. Conwayが他の人（どうも既に故人らしい）と三角形に関する本をCRC Pressから出す予定になってまして
暫く前まではCRCでの検索で2017年の何月かに刊行予定と表示されてたのですが、上の検索のついでにこの本を検索したら表示されなくなってたので
出版プランが取りやめにやったと推測されるのです。
（このConwayらの三角形本は以前から出版予定が出たり消えたりと蜃気楼のような状況で、Amazon USでは既に刊行済になっててマケプレでは
状態良好な古本を販売してる業者もあるのですが、実際には出ていないと思われます） 1.は、対象の集合の要素を自然数と対応付けられるので可算濃度。 >>746
早速の御教示、どうもありがとうございました。
辞書式順序の定める順序型の方も、どなたかご存知の方がいらっしゃいましたら、
御教示のほど、どうぞ宜しくお願いします。m(__)m 2.も、結局要素が有限集合だから自然数と対応付けられない？ 詳しく調べてないけど。 >>748
(2)の有限な要素集合としては、例えばアルファベット26文字の集合で通常の順序が入っているとしますね
すると、アルファベットの有限列の全ての成す集合に辞書式順序を入れて考えると、
Aという１文字だけの文字列とＢとの間には無限個の文字列があることになります
更に両者の間にあるAAとABという文字列の間にも無限個の文字列があることになります
更に両者の間にあるAAAとAABという文字列の間にも無限個の文字列があることになります
・・・
ということで分かる通り、ベースの集合（文字列の要素のなす集合）が有限集合でも、
それらから構成される有限列全ての集合に辞書式順序を入れて作られる全順序集合は
全自然数の成す集合に大小順の全順序を入れた場合の順序型ωとは全く違った順序構造になるのです 2と3のみを素因数とする自然数全体にそういう順序が自然に入るね (1)は可算濃度。
(2)、(3)はどちらも濃度は可算で、
最小値を持ち最大値を持たない稠密可算全順序になる。
ここで、端点を持たない可算で稠密な全順序は
全て順序同型になるという定理があるので、
(2)、(3)はどちらも非負有理数の集合と順序同型になる。
端点を持たない可算で稠密な全順序は
全て順序同型とあうのは例えばキューネンの
数学基礎論講義なんかの教科書に載っている。 >>751
> ここで、端点を持たない可算で稠密な全順序は
> 全て順序同型になるという定理があるので、
> (2)、(3)はどちらも非負有理数の集合と順序同型になる。
お答え有難うございます。
ですが、非負有理数の集合にどんな全順序を入れるのですか？
実数や有理数に関する通常の大小関係＜に基づく非負有理数の全順序集合だと明らかに(2)や(3)とは順序同型にはなりません。
例えば(2)のラテン文字の有限列に辞書式順序を入れた全順序集合の場合、
確かに最小元Ａは非負有理数の最小元0に対応付きますが、
(2)だと最小から２番目の元はＡＡ、同３番目の元はＡＡＡ、・・・と確定していますが、（ＡとＡＡとの間には他の元は存在しない！）
非負有理数の全順序集合 (Ｑ，＜) では最小から２番目の元とか３番目の元などは存在しないので
(2)と (Ｑ，＜) とは明らかに順序同型ではありません。
つまり(2)はある要素から下向きに見ると稠密に見えますが上向きに見ると離散的に見えるということです。
これに対してＱは、勿論、任意の要素からどちら向きに見ても稠密に見えますが。
なのでその定理はこの(2)や(3)には適用できないと思うのですが、如何でしょうか。
それはともかく、御教示下さり本当に有難うございました。
またお教え下さったKunenの教科書は手元にはないのですが早急に入手して調べます。 >>752への訂正です。
誤> つまり(2)はある要素から下向きに見ると稠密に見えますが上向きに見ると離散的に見えるということです。
正> つまり(2)は要素によっては下向きに見ると稠密に見える要素が存在する（下向きでも離散的に見える要素は少なからず存在する）が
どんな要素からでも上向きに見ると常に離散的に見える（その文字列の後ろにＡを並べた文字列が延々と＝可算無限個続くので
上向きに見ると自然数の成す全集合 (ω，＜) と同じ風景が先ず見えてその更に向うに得体の知れない順序集合が存在しているのが見える）ということです。 >>749
有限列である限り、その対象が具体的に決まれば有限の文字列で記述可能で、自然数に対応付けることができる。
なので可算濃度ですな。具体的には>751だね。 >>754
いや、(2), (3)の問題はそこではありません。
集合が可算集合だというのは承知しましたが、質問(2), (3)の主題はこの全順序集合の順序型なのです。
つまりどういう全順序集合（例えば可算順序数には様々なものがあり全て順序型は異なりますが、そのどの順序数）と順序同型になるか、
という点が質問(2), (3)で問うている点です。
そして>>751のお答えは問題の辞書式順序による全順序集合（濃度は可算無限 ?_0）は稠密ではないので (Ｑ，＜) とは同型にならないということを
>>752で具体的に反例を挙げて指摘させて頂きました。 非負有理数の集合と順序同型なんだから順序数と同型なわけがない
どうやら整列集合になると思い込んでるようだな ＞下向きに見ると稠密に見えますが上向きに見ると離散的に見える
何言ってんのかさっぱり分からん
こいつは辞書を見たことがないのか？ >>757
つまり、Ｂの次はＢＡ、その次はＢＡＡ，更に次はＢＡＡＡ、・・・と、辞書式順序に関して次の要素は自然数の集合と順序同型な形で離散的に並んでいますが
辞書式順序に関してＢの直前の要素というのは存在しないのですよ
その順序でＢより小さい要素ならば無数に存在していますが 0から1までの十進有理数で小数点以下に1か2しか出てこないもの全体と同型やね >>752
ホントですね。
「すぐ次の数」があるから稠密ではないですね。
一方で{1, 11, 111, 1111, ... }はsupが取れないから
整列順序でもないですね。
とりあえず(2)は文字の数をnとして
[0, 1)に屬すN進法の有限小数の全体と同型だと思います。
(3)はそれらの順序集合の余極限。
あまりにそのまま過ぎて、だから何だという感じだけど
他に簡単に言いようが無いかも知れません。 [0, 1)に屬すN進法の有限小数の全体＝N^ω
(3)＝ω^ω 質問者の745です。
>>762
ああ、なるほど(2)は確かに [0,1) 区間に属するN進小数の集合と明らかに同型ですね。
(3)もそういう特徴付けが可能なのですか。それは全く想像もできませんでした。
>>763
なるほど、有限または可算な集合の要素から成る有限列の成す集合に
要素集合上の全順序に基づく辞書式順序を入れるというのは
順序構造上ではωによる冪乗をとるということなのですか。
(3)は要素集合がωで至るところにωの順序構造が現れている順序集合なので
可算順序数と順序同型になる（つまり、その可算順序数という順序型を持つ）だろうとは
何となく想像していたのですが、その可算順序数がω^ωということですか。
有限列の集合上の辞書式順序はプラクティカルな目的でもしばしば使われていますが、
思いの他、その数学的な正体は自明でなさそうだということに気付いてから
ずっとモヤモヤしていたのですが、お二人の御教示のお蔭でとてもスッキリしました。
本当に有難うございました。 >>764
微妙に違うと思う
A,AA,AAA,…は違う元だが
0.0,0.00,0.000, …は同じ数だ
文字の数をnとして
[0, 1)に屬す(n+1)進法の有限小数で0が出てこないものの全体と同型 >>765
あっ、そうか。
ということは有限全順序集合をベースにした辞書式順序は
数学的な構造としては余り自然ではないみたいですね。 数学徒のみなさん、初めまして。
ゲーデルがとっくの昔に証明したことにいつまでも固執して、ひたすら堂々巡りしてるガイジの巣窟はこちらですか？ 初歩的な質問なんですが、形式的体系が持つ性質について議論するということは体系に対するメタな立場からの言及ということになると思うのですが
じゃあそのメタな立場において許される推論はどの程度規定されるのでしょうかね？
大抵の入門書にはそういう言及はされずに一階の述語論理で出来る推論を仮定していますよね？
直観主義論理が持つ性質についてメタな立場からの推論に排中律を使うと「え？そんなことしていいの？なんかおかしくね？」ってなるでしょう？ >>768
その手の対象論理体系とメタ論理体系とが違って良いか否かの議論は昔から様々な箇所で成されてきたけど余り意味がない
そもそも君が主張するように対象論理体系が持つ制約をメタ論理体系にも課さねばならないとしたら、
量子論理に関する議論（つまり対象論理体系としての量子論理に関する分析）なんてほとんどできなくなる
なにしろ竹内外史さんが指摘したように量子論理は一見するだけではちゃんとした論理のように見えるが実際にはまともな論理じゃないからね
量子論理あるいは量子論理に従った振る舞いをする量子力学での実験結果に関する議論全般に関しても普通の論理を使用するのは間違いで
量子論理であるべきだ、なんて主張する人も量子力学の哲学屋さんの中には居たようだけど彼らはナンセンスな教条主義者ってこと
（確かMax Jammerの『量子力学の哲学』の注でその類の人種のことが触れられていたと思う）
だから論理体系を分析する人が排中律や二重否定の除去律を認めているのならば、直観主義論理の分析でも自在に使用すれば良い
連言と選言との分配則を認めている物理屋さん（普通に知性があり普通に数学や論理を学んだ人間ならば誰でも認めているだろうが）、
量子力学の実験に関する論文を書く際には普通の論理（形式化すれば通常の古典主義論理になるわけだが）を自在に使って良いようにね 量子論理とか線形論理とか様相論理とかの
古典論理に何か新要素が付け加わる類の論理は
数学的に厳密な推論とは見なされないと思う
（可証性論理みたいに成り立つと既に示された
性質をエンコードする場合を除く）。
21世紀の現代において二重否定除去LEMや排中律は
認められないと文字通り主張する数学者／論理学者は
もうほぼ居ないんじゃないかな。Dummettは
無視できない例外だったけどもう亡くなったしね。
今、直観主義関係の研究をしてる人は、古典論理から
LEMを除くと構成性などの点で性質が良くなって
圏論との関係とかも強く言えるようになるので
そういう研究してるだけだと思う。
Heyting等によって擁護されない元のBrouwerの
二重否定は成り立たないと言う議論は今では
保持不可能だと思う。
あと（主義としての）直観主義と（形式体系としての）
直観主義論理と直観主義数学の三者はそれぞれ区別して
話しましょうとか某先生が言ってたけど
尤もな話だと思う。
768の混乱はこういう点にも原因がある気がする。 新井敏康先生の数学基礎論がオンデマンド化されたけど、
ソフトカバーになって気軽に読みやすい感じになってるね
第四版が出てた時に、初版が誤植が多かったこともあって
もう一冊買っちゃったけどオンデマンド版出るまで
待てば良かったかな >>771
あんたの、>>751での(2)(3)に対する解答は間違っていたから信頼できない。 >>771
> 量子論理とか線形論理とか様相論理とかの
> 古典論理に何か新要素が付け加わる類の論理は
> 数学的に厳密な推論とは見なされないと思う
様相論理は古典論理に様相演算子が追加されたものだから君の言う通りだが
量子論理は古典論理に新たな要素を追加して得られるのでなくて
直観主義論理がそうであるように量子論理も古典論理から引き算して得られる体系だよ
その引き算によって古典論理から除かれるものが直観主義論理では排中律（または二重否定除去）であり
量子論理では選言と連言との間の分配則だ
だから君の上のパラグラフの主張に従うと
直観主義論理が数学的に厳密な推論と看做されるのであれば
量子論理も厳密な推論と看做されて構わないだろう
> 今、直観主義関係の研究をしてる人は、古典論理から
> LEMを除くと構成性などの点で性質が良くなって
> 圏論との関係とかも強く言えるようになるので
> そういう研究してるだけだと思う。
過去30年間余りにおいて直観主義論理の研究に対する動機付けとしては計算機科学との関連
つまり構成的型理論としての（高階）直観主義論理の存在が最も大きかったんじゃないかな
計算機科学からの動機付けが仮になかったならば（例えばコンピュータが出現する以前の時代であったならば）
直観主義論理の研究がここまで流行したとは思えない
圏論との関係に関してならば、古典論理もBoolean Toposとして圏論で理解できるので
直観主義論理のほうが古典論理よりも圏論との関係がより深いとは個人的には思わない
（まあこの辺はもはや個々人の「美的感覚」に依存した判断にならざるを得ないのでこれ以上は主張するつもりはない）
> あと（主義としての）直観主義と（形式体系としての）
> 直観主義論理と直観主義数学の三者はそれぞれ区別して
> 話しましょうとか某先生が言ってたけど
> 尤もな話だと思う。
これは同意 今調べたら量子論理って純粋に統語論的に
公理化されるような体系もあるんですね。
Hilbert空間の性質とかを使って定義しないと
いけないものだとばかり思ってましたが。
何れにせよ物理的に意味のある発見に繋がりそうに
ないという印象が拭えないのはあまり変わりませんが。
部分構造論理の研究とか情報学科とかの人達が
研究してるような体系って正直な話、ほとんどただの
記号変形ゲームにしか見えなくて研究のモチベーションが
不明だったんだけど、適切さの論理とかと同じで
それぞれがニュアンスの違う論理結合子を定義してるから
価値があるのだという考えなんでしょうね >>770,771
直観主義論理は一例としてあげただけでしたが、とにかく詳細なレスありがとうございます（入門書レベルの私には理解が全然追いついていませんが）。 >>768です。殆ど似たような質問ですが、メタな立場からの選択公理(もしくはそれと同値な定理)の使用についても、
論理体系を分析する人が選択公理を認めているなら、メタな立場でも自由に使用してもいいという見解でいいんですか？
「そもそも論理体系という土台の上に集合論の公理ZFCがあって、そこからツォルンの補題や整列可能定理などが導出されるのに、その大本の論理体系の分析に選択公理（もしくはそれと同値な定理）を使うのは、ある種の本末転倒っぽくないだろうか？」という印象は持ってしまいます。
（私の記憶が正しければ、何かの書籍でメタ証明を行う際に選択公理(もしくはそれと同値な定理)が使われたことがあった気がします) >>777
>>770ですが、選択公理のように非論理的な数学の公理となると確かにご指摘の通り微妙な気はしますね。
少なくともメタ命題の証明にそういうのを用いた場合にはいちゃもんを付けてくる人が居ても仕方ない気が個人的にはします。
一般連続体仮説を当人がいくら信じているからと言って、メタ命題の証明に連続体仮説を公理として使うのは憚られるように。
個人的には何も制限のない通常の選択公理ACは…ZFに加えた場合の無矛盾性の観点からは全く問題ないのは了解していますが…信じがたいですね。
可算選択公理や従属選択公理ならば信じられますが。（そしてフルバージョンのACと違ってこれらの弱いバージョンは奇妙な命題を導いたりしないのが良い） >>778
ありがとうございます
メタ証明に用いて良い公理が論理公理か数学公理かでやはり微妙な違和感の存否が分かれるんですね。 >>771
そこに様相論理を入れるのもおかしいだろ >>637
P∨¬Pは定理ではなく公理だよ
証明不能 後継者のみの単項二階論理S1S分かる人おる？
集合の濃度が等しいことはS1Sで書けないみたいなのだけど、どうやって証明したらいいのですかね？
他スレにはそもそも基礎論に精通してる人が皆無なので >>781
> P∨¬Pは定理ではなく公理だよ
> 証明不能
排中律 Ｐ∨¬Ｐ を公理とするか否かは古典命題論理の形式化をどうするかによって決まるので、一概に証明不能とは言えない。
例えば、古典命題論理の形式化を直観主義命題論理の形式化 NJ の拡張として行う場合に、
追加すべきものとして排中律を公理として採用せずに、二重否定除去則
¬¬Ｐ
―――
Ｐ
を推論規則として追加しても良いわけだが、この場合には排中律 Ｐ∨¬Ｐ は公理でなく定理となり証明されるべき論理式となる。
ついでに言えば二重否定除去則と排中律とは矛盾からは任意の論理式が導ける（Law of Absurdityって言ったっけ）
⊥
―
Ｐ
という推論規則の存在下では同等だが、この規則がなければ同等ではなくなる。
（この規則がなくても、一方から他方は導けるがその逆はできなかった筈。興味ある人は自分で確かめてくれ） やはり論理そのものに対しては無から構築できないと本来の姿とは言えないよな メタな立場からの言及って、結局は「常に成り立つとは限らない」という目で見ながら扱わざるをえないんでしょ？ 言語を無から構築すべしと言うのと同レベルの妄言やな 元々は無から出来ているんだからしょうがないよね
この世の初めから人間の知性があったとでも？ >>789
あなたはまず存在の種類を問い質すことから始めるべき >>790
存在の種類として以下の〜通りが考えられる。
・・・なんて論を展開してもそれはかなり恣意的なものになってしまうと思うんだ。 具体的な数学の証明がメタ的な数学に依存してるわけじゃないならどうでもいいんだけどね。 教えてください。
「自分自身の矛盾性 not Con(T) を証明する無矛盾な理論Tが存在する」というのが
数セミ８月号にあったのですが、それは本当に正しいのでしょうか？ >>777
てゆーか矛盾がなければ
メタレベルがどんな論理でも別に構わんよ
面白いと思ってくれる人が多ければそれが
存在意義 >>783
>（この規則がなくても、一方から他方は導けるがその逆はできなかった筈。興味ある人は自分で確かめてくれ）
最小論理上で
DNE=LEM+POE メタ論理として無限論理を使っても構わんよ、なんて普通は言わんよ >>796
なんで？
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無限論理はコンパクト性を喪失しちゃってるから普通の感覚からすると奇妙なことが起こり得るからね
でもまあ、メタ論理として何が許されるかに関しては、>>807が主張しているのが正しい、
つまりメタ論理は数学者や論理学者（あるいは物理学者などの科学者も含めて）たちのコミュニティでの
（今までもそうだったし今後もそうだろうけど、明示的である必要はなくて単に暗黙の）コンセンサスによって決まる問題なのは確かだ
要するに、メタ論理は最後は理屈でなく人間集団における力関係で決まるものだからね
メタ論理としてこれは絶対にダメというのはある（矛盾している体系とか量子論理のように論理として実質的に使い物にならない体系とか）はあるが
それ以外には制約はないから、もちろん直観主義原理主義者がメタ論理も直観主義論理でなければならないとして数学や論理学を展開するのはアリ
現実にメタ論理でも直観主義論理に限定している人々の成す研究者コミュニティは存在して力を持っているわけで
だから直観主義論理でなく無限論理をメタ論理として使いたい連中が学会を立ち上げ学術誌や教科書も出して、
直観主義原理主義者たちのようにそれなりに力を持ち新しい人材が定常的に入ってくるようになれば無限論理もメタ論理として実質的な力を持つ
研究者コミュニティが確立したと言えることになる、少なくとも建前上はね
ただコンパクト性の喪失とかに現れているように、普通の感覚に最も近いであろう古典論理よりも「強い」論理をメタ論理として用いると
何がしか感覚的に不自然で奇妙なことが起こり得る
（その点、直観主義論理のように古典論理より「弱い」論理をメタ論理とする世界は不便なことはあっても感覚的に奇妙と感じることは起こらない）
そこが現実にメタ論理として使用実績のある直観主義論理と無限論理なんかのような「強い」論理をメタ論理として使用する場合との違いで
>>796が無限論理をメタ論理として使わないだろうという例として持ち出した際にイメージしていた理由だろうと個人的には推測している >>793
正しい。不完全性定理が成り立つ為に理論が
満たすべき条件が無矛盾性以外にも2つくらいある。
その条件を満たしていなくて良ければ
割と簡単に例が作れる。 木村先生がロジックヤクザに絡まれてる･ﾟ･(ﾉД`;）･ﾟ･ >>836
何その分野のランク付けみたいな勝手な価値観は？ ゲーデルの第2不完全性定理の証明を概略じゃなく、詳細に証明している本ってありますか？
第2不完全性定理の証明は、冗長な証明部分については「○○の議論の流れを形式的数論の論理式に置き換えることにより〜〜」って省略しているのが多いんで。 コンピューターによる何万行もある完全な証明ならネット上でダウンロードできる。 >>839
面白いですね
URL教えてもらえますか？ 別スレに投稿されていたものですが本スレの読者にも有用な情報と思われるので転載しておきます
371 名前：現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む[sage] 投稿日：2017/10/10(火) 23:29:34.65 ID:N5wCp15o [7/7]
突然ですが、検索でヒットしたので貼る
http://klapaucius.web.fc2.com/logic/online-textbooks.html
オンラインで入手できる数理論理学・数学基礎論のテキスト
数理論理学、数学基礎論の教科書的に使えるテキスト（講義ノート、サーヴェイ、モノグラフ等）のうち、オンラインで入手できるものを集めました。
・入門的概説
・論理一般
高階論理と型理論
直観主義論理
コンビネータとラムダ計算
時相論理および時制論理
様相論理
適切さの論理
自然言語の論理
空間論理
・モデル理論
安定性理論
無限論理
・計算可能性理論および再帰理論
・集合論
pcf理論
記述集合論
実数の集合論
選択公理
強制法と内部モデル
連続体仮説
NF
・証明論と構成的数学
順序数解析
算術の体系と不完全性
証明可能性論理
線形論理
構成的数学
・代数的論理と圏論
ブール代数
普遍代数
量子論理
圏論
・歴史 アーこれ知ってる
でも>>839に対する回答にはなっていない？ ちょっと知りたいんですが、
ゲーデルの不完全性定理レベルのビッグな定理って数理論理学(数学基礎論)で何かありますか？
定理の主張する内容のインパクトがビッグなのでもいいですし、定理の証明の長さ・定理を証明するまでに掛かる下積みの長さがビッグなのでもいいです カット除去定理もビッグでいいですけどもっとビッグなのが知りたいです
自然数論の無矛盾性はビッグでいいですね
AC,GCHの相対無矛盾性もいいですね >>842
ごめんなさい、841は839, 840とは無関係で単に本スレの読者に有用な情報と思ったので投稿しただけです 論理学を少しかじってみたのだけど
数理論理学と相当違うのでビックリ >>770
メタに古典論理だけを使って古典論理の健全性完全性は証明できるんでしょ？
メタに直観論理だけを使って直観論理の健全性完全性は証明できるのかな
何かその辺（meta-self-contained?）に正当性の根拠が置けないものかしら
数学的に面白いというだけではあんまり説得力ないような気がしないではない 最初は無からなにもかも証明しなきゃならないから大変だな >>849
え？そうなの？ハイチング代数でやるのよね？ 論理式を構成する際は、命題記号や述語記号や関数記号の区別は要らずに関数記号だけで十分なそうなんですが、本当ですか？
本当だとすれば、それはなぜですか？ >>839>>840
どなたかダウンロード先のURLを教えていただけませんか。 incompleteness theorem proof coq
もしくは
incompleteness theorem proof isabelle
で検索 てっきり数学的対象は論理→集合→自然数って言う順に定義していくものだと思ってたんだが、論理の定義の段階で集合や自然数が出てくるのはなぜなんだぜ？ それらはメタレベルのものであって、数学内で定義されるものでも定義できるものでもありません 直観主義論理においては、排中律B∨¬Bは公理でないわけですが、
では何かB∨¬Bの形の簡単な述語論理の論理式で、証明できない例を
教えていただけないでしょうか。そうすれば、直観主義でも無矛盾で
あれば¬(B∨¬B)は証明できないのですから、証明も反証もできない例
になりますよね。
というか、直観主義命題論理においてはB∨¬Bは決定不能命題
ということでしょうか。直観主義ではゲーデルの不完全性によるまでも
ないということでしょうか。 神は存在するか存在しないかのどちらかである
直観主義では、このような命題は証明できません
存在する、もしくは、存在しないと言える具体的な証明を要求します
具体的な証明手段を要求すること、これが直観主義の本質です >>866
そこで出てくる集合だの写像だの点列だのは定義すらされていないものなわけ？ メタのレベルにおいてのみ定義可能です
客体としての数学内で定義することはできません >>867
決定不能の定義を誤解しているように思われる。 >>871
決定不能という用語の多義性を知らないと思われる >>872
それは>>867に対して言ってるんだね？ >>865
論理の定義というか
数学の対象としての数理論理学ね
数理論理学の中で数学が展開されるわけじゃないよ >>867
>直観主義命題論理においてはB∨¬Bは決定不能命題
ほぼ当然ながら証明されない（結論として出てこない）よ
真偽で言いたいなら真偽どっちにも決まらないとも言える その「メタのレベル」とやらを一から構築するさまを見たことがない 我々はメタのレベルに住んでいますから、メタの存在としての我々が主体となってメタの思考を行う限り、メタを排除することはできません 完全にメタを排除した形式的な数学をメタレベルにおいて構成できるか？
メタのレベルでは明らか、というのは嘘でしたね
メタに対するメタのレベルで明らか、でした それほど明らかじゃないし、やっぱりちゃんと構築しなきゃダメだ。
無から有を産み出すことが不可能だ、というのがドグマ的なものになっているのではないか？ できるものなら、やってみればいいです
メタを排除するということは、添え字の自然数すら使えなくなりますからね 「ちゃんと構築しよ」
↓
「自然数すら使えなくなる」
なぜなのか 哲学的なドグマに関わらないように心がければ、「メタ」というものにどう対処すべきかは、それなりに明らかだとは思うがね。
「メタだから」とか「メタに対するメタのレベルだから」とかやっててもどうしようもない 始めからそうやって話せばいい
リアルでもその態度と口調で話してたのか？ >>889
で、メタ要素を一切排除した形式論理の定式化はまだですか？ >>892
まだですね
そう簡単にできたら世話はない
実際の数学の証明がメタな要素に直接依存してる訳じゃないから、排除を急ぐ理由はあまりない >>893
あなたがメタを排除しようと言い出したんですよ？
急ぐ理由はないとはどういうことですか？ 形式的数学と非形式的数学が全く同じ証明能力を持つと仮定すればメタレベルの連鎖は終わる
そしてそんな大胆な仮定は置けないので、ここが理性の限界、後は個人の好みの問題
明らかと言えるような何事もない 直観主義（命題）論理学において、A∨¬Aが定理ではない事についての具体例については
前原昭二の｢復刊 数理論理学序説｣を見るといい
具体的なモデル？みたいなのを作って、その下でA∨¬Aが定理にはなっていないことを確認してた記憶がうっすらある 今、スマリヤンの「スマリヤンの決定不能の論理パズル」ってのを読んでますが、これ本格的な様相論理入門書なんですね
タイトル的に寝ながら読めると思って読み始めましたが｢信じる｣述語が出てきたあたりからノート取らないと全く理解が追いつかなくなる >>896
「証明能力」か...
その言葉を使うなら、
メタレベルは形式的証明の正しさを確認することに使われるのみで、
それ自体はなんらの証明能力を持たない、ってのが僕の主張ってとこかな。
これ自体は至極普通だよね。 >>899
つまり、
現に目の前の紙に書かれた形式的証明に対して、その正しさをチェックする場がメタレベルと呼ばれるものである
ということかな
それって、普通に非形式的な証明の正しさをチェックするのと何が違うのかな
モデルを構成して独立性を証明したり、超限帰納法で無矛盾性を証明したりする能力は認めないわけでしょ
何のために形式系を考えるのか分からないよね
むりやり意義を見出すとすれば、非形式的な証明も可能な限り形式的に書くべきという主張？ >>901
物理的に形式化して書けるかどうかは別としても、 証明の意味は一意だ。
『原理的に形式化できないけれども証明可能』などという概念は成立しえないので、
形式化の道筋さえ見えないのであればそれは実質的に疑わしい。
つまりメタの世界に自然数全体はなさそう。 ＞形式化の道筋さえ見えないのであればそれは実質的に疑わしい。
形式化できるかどうかは今は考えていないけど、何の話をしてるの？ ひょっとして、非形式的な証明を可能な限り形式的に書くことの効用を説明してるのかな
それがどうしてメタの世界に自然数全体がないことに繋がるのか分からん
あなたの目的を達成するためにはメタの世界に自然数全体は必要ない、ということなら理解できるけど >>903
上の方であなたとは違う人が
「メタを排除することはできません」とか
「でもメタのレベルでは明らかですよね」とか言っている。
つまり形式化できなくても成立する世界がある、という主張なんだろう。
それに対しての話さ。 ＞つまり形式化できなくても成立する世界がある、という主張なんだろう。
メタレベルで使われる議論は算術とか集合論だから、当然それは形式化の対象でもある
ID:AWvvD6HUが言ってるのは、
メタレベルで使う議論の範囲を厳密に確定させようとするとメタ言語を用いざるを得ない
ということかと
＞形式化の道筋さえ見えないのであればそれは実質的に疑わしい。
＞つまりメタの世界に自然数全体はなさそう。
ID:AWvvD6HUの主張に沿えば「メタレベルを用いなければ形式化の道筋が見えない」ということ
あなたは「メタレベルは存在しない（使わない）のでメタレベルに自然数全体はない」と無意味なことを言ってる >>906
いや、
ID:AWvvD6HUはまず、>>878において
「メタのレベルを一から構築するなんてできない」と言っている。
それでもメタな世界においてこれこれのことが成り立つと主張をするなら、
彼は「形式化できなくても成立する世界がある」と言っているんだろう。
違うかねえ？ >>878は、メタをレベルにおいて定義されるものを、客体としての数学内で一から構築することはできない、という意味でした >>907
そうだね
ただし、あなたの考えてる意味とは違うと思うけどね
>>906をちゃんと読んでくれたかな？ >>908-909
よくわからん。原点に戻りたい。
メタだろうがなんだろうが、一から構築しましょう。形式的に証明できなくても成立する世界なんてない。
それが僕の主張だ。
それを「証明できませんよ」とか「メタに対するメタなレベルで明らか」とか言うなよ。 >>910
だからそれを構成してみせてください
具体的に試してみれば、わかります
対象とメタを区別する意味が >>910
例えば
a∈bが正しい論理式であり、a∈∈bが正しくないのは何故か
と考えるときメタレベルで自然数を使う
a∈bが正しいことは実際に論理式を構成する手順に従って得られることから分かる
問題となるのはa∈∈bが正しくないこと
手順に従い論理式を構成しても4文字の論理式の中にa∈∈bが含まれないことはすぐ分かる
ただし、このとき文字の数を数えて4文字以下や4文字以上という条件に注目した
正しいことを列挙するだけならメタレベルで自然数は必要ないかもしれない
しかし、何が正しくないのか、言い換えれば理論の範囲を確定させたいとき自然数がどうしても必要になる >>911
「それ」の意味が不明
構成を要する主張は最初にあなたがしたはず
>>912
「a∈∈b が論理式ではない」という主張が出来ないならしない、という立場ですよ僕は。
実際出来ないかもしれないし。
出来なくてもたとえば集合論の定理を証明していければ支障ないんだろうし。 >>913
メタを一切排除した形式論理の体系を構成してみせてください >>915
ああ、>>901に対する答えは「YES」
さ。
だけど「何のために形式系を考えるのか分からない」っていう意見には頷けない。 >>913
＞出来なくてもたとえば集合論の定理を証明していければ支障ないんだろうし。
メタ議論で算術や集合論を使うときも同じだよ
理論の範囲を確定させないまま正しいことだけを列挙する中で、独立性証明や無矛盾性証明が行われる
今更気付いたけど、あなたは形式系を「数学を一から構築するための手段」だと根本的に勘違いしてたんだね
それ違うよ
独立性証明や無矛盾性証明のように、まず理論の範囲を確定しないとできない議論のための手段だから >>916
＞だけど「何のために形式系を考えるのか分からない」っていう意見には頷けない。
また>>901に戻るけど、普通に非形式的な証明の正しさをチェックするのと何が違うのかな >>917
あなたの目的は知らない
あまり一方的なことを言うなよ。
自分は形式体系をそのように認識している。
数学は一から構築する必要があるし、非形式的な手段というものはそもそも存在しえない。 通常の数学は全てメタレベルの話で形式的な数学の要素は一切含まれていない、ということはわかりますか？ たとえば、背理法を用いて何か証明するとき、わざわざ推論規則に当てはめてシークエント式の書き換えをしたりしてないですよね？
論理構造を形式化できていないということです >>921
定理が非形式的な記述によってなされていたとしてもそれは表面的なことで、
実際に証明できたのは形式的な定理。
「非形式的な定理」なんてものはないし、あったとしてもそれは未だ証明されていないもの。 >>923
「できていない」と「やっていない」、をわざと混同しているのでは？ >>912
数える必要は無いよ
具体的に構成していくことをメタで見たら数えているように見えるというだけ 正しくは、できない、です
推論規則をいじるのは、メタレベルにおいての操作です
普通の数学を形式化した時点で、メタから見ての対象と成り下がりますから、形式化されたそれは、あくまで、形式的な数学であり、普通の数学それ自体にはなれません >>926
俺は
具体的に構成していった中にa∈∈bが含まれないことを確かめる
と言ったんだよ >>927
メタレベルを経由したかもしれないけど、出来上がった証明の正しさは（個別に）形式的にチェックできるのであろう。
しかしそのことの一般化はあきらめよう。 >>929
∈の左右は集合じゃなくちゃいけないから∈の右に∈bは来ないと指摘するだけ >>931
その場合、集合の左端に∈が現れないことを（数学的帰納法で）示しておかないと駄目 >>912
その具体例…論理式を表す記号列の解釈が一意に確定すること…に関する議論は｢論理学を作る」の前半部分で議論されていた記憶がうっすらとあります >>943
外延記法や和集合の記号を追加していったとき、
集合一般に関して左端に∈が現れないことを示すには、論理式の長さもしくは論理式の構成に関する帰納法が必要
そこまで一般的な主張をせず、「∈ ＋ 変数記号」が集合でないことを示すだけに留めるとしても、
>>912と同様に文字数に関する考察が必要 有限の長さを持つ任意の文字列というものを考えるとき
a_1 a_2 …… a_n
を頭に思い浮かべることと思うが、
……で省略された部分があるにも関わらず、直感的に有限列の性質を把握することができる
それ以前に有限の長さが何を意味するかも何故か知っている
メタレベルにおけるこの得体の知れない直感を（論理法則と同様に）そのままの形で受け入れるか、
自然数の性質に起因するものであると見なすか
どちらか選ぶとすれば俺なら後者だね >>876
そりゃそうですね。証明されない論理式見つけるのに、最初はゲーデル文
見つけるくらい大変だったんですからね。でも直観主義者って、B∨¬B
の形の論理式を公理にしてはいけないって言うんだから、つまりは
B∨¬Bの形の論理式でも正しいとはいえない論理式があると信じている
んですよね。というわりには、じゃあそういう形の（述語論理の）論理式
を見せてみろっていうと、見せれないんですよね。直観主義者の人って存在
すると言ったら実際に見せることができないと気がすまない人たちなんじゃ
あなかったのかなあ。 >>958
Bが原始論理式のとき直観主義論理でB∨¬Bが証明可能でないことが
カット除去定理よりただちに分かる >>958
直観主義においてB∨¬Bとは、Bまたは¬Bが証明できる、ということを意味します
もし仮に、B∨¬Bという論理式が証明可能だとすると、Bもしくは¬Bが証明可能ということになり、公理系にBや¬Bが入っている(もしくは定理として導ける)ことを意味します
ですから、任意の論理式やその否定が前提としてない限り、B∨¬Bは証明することができない、ということです >>960
直観主義者じゃないかもだけど
公理化至上主義者かもな
いずれにせよ絶滅危惧種だ >>961
「Bが証明できるかまたは¬Bが証明できる」という意味だとすると、
通常論理における（B∨¬B）に相当する概念はどう書くの？ >>965
「B∨¬Bが証明できる｣ということが「Bが証明できる」または「¬Bが証明できる」という意味
なお
ここで言う｢証明できる｣は｢形式的に証明できる｣ということね >>976
それは「直観主義における（B∨¬B）」の意味でしょ。
そうじゃなくて、
「通常論理における（B∨¬B）」
に相当する概念はどう書くのかを聞いてる。
∨ を使ったらダメなんでしょ？ >>979
>それは「直観主義における（B∨¬B）」の意味でしょ。
違うよ
直観主義における「B∨¬Bが証明できる」の意味だよ
B∨¬Bの意味は「BまたはBでない」でいいけど
真偽の2値で考えることができないというだけ
3値論理だと
Bが真または偽ならB∨¬Bは真だけど
Bが第3の論理値ならB∨¬Bは第3の論理値 >>959
例えばPAの公理からはじめて、排中律を使わなくても(1=3∨¬1=3)は簡単に証明
できますよ。
>>961
だから、証明できない論理式があるなら具体的に教えてほしかったんです。
そうすれば、例えば
「PAの公理からはじめて、排中律を使わない場合に
B∨¬B(具体的な形)は証明できません
当然¬(B∨¬B)も証明できません
ということで、直観主義論理にこだわるなら証明も反証もできない論理式
が簡単に見つかるんだ。」
と結論したかったんです。
でもここのレス>>876のおかげで、結局はそう簡単にはいかなさそうだとわかりました。 B∨¬B自体が証明できない論理式そのものなんですよ
具体的な論理式とかではなく、B∨¬B自体が対象としての論理式なのです
Bはワイルドカードとしても捉えることができますが、対象としての原子論理式たる命題そのものとも捉えられます 直観主義では|-B∨¬Bを示すことはできません
B|-B∨¬Bや¬B|-B∨¬Bは示せます B∨¬Bがあなたの知りたい具体的な論理式だということです ＞証明できない論理式
古典論理でもＡは証明できないよ >>997
そこは古典論理で証明できて直観論理で証明できないと意訳すべし 直観論理で
B∨¬B
は証明できないけど
¬(B∧¬B)
は証明できるのよね >>999
直観主義論理に於いては、∧と∨と、あるいは∀と∃とはもはや双対ではなく
従ってド・モルガンの法則は成り立たないから
なお一言注意しておくと、「直観論理」という言葉は存在しない
正しくは「直観主義論理」です
英語だと“intuitionistic（“intuitionism”の形容詞形で“-ism”なので「−主義」） logic”であって
“intuitive（“intuition”：「直観」の形容詞形） logic”じゃないからです このスレッドは１０００を超えました。
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