0066132人目の素数さん
2011/11/20(日) 12:33:46.48〔問題2〕
a_n = (1 + 1/n)^n, b_n = (1 + 1/n)^(n+1), (nは正の整数)
とおくとき、nが増加すると a_n は増加し、b_n は減少することを
證明せよ。(2011年秋の數學檢定1級2次[2]の一部)
a_n の増加については、古典的な二項展開による比較で証明でき、…
a_n = (1 + 1/n)^n
= 1 + Σ[k=1,n] C[n,k]/(n^k)
= 1 + Σ[k=1,n] (1-1/n)(1-2/n)・・・・・{1-(k-1)/n}/k!
(∵ 各項がnについて単調増加で、新たな項も加わるから)
同じ方法を b_n に適用すると難しい。さて、どうするか...