病院によって違うだろうけど、私が今まで入院した病院は、先に限度額申請していても精算時カード払い大丈夫だったよ。
ほとんどが大丈夫だと思うけどね。

月またぎだと、病院によっては、一旦月末とかに締めて精算のとこもあるし、退院時に一括精算のところもあるよ。
ちなみに、母が入院している際にお見舞金として入院費の一部として先に5万入金しておきたいって精算カウンターに申し出たら出来たよ。
本精算時に5万の領収書見せる条件で。
具合悪い時に現金をベッド周りに置いておくのが不安だったし、何より現金だと母が受け取らないかなと。

医療費踏み倒して、逃げる患者もいるらしく支払うスタンスの患者には、疑問点は何でも答えてくれるよ〜。
病院によって融通を利かせてくれる幅は違うだろうけどご参考までに。