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申し訳ない
ではさっそく
実関数 f:R→R であって任意の実数 x,y について
f(x-y) = f(x)f(y) + sinx*siny
を満たすものを全て求めよ
f=cosx
∴ f(0) = 1 , f(π/2)=0
∴ f(x) = f((x+π/2) - π/2) = sin(x+π/2) = cos(x)
f(x)を定数だとすると sinx * siny が定数になるので矛盾
f(x) = f(x)f(0) なので f(0) = 1
f(x)^2 = f(x - x) - sin^2 x
= 1 - sin^2 x
= cos^2 x
-cosx は不適なので f(x) = cosx
類題もどき。
以下の条件を満たすときのf: R -> R, g: R -> Rの性質について調べよ
1. f(x - y) = f(x)f(y) + g(x)g(y)
2. ∃s > 0 s.t. (f(s) = 1 かつ ∀x ∈ [0, s] g(x) >= 0)
おお、そんな方法が…正解です
>>10
厳密には f(x)=|cosx| 等の可能性も排除する必要あるから満点は出しにくいけど、
まあ正解出てるし修正も面倒じゃないだろうからOKかな…
ちなみに自分は f(0)=1, f(x)^2=cos^2 x, fが偶関数であることまで出たところで
f(x) = f(x/2-(-x/2)) = cos^2(x/2)-sin^2(x/2) = cosx
とするのを想定してました
結構鬼畜
てか高校で複素変数複素数値関数の概念扱わないだろう
【問】 f( x) は複素数平面全体で定義された関数であり，以下の条件(N)を満たすものとする．
＊条件(N)： Re( f( z) f (w ) )‾ )= Re (z w‾ ) が任意の複素数 z ， w に対して成り立つ．
（但し，複素数 α に対して， Re�ｿ は α の実部を， α‾ は α の共役複素数を表す．）
(1) 複素数 z の絶対値が 1 ならば， f( z) の絶対値も 1 であることを証明せよ．
(2) 以下の等式を証明せよ．
(a) 任意の複素数 z ， w に対して f (z +w) =f( z)+ f( w) が成り立つ．
(b) 任意の実数 r と任意の複素数 z に対して f (r �z) =r�f ( z) が成り立つ．
(3) 絶対値が 1 の複素数 α を用いて，
f( z)= a�z または f (z )=a �z‾
と表せることを証明せよ．
� は無視して下さい
のとき
LHS = r's'cos(θ'-φ')
RHS = rscos(θ-φ)
r=0である場合RHSはwについて恒等的に0だからLHSも任意の(s,φ)について0となる必要があり、よってf(0)=0
またr=s,θ=φのときr'=s', θ'=φ'でありr^2=r'^2
よって|z| = |z'|
さらに∠z0w = ∠z'0w'である
g(z)=f(z)/f(1)とおけばg(z)も同じ条件を満たすがこの時さらにg(1)=1
∠i01 = ∠g(i)0g(1), |g(i)| = 1によりg(i) = ±i
前者のときh(z)=g(z), 後者のときh(z) = g(z)^とすればh(x)も同じ性質を有しh(1)=1,h(i) =iである
この時任意のz≠0に対して
|h(z)| = |z|
∠z01 = ∠h(z)01
∠z0i = ∠f(z)0i
によりh(z) = z
(1) w＝z とすれば｜f(z)｜^2＝｜z｜^2となるので、｜f(z)｜＝｜z｜である。
特に｜z｜＝1のとき、｜f(z)｜＝1 である。
(2) a,b∈C に対して｜a＋b｜^2＝｜a｜^2＋｜b｜^2＋2Re(a \bar{b}) であり、
右辺には Re(a\bar{b}) という項が出現している。この項を利用すると、z,w∈C と r∈R に対して
｜f(z＋w)−f(z)−f(w)｜^2 ＝ …(地道に全て展開)… ＝ 0,
｜f(rz)−rf(z)｜^2 ＝ …(地道に全て展開)… ＝ 0
が示せて、(a),(b)が成り立つ。
(3) x,y∈R に対して f(x＋iy)＝f(x)＋f(iy)＝xf(1)＋yf(i) なので、
f(1)とf(i)の値を詳しく見ればよい。
f(1＋i)＝f(1)＋f(i) なので、｜f(1)＋f(i)｜＝｜f(1＋i)｜＝｜1＋i｜＝√2 である。
また、｜f(1)｜＝1＝｜f(i)｜なので、f(1)＝e^{ia}, f(i)＝e^{ib}, a,b∈R と表せる。
よって、｜e^{ia}＋e^{ib}｜＝√2 である。両辺を2乗すると、2＋2Re(e^{i(b−a)})＝2 なので、
Re(e^{i(b−a)})＝0 となり、e^{i(b−a)}＝±i となる。
e^{i(b−a)}＝iのときは、x,y∈R に対して f(x＋iy)＝xf(1)＋yf(i)＝e^{ia}(x＋iy) となる。
これは f(z)＝e^{ia}z (z∈C) を意味する。
e^{i(b−a)}＝−iのときは、x,y∈R に対して f(x＋iy)＝xf(1)＋yf(i)＝e^{ia}(x−iy) となる。
これは f(z)＝e^{ia} \bar{z} (z∈C) を意味する。
これは誘導無視して（3）を単独で解いたら（1）（2）は自明やね
いまさら変えても意味ないやろ
どこかで見た(3)を直接示す解法
{ w f(z)−z f(w) } { w‾ f(z)−z‾ f(w) } = 0
を示す
こんなん思いつく訳ないわ
A(z),B(w)のとき
OA→•OB→＝re(zw^)
は受験の必須公式だったんだけどな
(1)図形の全ての長さは有限
(2)二次元平面上のどの円(半径、中心は自由)内とも図形との共通部分があり、かつその円内での図形の長さは0より大きい
f,g：R → R は写像で、g(0)＝0 かつ f(x−y)＝f(x)f(y)＋g(x)g(y) (∀x,y∈R) とする。
このとき、f(x)＝g(x)＝0 (∀x∈R) または f(x)＝1−2g(x/2)^2 (∀x∈R) であることを示せ。
それどころか[0, 2π]の加算個の点でf(x) = cos(x)となることが証明できる
それは必ずしも成り立たない。f(x) ＝ cos(3x), g(x) ＝ sin(3x) のとき、
f,g：R → R, g(0)＝0, f(x−y)＝f(x)f(y)＋g(x)g(y) (∀x,y∈R)
が成り立つことが確かめられるが、
f(x) ＝ cos(x) となる x は [0,2π] の範囲に有限個しかない。
同じ仮定で任意のx,yについて g(x+y) = f(x)g(y) + g(x)f(y) が出せるな
あとは F(x)=f(x)+ig(x) と置いてごにょごにょしたら色々導けそう
まあ、面白いと感じるかどうかは個人差があるだろうけど。
某女子大には決して嘘をつかない女子大生と必ず嘘をつく女子大生がいることがわかっている。
この女子大の学生（嘘つきかどうかは不明）から
「あなたのいうことが正しければ手コキかフェラをしてあげる、間違っていれば何もしてあげない」と言われた。
女子大生にフェラをしてもらうには何と言えばいいか？
(2)サイコロを100個振ったときの目の和が101である確率を求めよ。
(3)サイコロを100個振ったときの目の和が102である確率を求めよ。
(3)サイコロを100個振ったときの目の和が期待値になる確率を求めよ。
サイコロの目のでる確率はどの目も完全に等しいというのは現実離れした想定であるので、いずれも概算値でよい。
△ABCの内心をI、AIとIにおいて直交する直線とAB,ACの交点をD,Eとする
BD=2,CE=3であるときDEを求めよ
∫_0^1 ((1/x)) dx を求めよ.
f,g：R → R は写像で、g(0)＝0 かつ f(x−y)＝f(x)f(y)＋g(x)g(y) (∀x,y∈R) とする。
このとき、次の(i),(ii)のうちいずれかが成り立つことを示せ。
(i) f(x)＝g(x)＝0 (∀x∈R) である。
(ii) ある写像 θ：R → R が存在して、θ(0)∈Z, θ(x＋y)−θ(x)−θ(y)∈Z (∀x,y∈R),
f(x) ＝ cos(2πθ(x)), g(x) ＝ sin(2πθ(x)) (∀x∈R) である。
また、(ii) が成り立つ場合、f(x)＝1−2g(x/2)^2 (∀x∈R) が成り立つことを示せ。
Σ[k=1,N]∫[1/(k+1),1/k](1/x-k)dx
=log(N+1) - Σ[k=1,N]1/(k+1)
→1-γ
素晴らしい
正解です
n=2のとき0.167
n=4のとき0.113
n=6のとき0.0928
n=8のとき0.0809
確率が5％未満になるのはnがいくつ以上のときか？
期待したのに期待外れだから。
＞サイコロを100個振ったときの目の和が期待値になる確率を求めよ。
期待値というから稀じゃないと思って期待したら期待外れだった。
逆上がりができる子が２人いることが分かっている。
そこで、A〜Gに尋ねたところ、それぞれ以下の発言をした。
ただし、７人うち、本当のことを言っているのは２人だけで、あとの５人は間違ったことを言っていた。これらのことから確実にいえるのはどれか。
A：Bは逆上がりできるよ。
B：Aは間違ったことを言っているよ。
C：AもBも２人とも間違ったことを言っているよ。
D：砂場で遊んでいた子の中には逆上がりできる子はいないよ。
E：私は逆上がりできない。
F：逆上がりができるのは２人とも砂場で遊んでいた子だよ。
G：EとFの少なくともどっちかは本当のこと言っているよ。
アンタ期待値もわかってないなら出てってくれる？
(1) サイコロを100個振ったときの目の和が100である確率は1/6^100
(2)サイコロを100個振ったときの目の和が101である確率は100/6^100=25/(3^2・6^98)=25/(9・6^98)
(3)サイコロを100個振ったときの目の和が102である確率は(100+9900)/6^100=(2^2・5^2)/(2^100・3^100)=25/(2^98・3^100)
(3)サイコロを100個振ったときの目の和が期待値350である確率は365である確率よりは高い。
>>40
BとEは逆上がりができるんじゃないかなぁ？
先生の気持ち的に。
正直者：BD
逆上がり可能：EF or EG
https://en.wikipedia.org/wiki/The_Hardest_Logic_Puzzle_Ever
そうだけどなんでそんなに怒るん？
ちゃんとした数学と問題だと思うけど？
複素平面上に作図
https://i.imgur.com/vAelqrP.png
計測すると
> abs(D-E)
[1] 4.898979
おまけ
> abs(A-D)
[1] 2.830646
> abs(A-I)
[1] 1.418647
> abs(A-E)
[1] 2.830646
> abs(B-C)
[1] 9.239314
問題の意味もとれてないねぇ
神どおしはお互いの正体を知っているという前提でしょうか？
n=2のとき0.167
n=4のとき0.113
n=6のとき0.0928
n=8のとき0.0809
確率が5％未満になるのはnがいくつ以上のときか？
答え貼られた問題になんでいつまでも固執するん？
そういうのが迷惑なんだよ
平面上のPL-Jordan閉領域Dの境界J=∂D上に4点をとりJを4つの閉線分にわけて正の向きに順にR,T,L,Bとする
Jordan経路PがL∩P≠φ、R∩P≠φを満たすときPはDを横断すると呼び、T∩P≠φ、B∩P≠φを満たすときPはDを縦断すると呼ぶとする
Dのその２つのPL部分集合による被覆D=X∪Yを取る
このときXがDを横断する経路を持つか、またはYがDを縦断する経路を持つかのいずれかが成立する事を示せ
乱数発生させて実験した結果
https://i.imgur.com/NAoPmJx.png
和が350になった割合
> mean(y==350)
[1] 0.0232915
和が365になった割合
> mean(y==365)
[1] 0.0159091
まずは、自分で考えたいから
自分で考えるのは勝手にすればいい
それをここに書くからみんな迷惑するんだよ
一生懸命数学の勉強して、実力つけて、それなりに面白い問題頑張って作って答えも用意して、それがそういうしょうもない、くっだらないレスにどんどん流されて言ってる時の気持ちわかる？
自分がどれだけ数学的になんの意味もない迷惑なだけのレスを貼り続けてるかわからんの？
時にはすごい面白い名作が並んでるのわかる？
みんなそれをどれだけ頑張って準備してるのか想像できんの？
ハウス！
https://egg.5ch.net/test/read.cgi/hosp/1640131076/
現在、無意味なプログラムを書き込む悪質な荒らしが常駐しています
通称｢プログラムキチガイ｣｢害悪プログラムおじさん｣は医療・医者板にいる尿瓶、脳内医者と呼ばれている荒らしです
https://egg.5ch.net/test/read.cgi/hosp/1607687111/
数学Iの三角比の問題や中学数学の平面図形の問題でさえ手計算では解けずに
わざわざプログラムで解くような人物です
二項分布の期待値npすら知らないレベルです
かなり低レベルの数学の問題もどきを出題してマウントを取りに来ます
下ネタが大好きです
期待という日本語にはpositiveな含蓄がある。期待される人間というと没落が期待されてはいないと思う。
hot waterに違和感はないが熱い水というのは違和感を覚える。
expcted lossを期待損失と訳すのは熱い水と同じ違和感を感じる。
こうのが理解できない気の毒な頭のようである。
面白いと考えた人が、サイコロを100個振ったときの目の和とか論理パズルにレスしてんじゃないの？
>30の問題って数学的に何か意味があんの？
俺は解くのが面白いから作図して計測した。
まあ、プログラムで方程式の数値解を出して座標を計算して長さを計測するというのをやっただけだが。
ワクワク期待していたのに、期待どおり（期待値どおり）になる頻度が２％とは期待外れと体感できた。
>>41
期待という日本語にはpositiveな含蓄がある。期待される人間というと没落が期待されてはいないと思う。
hot waterに違和感はないが熱い水というのは違和感を覚える。
expected lossを期待損失と訳すのは熱い水と同じ違和感を感じる。
こういうのが理解できない気の毒な頭のようである。
専用のスレを作ったので、
今後、そういう問題は以下のスレに書き込んでください。
数値解析の問題を書き込むスレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1640641452/
＞主に数値解析を中心とする問題を紹介して解き合うスレです
＞
＞数学的な厳密解が求まりそうになく、
＞プログラム・シミュレーション等で概算値を出せれば十分、
＞という問題が中心となります
＞
＞ただし、普通の数学の問題もＯＫ
スレタイも読めない気の毒な頭のようである
そういう言い訳もいらん
お前自分で数学の勉強した記憶ないやろ？
数学勉強してるした人間が何を面白いと思うのか、何が参考になるのかなんかお前みたいな能無しのカスにわかるわけないやろ？
黙ってロムっとけ
能無し
f(x+y)=f(x)cosy+f(y)cosx
を満たすものを全て求めよ
医学用語にはそういうのが多いな。合併症とか縫合不全とか術者の責任を回避するような用語がめだつと俺は感じている。
バカの文章はひらがながめだつなw
案外当たってるかも
こういうのが助言よりも罵倒を喜びとするクズ人間の典型。
特大ブーメラン
全部アンタのことだよそれ
数学スレにはこういうのが多いね。
数値解析の問題を書き込むスレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1640641452/5
5 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2021/12/28(火) 10:53:21.01 ID:V7fjP+Uc
>>1
よそでやれ
つまり、ここでやれとの「助言」だわなｗｗｗ
さて、ベンチタイムが終わったので成形して二次発酵にとりかかろう。
他の人はアンタの言動に失笑してるだけだと気づかないのが笑えるな
関係ない雑談の頻度が過ぎてると思うから雑談はこっちでやってね
雑談はここに書け！【６１】
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1637315946/
あと >>75 あんたの問題が統計スレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1640641452/5
の方が適している事実は変わらないから今後はこっちに投稿すること
あんたの問題が面白くない（それにしつこい）と感じている人が大勢いるんだから
せめてコテつけてこっちが自衛できるようにするぐらいの配慮はしてよ
任意のx＞0に対して、数列{f(x),f(2x),f(3x),...}が0に収束するとき、
lim(t→∞)f(t)=0を示してください.
ああ見てたのか
その場合は(・∀・)ﾆﾔﾆﾔでお願いします
実数 z を任意に取り、x＝z−π/2, y＝π/2 として、
f(z)＝f(z−π/2)cos(π/2)＋f(π/2)cos(z−π/2)＝f(π/2)sin(z)
これが任意の z で言えるので、結局、ある λ∈R に対して
f(x)＝λsin(x) (∀x∈R) となる。逆に、このように表せる f は与式を満たす。
できた
閉集合Fnを
Fn = { x > 0 ; ∀m≧n |f(nx)|≦ε }
で定める
仮定により(0,∞) = ∪Fn である
ベールのカテゴリー定理により少なくとも一つのFnは内点を持たなければならない
(a,b)⊂Fnとする
n0>nを1+1/n0<b/aと選べば任意のm≧n0に対して(m+1)a<mbである
特に
∪[m≧n0](ma,mb) = (n0a,∞)である
よってx>n0aのときm>n0とy∈(a,b)をx=myと取れるがこの時|f(x)|=|f(my)|≦εである
1,3,9,27,82,252,783,2457,？,24801,79596,256824,…
？を求めましょう
素晴らしいです お見事大正解
まさしく閉集合族F_nをそう置いてベールの範疇定理を使うのがミソでした
元ネタ
数学詳しいやつ来て！！！！！
https://mi.5ch.net/test/read.cgi/news4vip/1640629371/
この>>1は一週間掛けて何も出来なかったと言っていたのに、たった数時間で解けるとはさすがですね
そげえな大道具が必要なんじゃな
こっち仮定したら被服定理証明できたりは？
さすがに無理かな
それはどうなんだろう
あと個人的に気になるのは
連続性を課さなかったら>>78の反例が出来るのか？
ということですね
>>88 連続じゃない時の反例は例えば
f(x)=1 (ある整数mについて x=e^m を満たす時),
f(x)=0 (それ以外)
があるんじゃないかな
個々の x>0 について f(xn)>0 を満たす正の整数nは高々一つだから
lim(n→∞) f(xn)=0 は成り立つが、一方
lim(x→∞) f(x)=0 は成り立たない
x1,x2,....
をQ上線形独立、limxi=∞ととって
f(x) = 1 ( ∃i x = xi )
0 ( otherwise )
で反例
さすが無理よな
けんど
もそっと弱いとこからの証明があってしかるべしかとそう思てさ
>>90
すごい ありがとうございます
あーなるほど整数刻みであることを利用して
「複数のnでf(nx)≠0とはならない」ことを作ればいいのか 素晴らしい
クソーこういう反例をパッと思い浮かべるようになりたいな
その心は？
1,3,8,21,55,144,377,…
(3倍して前の数を引いたやつが次の数)
と
数列
1,3,10,33,109,360,1189,…
(3倍して前の数を足したやつが次の数)
の平均が
>>84の数列
1,3,9,27,82,252,783,…
になる
9項目を求めると7777
#計算機可
#見たぞの人は(・∀・)ﾆﾔﾆﾔで
どの箱にも最低1個の玉はいれるものとする。
何通りの入れ方があるか？
お年玉をもらいない人がいてもよいものとする。
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