大学学部レベル質問スレ 19単位目
レス数が1000を超えています。これ以上書き込みはできません。
大学で習う数学に関する質問を扱うスレ
・質問する前に教科書や参考書を読むなりググるなりして
・ただの計算は
http://wolframalpha.com
・数式の表記法は
http://mathmathmath.dote ra.net
・質問のマルチポストは非推奨
・煽り、荒らしはスルー
※前スレ
大学学部レベル質問スレ 18単位目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1651147986/ 694 １３２人目の素数さん 2022/07/07(木) 10:33:39.21 ID:b2gYezjC
小林昭七さんは推敲など全くしないんでしょうね。 マエスレ>>995
>それを例えば ζΣ[n＝1～∞] a_n と表記すれば
は
そういう表記にすれば良いよ
だからexp(z)が良いと言っているわけ 松坂和夫著『解析入門下』
「
平面上の滑らかな曲線 C は平面図形として面積確定でその面積は 0 である．
ただし，曲線 C : x = f(t), y = g(t) (0 ≦ t ≦ 1）
が滑らかであるとは， f'(t), g'(t) がともに存在して連続であることをいう．
」
なぜ，曲線に滑らかという条件を課しているのでしょうか？
曲線が連続であれば一様連続性により，↑の命題を証明できると思います． 平面曲線というと滑らかであることを仮定することが多いから，何も考えずに，滑らかという仮定をしたんですかね．
もしそうだとすると，完全に思考停止状態ですね． >>13
ありがとうございました．
縦線領域の場合と違って， ε に対して，曲線を覆う小さい長方形たちの個数を都合のいいように
評価することができませんね． あ，そういうことではないですね．
縦線領域の場合には， n 個の長方形たちの横辺の長さを 1/n の定数倍の長さに，
縦辺の長さを任意の固定した長さ未満に，出来たから長方形たちの総面積を ε 未満に
出来たんですね． 訂正します：
あ，そういうことではないですね．
縦線領域の境界の場合には， n 個の長方形たちの横辺の長さを 1/n の定数倍の長さに，
縦辺の長さを任意の固定した長さ未満に，出来たから長方形たちの総面積を ε 未満に
出来たんですね． 694 １３２人目の素数さん 2022/07/07(木) 10:33:39.21 ID:b2gYezjC
小林昭七さんは推敲など全くしないんでしょうね。
どの口が言ってんのこれ >>11
証明して見直して間違いが無いか確認して、日を置いてもう一度確認してから書けよ >>19
この相手は聞く耳を持たないということが
理解できていればそういうコメントは
できないはず 松坂和夫著『解析入門下』
面積が座標系のとり方に依存しないということを説明していますが，
新座標系に関する「臨界正方形群」についての話が間違っていますね． 「面積が座標系のとり方に依存しないということを説明」には他にもおかしなところがありますね．
旧座標系に関して面積確定の集合 A が新座標系に関しても面積確定であることを証明なしに使っています． 面積が座標系のとり方に依存しないということの説明の部分は特にひどいと思います．
ここは他の本を見ずに書いたのかもしれませんね． 松坂さんは平面幾何的に図を使って説明しています．
杉浦光夫著『解析入門II』には，一般の n に対して，ちゃんとした証明があるようですね． James R. Munkres著『Analysis on Manifolds』にもちゃんとした証明があるようです：
「Invariance of volume under isometries」ということに書いてあるようです． James R. Munkres著『Analysis on Manifolds』
杉浦さんの本は，ごちゃごちゃと細かく色々な命題が書いてあって，すっきりしていませんね．
Munkresさんの本は重要な命題のみ書いてあるようで，非常にすっきりしています．
証明も非常に厳密かつ分かりやすいです．
これが著者としての力量の違いというものでしょうか？ 野村隆昭著『微分積分学講義』
著者から，いただいた本（「謹呈 著者」という栞が挟んであった）を今，読んでいたら，説明不足な箇所がある証明を発見してしまいました．
亡くなってしまったので，もうメールで連絡できないのが残念です．
p.182 定理7.19
D が面積確定な有界閉集合であるとき， D 上で連続な関数は D で積分可能である．
f* は以下の関数です． I は D を含む区間です．
f*(x) := f(x) if x ∈ D
f*(x) := 0 if x ∈ I - D
「小長方形 I_{in} 達への I の分割 Δ を考え， S(f*, Δ) と s(f*, Δ) を計算する際に， I_{ij} を次の3種類に分けよう．」
という記述の後で， I_{ij} を以下の3つの種類に分けています：
(1) D の内部に含まれるもの．
(2) ∂D と共通部分があるもの．
(3) D の外部に含まれるもの．
(4) D の内部と外部の合併集合に含まれるもの．
I_{ij} の連結性により，(4)の場合が起こり得ないことを述べていません． 訂正します：
野村隆昭著『微分積分学講義』
著者から，いただいた本（「謹呈 著者」という栞が挟んであった）を今，読んでいたら，説明不足な箇所がある証明を発見してしまいました．
亡くなってしまったので，もうメールで連絡できないのが残念です．
p.182 定理7.19
D が面積確定な有界閉集合であるとき， D 上で連続な関数は D で積分可能である．
f* は以下の関数です． I は D を含む区間です．
f*(x) := f(x) if x ∈ D
f*(x) := 0 if x ∈ I - D
「小長方形 I_{ij} 達への I の分割 Δ を考え， S(f*, Δ) と s(f*, Δ) を計算する際に， I_{ij} を次の3種類に分けよう．」
という記述の後で， I_{ij} を以下の3つの種類に分けています：
(1) D の内部に含まれるもの．
(2) ∂D と共通部分があるもの．
(3) D の外部に含まれるもの．
(4) D の内部と外部の合併集合に含まれるもの．
I_{ij} の連結性により，(4)の場合が起こり得ないことを述べていません． 訂正します：
野村隆昭著『微分積分学講義』
著者から，いただいた本（「謹呈 著者」という栞が挟んであった）を今，読んでいたら，説明不足な箇所がある証明を発見してしまいました．
亡くなってしまったので，もうメールで連絡できないのが残念です．
p.182 定理7.19
D が面積確定な有界閉集合であるとき， D 上で連続な関数は D で積分可能である．
f* は以下の関数です． I は D を含む区間です．
f*(x) := f(x) if x ∈ D
f*(x) := 0 if x ∈ I - D
「小長方形 I_{ij} 達への I の分割 Δ を考え， S(f*, Δ) と s(f*, Δ) を計算する際に， I_{ij} を次の3種類に分けよう．」
という記述の後で， I_{ij} を以下の3つの種類に分けています：
(1) D の内部に含まれるもの．
(2) ∂D と共通部分があるもの．
(3) D の外部に含まれるもの．
(4) D の内部と外部の合併集合に含まれるもの．（かつ D の内部との共通部分， D の外部との共通部分はどちらも空集合ではない）
I_{ij} の連結性により，(4)の場合が起こり得ないことを述べていません． 野村隆昭著『微分積分学講義』
もう一箇所ありました．
D が面積確定 ⇔ ∂D は総面積が ε に満たない長方形領域達で覆われる（ε は任意の正の実数）
というのは確かに成り立ちますが，これが成り立つのはなぜかという説明に問題があります．
D を含む長方形領域 I を一つとり， I の任意の分割 Δ に対して，
J(D;Δ) := S(χ_D;Δ)
j(D;Δ) := s(χ_D;Δ)
とおく．
J(D;Δ) は D と共有点をもつ I_{ij} の面積の和である．
j(D;Δ) は D に含まれる I_{ij} の面積の和である．
D が面積確定 ⇔ J(D;Δ) - j(D;Δ) < ε （ε は任意の正の実数）
↑これはダルブーの定理です．
このダルブーの定理が成り立つから，以下が成り立つという説明をしています．
D が面積確定 ⇔ ∂D は総面積が ε に満たない長方形領域達で覆われる（ε は任意の正の実数）
ですが， D に含まれる I_{ij} の中には， ∂D と共有点をもつものもあるかもしれません．
ですので， D に含まれる I_{ij} をすべて取り去ってしまうと， ∂D を覆えない可能性があるかもしれません．
このあたりについて議論がないまま，
D が面積確定 ⇔ ∂D は総面積が ε に満たない長方形領域達で覆われる（ε は任意の正の実数）
が成り立つと説明してしまっています． D と共有点をもつ I_{ij} 達の集合から D に含まれる I_{ij} 達の集合を引いた残りの
集合に属する I_{ij} 達で ∂D を覆えることを証明しなければなりません． 「D と共有点をもつ I_{ij} 達の集合から D に含まれる I_{ij} 達の集合を引いた残りの
集合に属する I_{ij} 達で ∂D を覆える．」
これは成り立ちそうに見えますが，実際に成り立ちますかね？
反例はありますかね？ D が面積確定 ⇔ ∂D は総面積が ε に満たない長方形領域達で覆われる（ε は任意の正の実数）
の証明ですが，実は，松坂和夫著『解析入門下』では，うまく証明しています． 要するに、野村氏の書いたものに
推敲の余地がある箇所が残っているということらしいが
本人はなくなってしまったのだから
そういう指摘は詮無き事なのでは？ 著者からいただいた本（中古書店で購入）
明倫館で買ったのかな？ >>37
普通は「著者から、いただいた本」に続くカッコ内を
そういう意味には読めないと思う。
「いただいた」は「もらった」の丁寧型
「 献本を受けるような間柄だったのなら貰った本に目を通してもいないのはちょっと失礼
しかし亡くなった後で本の不備を見つけてこんなところに晒すのはそんなことの比でないくらい失礼
不備というほどのことでもないなら尚更だな >>38
本当に著者からいただいたものなら
＞（「謹呈 著者」という栞が挟んであった）
なんて書かないだろうが
買ったら本の中に栞があった、と見るほうが自然
当然新品なはずもなく 郵便で本が届けられ
封筒から本を出してすぐ本棚に並べた場合
本を開いて初めて
「謹呈 著者」という栞が挟んであった
ことに気づく場合がある。
そんなことが複数回あった。 (1) 「謹呈 著者」という栞が挟んであった
(2) 亡くなってしまったので，もうメールで連絡できないのが残念です．
(3) 本を開いて初めて「謹呈 著者」という栞が挟んであったことに気づく場合がある。そんなことが複数回あった。
(1)と(3)は同一人物が書いた文章のような気がします。「文章の癖」の残存と「句読点の特徴」のわざとらしい改変。>>38の最後の行のカギカッコもこの人らしいいつものミステイク。焦って自己を擁護するつまり自演。
(3)では著者から本が送(贈)られてきてそのままにしてあったことが複数回あったとアピールしている。これは不自然な経験=ウソと思う。 >>43
>>これは不自然な経験=ウソと思う。
自分が経験したことのないことがすべて不自然に思える
というのは、数学者の資質として重要かもしれない。 >>31
杉浦光夫著『解析入門I』p.77 定理8.2の証明は1ページ以上使っています． そして，野村さんの本では「連結」という用語が出てきません．
やはり，何らかの修正が必要であると思います． 修正案は，「連結」という言葉を登場させずに， I_{ij} が D の内部と外部の和集合に含まれ，
かつ D の外部にも D の内部にも含まれるとすると矛盾が起こることを示すことですね． 訂正します：
修正案は，「連結」という言葉を登場させずに， I_{ij} が D の内部と外部の和集合に含まれ，
かつ D の外部とも D の内部とも共通点をもつとすると矛盾が起こることを示すことですね． これが自明だというのならば，他の命題でもっと自明であるにもかからわず，
真面目に証明しているものがあるのは何なんでしょうか？
まず第一にフェアじゃないですよね． >>54
証明してみてください．
何行で書けますか？ AIがある命題の証明の難易度を判定するようになったとして，この命題の難易度は
そんなに低くはないと思います． 境界がなめらかな曲面であるような有界な集合は面積確定である．
杉浦光夫の解析入門に↑の命題は載っていますか？
どうもないみたいなんですが，なぜでしょうか？
縦線領域が面積確定であることは書いてあります． 特徴的な文章でバレパレなのだが他人のふりして同じようなネタを書き込む所が「キチガイってこういう人間なんだな」って実感させてくれる。
自演の証拠を積み重ねている。 >>61
どんな視点で書いているかはわかるので
基地外呼ばわりは失礼かと 論点が違う。こいつがキチガイであることは間違いない。
それと本質的に数学の教科書が読めていない。あら探しをしているつもりでも自分が間違うことが多い。
著者も読者も興味の無い所に対して「間違いに気づいちゃった！」とやってるだけの無意味な行為。 行為が首尾一貫しているかどうかだけ見ている
価値観の問題ではない >>64
この馬鹿は反論にならない反論を試みている。 キチガイの一貫性
・誤りを指摘されても明確な謝意を表さない礼儀のなさ
・検討不十分で○○著『△△』にケチをつける。そして著者に対する誹謗中傷をする。 James R. Munkres著『Analysis on Manifolds』
境界がなめらかな曲面であるような有界な集合は面積確定である．
Munkresさんの本にも↑この命題が載っていないように見えます．
なぜでしょうか？ キチガイの度合いを上げてきたな
「～が載っていないのはなぜですか」ってもはや難癖にもなっていない 野村隆昭著『微分積分学講義』
∫_{0}^{Π/2} cos^3 θ dθ = ∫_{0}^{Π/2} (1 - sin^2 θ) d(sin θ)
= [sin θ - sin^3 θ / 3]_{0}^{Π/2}
=2/3
という計算があります．
「∫_{0}^{Π/2} (1 - sin^2 θ) d(sin θ)」
という書き方は一般的ですか？ sin θ を一つの変数だと見ているようですが，それならば，
∫_{0}^{Π/2} (1 - sin^2 θ) d(sin θ)
ではなく
∫_{0}^{1} (1 - sin^2 θ) d(sin θ)
と書いたほうがいいのではないかという気がします．
このあたり，どうなんでしょうか？ 著者からもらったという嘘をつき、その本に対して文句を言い続けるキチガイ >>71
>>sin θ を一つの変数だと見ているようですが
その理由は？ d(sin θ)
と書いてあるので， sin θ は変数だと考えていると思われます． >>71
sin θ を変数と見ているわけではない
ものすごく丁寧に書くなら ∫_{θ=0}^{Π/2} と書くところを、最初の式では動いてるのがθであることは明らかだから略して書いている
等号を挟んでも新たな変数は出てきておらずθが動いていることは明らかであるから同じ記法を続けている
sin θを別の記号に置き換えるのでなければ>>71後者の記法は極めて紛らわしく、避けるのが無難 ありがとうございました．
やはり，
∫_{θ=0}^{θ=π/2} (1 - sin^2 θ) d(sin θ)
よりも
∫_{sin θ=0}^{sin θ=1} (1 - sin^2 θ) d(sin θ)
のほうが合理的だと思います． sinθの外微分d(sinθ)=cosθdθだろ
勝手に積分区間変えて合理的とか何言ってんの ああ積分区間変えてるわけではないのか
にしても>>71わかりにくいな つか積分区間の書き方も
分かればいいので
昔から色々 つか積分区間の書き方も
分かればいいので
昔から色々 野村隆昭著『微分積分学講義』
「
p.199
定義7.51
非有界集合 D ⊂ R^2 が面積確定であるとは，面積確定な任意の有界閉集合 K に対して，
K ∩ D が面積確定集合であることをいう．
以下， D は面積確定集合とする．
p.199
定義7.52
定数 M > 0 が存在して， D に含まれる面積確定な任意の有界閉集合 K に対して
∫_K f(x) dx ≦ M
となるとき， f は D で広義積分可能であるという．
」
定義7.51では K は D に含まれるとは限らない有界閉集合です．
定義7.52では K は D に含まれる有界閉集合です．
定義7.52において， D が面積確定であるというのは全く使われていません．
以後も， D が面積確定であるという約束が有効に使われることがありません．
これはどう考えればいいのでしょうか？ K は D に含まれる面積確定な任意の有界閉集合であるという条件をかならずつけるので，
D が面積確定であるかどうかは関係なくなっています． 著者は5chで営業妨害しまくるキチガイに献本したのか？
だとしたら自業自得だな
(俺は嘘だと思っているが) >>85
野村隆昭著『微分積分学講義』はいい本だと思います．
級数の話がないなど，内容が絞られていますが，説明は丁寧ですし，面白い例題があります． >>85
誤りを見つけるたびにメールを送っていました．
その日のうちに返信があり，感謝されました．
誤りを修正した刷が出たときに，献本していただきました． >>87
献本してもらったことは
最初から嘘だと思っていないよ。
野村さんでなくても著者としては当然の反応。
自分の場合は誤りを見つけてくれた人への謝辞を入れた。 著者からもらった本と自分で買った本の2冊持っているという設定か笑
それぞれ第何刷なのか？
それと自分で買った記憶のない本をそのまま書棚に入れて後から著者謹呈だと分かるという設定 自分で買った本が最初にありました．
その後，著者から献本された本と2冊になりました．
>それと自分で買った記憶のない本をそのまま書棚に入れて後から著者謹呈だと分かるという設定
これは別の人が書いた話です． >>91
書かなくてもわかっているからそれは余計なダメ押しと
こっちは思うのだが
どうしてもそうは思えずに
念には念を押したくなる性分なので
上のような書き込みとなるわけだね >>90
設定というのは作り話という意味。
2冊持っている証拠が欲しいところ。
著者謹呈の栞(？)も見たい。
これらは簡単に実証出来ることだね。 >>94
そういう話になると
91に付き合うよりもだるい感じだね >>71
>sin θ を一つの変数だと見ているようですが
そうではなく独立変数はあくまでθです
t=sinθのように変数変換することで
dt=dsinθとなり
独立変数はtになります d(sinθ)=cosθdθだから
積分区間はθの変域とすべき なんで計算機がやってる事より自分の理解の方を信用するんやろ >>105
人間が入力したコマンド内の積分領域が間違っているという話です． https://reference.wolfram.com/language/ref/Integrate.html#23449
Integrate[Sin[x y], {x, 0, 1}, {y, 0, x}]
Plot3D[Sin[x y], {x, y} \[Element] Triangle[{{0, 0}, {0, 1}, {1, 0}}]]
↑この2つのコマンドのうち1番目のコマンドはある縦線領域の体積を計算するコマンドです．
↑この2つのコマンドのうち2番目のコマンドは1番目のコマンドの縦線領域をプロットすることを意図したコマンドです．
明らかに間違っています． 頭悪いくせに人に難癖ばっかり付けてる能無し
ええ加減にせえや ∫_{-∞}^{+∞} exp(-x^2) dx
の値ですが，多変数の広義積分の定義を知らなくても，重積分を使って計算できるんですね． 極限の定義と変数変換の公式（極座標の場合）とフビニの定理を知っていれば証明できますね． >>107
管理人か運営元かなんかに言いなよ
>>109
それは質問か？ >>110
ここはお前の日記帳ではない
新たに自分語りスレを立てろよ
お前は下らないスレを幾つも立てているのでスレ立ては慣れてるよな 以下の条件を満たす， f と D の例を挙げてください．
D ⊂ R^n を有界集合とする．
f : D → R を有界な連続関数とする．
f は D で積分可能であるが， D の境界の測度はゼロではない． >>114
Dが1点の場合
任意の関数は微分可能？ Rの中で稠密だけど離散的な点からなる測度0なDとればいいんじゃね >>稠密だけど離散的
数学辞典には
離散的は各点が孤立点であることと
定義してあったような気がする。 稠密はdenseだが
everywhere denseという言い方もある 自由加群の準同型Z^a→Z^bはa＜bの時全射でない事はどのようにしたら言えるのでしょうか
(Z^aは整数Zのa個の直和です)
ベクトル空間なら生成元があったらその一部が基底になる事を使って言えますが
自由加群だとそのような結果は成り立たないので困っています その準同型を表す行列が
Q^aからQ^bへの全射準同型になるから。 アフィンスキームがすごいと思える簡単な例を教えてください X=Spec K[x,y]/(xy)は可約なアフィンスキームである。
これは、X=V(x)UV(y)でV(x)がXでなくV(y)もXでないから。
さらに
V(x)同型k[y]、V(y)同型k[x]であることもわかる。←ここがわからないのです。教えてください >>123
全射な環の準同型
k[x,y]/(xy)→(k[x,y]/(xy))/(x)=k[y]
は位相同型V(x)=Spec k[y] を導くみたいな命題が前の方にあるんじゃないか >>123
>>V(x)同型k[y]、V(y)同型k[x]であることもわかる。
ソースは？
"位相同型V(x)=Spec k[y]"はよいが >>125
間違えましたV(x)=spec k[y]です
これはスキームの何を使って出てきたものなのでしょうか？
どうゆう原理なのかわからないです (x＋(xy))を含むk[x,y]/(xy)の素イデアルとk[x,y]/(xy)/(x+(xy))= k[x,y]/(xy)/(x)/(xy)=k[x,y]/(x)=k[y]の素イデアルが1対1だからという事ですか？
これであっていますか？ V(x)=V(xy)∩V(x) = V(xy,x) =V(x)=spec(k[x,y]/(x))=speck[y]
やろ 『ベーシック圏論』の1.3 自然変換のところで、例として、有限次元ベクトル空間の圏(FDVECT)における、恒等関手から二重双対関手への自然変換が挙げられています
そこで、
>以上は恒等関手から二重双対関手への自然変換を定める。（中略）。定義1.3.2の言葉を用いるならば、Vについて自然にV≅V^{**}が成り立つ。
>このことは圏論が直感を正確にする場面の一つである。非形式的な意味で、有限次元線形空間とその二重双対の間のこの同型が「自然」あるいは「標準的」であることは圏論を学ぶ前では明白だった。
>(定義するのに恣意的な選択が不要だったから)。
>反対にVとその一重双対V^*の間の同型を指定するには恣意的な基底の変換が選択で、同型は本当に基底の選択に依存する。
という記述があります。
二重双対の場合に自然変換があるということは説明されている一方一重双対の場合の自然変換についての事情は説明されていなくて
「このことは圏論が直感を正確にする場面の一つである。」ということの理屈について理解しかねているのですが、
・Vとその一重双対V^*の間の同型を指定するためには恣意的な基底の選択が必要なことと対応して、Vとその一重双対V^*の間の同型と対応するような自然変換は存在しない
ということなのか、
・Vとその一重双対V^*の間の同型と対応するような自然変換を定めるには、Vとその一重双対V^*の間の同型を指定する際と同様に、恣意的な基底の選択が必要
ということなのかどちらかだと思うのですが、どちらですか？
それとも、どちらとも違う別の意味なんでしょうか？ V→V*, f→f ∗はcontravariant すみません、
> V→V*, f→f ∗はcontravariant
だから何なのか分かりません
V→V*, f→f ∗はcontravariant だから、二重双対の場合の恒等関手に対応する関手が取れない？ということなのかなとも考えましたが、
それはそれで
>反対にVとその一重双対V^*の間の同型を指定するには恣意的な基底の変換が選択で、同型は本当に基底の選択に依存する。
とはまた別の話なのかなという気がします >>130
そもそも共変関手と反変関手の間に自然変換は定義されないのでは？
無理矢理定義するなら、例えば2倍する自己同型について考えれば自然変換が存在しないことがわかるから前者の方が正しいかな
ここで言ってるのは、
「VとV^{**}の間に定まる同型が自然」みたいな言い方をあまり厳密な意味を考えずに使ったことがあるかもしれないが、これは圏論の言葉を用いればその同型が自然変換を定めると言うことができ、これは厳密に定義された言葉になってる、
ってことだと思う
「反対に」ってのは「恣意的な選択が不要だった」ことに対して言ってるように思うので、>>130で書いてある分を読んだ限りでは少し話が逸れてしまってる印象。
ベシ圏読んだことないから的外れなこと言ってたらすまんが。 >>133
ありがとうございます、レスをいただいて再度考えました
表現をお借りして言うと、
(1)「VとV^{**}の間に定まる同型が自然」という言い方をしていたものを圏論の言葉を用いて言うと「A」ということができる
(2)「VとV^{*}の間に定まる同型が自然でない」という言い方をしていたものを圏論の言葉を用いて言うと（V^{**}とV^{*}を適宜置き換えた上で）「Aの否定」ということができる
(3)「VとV^{**}の間に定まる同型が自然」ということと「A」ということの関係
(4)「VとV^{*}の間に定まる同型が自然でない」ということと「Aの否定」ということの関係
というあたりが理解できると「このことは圏論が直感を正確にする場面の一つである。」という記述が腑に落ちるのかなと思いました
そのうえで、言葉遣いの問題なのでちょっと屁理屈のようになってしまうのですが、
>「VとV^{**}の間に定まる同型が自然」みたいな言い方をあまり厳密な意味を考えずに使ったことがあるかもしれないが、これは圏論の言葉を用いればその同型が自然変換を定めると言うことができ、これは厳密に定義された言葉になってる、
において、どのような自然変換かを全く指定せず単に「その同型が自然変換を定める」と言ってしまうと、
Vとその一重双対V^*の間の同型により反変関手が定まりますが、この反変関手とそれ自身の間の恒等自然変換は存在するため、
Vとその一重双対V^*の間の同型についても「Vとその一重双対V^*の間の同型が自然変換を定める」と言えてしまい、問題があるように思います
一方、「その同型が自然変換を定める」をより正確に言葉を費やすと「恒等関手とその同型により定まる二重双対関手との間に自然変換が定まる」という感じになるのかなと思いますが、
この場合、対応する上記の（２）としては
「VとV^{*}の間に定まる同型が自然でない」という言い方をしていたものを、圏論の言葉を用いて言うと「恒等関手とその同型により定まる一重双対関手との間に自然変換が定まらない」と言うことができる
ということになると思います
しかしここで「恒等関手とその同型により定まる一重双対関手との間に自然変換が定まらない」のが「共変関手と反変関手の間に自然変換は定義されない」からだとすると、上記の(4)の関係が特に無いように思えてしまいます >>134
>上記の(4)の関係が特に無いように思えてしまいます
どうあれば君にとってあるいは他の人にも「自然」に思えるように定義できるかを説明して >>134
どうあれば自然と思えるかは（特に他の人にとっては、という部分は）分かりませんが、
>「このことは圏論が直感を正確にする場面の一つである。」
と言われた場合に、「直感」と「圏論により正確にされたもの」の間に何かしらの関係があると期待するのは自然じゃないでしょうか？ アンカー間違えました
>>134ではなく>>135宛です >>136
漠然としていてそれでは分からない
自然変換は
2つのファンクターF,Gについて
n(X):F(X)→G(X)
F(f):↓ G(f):↓
n(Y):F(Y)→G(Y)
を可換にするように定義されるnのこと
という具合に示して >>138
自然変換とは異なるものを説明しろと言われているので、自然変換と同じようにしめしてと言われても無理です >>139
だから自然変換とは別のモノで君が自然と思えるモノは何かをこういう風に示して 君が『自然』と思えるモノを他人に忖度させようとしても無理だってことだよ
まずは自分で
どうあれば『自然』なのかを突き詰めて考えて
数学は主張する学問なんだよ >>140
そもそもよく考えると質問の意味が分からなかったですが
人間の手が入ってない原生林とかですか？ >>141
別に自然と思うどうこうの部分を質問してるわけじゃないので的外れですね >>142
しおもな
どういうことが言えれば君が納得するのかを君自身に示して欲しいのだけど
もっと具体的に >>145
上でまとめた通り(1)～(4)について(Aの表現の内容も含めて)分かれば納得します
(3)と(4)については無いという話で終わっていいというならそれで納得します >>146
もっと具体的には言えないのね？
じゃあ
納得するまで自分で考えてねぐらいしか言えない >>147
そうですか
頂いた最初の質問から最後のコメントまで、話がかみ合ってなくてすみません >>148
何が疑問で有るのかを自分で把握できることが
疑問の解消の半分だと思うよ >>134
同型V~V*で自然変換を定めることは確かに出来る
ただ、その同型の取り方によって準同型fが移される先が変わるので実用性に欠ける そういう意味で不自然 自然変換はCからDへの関手からCからDへの関手への対応だから
恒等関手がFinVect→FinVectなのに対して(-)^*はFinVect^Op→FinVectなので定義から自然になりえない
確かに歴史的には自然という言葉が先にあって圏論で後から定義されたが、そういう数学史とは切り分けたほうが分かりやすい >>150
>同型V~V*で自然変換を定めることは確かに出来る
どうやって？ >>154
f:V→V:f(x)=2x
はどうするの？これ>>133で指摘されてることだけど >>151に書いたように定義上自然変換にならない
多分古い和書で「具体例を見てみると基底に依存するから～」なんて説明で学ぶから自然の意味が理解できてないんだろう 「f の下積分 + g の下積分」と「f + g の下積分」の間に何か関係はありますか？ ｈｔｔｐｓ：／／ｓ．ｋｏｔａ２．ｎｅｔ／１６６０５４２３４２．ｊｐｇ
↑この（A）の前に付いてる文字は何と呼びますか？
また、これは何語ですか？ >>134
まずVにV^*を対応させる反変関手（Fとする）についてだけど、これはVとV^*から定まるものではないし、それはF^2についても同様だよ。
それに「VとV^{**}の間に定まる同型が自然」ってのは適切な同型が恒等関手IとF^2の間の自然変換を定めるって意味だから、ここでFとFの間の自然変換の話が出てくるのはお門違い。
後、最後のところは共変関手と反変関手の間に自然変換は定義されないのが理由というより、133で書いたように無理矢理定義するとそのような「自然変換」が存在しないという方が理由。
基底を取ることによって定まるVとV^*の間の同型はIとFの間の「自然変換」を定めない、というのが(4)に対する説明のつもりなんだけど、まだ釈然としないかな？ すみません、中学生なんですがこの問題をどうやって解けばいいか教えてください。
数量の比率が1:3:5で単価の比率が3:4:5のA,B,Cの商品を仕入れた。この商品に一定の利益率を見込んで定価をつけたが、A商品は定価どおり販売し、B商品は定価の3分引きで、C商品は定価の1割引でそれぞれを販売したところ、利益総額が2,842,812になった。B商品の売価はいくらであったか。ただし、C商品の仕入数量1,750個であり、A商品の単価は2,700円であった。
●仕入数量がA→350個、B→1050個、C→1,750個
●仕入単価がA→2,700円、B→3,600円、C→4,500円
なことは分かったんですがこのあと、どうやって解けばいいのかがわかりません。
たぶん連立方程式を使うような気がするんですけど、よろしくお願いいたしますm(_ _)m >>161
ありがとうございます、大変スッキリしました。
ちなみに画像のURLが大文字なのは、元々の小文字のままでは投稿できず、大文字にせざるを得なかったからでした。
お手を煩わせてしまい申し訳ございませんでした。 >>164
すみません。
なんとか売れた個数をx,y,zにするとか、利益率が一定なので利益率をxにしたりとか、なんとか総売上原価をだせないかとか考えたんですけど、どうしても分からないです。 A商品の数量 = n
B商品の数量 = 3*n
C商品の数量 = 5*n
A商品の仕入れ単価 = 3*p
B商品の仕入れ単価 = 4*p
c商品の仕入れ単価 = 5*p
A商品の定価 = 3*p*r
B商品の定価 = 4*p*r
C商品の定価 = 5*p*r
とする．
売上 = (3*p*r) * n + (4*p*r*(97/100)) * (3*n) + (5*p*r*(9/10)) * (5*n)
仕入れ価格 = (3*p) * n + (4*p) * (3*n) + (5*p) * (5*n)
5*n = 1750
3*p = 2700
売上 - 仕入れ価格 = 2842812
4*p*r*(97/100) = 4*900*(33/25)*(97/100) = 115236/25 >>166
ありがとうございます。
分からない数字をきちんと文字にしていけば解けんですね。途中で諦めてた部分がありました。ありがとうございました。 素因数分解のアルゴリズムを、
「まったく実用にならないほど次数は高いが一応多項式時間のアルゴリズム」という方向で
研究を進める人ってやっぱり少なかったりするんでしょうか
そういう方向でも難しいであろうことが想像ついてたりするのかしないのか
暗号への応用のノイズにかき消されて研究者達の考えの相場がわかりません A := {(x, y) | x > 0 かつ y > 0}
f(x, y) := 1/[(x^2 + √x)*(y^2 + √y)]
とする．
f が A 上で積分可能であることを証明せよ． 暗号が脅かされるほどの実用的なアルゴリズムはおそらくないのでしょう
知りたいのは「実用的ではないが多項式時間」というのが研究されてるかどうかです >>169
あ，わかりました．4つの領域に分割すればいいですね． >>168
やはり無理っぽいとみんな思ってるんじゃないの？
全く手の出しようもない Z係数のホモロジー群が全て消える事は，Q係数とZ/p係数(pは全ての素数)で全て消える事と等しいという事の
ホモロジーの普遍係数定理を使った証明を読みました
以下のp.266(PDFではp.275)のCor3A.7
http://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/AT+.pdf
これを真似してZ係数のホモロジー群が全て消える事と，Q係数とZ/p係数のコホロロジー群が全て消える事が等しいという事実を
コホモロジーの普遍係数定理を用いて示せないかと考えているのですが上手くいきません
(上の主張を使えば事実としては明らかですが代数の演習としてやろうとしています)
方針としては
「アーベル群AがHom(A,Q)=Hom(A,Z/p)=0かつExt(A,Q)=Ext(A,Z/p)=0を満たす時にA=0」
が言えれば良いのですが
完全列0→Z→Q→Q/Z→0を使って
0→Hom(A,Z)→Hom(A,Q)→Hom(A,Q/Z)→…よりHom(A,Z)=0であり
完全列0→Z→Z→Z/p→0を使って
…→Hom(A,Z/p)→Ext(A,Z)→Ext(A,Z)→Ext(A,Z/p)→0よりExt(A,Z)はねじれなし
である事まではわかりましたがこの先で詰まっています
わかる方いたら教えて下さい 夏なのでよろしく。
小室直樹ゼミでやっていた大学数学をフォローしたいんだけど
Google先生とWikipedia先生とコトバンク先生と数学系YouTube
先生とTwitter検索と5chでほぼ独学で勉強できないかな？
高校の白チャートは買って揃えた。
野口悠紀雄の超勉強法のパラシュート学習法とわんこら式学習法で
挑戦してみたいんだけど。 小室直樹が数学を解説してる本があるからそれを読んだら？
経済数学と統計学に関してはちゃんとしたことを書いてるはず。存在定理の話が面白かった記憶がある。 「アーベル群AがHom(A,Q)=Hom(A,Z/p)=0かつExt(A,Q)=Ext(A,Z/p)=0を満たす時にA=0」
コレでいいならAがℤ加群ならℚ、ℚ/ℤがinjective cogeneratorである事を利用すれば良い
injective である事は任意の0でないn∈ℤからできるn倍写像の完全列
0 → nℤ → ℤ → ℤ → 0
がHom(-,ℚ), Hom(-,ℚ/ℤ)で完全性が保たれる事からわかる
cogeneratorであることはM≠0を任意のℤ加群とすると部分加群mℤでmがねじれ元ならℤ/pℤへの、ねじれ元でないならℤへの単射が構成できてそこからℚかℚ/ℤへの単射ができて、それをMへ拡張すればいい 多重積分の変換則について
∫∫...∫{M’} F(X) dX1.dX2...dXn = ∫∫...∫{M} F(X(x)) det(∂Xi/∂xj) dx1.dx2...dxn
変換: x → X が線形なら "分かる" んですが、これがグニャグニャな曲線変換だと
各地点の体積素片を線形近似で変形させて集めれば、まあそうなるだろう
近似からの差分は極限操作で消えるはず・・・たぶん
この辺りをどの教科書で勉強したかは忘れましたが、こういう雰囲気解説の域を出ていなかったと思います
雑理解なままなのが嫌なので "まともな" 証明が載ってる良い本があれば教えてください >>177
James R. Munkres著『Analysis on Manifolds』 >>177
その雰囲気解説で問題ないってことが理解できれば免許皆伝
コツは
小さくしていくのを外から眺めるのでは無く
自分が小さくなっていく＝外部がどんどん大きくなると考えること
接線でも
外部から考えて
曲線と直線が接していると水煮
曲線がどんどん拡大して直線に一致していくと考えるのがよい y=f(x)=x^2のx=1での接線は
このグラフを平行移動して
y+1=f(x+1)
y=(x+1)^2-1=x^2+2x
をk倍に拡大すると
y/k=(x/k)^2+2(x/k)
y=x^2/k+2x
のk→∞の極限が
y=2x
なので平行移動させて
y-1=2(x-1)
y=2x-1
と考えるべき 超準解析で正当化された無限小解析こそが
微積の本質的理解の要諦 >>176
ありがとうございます
調べながらなんとか理解できました
cogeneratorなんていう便利な概念があるんですね >>175
レス、ありがとうございます。
数学本を何冊か、出されていますね。
読んでみます。 James R. Munkres著『Analysis on Manifolds』
広義積分を関数の定義域が開集合の場合のみしか考えていません．
しかも関数は開集合上で連続関数という制限を課しています．
これは一般的ですか？ 一般的じゃなかったらなんなの？
寧ろ違う視点から書かれてるものの方が著者の工夫なり考え方なりが感じられて面白いと思うが
どれもこれも「一般的な書き方」なら複数本読む必要性もないわ
まあ>>187程度で一般的も糞もないけど、制限したなら制限したなりに論理構造が簡単になってたりするんじゃないのかと その後，
A を有界な開集合
f を A 上の有界な連続関数
とすると，
広義積分 ∫_A f は常に存在する．
通常の積分 ∫_A f は存在するとは限らないが，存在すれば，それは広義積分 ∫_A f と一致する．
という定理を証明しています． 杉浦光夫さんの本での広義積分の定義はややこしいですね．
Munkresさんの定義は非常に分かりやすいですが，ややこしい杉浦さんの定義の利点は
なんですか？ Munkresさんの本を読んでしまうと，杉浦さんの本のようなややこしい本は読みたくなくなります． 杉浦解析入門Ⅰ、Ⅱを読んで見たら意外に役立つけどな
あそこまでまとめて細かく書いてあるとは思わなかった Michael Spivakさんって2020年10月に亡くなってたんですね．
物理の本の第2巻はもう出ないですね． Michael David Spivak[1] (25 May 1940 – 1 October 2020)[2][3] was an American mathematician specializing in differential geometry, an expositor of mathematics, and the founder of Publish-or-Perish Press. Spivak was the author of the five-volume A Comprehensive Introduction to Differential Geometry. Partitions of Unityって，作るまでの過程が泥臭すぎますね． 足立正久というトポロジーの先生は
マンクレスと読んでらした 加藤文元著『ガロア理論12講』
ガウスの補題の証明が面白いのですが，その証明が載っている本を教えてください．
ガウスの補題を証明に使う補題（補題2.4.1）：
G(x), H(x) ∈ Z[x] として， F(x) = G(x) * H(x) とする．素数 p が F(x) のすべての係数を割り切るならば，
p は G(x) のすべての係数を割り切るか，あるいは H(x) のすべての係数を割り切る．
ガウスの補題：
f(x) ∈ Z[x] が Q 上可約であるとする．このとき，定数でない Z[x] の元 g(x), h(x) で，
f(x) = g(x) * h(x) を満たすようなものが存在する．
b*g(x) ∈ Z[x] となるような正の b ∈ Z が存在する．
c*h(x) ∈ Z[x] となるような正の c ∈ Z が存在する．
a := b*c とおく．
G(x) := b*g(x) とおく．
H(x) := c*h(x) とおく．
a*f(x) = G(x) * H(X) が成り立つ．
a = 1 ならば，ガウスの補題が成り立つ．
a > 1 ならば， p1 | a となる素数 p1 が存在する．
a = p1 * a1 とする．
補題2.4.1により，「G(x) の係数はすべて p1 で割り切れる」または「H(x) の係数はすべて p1 で割り切れる」
のうち少なくとも一方が成り立つ．
前者が成り立つならば，G(x) := G(x)/p1 とする．
後者が成り立つならば，H(x) := H(x)/p1 とする．
a1*f(x) = G(x)*H(X) が成り立つ．
a1 = 1 ならばガウスの補題が成り立つ．
a1 > 1 ならば， p2 | a1 となる素数 p2 が存在する．
a1 = p2 * a2 とする．
補題2.4.1により，「G(x) の係数はすべて p2 で割り切れる」または「H(x) の係数はすべて p2 で割り切れる」
のうち少なくとも一方が成り立つ．
前者が成り立つならば，G(x) := G(x)/p2 とする．
後者が成り立つならば，H(x) := H(x)/p2 とする．
a2*f(x) = G(x)*H(X) が成り立つ．
a2 = 1 ならばガウスの補題が成り立つ．
a2 > 1 ならば，…
a > a1 > a2 > … だからいつかは a_l = 1 となる．
そのとき，
a_l*f(x) = f(x) = G(x) * H(x) が成り立つ． 加藤文元著『ガロア理論12講』
体の自己同型の定義ですが，
φ(a + b) = φ(a) + φ(b)
φ(a * b) = φ(a) * φ(b)
φ(1) = 1
を満たす全単射として定義されています．
φ(1) = 1
は導けるので無駄な条件ですよね． φ(1)=φ(1*1)=φ(1)*φ(1)
体は乗法逆元φ(1)^-1が存在するので両辺かけて
1=φ(1)
確かに冗長だな
導けることを書いたほうが勉強にはなる 1あり環としての準同型、かつ全単射
って言ってるんじゃないの スキーム(X,Ox)でOx(X)←はどんな環ですか。よくわかりません。 X=SpecAのときはOX(D(f))≡Afで、
X=X-φ=X-V(1)=D(1)
OX(X)≡A1=A アフィンスキームじゃないスキーム(X,Ox)の時はOx(X)はどんな環ですか？ アフィンサブスキームU⊂Xを動かすときのOx(U)の射影極限 スキーム(Z,Oz)、アフィンスキーム(specR,OspecR)に対して
Hom(sch)(Z,specR)全単射Hom(ring)(R,Oz(Z))なんですが
Hom(sch)(SpecR,Z)全単射Hom(ring)(Oz(Z),R)は成り立つでしょうか？ ああ、Z = ℙ¹(ℂ)、R=ℂとかでもうダメやん k[t]/(t^2)の(t)による局所化がどんなものかわかりません。
教えていただけないでしょうか。あと導き方も。 >>221
なりますね
k[t]/(t^2)自身(t)が唯一の極大イデアルである局所環だから
あるいはat+b (b≠0)の逆元をt^2=0に注意して素手で計算できますから ありがとうございます。
「mを唯一の極大イデアルに持つ局所環のmによる局所化は自分自身になる。」みたいな定理ってありますか？ そりゃそもそも
R→SがRの局所化
⇔
1) Sは局所環
2) 任意の局所環TとR→Tに対してR→TはR→Sを一意に通過する
なんだからRが元々局所環ならS=R、R→Sはidが局所化になるのは当たり前やん？
元々局所環なのに局所化もへったくれもない >>222
下半分が理解できました。a+bt/c+dt,(cは0じゃない)みたいな形してるから、元のやつの逆元が計算できることに対応してるみたいな感じってことですね >>224
その局所化の定義みたいなのはわからないですけど、そうだということは当たり前だと覚えておきます。 補題2-10
A ⊂ R^n を長方形とする．
f : A → R^n を連続微分可能とする．
A のすべての内点 x に対して， |D_j f^i(x)| ≦ M が成り立つような数 M が存在するならば，
|f(x) - f(y)| ≦ n^2 * M * |x - y|
がすべての x, y ∈ A に対して成り立つ． >>230
は， Michael Spivak著『Calculus on Manifolds』に書いてある補題です．
D_j f^i は連続関数なので， A 上で最大値最小値をとります．
ですので，補題2-10での M は常に存在すると思います． >>230
の補題のステートメントは間違っているということですか？ 絶好調なら「fは微分可能であれば十分です」とか言いそう >>230
結論として，著者の頭の中では A は開長方形なんだと思います．
ですが，そうだとすると，「A のすべての内点 x に対して」というのが奇妙な表現ということになります．
「A のすべての点 x に対して」と書けば十分だからです． その本持ってないから知らんけど長方形=2次元区間で開とも閉とも限ってないんじゃない？ 境界上では有界云々以前に微分すらできないときもある >>232を受けて>>233ということは、一応自分がどのように思われてるかの認識はあるようだね
自分の能力を棚に上げた著者批判も、卑劣な行為だと理解した上でやってたことなのかな 関数解析の教科書(自習で使う)って何かいい物ありますか？
調べてみた感じ岩波の「関数解析」(岡本/中村)がよさそうですけどどう思いますか？ Sergei OvchinnilovのFunctional Analysis: An Introductory Courseとか好きだな
何を読むか最後に決めるのは本人だからなんとも言えんけど >>230
の補題ですが，これは逆関数定理の証明に使うための補題です．
この補題の使われ方を調べるため，逆関数定理の証明を読んだのですが，この補題は以下のように書くのが自然です．
補題2-10
A ⊂ R^n を閉長方形とする．
f : A → R^n を連続微分可能とする．
M を A のすべての点 x に対して， |D_j f^i(x)| ≦ M が成り立つような数とする．
このとき，
|f(x) - f(y)| ≦ n^2 * M * |x - y|
がすべての x, y ∈ A に対して成り立つ． そこで，気になるのが，斎藤正彦さん訳の『多変数解析学』でこの補題がどのように書かれているかです．
原著をそのまま訳しておかしなことになっているのか，斎藤正彦さんが，
>>242
のように適切に書き直しているかどうかです． そのまま，理解せずにただ訳しただけなのか，理解して訳していたかが，ここを見れば
判定できると思います．
斎藤正彦訳『多変数解析学』を持っている人はいませんか？ Michael Spivakさんの逆関数定理の証明ですが，非常に巧妙な証明ですね．
逆関数定理の本質的に異なると考えられる証明ってどれくらいあるんですか？ >>248
平方剰余の相互法則の証明と比べると
比較にならない ステートメントが真に本質的な部分で弱くなってる
そういう基本的な事がいつまで経っても分からんアンポンタン
しょうもない重箱の隅にしか目が入ってないからそういう重要な話のポイントは何一つ頭に入ってない で，この補題を逆関数定理の証明で使う際には，閉長方形に対して適用しているわけですね． 論点と違うけど、n^2の部分ってn^(3/2)にできない？
||f(x)-f(y)||≦|f^1(x)-f^1(y)|+…+ |f^n(x)-f^n(y)|の代わりに
||f(x)-f(y)|| =√ ((f^1(x)-f^1(y))^2+…+ (f^n(x)-f^n(y))^2)に不等式を使えばnが√nになると思うんだけど >>230
この補題ですが，わずかでも一般化すると嬉しいという数学者のセコさがあらわれていますね．
金持ちが，小銭をもらって喜んでいるような感じですね． 境界上での偏微分の定義とか、境界を持つ領域上の関数が連続微分可能であることの定義はどうなってるの？ >>255
It is convenient to define a function f : R^n → R^m to be differentiable on A
if f is differentiable at a for each a ∈ A. If f : A → R^m, then f is called differentiable
if f can be extended to a differential function on some open set containing A. 訂正します：
>>255
It is convenient to define a function f : R^n → R^m to be differentiable on A
if f is differentiable at a for each a ∈ A. If f : A → R^m, then f is called differentiable
if f can be extended to a differentiable function on some open set containing A. 境界上での偏微分は定義してないの？
だとしたらそこを避けるためにAの内点に限って条件を書いたんじゃないの？ 「(X,O)がT3空間のとき、Xの部分集合Aも部分空間としてT3空間」を次のように証明しましたが、合っていますか？
T3空間は点x∈Xと閉集合F⊂Xがx/∈F(/∈は∈の否定) を満たすならば,
つねに開集合U,Vがx∈U, F⊂V, U∩V=фを満たすように存在することと定義します。
x∈A, F⊂A、x/∈F、Fは部分空間Aでの閉集合とする。
Xの開集合VがあってA-F=V∩Aとなるので
F=A-V∩A=X∩A-V∩A=(X-V)∩A=G∩A、GはXの閉集合と表せる。
x/∈Fだからx/∈G
(X,O)がT3空間なのでXの開集合U1、U2があって、x∈U1、G⊂U2、U1∩U2=фとできる。
x∈U1∩A、F⊂U2∩A、(U1∩A)∩(U2∩A)=ф
となるのでXの部分集合Aも部分空間としてT3空間である。 >>258
普通はそうやろ
あくまで微分が定義されるのは内点のみ、特殊な事情でどうしても境界上で微分しなきゃならない時はするけどそっちの方が例外
だから「全体で連続、内点で微分可能」なんてごくありきたりの設定
そんなもん高校で平均値の定理が出てきたところで既に出てる話
その時点でで気付けよアホかつて話 supノルムを使う為にf’が有界であってほしい時に閉区間上のC^1級関数を考えたりはする James R. Munkres著『Analysis on Manifolds』
>>187,190
変数変換の定理ですが，広義積分に対して，証明しています． 訂正します：
James R. Munkres著『Analysis on Manifolds』
>>187,190
変数変換の定理ですが，広義積分に対してのみ，証明しています． その理由として，以下です：
One reason is that the extended integral is actually easier to work with in this context
than the ordinary integral. The other is that even in elementary problems one often
needs to use the substitution rule in a situation where Theorem 17.1 does not apply,
as Example 2 shows.
杉浦光夫さんの本ではどうなっていますか？ 俳優の杉浦直樹さんのいとこの杉浦光夫さんの本は，細かすぎて本当に使いにくいですよね．
齋藤正彦は，政治家の宮澤喜一さんのいとこですね． >>282
閉領域で微分可能とするには結局厳密には
「その閉領域を含むある開領域で微分可能」とするしかない
しかしそれを前提条件とすると本質的に条件がかなりキツくなる
そんな事まで要求してしまったら
「f(x) = √(1-x²)でf(1) = f(-1) =0だからロルの定理よりあるcでf'(c)=0」もダメになる
そしてこの“内点で微分可能、全体で連続”というセットアップは数学において繰り返し繰り返し発生する状況でそのような状況で使えるように準備しておく事は決して“無用な拡張”をしてるわけではない
むしろ難しい関数を”なめらかな関数の境界になってる関数”と捉えて解析するのは数学の中心的手法と言っていい
数学ある程度勉強してわからんのはもう才能ない >>269
>>268 の言いたいことは、『才能があるかないかという質問に対する答え』ではなく、
『お前には才能ないからもう数学はやめろ』という忠告ではないだろうか。 ∫_{0}^{1} ∫_{0}^{1} √(x^2 + y^2) dy dx について考える．
f(x, y) = √(x^2 + y^2) とおく．
f(x, y) = y (x = 0 のとき)
f(x, y) = √(x^2 + y^2) (x ≠ 0 のとき)
です．
f(x, y) は x が 0 であるかそうでないかによって，全く別のタイプの関数になります．
ですが， ∫_{0}^{1} √(x^2 + y^2) dy は x の連続関数になるので，
g(x) = ∫_{0}^{1} √(x^2 + y^2) dy を x ≠ 0 のときにのみ，計算して
∫_{0}^{1} g(x) dx を計算すれば，
∫_{0}^{1} ∫_{0}^{1} √(x^2 + y^2) dy dx が求まります．
これって，なんか不思議じゃないですか？ 訂正します：
∫_{0}^{1} ∫_{0}^{1} √(x^2 + y^2) dy dx について考える．
f(x, y) = √(x^2 + y^2) とおく．
f(x, y) = y (x = 0 のとき)
f(x, y) = √(x^2 + y^2) (x ≠ 0 のとき)
です．
f(x, y) は x が 0 であるかそうでないかによって，全く別のタイプの y の関数になります．
ですが， ∫_{0}^{1} √(x^2 + y^2) dy は x の連続関数になるので，
g(x) = ∫_{0}^{1} √(x^2 + y^2) dy を x ≠ 0 のときにのみ，計算して
∫_{0}^{1} g(x) dx を計算すれば，
∫_{0}^{1} ∫_{0}^{1} √(x^2 + y^2) dy dx が求まります．
これって，なんか不思議じゃないですか？ g(y) = y
と
g(y) = √(1 + y^2)
では全くタイプのことなる関数ですよね． >>277
y=√(0+y^2)
では？君の疑問の出所「タイプ」を突き詰めて考えないと y と 無理関数 √(a^2 + y^2) は明らかにタイプが異なる関数です． 以下の定理は重要だと思うのですが，書いていない本が多いですね．
なぜでしょうか？
例えば，Michael Spivak著『Calculus 4th Edition』には書いてあります．
f が区間 [a, b] で積分可能であるとする．
このとき，
F(x) := ∫_{a}^{x} f(t) dt は [a, b] で連続である． f が連続関数ならば， F(x) は微分可能なので，もちろん連続です．
ですが， f が不連続関数の場合には， F(x) が連続であるというのはそれほど自明ではありません． 齋藤正彦さんの本と野村隆昭さんの本には書いてありませんでした． あ，書いてある本のほうが多いかもしれませんね．
連続関数の積分に限定している本には書いていないということですかね． Stephen Abbott著『Understanding Analysis』
売れ筋の本のようですが，どこがいいのか分かりません．
１変数のみですし，演習問題が多すぎます． 講義で教科書に使っていて、試験は演習問題から出る
というシチュエーションならあり得る H.フランダース, 微分形式の理論 およびその物理科学への応用 (岩波書店)
(原題: Harley Flanders, Differential Forms with Applications to the Physical Sciences )
p.22 の問題より
n次元ベクトル空間: V
添字組: H=(i₁,i₂,...,iₚ) { 1≦ i₁<i₂<...<iₚ ≦n }
p重ベクトル基底: σ^H := σ[i₁] ∧ σ[i₂] ∧ ... ∧ σ[iₚ] {基底ベクトル: σ[i]∈V}
として、
p重ベクトル: α = Σ{H} a[H] σ^H {a[H]∈R, ∃a[H]≠0}
を固定すると
部分ベクトル空間: M (⊂ V) { def: v∈M ⇔ α∧v=0 }
が定まります
以下を証明してください
問1. dim(M) ≦ p
問2. dim(M) = p が成り立つためには
α = u₁ ∧ u₂ ∧ ... ∧ uₚ {u₁,u₂,..,uₚ は適当な独立ベクトル}
の形に表せることが必要十分である
-----------------------------
問1.
a[H]から定まる C[n,p+1] × n 次行列 (Aとする) を考えてみたものの
dim(ker(A)) ≦ p を示す方法が分かりません
問2.
[必要性] 分からない
[十分性] w = u₁∧u₂∧...∧uₚ の時 M = span({u₁,u₂,...,uₚ}), よって dim(M)=p >>290
7次元空間の3-formくらいで
空間の基底をp,q,r,s,t,u,vとして3-form ωにおいてp∧q∧rの係数が1とする
x∈Vがx∧ω=0を満たすとする
x = ap+bq+cr+ds+et+fu+gv (a～g∈ℝ)
とする
x∧ω∧s∧t∧u = 0よりg = 0
x∧ω∧s∧t∧v = 0よりf = 0
x∧ω∧s∧u∧v = 0よりe = 0
x∧ω∧t∧u∧v = 0よりd = 0
∴ x はp,q,rではられる空間に入る
∴ { x | x∧ω=0} ⊂ <p,q,r>, dim<p,q,r> = 3
ωの他の成分の係数、例えばp∧q∧sの係数も0でないなら{ x | x∧ω=0}は<p,q,s>にも含まれるから<p,q,r>∩<p,q,s> = <p,q>に含まれ次元は２以下
一般化はご自分で >>290
問1: a[H]が0でないようなHについて、Hに出てこないような添字jに対するα∧σ[j]が1次独立であることを確かめる。
問2: Mの基底を取り、それを含むようなVの基底をとって成分表示。 再びフランダース本より (p.23)
n次元ベクトル空間: V の1次変換: A が与えられた時、
p重ベクトル空間: ∧^p V の1次変換: ∧^p A を以下のようなものと定義する
(∧^p A)(σ[i₁] ∧ σ[i₂] ∧...∧ σ[iₚ]) := Aσ[i₁] ∧ Aσ[i₂] ∧...∧ Aσ[iₚ]
Aσ[i] = Σ{j} a[i,j].σ[j]
添字組: H={i₁,i₂,..,iₚ}, K={j₁,j₂,..,jₚ}
a[H,K] := 行列a[i,j]に対して 組Hから行を 組Kから列を 拾ったp次小行列
とすると
(∧^p A)(σ^H) = Σ{K} |a[H,K]| σ^K と表せます. (フランダース本 p.15)
問.
組H行, 組K列 の成分が p次小行列式 |a[H,K]| である C[n,p]次行列
この行列式の値を求めてください.
---------------
(元の文↓だと伝わらないと思ったので補いました. 意味は同じはずです)
問. dimL=n とし, 1次変換 A: L→L が与えられたとする. 次の行列式の値を求めよ |∧^p A|
---------------
次数計算 C[n,p]* p = n*C[n-1,p-1] から
|∧^p A| = |A|^C[n-1,p-1] になると予想しましたが、正しい保証はありません
例. p=1の場合, p=nの場合 は自明です.
例. n=3, p=2 の場合
組H,K = {(12),(13),(23)} ～ {1,2,3} に読み替えて
m = matrix(3)
m[1,1] = a11*a22-a12*a21
m[1,2] = a11*a23-a13*a21
m[1,3] = a12*a23-a13*a22
m[2,1] = a11*a32-a12*a31
m[2,2] = a11*a33-a13*a31
m[2,3] = a12*a33-a13*a32
m[3,1] = a21*a32-a22*a31
m[3,2] = a21*a33-a23*a31
m[3,3] = a22*a33-a23*a32
a = [ a11,a12,a13 ; a21,a22,a23; a31,a32,a33 ]
matdet(m) - matdet(a)^(binomial(n-1,p-1))
⇒ 0
よってこの場合は正しい {PARI/GPで検算} (続き)
ランダム整数の行列を元に数値計算をしてみましたが
n=10 までは |∧^p A| = |A|^C[n-1,p-1] が成り立っている様子でした
(もちろん 証明にはなりません) >>294
あまり綺麗じゃないけど、係数体をCに拡大してAをジョルダン分解、とか？ 1≦p≦nに対してn次元実ベクトル空間ℝⁿのp重交代積の空間をVₙₚとする
M∈Mₙ(ℝ)が引き起こす写像φᴍ:Vₙₚ→Vₙₚの行列式を対応させる写像Dₙₚを考えればDₙₚはMₙの成分の多項式で書ける写像だから連続
よって今示したい関係式
Dₙₚ(M) = ( det M )^(ₙ₋₁Cₚ₋₁)‥①
は両辺共に連続
よってこの等式がMの稠密部分集合で成立していれば良い
M'ₙ = { M ∈ Mₙ | Mは相異なるn個の固有値を持つ }
とすればM'ₙはMₙで稠密、かつM'ₙで①は成立 >>296 ありがとうございます. それでいいと思います.
|a[H,K]| が上三角行列になるので 対角行列になる >>297 と同様に簡単に等式が示せますね.
例. A e^{i,j,k} = A e[i] ∧ Ae[j] ∧ Ae[k] = (λ[i] e[i] + e[i-1]) ∧ (λ[j] e[j] + e[j-1]) ∧ (λ[k] e[k] + e[k-1])
= λ[i]λ[j]λ[k] . e^{i,j,k} + ({i,j,k} より低位の項)
>>297
「M'ₙはMₙで稠密」これはどこまで自明でしょうか？ >>298
固有多項式の判別式は係数の多項式
それが0出ない空間はMₙの代数的開集合、すなわちZariski open
Mₙは既約だから任意のZariski openは稠密 >>299
すみません勉強が足りず今時点では理解が追いつかない感じですが、ありがとうございます. James R. Munkres著『Analysis on Manifolds』
変数変換の定理の証明を読んでいますが，技術的なことを細かく証明しているだけという
印象ですね．
証明ですが，6ページ半の長さです．
もちろん，その前に書いてある命題群も使うので，あまり長さに意味はありませんが． 無料で公開されているとは知りませんでした．
archive.org/details/MunkresJ.R.AnalysisOnManifoldsTotal/page/n173/mode/2up
この補題のStep 3まで読み終わりました． 変数変換の定理の証明で重要な役割をする「partitions of unity」というのも素朴な考え方ですよね．
その証明も技術的です． スキーム(X,O_X)の構造層O_Xってどんなイメージ？ >>304
O_Xはその層化と同型だから、O_X(U)はU⊆Xの点から茎の排他的和への関数の部分集合になる
これが古典的な代数幾何との類推 >>307
ありがとうございます。
スキームの層の方の準同型f#:O_Y→f*O_Xは、なんの元でどの元とどの元が対応しているんですか？ 距離化(距離付け)可能な位相空間だったら、最初から距離空間って言えばいいのに、距離化可能な位相空間って言うのは何でですか?
しっくり来る説明をしてもらっていいっすか? 同じ位相を定める異なる距離があるから
具体的な距離ではなく、あくまで距離化可能ということが純粋に位相的性質と言える 三段論法のわかり易い例を教えてください。
自分は理系なので、数学内の例ならわかるのですが、
日常的な例だとわかりません。 よろしくお願いします。 >>312
ナニナニならばナニナニってのを何か思いつく？ >>313
小学生ならば子供である
でよいでしょか？ ここまでは考えたのですが、ここからがわかりません 男は「三段論法を理解するために声を掛けた」などと供述しており… φ : R^n → R のサポートが、
{x | φ(x) ≠ 0} ではなく、 {x | φ(x) ≠ 0} の閉包と定義されるのはなぜですか？ >>317
では
「小学生ならば子どもです」（大前提）
「近所の太郎君は小学生です」（小前提）
から三段論法により
「近所の太郎君は子どもです」（帰結）
が導かれるました 親切に教えて頂いてありがとうございます。
ところで、(大前提)と(小前提)との使い分けは数学ではしないと思いますが、
必要なことなのですか？
たとえば、
「近所の太郎君は小学生です」（大前提）
「小学生ならば子どもです」（小前提）
から三段論法により
「近所の太郎君は子どもです」（帰結)
は、(大前提)と(小前提)との使い分けとしては間違いですか？ Wikipediaによると
> 古代ギリシアに由来する西洋の三段論法は、
> 大概念 - 結論において述語（P）となる概念（項）。
> 小概念 - 結論において主語（S）となる概念（項）。
> 媒概念 - 大前提・小前提で上2つの概念（項）との関係性が示される媒介的な概念（項）。中項（M）。
> という3つの項（概念）の内、2つの組み合わせ（関係性）をそれぞれ表現する、
>
> 大前提 - 大概念/述語（P）と、媒概念/中項（M）の関係性を示す命題文
> 小前提 - 小概念/主語（S）と、媒概念/中項（M）の関係性を示す命題文
> 結論 - 小概念/主語（S）と、大概念/述語（P）の関係性を示す命題文
との事なので
数学的にはこうなる
・小概念 S: 近所の太郎君
・小前提 M(S): Sは小学生です
・大前提 ∀x { M(x)→P(x) }: (任意xについて){ (xが)小学生ならば(xは)子どもです }
・結論 P(S): S[=近所の太郎君]は子どもです
汎化(∀x) されてる方を「大前提」と呼ぶのは自然に感じますね. 皆さんが親切なので、わたしもやる気が出て調べてみました。
論理の教科書によると、三段論法とは次のことのようです。
[[P→Q]∧[Q→R]]→[P→R]
そうだとすると、「近所の太郎」の例はこれに当てはまらないので
違うのではないでしょうか？ >>322
それも三段論法
これも三段論法
P∧(P→Q)→Q f:S^n→S^nが恒等写像の整数倍にホモトピックである事(π_n(S^n)=Z))の少し変わった証明法として
以下のように示せというHatcherの本の問題を考えています。
(1)fを単体近似して，q∈S^nでf^(-1)(q)は有限個の点{p_1,…p_k}からなり各p_iの近傍ではfは線形同型であるように
ホモトピーで動かして取れる
(2)gとしてqのある近傍の補集合を基点に潰す写像g:S^n→S^nを取り，合成gfを考える事でさらに(1)のk=1個の場合に帰着させよ
(3)可逆な行列は恒等行列かreflectionのどちらかに弧としてつなげる事を使って主張を示せ
という問題です。
(1)は解けたのですが(2)はこれはgfではなくfgの誤植ではないかと思ったのですが分かる方いたら教えて下さい。
fgであればgをp_iの周り以外を潰す写像とするとfgは(1)でk=1の場合になり
S^nを有限個のn-cellで分割して各n-cellにたかだか1つのp_iを含むようにすると
ホモトピー群での和を定めた時と同様に考えて
id=g_1+…g_kが言えて，これを使ってf=f。id=f。(g_1+…)としてうまくいきそうなのですが
fgではなくgfを考えて上手く示せる方法があるのでしょうか
http://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/AT+.pdf
のPDFのp.368(ページ数ではp.359)のEx15の問題です 白黒の縞模様を細かくしていくと
縞模様の中にそれとは異なる独特の歪みが生じて見えます。
あれは数学的に説明したりモデリングできるものでしょうか。 >>328
gfでも証明できるやろ
以下qは北極N、基点は南極Sとして北半球と南半球が赤道Eで繋がってるとする
q₁～qₖ全部北半球としてよい
PL構造を北半球全体があるnセルの内点になってるようにとる、すなわち北半球はある線形空間の構造か入ってるとする
各qᵢの近傍Uᵢにfを制限すると線形写像でf(Uᵢ)は赤道Eを含むとしてよい
各qᵢの近傍Uᵢとその極座標(rᵢ,θᵢ)∈(0,[1)×Sⁿ⁻¹でf(1/2,θᵢ)∈Eとなるものがとれるとしてよい
fをホモトピックにgに取り替えて
各qᵢの近傍Uᵢとその極座標(rᵢ,θᵢ)∈(0,[1)×Sⁿ⁻¹で
g(t, θ) = f(2t,θ) ( if t ≦ 1/4 )
g(1-t, θ) = f(1-2t,t) ( if t ≦ 1/4)
g(r,θ) = f(1-t,θᵢ) ( if 1/4≦ t ≦ 1/2 )
g(1/2,θᵢ) = S
となるようにとれる
さらにgᵢを
gᵢ(p) = g(p) ( if p∈Uᵢ、rᵢ(p)≦1/2)
= S ( otherwise )
で定めれは
g = g₁+...+gₖ
になってて各gᵢは±idのどっちかにHomotopicだから了って話でしょ？
そこでf→gに話をreduceするとき赤道を南極に潰す部分をq₁～qₖまで全部同じの取れますよって話しでしょ？
同じにとる必要もないけど なんJ語と数式ってどっちの方が記述できる情報量多いんですか？ >>324
>これはgfではなくfgの誤植ではないか
そうですね gとして「q」のある近傍の補集合を〜って書いてあるならgfで正しいんじゃない？
というかp_iの周り以外を潰す写像って少なくとも簡単には取れないでしょ。
p_1の周り以外を潰すときにp_2を通ってしまうみたいなことが起きるような。 ℝⁿをn次元実ベクトル空閑としSⁿをℝⁿの|p|≧1なる点を一点に潰した空間とみなす
Sⁿの基点Bはこの潰した点と定める
f : Sⁿ → Sⁿを任意にとる
fとホモトピー同値な写像と取り替えることで点Q₁‥Qₖ、正の数r, r₁‥rₖ、可逆な一次変換l₁‥lₖを
f⁻¹(O) = { Q₁, ..., Qₖ }、
f⁻¹(Bᵣ(O)) = ∪ᵢ Bᵣᵢ(Qᵢ)
f(P) = lᵢ(P - Qᵢ)、(∀P∈Bᵣᵢ(Qᵢ))
と仮定できる
連続写像g : Sⁿ→Sⁿをg(p) = p/rで定める
gはidとホモトピックである
hᵢ = gf( P ) ( if P∈Bᵣᵢ(Qᵢ) )
B ( otherwise )
で定めるとき
f ～ gf = h₁+h₂+‥+hₖ
である >>323
貴殿の見識には感服の至りです
「ソクラテスは人間で、...」という有名な「アリストテレスの三段論法」
は実は、三段論法でもモダスポネンスでもないけど、
こういうのを全部まとめて「広義の三段論法」と言おう
ということですね。 >>323
その記法だとなんだか圏論の可換図みたく見えるのは単なる印象論だけで終わる話なのだろうか？ >>332
この分野は、数学知らない哲学者たちが幅をきかせて、2000年前の習慣がいまだに続いている ｿｸﾗﾃｽは人間である
人間は必ず死ぬ
ｿｸﾗﾃｽは必ず死ぬ
確かに三段論法の典型例としてよく言われるこれって三段論法じゃないんですね
なんか衝撃です
P(x):xは人間である
Q(x):xは必ず死ぬ
∀x P(x)→Q(x)
人間は必ず死ぬ
P(ソクラテス)→Q(ソクラテス)
ソクラテスは必ず死ぬ >>335
P（ソクラテス）→Q（ソクラテス）
で終わりならその例にあってないよ
P（ソクラテス）∧（P（ソクラテス）→Q（ソクラテス））→ Q(ソクラテス）
というのがその主張で
確かに三段論法
君が言っていたのは∀除去ね
∀xP(x)→P(a) 324ですがみなさんありがとうございます。
>>331でかなり頭が整理されて分かってきました
指摘の通りfgだと問題があってやっぱりgfを考えるのが正しかったです
感謝します >>335
というか定義の問題だろ
人間の作った概念に合致してるか否かってそんな深い問題か？
単に現代人が共有してる社会通念に合致してるか否かってだけで法令の条文に書いてあるわけですらない 定言的三段論法っていうのは定義があるみたいだけど
数学におけれ三段論法っていう流通した定義はないんだから推移律を三段論法と呼んでも別におかしくない 高校数学スレが荒らされてるからこっちで聞かせて下さい
∫cos(x-(1/x))dx
の不定積分はどのようにすれば求められるのでしょうか
(xは正の実数とします)
cos(•)のテイラー展開から適切にくくっていったりすると綺麗に解けるのでしょうか？ 高校数学スレでそんなこと聞いたら燃料になるだけだわな
いろんな意味で 加藤十吉著『微分積分学原論』がヤフオクに出品されています。
ウォッチリストに登録している人の人数が20人を超えていますが、なぜそんなに人気なんですか？ 300ページ未満の薄い本ですよね。
なぜ人気なのかが不思議です。 >>341
おそらく初等関数の組み合わせなどでは表示できないのではないかと思う。
可積分性はわかってもそれが求められないなんていうのもよくあるし。 >>346
微分ガロア理論で不定積分は初等関数で表せないって分かるって 数学のとびら ルベーグ積分と測度 単行本（ソフトカバー） – 2022/2/25
山上 滋 (著)
多変数関数論 (数学のかんどころ 21) 単行本 – 2013/12/24
若林 功 (著), 飯高 茂 (編集), 中村 滋 (編集), 岡部 恒治 (編集), 桑田 孝泰 (編集)
を注文しました。
これらの本っていい本ですか？ >>344
日本数学会の出版賞の受賞者だから
人気は当然のこと >>349
図書館でパラパラと見た記憶がありますが、薄いこれといって特長のない本に見えました。
1万円を超えましたね。 348の2冊は図書館で見てから買おうとは思わなかったのか 学生じゃなければ大学の図書館使えないからな
普通の公立の図書館じゃまず置いてないだろうし >>348
その著者たちの本ならば
きっと磨き抜かれているだろう 「素粒子ではなく素角度量を考えよう
素角度量には位置すらない
ある素角度量と別の素角度量が織りなす角度が存在する
宇宙の終わり、そして静止は、あるとしたらこの素角度量の同軸的分布である
万物の根源は角運動量である」
みたいな動機で、位置ではなく角度に次元を見出したい時に使える数学はありますか 直方体で考えましょう
縦、横、高さ。3次元ですね
円筒で考えましょう
半径、角度、奥行。3次元ですね
球で考えましょう
半径、角度A、角度B。3次元ですね
角度が3つだとどうなりますか ｐは2でない素数でGはp群で位数ｐの部分群が1つだけあります。指数ｐの部分群をHとします。指数ｐの部分群は巡回群になることがわかっています。
指数ｐの部分群が他にないとしたらGは巡回群になる。
Gは巡回群になるのを教えてください。生成元でもよいです。 >>357
G/H=Zpの生成元の引き戻しをa∈Gとしたら？pa∈H=Zp^(n-1)がpa∈pZp^(n-1)なら・・・・ 最小反例を与えるGと素数pを取る
Pをpシロー群、Hを指数pの部分群とする
Hの位数を割り切る素数が2つ以上あるならH = H₁×H₂と非自明な巡回群で位数が互いに素である部分群２つの直積に分解する(∵仮定によりHは巡回群で可換)
よってπ:G→G/P→Hを自然な全射としπ⁻¹(Hᵢ)は共に前定条件を満たすことからGの最小性によりπ⁻¹(Hᵢ)は共に巡回群である
よってHᵢの生成元xᵢとPの生成元pをとればx₁x₂は可換、xᵢとpも可換、位数はすべて互いに素だからG全体が巡回群となり矛盾する
よってHの位数を割り切る素数はひとつだけである
v | |H| を素因子とする
仮定により|H| = vᵉとすればHは位数vᵉの巡回群である
Hの生成元xをとるK=<xᵛ>とすれば上と同じ要領で位数が|G|/vで条件を満たすものが構成できるからKPは巡回群でなければならない
特にxᵛとpは可換となる必要がある
よってx→pxp⁻¹によって定められるAut(H)の元σはAut(H)→Aut(K)のkernelに入らなければならないがこのkernelの位数はvでありpと互いに素である
よってσはHの単位写像でありpとxは可換である あ、そうか
難しく考えすぎやん
Pがpシロー群、Hを指数pの群とするなら仮定からPもHも正規部分群なんだからG = H×PでHもPも仮定から巡回群、位数互いに素で終わってるやん G,pを条件を満たす群と素数とする
Hを指数pの部分群とする
仮定によりHは正規部分群である
Hが中心でないとするとg∈G＼C(H)がとれる
gᵖ∈C(H)として良い
この時φ:<g>→Aut(H)をφ(x)(h) = xhx⁻¹と定めればG = H⋊<x>とかける
しかしこの時GはHの部分群である位数pの部分群と<x>自身と２つの位数pの部分群を持つことになり矛盾
∴HはGの中心
ここでg∈G＼Hでgᵖ∈HなるgがとれるがG =<g,H>でHは中心に含まれるから<x,G>は可換
∴Gは唯一の位数pの部分群を持つアーベル群
∴Gは巡回群 G,pを条件を満たす群と素数とする
Hを指数pの部分群とする
仮定によりHは正規部分群である
Hが中心でないとするとg∈G＼C(H)がとれる
gᵖ∈C(H)= Hとして良い
Hの生成元yをとってxᵖ= yⁿとなるnをとる
n = pᵉm , ( p,m ) = 1とするときm>1ならzᵐ = xとなるzがとれてxの代わりにzを取り直すことによりm = 1と仮定できる
e>1であれば(xy^(-pᵉ⁻¹))ᵖ = 1で仮定によりxy^(-pᵉ⁻¹)∈Hとなって矛盾する
よってe=1であり<x>=Gである□ ↓ これって高校の知識で解けますか？
今、ともひこ君はガチャの「課金石を2000個買って特典ゲット」
をしようとしている。
そこで課金石をパック買いで小分けにして
最安値で満たすやり方を求めようとしている。
課金パックの買い方は以下のようになっており、大量セットほど単価が安くなる。
パックA { 50個 ,70円} を a回、
パックB { 100個 ,130円} を b回、
パックC { 250個 ,300円} を c回…
パックZ { 4000個 ,4400円} を z回 買う。
…というように。
ここでは、簡略化してパックCまでとする。
そうすると、3変数の2つの関数で表される (変数 a,b,c ∈ N+ である)
式の1… S(Stock) 購入する課金石数 =
s(a,b,c) = 50a + 100b + 250c
式の2… P(Price) 支払う総額 =
p(a,b,c) = 70a + 130b + 300c
・S = s(a,b,c) >= 2000 という条件を満たす。
・この時、価格 を最小値とするような
P = p(a,b,c) --> min. とするような (a,b,c) の組を求めよ。
追記:
今回は変数が正の自然数3つだけですが、
もしも変数が a,b,c,d,e と5つになった場合でも同じ手法で解けますか？ >>365
2変数ならば、高校で解けるっていうのは分かる。
関数を平面に描けるし、変数は 正の自然数 っていう条件のおかげで
どれを何パック買うのかは求められる。
しかし、3変数とか5変数とかって 大学レベルよな 変数の値が入ってるとして変数減らして考えていくでイイよ これが典型的な線形計画法
受験数学で「それ線形計画法ちゃう」ってのに“線形計画法”ってアホタイトル付けてるyoutube動画いっぱいあるけどこれが線形計画法の大元
単体法でグクったらいっぱい出てくる 石を2100個買って100個は捨てるなり何なりと、とかはナシなの？ >>367-369
思い出した、オペレーションズ・リサーチとか
線形計画とかいう類の奴だ！
変数の値が入っているとして…って
変数が5変数とか7変数だったらどうすんですか。
場合分けなんかしてたら、手で計算できねぇ。
>>369
2100個くらいならOKです。
2000個に対して100個超過ですが、それで
費用Pが「Pの最小値」に近いのであれば許容範囲です。 >>370
5個くらいなら単体法で手計算でできる範囲かもね
それくらいが普通大学の試験とかでやらされる範囲かな
それ以上は計算機かな tan15° = √{(1-cos30°)/(1+cos30°)} = √{(1-√3/2)/(1+√3/2)} = 2 - √3
tan7.5° = √{(1-1/√(tan²15°+1))/(1+1/√(tan²15°+1))} = ( √(tan²15°+1) - 1 )/ tan15° = ... = √2 -√3 +√6 -2
tan67.5° = √{(1-cos135°)/(1+cos135°)} = √{(1+1/√2)/(1-1/√2)} = √2 + 1
...
何が言いたいかというと、こういった三角関数値が有名角(30°,60°,90°, ... ) でなくても比較的単純に表せる角度の一覧リストが欲しいです
どこかWEBサイトや書籍に載ってないでしょうか？ >>373
ありがとうございます、こういうのを見たかったんです >>372
π/5とπ/12ができるからπ/60行ける
π/120はどうするかね
半角？でも半角使うならπ/240もπ/480も・・・ ここで質問するかは微妙なんですけど…
YouTuber謎の数学者って何者なんですか？
今後は阪大で教鞭をとるようですが… 無限公理から無限集合の存在は言えるけど、そこから自然数の集合Nに相当するようなものが存在することを示すのってどうやるの？ 無理数 √p について、
その前後にあるもっとも近い有理数をqをとする。
√p と q の距離を 「√pの有理数への距離」 とよぶ。
√2 の有理数への距離 s、
√6の有理数への距離 t を考える。
sとt はどちらが大きいか？
(つまり、√2と√6のどちらが 「有理数から離れている」 か？) >>380
有理数の稠密性からどちらも0
例えば√2に近づく有理数ksらなる列として
a[1]=1.4、a[2]=1.41、a[3]=1.414、a[4]=…
というものを考えれば|√2-a[n]|→0(n→♾)となる。
そもそも√2に最も近い有理数は記述できない。 >>381
その理屈はおかしいです。
距離0だったら |√2 -s | = 0 となり
s = √2 , s = 有理数 の2つが矛盾して破綻します。
n->∞ であっても a[n] は決して√2 に届きませんし、
微小ではあるが距離は存在します、0にはなりえません。 >>381
>そもそも√2に最も近い有理数は記述できない
存在しない
>>382
存在しないものとの距離もない
別に有理数にしなくても
正実数全体のR+と0との距離どうする？
0に最も近い正実数も存在しないが
>>381の言うように0にすべきでは？ 整数のみを考える。
a ≦ a_1 ≦ … ≦ a_n ≦ b
であるような (a_1, …, a_n) はいくつ存在するか？ 定理1：a＜b を2つの実数とするとき、開区間 (a, b) の中には必ず有理数が含まれる。
証明：有理数の稠密性から従う。
定理2：√2 の右側で最も √2 に近い有理数は存在しない。
証明：存在したとして p とする。よって、√2＜p であり、かつ p は有理数である。
定理1により、開区間 (√2, p) の中には有理数が存在する。それを1つ取って q とすれば、
√2＜q＜p であり、かつ q は有理数である。よって、q は √2 の右側にある有理数で、
しかも p より √2 に近い。これは p の定義に矛盾する。
以上により、√2 の右側で最も √2 に近い有理数は存在しない。 >>382
有理数の稠密性をわかってる上で話すと
√2に最も近い有理数が存在するとして、それをqとし、|√2-q|=s>0とする。
このとき有理数の稠密性から、区間(0,s)に含まれる有理数uが存在する。
しかしこれはsの最小性(qが最も√2に近い有理数であること)に矛盾。
なので>>383が補足してくれたように、最初の答えとしては(強いて言うなら)0とするのが妥当だと考えた。
とりあえず>>382は有理数の稠密性について勉強して下さい。 >>385
白石○を b-a 個
黒石●を n 個
用意して ○同士、●同士を区別せず横一列に並べる
その並べ方はは C(b-a+n, n) 通り
ある並べ方について
黒の中で左からi番目の●に着目し、そこから見て左側全体に計k個の○が置かれていたら
a_i = a+k と解釈する
そうすると石の並べ方と条件を満たす整数配置は一対一対応となる (少し手を動かしてみれば明らかでしょう)
よって、答えは C(b-a+n, n) 通り
例. ○○○●●●○○●○○● (a=1, b=8, n=5 の場合)
この石並びは (4, 4, 4, 6, 8) に相当する >>380
ごめんなさい、有理数の稠密性について
完全に間違っていました、設問が悪かったです。
この問いでやりたかった事は、
「ある無理数について、有理数の近似値のとりやすさ」
を有理数らしさ と定義してその比較をして欲しかったんです。
例えば、超越数の π は
22/7 と割と精度の良い有理化の近似値がありますよね？
| π - 22/7 | = 小さめ、実用的な近似値
ここで登場する、7も22も どちらも正の整数としてかなり小さいもので
小学1年生の教科書でもよく見かけるものです。
この有理数の近似値のとりやすさの話がしたかった、
これは有理数らしさが高いと言えます。
いっぽうで、√2 や √6 にはそのような良い有理数の近似値がないです。
√2 と √6 を実際に有理数で近似値をとってみると分かりますが、
そうした場合、どちらが取りやすいか？ って話です。
結論を言うと、 √6 の方が有理数の近似値をとりやすい、有理数らしさが√2より高いです。 >>389
>この有理数の近似値のとりやすさ
定義して 多倍長有理数で頑張るか、いっそ浮動小数点に移るか、って話なら確かに見極めてみたいよね √2 などを連分数へ展開して表記してみる。
でその時に、現れる数字の大きさで
「有理化しやすさ」を判断でき…ないかな >>391 >>392
連分数とディオファントス近似があるじゃん！ だんだんと見えてきたな？
目指すべきものが… ( '‘ω‘) ディオファントス近似ってウィキペディアによると「任意の無理数 α に対して、誤差が 1/y^2 以下であるような、近似有理数 x/y を求める」らしいけど、1/y^2という部分は何か理由があるの？ 誤差が1/y未満になるのは当たり前だから、その次ということで2乗にしたんかなぁ
yに対する単調減少関数は色々あるけど 鳩ノ巣論法で簡単に示せるのが | α - p/q | < 1/q² だからだろ >>401
|√2-a/b| = |√2-a/b| |√2+a/b| / |√2+a/b|
= |2-(a^2/b^2)|/ (√2+a/b)
= |2b^2-a^2| / (√2+a/b)b^2 … A
分母の |2b^2 - a^2| >= 1 … S
1/(√2 + a/b)
1 < √2 < 3/2 … P
1 < a/b < 3/2 … Q
P,Q より 2 < √2+ a/b < 3
→ 1/3 < 1/(√2+a/b) < 1/2
したがって 式は
|√2-a/b| = 1/b^2 * (1以上の数) * (1/3 ~ 1/2の数)
>1/b^2 * 1/3
係数の1/b^2 は重要やね >>404
そこのきみ、なかなかやるな ( '‘ω‘)つ irrationality measureという概念はある >>406
ちなみに、√6 で同じように計算すると
|√6-a/b| > 1/5 * (1/b^2)
が得られる。
1/素数 * (1/b^2) >>408
訊く前にじぶんで調べて。
>>409
補足ありがとうございます！ m(_ _)m >>411
「有理数の近似値のとりやすさ」なるものの定義はないから、お前が定義しろってことだぞ。そうしないと何も先に進まんぞ。
まず、とりやすさって何だよ。曖昧すぎてお前の気分でいくらでもできるし、回答つける側の感覚で変わるだろ。 >>404
そのうち、無理数α が √自然数 (２次の無理数) の場合は
もっと誤差は小さく出来て、1/q^2 の半分未満で見積もれるねぇ。
|α-p/q| < {(1/q^2) * (1/2)} (αが２次の無理数ならば)
…
合ってるよな？これ なんかスレの流れが良くないから
しばらく考えを整理してから
貴様らに示すわ。 覚悟しろ。 そもそもの質問がネタやろ
どう見てもirrationality measureの事知ってて小出しに情報出してるだけやん
何が面白いのか知らんけど 「√2と√6でどちらが有理数で近似しやすいか」などと言われても、
まず最初に「近似のしやすさ」とやらを厳密に定義しないとナンセンス。
そして、「近似のしやすさ」なる指標を持ち出したのは「ともひこ」クンなのだから、
その定義を披露する責任は ともひこクンにある。
「訊く前にじぶんで調べて」という返答は問題外。
その定義を披露する責任は ともひこクンにある。
「考えを整理してから貴様らに示すから覚悟しろ」も問題外。
この話題を最初に書き込んだのは ともひこクンなのだから、
そもそも考えを整理して厳密な形で提示しておくのが大前提。
それができてない勉強不足の ともひこクンが勝手に追い詰められてるだけ。 >>411
> 訊く前にじぶんで調べて。
ワロタ。そんな概念ねーよ。 >>412
言っても無駄だよｗ
自分で思うことを表現できず
自分が期待することを他者に考えさせようとしているのが彼の人 >>389では
＞結論を言うと、 √6 の方が有理数の近似値をとりやすい、有理数らしさが√2より高いです。
と書かれているので、彼が想定している「近似のしやすさ」は irrationality measure ではないはず。 近似の精度で加点して分母の大きさで減点するような何かしらの評価をするんだろう 代数的数のirrationality measureは全部2
それ以上の細かい“近似しやすさ”を考えようとすると、そもそも正則連分数展開がどうなるか考えないといけないけど“正則連分数展開が周期的⇔２次無理数”くらいしか結果でてないやろ
もちろん三次以上でもっと何かわかるんかもしれんけど
まだまだこれからの研究ジャンルやろ 相関係数の計算公式について教えてください
n00=76; n10=4; n01=9; n11=1;
phi = (n11*n00 - n10*n01) / sqrt( (n10+n11)*(n00+n01)*(n01+n11)*(n00+n10) )
/* = 0.068599434057... */
( 出典: https://eloquentjavascript.net/04_data.html ページ中段にてリス(squirrel)とピザ(pizza)の相関係数 "phi coefficient (ϕ)" を求めています )
統計変数が真偽値 (true, false) をとる場合は 数値化 (true→1, false→ 0 ) して処理したらよい
その程度の知識はあったものの こんな簡単な式になるとは知りませんでした
定義通りに計算すると
( ただし スケールしても相殺されるので true = → +1, false → -1 の対応にした )
N = n00+n10+n01+n11;
Mx = (+n10+n11 -n00-n01)/N;
My = (+n01+n11 -n00-n10)/N;
/* Sx = sqrt( (n10+n11)*(+1 - Mx)^2 + (n00+n01)*(-1 - Mx)^2 ); Sy = ... */
Sx = sqrt( (n10+n11)*(n00+n01)^2 + (n00+n01)*(n10+n11)^2 ) * 2/ N;
Sy = sqrt( (n01+n11)*(n00+n10)^2 + (n00+n10)*(n01+n11)^2 ) * 2/N;
phi = (+n00*(-1-Mx)*(-1-My)+n10*(+1-Mx)*(-1-My)+n01*(-1-Mx)*(+1-My)+n11*(+1-Mx)*(+1-My) ) / (Sx*Sy)
/* = 0.068599434057... */
合ってはいるもののどういう式変形で冒頭の式になるのかさっぱり分かりません
数式処理ソフトに頼らず何かスマートな方法があれば教えてください (きっとありますよね？) 数体篩法の解説読んでたら、nを素因数分解したいときに
f(m)=0 mod nとなるf(x)とmを準備して、f(x)の根の一つをα∈C（複素数）とする、みたいなのが最初に出てきました
f(x)とmのペアは例えばnのm進展開を用いて準備すると説明されてたのですが、αについては単にf(x)の根の一つとしか書かれてなくて求め方が分からないのですがαはどうやって求めるんですか？
nが200桁以上ならf(x)は6次式とする、みたいな記述があるのでf(x)は一般に高次式でαは解析的に求まるものではないように思うのですが ある工事完了に必要な作業1～6について以下の制約がある。
作業2は作業1が終わるまで開始できない。
作業3は作業1が終わるまで開始できない。
作業4は作業2と3が終わるまで開始できない。
作業5は作業3が終わるまで開始できない。
作業6は作業4と5が終わるまで開始できない。
この工事はT日以内で終えねばならず、各作業iはt_i日かかる。
しかし臨時作業員を雇うことにより作業日数を減らすことができるが、
s_i日よりは少なくはできない。また、1日減らすのにm_i万円かかる。
費用を最小にする作業計画をたてよ。
minimize: 農{i=1}^{6} m_i × (t_i - x_i)
subject to:
x_1 + x_2 + x_4 + x_6 ≦ T
x_1 + x_3 + x_4 + x_6 ≦ T
x_1 + x_3 + x_5 + x_6 ≦ T
s_i ≦ x_i ≦ t_i (i = 1, …, 6)
模範解答では各作業の開始日y_iという変数も考えています。
上の解答は間違っていますか？ >>424 自己解決しました
対応は true = → +1, false → 0 の方が楽な気がします
思ってたより簡単に変形できました
計算メモ
d c
a b
N = a+b+c+d
m₁ := Σx/N= (b+c)/N
m₂ := Σy/N = (c+d)/N
s₁² := Σ(x-m₁)² = (b+c)(1-m₁)²+(a+d)(0-m₁)² = { (b+c)(a+d)²+(a+d)(b+c)² }/N² = (a+d)(b+c)/N
s₂² := Σ(y-m₂)² = (d+c)(1-m₂)²+(a+b)(0-m₂)² = { (d+c)(a+b)²+(a+b)(d+c)² }/N² = (a+b)(d+c)/N
cov₁₂ := Σ(x-m₁)(y-m₂) = Σ xy - Nm₁m₂ = ( c(a+b+c+d) - (b+c)(c+d) ) / N = (ac - bd) / N
∴ phi = cov₁₂ / (s1 s2) = (ac - bd)/√{(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)} Farkasの補題：
与えられた m×n 行列 A と m 次元ベクトル b に対して、次の一方のみが常に成り立つ。
(1) A * x = b, x ≧ 0 である x ∈ R^n が存在する。
(2) A^{T} * y ≧ 0, b^{T} * y < 0 である y ∈ R^m が存在する。
このFarkasの補題を証明するために、以下の補題を証明しています。
↓の証明では、 n_1 ≧ 0 かつ n_2 > 0 の場合にしか証明していないと思います。
ところが、著者らは、この補題の n_2 = 0 の場合がFarkasの補題であるからFarkasの補題が
成り立つと書いています。
本当に以下の証明で n_2 = 0 の場合も含めて証明されていますか？
imgur.com/tjPUnhg.jpg 例えば、 n_1 = 1, n_2 = 0 のときに補題2.2が成り立つことを補題2.2の証明法によって具体的に証明してみてください。 「素粒子ではなく素角度量を考えよう
素角度量には位置すらない
ある素角度量と別の素角度量が織りなす角度が存在する
宇宙の終わり、そして静止は、あるとしたらこの素角度量の同軸的分布である
万物の根源は角運動量である」
みたいな動機で、位置ではなく角度に次元を見出したい時に使える数学はありますか
なければ作る人はいませんか
・直方体で考えます。縦、横、高さ。3次元です。
・円筒で考えます。半径、角度、奥行。3次元です。
・球で考えます。半径、角度A、角度B。3次元です。
・角度が3つ。3次元です。いったいどのようなものがでしょう。
我々は位置には次元を見出すのに角度に次元を見出さないのはなぜでしょうか
それとも俺は何か勘違いしてますか 物理学的な意味が不明なだけで
数学的にはn次元角度量なんかは普通に存在し得るのかな、とも思いますが >>431 はいどうぞ
オレオレ記法だけどまあ伝わるでしょ
Problem:
A₁=(a₁), A₂=(), b に対して
★1: ∃x { x₁a₁ = b, x₁≧0 }
★2: ∃y { a₁・y ≧0, b・y < 0 }
( ★1 か ★2 の一方のみ成り立つ )
Proof: (n₁=0, n₂≧0 については証明済みとする)
A₁'=(), A₂=(), b に対して
case 1: b=0 ⇒ x₁=0 (★1)
case 2: b≠0 ⇒ ∃y' { b・y' < 0 } ⇒ {
case (a₁・y' ≧0): ⇒ y:=y' (★2)
case (a₁・y' <0): {
A₁'=(), Ã₂=(a₁), b に対して
case 2: ∃y{ a₁・y=0, b・y < 0 } (★2)
case 1: ∃x₀{ a₁x₀=b } , 0> y'・b = y'・(a₁x₀) = (y'・a₁)x₀ ∴ x₀ > 0 ⇒ x₁:=x₀ (★1)
}
}
(★1)∧(★2) ⇒ 0≦ x₁(a₁・y) = (x₁a₁)・y = b・y < 0 {矛盾}
両立は不可能 >>433
大学学部レベルより上だという疑いですか、下だという疑いですか >>432
角度は無次元量なんですよ
ラジアンの定義を思い出して貰えばわかると思いますけど、円周を直径で割ってますよね
長さを長さで割ってるので、次元なしです
角度の3次元バージョンに立体角とかいうのもありますけど、それも同じく無次元量です ファイバー束S^n-1→S^2n-1→S^nがあった時に射影p:S^2n-1→S^nの写像錐C_pが
多様体(できれば向き付可能性も言いたい)になる事を示したいのですがわかりません
局所的に座標が取れればよいのでq:R^2n-1→R^nという射影の写像錘の貼り合わせ箇所で考えればよさそうですがうまくいきません
また実際にはこのようなファイバー束はHopf束に限るという定理があるようですがそれは使わずに示したいです
よろしくおねがいします Cₚそのものに多様体の構造なんか入るわけないやん？
ある多様体MとS²ⁿ⁻¹→Mがあって合成Sⁿ⁻¹→Mが定数にホモトピックで誘導される写像Cₚ→Mがホモトピー同値ではないの？
少なくともオレが知ってる定義
https://en.wikipedia.org/wiki/Mapping_cone_(topology)?wprov=sfti1
では多様体の構造なぞ普通は入らないけど >>442
一般には入らなんですか
Hopf束p:S^3→S^2=CP^1の場合だとこれはCP^2の4セルの接着写像と一致していて
C_pはこの場合にはCP^2に同相なので一般にも多様体になるのかと思ったのですが
一般に多様体にならないというのはどういう点を考えればわかるんでしょうか
実際はC_pのコホモロジーの計算(pのHopf不変量が1である事を示したい)で使いたいだけなので
ご指摘の通りC_pが(向き付け可能な)多様体とホモトピー同値である事が言えれば十分です
なのでこちらの問題で分かる人いたら教えてほしいです そもそも論としてSⁿ⁻¹→S²ⁿ⁻¹だったら自明な埋め込みにホモトピックにならない？
専門外だから自信ないけど
ホモトピー同値で取り替えていいの？ 違うな
p : S²ⁿ⁻¹→Sⁿ がfibreがSⁿ⁻¹であるfibrationの時pの与えるホップ不変量は1か？
なんだな >>445
そうです、記号がまぎらわしくてすみません
Hactherの本の問題なのですがそのfibrationのホップ不変量が1になる事を示したくて
ヒントとしてC_p(のホモトピー同値)が多様体である事を示してポアンカレ双対を使えというものがあり
向き付け可能多様体であると言えればポアンカレ双対より
H^nの生成元とH^nのある元の積がH^2nの生成元(基本類)になる事から
ホップ不変量が±1になる事が言える感じです なるほど、やっとわかった
じゃあMは2n次元の向き付け可能な多様体じゃないとダメなんじゃないの？
なら元のCₚの構造なんか全然ダメやん
pのイメージでない開部分しゆうこには多様体の構造あるけどそれ2n-1次元やん >>447
C_pで見ると写像錐はS^2n-1×Iの端点を潰しているものなので
貼り合わせの所以外だと2n次元になってます
なのでC_pは貼り合わせとしては2nセルをその境界をpに沿ってS^nに張り合わせてる状況です
一個仮定を忘れていてホップ不変量が1である事を言うにはn＞1を仮定します
この仮定の元でC_pはCW複体としての次元の要請(2nとnが次元2以上差があるので)から
2nとnにのみコホモロジーZを持っている事は言えている状況です >>448
わかったかも
まずS²ⁿ⁻¹→Sⁿのfibre Sⁿ⁻¹にDⁿを貼り付けてSⁿ上のDⁿ fibreをつくる
これはS²ⁿ⁻¹を境界とする境界付き多様体になる
この境界にD²ⁿを貼り付けると2n次元多様体になってCₚとhomotopy 同値になる気がする >>449
正解
ベーススペースのS^nはそのディスクバンドルのレトラクト >>449
おお確かにいけてそうな気がします
最初のディスクバンドルがS^nへの貼り付けを与える写像柱とみなせて
その境界に2nセル張ってるのでC_pと同相ともみなせそうですね
ありがとうございます log(z)+log(z)=2log(z).(zは複素数)は正しいですか？ >>454
z が以下であるならば、正しい。
{ -∞ < z < 0, 0 < z < +∞ }
のドメインにおいて。 一応、言っておくけど
ワイの書き込みは話半分で聞いてくれな、
理系は得意じゃねんだわ。
ち、ちなみに謙虚な神戸大卒 TOEIC700です…( ; ‘ω‘) ﾊｧﾊｧ >>455
ありがとうございます。
log(z)+log(z)=2log(z).(zは0を除く複素数)は正しい。
学校の先生は正しくないと言っている。どうしたらいいですか？ log(z)が複素数の時log(z)+log(z)が2log(z)じゃないなら代数学的に矛盾していますよね？ 「オドレのいうとる事は代数的に矛盾しとるやろ？あ？」と先生にいう 2*Log(z) ≠ Log(z^2)
たぶんこういうのを言いたかったんだろ
( Log は log の 主分岐 ) ガンマ関数に0.1を入れた時の計算を教えて下さい
0.5なら√PIになることはわかったのですが
0.5以外の小数が出てきたときの求め方がわかりません
例えばガンマ(2.1)のとき
1.1 × 0.1 × ガンマ(0.1) となるのですがどのように求めたらよいでしょうか
数値ではなく解き方が知りたいです あ、正しくないわ。
複素関数での e^z は 集合になるから性質が違う。
実数 だけの e^r は 1つの数だけだ。
例えば、 e^2 = 7.38... これ1個。
しかし、複素関数での e^z は…1つの数じゃないよね？
これ集合だよね？ (2πn で n=1,2,3,... と幾らでも出てくる)
そういうわけで実際に log(z) + log(z) = 2log(z) にはならない。
・ 左辺の1項目の集合 と 2項目の集合
・ 右辺の 2log(z)の集合
計算したら分かるけど、これが一致しないんだよね。
(右辺は 4πn みたいな形が出てきてしまう) log(z)≠log(z)?
定義:log(z)=log|z|+i(θ+2kπ),(kは整数)←定義されてない？ log (z)={log|z|+i(arg(z)+2nπ)| nは整数}ってかんがえればいいの？ >>466
定義より複素数を 量と偏角 で表すと
log z = ln |z| + i(arg z + 2πN) | N=0,±1,±2,....}
この時、z = e^iπ として
左辺と右辺のそれぞれの偏角について考える
左辺 = log z + log z の偏角 = arg z + arg z = (arg z + 2πL) + (arg z + 2πM)
= {2 arg z + 2π(L+M) | L,M = 0,±1,±2,....}
右辺 = 2 log z の偏角 = 2 arg z = 2(arg z + 2πN)
= { 2 arg z + 4πN | N=0,±1,±2,....} >>466
そう。
そして、1つの数を足し算で操作しているのではない。
集合のそれぞれの要素に足し算の操作をしている。
っていうのを踏まえると、
log z + log z = 2 log z が
ダメだというのは分かる。 複素数は1変数で2つの元を持つから
ただのベクトルと同じように見えるが違う。
複素関数で、複素数の指数・対数を通常の数のように扱ってはいけない。
というか、そういう操作が許されるのは線形代数のベクトルの話だぁね。 >>469
ありがとうございます。log zは危ない。zの偏角を決めないと足し算すらおかしい。
結局log(z) +log(z)はzの偏角を決めないと意味不明。 >>462
>しかし、複素関数での e^z は…1つの数じゃないよね？
1つとするのが主流 >>470
まあいいけどそれなら
log z=log z
も成り立たないがな まぁこういう俺様複素数使ってるアホいっぱいいるやろな >>474
普通は1つの数になるのが分からないなら
複素函数への理解ができていないのだが 一般にアーベル群Gの部分集合A、Bに対し、A+Bを{a+b|a∈A，b∈B}で、2Aを{a+a|a∈A}で定義するとA+Aと2Aは一般には異なる。
log(z)+log(z)=2log(z)は正しくない、というのはそういう意味。 >>478
そのように定義しなくてはいけないという理由は無い >>479
なぜ間違いかを煎じ詰めるとこうなる、という話をしている。 ID:vTPEG6Ywはlogが集合値関数だということをわかっていない >>480
logzはその中のどれかという解釈なら間違いではない >>481
集合関数であるという解釈をする必要も無く
むしろ
普通はリーマン面上の一価関数なのだが 浅い解釈で折角打ち建てた金字塔をどぶに捨て去って悦に入るとは愚 logz足すlogzは2logz(mod 2πi) これだろ！！、！ >>482
じゃあどうやって計算すんのか言ってみろやぁ！、！、 >>485
x=a mod nのとき2x=2a mod 2nであるべきとか思ってそう
いやまあいいけど とりま、旧帝大未満の人は黙ってて。
ち、ちなみに謙虚な
神戸大卒 TOEIC700です…( ; ‘ω‘) ﾊｧﾊｧ
神戸帝国大学…
( '^ω^) なんつってなwww 旧帝大未満の神戸大卒（）がなんで書き込みしてるの？ 院試ではありません。（１）は数Ⅲの簡単な問題ですが、（２）は高校数学ではちょっと
見ないような問題なので、こちらで質問してみました。 u<vを任意にとる
p,qをg(x) = f(x)-(px+q)とおく時g(u) = g(v) = 0となるようにとる
g(x) ≡ 0 ( x ∈ [u,v] )を示す
[u,v]においてg(x)はx=a∈(u,v)で最大値mをとるとする
a≦(u+v)/2とすればr = (u+v)/2-uに対して
2rm = 2rg(a) = ∫[a-r,a+r] g(t)dt ≦ 2rm
等号成立は[a-ra+r]においてg(x) ≡ mである場合に限るからこの時
m = g(u) = 0
a≧(u+v)/2の場合も同様だから結局a∈(u,v)→m = 0
a = u,v → m = 0は仮定から明らかだから全ての場合でm = 0
同様にして[u,v]での最小値も0
∴ g(x) ≡ 0 (2)の等式を r で微分すると、f(x + r) + f(x - r) = 2 * f(x) が成り立つことが分かる。
(2)の等式を x で微分すると、 f(x + r) - f(x - r) = 2 * r * f'(x) が成り立つことが分かる。
これらより、
f(x + r) = f(x) + r * f'(x)
f(x - r) = f(x) - r * f'(x)
が成り立つことが分かる。
ここで x を固定する。
y を任意の実数とする。
y > x のとき、
r = y - x > 0 とおく。
f(y) = f(x + r) = f(x) + r * f'(x) = f(x) + (y - x) * f'(x)
y < x のとき、
r = x - y > 0 とおく。
f(y) = f(x - r) = f(x) - r * f'(x) = f(x) + (y - x) * f'(x)
y = x のとき、
f(y) = f(x) = f(x) + (y - x) * f'(x)
よって、任意の実数 y に対して、
f(y) = f(x) + (y - x) * f'(x)
である。
よって、 f は 1次関数ないし、定数関数である。 f(x + r) = f(x) + r * f'(x)
f(x - r) = f(x) - r * f'(x)
が成り立つことが分かる。
これどうするの？ f(x + r) + f(x - r) = 2 * f(x)をrで微分するとf‘(x+r)=f’(x-r)
r=xとおいてf’(2x)=f’(0)=定数
ともできる
または
f(x + r) + f(x - r) = 2 * f(x)を
f(x+r)-f(x)=f(x)-f(x-r)と変形して
f(x)=(f(1)-f(0))*x+f(0)を連続性から証明してもいい
この方針ならfの微分可能性は使わない >>497
良さげな方針だけど、a<(u+v)/2の時はa-r<uとなって積分区間が[v,u]をはみ出すから
∫[a-r,a+r] g(t)dt ≦ 2rmは言えないんじゃないか >>497
後でよく考えてみます。
>>498
よく分かりました。
>>501
>r=xとおいて
そのような方法で考えていましたが、そんなこと勝手に
やっていいのか自信がありませんでした。
みなさんありがとうございます。 >>503
rは任意だから正の数なら何でも代入していい(xが負ならr=-xとする) >>502
どっか描き損してるかもしれんけど要するにu<a<vでハジに近い方で考える
はじまで定数、ハジは0、だから全部0 >>504
>xが負ならr=-xとする
なるほど。そうですね。
ありがとうございました。 >>505
a<(u+v)/2の時は大小関係がa-r<u<a+r<vとなるな積分区間は[a-r,a+r]でmは[u,v]における最大値
[a-r,u]の部分ではg(t)がmを超える可能性が否定できないんじゃないかと思う >>507
だからそんなとこ相手にしてないんだよ
目標はm = 0、それが言えればいい[u,v]に入ってないとこなんか最初から相手にしてない
任意のu<vに対して[u,v]で定数を示そうとしている [u,v]で一次式ね
任意の閉区間で一次式なら全域で一次式 >>508
∫[a-r,a+r] g(t)dt ≦ 2rmの根拠を教えてくれ
[a-r,a+r]におけるg(t)の最大値がmだと思ったからじゃないのか？ >>510
仮定は[u,v]での最大値がm
それを幅2rである区間で積分したら積分値は2rm以下、f(x)が連続関数なのだから等号成立は区間全体でmに等しい時 区間[u,v]全体での最大値をmとおいてるんだから[a-r,a+r]でもf(x)≦mやん？
a≦(u+v)/2と仮定してるんだから区間[a-r,a+r]全体は[u,v]の部分集合 >>512
[a-r,a+r]と[u,v]は長さが同じだから中心がズレればはみ出す部分があるが >>514
そやね
r = min{ a-u, v -a}
要するにハジに近い方までの距離
そこまでは少なくとも定数 >>498
https://imgur.com/a/LtYBV1j
(2)の等式を r で微分すると、f(x + r) + f(x - r) = 2 * f(x) が成り立つことが分かる。
左辺のf(x)をrで微分すると左辺はゼロになるということみたいですけど
このときf(x)は定数と考えているのですか？
xはrの関数ですよね？
すると
(1/dx)f(x)*(dx/dr)となると思います。これは何故ゼロなんですか？
どなたか高校数学レベルでの解説をお願いします。 >>498はオレも分からん
(2)の等式を r で微分すると、f(x + r) + f(x - r) = 2 * f(x) が成り立つことが分かる。
(2)の等式を x で微分すると、 f(x + r) - f(x - r) = 2 * r * f'(x) が成り立つことが分かる。
↑コレはいいんだけどココからなにがどうなって
↓こうなるん？
これらより、
f(x + r) = f(x) + r * f'(x)
f(x - r) = f(x) - r * f'(x >>518
それはその2つの式の両辺に２をかけて２つの式を足したり引いたりすれば
出てきます。
517の質問をよろしくお願いいたします。 >>521
すみません。
大学数学は色々ありますが、高校数学は最大公約数なので。 アンカーズレた
ともかくf絡みの項とf'絡みの項があってなぜf'絡みの項が消せるのか分からんしそもそも何より実質
f(x)が一次式であるのを示せ
で
f(x + r) = f(x) + r * f'(x)
コレがx,rについて恒等式になる事が示せてるのならもうこの時点で終わってる、そっから何無駄な事してるのですって話になる
ホントにこの方針で解けてるの？ >>522
僕もそれが分からない。
498さんの解説
>(2)の等式を r で微分すると、f(x + r) + f(x - r) = 2 * f(x) が成り立つことが分かる。 f(x-r) + f(x+r) = 2rf(x)
という代数的条件だけだと反例ありそうな気がする
つまりココから足したりひいたりの代数的処理だけでなんかできるとは思えないんだけどなぁ
微分可能性と絡めていかないと無理じゃない？
代数的に足したりひいたりだけで
f(x+r) = f(x) + rf'(x)
なんて無理だと思う
コレ成り立てばもちろんf(x)は一次式なんだから終わりだけど 高校数学でと言えば、最大値最小値の定理って高校数学なんかな >>527
それは高校数学では範囲外やね
ただ検定教科書の平均値の定理のとこでロルの定理を“証明”していてそこで最大、最小の原理使ってるのでグレーゾーン >>524
本人に代わって説明すると、rのとりうる値が正の数に限られてるのとf(x)=ax+bの形に整形したいからもう一手間いる 高校数学スレが荒らされていたのでこちらで質問させていただきます
a=b^xのような形の式をx=の形に式変形するにはどうしたら良いのでしょうか？ >>504
すべての実数ｒだからといってｒを変数ｘに置き換えてよい理由は何ですか？
例えば定数rをすべての実数として
f(x)=r/x であったなら rをxに変えたらf(x)＝１ となってしまいます。
rをxとして導いたf(x)はr＝xのときは成り立つといってるだけのような気がしますが。
どこが違うのですか？ しかし
f(x-r) + f(x+r) = 2rf(x)
がx,rの恒等式であればあとは連続性だけでなんとかなるな >>532
問いは全ての実数xと全ての正の数rで成立すると書かれてますよね
なので、r=xとしても成り立つ必要があります
全てのrで成り立つ→r=xでも成り立つ
しかし逆は成り立たないので、後で十分性のチェックが必要ですね
r=xでも成り立つはずだから答えはf=定数になるはず
でもそれだけだとr=x以外の時でも成り立つか調べる必要がある
実際に、f=定数はr=x以外の時でも成り立つからそれが答え
という論法です
必要条件で絞って、後で十分性を確かめるということですね >>532
定数rがすべての実数ってどういう意味？定数だから一つの実数じゃないの？ >>534
ありがとうございます。
そういうことなら分かります。
https://imgur.com/a/LtYBV1j
左辺f(x)をrで微分するとゼロになるのは何故ですか？
xはrの関数ですよね？
すると
(1/dx)f(x)*(dx/dr) となると思いますが、これがゼロになるという理由が知りたいです。 >>537
あ、そうか
ｘはrの関数ではないですね。
そうするとrで微分する場合はf(x)を定数と考えるのですね？ f(0) = f(1) = 0としてよい
f(x-r) + f(x-r) = 2rf(x)
が恒等式だから任意のa∈ℝとn∈ℤに対して
f(na) = nf(a)
である
よって任意のx∈ℚに対してf(x)=0である
fは連続だから任意のx∈ℝに対してf(x)=0である >>534
すべての正の実数rで
f(x)=r/x であるときf(x)はどんな関数か
というときr＝ｘのときはf(x)＝１であるからといって
それがf(x)の必要条件とはならないですよね。
下記は納得できません。
>実際に、f=定数はr=x以外の時でも成り立つからそれが答え
という論法です >>534
すべての正の実数rでf(x)=r/x である
→
f(x)=1
普通に正しいと思いますけどね
ただ、その場合は前提条件が成り立つ関数fというのはないのでなんか変な気がするんじゃないですか？
偽→真は真ですし、偽→偽も真です
偽の前提からは何でも導くことができるので
r=x^2とすればf(x)=xとかなりますしね すべての正の実数rでf(x)=r/x であるときf(x)は双曲線ではなく直線ということですか？ すべての正の実数rでf(x)=r/x である場合というのは存在しないので、それを前提に組み立てられた論理に意味はないということです
形式的には、偽の命題からはいかなる命題も導けてしまいますので、fは定数でもあり、直線でもあり、双曲線でもある、ということは可能ですけど、それにどのような意味があるのかと言われるとないですよね すべての正の実数rでf(x)=r/x であるとき
という場合がそもそもありえないのは理解できてます？ それとf(x)=r/xの話は違うじゃないですか
その問題だとf(x)は定数になるんですよね？
双曲線にはなってないですよね 問題の例ではf(x)=定数という答えがある
f(x)=r/xには答えがないので矛盾している命題です
矛盾命題からはいかなる命題も導けるので、正しい命題も間違ってる命題も導けるわけで、矛盾命題から推論して得られた結果は一切信用してはいけません もう少し簡単な例で説明しましょう
0=1だと仮定します
両辺を2倍すると0=2となるのですがこれはおかしいのではないですか？
これと同じことですよ
おかしいのは出てきた結果ではなく、前提条件です その問題だとf(x)は定数になるんですよね？
双曲線にはなってないですよね
f(x)は定数とは書いてないです。
xを定数と考えればf(x)も定数ですけど。 いや答えの話ですよ
f(x)は定数か一次関数になるんですよね？ ・ 任意の実数 x と任意の正の実数 r に対して 2r * f(x)＝∫[x－r, x＋r]f(t)dt が成り立っている。
x＝1と置く。任意の正の実数 r に対して 2r * f(1)＝∫[1－r, 1＋r]f(t)dt が成り立つ。
r で微分して、任意の正の実数 r に対して 2 * f(1)＝f(1＋r)＋f(1－r) が成り立つ。
x＝0.7と置く。任意の正の実数 r に対して 2r * f(0.7)＝∫[0.7－r, 0.7＋r]f(t)dt が成り立つ。
r で微分して、任意の正の実数 r に対して 2 * f(0.7)＝f(0.7＋r)＋f(0.7－r) が成り立つ。
x＝√2と置く。任意の正の実数 r に対して 2r * f(√2)＝∫[√2－r, √2＋r]f(t)dt が成り立つ。
r で微分して、任意の正の実数 r に対して 2 * f(√2)＝f(√2＋r)＋f(√2－r) が成り立つ。
x＝2022と置く。任意の正の実数 r に対して 2r * f(2022)＝∫[2022－r, 2022＋r]f(t)dt が成り立つ。
r で微分して、任意の正の実数 r に対して 2 * f(2022)＝f(2022＋r)＋f(2022－r) が成り立つ。
x＝－35と置く。任意の正の実数 r に対して 2r * f(－35)＝∫[－35－r, －35＋r]f(t)dt が成り立つ。
r で微分して、任意の正の実数 r に対して 2 * f(－35)＝f(－35＋r)＋f(－35－r) が成り立つ。
上記の作業で得られた等式群。
・ 任意の正の実数 r に対して 2 * f(1)＝f(1＋r)＋f(1－r)
・ 任意の正の実数 r に対して 2 * f(0.7)＝f(0.7＋r)＋f(0.7－r)
・ 任意の正の実数 r に対して 2 * f(√2)＝f(√2＋r)＋f(√2－r)
・ 任意の正の実数 r に対して 2 * f(2022)＝f(2022＋r)＋f(2022－r)
・ 任意の正の実数 r に対して 2 * f(－35)＝f(－35＋r)＋f(－35－r)
同様にして、x がどんな実数でも
・ 任意の正の実数 r に対して 2 * f(x)＝f(x＋r)＋f(x－r)
こういうことやってるだけ。 >>498について勝手に推測。>>498の最後の部分で、
「任意の実数 x,y に対して f(y) = f(x) + (y - x) * f'(x)」が示せている。
a≠b なる実数 a,b を任意に取る。
x＝a, y＝b を適用して f(b) = f(a) + (b - a) * f'(a) なので、(f(b)－f(a))/(b－a) ＝ f'(a)
x＝b, y＝a を適用して f(a) = f(b) + (a - b) * f'(b) なので、(f(a)－f(b))/(a－b) ＝ f'(b)
(f(b)－f(a))/(b－a) ＝ (f(a)－f(b))/(a－b) だから、f'(a)＝f'(b)
a≠b は任意だから、f'(x) は x∈R 上で定数。よって、f は高々1次関数。 >>556
だから
f(y) = f(x) + (y - x) * f'(x)
が恒等式になるならf(x)が一次式なのは自明だというのに
右辺はyの一次式ですがな >>557
言われてみればそうだな。
こういうのは等式の第一印象から抜け出せないこともあるもんでな。 2*f(x) = f(x+r) + f(x-r) の 両辺を rで偏微分して
0 = f’(x+r) - f’(x-r)
x, r の任意性より (x,r) → (x/2, x/2) の置き換えが可能で
f’(x) = f’(0) {定数} を得る
つまり f(x) は定数か一次関数である.
たったこれだけのことを難しく考え過ぎだろ >>553
双曲線が駄目ならy=r-xで考えたらいいです。
論法は同じです。 >>562
この問題はfの微分性を仮定してるけど、ついついもっと一般に成り立つ解法を考えたくなっちゃう
(実際連続の仮定だけでよい) >>564
双曲線と何も変わってないですけど
答えがないことに変わりはないですよね？ しかし連続性だけしか仮定しない証明も>>541にあるし
連続性を仮定しないなら条件
f(x+y) + f(x-y) = 2f(x)
は線形写像なら全て満足するけどℝは加法群としてはℚを非可算無限個直和したものなので非自明な線形写像は無限にあるからこの条件は一次式であるための十分条件でないのも確実
終わりやね >>541
> f(x-r) + f(x-r) = 2rf(x)
右辺間違ってますよ そこの間違い訂正したらいいだけですがな
どのみち整数nは外に出せる
f(na) = nf(a)
には違いない
こんな程度のミスは気づいてもいちいち直さんやろ >>567
>連続性を仮定しないなら
それ任意区間で積分可能？
f(0)=f(e)=0, f(1)=1
でQ上線形なf(x)で
何らかの意味で積分可能なのって
どんな関数になるか分からないけど
存在はするの？ 自分は(2)を
2rf(x)=∫[x-r,x+r] f(t)dt
にしてから（r>0でなくても成立）xとrで偏微分して
2rf’(x)=f(x+r)-f(x-r)
2f(x)=f(x+r)+f(x-r)
から辺々足して2で割って
rf’(x)+f(x)=f(x+r)
でx=0代入して
rf’(0)+f(0)=f(r)
で1次以下というのを思いついた
f(x)が積分は可能だが微分可能と仮定しない場合は
2f(x)=f(x+r)+f(x-r)
だけなのでg(x)=f(x)-f(0)とすると
2g(x)=g(x+r)+g(x-r)
から帰納法でn∈Zについて
g(nx)=ng(x)
よってx∈Qについて
g(x)=g(1)x
でg(x)の連続性からx∈Rで
f(x)=g(1)x+f(0)
かなと
けど連続性も仮定しない場合に(2)の右辺が定義されるのかというのがよく分からなくて >>570
積分可能性なんか後付けで条件付け足すなよ
元の問題の積分方程式に戻ってしまうなら積分方程式から微分可能性が出てしまうから意味ないやろ
「微分可能性は仮定しない」と宣言したその時からもう元の問題の積分可能性も抜けるやろ
そもそも”可積分”+“2rf(x) = ∫～”からの解も上の方で出てるし あ、違うな
上の方で出てる積分の不等式使う証明も連続性使ってるな
f(x)≦m の時∫[x-r,x+r]f(t)dt ≦ 2mrまでは可積分性だけで済むけど「等号成立はf(x)数学mの時」がきかない
実際関数方程式
2f(x) = f(x+r) + f(x-r)
で一次式でないやつは可積分性の仮定だけでは排除できん >>572
>積分可能性なんか後付けで条件付け足すなよ
はぁ f の連続性がなくても、ルベーグ可測だと同じ結果が示せたりする。
f：R → R はルベーグ可測で、任意の実数 x と任意の正の実数 r に対して
f(x－r)＋f(x＋r)＝2f(x) が成り立つとする。
このとき、ある実数a,bが存在して f(x)＝ax＋b (x∈R) が成り立つ。
a.e.x∈R ではなくて、任意の x∈R で f(x)＝ax＋b になる。 連続性を仮定しない場合の反例は非可測関数しか知らない
可積分性から線形性が出るなら面白い >>574
なにがはぁやカス
お前のレス見てたら対して実力もないのスケて見えるは
しょうもない問題にいつまでもいつまでも粘着してるカス
出てけカス >>575,576
なるほど
ルベーグ可測なら1次（以下）になるんですね
線形性だけならたとえばf(0)=f(e)=0, f(1)=1みたいなやつで非可測な例があると
もしかしてQ上の基底に対して適当に値を決めたらほぼほぼ非可測になるんですかね？ >>570
アホのアホレスに答えといたるわ
ℝのℚの基底(ハメル基底)好きに選んでℚ線形写像作ったらa.e 0の可測線形写像なんかいくらでもできるわバーカ >>581
とは思うんだけどホントにa.e.0になるの？
たとえばf(1)=1で他の基底全部0にしても
f(他の基底+1)=1だけど大丈夫？ >>581
> ID:orboLtrX
>>582
> ID:pVoaMnY6
IDentityだったか 適当な例題で考えてみれば分かるだろ。
f:Q → Q
有理数だけの空間で
微積分がどう機能するか。
平均値の定理や中間値の定理は…どうなるか。 集合の集合を考えると矛盾が生じるとのことですが
集合族を考えるのは大丈夫なのでしょうか？ >>589
書き方からしてラッセルのパラドックスは知ってまね。
集合族というと、最初に何か決まった集合Xがあって、それの部分集合の集まりのこととなるので、ラッセルのパラドックスのような状況になりません。(というのが私の認識) >>588
補足ありがとうございます ( '‘ω‘) >>591
注意
この人は駄目な人
相手をしないことをおすすめする ( e^(i PI) + 1 ) を掛けたらどんな数でもゼロになるの？ G = (V, E) を連結な無向グラフとする。
|E| ≧ |V| - 1
が成り立つことを証明せよ。 >>594
が成り立たないと仮定する。
>>594
が成り立たないような連結な無向グラフのうち、点の数が最小であるようなグラフを G = (V, E) とする。
|V| = 1 であるようなグラフを考えると、 |E| = 0 であるから、 |E| = 0 ≧ 0 = |V| - 1 が成り立つ。
よって、 |V| ≧ 2 である。
仮定より、 |E| ≦ |V| - 2 が成り立つ。 G には次数が 1 の点が必ず存在することを背理法で以下に示す：
G には次数が 1 の点は存在しないと仮定する。
G は連結で |V| ≧ 2 だから、次数が 0 の点は存在しないと仮定する。
よって、 G のすべての点の次数は 2 以上でなければならない。
2 * |E| = 農{v ∈ V} deg(v) ≧ 農{v ∈ V} 2 = 2 * |V|
が成り立つ。
よって、
|E| ≧ |V|
が成り立つ。
よって、
|V| ≦ |E| ≦ |V| - 2
となるがこれは矛盾である。
よって、 G には次数が 1 の点 v が存在する。 G から v と、 v に接続するただ一つの辺を除去したグラフを G' = (V', E') とする。
|V'| = |V| - 1 < |V| であるから、 G に関する仮定から、
|E'| ≧ |V'| - 1
が成り立つ。
一方、
|E'| = |E| - 1
が成り立つ。
以上から、
|V| = |V'| + 1 ≦ |E'| + 2 = |E| + 1
が成り立つ。
すなわち、
|V| - 1 ≦ |E|
が成り立つ。
G に関する仮定により、 |E| ≦ |V| - 2 であったから、これは矛盾である。
よって、
>>594
は成り立つ。 訂正します：
G には次数が 1 の点が必ず存在することを背理法で以下に示す：
G には次数が 1 の点は存在しないと仮定する。
G は連結で |V| ≧ 2 だから、次数が 0 の点は存在しない。
よって、 G のすべての点の次数は 2 以上でなければならない。
2 * |E| = 農{v ∈ V} deg(v) ≧ 農{v ∈ V} 2 = 2 * |V|
が成り立つ。
よって、
|E| ≧ |V|
が成り立つ。
よって、
|V| ≦ |E| ≦ |V| - 2
となるがこれは矛盾である。
よって、 G には次数が 1 の点 v が存在する。 引き算逆転やろ
β₀≦1
∴ 1 ≧ χ = β₀-β₁ = E - V |V|＝0のときは自明。|V|＝kのとき成り立つとして、|V|＝k＋1のときを考える。
Vのどの頂点の次数も2以上のときは、2|E|＝Σ[v∈V]deg(v)≧Σ[v∈V]2＝2|V|
すなわち|E|≧|V|となるので成立。それ以外の場合は、ある頂点v_0の次数が1以下である。
(V,E)の連結性により、v_0の次数は自動的に1となる。Vからv_0を取り除き、
v_0から出ている唯一の辺も取り除く。残ったグラフを(V',E')とすると、
これは再び連結グラフであり、|V'|＝k なので、帰納法の仮定から|E'|≧|V'|－1 である。
|E|＝|E'|＋1, |V|＝|V'|＋1 なので、|E|≧|V|－1 となる。よって、|V|＝k＋1のときも成立。
これは証明の書き方の問題で、上記の書き方なら見通しがよく自明に感じられる。
一方で、ID:lyarOMkDみたいな書き方をすると、論理構造が不必要に複雑な様相を呈してしまい、
なんというか、心理的に「難しいことをやった満足感」が出てしまって、
自明ではないように錯覚してしまうのだろう。 >>594
グラフの中にループがあれば 適当に |E.loop| 個の辺を取り除けばツリー構造となる
さらに頂点の辺の対(pinhead & pin) を取り除いていけば最後に 1つだけ頂点が残る
よって |E| = |E.loop| + |E.pin| ≧ |E.pin| = |V.pinhead| = |V| - 1
クソ真面目な証明もあるけど、これくらいで十分だろ
先に行けば難しいことなんていくらでもあるし力抜けるとこは抜いていくべき 永守さん、こんな切羽詰まった毎日の経営者なのか
覚悟が出来ている経営者だから強いのか
それでも後継者選びでの困難って大変やな
シャープをぶっ壊して、安泰老後の某2名とはエライ違いだな
そりゃ、そのうち1名は解任（事実上のクビ）になるわけだ
もう1名は、ノコノコとFRIDAYされているし
そこでも、うなぎの秘伝のタレではなく、オムライスとか、目玉焼きとかわけのわからん持論を
公に展開しているし
ダメだわ、ここの過去のトップ
日本電産・永守会長が20年前に吐露した「死への恐怖、ポスト永守、『自分より上』の経営者…」
10/17(月) 6:01配信
https://news.yahoo.co.jp/articles/e233a52ff2a6844298f6a4f633050db39b094aec
一部引用）
永守氏 それは違う。死に対する恐怖があるかどうか、最期はそこやね。
ぼくは何も怖くない。ただ、死に対する恐怖はある。で、おそらく会社をつぶしたら自殺するでしょう。
つぶしておいて、のこのこ世間さまに出ていく勇気はないですわな。死で償う。
その死が怖いから、365日会社に行って、ああ今日もまだある、と思っているわけや。
――つまり、人生を賭けている。
永守氏 そうや。その緊張感が経営者としての条件でしょう。だいたい、今の日本は総理大臣から経営者まで、
死に対する恐怖がなさすぎる。下手をしても、国会や株主総会で頭を下げれば済むと思っている。
みなさん立派な能力をお持ちなんだけど、能力だけで経営はできない。
一部引用続く） f(x + y) = f(x) * f(y) for all x ∈ R を満たす関数で、 f(x) = a^x (a >0)、 f(x) = 0 以外の
関数が存在することを示せ。 加法群の準同型写像p(x):ℝ→ℝと正の数aに対してf(x) = a^p(x)は条件を満たす 命題2.4：
始点 s から各頂点へ最短路が存在すると仮定する。このとき、 s を根とする
有向全域木 T が存在して、 T における s から頂点 v への有向路は、 s から
頂点 v への最短路となっている。
証明：
始点 s から各頂点 v への最短路（の枝集合）を P_v とし、 T = ∪_{v ∈ V} P_v とおく。
定理2.3と命題2.2より、 P_v は単純有向路としてよい。 T の要素数がちょうど n - 1 であれば、
これは有向全域木であり、各頂点への最短路を含む。一方、 T の要素数が n 以上の場合は、
以下の手順で最短路を繰り返し修正することにより、所望の有向全域木を求めることができる。
T の要素数が n 以上と仮定する。このとき、ある頂点 v_* ∈ V - {s} が存在して、 T の中には
v_* に向かう枝が2つ以上ある。
… v_* に向かう枝が2つ以上あることの証明ですが、どのような証明が典型的なものと考えられますか？
証明：
T を無向グラフと考えたとき、 T は連結であり、 #T = n だから無向閉路が存在する。
T の作り方から s に向かう枝は存在しないから、 s はこの無向閉路上にはない。
仮に、
>>616
での v_* が存在しないと仮定する。
v を 上の無向閉路上の任意の頂点とする。 T の定義により、 T の中には v へ向かう枝が存在するが、
仮定により、そのような枝は唯一つしか存在しない。ゆえに、この無向閉路を有向グラフとして考えた
とき、有向閉路である。
T の作り方から、 s から v への有向路が存在する。
ところが、 s は上の有向閉路には含まれないからこれは矛盾である。 分かりやすく書き直しました：
命題2.4：
始点 s から各頂点へ最短路が存在すると仮定する。このとき、 s を根とする
有向全域木 T が存在して、 T における s から頂点 v への有向路は、 s から
頂点 v への最短路となっている。
証明：
始点 s から各頂点 v への最短路（の枝集合）を P_v とし、 T = ∪_{v ∈ V} P_v とおく。
定理2.3と命題2.2より、 P_v は単純有向路としてよい。 T の要素数がちょうど n - 1 であれば、
これは有向全域木であり、各頂点への最短路を含む。一方、 T の要素数が n 以上の場合は、
以下の手順で最短路を繰り返し修正することにより、所望の有向全域木を求めることができる。
T の要素数が n 以上と仮定する。このとき、ある頂点 v_* ∈ V - {s} が存在して、 T の中には
v_* に向かう枝が2つ以上ある。
…
v_* に向かう枝が2つ以上あることの証明ですが、どのような証明が典型的なものと考えられますか？
証明：
T を無向グラフと考えたとき、 T は連結であり、 #T = n だから無向閉路が存在する。
仮に、上の v_* が存在しないと仮定する。
v を上の無向閉路上の任意の頂点とする。 T の定義により、 T の中には v へ向かう枝が存在するが、
仮定により、そのような枝は唯一つしか存在しない。ゆえに、この無向閉路を有向グラフとして考えた
とき、有向閉路である。 T の作り方から s に向かう枝は存在しないから、 s はこの有向閉路上にはない。
T の作り方から、 s から v への有向路が存在する。
この有向路上の頂点で最初に上の有向閉路上の頂点ともなる頂点を w とする。
上の有向路上で w の直前の頂点を u とする。 w は上の有向閉路上の頂点であるから、 w へ向かう
上の有向閉路上の枝が存在する。 u は w についての仮定から、上の有向閉路上の頂点ではない。
以上から、 w へ向かう少なくとも2つ以上の枝が存在することになる。 これは矛盾である。 もっと分かりやすく書き直しました：
命題2.4：
始点 s から各頂点へ最短路が存在すると仮定する。このとき、 s を根とする
有向全域木 T が存在して、 T における s から頂点 v への有向路は、 s から
頂点 v への最短路となっている。
証明：
始点 s から各頂点 v への最短路（の枝集合）を P_v とし、 T = ∪_{v ∈ V} P_v とおく。
定理2.3と命題2.2より、 P_v は単純有向路としてよい。 T の要素数がちょうど n - 1 であれば、
これは有向全域木であり、各頂点への最短路を含む。一方、 T の要素数が n 以上の場合は、
以下の手順で最短路を繰り返し修正することにより、所望の有向全域木を求めることができる。
T の要素数が n 以上と仮定する。このとき、ある頂点 v_* ∈ V - {s} が存在して、 T の中には
v_* に向かう枝が2つ以上ある。
…
v_* に向かう枝が2つ以上あることの証明ですが、どのような証明が典型的なものと考えられますか？
証明：
T を無向グラフと考えたとき、 T は連結であり、 #T = n だから無向閉路が存在する。
仮に、上の v_* が存在しないと仮定する。
v を上の無向閉路上の任意の頂点とする。 T の定義により、 T の中には v へ向かう枝が存在するが、
仮定により、そのような枝は唯一つしか存在しない。ゆえに、この無向閉路を有向グラフとして考えた
とき、有向閉路である。この有向閉路を C とする。 T の作り方から s に向かう枝は存在しないから、
s は C 上にはない。
T の作り方から、 s から v への有向路 P が存在する。
s は C 上にはなく、 v は C 上にあることに注意する。
P 上の頂点で最初に C 上の頂点ともなる頂点を w とする。
w は s とは異なるから、 P 上には、 w の直前の頂点 u が存在する。u は w についての仮定から、
C 上の頂点ではない。 w は C 上の頂点であるから、 w へ向かう C 上の枝が存在する。
以上から、 w へ向かう少なくとも2つ以上の枝が存在することになる。 これは矛盾である。 >>615
君に聞いたんじゃ無いけど？
分かんないなら口出さないでね 微分積分の教科書で最初の数章に必ずある「実数と連続」や「関数」
などをより詳しく学びたい場合はどういうジャンルの本を学べばいいんですか？
「微分積分」というジャンルではないですよね？
でも「実数、連続」みたいなジャンルのコーナーは書籍に存在しないし、総当たりで探しても全く見つかりません 数学基礎論とかどうでしょう
実数とか関数の話ではないですけど、実数とか関数とか、普通の微積に載ってるレベルで満足できないあなたは好きそうなトピックだと思いますよ >>622
よく分からないからもっと詳しい説明が書いてある本を探しているということですか？ >>622
descriptive set theoryで検索したら貴方好みのページが見つかるかも そんなに突っ込んだ話じゃなくちょっと詳しくやりたい程度なら
東大出版の「数学の基礎」あたりで十分かと テレビ版旧エヴァの最終回は
ホモトピー代数とかのニワカが拘束力学系の解析力学をゲージ理論方面から眺めたわかってんだかわかってないんだかな議論みたく見える。
源平討魔伝のエンディングの「神は死んだ、悪魔は去った」の神と名字が被る深谷賢治あたりの同時代感がある論説記事にテーマが近く感じる。
まあ違うナムコのDDS2のエンディング前に「プログラムドバイナカジマ」を確認できるエビラの人と同時期両看板なイメージだが。 これからの幾何学 深谷～広がりゆくトポロジーの世界 玉木
ぐらいの期間の印象。 >>622
Basic Analysis 1(Jiri Lebl)など
そもそも最近の海外ででている解析学の教科書と比べて、和書の解析学(微分積分学)の教科書はちゃんと書かれていない(厳密ではなくイメージに依存した古い感覚で書かれている)
だから疑問に持つのもおかしくない >>627
>連続性なら「ホモトピー」だろ
バカ？ 以下の複素積分の問題の解法を教えて頂きたいです
C:z=exp(it) (0≦t≦π)とするとき、
∫_C(√z)dzの値を求めよ。
（√zは平方根の主値を表す）
答えは-2(1+i)/3です >>634
∫_C(√z)dz
= ∫[0,π]exp(it/2)i exp(it)dt
= i∫[0,π]exp(3/2it)dt
= 2/3[exp(3/2it)]_0^π
= 2/3exp(3π/2i) - 2/3exp(0) ふくそ数のびぶんなんて
そんなこと、できてたまるか。 （ ' ‘ω‘ ) >>634
[(2/3)z^(3/2)][1,-1]（ただし平方根は上半平面の分枝）
=(2/3)(i^3-1)
=-(2/3)(1+i) >>635
わかりました！
ありがとうございます！
>>637
zの範囲を出して解いた感じですかね？
教科書の例題は>>635さんが書いてくれたやり方になってるんですが、こちらのやり方でも問題ないならこちらを使いたいです ∫[1, π+i] zcos2z dz
=(cosh2-2sinh2+2πisinh2-1)/4
となるはずなのですが、途中の処理の仕方がわかりません
{(2zsin2z+cos2z)/4}'=zcos2z という原始関数を利用すると答えが合いませんでした >>640
こんな便利なサイトがあったとは……
教えて頂きありがとうございます！ 複素積分で
∫_(|z|=1) tanz dz=0 を証明せよ。
という問題なのですが、tanzが正則であることを示すにはどうすればいいですかね？
|z|=1からz=exp(it) (0≦t≦2π)として代入して処理すべきですか？
正則であることが言えればコーシーの積分定理を適用して証明できるはずなんです >>642
coszの零点はどこか2次方程式を解いて調べると分かろうよ >>642
t+t^{-1}=0-->t^2=-1-->t=\pmi
e^{iz}=\pmi---> z=\pm\pi/2+2n\pi
よってcoszは|z|<1でゼロ点を持たない。 >>643
tanz=sinz/coszで、分母であるcoszが0にならなければ正則だということですよね
sinz,coszは正則だからtanzも正則になると
わかりましたありがとうございます！
>>644
すみません自分の勉強不足で式の意味がよくわかりませんでした…… >>646
sinz,coszは複素数平面上で常に正則
cosz=0すなわちz=(2n+1)π/2のときは正則でないが、これは|z|=1を満たさない
ゆえに|z|=1の範囲ではtanzは正則
という理解で合ってますかね……？ >>647
>>cosz=0すなわちz=(2n+1)π/2のときは正則でないが、これは|z|=1を満たさない
>>ゆえに|z|=1の範囲ではtanzは正則
「cosz=0すなわちz=(2n+1)π/2」ここを2次方程式を解いて検証したのが644
\pmはプラスマイナス(複合) >>650
なるほど！そういう意味でしたか
理解できましたありがとうございます！ >>652
たぶんわかってない
「|z|=1の範囲ではtanzは正則」ではなく
「|z|≦1の範囲ではtanzは正則」を示さないといけない
(うるさく言うと|z|≦1を含む開領域でtanzは正則を示す) github.com/E869120/math-algorithm-book/blob/main/editorial/chap3-4/chap3-4.pdf
問題3.4.4（クーポンコレクター問題）の解答は正しいでしょうか？ 回数の期待値がN/1+N/2+‥+N/Nになるのは正しい
途中は知らんけど 途中の解説がよく分かりません。その解説が正しいものなのかが知りたいです。 r種類のコインを既に持っている状態からr+1種類目のコインを手に入れるまでに必要なコインの購入回数が
1回以上である確率 = 1
2回以上である確率 = (r/N)^1
3回以上である確率 = (r/N)^2
4回以上である確率 = (r/N)^3
などとなるのはわかりますが、
これからN種類のコインを集めるのに必要な購入回数の期待値が、
1 + (r/N)^1 + (r/N)^2 + … + = N / (N - r)
になるというのが分かりません。 ちょうど1回である確率 = 1 - (r/N)^1
ちょうど2回である確率 = (r/N)^1 - (r/N)^2
ちょうど3回である確率 = (r/N)^2 - (r/N)^3
などとなるので、
1 * [1 - (r/N)^1] + 2 * [(r/N)^1 - (r/N)^2] + 3 * [(r/N)^2 - (r/N)^3] + …
= 1 + (r/N)^1 + (r/N)^2 + … + = N / (N - r)
となるという説明であれば納得がいきますが、いきなり最後の式を導出しています。 >>653
>うるさく言うと
五月蝿くない
そこ重要 >>653
複素数平面上ではsinz,coszは常に正則なので、tanzもcosz=0の時以外は正則
そのcosz=0の時のzは|z|=1の内部に無い
つまり|z|=1の内部ではtanzは正則
っていう書き方だと減点されますかね？ >>659
> ちょうど1回である確率 = 1 - (r/N)^1
> ちょうど2回である確率 = (r/N)^1 - (r/N)^2
> ちょうど3回である確率 = (r/N)^2 - (r/N)^3
> などとなるので、
> 1 * [1 - (r/N)^1] + 2 * [(r/N)^1 - (r/N)^2] + 3 * [(r/N)^2 - (r/N)^3] + …
> = 1 + (r/N)^1 + (r/N)^2 + … + = N / (N - r)
> となるという説明であれば納得がいきますが、いきなり最後の式を導出しています。
上の式変形して下の式になるので納得行くならそれでいいやん >>660
状況に応じて厳密さを使い分けることを覚えましょう >>661
|z|=1の境界ではどうなんだろうってちょっと気になりますね ∫_C1/(z^3+4z)dz（C:|z|=3）
これを解くとき被積分関数をどう変形すれば良いですか >>664
なるほど……
内部だけでなく境界にも含まないことを明示しないとまずいですか 事象が独立、確率変数が独立、試行が独立
これらが詳しく解説されている本はありますか？ >>666
立派でもなんでもない普通の話。
単一の尺度しか使えない人間がおかしい。 Σ1/(n+i)って発散するんですか？
ダランベールの判定法を使うと収束しそうなんですが…… Σ1/(n+i)が収束→Σ1/(n+i)、1/(n-i)が収束→Σn/(n²+1)が収束→Σn/(n²+1) + 1/(n(n²+1))が収束→Σ( n/(n²+1) + 1/(n(n²+1)) ) = Σ1/nが収束 >>670
Σ1/nから有限個の項がないだけなので発散する。(これじゃ納得いかないか？
ダランベール判定法だと1になって収束発散は判定できないと思うが。
考えの詳細を書いてもらわないとこれ以上はコメントできないな。 >>669
他人をおかしいと言い切るのはご立派で無くてはできませんね 自分に対するどんな批判も許さないというのは
プーチンのように
老い先短いものにのみ許された特権かもしれない >>672
Σ1/n自体は収束しますよね？
だから有限個の項を取り除いたΣ1/(n+i)も収束するんじゃ……？
ダランベールの判定法は1になると判定できないんですね
勘違いしてました >>675
2^k/leq n <2^{{k+1}}-->1+1/2+/cdots+1/n>(k+1)/2.
n/to/inftyならk/to/inftyなので
Σ1/n=/infty >>675
調和級数は発散します
高校生でも知ってると思いますけど 調和級数を知らなかった……お恥ずかしい……
Σ1/nは発散するので有限個の項を抜いただけのΣ1/(n+i)も発散する、と
調和級数を使わずにΣ1/(n+i)単体で証明する方法とかって他にありますかね？
コーシーもダランベールも使えないので難しいですか >>676
>>663がご立派な方からのご指南であることも論を俟ちませんね >>680
>>Σ1/nは発散するので有限個の項を抜いただけのΣ1/(n+i)も発散する
iは自然数であって虚数単位ではなかった？ >>682
iは虚数単位です
あれ虚数単位だと有限個の項を抜いて調和級数になるわけじゃない……？
頭がごちゃごちゃになってきた…… >>684
癖でつけてました不快にさせてすみません …のかわりに(´・ω・`)使うとキモさがパワーアップしていいよ 二項分布B(n, p)がnが大きいとき、正規分布で近似できるという定理を証明するのに必要な
予備知識は何ですか？ イヤ, crtではなくて2項分布限定ならstiringの公式だけでもなんとかなるか >>688-689
ありがとうございました。
純粋に解析学の結果だと思いますが、微分積分の本で演習問題か何かで証明している本はないですか？ >>690
Levy の反転公式はちょっと高度、教科書でさがすなら数学科の専門課程で読むレベルの教科書当たらないと難しい
Stiringの公式はそうでもない、般教のレベルの教科書に載ってる
具体的にと言われると俺の読んだ教科書はもう絶版してる
でも今の時代なら今のキーワードでググればアホほどネットに転がってる >>691-692
ありがとうございました。
>>692
ネットで探してみます。 三行目の式変形がわからなくて困ってる どうしたら1/xが出てくるんだ
初歩的な質問で申し訳ない
https://imgur.com/a/99y9zEX f(x + ε * x) = f(1 + ε) + f(x)
f(x + ε * x) - f(x) = f(1 + ε)
この両辺を ε * x で割ると、
[f(x + ε * x) - f(x)] / [ε * x] = (1/x) * f(1 + ε) / ε
となる。
ということだと思います。 以下のコードが配列 A を昇順にソートすることを証明せよ。
for i in range(N):
■■for j in range(N):
■■■■if A[i] < A[j]:
■■■■■■swap(A[i], A[j]) for loop でi はrange(A)(だよね)の小さい方から呼ばれるのは確定してるん？ >>699
C++風に書くと、以下のコードになります。
vector<int> A(N);
for (int i = 0; i < N; ++i) {
■■cin >> A[i];
}
for (int i = 0; i < N; ++i) {
■■for (int j = 0; j < N; ++j) {
■■■■if (A[i] < A[j]) {
■■■■■■swap(A[i], A[j]);
■■■■}
■■}
} >>700
Aのサイズに関するinduction
♯A = 1なら自明
♯A<Nではよいとして♯A=Nとする
i = 1 で内ループが終わった状態ではA[1]に最大元が移動する
ここでi:2～N-1でのステップでj=Nとなる時点では必ずA[i]は最大元が入ることになるので事実上A[N]は動かない
よってループはサイズがひとつ小さいサイズのArrayに対して行なっている操作と同じになる、ただしiが2～しか走っていないが、仮に改めてもう一度i:1～N-1で走らせてもA[1]に最大元が入っている状態からスタートなのでどのみちi=1の時点では何も起こらない事に注意する
よってi:2～N-1まで走らせた時点で帰納法の仮定からA[1]～A[N-1]は昇順に並んでいる
この状態で最後のi=Nのステップで全て昇順になる事は容易である□ 補題 長さNのarray A[0]～A[N-1]においてA[0]～A[N-2]は昇順であるとする
ここに次のコードをapplyすると全体が昇順にソートされる
i = N-1;
for (int j = 0; j < N; ++j) {
if (A[i] < A[j]) {
swap(A[i], A[j]);
}
}
(∵) Nについての帰納法
N=1なら自明
N<Mで成立するとしてN=Mとする
j=0での処理を終えた時点でA[0]が最小元となるのは自明
またA[1]～A[N-2]は昇順でここにi=1から始まるコードをapplyすればA[1]～A[N-1]は帰納法の仮定により昇順にソートされる□ 主張の証明
♯A < N で成立すると仮定して♯A = Nとする
コードを次のように変更しても結果は変わらない
i = 0;
for (int j = 0; j < N; ++j) {
if (A[i] < A[j]) {
swap(A[i], A[j]);
}
}
for (int i = 0; i < N-1; ++i) {
for (int j = 0; j < N-1; ++j) {
if (A[i] < A[j]) {
swap(A[i], A[j]);
}
}
}
i = N-1;
for (int j = 0; j < N; ++j) {
if (A[i] < A[j]) {
swap(A[i], A[j]);
}
}
(∵ 元のコードでi=0の処理が終わった時点でA[0]には最大元が入っている
一方で各1≦i<N-1にたいしてj<N-1の処理が終わった段階ではA[i]にはA[0]～A[N-2]の最大元が入る
よってこの時点でA[i]には全体の最大元が入ることになる
よって続くj=N-1のときの処理ではifの条件は常にFalseであり処理が行われる事はない
よって1≦i<N-1, j=N-1の時の処理は省いても結果は変わらない)
ここで帰納法の仮定により改変後のコードにおいて最後のループを始める前の時点ではA[0]～A[N-2]は昇順になっている
この状態で最後のループによって昇順になる事は既に補題で示されている□ >>696, 698
ありがとうございます、助かりました >>701-703
多分正解だと思いますが、正当性を記述するのって面倒ですね。 >>697,700
著者の解答は以下です：
github.com/E869120/math-algorithm-book/blob/main/editorial/chap3-6/chap3-6.pdf
これって間違っていませんか？ まぁダメやろな
i = 0～N-2まで動く時もjは0～N-1まで動いてしまうためにi:0～N-2の時の動作結果は“帰納法の仮定”を適用できんからな >>706 だいたい合ってるよ
細かいこと言うならこんな感じ↓
i=I-1の ”内側 j ループ終了の” 時点で、A[t－1] ≦ A[I] ”<” A[t]のとき
.. . .
• j=t+1,..., I－1でもswapされる。
結果は同じだが A[I]=A[j] の時は swapされない
swap過程で A[1]≦A[2]≦...≦A[I-1] 順序に変化は起きないことは明らか
• それ以降: A[I] の値が増える可能性はあるが、減ることはない
j=I－1 直後は A[I-1] ≦ A[I] とは限らないが
jループ終了後は A[I] に最大値が入ることは明らか
その結果 A[1]≦A[2]≦...≦A[I-1] ≦A[I] となる. > j=I－1 直後は A[I-1] ≦ A[I] とは限らないが
↑
少し訂正
I = 0 の場合:
明らかに内側 j ループ終了時点で A[I] に最大値が入る.
I > 0 の場合:
内側 j ループ ”処理開始”時点で A[I-1] に最大値が入っている(※帰納法の仮定に加える)ので
j=I-1 で swap が起きたら A[I-1] < A[I] , 起きなければ A[I-1] = A[I] のまま変わらない.
いずれにしろ j=I-1 ”処理終了”時点で A[I-1] ≦ A[I] が確定して A[I] に最大値が入る.
j=I 以降で swap は生じない. まぁ二重の帰納法で受験数学の問題だとかなり難問だよな >>705
プログラムの正当性の証明を与える理論があったような気がする
帰納法で証明するなら
「内側のループ抜けた時点でそこまでのソートが終了している」
という命題にするのね atcoder.jp/contests/math-and-algorithm/tasks/math_and_algorithm_bi
f : N → N を f(n) が n の約数の個数であるような関数とする。
1 * f(1) + 2 * f(2) + … + n * f(n)
の値を O(n) で出力する方法を述べよ。 リンク先を間違えました。訂正します。
atcoder.jp/contests/math-and-algorithm/tasks/abc172_d
f : N → N を f(n) が n の約数の個数であるような関数とする。
1 * f(1) + 2 * f(2) + … + n * f(n)
の値を O(n) で出力する方法を述べよ。 あ、分かりました。
農{d = 1}^{n} d * (floor(n/d) * (floor(n/d) + 1)) / 2
これで Θ(n) で計算できますね。 >>715
どうしてこれで計算できるのか、誰か教えてください 1 * f(1) + 2 * f(2) + … + n * f(n)
= Σ[ m ≦ n ]Σ[ d ≦ n, d | m ] m
= Σ[ d ≦ n ]Σ[ m ≦ n, d | m ] m
= Σ[ d ≦ n ]( d + 2d + 3d + ... + ⌊n/d⌋d )
= Σ[ d ≦ n ] d⌊n/d⌋(⌊n/d⌋+1)/2 >>717
ありがとうございます、理解できました
Σ[ m ≦ n ]Σ[ d ≦ m, d | m ] m
= Σ[m ≦ n]Σ[d ≦ m] m * θ(d|m) { θ(expr) := expr ? 1 : 0 }
= Σ[m ≦ n]Σ[d ≦ n ] m * θ(d|m)
= Σ[d ≦ n]Σ[m ≦ n] m * θ(d|m)
=Σ[d ≦ n] { d + 2d + ... + floor(n/d)*d } = ... 以下は、高校の教科書からの引用です。
(1)
次に、 U の中に、2つの事象 A, B がある場合を考えよう。
このとき、次のような事象を考えることが多い。
A, B がともに起こる事象 A ∩ B
A, B の少なくとも一方が起こる事象 A ∪ B
-----------------------------------------------------------
(2)
1枚の硬貨を投げる試行を T_1、1つのサイコロを投げる試行を
T_2 とし、試行 T_1 と試行 T_2 を組み合わせた試行を考える。
この試行において、
硬貨では表が出る事象を A,
サイコロでは 1 または 2 の目が出る事象を B
とするとき、確率 P(A ∩ B) を求めてみよう。
-----------------------------------------------------------
(1)では、全事象 U というのがあって、 A, B はその中の事象です。
(2)では、 T_1 に対応する全事象 U_1 があり、 T_2 に対応する
全事象 U_2 があります。 A は U_1 の中の事象であり、 B は U_2
の中の事象です。それにもかかわらず、「確率 P(A ∩ B) を求めてみよう」
などと平然と書いています。 A ∩ B などというものは考えられないにもかかわらず。 このスレを見ていると
3流の国立や私立大の理系への考えが変わったわ。
「3流大でも入学後にちゃんと勉強して単位をとってたら
それなりに出来るようになるんやなぁ」 って。
であるならば、入学試験の6科目の受験勉強、
あれは何だったんだろうな。
過剰な学力の訓練・要求に思えてきた。
だって入学後にちゃんと大学レベルの数学、解析学についていけるやん？
ち、ちなみに謙虚な神戸大卒 TOEIC700です…( ; ‘ω‘) ﾊｧﾊｧ >>719
高校数学は変な縛りがあるんで執筆者も雑なのは分かってて書いてると思います
この場合の全事象 U は積空間の U_1 × U_2 に
事象 A は A × U_2, 事象 B は U_1 × B に読み替えるべきですね >>720
三流大学や四流大学と認定される大学の学生さんが、ちゃんと学べていないのは、
入試ができない人が学ぶことができないというよりもむしろ、
「三流や四流の自分が勉強しても仕方ない」という意識を持つからだろうね
実際、日本の学力テストが素質を測れるという根拠は存在しない
これは日本の人材の損失で、少子化で更に人材が減っていく以上、三流や四流みたいな固定観念を撤廃していかない限り日本が他の国々に差をつけられていくのは必定だと思う >>722
一般入試組が受験オタク、学力厨という事実が
明るみになってきてますし
今はAO入試・指定校推薦が
入学者の半分近くっていう大学も多いですね。
(下手したら、学力の高いはずの人々が
大学の成績でAO・指定校などの学力の低めの人に負けている場合さえある) >>723
AOと推薦がどうしようもないのは2流3流大の場合
1流と4流では大して違いない
ていうか４流では入試機能しないからな >>723
東北大、早稲田大で、AO入学者のほうが成績が良いというデータもあるしね
成績が最もいいのはAO入学者 東北大、早稲田大の内部資料で判明
https://www.asahi.com/edua/article/14540038
入試のあり方を今一度見直したほうが良いだろうな、
共通一次が1979年に導入されて以降見直しが殆どないのもどうかと思うし >>726
ここでやる話題ではないし
1流大のAOによい学生が集まるのは当然
枠が増えれば低劣になるだろうも当然 >>727
例えば京都大学の学生数が22,785で、
イギリスのオックスフォード大学が11,930
イギリスの人口が6733万人で日本の1/2しかないことを考えると、
オックスフォード大学はかなり京都大学より枠を広げてるわけだけど、
間違いなく質はオックスフォード大学のほうが京都大学より上だよね？ オックスフォード大学は京都大学と同じくらいの枠だな、すまん
とはいえ、同じくらいの枠でオックスフォード大学のほうが京都大学よりずっと上ということは、
やはり京都大学の学生さんに優秀な人が集まっているとは言えないと思う
それはつまり、入試という物差しが優秀さを測ってはいないということだよね K を自然数とする。
M を K の倍数の集合とする。
N を自然数の集合とする。
f : N → N を f(n) が n を10進法で表したときの各桁の和であるような関数とする。
min {f(n) | n ∈ M} を O(K * log(K)) で計算する方法を述べよ。 N を自然数の集合とする。
K ∈ N とする。
M ⊂ N を K の倍数の集合とする。
f : N → N を f(n) が n を10進法で表したときの各桁の和であるような関数とする。
min {f(n) | n ∈ M} を O(K * log(K)) で計算する方法を述べよ。 g(K) = min {f(n) | n ∈ M} = 1 >>732
おっと、そりゃそうだ
確認だけど四則演算はO(1)でいいんやな？ まだdebugしてないけど
for(i=0; i<K; i++) A[i] = K;
for(i=0; i<K; i++){
for(f=1; f<10; f++){
A[ (10^i * f)%K ]
= min ( A[ (10^i * f)%K ], f );
}
}
m = 0;
while(A[0]>m){
i = 0;
for(j=0; j<K; j++){
if( A[j]>m && A[j]<A[i] ) i=j;
}
m=A[i];
for(f = 1; f<10; f++){
for(j=0; j<K; j++]{
A[ ( i+10^j * f)%K ]
= min(A[( i + 10^j * f )%K], A[ i ]+f );
}
}
} >>736
書きませんでしたが、
>>731
は、以下の問題です。
atcoder.jp/contests/math-and-algorithm/tasks/arc084_b いままで見た競技プログラミングの問題の中でも、いい問題だと思いました。 >>736
コードの内容は見ていませんが、最終的に答えは A のどの要素に入っているんですか？ ideone.com/GSFtad
間違っているようです。 プログラミングの人居着いちゃったけど
出来たら別スレでやってくれないかな そもそもコレ本当にO(Klog(K))でできるん？
グラフのサイズV = K, E = K²だよな？
探索アルゴリズムこのサイズのグラフでKlog(K)のやつはグクっても見つからないんだけど どのようなグラフを考えているのか知りませんが、
#E = 10 * K
のグラフを考えるのが普通ではないでしょうか？ >>748
イヤ、普通に
V = {0,1,2,3,4,...}
E = {(p,q,f) ∈ V×V | f∈{1,2,..,9 }, ∃e∈ℤ, p-q ≡ f×10ᵉ ( mod K ) }
w((p,q,f)) = f
で1～9の重み付き有向グラフの単経路問題
コレが1番普通だと思うけど
これだとちょっと必然的に♯E = O(K²)になるよ ウィキペディアに、累次積分(逐次積分)と多重積分が違うものだと書かれているのですが、本当ですか？
> 逐次積分の概念を考えるに当たり一つ重要な点としては、これは多重積分とは原則として異なる概念であるということが挙げられる。すなわち、一般にはこの二つは異なるのであるけれども、それでも十分緩やかな条件下でこれらが一致することを主張するフビニの定理が知られている。
https://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E9%80%90%E6%AC%A1%E7%A9%8D%E5%88%86
何が違いますか？ >>749
何が違うも何も明らかに定義違うやん
両方の定義書いてみればいい >>746
そもそもホントにO(Klog(K))のプログラム作って実証実験した？
どっかのフリーideにうpしてよ >>747,751
github.com/E869120/math-algorithm-book/blob/main/editorial/chap4-5/chap4-5.pdf
問題5.4.8の解答を見てください。 訂正します：
>>747,751
github.com/E869120/math-algorithm-book/blob/main/editorial/chap4-5/chap4-5.pdf
問題4.5.8の解答を見てください。 #E = 10 * K - 1
ダイクストラのアルゴリズムを使います。 ダイクストラのアルゴリズムは、priority queueを使うバージョンです。 >>750
定義は同じだと思いますけど
積分記号が重なってるという風に存在論的に見るか、逐次という風に操作的に見るかという捉え方の違いなだけで >>758
いや全然違いますけどね
重積分可能でも逐次積分できないものもありますよ >>754
イヤ、解答ざっと見る限り♯E=O(K²)なんだけど？
♯Eはある一点から出てる辺の本数じゃないよ？
グラフ全体の辺の本数だよ？
そしてダイクストラアルゴリズムの計算量でO(√♯E)ですむアルゴリズムなんかないやろ？ >>758
じゃあ同じと思っとけばいいよ
教科書に書いてある話全部信用しなくてもいい 各点から多くとも 10 本の辺が出ています。
そして、点の数は K です。 >>762
なんでやねん？
例えば同じ3をついかするのでも
302,3002,3002,....
は全部mod Kの類は違うやん？
もし逆に「そこは0を使えばいい」だと今度は0が何個使った何桁のKの倍数がゴールか決まらないから単経路問題にならない 例えばK=7の場合、頂点は0₁,0₂,1,2,3,4,5,6にして
1を追加する重さ1の辺は
0ᵢ→1,0ᵢ→3,0ᵢ→2 (それぞれ1×10³ᵐ、10×10³ᵐ、100×10³ᵐを追加する事に対応)
の3本を追加しないといけない
コレで頂点数が8、辺が24本のグラフになり、この場合0₀から0₁への単経路問題になる
辺の数を10本のグラフにすると
2桁の場合の解、3桁の場合の解、4桁の場合の解、‥の各々はO(Klog(K))でもとまるけどあらかじめ何桁の解が最小なんて導出しとくとか無理やろ おっと間違った
0ᵢ→1,0ᵢ→3,0ᵢ→2 ,0ᵢ→6,0ᵢ→4,0ᵢ→5
の6本
重さが1～6の辺が各頂点から出てるから辺の数は48本ね
ちなみにK=7の場合4桁の1001が最小でg(7)=2
あらかじめ4桁である事がわかっていればいいけどそうでなければより小さくなる可能性が残っている限りずっと探索を続けることになる
2が最小値の場合10のℤ/Kℤ*の位数のときの桁数になるけどそれはO(K)の大きさなのでそこまで探索を打ちきれない 0～x の範囲における t^(2n+2）/1-t^2 をtで積分出来る方いますか？
tは+1、-1とは異なる実数。nは0以上の整数。
-1<x<1を満たす実数xとします。 >>767
商と余りに分けて
あまりの分は部分分数に分けて >>749
そのリンク先に積分順序を変えたら逐次積分の値が変わる例が書いてあるじゃないか。
何がわからないのかわからない wikiのRudinの例面白いな
x止めるごとにyの関数として連続で可積分
、y止めるごとにxの関数として連続で可積分
さらに逐次積分も可能で結果は1と0
議論は全部般教の数学レベルでルベーグ積分もクソもないレベル
なんなら受験で出せるレベルかも (1) ∃N s.t. ∀n > Nに対してa_n<α+ε
(2) 無数の番号nに対してα-ε<a_n
(1),(2)が成り立てば、αは{a_n}の上極限であることを証明せよ。
以下の解答は間違っていませんか？
正のεを任意にとる。(1)より、∃N s.t. ∀n > Nに対してa_n<α+εが成り立つ。
n≧N+1⇒a_n<α+εが成り立つ。
∴sup{a_{N+1}, a_{N+2},…}≦α+ε
i≧N+1ならば、sup{a_i, a_{i+1},…}≦sup{a_{N+1}, a_{N+2},…}≦α+ε
iを任意にとる。もしも、sup{a_i, a_{i+1},…}≦α-εが成り立てば、(2)が成り立たない。
∴α-ε<sup{a_i, a_{i+1},…}
以上より、i≧N+1ならば、α-ε<sup{a_i, a_{i+1},…}≦α+ε
∴lim sup{a_i, a_{i+1},…} = α 数学に興味のない生徒に興味を持たせるにはどうしたらいいでしょうか？(小中高校どれでも) >>777
個人的にはないと思う。
仮に待たせるとしたら、どうしたら良いでしょうか。
洗脳すればいいのでしょうか？ 世界数学家庭連合なんて作るな｡
碌に漢字も読めず、一次方程式が出来ないなんてもんじゃない、分数の割り算どころか
それ以前の割り算からして出来ない様な、根源的不向きな人間が居るんだよ｡
あれで武家と公家のハイブリッドかつ血筋選民家系で混血無し伝統維持だってんで、辛い人生を送ったみたいだぜ｡
突然変異って言葉を忘れたか？いや知らない世代も居るかもな。今、突然変異なんて聞かねぇもんな｡ 重積分=∫が2つとか3つとかついてる=逐次積分
じゃないの？ 高校数学の教科書に以下の記述があります：
根元事象がすべて同様に確からしいような試行において、
全事象 U に属する根元事象の個数を n(U)
事象 A に属する根元事象の個数を n(A)
とするとき、 n(A)/n(U) を事象 A の確率といい、 P(A) で表す。
その後、例題の中に以下の記述があります：
A, Bで作った製品が不良品である確率は、それぞれ、 0.02, 0.01 である。
この場合の同様に確からしい根元事象とは一体何でしょうか？
その後、表と裏の凹凸のようすがかなりちがっているボタンを何回も投げたときに表の出た
相対度数がほぼ 0.52 になるから表の出る確率の近似値は 0.52 であるという記述があります。
この試行の同様に確からしい根元事象は一体なんでしょうか？
その後、
「これまで、同様に確からしい根元事象にもとづいて確率を具体的に計算した。
しかし、実際の現象では、その事象の確率を場合の数によって計算できないことが多い。」
などという記述があらわれます。
確率を
「
根元事象がすべて同様に確からしいような試行において、
全事象 U に属する根元事象の個数を n(U)
事象 A に属する根元事象の個数を n(A)
とするとき、 n(A)/n(U) を事象 A の確率といい、 P(A) で表す。
」
と定義しておきながら、事象の確率を場合の数によって計算できないことが多いなどと書いています。
それでは、確率とは何なのかという話になります。
ひどすぎますよね？ 数学とは論理的な学問ではないのでしょうか？
こんな教科書が検定済みというのが信じられません。 確率を本当に厳密に定義したいなら測度論が必要になりますからね
高校生には理解できないので、古典的な確率の話が乗っているのです
現代ではもっと洗練された定義があります >>781
逐次積分≠重積分
ってのは
全ての変数について(偏)連続≠多変数の(同時)連続
全ての変数について偏微分可能≠全微分可能
ってのと似たような意味で全然違う概念を指してるってことだよ I を区間とする。
f を I ∩ Q で定義された関数とし、以下の条件を満たすとする：
任意の正の実数を ε としたとき、 x, y ∈ I ∩ Q かつ |x - y| < δ ⇒ |f(x) - f(y)| < ε を満たすような正の実数 δ が存在する。
(1) x ∈ I とする。 {x_n} を x_n ∈ I ∩ Q であり、 x_n → x であるような数列とする。
このとき、 {f(x_n)} は収束することを示せ。
(2) {f(x_n)} の収束値は、数列 {x_n} の選択には依存しないことを示せ。
{f(x_n)} の収束値を f^{*}(x) とする。f^{*}(x) = f(x) for x ∈ I ∩ Q だから f^{*} は f の拡張になっている。
(3) f^{*} は I 上で一様連続であることを示せ。 0 < a とする。
有理数 x に対して、 a^x の定義やその基本的な性質については知っていると仮定する。
f : Q → R を f(x) = a^x で定義する。
(1) x, y を x < y であるような有理数とする。
1 < a ⇒ a^x < a^y
0 < a < 1 ⇒ a^y < a^x
がそれぞれ成り立つことを証明せよ。
(2) 任意の正の実数 ε に対して、 |a^x - 1| < ε が 0 に十分近いすべての有理数 x に対して成り立つことを証明せよ。
(3) 等式 a^x - a^y = a^y * (a^{x - y} - 1) を利用して、 I を任意の閉区間上とするとき、以下が成り立つことを証明せよ：
任意の正の実数を ε としたとき、 x, y ∈ I ∩ Q かつ |x - y| < δ ⇒ |f(x) - f(y)| < ε を満たすような正の実数 δ が存在する。
(4) f に対して、 >>787 の f^{*} を考える。 f^{*} は 1 < a であるとき、単調増加関数であり、 0 < a < 1 であるとき、単調減少関数であることを証明せよ。さらに、 f^{*}(x + y) = f^{*}(x) * f^{*}(y) が成り立つことを証明せよ。 (1)基本的な性質より
(2)基本的な性質より
(3)基本的な性質より
(4)基本的な性質より 笠原さんの『微分積分学』のロピタルの定理のステートメントの記述ですが、
まずいところがありますね。
f(x)/g(x) の g(x) が 0 にならないと仮定していますが、これだと g'(x) が 0 になってしまう可能性があります。
そうではなく、 g'(x) が 0 にならないという仮定をすべきです。
そうすれば、自動的に g(x) は 0 になりません。 >>790
>> g'(x) が 0 にならないという仮定をすべきです。
>>そうすれば、自動的に g(x) は 0 になりません。
なぜですか？ g(x) は、 x → x_0+ のとき無限小であるから、 g(x_0) := 0 と定義すると、
g(x) は、 x = x_0 で連続になる。
平均値の定理により、 g(x) は 0 にならないことが分かる。 笠原さんの本ですが、コーシーの平均値の定理のステートメントにおける仮定も同様に妙なものになっています。 >>792
>>g(x) は、 x → x_0+ のとき無限小であるから、 g(x_0) := 0 と定義すると、
>>g(x) は、 x = x_0 で連続になる。
>>平均値の定理により、 g(x) は 0 にならないことが分かる。
「g(x) は 0 にならない」は「g(x_0) := 0 」と両立しないように思いますが
違いますか？ >>793
仮定が誤っている個所を明示していただけますか？ x_0 の右近傍 (x_0, b) で g(x) が 0 でなくても、 g'(x) が x_0 の任意の右近傍 (x_0, b') で
0 になることがあります。 >>789
まさにそれだけど
学部生にやらせるには
なかなか良さげな ”ロピタルの定理”と名付けられた定理の紹介する状況なら勝手にステートメントは変えられない
それが明らかに同値とわかる場合なら変えても許されるが(十分極限値に近いxにおいては)g(x)≠0とg'(x)=0が同値となる事が自明、容易という状況ではないから変えられない そのこころは？
lestroarmonico@mathraphsody
数学ほど恐ろしく役に立つものはない．
役に立つとき，それは時として真に恐ろしいものになりうる．それはすでにアーノルドが指摘した．
「すべての数学は流体力学と弾道計算と暗号理論に要約される」 数学のまともな演習書がないのはなぜでしょうか？
微分積分に限っても、よい演習書がないように思います。 杉浦光夫他著『解析演習』
塹江誠夫他著『詳説演習微分積分学』
三村征雄他著『大学演習微分積分学』
福田他著『詳解微積分演習 I, II』
小寺平治著『明解演習微分積分』
を持っていますが、これはいいと言える演習はこの中にはありません。 >>800
演習書で勉強できると思ってる能無しを淘汰するためwww 高校までの数学は
やたらにたくさんの演習問題とそれを含む本があり良い物も多い。
ところが大学からは途端にそういう本が少なくなり、良い物も極端に少なくなる。
まるでラーメン屋や錬金術師が
自分たちの秘伝のレシピを人に教えたくないから
隠しているような…
わかりづらい事をわかりづらく述べる本しか存在しない。
全くもって、けしからんぞい ( '‘ω‘) >>803
例を考えるのが面倒だからだよ
それでも位相空間論とか集合論とかには
途轍もない例がいろいろ載ってて捗る本 >>803
学部受験感覚で
学習参考書やドリル学習に頼り続けて
思考停止に陥って自分で考えて勉強することをサボってるようなのが
研究ができるとは誰も考えてはいない。 >>800
>数学のまともな演習書がないのはなぜ
まともな演習書というのは人により違うのではないかな
沢山の問題載ってるっていう意味なら
マグロウヒル大学演習シリーズとか？ なんで試験問題は正規分布にしたがうように作るの？
GPの割り振りを考えると合格点以上で一様分布になるのが理想に思える 元々は中学教師だった桑田昭三が、受け持った生徒が勘で志望校の変更を決められてしまったことを憂いて、
科学的に判定できないのかと考えた末に、あらゆるデータは正規分布に従うというケトレーの法則(中心極限定理が出たあとに影響を受けて主張された法則だが、もちろん現在では間違っている)を使い、
学力分布は正規分布とみなせるはずだ、と仮定して偏差値によって志望校の判定を行った
それが噂として広まり、70年代前半に全国に広まった
仮に正規分布になるように問題を作ってるとして、本末転倒だしそんなことが可能かも疑わしいが、いずれにしても正規分布に従う必要性は皆無
ただ歴史的にそうなったものを思考停止で使ってるだけ
桑田昭三本人も、偏差値は教育の全てではない、選抜資料として使っているのは同じ国の人間として恥ずかしく思うとまで嘆いてる >>808
>正規分布にしたがうように作る
そんなことしてるかというか
中心極限定理で自然と正規分布になるよ
>合格点以上で一様分布になるのが理想
理想である理由が飲み込めないが
少なくともそういう異様な分布に
するのはかなり無理そうだ >>810
中心極限定理によって、標本平均と母平均の誤差が正規分布になることは言えるが、
標本分布そのものが正規分布になる根拠はない >>808
選抜試験なので合格者の平均が50点くらいで分散がなるべく大きくなるように作る
なるべく受験生の実力を正確に判定するには分散がなるべく大きくなるように作るのが理想、平均がどちらかによると分散も落ちる >>812
平均も分散も任意の確率分布で定義できるので、
その説明は正規分布関係ない >>813
そう、正規分布になるよう作ってるわけではない
そもそも最大値、最小値あるんだから正規分布になんぞなりようがない
なるべく合格者の最低が50店くらい、最小値0,最大値100分散がなるべく大きいというふうに作る
その意味での理想は0～100まで一様分布になることだけどもちろん問題の難易度レベル設定だけではそうなるハズもなく、結果合格者最低が中央値にくる部分だけ取り出すと50点が平均の二項分布になるように作る
それが受験生が多いと正規分布と見た目に似るというだけ >>811
>中心極限定理によって、標本平均と母平均の誤差が正規分布になることは言える
誤認してるね ちょっと>>814は変だな
例えば倍率が5倍の入試なら上位1/5が50点～100点、下位4/5が0点～50点が理想、さらに分散が大きければ大きいほど良い
結果分布はある程度は正規分布の曲線に似るという話、正規分布を目指すわけではない >>804
良い問題を作るのにも
才能がいるもんなぁ。
たぶん、人に説明したり設問する能力が低い著者が多いんだろうな。
>>806
演習問題は別に悪くねぇだろ。
演習問題の繰り返しは高度なパターン認識が身につく、
解く事で身についたり、理解するっていうタイプの人の助けになる。
それと思考停止ってwワロタwww
そんな日本語存在しないだろ？
どういう意味ですか？辞書に載ってないんですけど。
英語でなんていうか、わかる？ >>817
そこで自分で考えないからダメなんだよ
脊髄反射で口論ぐらいのレベルの発想な時点でダメッダメ。
ちょっとは自分で考えろ。 >>817
思考停止とは、物事を考えることや、判断することをやめてしまう状態をあらわす言葉です。思考停止は無意識のうちに起こっている場合もあります。
思考停止に陥ってしまう原因は、多くの場合過度のストレスが原因です。 >>819
はい、嘘。
じゃあ、なぜ辞書に載っていないのだ？
英語だと何ていうの？
定義もなく雰囲気で誰かが作った造語でしょ？
くだらん。 最後は、「思考停止」という言葉の由来や成り立ちについてご紹介していきますよ。「思考停止」はネットスラングなどでもなく、考えることの「思考」とやめることの「停止」を合わせたシンプルな成り立ちとなっています。「思考停止」という言葉以外にも、「フリーズ」や「頭が真っ白になる」「なげやりになる」などの言葉で表すことができますよ。
freezeを思考停止すると訳している場合も多そうだ 2つのべき級数の合成がまたべき級数になるということが書いてある微分積分の本が少ないのは
なぜでしょうか？
笠原さんの本には書いてありました。 三村征雄他著『大学演習微分積分学』には、べき級数の逆数がべき級数になるということの
証明が書いてありました。
2つのべき級数の合成がまたべき級数になることは同様に証明できると書いてあります。
確かにそうなんですが、合成のほうを証明しておけば、逆数のほうはその系として自動的
に証明できます。ですので、合成のほうの証明を書くべきだったと思います。 >>817
>たぶん、人に説明したり設問する能力が低い著者が多いんだろうな。
説明はするが理解はそちらの責任
設問は面倒だから細々したことが好きな人にお任せ
て人がほとんどだと思うが >wワロタwww
そんな日本語存在しないだろ？
どういう意味ですか？辞書に載ってないんですけど。 >>822
>2つのべき級数の合成がまたべき級数になる
|x-a|<rで収束するべき級数y=f(x)を
|y-b|<sで収束するべき級数z=g(y)に
|f(a)-b|<sの場合に合成しz=g(f(x))？
無限の項のべき乗の展開はその場で足さずに
それを無限に足したときに次数毎にまとめて足す？
g(f(c))の値を計算するときはf(c)をf(x)の各項にx=cを代入して足したあとにg(y)の各項にy=f(c)を代入するとなると
足す順序がg(f(x))で次数毎にまとめて足してx=cを代入するのと変わるからなんか面倒くさいなあ
収束考えない形式的な話ならいいだろうけど >>823
>逆数のほうはその系として
1/f(x)をz=1/yとy=f(x)の合成とするのだろうけど
この場合1/yはどこで展開してもいいのかな
それともy=b=f(a)で展開するのに限定？ (1 + x)^{1/x} = e - (e/2) * x + e * (11/24) * x^2 - e * (7/16) * x^3 + e * (2447/5760) * x^4 ± …
ということを証明したりできて非常に重要だと思います。 証明自体は
その点の近傍で解析的⇔その点の近傍で正則
を使う方が楽だからそんなに意味はない 笠原さんの本のpp.146-147の命題4.24の証明ですが、2重級数についてのこの本では証明されていない
命題を使っています。
それは、正項2重級数 a_{i,j} が収束するとき、 a_{i,j} = 農{i} 農{j} a_{i,j} = 農{j} 農{i} a_{i,j}
が成り立つという命題です。 訂正します：
>>830
それは、
a_{i,j} ≧ 0 とするとき、
。
農{i} 農{j} a_{i,j}, 農{j} 農{i} a_{i,j} の一方が収束するとき、他方も収束し、
農{i} 農{j} a_{i,j} = 農{i} 農{j} a_{i,j}
であるという命題です。 >>810
それ中心極限定理じゃないよ
得点の分布そのものの話であって標本平均の分布の話ではない
得点の分布が正規分布に似た形になることが多いのは
極端に劣る者や優れる者は少ないという当たり前のことが反映されただけでしょ 多変数関数f:Rm→Rnの微分(フレシェ微分？)ってDfと書くのが標準ですか？f’とも書きますか？ 笠原晧司著『微分積分学』
定理に登場する関数についての必要な条件（連続であるなど）が書いてないことがありますね。
こういういい加減なところが嫌ですね。 『対話・微分積分学』を読むと注意深い人なのかなと思ってしまいますが、そうではないですよね。 時間の速さは毎秒何秒ですか？
秒は普遍ですか？
なんでそうなのですか？
光の速度はなんで３×１０＾８〔ｍ/sec〕なんですか？ 多変数関数f:Rm→Rnの微分(フレシェ微分？)ってDfと書くのが標準ですか？f’とも書きますか？ フレシェ微分はFréchet derivativeと書きますね 笠原さんの本に、
f(x) = (1 + x)^{1/x} の x → +∞ のときの漸近展開。
log f(x) = (1/x) * log(x) + 1/x^2 + o(1/x^2)
f(x) = 1 + [(1/x) * log(x) + 1/x^2 + o(1/x^2)] + (1/2) * [(1/x) * log(x) + 1/x^2 + o(1/x^2)]^2 + o(1/x^2)
と書かれているのですが、
f(x) = 1 + [(1/x) * log(x) + 1/x^2 + o(1/x^2)] + (1/2) * [(1/x) * log(x) + 1/x^2 + o(1/x^2)]^2 + o(1/x^2)
の最後の項が o(1/x^2) になるのはなぜですか？ プライムで微分を表すのは一変数だと思ってる時だけだろ？ >>847
なんで1変数とn変数で記号が違うんですか？ 階乗の一般化って複素数の範囲に限ってもガンマ関数以外にも作れそうだけども他にどんなのがあるの？
それとも一意になるならその証明が知りたい >>848
多変数だとどの変数で微分したかが重要だからです >>851
？
どの変数でとかじゃなくて単に「fの微分」ですが Hadamard's gamma function >>848
1変数xについての関数ならば
記入しなくてもその微分操作は 「xについて微分すること」 と
文脈で解る。いっぽう、多変数だと…どれについてかが分からんだろ。
ドラクエで敵が1種類か2種類以上かの違いだ。
・1種類なら 「こうげき」 を選んで君のコマンドはそれで終わりだ。
・2種類以上なら、 「こうげき」 を選んで
次に 「スライムかオオアリクイか」を選ぶ。
もしも、後者で 「こうげき」 で手を止めたらコマンド入力のまま、先に進まねぇ。
なぜなら、コマンド、君の操作が意味を為していないから。 日本語の微分積分の本を何冊か見てみました。
例えば、
e^x = 1 + x + (1/2)*x^2 + … + (1/n!)*x^n + o(x^n)
と書いてある本ばかりです。
ですが、以下も成り立ちます。
e^x = 1 + x + (1/2)*x^2 + … + (1/n!)*x^n + O(x^{n+1})
f = O(x^{n+1}) ⇒ f = o(x^n)
が成り立つので、
e^x = 1 + x + (1/2)*x^2 + … + (1/n!)*x^n + O(x^{n+1})
のほうが情報量が多いです。
これはなぜなのでしょうか？ e^x = 1 + x + (1/2)*x^2 + … + (1/n!)*x^n + (1/(n+1)!)*x^(n+1) + o(x^{n+1})
のほうが情報量が多いです。 そんな事誰でもわかるという事実がいつまでもいつまでも理解できない無能 >>857
高校生レベルの丁寧な解説なのに
誰も褒め称えてくれない…
承認欲求が満たされない…鬱だ死のう…( '‘ω‘) >>863
fが写像ならdfは一変数でも多変数でも使うのに
fが関数の時にはf'はなぜ一変数の時しか使わないのか
ここまで踏み込んで説明しなかったからかもしれない >>857
もう死んだかな？
偏微分じゃないからどの変数とかいう概念がないんだけど 1変数の時は’とかd/dx
偏微分の時は∂/∂xi
全微分の時はdf
普通の関数の時こうなってるんですからフレシェ微分という全微分に対応するものには’は使わないのです f(x,y)があって、y=g(x)としたときに
df/dx=∂f/∂x+∂f/∂y*dy/dx
と書けるわけですけど、df/dxと∂f/∂x区別しないと訳わからないことになりますよね >>869
>>df/dxと∂f/∂x区別しないと訳わからないことになりますよね
もしかしてこれを否定されたと思った？
このこと自体は正しい。 >>869
本筋とあんま関係ないけどこの書き方って分かりにくいよな
左辺のfが正確には一変数関数f(x,g(x))を表してるのに対して右辺の∂f/∂xや∂f/∂yのfは二変数関数を表してるから両辺でfの意味が違う >>861
e^x は例として出しただけです。
f(x) = f(0) + f'(0)*x + (f''(0)/2)*x^2 + … + (f^{(n)}(0)/n!)*x^n + (f^{(n+1)}(0)/(n+1)!)*x^{n+1} + o(x^{n+1})
は成り立たないが、
f(x) = f(0) + f'(0)*x + (f''(0)/2)*x^2 + … + (f^{(n)}(0)/n!)*x^n + + O(x^{n+1})
は成り立つという場合にも、教科書の形式に従うと、
f(x) = f(0) + f'(0)*x + (f''(0)/2)*x^2 + … + (f^{(n)}(0)/n!)*x^n + + o(x^{n+1})
などと書いてしまう人が出てきます。 訂正します：
>>861
e^x は例として出しただけです。
f(x) = f(0) + f'(0)*x + (f''(0)/2)*x^2 + … + (f^{(n)}(0)/n!)*x^n + (f^{(n+1)}(0)/(n+1)!)*x^{n+1} + o(x^{n+1})
は成り立たないが、
f(x) = f(0) + f'(0)*x + (f''(0)/2)*x^2 + … + (f^{(n)}(0)/n!)*x^n + + O(x^{n+1})
は成り立つという場合にも、教科書の形式に従うと、
f(x) = f(0) + f'(0)*x + (f''(0)/2)*x^2 + … + (f^{(n)}(0)/n!)*x^n + + o(x^{n})
などと書いてしまう人が出てきます。 そう書いてしまう人が出てくるかはわからないけど、そう間違ってしまう人がいたらその人の考えが足りなかったというだけでは。
教科書の進行上不都合が出てこないなら甘い評価で進めても問題なかろう >>874
分かりにくいって？
分かりやすくするためにこう書いているんだけど >>878
一つの式の中で同じ記号を別の意味で使ってなんで分かりやすくなるんだ たまに高校生や大学1年のキッズで見かける。
y=f(x)=x^2 (について導関数を求めると…)
dy/dx = 2x (を得る。そして)
dy = 3x * dx
みたいに3行目で意味不明な操作をする人が
いるけどああいう感じの人なんだろうな。
dy/dx を分数だと思ってやがる。
(記号の見た目が似てるだけであって、分数ではない) 訂正 3行目
dy = 2x * dx
dyがあっちに行って、dxがこっちに行って…
とかいう意味不明な操作。 >>879
同じモノだからさ
fという値
それがx,yに関連している2変数関数だから
∂f/∂xという記法
y=g(x)という関係も含めたらxの1変数関数だから
df/dxという記法
何を意味しているのか明瞭だから区別して書いている 大体
df/dx=∂f/∂x+∂f/∂y・dy/dx
の∂f/∂xも∂f/∂yもy=g(x)が代入されているxの1変数関数
だからこそ左辺の1変数関数（の微分である1変数関数）と
1変数関数として一致している
モチロンこれを
df(x,g(x))/dx=∂f/∂x(x,g(x))+∂f/∂y(x,g(x))・dg(x)/dx
と書くことを妨げるモノではない うーん、まあいいや
俺は>>884の最後の式みたいに書いてあった方が分かる >>875
余計な仮定なしの極普通の条件「n回まで微分可そしてそれが連続」から言えるのは
f(x) = f(0) + .. + (1/n!).f⁽ⁿ⁾(0).xⁿ + o(xⁿ)
教科書は一般論を述べたいはずなのでこれでいいんです.
解析関数のように O(x^{n+1}) と書ける場合を含んでいるし
その必要があれば O で書くでしょう. これで混乱する人はもっと他の所で躓くはず
fのn階導関数が連続ならば
f(x) = f(0) + ∫[0,x] f⁽¹⁾(ξ₁) dξ₁
= f(0) + ∫ [0,x] { f¹(0) + ∫ [0,ξ₁]f⁽²⁾(ξ₂)dξ₂ } dξ₁
= f(0) + f¹(0).x + ∫ [0,x] dξ₁ ∫ [0,ξ₁] dξ₂ f⁽²⁾(ξ₂)
= f(0) + f¹(0).x + ∫∫ [0,x]² dξ² χ(0≦ξ₂≦ξ₁≦x) f⁽²⁾(ξ₂)
= f(0) + .. + ∫..∫ [0,x]ⁿdξⁿ χ(0≦ξₙ≦..≦ξ₂≦ξ₁≦x).f⁽ⁿ⁾(ξₙ)
= f(0) + .. + ∫ [0,x] dξₙ (1/(n-1)!) ∫..∫ [ξₙ,x]ⁿ⁻¹dξⁿ⁻¹ f⁽ⁿ⁾(ξₙ)
= f(0) + .. + (1/(n-1)!).∫ [0,x]dξ (x-ξ)ⁿ⁻¹{ f⁽ⁿ⁾(0) + q(ξ) } .... ( q(ξ) := f⁽ⁿ⁾(ξ) - f⁽ⁿ⁾(0) )
= f(0) + .. + (1/n!).f⁽ⁿ⁾(0).xⁿ + (1/(n-1)!).∫ [0,x]dξ (x-ξ)ⁿ⁻¹q(ξ)
|∫[0,x]dξ (x-ξ)ⁿ⁻¹q(ξ)| ≦ (xⁿ/n!).sup{0≦ξ≦x}(|q(ξ)|) = o(xⁿ)
∵ lim{x→0} sup{0≦ξ≦x}(|q(ξ)|) = 0 {f⁽ⁿ⁾(ξ)の連続性}
よって f(x) = f(0) + .. + (1/n!).fⁿ(0).xⁿ + o(xⁿ)
> f(x) = f(0) + f'(0)*x + (f''(0)/2)*x^2 + … + (f^{(n)}(0)/n!)*x^n + (f^{(n+1)}(0)/(n+1)!)*x^{n+1} + o(x^{n+1})
> は成り立たないが,
これは、あまり考えたく無い条件「f^{(n+1)}(ξ)は連続ではない」が必要になります
そういうのは必要が生じたら考えればいいだけであって記法の心配とは無縁の話でしょう 訂正: 「n回まで微分可」だけでよい.
「そしてそれが連続」である必要はない.
f(x) = f(0) + .. + ∫ [0,x] dξₙ₋₁ (1/(n-2)!) ∫..∫ [ξₙ₋₁,x]ⁿ⁻²dξⁿ⁻² f⁽ⁿ⁻¹⁾(ξₙ₋₁)
= f(0) + .. + ∫ [0,x] dξₙ₋₁ (1/(n-2)!) (x-ξₙ₋₁)ⁿ⁻² f⁽ⁿ⁻¹⁾(ξₙ₋₁)
= f(0) + .. + ∫ [0,x] dξₙ₋₁ (1/(n-2)!) (x-ξₙ₋₁)ⁿ⁻² { f⁽ⁿ⁻¹⁾(0)+ f⁽ⁿ⁾(0)ξₙ₋₁ + o(ξₙ₋₁) } .... (∵ 微分の定義)
= f(0) + .. + (1/(n-1)!). f⁽ⁿ⁻¹⁾(0).xⁿ⁻¹ + (B(n-1, 2)/(n-2)!).f⁽ⁿ⁾(0).xⁿ + Rₙ(x) .... (B(a,b)はベータ関数)
= f(0) + .. + (1/(n-1)!). f⁽ⁿ⁻¹⁾(0).xⁿ⁻¹ + (1/n!).f⁽ⁿ⁾(0).xⁿ + Rₙ(x)
Rₙ(x) := (1/(n-2)!) .∫ [0,x] dξ (x-ξ)ⁿ⁻².o(ξ)
|Rₙ(x)| ≦ (1/(n-2)!) |∫ [0,x] dξ (x-ξ)ⁿ⁻².ξ. o(ξ)/ξ | ≦ (1/n!). |x|ⁿ. sup(|o(ξ)/ξ|)
lim[x→0] sup(|o(ξ)/ξ|) = 0 ∴ Rₙ(x) = o(xⁿ)
よって f(x) = f(0) + .. +(1/(n-1)!). f⁽ⁿ⁻¹⁾(0).xⁿ⁻¹ + (1/n!).f⁽ⁿ⁾(0).xⁿ + o(xⁿ)
> f(x) = f(0) + f'(0)*x + (f''(0)/2)*x^2 + … + (f^{(n)}(0)/n!)*x^n + (f^{(n+1)}(0)/(n+1)!)*x^{n+1} + o(x^{n+1})
> は成り立たないが
そんなのは存在しない (追記) >>888, >>889 の証明は x ≧ 0 についてのもの
x<0 については
g(t) := f(-t) と置いて
t≧0 についての証明: g(t) = g(0) + .. + (1/n!).g⁽ⁿ⁾(0).tⁿ + o(tⁿ) より
f(-t) = f(0) + .. + (1/n!).(-1)ⁿ.f⁽ⁿ⁾(0).tⁿ + o(tⁿ) .... ∵ g⁽ⁿ⁾(t) = (-1)ⁿ. f⁽ⁿ⁾(-t)
x=-t で置き換えれば
x≦0 についての f(x) = f(0) + .. + (1/n!).f⁽ⁿ⁾(0).xⁿ + o(xⁿ) を得る. >>889
『余計な仮定』ということについて疑問がありますけど, テイラーの公式:
f(a+h) = f(a) + Df(a)(h) + ・・・(1/n!) D^n f(a)(h^n) + o(|h|^n)
は, f が a の近傍で n-1 回微分可能で, D^{n-1}f が
点 a でのみ微分可能であっても成り立つのではないですか？ 接空間の間に誘導される抽象的な写像の意味での微分についてはdfの方が一般的な気がする G/Φ(G)が巡回群ならGは巡回群である。
Φ(G):フラッチニ部分群
よろしくお願いします。 lim sup_{D∋z → 1} |f(z)|の定義は何ですか？ >>896
x∈G-Φ(G)とするとxとΦ(G)でGを生成するけどΦ(G)は生成系から取り除けるのでxで生成されるってんじゃないの？ >>896
G/Φ(G) の生成元の代表元の一つをgとしてgで生成される部分群Hを考える。
G=Hでないとすると、Hを含むGの極大部分群はΦ(G)とgを共に含むことからGと一致することになって矛盾。 補題 x∈φ(G),S⊂G,<{x}∪S> → <S> = G
(∵) <S>≠Gなら極大部分群Mを<S>⊂Mとなるようにとれる
x∈Mだから<{x}∪S>⊂M □
系 φ(G)が有限生成、S⊂G、<{sφ(G) | s∈S}> = G/φ(G) → <S>=G
(∵) 補題を用いてφ(G)の生成元の個数についての帰納法□
系 φ(G)が有限生成、G/φ(G)が巡回群→Gが巡回群 >>899-901
どうもありがとうございました。
ちょっと私の頭がボケていました。 解析概論とかなら載ってるんじゃない？知らんけど。
載ってない微積の教科書探す方が難しい気がするが。 実数列の上極限と実関数の極限は定義されているけど、って意味だったりする？ 「実数列の上極限と実関数の極限」の定義はもちろん書いてあります。 野村隆昭著『複素関数論講義』
奇妙なことですが、複素関数が連続であることの定義は書いてあるのですが、複素関数の極限の定義が書いてありません。
そして、いきなり複素関数の微分の定義が書いてあります。
著者が亡くなってしまっているので、連絡できないのが残念です。 >>909
じゃあいいじゃん
その二つの定義わかっていれば実関数の上極限くらい定義できるでしょ
それで二通り以上の定義の仕方が思いついたがどちらを採用すべきか、とかならそのように具体的に質問すべき >>911
それでは、数列の極限が定義されていれば、関数の極限の定義は自分で定義できるから不要ということでしょうか？ 書いてあるなしはどうでも良くね？
必要あるなら書くし
無ければ書かないかあるいは書くてだけ >>910
>複素関数の極限の定義
本を持っていないからなんとも言えないけど、複素関数列の極限の意味ですか？
>>912
関数の列や、もっと一般にフィルターづけられた関数族の極限は、
その関数が属する関数空間にどんな位相を入れるかで、扱い方が異なります。
単に数列の極限を知っているからといって、関数列の極限を自力て書けるかどうかというと、
初学者には厳しいのではないでしょうか。 >>918
「複素関数の極限の定義」についてですが、『複素関数論講義』には、
lim_{z→a} f(z) = A
の定義が書いてありません。
一方、
lim_{z→a} f(z) = f(a) の定義は書いてあります。
そこが奇妙だと思います。 >>919
本の不備を論うことそのものが目的でないならば、お答えします。
lim_{z→a} f(z) = A
の定義は、任意の正数 ε に対し, 正数 δ が存在し, |z-a| < δ なる任意の複素数 z に対し,
|f(z) - A| < ε となることです。
これは、正確には、関数の極限ではなく、関数『による』極限です。 >>920
>>|z-a| < δ なる任意の複素数 z に対し,
「0<|z-a| < δ なる任意の複素数 z に対し」にしないと
導関数の定義が書きにくいのでは？ >>912
数列の極限の定義から関数f(x)のx→aのとき極限の定義を想像しようとすると、ある収束列x_n→aを取って考えれば十分なのか全て考えなくてはならないのか、x_n=aとなるようなnがあって良いのか、といった点で(読者によっては)疑問が生じる
今考えている問題に比べるときちんと定義を書いてしかるべき問題だと思う だいたいこんな重箱のすみつつくような話いつまでもいつまでもいつまでもがぎゃあぎゃあ言ってんのがバカの証拠だよ
ちょっと考えたらわかるやん
そんなもんに統一的な定義なんてできるはずない
そんな者取り仕切ってる世界的機関があるわけもなく、みんな何となく長い年月かけて少しずつ右に倣えで標準っぽいものができてくるだけで、もちろん人の好みで多少のズレが出て当たり前、だからみんなその場その場でこの人はどんな意味で使ってるんだろうと確認しながら読む、そしてそれができる力を身につける
そんな事2、3年数学勉強すればわかるやろに
本当にスーパーバカ g は a で微分可能、 f は g(a) で微分可能とする。
ε を任意の正の実数とするとき、 0 < |h| < ε かつ g(a + h) - g(a) = 0 となるような h が存在するとする。
このとき、 f(g(x)) は a で微分可能で、微分係数は 0 であることを証明せよ。 g は a で微分可能、 f は g(a) で微分可能
ー－＞
(f(g(x)))'(a)=f'(g(a))g'(a).
ε を任意の正の実数とするとき、 0 < |h| < ε かつ g(a + h) - g(a) = 0 となるような h が存在する
--->
g'(a)=0.
ゆえに
(f(g(x)))'(a)=f'(g(a))g'(a)=f'(g(a))・0=0. >>927
h(t)=(f(t)-f(g(a)))/(t-g(a)) (t<>g(a)), f'(g(a)) (t=g(a))
∀xh(g(x))(g(x)-g(a))+f(g(a))=f(g(x))
lim(f(g(x))-f(g(a)))/(x-a)=limh(g(x))(g(x)-g(a))/(x-a)=f'(g(a))g'(a)
g'(a)=lim(g(x)-g(a))/(x-a)=0 lim_{h→0} [g(a+h)-g(a)]/h = 0 でなければならない。
φ(h) := [f(g(a+h))-f(g(a))]/[g(a+h)-g(a)] if g(a+h)-g(a) ≠ 0
φ(h) := f'(g(a)) if g(a+h)-g(a) = 0
と定義すると、 φ は h = 0 で連続である。
∴ [f(g(a+h))-f(g(a))]/h = φ(h) * [g(a+h)-g(a)]/h → f'(g(a)) * 0 = 0 φ(h) := [f(g(a+h))-f(g(a))]/[g(a+h)-g(a)] if g(a+h)-g(a) ≠ 0
φ(h) := f'(g(a)) if g(a+h)-g(a) = 0
↑このトリックを使わずに証明できないですかね？
多分、無理だと思いますが。
もし可能だとすると、妙なトリックを使わずに、合成関数の微分の定理が証明できますよね。 >>921
> 0<|z-a| < δ なる任意の複素数 z に対し」にしないと
> 導関数の定義が書きにくいのでは？
この場合は、
lim_{z→a, z ≠ a} f(z) = A
と書くのが普通ではないでしょうか。 >>935
文献にどれだけ当たればそれが断言できるのかわからない g は a で微分可能、 f は g(a) で微分可能とする。
このとき、 f(g(x)) は a で微分可能で、微分係数は f'(g(a)) * g'(a) であることを証明せよ。
(1) ε を任意の正の実数とするとき、 0 < |h| < ε かつ g(a + h) - g(a) = 0 となるような h が存在する場合。
このとき、 f(g(x)) は a で微分可能で、微分係数は 0 = g'(a) = f'(g(a)) * g'(a) であるから、成り立つ。
(2) 0 < |h| < ε ⇒ g(a + h) - g(a) ≠ 0 を成り立たせるような正の実数 ε が存在する場合。
[f(g(a+h))-f(g(a))]/h = [f(g(a+h))-f(g(a))]/[g(a+h)-g(a)] * [g(a+h)-g(a)]/h → f'(g(a)) * g'(a) (h → 0)
>>931
のトリックを使わずに証明できれば満足なのですが。 >>938
あっていると思いますが、合成関数の微分の公式は使わないで証明してほしかったです。 合成関数の微分は微積分で最も重要な公式と
溝畑先生の教科書に書いてある >>938
微分可能性を示すのだから
合成関数の微分法はその結論だよ p:E→Bをfibrationとして底空間BがAへと変位レトラクトである時
全空間でもEがp^-1(A)へと変位レトラクトである事はどのように証明すればよいのでしょうか
(変位レトラクトの定義は強でない方、つまりホモトピーはA×I上で固定されていなくてよい方の定義を考えています)
単純にE×I→B×I→B(左のmapはは射影、右は変位レトラクトを与えるホモトピー)にhomotopy lifting propertyを使おうとしても
t=1でp^-1(A)上で恒等写像になる事が示せずに困っています >>942
下記の pdf ：
ttps://www.researchgate.net/publication/352165776_homotopilun_yanjiunoto
で、定理 4.10.1 を参照してください。
DR pair というのが、変位レトラクトの意味です。
元ネタは、A.Strom の論文、Note on Cofibrations II です。 >>942
訂正. 上記 pdf では、(B, A) は closed cofibration と仮定しています。
(B, A) が closed cofibration でなくて、なおかつ A が B の変位レトラクトの場合については,
私にはまだわかりません. >>937
トリックていうか
(f(g(x))-f(g(a)))/(x-a)=(f(g(x))-f(g(a)))/(g(x)-g(a))・(g(x)-g(a))/(x-a)
の素朴さを保ちつつ
lim(f(g(x))-f(g(a)))/(g(x)-g(a))
の部分を考えるには
h(t)=(f(t)-f(g(a)))/(t-g(a)) (t<>g(a))
と置いて
limh(g(x))
が必要でそれにはh(t)をt=g(a)の場合にも連続に拡張すればよいのだから自然では？ >>944
ありがとうございます
cofibrationの用語にあまり馴染みがなくてちゃんとは読めてませんが
このpdfでDR-pairと呼んでいるものは自分が言っているところの強変位レトラクトの事のように見えます
自分が今考えているのは(弱)変位レトラクトの方でこれはwikiの
http://ja.wikipedia.org/w/index.php?curid=3607000
にあるような定義を採用しています(ホモトピーがA×I上でidentityになる事を要請しない)
https://mathoverflow.net/questions/178509/in-a-fibration-can-a-deformation-retraction-of-the-base-be-lifted-to-the-total
のサイトに関連した事が書いてあるのですが
強変位レトラクトについてはおっしゃる通りclosed cofibrationの仮定が必要になるようですが
強でない変位レトラクトの場合はその仮定なしで「明らか」だとHatcherは書いています
この「明らか」と言っている部分がよくわからないのでその部分を教えてほしいです >>946
ありがとうございます。何を自然と考えるかですね。
シュプリンガーのセールで以下の本が安いので、買おうかどうか考えています。
Mathematical Logic (Graduate Texts in Mathematics, 291) 3rd ed. 2021 Edition
by Heinz-Dieter Ebbinghaus (Author), Jörg Flum (Author), Wolfgang Thomas (Author)
これっていい本ですか？ >>947
リンクありがとうございます。Allen Hatcher 先生の明らかだ、という主張は、私にもわかりません。
I × E から E への写像 G で, G(1, x) ∈ E|A なるものはすぐに見つかりますが、
G(1, a) = a が任意の a ∈ A に対して成り立つかどうかが問題ですね。 訂正
任意の a ∈ E|A に対して成り立つかどうか k(x)=(f(g(x))-f(g(a)))/(g(x)-g(a)) (g(x)<>g(a)), f'(g(a)) (g(x)=g(a))
を考えるのは技巧的
x=aの周りで常にg(x)=g(a)である場合
k(x)=(f(g(x))-f(g(a)))/(g(x)-g(a)) (g(x)<>g(a))
にはlimk(x)が存在しないため
定義域の境界における値を延長することになるから >>949
Aから段々延ばしてBに広げられるのだから
HEPによってAの各点のファイバーをグニューッとズラしていく感じ？ >>952
いいえ、今話題になっているケースは、(B, A) が cofibration でない場合です。
使える条件は、
[1] p : E → B は fibration
[2] A は B の弱変位レトラクト
のみです。 >>949
やはりそれほどすぐには言えないですよね
もう少し考えてみます >>955
H : I × B → B で任意の x ∈ B と a ∈ A に対して
H(0, x) = x, H(1, x) ∈ A, かつ H(1, a) = a
なるものに対して, HLP によって, G_0 = id_E なる
H の lifting G : I × E → E の存在はすぐ言えるんです。
この G が 任意の x' ∈ E|A に対して G(1, x') = x' という
条件を満たすかどうかがわからない。
A のファイバーの各点をずらしていく、という感じだと、
任意の x' ∈ E|A に対して G(1, x') = x' という条件から出発して、
任意の x ∈ E に対して G(0, x) = x を満たす homotopy
G: I × E → E を構成しないといけないと思います。 C^n の、ざりすき位相での非空開集合は、ユークリッド位相で稠密ですか。 CからC^2への正則な埋め込みは
代数的な埋め込みと解析的に共役ですか。 野村隆昭著『複素関数論講義』
べき級数の合成についてですが、2重級数についての定理を使う必要がありますが、
それについては触れずに、直感的に展開してしまっています。 >>962
その本は駄本だから読むのを止めることを勧める。ここで指摘して出版社がそれを見て駄本を絶版にすること(正義の味方笑)が目的なのか >>962
それにしてもお前はその著者の本に対して異常なほど長期にわたって粘着しているよな CからC^2への代数的な埋め込みは
線形な埋め込みと代数的に共役ですか。 f(z) = a_1*z + a_2*z^2 + …
g(w) = b_0 + b_1*w + b_2*w^2 + …
とする。著者は、 g(f(z)) が z = 0 を中心とするべき級数に展開されることを示しています。
その後、次の文があらわれます：
「命題4.20より、 g(f(z)) は z = 0 の近傍で正則であり、したがって、解析的である。」
命題4.20というのは、合成関数の微分についての定理です。
この文に対して、以下の注釈が書いてあります。
「べき級数論だけで証明できるが、本書では後述の定理8.21に拠ることとした。」
これがよく分かりません。
g(f(z)) は z = 0 を中心とするべき級数なので、 z = 0 を中心とする収束円の内部で
正則です。別に、合成関数の微分についての定理を持ち出さなくてもいいはずです。
さらに、 g(f(z)) は z = 0 の近傍で解析的であることも、それ以前に証明されている
べき級数が収束円の内部で解析的であるという定理4.34から明らかです。
後述の定理8.21に拠らなくても、既に証明されていることです。
これは一体どう考えたらいいでしょうか？ 野村隆昭著『複素関数論講義』
f(z) = a_1*z + a_2*z^2 + …
g(w) = b_0 + b_1*w + b_2*w^2 + …
とする。著者は、 g(f(z)) が z = 0 を中心とするべき級数に展開されることを示しています。
その後、次の文があらわれます：
「命題4.20より、 g(f(z)) は z = 0 の近傍で正則であり、したがって、解析的である。」
命題4.20というのは、合成関数の微分についての定理です。
この文に対して、以下の注釈が書いてあります。（g(f(z))が解析的であることの証明についての注釈です。）
「べき級数論だけで証明できるが、本書では後述の定理8.21に拠ることとした。」
これがよく分かりません。
g(f(z)) は z = 0 を中心とするべき級数なので、 z = 0 を中心とする収束円の内部で
正則です。別に、合成関数の微分についての定理を持ち出さなくてもいいはずです。
さらに、 g(f(z)) は z = 0 の近傍で解析的であることも、それ以前に証明されている
べき級数が収束円の内部で解析的であるという定理4.34から明らかです。
後述の定理8.21に拠らなくても、既に証明されていることです。
これは一体どう考えたらいいでしょうか？ その本は全く駄目な本だから攻撃ネタは山ほどあるが、著者はもう死んでいるのでそれ以上やめてくれ。著者の無能が暴かれて可哀想すぎる。 >>968
いい本であると思いますが、細かいところで、疑問点が出てくるところがあります。 褒め殺しまでして攻撃の手を緩めないということか。恐ろしい奴ににらまれたな。無能な著者の自業自得と諦めるしかないのか。死んでまでこんな仕打ちを受けるとは。 絶版にさせることが目的のようだな。あまりに粘着質な読者によって無能な著者がその駄本を葬られる。しつこすぎる攻撃が恐ろしい。 >>971
『複素関数論講義』を読んだことはあるのでしょうか？ しかもこいつの指摘の「7~8割」は誤りまたはどうでもよい指摘なのだ。こんな奴のしつこすぎる攻撃で鞭打たれるとは無能な著者とはいえ可哀想すぎる。
俺は今すぐ攻撃をやめることを希望する。 >>972
疑問形式や伝聞形式でも内容により名誉毀損になるので、お前の「誤った指摘」に関しては貯めておいて開示請求の資料にさせてもらうよ。あまりにつらすぎる。 f(z) = a_1*z + a_2*z^2 + …
g(w) = b_0 + b_1*w + b_2*w^2 + …
とする。
|z| が十分小さいときの f(z) は、 g(w) の収束円の内部に入ので、合成関数 g(f(z))
を考えることができます。
g(f(z)) は z = 0 を中心とするべき級数 c_n*z^n であらわされます。
このとき、 g(f(z)) の定義域と c_n*z^n の収束域は一致するのでしょうか？ >>976
関数の定義域として原点中心の開円板のみを考えるのであれば >>974
誤りではなくどうでもよくない一番ダメな所ってどこですか？ 平行四辺形と平行六面体のn次元への一般化ってなんていうの？
2次元→平行四辺形
3次元→平行六面体
n次元→？
ウィキペディアによると「平行多面体」は違う意味で使われてるらしい(ゾーン多面体がなんたらかんたら) n次元ユークリッド空間の図形で名前ついてる方が少ないかついててもすごいマイナーなやつしかないやろ
結局“本稿では××の図形を××と呼ぶ”みたいに一々全部断り書きつけるしかない
そんなマイナーな単語使って通用するのは便所の落書きくらい 線形回帰分析で
回帰直線への距離で最小二乗法して算出した回帰直線の決定係数の算出の仕方を教えてください。
主成分回帰やダミング回帰で調べてもなかなか辿り着きません 検索ワードだけでも教えていただければ幸いです。 >>983
行列式で一般面積一般体積出せる超平行単体のシークエンスの母関数ならぬ母空間でも考えとるんか？。 >>986
y=ax+bが(xi,yi)とのズレがaxi+b-yiなので2乗して(axi+b-yi)^2でf(a,b)=Σ(axi+b-yi)^2が最小になるようにa,bを決めればいいんでしょ？ >>988
それ回帰直線の出し方じゃないです？
かと言って決定係数わからないですけど どうゆうこっちゃ？
つまりΣ| axᵢ - yᵢ +b |²/(a²+b²)が最小になるa,b？ >>990
の意味でいいなら
S = Σ | xᵢ cosθ + yᵢ sinθ + c |²
= nc² + 2c Σ (xᵢ cosθ + yᵢ sinθ)
+ Σ ( xᵢ cosθ + yᵢ sinθ )²
はc = -1/nΣ (xᵢ cosθ + yᵢ sinθ)のとき最小値
- ((Σ (xᵢ cosθ + yᵢ sinθ))²/n
+ Σ ( xᵢ cosθ + yᵢ sinθ )²
= ( -(Σxᵢ)²/n + Σxᵢ² ) cos²θ
+( -( Σxᵢ )( Σyᵢ )/n + Σxᵢyᵢ) )2sinθcosθ
+ ( -(Σyᵢ)²/n + Σyᵢ² ) sin²θ
なのでこれを最小にするθを求めればいいのではなかろか まぁでも>>990のような意味にとるのはそもそも統計学的におかしいからな
いわゆる(xᵢ,yᵢ)という散布図の計量なんて特に意味はないからそこで測った距離の二乗和が最小とかそもそも意味ない感はある
例えばいわゆる“相関係数”とかが理論的に望ましいのは２つの統計量を定数倍とか定数出すとかの変換で不変で、言ってみれば２つの統計量を“測る単位”に普遍に値が決まるのが魅力的で横軸の統計量の“単位”を変えても答え同じというのがいい
しかし“その直線までの距離の二乗の和が最小となる直線”とかその手の変換で不変ではないからな
しかしΣ|axᵢ+b -yᵢ|²が最小となるa,bはある意味その手のスケール変換で不変に保たれるからこっちの方が優れてるんだけどな >>993
ax+by+cと(p,q)の距離は
| ap + bq + c |²/√(a²+b²)
法線ベクトルの長さ1にしてるので分母を考えなくていい 決定係数がわからないんならそれで検索すればいいだろ。
>>995
それのbが-1だろ。 >>996
違うって
求めたいのは直線やろ？
その直線の方程式をy = ax + bとおくか、x cosθ+ysinθ+c =0とおくかは自由においていいやろ？
必要なら後でy = ax+bに直せばいいんやから つまり普通はa,bを変数としてΣ(axᵢ-yᵢ)²を最小にするa,bを求めるけど(wikiでは“残差の平方和”と表現している)けど、そうじゃなくてΣ(axᵢ-yᵢ)²/(a²+1)を最小にするa,bを求めたいと言ってるんじゃないの、で前者ですらどうやればいいかわからないと言ってるのが>>989じゃないの？ >>997
>つまりΣ| axᵢ - yᵢ +b |²/(a²+b²)が最小になるa,b？
>| ap + bq + c |²/√(a²+b²)
上は下のa,b,cにa,-1,bを入れたんだから分母は√(a²+(-1)²)。
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