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多変数函数論
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https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1542461968/922-
上のスレ922から多変数函数論の話題が続いています。
折角なのでこちらの専用スレで、語りましょう。
新規の方のために、また、今後見返しやすいように、上のスレの関連するレスをコピーしておきます。
多変数解析函数論 人気あるな、古書高い
スレ立て乙
まさか多変数函数論のスレが立つとは…
支援します
多変数解析函数論 人気あるな、古書高い
923 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2022/08/20(土) 16:28:13.43 ID:yHD/9y9V
>>922
一松の本？
復刊版が出たけどそれではダメなのか？
924 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2022/08/20(土) 16:33:57.14 ID:z2sTBZfX
今年は岩波の一括復刊ないの？
925 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2022/08/20(土) 17:47:05.10 ID:8u1xSW/o [3/5]
>>923
売ってないだろ
926 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2022/08/20(土) 18:04:20.18 ID:PSydDfXm [1/4]
「古書店」で7500円で売ってる。
927 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2022/08/20(土) 18:05:12.96 ID:8u1xSW/o [4/5]
>>926
それは知ってる
928 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2022/08/20(土) 18:32:02.99 ID:PSydDfXm [2/4]
アマゾンだと14800円のと30080円のがある。
これも「売ってる」
929 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2022/08/20(土) 18:47:47.93 ID:8u1xSW/o [5/5]
復刊本のデフォールトが古本なのかｗ
930 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2022/08/20(土) 19:05:46.96 ID:PSydDfXm [3/4]
復刊されたのが何年前だと思っているのか
Zoomの講演で一松先生の写真を見せて
He is as old as the queen of England
とやったら
笑いが取れた
932 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2022/08/21(日) 06:39:13.58 ID:oUIZN+eU [1/5]
秋月先生の本が文庫になったのだから
この本も文庫化してほしい
933 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2022/08/21(日) 08:05:21.94 ID:fPrf5koY [1/2]
野口のじゃあかん？
934 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2022/08/21(日) 08:32:17.32 ID:oUIZN+eU [2/5]
「野口の」と言われる時点であかんのでは？
935 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2022/08/21(日) 08:51:13.13 ID:k9mU6Q7u [1/2]
野口の一冊目はコホモロジーが前提だった
936 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2022/08/21(日) 09:02:41.61 ID:oUIZN+eU [3/5]
>>935
層の定義が書いてある本は一冊目ではない？
937 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2022/08/21(日) 22:20:43.11 ID:fPrf5koY [2/2]
普通に考えると、一松の古い本より、野口潤次郎や大沢健夫らの新しい本の方が
内容も新しくて洗練されているように思うのだが，一松の本って何でそんなに人気あるの？
938 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2022/08/21(日) 22:21:55.80 ID:oUIZN+eU [4/5]
>>935
ああ、野口の一冊目は
幾何学的関数論のことだったか。
昔セミナーで読んだが
そうだったかも。
939 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2022/08/21(日) 22:23:17.75 ID:5gLd+HaZ
勧めてる側が最近の本を知らないからでしょ
940 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2022/08/21(日) 22:34:55.00 ID:k9mU6Q7u [2/2]
大沢は難しい、それだけ
>>937
当時出ていた多変数関数論の文献を
全部読み込んで、それらがグラウエルトによる
複素多様体上のレヴィ問題の解へとまとまっていく様子が
生き生きと語られている。
この本以後に発表されたグラウエルトの
もう一つの代表作のreviewも一松先生が書かれた。
Hartogsの1909年の定理もちゃんと証明付きで述べてある。
この例のように、最近の論文では参照されなくなったが
それ自体として面白い結果が取り上げられていることが多い。
942 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2022/08/22(月) 09:31:16.17 ID:g9NufOBG [1/3]
序文で、改変操作について述べられなかったという箇所が
目に付く。
グラウエルトの続編がそれであるし
広中の特異点解消定理が1964年なので
なおさら感慨深い。
その意味で一松本の続編が
広中・卜部の「解析空間入門」でしかないのが
口惜しい。
943 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2022/08/22(月) 19:07:53.38 ID:cU0vFZ8D [1/4]
Hartogsの1909年の定理って、各変数について複素解析的なら、多変数関数として解析的になるという定理のこと？
多変数函数論の顕著な性質だけど、ほかの本に証明は書いて無いのか？
944 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2022/08/22(月) 19:14:14.80 ID:sYdoBjT0
>>943
>Hartogsの1909年の定理って、各変数について複素解析的なら、多変数関数として解析的になるという定理のこと？
その通りです.
>多変数函数論の顕著な性質だけど、ほかの本に証明は書いて無いのか？
ヘルマンダーの多変数複素解析学入門に載ってます.
945 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2022/08/22(月) 19:15:03.26 ID:cU0vFZ8D [2/4]
ググったら、Hartogsはユダヤ人人でナチス・ドイツによって収容所送りにされ、最後は自殺した。
悲しいな
複素多様体論って多変数函数論も必要なんじゃ無いかって思うんだけど、、。
でも、例えば小平邦彦の複素多様体論には、この手の話題って全然出て来ないよね。
小平は代数幾何よりのコホモロジー論が中心で、多変数函数論とは余り関係ない話題なのかなぁ
947 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2022/08/22(月) 19:25:52.23 ID:cU0vFZ8D [4/4]
>>944
なるほど、ヘルマンダーがありましたね
ありがとうございました。
948 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2022/08/22(月) 19:27:41.58 ID:kskCSCM4 [1/2]
>>943
そんなあてずっぽうを言われると
大変悲しい。
1909年の定理は連続関数の正則性が
グラフの補集合の擬凸性によって
特徴づけられるという定理
949 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2022/08/22(月) 19:30:13.30 ID:kskCSCM4 [2/2]
>>946
多様体をブローアップして曲率条件を改善してから
存在定理を示し、それをブローダウンしたところへ
戻すときにHartogsの拡張定理を使っている。
950 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2022/08/22(月) 20:56:28.67 ID:g9NufOBG [2/3]
>>946
小平先生の土曜セミナーで飯高さんが出された問題の中に
ケーラー族における多重種数の変形不変性があるが
代数性があれば多変数関数論の方法で解かれている。
代数性の仮定なしに示せればフィールズ賞クラスの業績
951 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2022/08/22(月) 21:48:47.83 ID:g9NufOBG [3/3]
Riemann-Rochの定理の
スペクトル解析的精密化は
多変数複素解析の枠組みの話
Demaillyの複素Morse理論はその一例
一松信 「多変数解析函数論」 培風館 (1960年) (2016年に復刻版発売)
ヘルマンダー（笠原乾吉訳） 「多変数複素解析学入門」 東京図書 (1973年)
広中平祐，卜部東介「解析空間入門」浅倉書店 (19??年) (2011年に復刻版発売)
樋口禎一，吉永悦男，渡辺公夫 「多変数複素解析入門」森北出版 (1980年)
中野茂男 「多変数函数論 : 微分幾何学的アプローチ」浅倉書店 (1981年)
西野利雄 「多変数函数論」 東京大学出版会 (1996年)
大沢健夫 「多変数複素解析」現代数学の展開 岩波書店 (2006年)
大沢健夫 「多変数複素解析 増補版」 岩波書店 (2018年)
若林功 「多変数関数論」 (数学のかんどころ 21) 共立出版 (2013年)
倉田令二朗 「多変数複素関数論を学ぶ」 日本評論社 (2015年)
野口潤次郎 「多変数解析関数論 (第2版) ─学部生へおくる岡の連接定理」 浅倉書店 (2019年)
野口潤次郎 「岡理論新入門: 多変数関数論の基礎」 裳華房 (2021年)
代数性があれば代数的な別証(川又)がある。
ユダヤ人ではなかった妻との離婚に応じたことで解放される。
その後も政治的圧力と差別・虐殺への恐怖で暮らし、
結局1943年に睡眠薬自殺を遂げた。
>>広中平祐，卜部東介「解析空間入門」浅倉書店 (19??年) (2011年に復刻版発売)
--->
広中平祐，卜部東介「解析空間入門」朝倉書店 (1981年) (2011年に復刻版発売)
--->
中野茂男 「多変数函数論 : 微分幾何学的アプローチ」朝倉書店 (1981年)
---->
野口潤次郎 「多変数解析関数論 (第2版) ─学部生へおくる岡の連接定理」 朝倉書店 (2019年)
一変数ではないはず
幾何学的関数論 (数学選書) 1984
by 落合 卓四郎 (著), 野口 潤次郎 (著)
微積分の場合にはどんな風に難しくなるか分かるのですが，
複素関数論は1変数から多変数になるとどんな感じで難しくなるんですか？
除去可能、極、真性と
3種類で済むが
多変数だと特異点が孤立しえないので
途端に難しくなる
ありがとうございました．
再版を望む
「とりあえずは留数定理まで行ってみましょう、手計算できる定積分の範囲が一気に広がるから」
みたいなのがありますが
これが多変数だと、どんなのがあるんでしょうか？
とにかく難しいそう(だから面白い？)ってだけで飛びつく分野ではないですよね
とりあえず若林先生の本で
留数定理の
多変数版を眺めてみたら？
若野やろ
ヘルマンダーの訳本は私も復刊を希望する
>>手計算できる定積分の範囲が一気に広がるから
これはCauchyが言ったことだよね
AbelとJacobiはその先をやった。
Weierstrass, Riemann, Poincareは
Abelがやったようなことを多変数でもやるためには
何が必要かを考え予備定理などの基礎を作った
ここは微積分を高校レベルから
大学一年レベルまで引き上げる作業で
多変数の留数定理はその一つとしてPoincareが定式化したもの。
きれいな結果だから多変数の世界がどう広がるかという
見当をつけるのにはよいのでは。
多変数函数論の面白さは、やはり1変数と事情が全く異なることだと思います。
上の方にあふHartogsの定理(各変数で解析的なら、多変数函数として解析的)や正則領域の存在などでしょう。
そのためには、やはり1変数函数論を一通り知らないと面白さや不思議さが味わえないと思います。
???
スマン
1変数の場合はすべての領域が正則領域やった
だから、多変数の場合は正則領域でない領域が存在するでした
例えばM1がこれから多変数函数論を専門として学ぶ場合。
>>12-15
訂正ありがとうございます
浅倉の変換ミスは酷すぎた
まだ漏れがあるでしようけど、補完お願いします
訂正＋追加版
【参考図書】
和書（年代順）
一松信 「多変数解析函数論」 培風館 (1960年) (2016年に復刻版発売)
ヘルマンダー（笠原乾吉訳） 「多変数複素解析学入門」 東京図書 (1973年)
樋口禎一，吉永悦男，渡辺公夫 「多変数複素解析入門」森北出版 (1980年)
広中平祐，卜部東介「解析空間入門」浅倉書店 (1981年) (2011年に復刻版発売)
中野茂男 「多変数函数論 : 微分幾何学的アプローチ」朝倉書店 (1981年)
落合卓四郎，野口潤次郎 「幾何学的関数論」(数学選書) 岩波書店 (1984年)
西野利雄 「多変数函数論」 東京大学出版会 (1996年)
大沢健夫 「多変数複素解析」現代数学の展開 岩波書店 (2006年)
大沢健夫 「多変数複素解析 増補版」 岩波書店 (2018年)
若林功 「多変数関数論」 (数学のかんどころ 21) 共立出版 (2013年)
倉田令二朗 「多変数複素関数論を学ぶ」 日本評論社 (2015年)
野口潤次郎 「多変数解析関数論 (第2版) ─学部生へおくる岡の連接定理」 朝倉書店 (2019年)
野口潤次郎 「岡理論新入門: 多変数関数論の基礎」 裳華房 (2021年)
「あれ、こんなことをしても論文になるんだ」
くらいの手頃感があるととっつきやすい。
本と言われても今までのbackgroundによるが
代数を中心にやった人で、線形代数の上に
体論・群論をやって、整数論とのからみで
Hilbertの第12問題で多変数関数論を目にしたような人なら
Siegelのlecture noteがよいだろう。
幾何学が中心で、特に微分幾何で曲率に親みがあれば
中野先生の本がお勧め。
解析中心で、Ahlforsは演習問題を解きながら半分以上は読めたし
Lebesgue積分論は「わが意を得たり」くらいに性に合っているのなら
Hormanderかな。
オールラウンドプレーヤーなら、野口でも大沢でも。
今日中韓の若手研究会を大阪公立(OCAMI)・武漢・慶尚(GNU)を
起点としてやっていて
Zoomの出席者が70から90名くらいだが
高級な話題でもこういうところで聞かせてもらうと
親近感がわくような気がする。
今日中韓のーーー＞今、日中韓の
特に微分幾何で曲率に親みがあれば
---->
特に微分幾何で曲率に親しみがあれば
これは多変数関数論の入門書としても好適
タイトル 複素多様体論講義 : 広範な基礎を身につけるために
著者 辻元著
著者標目 辻, 元
シリーズ名 臨時別冊・数理科学, . SGCライブラリ||SGC ライブラリ ; 94
出版社 サイエンス社
出版年月日等 2012.10
まあ多変数を勉強するには向かないけど。
目的はなんだろ？
偏微分方程式の解を調べるとか、、
by 梶原 壤二 (著)
これも多変数
偏微分方程式の解を調べるための手段として
有効利用されたことはあったが
いかにも味気ない。
解析をやっていて複素解析的要素に出会った瞬間に
魅了されてしまい
そこから離れられなくなるということはありうる
多変数複素解析入門 2016
by 安達謙三 (著)
複素数√(-1)はX^2＋1=0の方程式の解から。
-√(-1)は?
(X＋√(-1))(X-√(-1))=0
X＋√(-1)=0 またはX-√(-1)=0
X=-√(-1)も解
違うのは当たり前。
質問はどう区別するか
つまり方程式の
二つの解のうちどっちを√(-1)と書いているのかということ。
違う理由を答えるというのは
どの国の習慣かな
？？
複素数体の標数は2でないからとでも言ってほしかった？
標数の条件は？
二つの解のうちどちらを√(-1)と書いている？
偏微分方程式のために多変数関数論を勉強するか？
普通は微分可能性を落としたL^2理論や関数空間の不動点定理の勉強をするだろ
多変数関数論ってほどはいらんか
普通ではないが
偏微分方程式の代数的方法なら
hyperfunctionの定義のために
コホモロジー理論が必須。
複素解析幾何とディーバー方程式 (数理物理シリーズ)
by 大沢 健夫 (著)
【多変数関数論の図書（和書）】
[A16] 安達謙三「多変数複素解析入門」開成出版 (2016年)
[Ca65] カルタン（高橋礼司訳）「複素函数論」岩波書店 (1965年)
[GR12] グラウエルト，レンメルト「シュタイン空間論」シュプリンガー東京 (2012年)
[HYW80] 樋口禎一，吉永悦男，渡辺公夫 「多変数複素解析入門」森北出版 (1980年)
[HU81] 広中平祐，卜部東介「解析空間入門」浅倉書店 (1981年) (2011年に復刻版発売)
[Hi60] 一松信 「多変数解析函数論」 培風館 (1960年) (2016年に復刻版発売)
[Ho73] ヘルマンダー（笠原乾吉訳） 「多変数複素解析学入門」 東京図書 (1973年)
[Ka07] 梶原壤二 「複素関数論」 POD版 (数学ライブラリー) (2007年)
[Ko92] 小平邦彦 「複素多様体論」 岩波書店 (1992年) (2015年に新装版発売)
[KT15] 倉田令二朗，高瀬正仁 「多変数複素関数論を学ぶ」 日本評論社 (2015年)
[Na81] 中野茂男 「多変数函数論 : 微分幾何学的アプローチ」朝倉書店 (1981年)
[Ni96] 西野利雄 「多変数函数論」 東京大学出版会 (1996年)
[No19] 野口潤次郎 「多変数解析関数論 (第2版) ─学部生へおくる岡の連接定理」 朝倉書店 (2019年)
[No21] 野口潤次郎 「岡理論新入門: 多変数関数論の基礎」 裳華房 (2021年)
[ON84] 落合卓四郎，野口潤次郎 「幾何学的関数論」(数学選書) 岩波書店 (1984年)
[O06] 大沢健夫 「多変数複素解析」現代数学の展開 岩波書店 (2006年)
[O06] 大沢健夫「複素解析幾何とディーバー方程式」 数理物理シリーズ2, 培風館 (2008年)
[O18] 大沢健夫 「多変数複素解析 増補版」 岩波書店 (2018年)
[Wa13]若林功 「多変数関数論」 (数学のかんどころ 21) 共立出版 (2013年)
酒井栄一 「多変数関数論」 共立全書 1966
ーーー＞
[HU81] 広中平祐，卜部東介「解析空間入門」朝倉書店 (1981年) (2011年に復刻版発売)
工科のための複素解析入門 1977
by ウィルフレッド・カプラン (著), 道脇 義正 (著)
> 多変数だと特異点が孤立しえないので
多変数関数になると極が無いということですか？
その場合、特異点集合の留数というのが定義できるのですか？
また，１変数と同様に積分の留数計算というのはできますか？
質問ばかりで済みませんが、よろしくお願いします。
一変数の意味での孤立した極はあり得ないという意味でならそう
>>特異点集合が解析的な集合であるという条件下では
留数を定義する手続きを多変数に拡張することができる。
>>１変数と同様に積分の留数計算というのはできますか？
Stokesの定理により「多変数の留数の計算」に帰着する定積分は存在する。
結構手間がかかるようだ
1/(zw)の極はzw=0
z=w=0は不定点
この場合の留数はどうなりますか？
dz\wedgedw/zwの「Poincareの留数」は１．
Marcin Bilski, Jacek Bochnak, Wojciech Kucharz
Page range: 197-221
Let f:X-->R be a function defined on a connected nonsingular real algebraic set X in R^n. We prove that regularity of f can be detected on either algebraic curves or surfaces in X. If dimX>1 and k is a positive integer, then f is a regular function whenever the restriction f|C is a regular function for every algebraic curve C in X that is a C^k submanifold homeomorphic to the unit circle.
無限変数の特殊函数論はあるが
一般論で面白いものは知らない。
ドルボーの定理は無条件では成り立たないはず。
訂正
dz\wedgedw/zwの「Poincareの留数」は１．
---> dz\wedgedw/zwの「Poincareの留数」は
dw/w|_{z=0}-dz/z|_{w=0}
再訂正
dz\wedgedw/zwの「Poincareの留数」は
z=0でdw/w、w=0で-dz/z．
理由は以下にあるように、関数では座標変換により留数の定義が変わってしまう(well-definedでない)ためです。
留数とは関数f(z)ではなく、微分形式f(z)dzに対して定義されるべきものである理由
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13242147348
Res(w, z_1=0) = f(0, z_2, ,,, z_n) dz_2 ∧ ,,, ∧ dz_n となる (n-1)-形式。
読んでいく順番を考えてリストを並べるとしたらどうなる？
>>62の文献
まずは[Wa13]若林のかんどころで多変数函数論のポイントを掴んでから、
ヘルマンダー[Ho73]、一松[Hi60]、野口[No19]あたりかな。
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