シンプルなのに難しい問題くれ

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/20(土) 20:33:43.43

分野は数学の範囲内で何でもOK。
図や式はシンプルなのに難しい問題が欲しい。
[例]
AB=BC=8,DA=5,∠ABC=120°,AD//BCを満たす四角形ABCDの辺DA上に∠DBE=60°を満たす点Eを置く。三角形DBEの面積を求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2022/04/20(水) 23:44:40.74

2022を2進数で展開すると11111100110で1の数が8個あるから
2^8=256個が奇数

**１３２人目の素数さん** · 2022/04/21(木) 05:45:12.01

正解

**１３２人目の素数さん** · 2022/05/15(日) 21:55:06.99

nを3以上の奇数とする。
円に内接するn角形の内角が全て等しいならば、そのn角形は正n角形であることを証明せよ

**１３２人目の素数さん** · 2022/05/15(日) 22:04:32.81

中心と頂点を結んでできる二等辺三角形の低角をθiとする
ただし添字はmod nでとる
条件は[ ii-1 ] + θ[ i ] = θ[ i ] + θ[ i+1 ]
∴ θ[ i-1 ] = θ[ i+1 ]

**１３２人目の素数さん** · 2022/05/16(月) 07:19:19.88

正解です。「1つおき」がポイントでした。

**１３２人目の素数さん** · 2022/05/24(火) 09:50:17.02

┏┳┳┓
┣╋╋┫
┣╋╋┫
┗┻┻┛
同じ速さの2人が、左上の点を同時に出発して、右下の点まで最短距離で行く。
分岐点でどちらの道を選ぶかは同様に確からしいとする。
このとき、2人が初めて出会うのが右下の点である確率を求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2022/05/24(火) 17:19:04.56

>>79
せめて全経路が同様に確からしいならともかく、その設定では難しいというよりただ手間かけるしかないだけのクズ問やろ

**１３２人目の素数さん** · 2022/07/13(水) 22:18:19.36

x, y, zが正の実数で、xy, yz, zx, (x+y+z)^3が有理数ならば、x, y, zは有理数であることを証明せよ

**１３２人目の素数さん** · 2022/07/14(木) 06:00:00.12

(x+y+z)^3=(1+(yz)/(xz)+(yz)/(xy))^3(xy)(xz)x/(yz).

**１３２人目の素数さん** · 2022/07/14(木) 07:41:53.62

正解です

**１３２人目の素数さん** · 2022/07/15(金) 07:05:58.59

表に1から5の数が1つずつ書かれた5枚のカードが裏返しに置かれている。
A, B, Cの3人がこの中から1枚ずつカードを取り、カードの表を前方に向けて立った。
3人はいずれも他の2人のカードは見えるが、自分のカードは見えない。
3人は、
●自分が、他の2人のカードの数よりも大きい数のカードを持っていると分かったときには「勝った」と言い、
●自分のカードの数より大きい数のカードを持っている者がいると分かったときには「負けた」と言い、
●どちらとも判断できないときには「分からない」と言うことにした。
さて、A, B, Cは、この順に、見えているカードとそれまでに他の者の発言があるときにはその発言とから、次のように述べた。
A「分からない」
B「分からない」
C「負けた」
このとき、3人の持っているカードの数としてあり得る組み合わせを全て書け。

**１３２人目の素数さん** · 2022/07/15(金) 15:35:30.39

まず容易にわかる必要条件
①5人の中に5はない(∵これは自明)
②A,Cは4ではない(∵A,Cどちらか4ならBは負け宣言するはず)
③(A,B)≠(1,2),(2,1)(∵CのA,Bの発言から)
④誰かは4(∵全員1,2,3とすると③からそれはCではない、とするとAかBのいずれかが3だがいずれにせよAかBからは残りの2人が1,2であるのを見てるので勝ち宣言するハズ)
⑤Bは4(∵誰かが4だが②からそれはBと確定)
⑥A,Cのいずれかは3(∵でなければA,Cはもう1 ,2しか残ってないがそれならBが勝利宣言している)
⑦(A,B,C) = (3,4,2)ではない(∵もしそうならBは自分の番で(3,1,2),(3,4,2),(3,5,2)の可能性に絞れるが最初のケースならAは勝ち宣言、最後のケースならAは負け宣言してるはずなのでBは自分が4と推論できてしまう)
残った可能性は
A B C
-------
3 4 1
1 4 3
2 4 3
でコレらの場合3人の発言に矛盾しない

**１３２人目の素数さん** · 2022/07/15(金) 18:05:06.29

惜しい

**１３２人目の素数さん** · 2022/07/16(土) 19:42:59.49

誰かが5を持っていれば、AとBの少なくとも一方は、「負けた」と発言する。60通り→24通り
AかCが4であれば、Bは「負けた」と発言する。この二点にのみ注目すると、可能性は次の12通り。
ABC=123,132,142,143,213,231,241,243,312,321,341,342

さらに、{b,c}={1,2},{a,c}={1,2}の時は、AまたはBが「勝った」と発言するので、次の6通りに絞られる。
ABC=123,143,213,243,341,342

Bが、AC=13、あるいは、AC=23を見た時、Bが勝っている場合も、負けている場合もあるが、
AC=31、あるいは、AC=32を見た時は、B=4が確定し、「勝った」と発言するので除かれる。
従って、Bの発言終了時点で残されている可能性は、次の4通り。
ABC=123,143,213,243

その後、Cが「負けた」と発言したので、ABC=143,243　の二通りがあり得る。

**１３２人目の素数さん** · 2022/07/16(土) 20:13:08.93

ABCがアホっていう可能性は？

**１３２人目の素数さん** · 2022/07/16(土) 20:59:32.36

>>87
正解です。

**１３２人目の素数さん** · 2022/07/18(月) 09:42:33.45

表に赤か青か黄の丸が書かれた7枚のカードが裏返しに置かれている。
AからGの7人がこの中から1枚ずつカードを取り、カードの表を前方に向けて立った。
7人はいずれも他の6人のカードは見えるが、自分のカードは見えない。
このとき、自分の色を当てるというゲームを行った。
「色は赤か青か黄のいずれかで、同じ色は最大3枚まで」
というヒントが与えられていたが、初めは誰も自分の色が分からなかった。
しかし、誰も分からないという状況を知った何人がが同時に「分かった」と言った。
そして、それを聞いた残りの人が同時に「分かった」と言った。
さて、最初に「分かった」と答えた人は何人か。
ただし、7人は判断するのに同じだけの時間を要するものとする。

**１３２人目の素数さん** · 2022/07/18(月) 16:16:16.88

① RRRBBBY, BBBYYYR, YYYRRRBはない、すなわち全員3色見えている、特にどの色のカードも2人以上が所持している
② RRBBBYYYとして一般性を失わない
③ Rのカードの所持者からはRBBYYYが見えている、よってRカードの所持者はこの時点で自分のカードを判別出来る、Bも同様、Yの所持者はRRBBYYが見えておりこの時点で自分のカードを判別できない、よってこの時点で判別できたのは4人
④ R,Bのカードの所持者が判定できたのを確認した時点でカードのパターンがRRBBYYYと全員が判別出来る、よってこの問題に矛盾はなく解はある

**１３２人目の素数さん** · 2022/07/18(月) 17:22:44.94

正解です。

**１３２人目の素数さん** · 2022/07/22(金) 15:58:32.91

同じ大きさの2つの球をラップで包むとき、ラップの表面積を最小にするにはどのように包めばよいか。

**１３２人目の素数さん** · 2022/07/22(金) 16:48:12.08

どっかで出てたやつやな

**１３２人目の素数さん** · 2022/07/23(土) 07:52:55.87

ある女性が宝石店に来て、5000円の指輪を買った。
しかし、この女性は次の日再びこの店に来て、
「やっぱり1万円の指輪にするわ」
と言って、5000円の指輪を返し、1万円の指輪を持ってそのまま店を出ようとした。
慌てた店員は、
「すみません、差額の5000円をいただきたいのですが」
と、この女性を呼び止めた。
ところが、この女性は、
「何言ってんのよ。昨日私はあなたに5000円の現金を渡し、今日私はあなたに5000円相当の指輪を渡したんだから、あなたに全部で10000円相当を渡してるでしょ。私が10000円の指輪を持って帰ってどこが悪いのよ」
と言った。
この話のおかしな所はどこか。

**１３２人目の素数さん** · 2022/07/25(月) 05:19:11.94

n(≧2)個の異なる実数の集合S={a_1, a_2, …, a_n}に対して、相異なる要素a_iとa_jの差(a_i) - (a_j)または(a_j) - (a_i)の少なくとも一方が必ずSに属するとする。このとき、a_1, a_2, …, a_nの順序を適当に変えれば、等差数列になることを示せ。

**１３２人目の素数さん** · 2022/07/25(月) 07:18:18.38

>>96
正の単調増加列と仮定して数学的帰納法
でいける

正と負が存在=>成り立たない
成り立つ=>全て符号を反転しても成り立つ
成り立つ=>0を追加しても成り立つ
で一般性を示す

**１３２人目の素数さん** · 2022/07/25(月) 07:35:43.54

その通りです

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/01(月) 10:43:22.82

AからHの8人が次のように言った。
A「8人の中に正直者が1人以上いる」
B「8人の中に正直者が2人以上いる」
C「8人の中に正直者が3人以上いる」
D「8人の中に正直者が4人以上いる」
E「8人の中に嘘つきが1人以上いる」
F「8人の中に嘘つきが2人以上いる」
G「8人の中に嘘つきが3人以上いる」
H「8人の中に嘘つきが4人以上いる」
このとき、正直者を全て答えよ。

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/01(月) 15:20:22.43

♯正　Ａ　Ｂ　Ｃ　Ｄ　Ｅ　Ｆ　Ｇ　H　
0 偽　偽　偽　偽　真　真　真　真　
1 真　偽　偽　偽　真　真　真　真　
2 真　真　偽　偽　真　真　真　真　
3 真　真　真　偽　真　真　真　真　
4 真　真　真　真　真　真　真　真　
5 真　真　真　真　偽　真　真　真　
6 真　真　真　真　偽　偽　真　真　
7 真　真　真　真　偽　偽　偽　真　
8 真　真　真　真　偽　偽　偽　偽　

正直者の数と発言の真偽
「正直者が必ず真の命題を述べ、嘘つきは必ず偽の命題を述べる」ならば矛盾しないのは正直者の数が6人の時

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/01(月) 15:22:18.17

E F G H 逆さまorz
結論同じだけど

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/01(月) 16:07:48.60

正解です

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/02(火) 05:25:46.77

2人の委員を選ぶ選挙に8人が立候補した。
50人が、投票用紙に異なる2人の名前を書いて投票する（無効票はない）。
このとき、次の□を求めよ。
（1）得票数が□票以上ならば確実に当選する
（2）得票数が□票以下ならば確実に落選する。

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/02(火) 07:25:15.85

(1)17
(2)0

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/02(火) 07:26:05.56

問題文に不備を感じる

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/02(火) 19:08:15.57

(1)
1位34票、2位33票、3位33票　というのが、3位の最大票。
従って34票取れば、必ず当選できる。

(2)
1位50票、2位8票、3～8位7票ずつ　というのが、2位の最小票。
従って、7票なら確実に落選。

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/02(火) 19:17:39.17

>>106
お見事です

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/03(水) 21:00:41.37

平面上に黒点と赤点が同数ある（有限個）。
ただし、どの3点も同一直線上にないとする。
さて、黒点と赤点を一つずつ選び線分で結ぶ。
さらに、残りの点から黒点と赤点を一つずつ選び線分で結ぶ。
以下同様に続ける。
【問】黒点と赤点をうまく選ぶと全ての線分が互いに交わらないようにできることを示せ。

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/04(木) 02:08:47.94

赤点と黒点のペアリングで長さの総和が最小値をとるものをどればよい
そのようなペアリングで(R₁,B₁),(R₂,B₂)がペアリングされているとする(Rᵢが赤、Bᵢが黒)とする
４点の凸包が三角形なら線分R₁B₁と線分R₂B₂は共有点はない
凸包が四角形で線分R₁B₁と線分R₂B₂が対角線で交点をXとすれば
R₁B₁+R₂B₂
= R₁X + XB₁ + R₂X + XB₂
= R₁X + XB₂ + R₂X + XB₁
< R₁B₂+R₂B₁ ( ∵ R₁B₂X、R₂B₁X は三角形の頂点をなす)
となり最小性に反するからR₁B₁と線分R₂B₂が対角線である事はない
∴ 線分R₁B₁と線分R₂B₂は共有点はない□

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/04(木) 06:08:05.46

正解と言いたいですが、不等号の向きが…

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/04(木) 07:05:13.51

ありゃ

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/18(木) 21:53:00.37

任意の16桁の自然数に対して、連続した1つ以上の桁の数の積で平方数であるものが存在することを示せ。

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/19(金) 01:09:07.62

1桁目からk桁目までの積の2,3,5,7の多重度の奇偶を考える
ただしk=0の場合は(偶、偶、偶、偶)とする
k=0～16まで変化させたとき必ず同じになるk₁,<k₂ができる
この時k+1桁目からk₂桁目の∫が平方数である

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/19(金) 05:33:51.12

お見事です。

**１３２人目の素数さん** · 2022/09/06(火) 22:33:27.29

aとbを正の無理数とし、1/a + 1/b = 1とする。
2つの集合AとBを
A={[a], [2a], [3a], …}
B={[b], [2b], [3b], …}
とする。ただし、[　]はガウス記号とする。
このとき、A∩Bは空集合であることを示せ。

**１３２人目の素数さん** · 2022/09/07(水) 16:41:19.96

https://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AC%E3%82%A4%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86#:~:text=%E3%83%AC%E3%82%A4%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86%E3%81%AF%E3%80%811,%E3%81%A8%E5%91%BC%E3%81%B0%E3%82%8C%E3%82%8B%E3%81%93%E3%81%A8%E3%82%82%E3%81%82%E3%82%8B%E3%80%82

**１３２人目の素数さん** · 2022/09/07(水) 18:39:14.95

N<am<N+1‥①、N<bn<N+1‥②(m,n,N∈ℕ)とする
①/a + ②/b : N<m+n<N+1
矛盾
∴A∩B=φ
(∵) am<N‥③、N+1<a(m+1)‥③'、bn<N‥④、N+1<b(n+1)‥④'(m,n,N∈ℕ)とする
③/a+④/b : m+n < N
③'a+④'/b : N+1 < m+n+2
∴ N-1 < m+n < N
矛盾
∴A∪B = ℕ

**１３２人目の素数さん** · 2022/09/07(水) 19:48:32.27

お見事です

**１３２人目の素数さん** · 2022/09/20(火) 22:36:09.38

面接官「ここに9人の受験生がいます。1～9までの好きな自然数を1つ書いてください。1番大きい自然数を書いた人を採用します。ただし、他の人と数字が被った人は不採用となります」
どの数字を書くのがいい？

**１３２人目の素数さん** · 2022/09/21(水) 08:10:36.81

**１３２人目の素数さん** · 2022/10/05(水) 02:15:56.48

>>119
質問する
全員が不採用となった場合どうなるのかについて質問する。または、必ず1人は採用されるのか質問する

何故質問するかというと、例えば受験者が2人で他は同じ条件の場合、2人とも必ず採用されたいのなら、1番大きな自然数以外を書いても採用されなく、結果2人とも1番大きな自然数9を書くことになります。しかし、それでは数字が被ってしまい全員が不採用になってしまいます
そこで、もし全員が不採用になった場合、再度同じ条件の問題をするなら、何度も同じことを繰り返すことになり、いつまでたっても面接が終わらない事態になります
これは、9人でも同様のことが起こりうる可能性が少なからずあります。なので、全員が不採用になった場合についてどうなるのかをまずは質問する

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2022/10/13(木) 16:05:44.18

前>>55
>>119

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2022/10/13(木) 16:08:46.37

前>>55
>>119
9が2人、8が2人、7が2人、6が2人かぶっていて不採用になれば、5で採用される。
∴5に張る

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/29(木) 04:38:09.39

2つの封筒があり、一方の封筒に入っている金額はもう一方の封筒に入っている金額の2倍である。
一方の封筒を開けると1万円が入っていた。
あなたはそのままその1万円をもらってもいいし、もう一方の封筒と交換してもいい。
さて、どうする？