数列 総合スレ

[0001 １３２人目の素数さん 2010/11/20(土) 15:35:07]

消えたので立てました。
数列の総合スレです。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%88%97

[0202 １３２人目の素数さん 2018/12/31(月) 14:10:20.79 ID:Nbb4KIWx]

>>34
前スレは、こちら?
数列 総合スレ
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1290234907/

後発子スレ
素数列の一般式（or 漸化式 ）を導出してもた [無断転載禁止]©2ch.net
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1500795653/

[0203 １３２人目の素数さん 2019/05/11(土) 08:52:49.40 ID:XGJyhqkH]

〔問題〕
ζ(2) = Σ[k=1,∞] 1/kk = (log 2)^2 + Σ[k=1,∞] 2/(kk･2^k)
を示せ。

http://club.informatix.co.jp/?p=3326

[0204 １３２人目の素数さん 2019/05/11(土) 09:12:35.10 ID:XGJyhqkH]

Σ[k=1,∞] (x^k)/kk = ∫[0,x] Σ[k=1,∞] x^(k-1) /k dx = -∫[0,x] (1/x)log(1-x) dx,
より
　ζ(2) - Σ[k=1,∞] 2/(kk･2^k) + 0 = -∫[1/2,1] (1/y)log(1-y) dy + ∫[0,1/2] (1/x)log(1-x) dx
　= -∫[0,1/2] log(x)/(1-x) dx + ∫[0,1/2] (1/x)log(1-x) dx
　= [ log(x)log(1-x) ](x=0,1/2)
　= (log 1/2)^2
　= (log 2)^2
　= 0.4804530139182

[0205 １３２人目の素数さん 2019/05/12(日) 00:57:53.77 ID:B2mXwahY]

計算結果
￣￣￣￣
n :　ππ/6 - (log 2)^2 - Σ[k=1,n] 2/(kk･2^k),
-------------------------------------
1 :　0.164481052930025011805312640319
2 :　0.039481052930025011805312640319
3 :　0.011703275152247234027534862542
4 :　0.003890775152247234027534862542
5 :　0.001390775152247234027534862542
6 :　0.000522719596691678471979306986
8 :　0.000081771733171270308714000864
10:　0.000014015174529295000072025555
12:　0.000002553568052596193827764765
14:　0.000000486141252919222447496682
16:　0.000000095664602257330086385570
18:　0.000000019318510201056324157368
20:　0.000000003983110182390725126897
22:　0.000000000835382647729628422375
24:　0.000000000177725328708994360301
26:　0.000000000038271621346926590331
28:　0.000000000008327779434721526777
30:　0.000000000001828577639082793101
35:　0.000000000000042688106883780200
40:　0.000000000000001034399096510427
45:　0.000000000000000025797445089155
50:　0.000000000000000000658296989653
55:　0.000000000000000000017115217852
60:　0.000000000000000000000451944884
65:　0.000000000000000000000012091489
70:　0.000000000000000000000000327147
75:　0.000000000000000000000000008938
80:　0.000000000000000000000000000246
85:　0.000000000000000000000000000007

[0206 １３２人目の素数さん 2019/06/24(月) 07:48:00.37 ID:5RST14eI]

>>203-205
バーゼル問題

藤田岳彦： 数学セミナー, ５１(3), p.30-36 (2012/Mar)
　「リーマン・ゼータ関数の特殊値を確率論で求める」

[0207 １３２人目の素数さん 2019/08/16(金) 04:41:37.74 ID:oNtuWoss]

〔問題〕
自然数全体の集合をNとする。
α、β、････ は 1と2のみを値としてとる無限数列とする。
このとき、次を満足するようなNの無限部分集合 X_α、X_β、････ (⊆ N) を与えよ。
　α≠β　⇒　(X_α ∩ X_β) は有限集合

[0208 １３２人目の素数さん 2019/08/16(金) 04:54:48.76 ID:oNtuWoss]

(例)
αのk番目の値がα(k)のとき、X_αのn番目の値を

X_α(n) = Σ[k=1,n] {α(k)-1}p^k,

ここに　p ∈ N-{1}

数学セミナー, ４９(2&5)　エレ解　(2010/Feb&May)

[0209 １３２人目の素数さん 2019/08/16(金) 17:15:39.56 ID:oNtuWoss]

〔問題〕
実数全体の集合をRとする。
α、β、････ は 1と2のみを値としてとる無限数列とする。
このとき、次を満足するようなRの部分集合 A_α、A_β、････ (⊆ R) を与えよ。
　　a<b　つまり　(a,b)∈R　　⇒　　A_α ∩ (a,b) ≠ φ
　α≠β　⇒　(A_α ∩ A_β) = φ (空集合)

[0210 １３２人目の素数さん 2019/09/05(木) 12:33:18.99 ID:ALUkBs92]

自然数列X_α の第n要素を X_α(n) とおく。 (>>207)
各X_α(n)桁目が1、それ以外の桁は0、なる2進実数をとる。
　h(α) = Σ[n=1,∞] 1/2^{X_α(n)} = Σ[k=1,∞] h_k(α)/2^k,

ある桁(k0)より下が h(α) と一致する実数全体をA_αとする。
　A_α = { Σ[k=-m,∞] L(k)/2^k | ∃k0≧0 ; k≧k0　⇒ L_k=h_k(α) }
　各A_α (⊆R) の中に　開区間(a,b) に含まれる元がある。　(← 3) ）

Σ[α∈B] A_α (⊆R)　→　B　は写像である。　　　　(← 4) )
それは全射である。

[0211 １３２人目の素数さん 2019/09/05(木) 22:23:26.83 ID:ALUkBs92]

L: R~→B
　L(x) = α　(x∈A_α)
は全射である。
さらに　関数g: B→R で全射であるものが存在するならば
　f(x) = g(L(x)) : R~→R
もまた全射である。

[0212 １３２人目の素数さん 2019/09/05(木) 22:25:05.63 ID:ALUkBs92]

〔問題〕
B = {1,2}^N　は1と2のみを値としてとる無限数列の全体の集合。
R は実数の全体の集合。
関数g: B→R ですべての実数を値としてとるもの(全射)の例を挙げよ。

[0213 １３２人目の素数さん 2019/09/05(木) 22:51:54.66 ID:ALUkBs92]

>>２１２
αの各項は 0 と 1 の値を持つとする。　 (α∈{0,1}^N)

　α = {α_1,α_2,α_3，･････,α_k, ････ }
　ただし　α_3 〜 α_(n+2) = 0,　α_(n+3) = 1, n≧0
に対して
　g(α) = (-1)^α1・2^{(-1)^α2・n}・{1.α_(n+4)α_(n+5)･･････}
とおく。
α_3 以下がすべて0の場合は ｇ(α)=0 とする。

(参考)　IEEE-754

[0214 １３２人目の素数さん 2019/09/06(金) 14:32:57.10 ID:xoFByShh]

>>213
n=0 の場合は α_2 の値に依らず、ダブってしまい気分悪い？
　
しからば
　　g(α) = (-1)^α1・2^{(-1)^α_2・(n+1-α_2)}・{1.α_(n+4)α_(n+5)･･････}_2

IEEE-754 もそうなってた････

[0215 １３２人目の素数さん 2019/09/06(金) 14:44:06.49 ID:xoFByShh]

0∈R は一つしかない (「符号付きの0」なんて無い) から、
やっぱりダブるなあ。

[0216 １３２人目の素数さん 2019/09/06(金) 23:37:23.16 ID:xoFByShh]

>>210
　A_α = { Σ[k=-m,∞] L_k /2^k | {k | L_k≠h_k(α)}は有限集合。}
と同じかな。

[0217 １３２人目の素数さん 2019/09/08(日) 02:43:54.74 ID:NPxrtGxy]

α∈B と β∈B の間に
「α_k ≠ β_k なる自然数kは有限個」
という同値関係（α〜β）を設定すればいいのか

[0218 １３２人目の素数さん 2019/09/09(月) 02:24:28.03 ID:GeJx+nRu]

Ｘ_α を利用せずに直接 Ａ_α を定めるのも有りか。

0と1のみを値としてとる無限数列αを
　α = {α_1, α_2, ････, α_k, ･････} とする。
これに対して もう一つの無限数列α' を次のようにおく。
　α ' = { α1 ⋮ α1, α2 ⋮ α1, α2, α3 ⋮ ････ }
すなわち
　α'_k = α_(k - (1/2)･[ (√(8k-7)-1)/2]･[(√(8k-7)+1)/2] )
とおく。　[ x ] はガウスの床函数
　各α_k は α'中に無限回現れる。

　α≠β　ならば　α_k ≠ β_k なる自然数k が存在し、
　α'_L≠β'_L なる自然数Lが無数にあるので
　α' 〜 β' ではない。 　　　>>217

そこで
　Ａ_α = { x∈R | (xの小数部の2進法表示) 〜 α' }
とおこう。

[0219 １３２人目の素数さん 2019/09/10(火) 03:26:16.39 ID:yUERuKgH]

自然数列 X_α の各要素の桁数が不明だと　>>210 のようにせんと仕方ないし、
h_k(α) はかなり疎になるね。
そういう意味では >>218 のような直接法がベターかも。

[0220 １３２人目の素数さん 2019/09/10(火) 03:28:54.35 ID:yUERuKgH]

>>217
　A_α は同値類で与える？

[0221 １３２人目の素数さん 2019/09/19(木) 05:40:18.51 ID:/rMlpsDI]

ヒント無視したらいくらでも作れそうだけど。

例えば十進展開したとき、小数第s(x)位は5、それ以降は4か6しか
出ない数xをしごろ数とか呼ぶ。
s(x)より上の桁がxと一致するしごろ数をまとめて A(x) とおく。
s(x)≠s(y) または s(x)より上の桁が異なれば A(x)∩A(y)=φ　(disjoint)

一方、s(x)より下の桁を (1/10)^s(x)･Σ[k=1,∞] α_k･(1/10)^k
として α(x)∈B を定める。

全射g: B→R を持ってきて
　f(x) = g(α(x)))　　　　(x：しごろ数)
　　　　= 0　　　　　　　　(x：その他)
とおく。
(エレ解スレ３-430,432)

[0222 １３２人目の素数さん 2019/09/19(木) 05:51:13.66 ID:/rMlpsDI]

■出題2
正の実数の集合 { x(n,t) | nは整数, tは非負整数 } において
　x(n,t+1) = min[ x(n,t), x(n+1,t)+x(n+2,t) ]
　(nは整数, tは非負整数)
が成り立つとします。
さらに条件 (1) (2) の一方が成り立つとき、ある整数Tが存在して
　t≧T　⇒　x(n,t) = x(n,T)
となることを示してください。

(1) t=0 において、ある正の整数N が存在し、
　　任意の整数nに対して　x(n+N,0) = x(n,0)　が成り立つ。

(2) t=0 において、ある正の整数Nと、正の実数a,bが存在し、
　　n≧N　⇒　x(n,0) = a,
　　n≦-N　⇒　x(n,0) = b.
　が成り立つ。

[0223 １３２人目の素数さん 2019/09/19(木) 14:19:05.89 ID:/rMlpsDI]

>>221
一方、s(x)より下の桁を (1/10)^s(x)･Σ[k=1,∞] (2α_k +２)(1/10)^k
として α(x)∈B を定める。

しごろ数xでは「4」「6」以外の桁は有限個であり、「5」の最下桁をs(x)とする。
s(x)より上の桁は可算無限個(〜N)あり、有理数の組(a,b)への全射がある。
s(x)より下の桁はBと同型(〜2^N)であり、Rへの全射gがある。

上も下も2種以上の数字が必要で、s(x)を決定するにはもう1種の数字(5)が必要。

[0224 １３２人目の素数さん 2019/09/20(金) 13:39:40.68 ID:KyAOfC1j]

3945
かずきち@dy_dt_dt_dx 8月28日
学コン8月号Sコース1等賞1位とれました！
マジで嬉しいです！
来月からも理系に負けず頑張りたいと思います！
https://twitter.com/dy_dt_dt_dx
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)

[0225 １３２人目の素数さん 2019/09/21(土) 18:50:32.22 ID:KmyPVGxc]

漸化式を自分で自由に作ってみたいです。

作り方を教えて下さい！一応これは自分で作りました。


a[1]＝１２３４３ a[2]＝１５２３８６６８０

a[n+2]＝２４６９０a[n+1]−１５２３９９０２５a[n]

a[n]＝（n＋１２３４２）×１２３４５^(n-1)

[0226 １３２人目の素数さん 2019/09/22(日) 03:19:15.84 ID:R1QLTtDK]

たとえば
　a[1] = m-2,
　a[2] = m(m-1),
漸化式　a[n+2] = 2m･a[n+1] - mm･a[n],
特性多項式　(t-m)^2,
特性根　m, (重根)
一般項　a[n] = (n+m-3)･m^(n-1),

[0227 １３２人目の素数さん 2019/09/22(日) 20:02:21.17 ID:ODquhjjv]

１−1/2＋1/3−1/4＋1/5−1/6＋…＝log2となりますが、

この数列を並び替えるとことによって全ての項を足し算にできます。

ㅤㅤㅤㅤㅤ

＝（１＋1/2＋1/3＋1/4＋1/5＋1/6＋…)−２(1/2＋1/4＋1/6＋…)


＝（１＋1/2＋1/3＋1/4＋1/5＋1/6＋…)−(1＋1/2＋1/3＋…)


＝1/4＋1/5＋1/6＋1/7＋1/8＋1/9＋…

となって無限級数となり発散してしまいます。これは不思議ではないですか？

[0228 １３２人目の素数さん 2019/09/23(月) 17:53:22.16 ID:2PqEJji0]

ないです。
順序を変更すれば任意の値αに収束させることが可能

部分和S_n < α ならば未使用の正項を取り出してS_nに加え、
S_n > α ならば未使用の負項を取り出してS_nに加える。
正項ばかり取ると+∞に発散し、負項ばかり取ると-∞に発散するので
正項も負項も無数に含むはず。
∴ Nを十分大きくとれば
　n>N　⇒　|S_n -α| < ε.

[分かスレ４５６脇.371-373,409]

[0229 １３２人目の素数さん 2019/09/24(火) 07:29:54.42 ID:CUDTSBu2]

a[n+1] + a[n] = 1/(2n+1) をみたす数列a[n]を求めよ。

なお、グレゴリー・ライプニッツ級数は
Gr[n] = 1 - 1/3 + 1/5 - ･･･ + (-1)^(n-1) /(2n-1)
　→　π/4　(n→∞)

[0230 １３２人目の素数さん 2019/09/24(火) 22:57:52.30 ID:CUDTSBu2]

nが大きいときは
　Gr[n] = (π/4) - (-1)^n･{1/(4n) - 1/(16n^3) + 5/(64n^5) - 61/(256n^7) + ････ }

[0231 １３２人目の素数さん 2019/09/25(水) 00:13:51.90 ID:HNtypll1]

nが大きいときは
　Gr[n] = (π/4) - (-1)^n･{Σ[k=0,∞] E_2k /[4^(k+1)･n^(2k+1)]}
ただし E_2k はオイラー数。
http://oeis.org/A000364

[0232 １３２人目の素数さん 2019/09/25(水) 00:38:30.02 ID:HNtypll1]

>>229
a[n] = ∫[0,π/4] (tanθ)^(2n) dθ
　= (-1)^n (π/4 - Gr[n])
　= | π/4 - Gr[n] |

[0233 １３２人目の素数さん 2019/09/25(水) 03:58:49.12 ID:HNtypll1]

>>229
a[n] = ∫[0,1] x^(2n) /(1+xx) dx
　= (-1)^n (π/4 - Gr[n])
　= | π/4 - Gr[n] |,

[0234 １３２人目の素数さん 2019/09/25(水) 05:51:14.04 ID:HNtypll1]

〔類題〕
b[n] = ∫[0,π/4] (tanθ)^(2n+1) dθ
　= ∫[0,1] x^(2n+1)/(1+xx) dx
　= (1/2)∫[0,1] y^n /(1+y) dy
とおく。
b[0] = [ (1/2)log(1+xx) ] = (1/2)log(2),
b[n] + b[n+1] = ∫[0,1] x^(2n+1) dx = (1/2)∫[0,1] y^n dx = 1/(2n+2),
が成り立つ。
このとき、交代調和級数
　H[n] = 1 -1/2 +1/3 - ････ +(-1)^(n-1)･(1/n),
を用いて b[n] を表わせ。

[0235 １３２人目の素数さん 2019/09/25(水) 17:21:11.28 ID:HNtypll1]

b[n] = (-1)^n (1/2){log(2) - H[n]}
　= (1/2)| log(2) - H[n] |
nが大きいときは
b[n] = 1/(4n) -1/(8nn) +1/(16n^4) -1/(8n^6) +17/(32n^8) -31/(8n^10) + ････
　= (1/2)Σ[k=1,∞］{ー(2^k -1)/k･B[k]} /(n^k),
ただし B[k] はベルヌーイ数。
B[0] = 1,　B[1] = -1/2,　B[2] = 1/6,
B[4] = -1/30,　B[6] = 1/42,　B[8] = -1/30,

[0236 １３２人目の素数さん 2019/10/01(火) 10:54:03.98 ID:9+EG76aR]

〔出題2〕
正の実数の集合 { x(n,t) | n：整数、t：負でない整数 } において
　　x(n,t+1) = min[ x(n,t), x(n+1,t)+x(n+2,t) ]
　　(n：整数、t：負でない整数)
が成り立つとします。min[a,b] は a,bのうち大きくない方を表わします。

さらに条件(2)が成り立つとき、ある整数Tが存在して、
　任意のnに対して ｔ≧T ならば x(n,t) = x(n,T)
となることを示してください。

・条件(2)
t=0 において、ある整数M<Nと 正の実数α,βが存在し、
n≧N ならば x(n,0)=α、n≦M ならば x(n,0)=β が成り立つ。

[0237 １３２人目の素数さん 2019/10/01(火) 11:27:28.17 ID:9+EG76aR]

n≧N のとき、条件(2)より
　x(n,t) = x(n,0) = α,

n=N-1, t≧1 のとき
　x(N-1,1) ≦ 2α,
　x(N-1,t) = min[ x(N-1,t-1), 2α ] = ････ = x(N-1,1)

n=N-2, t≧2 のとき
　x(N-2,2) ≦ x(N-1,1) + α
　x(N-2,t) = min[ x(N-2,t-1), x(N-1,1)+α ] = ････ = x(N-2,2)

同様にして
n=N-k, t≧k のとき
　x(N-k,t) = x(N-k,k)

n=M, t≧N-M のとき
　x(M,t) = x(M,N-M)

n≦M-1 のとき、条件(2) と x(n,t)>0 より
　x(n,t) = x(n,0) = β,

以上により T=N-M とおく。
　任意のnに対して t≧T ならば x(n,t)=x(n,T)

[0238 １３２人目の素数さん 2019/10/01(火) 11:40:27.84 ID:9+EG76aR]

>>236
・条件(1)
t=0 において、ある整数N≠0 が存在し、
　任意のnに対して x(n+N,0) = x(n,0) が成り立つ。

[0239 １３２人目の素数さん 2019/10/01(火) 19:42:15.89 ID:9+EG76aR]

>>237

> n≦M-1 のとき、条件(2) と x(n,t)>0 より
> 　x(n,t) = x(n,0) = β,

β がじゅうぶん大きいときは
右から左に侵食し続けます。
よって不成立。

[0240 １３２人目の素数さん 2019/10/01(火) 20:09:29.89 ID:9+EG76aR]

n=N-k, k≦t<k1 のとき
　x(N-k,t) = x(N-k,k) ≦ Ｆ(k+2)α
　　F() はフィボナッチ数。
じゅうぶん大きい k1 について　
　　Ｆ(k1+2)α > β　　　　(アルキメデス)
となるので、
　n≦N-k1　ならば　x(n,t) = β

よって　T=k1　とおいて成立。

[0241 １３２人目の素数さん 2019/10/06(日) 21:51:46.10 ID:4tBXkTQ/]

〔補題〕
　a1 ≦ a2　⇒　min{a1, b} ≦ min{a2, b}
　b1 ≦ b2　⇒　min{a, b1} ≦ min{a, b2}

(略証)
min{a1, b} = min{min{a1, a2}, b} = min{a1, a2, b} ≦ min{a2, b}
min{a, b1} = min{a, min{b1, b2}} = min{a, b1, b2} ≦ min{a, b2}

[0242 １３２人目の素数さん 2019/10/06(日) 22:04:31.68 ID:4tBXkTQ/]

>>236
　x(n,t+1) = min[ x(n,t), x(n+1,t)+x(n+2,t) ]
は x(n,t)　x(n+1,t)　x(n+2,t) について単調増加(非減少)

{ x(n,0) | nは整数} のうち最も小さい2つは変化しない。
他のnについては、それ以上。

[0243 １３２人目の素数さん 2019/10/06(日) 23:33:07.97 ID:4tBXkTQ/]

min{ x(n,0) | nは整数 } = X0

n≧N　⇒　y(n,0)=α
M<n<N　⇒　y(n,0) = X0/2
n≦M　⇒　y(n,0)=β
y(n,t) も x(n,t) と同形の漸化式を満たす。
とすれば
　y(n,t) ≦ x(n,t)
だろうな

[0244 １３２人目の素数さん 2019/10/07(月) 00:42:05.90 ID:HWZCdfVy]

n≧N のとき
　y(n,t) = y(n,0) = α,

M+1≦n≦N-1 のとき
　y(n,t) = y(n,0) = X0/2,

n=M のとき
　y(M,0) = β
　y(M,t) = y(M,1) = X0,　(t≧1)

n=M-1, t≧2 のとき
　y(M-1,0) = y(M-1,1) = β
　y(M-1,t) = y(M-1,2) = min{β, (1/2)F_4 X0}　　(t≧2)

n=M-k, t≧k+1 のとき
　y(M-k,t) = y(M-k,0) = β　　　(0≦t≦k)
　y(M-k,t) = y(M-k,k+1) = min{β, (1/2)F_{k+3} X0}　(t≧k+1)

アルキメデスの原理から、じゅうぶん大きい整数ko に対して
　　(1/2)F_{ko+3} X0 ≧ β

n≦M-ko のとき
　y(n,t) = y(n,0) = β　　　(t≧0)

∴ y(n,t) = y(n,ko)　(t≧ko)
∴　T = ko とおく。

F_k はフィボナッチ数

[0245 １３２人目の素数さん 2019/10/08(火) 00:09:02.76 ID:G04q/jGG]

>>243 を改良････

　γ = min[ x(n,0) | N≧n>-M] > 0
　n>-M　⇒　y(n,0) = γ,
　n≦-M　⇒　y(n,0) = x(n,0) = β,
とすれば
　y(n,0) ≦ x(n,0)
ここで >>242 (minの単調増加性) から
　y(n,t) ≦ x(n,t)　　　　　　････(ア)
だろうな。

さて
　y(n,t) = γ　　　　　　　　(n>-M, t≧0)
　y(n,t) = β　　　　　　　　(n=-M-k, 0≦t≦k)
　y(n,t) = min[β, γ F_(k+3)]　　(n=-M-k, t>k)
F_k はフィボナッチ数。

じゅうぶん大きい ko について
　β < γ F_(ko+3)
となる。(アルキメデスの原理)

n ≦ -M -ko では t≧0 で
　y(n,t) = β　　　　　　　　････(イ)
　x(n,t) ≦ x(n,0) = β　　　････(ウ)
(ア)(イ)(ウ) から
　x(n,t) = β

一方、n> -M -ko, では
　t ≧ Max[N-n,0]　⇒　x(n,t) は不変

そこで T=M+N+ko とすれば題意をみたす。

[0246 １３２人目の素数さん 2019/10/18(金) 16:08:04.40 ID:cJ0amKN9]

https://oeis.org/A228413
最初の 10^n 個の素数のうち、どの位も1でないものの個数(n≧0)
1, 6, 54, 532, 4675, 34425, 262549, 2051466, 16831152,...

https://oeis.org/A091635
10^n 未満の素数のうち、どの位も1でないものの個数(n≧1)
4, 17, 101, 670, 4675, 34425, 262549, 2051466, 16312743,...

偶然見付けたんだが、なんで途中一致してんだろ？　誤ってんのかな？

[0247 １３２人目の素数さん 2019/10/22(火) 05:14:31.19 ID:fspFsipc]

A091635 について

n, a(n), π(10^n), -log{a(n)/π(10^n)}
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
1, 4, 4, 0.0
2, 17, 25, 0.385662480812
3, 101, 168, 0.508843462562
4, 670, 1229, 0.606678397181
5, 4675, 9592, 0.718700254985
6, 34425, 78498, 0.824290102142
7, 262549, 664579, 0.928716026189
8, 2051466, 5761455, 1.032635387452
9, 16312743, 50847534, 1.136885044220
10, 131464721, 455052511, 1.241674286828
11, 1071368863, 4118054813, 1.346443777037
12, 8809580516, 37607912018, 1.451374629985
13, 72986908554, 346065536839, 1.556348079762
14, 608542410004, 3204941750802, 1.661382588734
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
-log{a(n)/π(10^n)} 〜 0.1860 - log(9/10)･n = 0.1860 + 0.10536 n

そこそこ正確？

[0248 １３２人目の素数さん 2019/10/22(火) 17:08:02.23 ID:fspFsipc]

↑
π(x) = （x以下の素数の個数)
素数計数関数

[0249 １３２人目の素数さん 2019/12/31(火) 19:00:02.59 ID:+Wwrl/T/]

ithprime(10^4)
104729
ithprime(10^5)
1299709
ithprime(10^6)
15485863
ithprime(10^7)
179424673
ithprime(10^8)
2038074743

１０００００から２０００００までに条件を満たすものはないから
１０００００まででも１０４７２９まででも個数は同じ。

[0250 １３２人目の素数さん 2020/01/14(火) 06:12:43.13 ID:YxIp/4Qu]

>>249
おお