ヤフオクで売ってる無反動推進はホントに動くのか？
01
等差数列1、4…、3n−2、6010
9、16…、7n+2、
21n−5≦6010、286個、3722
02
79=1+2+4+8+16+48
03
(n+10)(n²−10n+100)²−900
900はn+10の倍数、n=890 04
(12n+1, 30n+2)=(12n+1, 6n)
=(1, 6n)=(1, 0)=1
φ(n)=n'(p-1)(q-1)…(r−1)
素因数に2以外のpが含まれる場合
(p−1)は偶数なので成り立つ。
素因数が2のみの場合、n=2ᴮ (B>1)
φ(n)=2ᴮ(1−1/2)=2ᴮ⁻¹は2の杯数
よって成り立つ。
(n, k)=(n, n−k)より
n≠2kの時, 偶数個
n=2kの時, k/n=k/2kは可約
よって既約は偶数個。
05
abc+abd+aec+aed
(a+f)(b+e)(c+d)=1001=7×11×13
Σ=31
06
2、3、5で割れない数
2→500、3→333、5→200
6→166、10→100、15→66
30→33
1033−332+33=/34
1000−/34−165−1=100個。
2または3または5で割り切れる
734個
235以外の素数→165個
単数→1個
素数的合成数は1000−734−165−1=100個 1
乗法的である。
12=2²×3、φ(12)=12(1/2)(2/3)=4
φ(4)=2、φ(3)=2より4
30=2×3×5、φ(30)=30(1/2)(2/3)(4/5)=8
φ(5)=4、φ(6)=2より8
φ(30)=|U(ℤ₃₀)|=8 2
36=2×18
φ(36)=36(1/2)(2/3)=12
φ(2)φ(18)=1×6=6
3
φ(36)=12、φ((7)2)=24 4
φ(30)=8、φ(35)=24、φ(72)=24
φ(90)=24
φ(588)=168
φ(1089)=
72×110=1089(2/3)(10/11)=660
5
μ(20)=0、μ(126)=0、μ(361)=0
μ(1365)=1、μ(24374)=−1 反射律、対称律、推移律
nを法とするaの剰余類
Ca=a+nℤ、類別、完全代表系
既約剰余類の集合U(ℤₙ)
1
a≡b mod n ⇔ p₁n+q₁≡p₂n+q₂
⇔q₁≡q₂
2
mod mnで合同⇒
mod m、mod nで合同
n|a−b⇔kn|k(a−b)⇒n|ka→kb 1 a|b∧b|a⇔a=±b
2 ac|bc⇒a|b
3 a|b∧b|c⇒a|c
4 (a, b)=a⇔a|b
5 [a, b]=a⇔b|a
6 (a, b)=[a, b]⇔a=b
7 [ab cb db]=[a c d]b
8 LCM|CM
9
3962、1859、244、151、93、58、35、23、12、11、1→0
3126、1386、1354、324、30、24、6、0
10 (36, 52)=4、9x+13y=1、
x=4(13t+3)、y=-4(9t+2)
11 a|c∧b|c⇒ab|c(a, b)
ab=LG、∃k, c=kL
12 (ab, cb, db)=b(a, c, d)
13 [a, b, c]=[[a, b], c] 14 (m, n)=1の時, m|a∧n|a⇒mn|a
15 (a, b)=(c, d)=1 既約分数の時,
a/b+c/d∈ℤ⇒b=d
16 (a, b)=1⇒(ac, b)=(c, b)
17 L=GAB=aB=Ab、(A, B)=1
18
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29
31 37 41 43 47 53 59 61 67 71
73 79 83 89 97
19 p|q⇒p=q
20 p≠q、p|a∧q|a⇒pq|a
21 p|ab⇒p|a∨p|b、
p|Πaᵢ⇒∃i, p|ai 帰納法
22 √2∌ℚ、√3∌ℚ
23 (n, a)=(n, b)=1⇒(n, ab)=1
24 (a, b)=1⇒(aⁿ, bⁿ)=1
25 ab=GL
26 (a, b)=Πpᵢ^γᵢ、[a, b]=Πpᵢ^δᵢ
ab=GL 3 (m, n)=1の時, m|a∧n|a⇒mn|a
4 (m, n)>1の時, m|a∧n|a⇒mn|aとは限らない。m=4、n=2、a=4とすると、4|4∧2|4であるが8∤4である
5 Σaᵢ10^i≡Σa₁≡0 mod3
6 N=99…99 は9が偶数個⇒
a^(2i)=N+1≡1 mod11
9が奇数個⇒
a^(2i+1)=N+1≡−1 mod 11
∴Σa(奇数)−Σa(偶数)≡0 mod11
⇒元の数≡0 mod11
7
3x≡1 mod 5、6x≡x≡2
8x≡5 mod12、解なし
3x²−x≡2 mod7
x≡1、4
9x≡6 mod15
3x≡2 mod5、x≡4 mod5
x≡4、9、14
31x≡3 mod56=7×8
x≡1 mod7、x≡5 mod8
x≡29 mod56
41x≡10 mod310=31×10
x≡0 mod10、x≡1 mod31
x≡280 mod310
x30≡−1、900≡1、280≡1
8
3x≡1 mod5
4x≡5 mod7
x≡2 mod5∧x≡3 mod7
x≡17 mod35
2x≡3 mod7
5x≡1 mod11
x≡5 mod7、x≡9 mod11
x≡75 mod77
9 剰余類 C(a)={x|x≡a mod n}
n|m⇒C'(a)⊂C(a)
10 m=ndとする。
C(a)=∪C'(a+in) [0, d−1]
11 x, y∈Ca⇒x≡y mod n
Cx=Cy=Ca
12 (a, n)=1∧(b, n)=1⇒(ab, n)=1 07
k>1、p、p+ka₁、…, p+kaₙ∈P
p=1、k=2とするとbₙは奇数
奇素数は無限にあるので適当なaₙの組は存在する。
∀k>1、∃p∈P、∃aᵢ>0、
∀bᵢ∈P
無限個の素数を有限のk個の箱で分類するとどれか1つの箱には必ず無限個の素数が入っている
小さい順にP₁、P₂、…Pₙ、…とする
⊿P≡0 mod k
よって∀i、bi=P₁+kaᵢとなるaᵢ∈ℤ⁺
{3n+1}=7、13、19、31…
{3n+2}=2、5、11、17
7+3aの形、2+3aの形
08
a, b, c∈ℤ⁺とする
00a→a、
0ab→ab
abc=→abc
3∑a+3∑∑ab+∑∑∑abc
45×3+45²×3+45³=45(3+135+2025)
=45×2163=3³×5×7×103より103
46³−1=45(46²+46+1)=3²×5×2163
3³×5×7×103、 例1
a=√2+√3
√2=a−√3
a²=5+2√6
3=a²+2−2√2a
√2=a/2−5/(2a)
a³=2√2+3√3+6√3+9√2=11√2+9√3
=9a+2√2
√2=(a³−9a)/2=(1/2)a³−(9/2)a
√2=pa+qとおく。p, q∈ℚ
√2=(p/q)√3、q√2=p√3
2q²=3p²より3|q∧2|p
p=2a、q=3b、(a, b)=1とおける
3b²=2a²、a=3c、b=2d
p=6c、q=6dとなり矛盾
√2=pa²+qa+rとおける
1=qと分かる
0=(5+2√6)p+√3+r
(5p+r)+√3+(2p)√6
p=r=0が必要で0=√3となり矛盾
よって∀p, q, r∈ℚ、√2≠pa²+qa+r 例2
1/(1+2⁵√2−⁵√2²)
⁵√2=aとおくとa⁵=2、a⁰, a¹, a², a³, a⁴はℚ上線型独立である
(1+2a−a²)
(1+qa+ra²+sa³+ta⁴)∈ℚ
1+4t−2s=161/25
q+2−2t=0
r+2q−1=0
s+2r−q=0
t+2s−r=0⇔t=r−2s
⇔
q+2=2r−4s、
r+2q−1=0、
s+2r−q=0⇔s=q−2r
⇔
q+2=2r−4q+8r⇔2+5q=10r
1−2q=r
2+5q=10−20q⇔q=8/25
r=9/29、s=−10/29、t=29/25
(25 8 9 −10 29)/161 例1
x²+(2k-3i)x+(8+6i)=0、k∈ℝ
(x²+2kx+8)+i(-3x+6)i=0
x∈ℝ⇒x=2、k=-3、x+4+3i
2次方程式なので解は2個ある 例2
(x³+5x-1)²=2(3x²+1)²
x⁶-8x⁴-2x³+13x²-10x-1=0
(x-√2)³-(x-√2)-1=0
x³-3√2x²+5x-√2-1=0 例3
f+1=(x+1)³g、f-1=(x-1)³h
f'=(x+1)³g'+3(x+1)²g=(x-1)³h+3(x-1)²h
f'=a(x+1)²(x-1)²とおける
f(x)=a(x⁵/5-2x³/3+x)+b
8a/15+b=1、-8a/15+b=-1
a=15/8、b=0
f(x)=3x⁵/8-5x³/4+15x/8
重解→微分法の応用 例1
f(x)=x³+17、∃x∈ℕ、∀n∈ℕ≧2、
3ⁿ|f(x)∧3ⁿ⁺¹∤f(x)
n=2の時, ∃x、9|f(x)∧27|f(x)
x=1とすると18となり条件を満たす
条件を満たすxはx≡1 mod3 (1)
nの時成り立りつと仮定すると
f(x)=x³+17=3ⁿ(3a+b)、b=1, 2 (2)
(1)よりy=x+3ⁿ⁻¹cとおいてみると
y³+17=x³+17+
3ⁿcx²+3²ⁿ⁻¹c²x+3³ⁿ⁻³c³
3a+b+cx²≡b+c、c≡-bとすれば
3ⁿ⁺¹で割り切れる。c=3d-b>0
3a+b+cx²+3ⁿ⁻¹c²x+3²ⁿ⁻³c³は3で割り切れる。もし9⊿割りきれる時は
c'=3(d+1)-b=c+3>0とおくと
3x²+3ⁿ･2cx+3²ⁿ⁻¹(c²+3c+3)
≡3x²≡1, 7 mod9となり9でわ割り切れないので題意を満たす 例x=3a+1とおける
f(x)=x³+17=3ⁿ(3b+1)または(3b+2)とおける
y=x+3ⁿ⁻¹とおいてみる
f(y)/3ⁿ=(2b+1)+x²+3ⁿ⁻¹x+3²ⁿ⁻³
=(3b+1)+(3a+1)²+3ⁿ⁻¹(3a+1)+3²ⁿ⁻³
=1+1=2でOK
3b+2の時, y=x+2･3ⁿ⁻¹と置けば
()3b+2+(3a+1)²×2=4→1でOK 例2
f(x, y)=-f(y, x) 交代式 (1)
f(x, x+y)=-f(y, x+y) (2)
(1)よりx=yとするとf(x, x)=f(y, y)=0
x-yを因子に持つ
よってf=(x-y)f₁とおける (3)
交代式は差積で割り切れ商は対称式になる。
yf₁(x, x+y)+xf₁(y, x+y)=0 (4)
x=0とすると∀y、yf₁(0, y)=0
よってf₁(0, y)=0
f₁(x, y)はxそしてyで割りきれる
よってf₁=xyf₂ (5)
f=(x-y)xyf₂
対=対･対、対=交･交、交=対･交より
f₂は対称式。
f₂(x, x+y)+f₂(y, x+y)=0
y=xとするとf₂(x+y, x)+f₂(x+y, y)=
x=yとするとf₂(2y, y)=0
f₂=(2x-y)(2y-x)f₃
f₃は対称式である
f=(x-y)xy(2x-y)(2y-x) (6)
(6)は(1)を満たす。
-yx(x+y)(x-y)(x+2y)×(2x+y)
-xy(x+y)(y-x)(2x+y)×(x+2y)=0
最後の対称式f₃=x+yとすればよい
定数では駄目。x+y+cでも駄目。
f(x, y)=(x-y)xy(2x-y)(2y-x)(x+y) 6次式
(x-y)(x+2y)(2x+y)
(y-x)(2x+y)(x+2y) 例1
³√2=bとおくb³=2
³√a³√(b-1)=1=-b+b²=b²-(b-1)
両辺を3乗すると
a(b-1)=b⁶-3b⁴(b-1)+3b²(b-1)²-(b-1)³
a=-6b+3b²(b-1)-(b-1)²+4/(b-1)
=-6b+6-3b²-b²+2b-1+4(b²+b+1)=9 例2
√4-x√4-(x-2)√(1+(x-5)(x-7))
x²-12x+36=(x-6)²
=5x-6--x²/2
(3-x)(x-2)/2
2≦x≦3、x=2
√4-x√4-(x-2)|x-6|
x≦6より, √4-x√(x-4)²
x≦4より, √4-x(4-x)=√(x-2)²
2≦x≦4の時, x-2よりx=2○、1✖ 例1
f(z)=(a+bi)z、O、A(z)、B(f(z))
∀z、OB=AB、|a+bi|=8
A=Oの時, B=Oとなりa²+b²=64
A≠Oの時, 線分OAの垂直二等分線上の店に移る。a, b>0より左回転で回転角は0<θ<π/2である。
16: 1: √255
cosx=1/2、sinx=√255/2
b²=255/4、a²=1/4、a²+b²=64
|a+bi|=8、|(a, b)|=8 z₁+z₂+z₃≠0
a=3k+1→n個
n=3k+2→n個
これらの場合は正三角形は現れ得ない。120°と240°
3m=3k+1、3k+2、これは不合理
n=3kの時, 正三角形の3頂点のうち2点までは揃っても大丈夫である
正三角形は全部でk個作られるが各々の正三角形の一つの頂点を削除ふれば良い。3k-k=2k個。 例3
n≧3、f(x)=xⁿ+xⁿ⁻¹-xⁿ⁻²-3
f=gh、g, h∈ℤ[x]、degg≧1、degh≧1
と仮定する。
x=0とするとf(0)=g(0)h(0)=3
g(0)=±1またはh(0)=±3。
g(0)=±1の時,
全ての根のノルムが1より大だとするとそれらの積のノルムは1より大になるので少なくとも1つの根z∈ℂ、|z|が存在する。
根と係数の関係により
g(x)=0の全ての根の積のノルムは
|g(0)|=1である。
g(z)=0よりf(z)=0すなわち
zⁿ+zⁿ⁻¹-zⁿ⁻²=3
両辺のノルムをとり三角不等式をもちいると
|zⁿ+zⁿ⁻¹-zⁿ⁻²|≦|z|ⁿ+|z|ⁿ⁻¹+|z|ⁿ⁻²≦3=3
より|z|=1となる。
正n角形の頂点のうちの連続した3点に対して|α₁+α₂-α₃|=3⇔α₁、α₂、-α₃の偏角が全て等しいとなりこれは不合理
α₁=α₂⇒n=∞、n=1、
α₂=-α₃⇒n=2
α₁=-α₃⇒n=4でα₁≠α₂
z=1、z=±1、z=1, (-1±√3i)/2、 例1
x+y-z=-1 34
x²-y²+z²=1 2
-x³+y³+z³=-1 14
z=x+y+1 (1)
x²-y²+(x+y+1)²=1 (2)
-x³+y³+(x+y+1)³=-1 (3)
⇔
(1)(3)
(x+y)(x-y)=(x+y+2)(-x-y) (2)
y=-x∨x=-1 (2)
⇔
z=1、x=1、y=-1
またはx=y=z=-1
1 -1 1、-1 -1 -1 例2
y⁷=x+x²+x³+x⁴+x⁵+x⁶+x⁷ (1)
x⁷=y+y²+y³+y⁴+y⁵+y⁶+y⁷ (2)
x>0とすると
(1)よりy⁷=δ+x⁷よりy>x>0
(2)とy>0よりx⁷=⊿+y⁷となりx>y>0
これは矛盾である。
x=0とするとy=0、
x=-1とするとy=-1
-1<x<0 ⇔ -1<y<0、この時、
y⁷=x⁷+(x⁵+x³+x)(x+1)より
y<x、x<yより矛盾。
x<-1 ⇔ y<-1、この時、
y⁷=x⁷+x(1+x)(1+x²+x⁴)
y>x、x>yより矛盾 例1
f: A→A
x→f(x)→f²(x)→f³(x)=x
恒等写像x→x→x→x、1個
i5個→1個
i2個+f1個→5C3×2=20個
21個。 例2
(1) f(0)=2、f(1)=3
f(2) (x+n)-f(x)=n{f(x+1)-f(x)}
f(3) (x)=f(1/x)、x∈ℚˣ
の時, f(x)=2002
x∈ℚよりx=p/q、gcd(p, q)=1、q>0、p, q∈ℤとおける。これらの条件は必要である。
f(p/q)=f(q/p)
p=0とするとf(0)=2
p=qとするとf(1)=3
(x+n)-f(x)=n{f(x+1)-f(x)}
f(x+2)-f(x)=2(f(x+1)-f(x))
f(x+2)-f(x+1)=f(x+1)-f(x)
x∈ℤとするとq=1として
f(x)は等差数列
f(p)=p+2とすれば(1)を満たす
p≠0のときf(1/p)=1/p +2=p+2
p=±1ならば成り立つ。
(x+3)=3f(x+1)-2f(x)
(x+n)-f(x)=n{f(x+1)-f(x)}
(x+n+1)-f(x)=(n+1){f(x+1)-f(x)}
f(p/q)=f(q/p)
p･q+2、p+q+2
f(p/q)=f(q/p)、g(p-q)=g(q-p)
分母+分子、分母×分子
引く数+引かれる数、
可換な自然な演算として実数の積と実数の和を想起する
引く数×引かれる数
f(x)=x+2である。これをf(x/1)と見てもf(1/x)と
1倍または1で割る→1倍しかない
よってf(p/q)=f(q/p)=pq+2=2002
pq=2000=2⁴×5³
2000、1/2000、16/125、125/16
互いに素→素因数を共有しないですか 例1
f(x²+f(y))=y+(f(x))²
y=0とするとf(x²+t)=(f(x))²
x=0とすると
f(y)=y+t²
よってfは全単射であることが分かる
全射→全部射る。単射→1つずつ射る
A≧B、A≦B、A=B
x=0とするとf(f(y))=(f(0))²+y
(f(x))²=f(x²+t)=f((-x)²+t)=(f(-x))²
よってf(x)=±、f(-x)
すなわち偶関数または奇関数であることが分かる。fの単射性により
f(x)=-f(-x)
偶関数だと単射にならない。
fは全射なので∃a、f(a)=0となるが
∵∀b∈B=ℝ、∃a∈A=ℝ
f: A→B
a≠0ならばf(a)=-f(-a)=0となりfの単射性に反する。よってf(0)=t=0
∴f(x²)=(f(x))²、f(f(y)=y
f(x²+y)=f(x²+f²(y))=f(y)+(f(x))²
yに対してx²>0を加えた点はf(y)に(f(x))²>0を加えた点に移る。すなわちfは狭義!単調増加関数である。
y→z→w=y ⇒ 恒等写像しかない。
f(x)=y>xとするとf²(x)=f(y)=x
x→yの時y→xで減少関数
a→b→a、a→a→a
f(a)=a。y=x 恒等写像
狭義単調増加関数
b>a⇒f(a)=b、f(b)=a f(f(y))=y+(f(0))²
y→z→y+t²
y-t²→w→y-t²+t²=yよりf²は全射である
fが全射でないとかていすると
∃w∈B、∀y∈A、f(y)≠w
写像は広義単調減少なのでffが全射ならばfが全射であることが必要である
単射→全射3→4→3
f→gが全単射⇒fは単射∧gは全射
f￮fに適用するとfは全射かつfは単射
なのでfは全単射
ようするに 全単射は遺伝する
f→gが単射⇒fは単射∧gは不明
全射⇒gは全射、f∧は不明
よって全射性、単射性も遺伝する
f￮fからfは言える 例2
f(x+f(y)+xf(y))=y+f(x)+yf(x)
x=y=aとすると
f(a+f(a)+af(a))=a+f(a)+af(a)
a+f(a)+af(a)がfによる不動点であることを示している。
不動点は高々3個である。
原点との傾きが単調増加なのでそれぞれの区間に最大1個しか存在し得ない
y=x=u、f(u)=uより
u+u+u²=u²+2uも不動点
u∈I₁が不動点とするとf(u)=uより
u²+2u=uとするとu=0、-1
よって(-1, 0)、(0, +∞)においては
u²+2u≠uである
不動点はuとu²+2u
u∈I₁とするとu²+2u=u、u²+2u∈I₂
u=-1, 0より不適。よってu²+2u∈I₂
y=(u+1)²-1、-1<(u+1)²-1<0より不適
u∈I₂とするとu²+2u∈I₂
u²+2u=uよりu=0, -1より不適
u∈I₂⇒u²+2u∈I₂
よってu=0、u²+2u=0以外に無い
a+f(a)+af(a)=0、f(a)=-a/(a+1)
f(a)=0、これが条件(1)(2)を満たすことを見る。
f(a)=aとおくと
f(x+f(y)+xf(y))=y+f(x)+yf(x)
x-y/(1+y)-xy/(1+y)=x+xy-y-xy=x-y/1+y
-(x-y)/x+1=y-x/1+xより成り立つ
a-a/1+a-a²/1+a=a+a²-a-a²=0
仮にuが不動点だとするとu+f(u)+uf(u)が不動点であることに矛盾する。
y=-a-1+1=-1+1/(1+a)
y=-1とx=-1が漸近線になる
f(x)/x=-1/(x+1)
x>0で単調増加(負債が減っていく)
(-1, 0)で単調増加(負債が減っていく) 例1
9ˣ+3ˣ=12
3ˣ=tとおくとt²+t-12=(t-3)(t+4)=0
t>0、t=3、x=1
例2
(log₃27x)(log₃3x)=3
x>0、(t+3)(t+1)=3
t²+4t=0、t=0, -4
x=1、1/81 1
3→○、4→○、5→✖、2001
3×4×5=60、2個ずつ互いに素
列挙する
3 6 9 12 18
21 24 27 33 36
39 42 48 51 54 57
4 8 16 28 32 44 52 56
16+8=24個。
24×33+9=801個。
20+15
55∩(3∪4)=(55∩3)∪(55∩4)
16+12-4=24
667-133+500-100-166+33=801
1200-399=801
(a-1/2)²+b²=1/4
((x-m)/n-1/2)²+(y/n)²=1/4
(x-m-n/2)²+y²=(n/2)²
半径が|n|倍、中心は
(n/2+m, 0)
n<0⇒拡大￮原点対称￮1だけ平行移動なので交点は無い。
原点でy軸に接する円群。
a²-a+b²=0、a²+b²-na=0
(n-1)a=0、a=0、n=1 2
0, 1, 2, 3, 4を用いて17個の数字を作った。
17個の数字はmod5で0, 1, 2, 3, 4のいずれかである。
どれか1つの類に5個入っている場合は題意を満たす
そうでない場合は1つも入っていない類は存在しない。4+4+4+4<17
この場合は各類から1つずつ取れば良い。
5人以上入っている部屋がある場合
または
5人未満しか入っていない部屋しかない場合⇒空き部屋は、無い 1
x²+y²+z²≥xy+yz+zx
⇔2x²+2y²+2z²-2xy-2yz-2zx≥0
⇔(x-y)²+(y-z)²+(z-x)²≥0
x=y=zの時, 等号が成立する。
a=(x, y, z)とb=(y, z, x)で
|a||b|≥(a|)より。 例2
1/a³(b+c)+1/b³(c+a)+1/c³(a+b)
逆数を取って
x²/(y+z)+y²/(x+z)+z²(x+y)
コーシーシュワルツの不等式より
x/√(y+z), y/√(z+x), z/√(x+y)
与式(2S)≥S²
∴与式≥S/2≥3/2
逆数★→CS★★→AM-GM 例3
(a³-a²+3)(b³-b²+3)(c³-c²+3)≥
(a+b+c)³
一般にx>0⇒(x³-1)(x²-1)≥0
(x²+x+1)(x+1)>1>0
⇔x⁵-x²+3≥x³+2
(a³+2)(b³+2)(c³+2)≥(a+b+c)³
(a³+1+1)(1+b³+1)(1+1+c³)(a+b+c)
≥(a³ᐟ²+b³ᐟ²+1)(a¹ᐟ²+b¹ᐟ²+c²)
≥(a+b+c)
CSの不等式を2回使う。 例4
x²(x-2)²≥0⇔(2+x²)²-4(1+x³)≥0
1/(x³+1)≥2/(2+x²)
与式≥4a²/(a²+2)(b²+2)+～
後は通分してAM-GM
4a²(c²+2)+4b²(a²+2)+4c²(b²+2)
=2(a²+b²+c²+a²b²+b²c²+c²a²) ×4
=4Sとおく。S>0。
分母=(a²+2)(b²+2)(c²+2)=2S+64+8
2S/(S+36)=2/(1+36/S)
S≥2×3×4+16×3=72
2/(1+1/2)=4/3 a=b=c=2の時, 等号成立。 例2
λ²-4λ+3=0、λ=1, 3
xₙ=A+B･3ⁿ-¹とおけて
x₁=A+B=1、x₂=A+3B=2
A=B=1/2
xₙ=(3ⁿ⁻¹+1)/2
bₙ=3ⁿ⁻¹ 例1
xᵢ>0, i=0, …, 1995
(1) x₀=x₁₉₉₅
(2) y+2/y=2x+1/x
⇔2x²-(y+2/y)x+1=0
x=y/2、1/y
x(i)=2^(kᵢ)×x₀^(εᵢ)と表せることを数学的帰納法により証明する
2の冪と x₀の冪の積
ここでi≥0、kᵢ≤i、εᵢ=(-1)^(kᵢ+i)
i=0の時, k₀=0、ε₀=1鳥栖ると
x₀=2⁰･x₀¹=x₀となり成り立つ
i-1の時, 正しいと仮定すると漸化式(1)よりkᵢ=kᵢ₋₁-1とすれば成り立つ
εᵢ=(-1)^(kᵢ₋₁+i-1)=
(-1)^(kᵢ+i)=(-1)^(kᵢ₋₁+i-2)=(-1)^(kᵢ+i)となる
漸化式(2)よりkᵢ=-kᵢ₋₁とおくと
kᵢ+i→-kᵢ₋₁+i=-(kᵢ₋₁+i-1)+2i-1→-εᵢ₋₁
kは偶数でε=-1、x₀=2⁹⁹⁷。
xᵢ=2ᵏ･(-1)ᵃ。
xᵢ=x₀(1/2)ⁱ、xᵢ=(x₀)⁻ⁱが必要
1/2倍されていく。逆数を取って行く。1/2倍でも逆数でも2の冪で表せる。逆数はx₀の^-1または^+1で表せる。 助からんまである程度いくまで公開しない
すっこんでろクズ。
健康食品
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