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フーリエ変換・ラプラス変換
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0002132人目の素数さん2011/05/22(日) 22:12:49.98
フーリエ変換に対する急減少関数の空間みたいに、ラプラス変換しても変わらない具合のいい関数空間ってあるの?
0006132人目の素数さん2011/05/23(月) 00:02:55.72
L[f]=fとなる関数か。
調べてみなさい。

というかガウシアンだとどうかな。
0007132人目の素数さん2011/05/23(月) 01:57:35.70
exp(-st-at)これはどうかにゃ。

といっても全く適当だが。これをδ関数と掛け合わせればs=0だけ拾うからexp(-at)になって同じ形になるね。あれ、これじゃ何もしてないのと同じか?
0008132人目の素数さん2011/05/23(月) 07:14:59.14
ウェーブレットは?
0010132人目の素数さん2011/06/03(金) 21:07:15.48
ツマラン
0011132人目の素数さん2011/06/07(火) 01:13:43.07
画像処理と信号処理では必須だな。
スゲーなと素直に感動したな最初。
Cマガのためにガンバったわ。
0012132人目の素数さん2011/06/17(金) 10:13:55.10
数学科ではあんまりやんないのか
0013132人目の素数さん2011/06/17(金) 11:12:17.68
何をやるんだ。
0014132人目の素数さん2011/06/17(金) 11:22:20.22
フーリエ
0015132人目の素数さん2011/06/17(金) 12:40:09.10
数学科では、そんなの演習問題のひとつに過ぎん。
0016132人目の素数さん2011/06/17(金) 21:02:31.25
関数解析の本で、ヒルベルト空間の章の中の
1節で2ページ位で紹介されたりする場合もあり。
0017132人目の素数さん2011/06/17(金) 23:41:04.76
2つ以上の関数の畳み込みの形で記述された現象を解析するための、有用な道具なのよ。
数学科の課程で扱いが少ないからといって、軽視してよい、というわけではない。
また 2ページでこれを勉強した人が、この道具を有効に使えるわけでもない。
0018132人目の素数さん2011/06/17(金) 23:59:29.61
少なくともL^2と超関数のフーリエ変換くらいはやるでしょ
ラプラス変換はほとんどやらないと思うが
0020132人目の素数さん2011/06/19(日) 04:15:22.46
時間つぶしに厄にたつ
0023132人目の素数さん2011/06/19(日) 20:12:47.59
L^2関数のフーリエ変換って計算自体は広義積分で計算できる簡単さがいい
0025132人目の素数さん2011/06/26(日) 22:48:30.54
「t・f(t)のラプラス変換が-F'(s)であることを示せ」の解き方の方針を教えてください。
与えられてるのはラプラス変換の公式F(s)=L[f(t)]=∫f(t) e^(-st) dt だけです
0026132人目の素数さん2011/06/27(月) 08:42:35.04
分かるか! そんな、難しい問題は,俺に聞くな。
0027132人目の素数さん2011/06/27(月) 19:05:03.90
(d/ds)F(s) = (d/ds)∫f(t) e^(-st) dt = ∫f(t) d/ds(e^(-st)) dt = -∫t・f(t) e^(-st) dt
 = - L[t・f(t)] ってだけのことだけど…。
L[f'(t)] = s・F(s) と並べてみると面白いというのかな。
0028132人目の素数さん2011/07/01(金) 09:19:47.35
フーリエ変換を用いて、∫(-∞→∞) (sinω/ω)dω=πを示せ
という問題は、どのようにフーリエ変換を用いればいいのですか?
0029132人目の素数さん2011/07/01(金) 09:29:31.90
留数でも使えば一発ジャロ。
0030132人目の素数さん2011/07/01(金) 13:05:42.38
すみません、留数は扱った事がないので、
他の方法はないでしょうか
0032132人目の素数さん2011/07/01(金) 22:43:48.34
>>28
f(t)のフーリエ変換を F(ω)とするとき、∫F(ω)dω = 2πlim(t→0)f(t).
この場合、f(t) = 1/2 (|t|<1) or 0 (otherwise)である。
0033132人目の素数さん2011/07/01(金) 22:56:35.91
『工学部で学ぶ数学』 プレアデス出版 千葉逸人著
複素関数論の留数定理んとこ立ち読みしいや。

証明熊
0034282011/07/03(日) 13:45:07.83
すみません、留数について勉強してきたのですが、それでもうまくいきません…
f(ω)=1/ωとおくと、e^(iω) /ωは1位の極 ω=0 を持つので、
Res[f(ω)e^(iω) , 0] = 1
これを
∫(-∞→∞) f(ω) sinω dω = 2π Re Res[f(ω)e^(iω) , 0]
という公式に代入するとどうしても解が2πになってしまいます
どこが間違っているのでしょうか…
0035132人目の素数さん2011/07/03(日) 14:01:30.73
あ、ちなみにフーリエ変換の方の解法では解けました。
ありがとうございます。
0037132人目の素数さん2011/07/03(日) 16:51:50.20
>>34
あきれるほど馬鹿な間違いをしている。
>>33で同じ問題が載ってる本が紹介されてるんだから、それくらい最低限調べろよ。
0039132人目の素数さん2011/07/06(水) 23:35:00.25
『サルでも分かるフーリエ解析』
0041132人目の素数さん2011/07/31(日) 19:40:16.09
一度、フーリエ変換を習ってしまうと、数値計算で
FFTしてしまえばいいような気がしてくるな
0042132人目の素数さん2011/07/31(日) 20:05:22.33
スペクトルアナライザーの基礎
0044132人目の素数さん2011/08/03(水) 09:05:50.83
ラプラスの変換表って覚えるもんなの?
0046132人目の素数さん2011/08/05(金) 23:44:03.39
いやずら。
0047132人目の素数さん2011/08/11(木) 22:09:03.09
F(t)=∫[-∞→∞] e^(-1/2 x^2) e^(-itx)dxのとき
d/dt[F(t)] -t*F(t)=0
を示せ。
という問題なのですが、まったく手をつけられません。。。
解法を教えてください
0048132人目の素数さん2011/08/14(日) 04:11:15.26
クライツィグはどうなんだ?


>>47
F(t)=∫f(x,t)dx は条件が整えば F'(t)=∫∂f(x,t)/∂t dx と微分の順序が入れかえれる
0049132人目の素数さん2011/08/14(日) 11:10:24.79
単一パルスをFFTして負の値も持つSINC関数をだすには、
結果の複素数をどう処理したらいいですか?
0050仙石162011/08/14(日) 16:04:14.53
>>49
FFT出力をリシャッフルして (N=2~n)
実数部が同相(COS(n))
虚数部が直交成分(SIN(n))
0051132人目の素数さん2011/08/14(日) 18:14:32.03
石村園子の「ラプラス変換・フーリエ解析」は馬鹿にできない
0052132人目の素数さん2011/08/14(日) 18:44:23.66
>>50
リシャッフルとは具体的に?
00532011/09/10(土) 20:12:14.33
gnuplot、フーリエ級数の問題が 解けません!

f(x) =|x|(-1<x≦1)に対し、Fourier級数の第(2m-1)項までの部分和は

S[2m-1][f](x)=(1/2)-(4/pi^2 )Σ(k=1 からm)(1/(2k-1)^2)cos(2k-1)pi x =(1/2)-(4/pi^2){cos*pi*x +(1/3^2 ) cos*3*pi x(1/5^2)cos*5*pi +・ ・・+(1/(2m-1)^2)cos(2m-1)pi*x }

(1)S[5][f],S[11][f],S[29][f]のグラフ をそれぞれ図示せよ。 (区間の刻 み幅(分岐数)は自由 に選べば よいが、なるべくたく さんとる こと)

(2)各S[5][f],S[11][f],S[29][f]のfと の平均2乗誤差を求めよ(中点公 式を用いよ) また刻み幅hも明記 すること。

です!
0054492011/09/11(日) 19:37:16.30
>>50
お前には聞いてない
0055132人目の素数さん2011/09/26(月) 22:15:51.24
遊びで株価のデータを打ち込んで
Excelでフーリエ解析をしたんだけど
IMABSで絶対値にしても波のように成らない
半円系の縄跳びのようになるのは何で?

遊びだから気楽に答えてくれればいい
親切な君。教えて
0057132人目の素数さん2011/09/27(火) 10:08:16.15
>>56
専制的かつ神経質 
親しくなった人がある時、ふと離れて行くでしょ
0058132人目の素数さん2011/09/27(火) 20:01:05.66
仙石は、これまでずっと一人で便所で飯を食べるような奴だからなぁ
まず親しい人自体いないんだよ
だから2chで粘着してるでしょ?
0060仙石66」2011/09/27(火) 21:01:18.28
>>59
黙ってろ!

オレが本家だ! ベータは下僕だ!
0061132人目の素数さん2011/09/28(水) 23:17:20.35
ラプラス変換とか、フーリエ変換って、留数定理を使って
うまく公式を導出することはできないのだろうか
0063132人目の素数さん2011/09/29(木) 00:25:13.92
どんなふうにやるの?
0064132人目の素数さん2011/10/15(土) 00:50:30.52
玉キン裏スジのしゃぶり方を俺のペニスを使って妹に一から教える必要があるわけでこれはこれで面倒。
0065132人目の素数さん2011/10/15(土) 16:24:17.65
〔問題〕
 n>1 は自然数とする。
 f(x) = Σ[k=0,n-1] {a_k・cos(kx) + b_k・sin(kx)},
が周期2π/nをもてば
 f(x) = a_0,
0066132人目の素数さん2011/10/15(土) 16:58:24.77
>>65

 f(x) = (1/n)Σ[L=0,n-1] f(x + 2Lπ/n)   (← 周期性)
   = (1/n)Σ[k=0,n-1] a_k Σ[L=0,n-1] cos(k(x + 2Lπ/n)) +
    (1/n)Σ[k=0,n-1] b_k Σ[L=0,n-1] sin(k(x + 2Lπ/n))
   = (1/n)Σ[k=0,n-1] {a_k・δ(k,0)n + b_k・0}
   = a_0,

∵ 1≦k≦n-1 のとき
 Σ[L=0,n-1] cos(k(x+2Lπ/n)) = 1/{2sin(kπ/n)}Σ[L=0,n-1] {sin(k(x+(2L+1)π/n)) - sin(k(x+(2L-1)π/n))}
   = 1/{2sin(kπ/n)} {sin(k(x+(2n-1)π/n)) - sin(k(x-π/n))}
   = 0,
 Σ[L=0,n-1] sin(k(x+2Lπ/n)) = 1/{2sin(kπ/n)}Σ[L=0,n-1] {cos(k(x+(2L-1)π/n)) - cos(k(x+(2L+1)π/n))}
   = 1/{2sin(kπ/n)} {cos(k(x-π/n)) - cos(k(x+(2n-1)π/n))}
   = 0,
0068132人目の素数さん2011/10/16(日) 03:58:06.13
〔問題〕
 n>1 は自然数とする。
 f(x) = Σ_[k=0,N] {a_k・cos(kx) + b_k・sin(kx)},
が周期2π/nをもてば
 f(x) = Σ_[n|k] {a_k・cos(kx) + b_k・sin(kx)},

n|k … kはnの倍数または0
0070132人目の素数さん2011/10/18(火) 23:25:34.31
アホバッカ
0071132人目の素数さん2011/10/23(日) 00:52:44.84
フーリエ解析を用いて偏微分方程式を解いているのを本で読みました
しかし,常微分方程式については触れられていません

常微分方程式をフーリエ解析を用いて解くことは可能なのですか
よろしくお願いします

# 常微分方程式についてはラプラス変換がよく用いられていますが
# ラプラス変換の方がよく馴染むということなのでしょうかね
0072132人目の素数さん2011/10/23(日) 08:10:04.02
アホバッカ
0073132人目の素数さん2011/11/12(土) 20:00:57.85
>>71
ラプラス変換ってのは初期条件(あるいは境界条件)が与えられている場合に適用できる
教科書に載ってるような演習問題は常微分方程式の初期値問題ばかりだから
フーリエ変換を使って常微分方程式を解く場面にはあまり出会ったことがないかもしれないね

フーリエ変換を用いて常微分方程式を解くと定常解のみ求まるよ
RLC回路とか振り子振動の例でいえば三角関数で表される解のことだね
フーリエ変換は初期条件とかを考慮しないで定常解のみを求められる
ラプラス変換は初期条件とあわせて使うことで定常解と過渡解を求められる

逆に偏微分方程式をラプラス変換を使って解く場合もできる
例えば反無限長の棒の熱伝導方程式の場合は
反無限長ってのがラプラス変換の積分範囲[0,∞)にマッチしているのでこちらのほうが扱いやすい
0075132人目の素数さん2011/11/12(土) 23:02:22.01
ジャップは地球から滅び去る。
0076712011/11/13(日) 19:09:56.50
>>73
レスありがとうございます

やはり,フーリエ変換を使って常微分方程式を解くこともできるのですね
得られる解が定常解のみというのは面白いと感じました
ラプラス変換との違いもよく解りました

得られる解が定常解ということは
結局,フェーザによる解と一致するということですよね
興味深いです

# しかしフェーザの方が簡単な気がするので
# 結局こっちばかり使いそうです

偏微分方程式をラプラス変換で解くことに関しては
逆変換が辛そうだったので逃げてしまいましたw
ですが機会あれば,また頑張りたいです
0077132人目の素数さん2011/11/14(月) 15:57:11.87
そもそも放物型偏微分方程式の理論ってラプラス変換が土台になっているわけだが。
0078132人目の素数さん2011/11/18(金) 15:43:47.49
電波テロ装置の戦争(始)
エンジニアと参加願います公安はサリンオウム信者の子供を40歳まで社会から隔離している
オウム信者が地方で現在も潜伏している
それは新興宗教を配下としている公安の仕事だ
発案で盗聴器を開発したら霊魂が寄って呼ぶ来た
<電波憑依>
スピリチャル全否定なら江原三輪氏、高橋佳子大川隆法氏は、幻聴で強制入院矛盾する日本宗教と精神科
<コードレス盗聴>
2004既に国民20%被害250〜700台数中国工作員3〜7000万円2005ソウルコピー2010ソウルイン医者アカギ絡む<盗聴証拠>
今年5月に日本の警視庁防課は被害者SDカード15分を保持した有る国民に出せ!!<創価幹部>
キタオカ1962年東北生は二十代で2人の女性をレイプ殺害して入信した創価本尊はこれだけで潰せる<<<韓国工作員鸛<<<創価公明党 <テロ装置>>東芝部品)>>ヤクザ<宗教<同和<<公安<<魂複<<官憲>日本終Googl検索
0079132人目の素数さん2011/11/18(金) 15:44:21.20
魂は幾何学


誰か(アメリカ)気づいた
ソウルコピー機器
0080132人目の素数さん2011/11/20(日) 19:36:15.54
F(ω)=δ(ω-1)/{(ω-1)(ω+1)}の逆フーリエ変換って求められますか?
f(ω)δ(ω-1)=f(1)δ(ω-1)を使いたいのですがω=1が特異点なので困ってます
0081132人目の素数さん2011/11/26(土) 14:41:26.03
ラプラス変換とフーリエ変換って、非常によく似ているけど
いったいどういうふうに使い分けをするのでしょうか?
0082KingMathematician ◆LoZDre77j4i1 2011/11/26(土) 19:15:20.70
Re:>>81 Fourier変換は広義Riemann積分による定義では急減少函数で定義されるが,Laplace変換は広義Riemann積分でも幅広く定義できる.
0084132人目の素数さん2011/11/27(日) 17:08:43.52
 つ 「サルなら分かるフーリエ変換」
0085132人目の素数さん2011/11/27(日) 17:22:31.60
>>82
減少する複素関数とそうでない複素関数の違いということですか
0086KingMathematician ◆LoZDre77j4i1 2011/11/27(日) 18:57:41.86
Re:>>85
直観的にわかりやすい範囲ではLaplace変換のほうが良いと思われる.
Fourier変換は広義Riemann積分による定義では急減少函数のFourier変換を考えることになるが,
適当な函数空間を考えることで広い範囲でFourier変換をできるようになる.
0087猫はロンダ ◆MuKUnGPXAY 2011/11/27(日) 19:37:07.66
>>86
オマエとは徹底抗戦やさかいナ。



>86 名前:KingMathematician ◆LoZDre77j4i1 :2011/11/27(日) 18:57:41.86
> Re:>>85
> 直観的にわかりやすい範囲ではLaplace変換のほうが良いと思われる.
> Fourier変換は広義Riemann積分による定義では急減少函数のFourier変換を考えることになるが,
> 適当な函数空間を考えることで広い範囲でFourier変換をできるようになる.
>
0088132人目の素数さん2011/12/04(日) 09:26:10.99
要は、ラプラス変換のsをフーリエ変換のjωにすれば、周波数解析できるわけだから、
ラプラス変換はフーリエ変換を包含していると考えていいのでは?
0089132人目の素数さん2011/12/04(日) 13:18:10.34
その理屈なら、フーリエ変換のωを-jsにすればラプラス変換になっちゃいますね
0092132人目の素数さん2011/12/04(日) 22:37:05.52
>>88をみて「形式的に」同じと言ってるようには見えないけどな
本質的にフーリエ⊂ラプラスと言ってるようにしか見えない
0093132人目の素数さん2011/12/04(日) 22:39:00.36
>>92
>本質的にフーリエ⊂ラプラス
だと思う。
0096132人目の素数さん2011/12/04(日) 22:45:13.61
形式的には異なるが本質的にはフーリエはラプラスに包含される。
0098132人目の素数さん2011/12/04(日) 22:50:27.88
>>97
……あたまだいじょーぶですか?
「フーリエ⊂ラプラス」は本質的(>>91)、「ラプラス⊂フーリエ」は形式的
と言ってるだけだが
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