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代数学総合スレッド Part6
0001132人目の素数さん垢版2011/07/15(金) 18:50:34.00
代数に関する話題全般のスレッドです。

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0185132人目の素数さん垢版2012/05/05(土) 19:57:07.07
          __ノ)-'´ ̄ ̄`ー- 、_
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     |     l^,人|  ` `-'     ゝ  |        さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
      |      ` -'\       ー'  人          一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
    |        /(l     __/  ヽ、           良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
     |       (:::::`‐-、__  |::::`、     ヒニニヽ、         あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
    |      / `‐-、::::::::::`‐-、::::\   /,ニニ、\            それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら?
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0186垢版2012/05/05(土) 20:07:49.39
ウザイ
誰かこいつを書込禁止にしてくれ
0187132人目の素数さん垢版2012/05/05(土) 20:22:25.19
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    |        /(l     __/  ヽ、           良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
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0188132人目の素数さん垢版2012/05/05(土) 20:25:09.93
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0190170垢版2012/05/06(日) 00:34:30.32
>>172
Macだと簡単に出せるんですか。自分はコピペするしかないのか〜
反例の方ですが、環が単位元を持たないので>>174の条件は成り立たないですが
結局 (R⊗R)^* = R と (R^*)⊗(R^*) = {定数項と1次の項が0の多項式全体} となって
次数を1下げる写像でR同型になるんじゃないかと思います。
どうも有難うございました〜
0192172垢版2012/05/06(日) 04:25:17.87
>>190
空振り続きでネタ切れ〜
失礼しました。
0193132人目の素数さん垢版2012/05/06(日) 07:17:44.84
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0194132人目の素数さん垢版2012/05/09(水) 09:06:12.14
互いに素って
 relatively prime
 coprime

どっち使います?自分は下のほうを使うけど、書物なんかは上が多い気が
0195132人目の素数さん垢版2012/05/09(水) 10:02:49.22
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0196132人目の素数さん垢版2012/05/09(水) 13:15:17.77
4 and 9 are relatively prime.
4 is coprime with (to?) 9.
同じ意味だろ
0198132人目の素数さん垢版2012/05/09(水) 15:37:33.97
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0199132人目の素数さん垢版2012/05/09(水) 20:10:04.74
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0200132人目の素数さん垢版2012/05/09(水) 22:24:36.80
aとbが互いに素であることを a⊥b と表記してる本があったけど
この表記使う人結構いる?
0201132人目の素数さん垢版2012/05/11(金) 10:45:13.42
いない
0202132人目の素数さん垢版2012/05/11(金) 10:53:59.19
生まれて初めて見た
死ぬまで次は見ないかもしれない
0203132人目の素数さん垢版2012/05/11(金) 11:03:41.30
互いに素という言葉を頻繁に使う必要があれば、それを表す記号があったほうが便利だろ。
一般に使われている記号がないときにその本の中で一時的に記号を定義して使うぶんには問題ない。
0204132人目の素数さん垢版2012/05/11(金) 12:28:06.17
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0207132人目の素数さん垢版2012/05/19(土) 21:14:50.74
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.     |   \ ∠イ  ,イイ|    ,`-' |      頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
     |     l^,人|  ` `-'     ゝ  |        さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
      |      ` -'\       ー'  人          一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
    |        /(l     __/  ヽ、           良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
     |       (:::::`‐-、__  |::::`、     ヒニニヽ、         あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
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0208132人目の素数さん垢版2012/05/22(火) 04:06:32.15
適当な意味で内積っぽい二変数函数FがあってF(x,y)=0(乗法的なやつとかだとF(x,y)=1)なのを
x⊥yって書くのはそんなに珍しいこともないと思うがなあ。
0209132人目の素数さん垢版2012/05/23(水) 06:10:54.80
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0210132人目の素数さん垢版2012/05/23(水) 09:05:23.02
test
0211132人目の素数さん垢版2012/05/23(水) 10:09:10.66
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0212132人目の素数さん垢版2012/05/23(水) 23:02:23.85
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0213132人目の素数さん垢版2012/05/27(日) 07:25:07.73
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0214132人目の素数さん垢版2012/05/28(月) 17:32:53.19
基本的な事ですが質問させてください。
primitiveな多項式は次数に飛びがあってはいけませんよね?
例えば(1)は係数が全て素数で次数がちゃんと並んでいるので普通のprimitiveな多項式ですが
(2)だとx^3, x^5, x^7の係数が0即ち最大公約数が1ではなくなってしまいます。

(1) f = 8209x^5 + 8219x^4 + 8221x^3 + 8231x^2 + 8233x
(2) g = 8161x^8 + 8167x^6 + 8171x^4 + 8179x^2 + 8191x

以下のアルゴリズムを参考に多項式の最大公約数を計算するプログラムを書いてみたんですが
次数に飛びがあると正常な結果が返ってきませんでした。
ttp://books.google.co.jp/books?id=NuEHj0wPwgIC&lpg=PA205&hl=ja&pg=PA168#v=onepage&q&f=false

どなたかご教示お願いします。
0216132人目の素数さん垢版2012/05/28(月) 18:12:50.12
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0217132人目の素数さん垢版2012/05/29(火) 04:20:19.94
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0218132人目の素数さん垢版2012/06/02(土) 16:15:07.12
有限生成で射影的なR加群Mが双対加群M^*とR同型にならない例ってありますか?
0219132人目の素数さん垢版2012/06/05(火) 07:06:35.21
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0220132人目の素数さん垢版2012/06/05(火) 12:55:17.33
cool
0221132人目の素数さん垢版2012/06/05(火) 12:59:01.73
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    |      / `‐-、::::::::::`‐-、::::\   /,ニニ、\            それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら?
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0222132人目の素数さん垢版2012/06/05(火) 14:24:48.74
R=Z/2Z x Z/2Z, M=Z/2Z なら M は射影的
M^* = Z/2Z x Z/2Z
0223132人目の素数さん垢版2012/06/05(火) 14:29:52.38
今のは間違い。
0224132人目の素数さん垢版2012/06/05(火) 14:59:12.97
          __ノ)-'´ ̄ ̄`ー- 、_
        , '´  _. -‐'''"二ニニ=-`ヽ、
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     |   |  | / / レ',二、レ′ ,ィイ|゙/   私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.     |   \ ∠イ  ,イイ|    ,`-' |      頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
     |     l^,人|  ` `-'     ゝ  |        さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
      |      ` -'\       ー'  人          一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
    |        /(l     __/  ヽ、           良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
     |       (:::::`‐-、__  |::::`、     ヒニニヽ、         あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
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0225132人目の素数さん垢版2012/06/05(火) 15:02:14.79
>>218
あるよ
ヒント:類数 3 の整数環を取る。
0226132人目の素数さん垢版2012/06/05(火) 20:31:58.97
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     |     l^,人|  ` `-'     ゝ  |        さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
      |      ` -'\       ー'  人          一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
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0227132人目の素数さん垢版2012/06/05(火) 20:33:07.57
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0228132人目の素数さん垢版2012/06/05(火) 22:33:51.65
V=V(XW-YZ)、O(V)=k[X,Y,Z,W]とする
X,YのO(V)についての剰余類をx,yとする
x/yの極を求めよ

答えがV(Y,W)なのは分かってるんですが、証明がわかりません…
x/y=z/wだから、y=w=0の点全体、というのでは足りないらしく、x/y=f/g
(f,g∈O(V))とおいて、f/gの極がV(Y,W)になればいいと言われたんですが…どなたか分かる人いませんか…お願いします…。
0229132人目の素数さん垢版2012/06/06(水) 00:23:53.55
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0230218垢版2012/06/07(木) 09:21:36.74
>>225
ありがとう。
しかし類数3の整数環・・・何のことだかサッパリだ。
ともかく成り立たない場合があるということで有難う。
0231132人目の素数さん垢版2012/06/07(木) 11:10:00.65
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0232132人目の素数さん垢版2012/06/07(木) 22:02:37.33
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0233132人目の素数さん垢版2012/06/10(日) 21:57:46.59
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0234132人目の素数さん垢版2012/06/19(火) 13:49:34.51
質問させて下さい。
テンソル積を'*'で表すことにします。

A,BをC-代数とします。
A*B上の双線形写像
 φ:(A*B)×(A*B)→(A*B)
を各(a*b,a'*b')∈(A*B)×(A*B)に対し
 φ(a*b,a'*b')=(aa')*(bb')
となるように定めたいのですが、
これが well-defined であることは
どうやって示せばいいのでしょうか?
0235132人目の素数さん垢版2012/06/19(火) 14:55:57.85
普遍性を手を動かして具体的に書けば終了
0238132人目の素数さん垢版2013/05/20(月) 21:31:20.46
          __ノ)-'´ ̄ ̄`ー- 、_
        , '´  _. -‐'''"二ニニ=-`ヽ、
      /   /:::::; -‐''"        `ーノ
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     |     l^,人|  ` `-'     ゝ  |        このスレ 馬と鹿と豚ばかりね。
      |      ` -'\       ー'  人          
    |        /(l     __/  ヽ、          
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0239132人目の素数さん垢版2014/01/18(土) 21:45:55.61
代数的閉体
0240132人目の素数さん垢版2014/01/19(日) 18:23:39.16
NをGの正規部分群、PをGの一つのpシロー群とすると、
NP/NはG/Nのpシロー群であることを示せ。

という問題が解けなくて本当に困っています。
助けてください。
0243132人目の素数さん垢版2014/01/20(月) 00:40:18.56
240は釣りか?
0244132人目の素数さん垢版2014/01/22(水) 23:51:11.38
>>240

pシロー群であることを示すには

Na*NbについてNa*Nb=N(a*b) 及び (Na)の逆元がN(a^(-1))
であることを示すんだよ。
あとはわかんね
0248132人目の素数さん垢版2014/01/23(木) 20:14:38.50
|NP/N|=|P/P∩N|よりNP/Nはp-群
[G/N:NP/N]=[G:NP]は[G:P]=[G:NP][NP:P]を割り切るからpと互いに素
よって明らか
0249132人目の素数さん垢版2014/01/25(土) 08:45:15.37
直線状の組合せ
って何でしょう
0250132人目の素数さん垢版2014/01/25(土) 08:51:38.75
もしかして:linear combination の俺訳
0253132人目の素数さん垢版2014/05/20(火) 12:47:19.34
保守
0254132人目の素数さん垢版2014/05/20(火) 12:56:13.46
直線状のなら
lineal
0255132人目の素数さん垢版2014/07/04(金) 22:24:57.02
代数
0256132人目の素数さん垢版2014/07/05(土) 11:57:33.04
代数学の問題です。

@次を満たす整数xを求めよ。

x≡1(mod37)
x≡8(mod31)
0≦x≦1146

A-1 73を法とした10の位数を求めよ。A-2 73を法とした2の位数を求めよ。

解答よろしくお願いします。
0257132人目の素数さん垢版2014/07/05(土) 12:12:30.93
ゴルチ
0259132人目の素数さん垢版2014/09/08(月) 02:38:53.65
指数2の部分群って正規部分群になる証明教えてください!!!!!!
0260132人目の素数さん垢版2014/09/08(月) 05:33:05.09
そろそろロシアの堪忍袋の緒が切れて
アメリカとNATO軍との核戦争に突入かな。
人類最後の戦争になるかもね?
0261132人目の素数さん垢版2014/09/09(火) 01:30:39.28
群Gの部分群Hの指数[G:H]=2とする。g∈G、h∈H とする。
g∈H なら、gh∈H と h=gg^(-1)h∈gH より、gH=H
g∈/H なら、gh∈G かつ gh∈/H より gH⊂G\H
左剰余類はGの元を類別し、かつ、[G:H]=2 であるから、g∈/H なら、gH=G\H が従う。
右剰余類についても同様にして、g∈H なら、Hg=H、g∈/H なら、Hg=G\H が言えるから、
結局、任意のg∈G について、gH=Hg が成り立つ。
0262132人目の素数さん垢版2014/09/09(火) 21:33:13.48
>>259
2行2列の表を書いてみたらすぐわかること
0263132人目の素数さん垢版2014/09/11(木) 00:27:14.92
>>261
あざっす
>>262
どゆこと?
0264132人目の素数さん垢版2014/09/11(木) 23:30:42.40
>>262
どんな表?
0265132人目の素数さん垢版2014/10/01(水) 10:40:16.90
場合分けをそんな風に言ってみただけ
0267132人目の素数さん垢版2014/10/12(日) 11:56:09.14
What are ideals in a field (F,・,+)?

という問題です。どんなのがイデアルになるんでしょうか?
0269132人目の素数さん垢版2014/10/12(日) 12:51:17.14
非自明なイデアルが無い事はどうしてわかるんでしょうか?
0271132人目の素数さん垢版2014/10/12(日) 14:47:57.02
逆も真
環Fのイデアルが自明イデアルだけなら、{0}はFの極大イデアルだから、F/{0}=Fは体
0273132人目の素数さん垢版2014/10/12(日) 22:32:56.22
>>267
>(F,・,+)

意味は分かるが、なかなかクソ真面目な表現だなw
0274132人目の素数さん垢版2014/10/14(火) 04:18:20.70
質問です.

A, Bを単位元を持つ可換環としてf:A→Bを環準同型,mをBの極大イデアルとします
fによるmの逆像nはAの素イデアルですが,
fが全射のとき,nはAの極大イデアルになると言えるでしょうか?
証明しようとするとなかなかうまくいきません
0275132人目の素数さん垢版2014/10/14(火) 13:22:33.91
>>274
A のイデアル I が n ⊂ I ⊂ A を満たすとする。
n ≠ I として I=A を示す。
a ∈ I-n をとると、f(a) は m に属さない。
m は B の極大イデアルであるから、ある b_1∈B,b_2∈m で
 b_1 f(a) + b_2 = 1
とできる。f は全射だから f(a_1)=b_1,f(a_2)=b_2 となる a_1∈A,a_2∈n がとれる。
すると、
 f(a_1 a + a_2)=1
 f(a_1 a + a_2 - 1)=0
 a_1 a + a_2 - 1∈Kerf⊂n⊂I …(*)
a∈I,a_2∈n⊂I と(*)より 1∈I が得られ、I=A を得る。
したがって n は極大イデアル。□

別解
準同型定理により、A の Kerf を含むイデアルと B のイデアルは
像、逆像をとることにより1対1に対応する。
この対応は包含関係を保つから、極大イデアルの逆像は極大イデアル。

別解
準同型定理の系から、A/n と B/m は同型。
B/m は体だから A/n も体。
よって n は極大イデアル。
0276132人目の素数さん垢版2015/03/30(月) 17:45:10.68ID:6+VwaBQJ
手間かけさすなよ
0278132人目の素数さん垢版2016/10/05(水) 19:54:38.73ID:0V7MJ3t1
代数なんて哲学みたいに抽象的なんだよ。
それより
1/0=jとして複素数を拡張した三元数を作ればいい。
a+bi+cj
四元数なんか√-1をiの他にj,kを追加してわけわからん。√-1はiだけで事足りるのに
iと同じ機能を持つjやkなど追加しても無意味。
哲学ような抽象代数とか四元数より三元数だよ。
0除法が可能な三元数なら5次方程式だって解ける。
0280132人目の素数さん垢版2017/03/11(土) 17:11:00.89ID:X4/EwKNl
ヒントか回答下さい:

Rは可換環、Mはイデアル、MMをM^2と略記する。
M1とM2を二つのイデアルとし、M1+M2=Rのとき、M1^2+M2^2=Rを示せ。

Langのundergraduate algebra 第3版で自習してまして、その第3章§2の練習問題2で、

https://books.google.co.jp/books?id=VQxg-obguwoC

の89ページで閲覧できます。
0283132人目の素数さん垢版2018/03/31(土) 13:43:20.49ID:hLLeN6EP
>>27
>>34

どうせ返信なんて期待しませんが一応書いておきます

kを自然数, g^k (n) = 2nとなる写像 g: Z \to Zを次のように構成する:

任意の0でない整数mに対してm= m' 2^l
となる奇数m'と0以上の整数lが一意的に存在する.
奇数全体の集合は自然数全体の集合Nと同じ濃度なので
a:{奇数全体} \to N
なる全単射を一つ固定する.
このとき,
Z = {0} \cup ({奇数全体}×N) = {0} \cup (N×N)
という全単射が存在する(aに依存している)

上の同一視があるので,
写像G : N×N \to N×N
で, G^k (m,l) = (m, l+1)
を満たすものを構成すればよいことがわかる.
m = dk + j (dは0以上の整数, 0≦j <k)
と一意的に表したとき,

G(m,l)=
(m+1, l) (jがk-1でないとき)
(m, l+1) (j= k-1のとき)

で定義すればよい.

わからないのは、「必要十分性」と、「一意性」です。


(1)gは上で書いた全単射
a :{奇数全体} = N
の取り方に依存している.
この全単射は非常にたくさん存在する.
さらにはgはGの構成に依存して、Gが一意的である保証がない.
したがって, 明らかに一意的ではない.


(2)上で構成したg : Z \to Zは確かにg^k(n) = 2nを満たすことはわかる.
しかし, どんなgでg^k(n) =2nを満たすものも上のような構成によって得られるという保証は全くない
0284132人目の素数さん垢版2018/03/31(土) 19:10:01.09ID:yarCWLZk
x≠0からx=g(w),w=g(v),v=g(u),...のように逆向きにたどっていくといつかは止まる。
止まったところをaとするとxはg^0(a),g^1(a),g^2(a),g^3(a),...という列に含まれる。
この列の最初のk個は奇数で0以外の整数はこういう形の列のどれかに含まれるので
gが決まれば奇数をk個ずつの列の分ける分け方が決まり
奇数をk個ずつの列の分ける分け方が決まればgが決まる。
0285132人目の素数さん垢版2018/03/31(土) 20:11:56.41ID:hLLeN6EP
>>284
gは全射ではないので、一行目のように逆向きに辿れないのでは?
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