ケーブルには二つの力
向心力F_center＝( 万有引力定数G×地球質量M×ケーブル区間質量m )÷距離半径r２乗
遠心力F_outer＝mrω^2

が釣り合っているから二つの
力の差分F_o - F_c＝{（GMm）/r^2 } - mrω^2

ここで
静止軌道半径Rでの角速度ω＝√(GM/R^3)

また
ケーブル区間質量m＝密度ρ×区間長さΔr

よって
力の差分F_o - F_c＝{（GM *ρΔr）/r^2 } - ρΔr * r * (GM/R^3)

＝GMρ{ (Δr/r^2) - (rΔr/R^3) }

これを最初から最後まで
R_end
∫ GMρ{ (dr/r^2) - (r dr/R^3) } ＝0
R_start

積分をするとゼロになります。