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代数学総合スレッド Part6
0001１３２人目の素数さん垢版2011/07/15(金) 18:50:34.00
代数に関する話題全般のスレッドです。

代数学総合スレッド
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1011536232/
代数学総合スレッド Part2
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1045779496/
代数学総合スレッド part3
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1116279106/
代数学総合スレッド Part4
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1188000000/
代数学総合スレッド Part5
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1233450000/
0003１３２人目の素数さん垢版2011/07/15(金) 23:10:22.30
猫が量子群について語りますだ
0007１３２人目の素数さん垢版2011/07/16(土) 07:20:40.25
ウィキに増田の項目できてるよ
0010１３２人目の素数さん垢版2011/07/16(土) 08:16:09.60
生活保護って書いてあったけど、本当なの？

熟女のヒモだったら生活保護は無理でわ？
0011しんちゃん垢版2011/07/18(月) 22:00:27.93
❶東大
❷R
❸BHG
❹ラミ
❺センター
❻マセマ
❼バーチャ
❽ウイイレ
0012しんちゃん垢版2011/07/18(月) 22:18:09.96
❶東大
❷R
❸BHG
❹ラミ
❺センター
❻マセマ
❼バーチャ
❽ウイイレ
0013しんちゃん垢版2011/07/18(月) 22:24:53.35
❶東大❷R
❸BHG❹ラミ
❺センター❻マセマ
❼バーチャ❽ウイイレ
0015１３２人目の素数さん垢版2011/07/26(火) 22:33:50.43
自然数全体をＮ
g: Ｎ→Ｎ とする。
∀n　　g(g(g(g(n)))) = 2n,
を満たす g(n) を挙げよ。
0016名無しさん＠恐縮です垢版2011/07/27(水) 17:18:13.42
環論の質問です。
整域 A、A の素イデアル P、A のイデアル I で P を
含むもの、があるとします。
A の二元 a、b に対して
ab が IP の元、a が I の元だけど IP の元でないならば、
b は P の元になりますか？
0018お願いします。。。垢版2011/07/27(水) 17:49:00.10
・初学者に対して、「剰余環とはなにか」を説明せよ。
・集合論などの基本的知識や環の定義、イデアルの定義は既知としてよいが、
　ほかの概念は出来るだけ詳しく説明せよ。
・剰余環がどのような集合にどのような演算を定めたものなのかを
　はっきりと述べよ。
・剰余環の具体例をひとつ挙げ、計算例も説明せよ。

ご享受願えませんでしょうか。。。


0021お願いします。。。垢版2011/07/27(水) 18:20:48.78
すみませんでした。
この内容でレポートが出て、手がつけられませんで・・・。

剰余環とは何か、簡単に説明してもらえませんかm(__)m
0023１３２人目の素数さん垢版2011/07/27(水) 18:44:47.15
>>18
同値関係と剰余類は分かってるのか？
それが分かれば終了。
0024１３２人目の素数さん垢版2011/07/27(水) 19:01:57.31
教える立場に立つ目的で
> ・初学者に対して〜説明せよ。
という課題に挑もうという人が、教え方を論じるどころか
逆に誰かに内容を教えてもらわないといけないってのは、
だめだろ、いろいろと。

玉川の通信教育学部の悪夢再来か？
0025１３２人目の素数さん垢版2011/07/27(水) 19:03:52.83
>>24
> 玉川の通信教育学部の悪夢再来か？

何それ？
0026お願いします。。。垢版2011/07/27(水) 19:26:12.40
同値関係と剰余類は理解してます。
ヒントありがとうございました！！

では、失礼します。
0029名無しさん＠恐縮です垢版2011/07/29(金) 00:41:51.46
>>17
>>19
反例ありがとうございます！！
0030名無しさん＠恐縮です垢版2011/07/29(金) 08:22:01.90
>>17
>>19
考えていた問題が一箇所間違えていました。
済みません。
I と P の包含関係が逆でした。
以下の主張の反例が欲しいです。

A：可換環
I ⊂ P ⊂ A：イデアル, P は素イデアル
a,b ∈ A
「ab ∈ IP, a ∈ I」 だが 「a ∈ IP ではない」
⇒ b ∈ P
0032名無しさん＠恐縮です垢版2011/07/29(金) 10:40:41.59
>>31
素晴らしいです
どうもありがとうございます
0033名無しさん＠恐縮です垢版2011/07/29(金) 11:03:24.41
体論の質問です
標数 0 の体 K の二つの線形無関連な
有限次巡回拡大 L,M があるとします。
それぞれ定義多項式 f,g ∈ Z[X] が与えられて
いるとします。
何でも良いので合成体 LM の定義多項式を一つ
(f,g の係数を使って)一般に与えたいのですが可能
でしょうか？
deg(f)=2 のときは αβ (f,g の根)の最小多項式
を基本対称式を用いて(係数に出てくる対称式を基本
対称式で表して)出来たのですが、一般に書くのは難
しそうでした。但し、ベキの基本対称式
e_i(α_1^d,…,α_n^d)
は Newton identities があるので既知とします。
α_i は f の根たち、e_i は i 次基本対称式です。
0034 [―{}@{}@{}-] １３２人目の素数さん垢版2011/07/29(金) 17:29:35.52
>>27
面白そうだから考えてみたけど、それで本業のレポート間に合わなくなったｗ
g^0(n)=n
g(g^k(n))=g^(k+1)(n)
と書くことにする。
以下が証明出来ればいい。
gが、g^4(n)=2nを満たすためには、gが次の形に書けることが必要十分である。すなわち、

数列a_n(０≦ｎ)を奇数のみからなり、すべての（正の）奇数が重複なく、一回ずつ現れるものとすると、
g(0)=0
(任意の0以外の自然数は自然数ｒ,mと3以下の自然数iによって一意的にa_(4r+i)(2^m)とかけるので）
g((a_(4r+i))2^m)=a_(4r+i+1))2^m (i≠3の時)
　　　　　　　　=a_(4r)2^(m+1) (r=3の時)

証明：
十分性：
n=0のときはg^4(n)=2nは明らか。
よってg^4(a_(4r+i)2^m)(ｒは自然数,iは３以下の自然数)について言えばいいが、
a_nが奇数だけからなることより、
g^4(a_(4r+i)2^m)
=g^3(a_(4r+i+1)2^m)
...
=g^(i+1)(a_(4r+3)2^m)
=g^i((a_4r)2^(m+1))
=g^(i-1)((a_(4r+1))2^(m+1))
...
=g^0((a_(4r+i))2^(m+1))
=(a_(4r+i))2^(m+1)
=2(a_(4r+i)2^m)
0035 [―{}@{}@{}-] １３２人目の素数さん垢版2011/07/29(金) 17:30:11.71
必要性：
gを任意の自然数nに対してg^4(n)=2nが成り立つものとする。


(i) g(n)は単射
g(n)=g(m)とすると、
g^4(n)=g^4(m)
条件より、2n=2mであるから、n=m.
(ii) g(0)=0
2g(0)=g^4(g(0))=g(g^4(0))=g(2*0)=g(0)
したがってg(0)=0

(iii) R={r;r=g(n)となるnが存在しない}とするとき、Rの元rに対して、
g^i(r)はiが３以下の自然数の時、奇数であり、iが３より大きい時は偶数。

i<4のとき、もし、g^i(r)＝2nだとすると、g^4(n)=g^i(r)であり、gは単射だから、
r=g^(4-i)(n)=g(g^(3-i)(n))であるからRの定義に反する。
また、i>3のとき、g^i(n)=g^4(g^(i-4)(n))=2g^(i-4)i(n)だから後半も成り立つ。

(iv)Rは奇数からなる無限集合（したがって加算）である。

Rの元が奇数であることは（iii）でi=0とすればいい。
Rが有限とする。
Rt={g^i(r);r∈R,i∈N}とするとき、（iii）より、Rtは有限個の奇数しか含まない。
そこで、これに含まれない奇数をnとする。
R⊂Rtだから、n=g(n_0)となるn_0がある。すると、n_0はRtに含まれない。
したがってn=g(n_1)=g^2(n_2)を満たす、Rtに属さないn_1がある。
これを繰り返して、
n=g^4(m)=2mを満たすmがある。しかしこれはnが奇数である事に反する。
0036 [―{}@{}@{}-] １３２人目の素数さん垢版2011/07/29(金) 17:32:09.12
（v）数列a_nをa_4r∈R,a_(4r+i)=g^i(a_4r)（0≦i<4）
と定義する。ただし、｛a_4r｝にはRのすべての元が一回ずつ重複なく現れるように取る。
この時、a_nは奇数だけからなり、すべての奇数が重複なく一回ずつ現れる。

奇数のみからなることはa_nの定義と（iii）から明らか。
すべての奇数が現れることは、(iii)より、Rtがすべての奇数を含むことを、
重複がないことを言うにはa_(4r_1+i)=a_(4r_2+j)のとき、
r_1＝r_2、i＝jを言えばいい。

前者はRtに含まれない奇数をnとすると、（iv）と同じ論法で矛盾をきたす。
後者は、i≧jとしてもよい。gは単射であり、a_(4r_1+i)=a_(4r_2+j)のとき、
g^i(a_(4r_1))=g^j(a_(4r_2))
a_(4r_2)=g^(i-j)(a_(4r_1))
もし、i≠jだとa_4rとRの定義に反するのでi=j.
つまり、a_(4r_1)＝a_(4r_2).　a_4rの定義より、r_1＝r_2。

0037 [―{}@{}@{}-] １３２人目の素数さん垢版2011/07/29(金) 17:33:09.40
（vi）
0以外の任意の自然数n=(a_(4r+i))2^m(0≦i<4)に対して、g(n)は上で定義したa_nによって

g((a_(4r+i))2^m)=a_(4r+i+1))2^m (i≠3の時)
　　　　　　　　=a_(4r)2^(m+1) (i=3の時)
とかける。

g((a_(4r+i))2^m)
=g^(4m+1)(a_(4r+i))
=g^4m(g(a_(4r+i)))　　--☆
ここでi≠3なら、g(a_(4r+i))=a_(4r+i+1)より、
=g^4m(a_(4r+i+1))
=a_(4r+i+1))2^m

また、i＝3なら、
g(a_(4r+3))
=g(g^3(a_4r))
=g^4(a_4r)=2*(a_4r)
よって
☆＝g^4m(2*(a_4r))
=a_(4r)2^(m+1)

[証明終]
0038 [―{}@{}@{}-] １３２人目の素数さん垢版2011/07/29(金) 17:33:43.75
具体例を作りたければ、例えばa_n = 2n+1とすればいい。

つまり以下のようになる。
0≦i<4のとき、
g(0)=0
g((8r+2i+1)2^m)=(8r+2(i+1)+1)2^m (i≠3の時)
　　　　　　　　=(8r+1)2^(m+1) (i=3の時)

>>27
a_nを負の添え字まで拡張して負の奇偶まで考えれば上と同様。
特に最後の具体例はそのまま適応できる。
どや？
もしかしたら、群論とか半群論の言葉をつかってもっと綺麗に言い表せるのかもしれないが。
わからん。誰か頼む。いい方法ないの？
0049132人目の素数垢版2011/08/01(月) 21:04:09.47
Aを有限集合とする。
Aの元がｎ個のとき写像ｇ：A→Aに対して
ｇ^ｎ(A)＝ｇ^(ｎ+１)(A)であることを示せ.

がわかりません。
どなたか分かる方いたら教えてください(＞＜;

ｇ^ｎはｎ個のｇの合成写像です。
0053132人目の素数垢版2011/08/01(月) 22:18:52.80
>>50
どういうことですか（？。？
006550垢版2011/08/02(火) 07:21:33.88
>>53
あら済まない．
g^n(A) を g^n(x) と読み違えていた．

g^k(A)⊇g^{k+1}(A) であることと
k で等号が成立すれば m≧k で g^m(A)=g^{m+1}(A) となることを使う．
0084１３２人目の素数さん垢版2011/08/02(火) 15:48:25.61
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0086１３２人目の素数さん垢版2011/08/02(火) 16:00:35.86
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0088１３２人目の素数さん垢版2011/08/02(火) 16:14:45.06
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0089１３２人目の素数さん垢版2011/08/02(火) 16:15:56.39
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0092１３２人目の素数さん垢版2011/08/02(火) 16:32:27.12
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0100 ◆YeNleXj6MwwY 垢版2011/08/15(月) 00:49:42.02
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