確かに、住民票移しても親は特に要請しなくても「親本人の戸籍の附票」(すぐ取れる)家族の住所の記録が全部分かるので当面は勧めません。

まず先に親の知らない携帯番号を契約してそれをメイン番号で公共料金等は契約しましょう。
いつから家出するのかわかりませんが、レオパレスのマンスリー利用はどうですか?3ヶ月とか半年とか一括前払いです。
家電付きですよ。マンスリーなら保証人不要。
緊急連絡先はいるかもしれないので、親戚のお兄ちゃんとか頼める人いませんか?電話番号住所だけで良かったはず。そのへんは検索してみてください
そこ契約して少しずつ荷物を移していくか、
レンタルスペース借りてそこに荷物を移しておいてもいいですね。