大学学部レベル質問スレ 16単位目
レス数が1000を超えています。これ以上書き込みはできません。
正規直交基底ってミスリーディングな用語だな。
無限次元のときはベクトル空間としての基底じゃないんだから。 ベクトル空間の基底とヒルベルト空間の基底が違っても問題ないだろ >>6
アホか、内積が定義されていないと正規直交が定義できないと言ってるんだよ
それに「ベクトル空間の基底とヒルベルト空間の基底が違う」ことはありえんと思うけど、例を挙げてくれ >>8
> 「ベクトル空間の基底とヒルベルト空間の基底が違う」ことはありえん
これは間違った認識だから改めた方が良い 馬鹿は、ベクトル空間、内積空間とヒルベルト空間の区別ができませんｗ 位相があれば無限和が定義できる
線型結合に無限和を許したものも考えられる
というか双対空間を知らないのかな >>11
>ベクトル空間、内積空間とヒルベルト空間の区別ができませんｗ
あたまいいひと、区別教えて 可分なヒルベルト空間はベクトル空間としての次元も可算だと思うのは良くある間違い >>11
どう見ても自分自身のことを言ってるけど、自虐なの？ ベクトル空間に内積を定義したのが内積空間
底とした体に位相がついてれば内積で内積空間にも位相がつくが
その位相で完備なのがヒルベルト空間
無限和が定義できるからベクトル空間より基底が大幅に少なくできる
ベクトル空間だと非可算次元なのがヒルベルト空間では可算次元になったりする 稠密な部分空間しかスパンしないのに「基底(basis)」という言葉を使うのは紛らわしくて良くない、という話をしている ベールのカテゴリー定理の重要な応用例だから知っておいた方が良い話 >>19
お前がベクトル空間の（ハメル）基底を聞かれているのにl^2のヒルベルト空間の基底を答えているのも「自虐」か？ RはQベクトル空間という記述を
「とてもまともに数学わかる人間の書いた文章と思えん」と言ってた奴もいたな 話はそれるけど、係数体がR、C以外の一般の場合のヒルベルト空間論は難しそう、意味があるかどうかは知らないけど p-adic hilbert space検索してみたら、以前から研究されている対象のようだ 全く違うけどQuaternion Quantum Mechanicsというのもある Octarnion Quantum Mechanics
はどうだ >>31
>Octarnion Quantum Mechanics
Octonion やってみたら、論文書けるかもしれないし車輪の再発見かもしれない 車輪の再発見もできない奴に新発見ができるわけがない 新発見かと思ったら再発見だった、てのが多いんだよなー
というわけで俺は再発見しかやってないような気がする 可逆連続なのに同相じゃない例って簡単なのありますか？ [0, 1) ∋ t → (sin(2*π*t), cos(2*π*t)) ∈ {(x, y) | x^2 + y^2 = 1} 曲面積が謎なんやが
平面なら図形を外と内から正方形集合を使って評価して、上積分と下積分の一致で納得できる
でも曲面は曲がってるから正方形と比較できない >>44
パラメータ表示された曲線については
弧を最大速度と最小速度で動いた場合を考えて上積分と下積分の一致や
あるいは「微分すると速さになる」ことは納得できるから「速さの積分」と考える >>47
？
動点が時刻aからbまで動いた時、その道のりは最大の速さで動いた場合と最小の速さで動いた場合の間にあるってことやで 分析哲学の本でオススメはありますか？
数理論理学は勉強しました。
いきなり論考読んで良いんですかね？ とあるスレで「哀れな素人」安達弘志と
「変態数学の系譜 雑談」とかいう
二匹のトンデモに以下の質問をしてみたが
参考のため、ここでも同じ質問をしてみるので
上記の二匹に見せつけられる完璧な回答を返してみてほしい
U_1=[0,0.9] (0以上0.9以下の数からなる閉区間)
U_2=[0,0.99] (0以上0.99以下の数からなる閉区間)
･･･
U_n=[0,0.9･･･(n個)･･･9] (0以上0.9･･･(n個)･･･9以下の数からなる閉区間)
と定義し
U＝∪U_i(i∈N) (全ての自然数iでのU_iの和集合)
と定義する
さて、
Q1. 0.999･･･(自然数で位置が表せる全ての桁の値が9)は、Uの要素か？
Q2. 0.***･･･なる小数で、Q1の0.999･･･以外の小数は、Uの要素か？ 曲線は直線と等長写像で比較できるから分かりやすいんや
曲線の長さは糸を曲線にピッタリ合わせてから真っ直ぐにして長さを測れば近似できる
でも曲面はそういうことはできないんや >>51 Q2もよろしく
>>53 まあそうなんですが、どうしてそうなるかも一応４６４９ Pを述語とする。
選択公理により、∀x∈a ∃y P(x,y) ⇒ ∃f ∀x∈a P(x,f(x))が成り立つことは知られてる。
この選択者像は定義域が集合だが、これが集合全体になる場合、つまり、
∀x ∃y P(x,y) ⇒ クラス関数Fが存在して ∀x∈a P(x,F(x))は成り立つのか？
かなり強い主張だが、この命題が成り立ったら集合論の他の分野にどんな影響を与えるのか？気になる。 公理なんだから無矛盾である以上、正しいとか誤りとかという話ではない
採用するか、採用しないかの２択しかない >>58
クラスと集合の切り分けは任意だから変わらんだろ
>>62
クラスを定義域とする関数 >>64
てことはクラスの直積の部分クラスで一価なもの？
FがクラスAからBへのクラス関数であることを
論理式で書いたらどうなるの？
てゆーか書けるのかな？
論理式で書けたら集合になっちゃわない？ >>64
クラスは論理式に対応するから
あるクラスが存在して云々
なんていうのはダメじゃないの？ 2階の述語論理なり集合に入れるなり好きにすれば良いのでは？ 超限帰納法を使った整列可能定理がくっそ簡潔だから、お前らにも教えたる。
Xを集合とする。
第αステップ目について考える。
任意のβ＜αステップ目についてf(β)∈Xを定義できているとする。
もし、今まで定義してきたf(β)の集まり{f(β)|β＜α}がまだXの全てを覆えていないならば、X＼{f(β)|β＜α}≠φなので、
存在する元yを1つ取り、f(α)=yとする。
明らかに、f(α)は今まで定義してきたf(β)とは異なる。(★)
{f(β)|β＜α}=Xならば、Xの元を網羅出来たということなので、f(α)=φとでも置く。
以上から、超限帰納法により任意のステップ(順序数)に対してfの値が定義できた。
もし、永久にfでXの元を網羅できないならば、★を加味すると、順序数全体のクラスからXに単射が定まっているということになるが、
順序数全体は集合ではないのでこれは矛盾している。
よって、どこかのステップでXの元を網羅できる。
γをその最小ステップとすると、fのγへの制限写像は順序数γからXへの単射かつ全射(第γステップでXの元を網羅してる)
もっと簡単に言えば、
Xの元を任意に順に取って集めていく。今まで取ったものは戻さず取り除いていく。
いつかはXの元を全部取りきる。順に取ったものの系列が順序数を添え字とした漏れもダブりもない点列となっている。
ってこと。 一言追加
ｆ：γ→Xなるか逆写像が定まったが、順序数γは整列集合なので、この可逆写像をもってしてXの順序を定めればXは整列集合になっている。 >>70
(X_i)をi∈Iを添字集合とする集合列とし、X_i≠φとする。
X=∪X_iを整列する。
a_i := min X_iと置けば、(a_i)∈Π X_iである。
証明終わりｗ なんか急にレスが止まったな
整列可能定理って集合論の入門レベルなんだがそれさえしんどい話か？ しんどいつか
zornの補題
比較可能定理
整列可能定理
逆写像定理
選択公理
の同値性をちゃんと証明して認識すべきよね Zornと整列と選択の同値証明しかやってねーや
自分で考えただけでできたがな ω1の定義って、
μα[ω＜α＆αは極限順序数]
だったけ？それとも、
μα[ω＜α＆|ω|＜α]
だったっけ？ >>76
自己解決
ω_1 := μα[|ω|<α]だな ω_1 = {α | |α| = |ω| } では？ 1年生です。
正方行列Aの逆行列の定義をAB=BA=Iとなる正方行列Bと習いました。
AB=Iだけでは不十分ですか？
AB=IかつBA≠Iとなる例があれば教えてください。 無限次元だとあるけど有限次元ではないね。
有限次元のときは逆行列を求める公式を考えれば分かる。 >>79
ω_1 = { α | |α| ≦ ω } = μα[ω<|α|]
ってことかな aを順序数の集合とする、γを極限順序数とする
∀α∈a α＜γ⇒∪(a)<γ
が成り立つならその証明お願い あ、確かにAB=Iなら|A||B|=1よりAもBも可逆だからAB=AA^-1=IからB=A^-1ですか K^Nの右ずらしから誘導される線形作用素をA、左ずらしから誘導される線形作用素をBとすると、BAは恒等写像だが、ABはそうではない 行列 Aに 右逆行列 B が存在するとき, |A| |B| = |AB| = 1 よって |A|≠0
行列式の定義より
Σ[k=1,n] a~[k,i] a[k,j] = δ[i,j] |A|
Σ[k=1,n] a[i,k] a~[j,k] = δ[i,j] |A| が言える. { 余因子行列の成分: a~[i,j] }
よって(左右)逆行列 A^{-1} { 成分: a~[j,i] /|A| }が存在する.
B = I B = (A^{-1} A) B = A^{-1} (AB) = A^{-1} I = A^{-1}
よって逆行列は一意に定まる． >>80
全ての A について AI = A となる I が存在し、‥‥①
その上で、全ての A について AB = I となる B が存在すれば‥‥②
BA = I となるのは必然です、ただし、②を満たすためには、 A は A の行列式 determinant, |A| ≠ 0 である必要があります
だから >>80 のいう例外的な例は、行列式が 0 である行列から探すことができるかもしれません >>86
へえ、なるほど‥‥
それには気がつきませんでした 行列式等を使わない証明：
有限次元で基底を e_1 ～ e_n とする
AB = I なら B e_1 ～ B e_n も独立なので基底である
これに BA を作用させると BAB e_1 = BI e_1 = B e_1 ～ BAB e_n = B e_n となり
不変なので BA = I である μα(ω＜cf(α))＝？
ただし、cf(α)はαの共終数 いま大学1年で写像習ったんだけど、写像の考え方ってどういう分野に応用できるんだ？
全く想像がつかない どう応用できるかというか、むしろ何か2つのものを対応づけて考えたことはないのかと 工学部には不要な数学
>どういう分野に応用できるんだ？ 線型代数ほどあらゆる所で利用されてるものは無いんだがな
何も使えん奴か >>99
対応づけて考えるにしても、「〇〇だから✕✕」みたいに理解するだけであって、単射だの全射だのは考えなくないか？
写像を理解してないと後々困る数学の分野とかあるんかね >>105
一対一に対応してるかどうか(単射)、対応されうるもの全てに対応してるかどうか(全射)は普通に考えるでしょ
というか、まずは関数(のグラフ)で単射と全射の意味を考えてみたらいいと思うんだけど…… この程度の話題なら俺でも答えられるって奴らが、ここぞとばかりにレスしててワロタww >>110
少量の知識なりに頑張ったのを笑われたのが悔しくなっててワロタｗｗ
レスできないんじゃなくて、レスしてないだけだよｗ
写像とか基礎の線形代数ごときがわからねぇわけねぇだろww >>112
一体俺が何を恥ずかしがるんだよ
俺が知ったかでもしてると思ってんのかな？たかがその程度の内容でw、こいつｗ 線形代数 微分積分 集合 位相
はスレを分けたらいいんじゃな～い 写像は直積の部分集合で特別なものと定義するってことだけど
f(a)って書き方はfとaからf(a)を与える写像なんじゃないの？
mathematicaだとapplyだっけなそういうやつ
任意のX,Yに対してf:X→YがX×Yの部分集合の特別なものなら
そのような写像の集合をF={f⊂X×Y|f:X→Y}⊂X×Yとして
apply:F×X→Yって写像を想定しているってこと？
X,Yについてのapplyは写像でそれはF×X×Yの部分集合？
F⊂X×Yだからapply⊂X×Y×X×Yなの？
X,Yは任意の集合だからapplyってのはクラス関数なの？ 数理論理学スレのほうが適当だかも知れないので行きます ∀x(P(x)) を否定すると ∃x(￢P(x)) となる理由について、 ∀x(P(x)) の意味を考えて説明されることが多いです。
数学は公理を設定してすべてそこから導かれるといいますが、これはOKなんでしょうか？ ∀x(P(x)) ＜＝＞ ￢∃x(￢P(x)) は公理でそ。そう決めると、都合いいの説明がそれ >>119
そういうことも含めて、必要な公理がすべて書かれている数学基礎論の本はありますか？ 違うというか
公理だから採用するかしないか咨意的に決めて良い 何が真で何が偽か恣意的に決めていいのか？！
じゃあ1+1は200だ
すごいだろ 公理系をどう恣意的に組んでもいいが
無矛盾でなければ使いものにならんぞw 下の問題に対する解答は合っていますか？
問題： Let φ(x) be a formula. What does ∀z∀y((φ(x)∧φ(y) )→ z=y) assert?
解答： z ≠ y ならば φ(x) または φ(y) のどちらかは成り立たない。
こういう問題を試験で出題したとき、採点者は間違っていなければすべて正解にするんですかね？
それとも、普通の日常後に直したときに「自然な」解答でないといけないとか言い出すんですかね？
そうすると、主観が入りますよね。
例えば、
What does the formula ∃x∀y(￢(y ∈ x)) say in English?
という問題の解答を、
ある集合 x があって、任意の y に対して、 x は y を含まない
と解答したら正解でしょうか？
それとも、「x は空集合である」と書かないと不正解になりますか？ 課題とかではないんですが、頻繁に検定を使う機会があり、
以下例題を作問しました、この例題について教えて頂きたいです。
山田君、山本君、山岸君の３人に特性ジュースを飲んでもらい、
指定された時間ごとに尿を採取して、タンパク量を測り取った結果、
０分 ３０分 ６０分 ９０分 １２０分
山田 ０ｇ １ｇ ２ｇ １０ｇ ０ｇ
山本 ０ｇ １ｇ ２ｇ ３ｇ ２ｇ
山岸 ０ｇ １ｇ １ｇ ５ｇ ０ｇ
となった。
この結果を解析する場合、どのような検定が有効でしょうか？
９０分に有意に大きくなり、１２０分に有意に小さくなった、等を解析したいのですが。
まずそもそも、経時的変化を解析する際に統計手法は用い・・・ますよね？
山田、山本、山岸の各時刻ごとの平均のみを対象とするのではなく、
１２個のｇのデータ全てを結果的には用い、検定を行うのでしょうか？ また、親指と小指を怪我した場合の回復の仕方についてのデータの特徴を調べる場合、
対応のないｔ検定で良いんでしょうか？
この場合、両側検定でｐ＜０．０５で有意で良いんでしょうか？
あまり詳しくないのでお願いします。 例題を作問しました←ふーん
この例題について教えて頂きたいです←ファ？！ Set Theory: A First Course (Cambridge Mathematical Textbooks) 1st Edition
by Daniel W. Cunningham (Author)
この本は公理に基づく集合論の入門書です。
例えば、 P <-> Q の定義は、 (P, Q) = (T, T) または (P, Q) = (F, F) のとき、かつそのときに限り T になる
というものです。
以下の公理2つを用いて、 A, B を集合とする。 A ∈ B ならば、￢(B ∈ A) が成り立つことを証明せよという問題があります。
Pairing Axiom:
∀u∀v∃A∀x(x∈A <-> (x = u ∨ x = v))
Regularity Axiom:
∀A(A≠Φ → ∃x(x∈A ∧ x ∩ A = Φ)
この問題の解答を以下のように普通の言葉で書いてもいいのでしょうか？
Pairing Axiomにより、 x ∈ C <-> (x = A ∨ x = B) となるような集合 C が存在する。
この C を {A, B} と書くことにする。
{A, B} ≠ Φ だからRegularity Axiomにより、 x ∈ {A, B} ∧ x ∩ {A, B} = Φ を成り立たせるような集合 x が存在する。
{A, B} の定義により、 (x = A ∨ x = B) ∧ x ∩ {A, B} = Φ を成り立たせるような集合 x が存在する。
A ∈ B ∩ {A, B} だから、 B ∩ {A, B} ≠ Φ である。よって、A ∩ {A, B} = Φ でなければならない。
ゆえに、 ￢(B ∈ A) でなければならない。
この問題の後のページをパラパラ見てみると、この本自体、証明は普通の言葉で書いているようです。 俺の検索の仕方が悪いから聞きたいんだが、
局所コンパクトハウスドルフ空間に対してのBaire category theoremの証明が乗ってるサイトある？ >>136
for example
ttps://core.ac.uk/download/pdf/82537288.pdf 訂正
Xが局所コンパクトハウスドルフならば、任意の開かつMeagerな集合A⊂XはA=φ
の証明が読みたい If B≠φ then by Theorem 3.22
(ヨN1∈T)[N1- ⊂ B]
and since A1 is nowhere dense
(ヨN2⊂N1)[N2∩A1 = φ]
for otherwise N1 ⊂ A1^{-○}.
↑こんな記述があったんだが、数学以前に国語としてfor otherwiseの意味が分からん。
B≠φならば、定理3.22により(ヨN1∈T)[N1- ⊂ B]である。
そして、このことと、A1がnowhere denseであることを用いて、(ヨN2⊂N1)[N2∩A1 = φ]も言える。
さもなければ（？？？）N1 ⊂ A1^{-○}.
↑こういう理解でいいのか？意味が分からん >>142
自力っていうのは、一切の文献を参照せずにって意味？
だとしたら大分センスあるんじゃね？ 背理法の証明ってマジで気持ち悪いよな
本質的には何の違いのない証明であったとしても、見た感じに背理法の感じがなかったら俺はそっちを選びたい >>146
論理的には
背理法を使わずに否定の否定が証明できるから
頑張って翻案してみたら？ ただし
ここで言う背理法とは
￢Pを仮定して人が導けたらPを結論とすると言う奴で
Pを仮定して人が導けたら￢Pを結論とするのは背理法とは言わない
こちらは単なる￢Pの定義 小沢登高先生の講義で「定性的な命題から定量的な命題を導くときは背理法を使う」と言ってた まあnot Pが間違ってるからと言ってPが正しい根拠にはならないからな not not Pは「not Pの証明が存在するならば⊥の証明が存在する」という意味であって、そこから「Pの証明が存在する」は出てこない >>150>>152
それは納得できない
どうしてそうなの？ >>153
論理学の一派に直観論理という流儀というか枠があります。
>>150, >>152 は直観論理の枠内に沿って記述しているのです
通常の記号論理では A∨￢A (排中律）を仮定しますが、直観論理の枠の中ではこの仮定を認めません
A∨￢A (排中律）の仮定がなければ￢￢A = A (二重否定の除去）も証明できません
ただ、なぜ直観論理主義者がどうして排中律を排除したのか、その理由については、私にもよくわかりません… ＞ただ、なぜ直観論理主義者がどうして排中律を排除したのか、その理由については、私にもよくわかりません…
推論の安全性を高める狙いだったんだろうが、ゲーデルによって排中律によって矛盾が出るなら直観主義論理でも矛盾が出ることがわかってしまった。
直観主義論理はそれで潰れるちゃちなものじゃなかったけど。 Baireの定理が分からん
https://i.imgur.com/keNWWoQ.png
の最後の行｢￢x∈∪A_nとなって矛盾する｣ってあるけど、どこが矛盾してるの？ xはGの元
G=∪A_nだから￢(x∈∪A_n)に矛盾する 不思議だよな
メールって送信したあとになってこそ、もっと言うべきことが思い浮かぶのと同様に、
数学の行間づまりはレスで聞いた後になってこそ、埋め方が分かるよな
人間の脳の不思議 なんだろ、ふと位相空間のあるところがわからなくなってテキストをパラパラ見返してると、
集合・位相のカチャカチャした論理計算を見てると脳がワクワクして、もっとやりたくなってくる。
今読んでる本があるのに、なんかまた集合・位相のちょい高度なところに手を付けたくなるわ >>162
>>158で自己解決したって言ってるんだが？ >>162
レスが止まってんな、お前
お前のレスに合わせて返すとするならば、
｢既に俺が自己解決してるから、なんら回答は必要なくなってるのに、無意味に後から回答したやつに対して礼を言わないのことについて言いがかりをつけるゴミ｣
ってところやな
ほらほら、この俺をディスりたかったら単発IDにコロコロ変えて、低知能丸出しの｢キチガイ｣だの喚いてりゃいいぞ？ 竹内外史のAxiomatic set theory 37ページ
Theorem 3.9. 1. The collection of all meager sets in a topological space X is a proper a-ideal in the natural algebra on 【Xの冪集合】.
ってあるけど、何でXはMeagerじゃないのかが分からん
例えばX＝φならXはMeagerだし >>154
>ただ、なぜ直観論理主義者がどうして排中律を排除したのか、その理由については、私にもよくわかりません…
まさに背理法を認めたくなかったからでしょ
￢P→人でPの証明とするのが納得行かなかった >>156
心の中に
つまり
背理法は成立しないと思えば成立しない 命題論理は排中律をその否定と置き換えても無矛盾である
無矛盾な体系にはモデルが存在する
異なる論理体系を研究するのはそれなりに意味がある >>169
￢(A∨￢A)を公理にするの？そりゃダメしょ >>170
A∨￢Aは恒真でない
を公理にする
￢(A∨￢A)と書いても良いが慣れないと混乱する >>172
それ
A∨￢Aを公理にしない
だけで十分 A∨￢Aの否定を含んだ、ブール代数とは異なるモデルを考察するのに意味があると言っている
この場合、A∨￢Aは積極的に否定される >>174
どうも君
￢￢(A∨￢A)
は直観主義論理でも証明できる（恒真）ことを認識してないんじゃない？
まあ
直観主義論理よりもっと弱くしても良いけど 違った
ミニマルロジックで証明できる
だった
ミニマルロジックより弱いのを考えていけないわけじゃないけど ＞￢￢(A∨￢A) は直観主義論理でも証明できる
理解してるとは思うが、排中律が成立しないんだから￢￢(A∨￢A)と(A∨￢A)は同値ではないよ 当たり前よw
さて
￢（A∨￢A）
が公理だとしたら何が起こるでしょうか 論理値として T,F,U の3つを取る論理体系
T∧T=T, T∧U=U∧T=U∧U=U, T∧F=F∧T=U∧F=F∧U=F∧F=F
F∨F=F, F∨U=U∨F=U∨U=U, T∨F=F∨T=U∨T=T∨U=T∨T=T
￢T=￢U=F, ￢F=T
とかどうかな
この場合 A∨￢A は証明できない
なお、￢(A∨￢A)を公理としているわけではない >>182
>この場合 A∨￢A は証明できない
→の真理値表が書かれてないけど
それ直観主義論理の三値論理だね
他にもオープンセットの全体を真理値の束にするやつとかいろいろあるね texのスレが止まってるからここで聞きたいんだが、
https://i.imgur.com/qet1VsM.png
この画像の二重線のカッコ記号の出し方を教えてほしい stmaryrdパッケージの \llbracket \rrbracket でねえの？ 数式トークン的には
¥mathopen{[¥![}
¥mathclose{]¥!]}
の方が良いが可変サイズにはならない >>190,189
参考になりました。
\left[\!\left[ああああ\right]\!\right]
でいけるね L(t)を三重対称行列として、
d/dt Tr[L(t)^m] = m * Tr[ dL/dt * L(t)^(m-1) ] の証明をどなたかお願いいたします,,,
もしかしたら三重対称行列という仮定は要らないかもです https://i.imgur.com/i1d9XsP.png
↑冒頭の｢2項述語\prec｣の\precに点がついた記号ってどうやって出力したらいいですか？ >>201
リンクも見とらんから当たり前だ
お前は何を喜んどるんだ？ 今時リンク飛ばないと画像見れないようなオンボロブラウザ使ってるんですね >>204
便利と危険は同義だからな
お前は好きにしろ http://oeis.org/A217575
http://oeis.org/A217571
http://oeis.org/A217570
/) ／ ／
( @ @ )／
ヽ▽ノ 神と交信して数列を教えてもらった。
∪▼∪ 世紀の大発見だぜ。
∪∪ それから円周率が3.14じゃないと聞いた。
東日本大震災3.11もPiらしいよ。 杉浦解析入門P144問題3ですが、
左辺の括弧内の演算子をD=Σ(x*∂/∂x)として
(D^2)f=D(Df)=D(k*f)=k*Df=k*(k*f)=k^2*f
同様に(D^m)f=k^m*f
とはならないのでしょうか？ κ、λを無限基数とする。
順序数としての積 κ･λ と
基数としての積 κ･λ って一般に一致しますか？ 一致しないね
順序数としてはω＜ω･ωだが
基数としてはω＝ω･ωだな κを無限基数とする
α、β＜κならば、｜α×β｜≦｜κ×κ｜
なのは分かるけど、実際は＜が成り立つ理由が分からんん >>213
自己解決しました
κ＝アレフ(γ)と表して、γについての超限帰納法で証明できるわ 解析関数って、eとその親戚みたいなやつ以外に何がありますか？あと有理関数も除く ガンマ関数, ポリガンマ関数, ベータ関数, ゼータ関数, 楕円関数, ベッセル関数,
エアリー関数, フレネル積分, 超幾何級数 へえ、たくさんあるんですね
勉強してるとそのうち出てくるんでしょうね ネット上はしたらばとmixiと引き籠っては居るが健在 初等関数の定義を、岩波数学辞典などで確認
個々の関数が初等関数かそれ以外かの証明はムズいことがある
合成関数、逆関数、積分した関数、微分方程式の解となる関数などを判定する問題
その研究にどんな意味意義があるかは別にして、これは学部数学のレベルを超えている 標数0の体における有限群の線型表現の理論
堀田さんの本を見ながら、レポート書いて提出して単位貰った
セールの本や岩堀さんの本は歯が立たなかった
加群十話の先にある景色を見ることなく、大学卒業
もし20歳の頃の俺にアドバイスするとしたら、表現論の勉強を続けろと言いたい
有限群とコンパクト群、これだけでも一生楽しめる 初歩的な微分方程式のはずですが、解答が奇妙に思えます。
どなたか詳しい解説をお願いします。
https://imgur.com/a/RuagvtE ・初期条件を代入してるだけ
・「右から左は当然いえると思いますが」←どうみても同値です、移項してるだけです
・「y'=p_0なら定数になる」←そりゃy'=y'(x)という関数に具体的な値x=x_0を代入したら定数になるでしょうね 一回微分でやってみろよ、それに逐次積分の内側は変数を変えろ dy/dx＝f´(x)ならば移行しただけだと思いますが
d^2y/dx^2＝f(x)であるから移行しただけとは思えません。
d^3y/dx^3＝f´(x)ではないのですか？
考え方のどこがおかしいのでしょうか？ x＝x_0, y=y_0のときのy´の値がP_0であるという意味のようですね。
>>228
＞「右から左は当然いえると思いますが」←どうみても同値です、移項してるだけです
２番目の∴のところの式でf´(x_0)のところがp_0だったら分ります。
しかし、１番目の∴の式を移行しただけで２番目の式になるという
のは何故ですか？ 初期条件の意味も分からなかったのか、微積分からやり直しだな この解法はｙ＝f(x)としてやってませんか？
それなら全部分かりますが。 >>236
線が引いてある所の上の式に初期条件を放りこめ。 初期条件をその式に放り込んだら成り立つのは分りますが、
尋ねているのはそういうことではありません。
１行目について質問しています。
この解法はｙ＝f(x)としてやってませんか？
それなら全部分かりますが。 初期条件をその式に放り込んだら成り立つのは分りますが、
訂正
ｙ＝f(x)ならば
初期条件をその式に放り込んだら成り立つのは分りますが、 画像をちゃんと貼れない人は尽く変な人なのはなんなんでしょうね >>234
まて
「右から左はわかる」というのは本文ではなく、下の方に書いてある「→」で結ばれた部分じゃないのか？p_0とか関係ないよ
[dy/dx]^a_bが何かを知らないようにしか見えないんだが
それから右上の部分、そもそも「fは微分可能」なんて条件はないでしょ？なんで三階微分を考えてるの？ >>242
ああごめん元画像頭に入ってなかったわ、fが微分可能なのは前提にあるのね
>>242の下段は無視して ごめん、もう一回画像見てやっと>>227の疑問点がわかった気がする
解答の一行目は普通にミスってるね、f'(x_0)じゃなくてy'(x_0)だわ ＞解答の一行目は普通にミスってるね、f'(x_0)じゃなくてy'(x_0)だわ
やはり228さんが解決してくれましたね。
ありがとうございます。 最後の式が成り立つのは当然だが、導き方がおかしいと思います。
y＝f(x)なら、この解法でいいけど、y＝f(x)とは問題文には書いてない。 導き方がおかしいというか誤植というか、単に筆が滑ったんだろう １行目の一番右の式と２行目がなければ何の問題もないですね。 f : X → Y を写像とする。
f(X) := {y ∈ Y | ∃x ∈ X (y = f(x))}
ですが、
X = φ であるときに、
{y ∈ Y | ∃x ∈ φ (y = f(x))}
と書くのは許されるのでしょうか？
f(x) という記号は、 f のグラフを Γ としたときに、 (x, y) ∈ Γ を満たす y のことを表しています。
f : φ → Y であるときには、 (x, y) ∈ Γ となるような y は存在しないため、 f(x) という記号はナンセンスではないでしょうか？
のグラフ Γ = φ × Y = φ なので、 訂正します：
f : X → Y を写像とする。
f(X) := {y ∈ Y | ∃x ∈ X (y = f(x))}
ですが、
X = φ であるときに、
{y ∈ Y | ∃x ∈ φ (y = f(x))}
と書くのは許されるのでしょうか？
f(x) という記号は、 f のグラフを Γ としたときに、 (x, y) ∈ Γ を満たす y のことを表しています。
f : φ → Y であるときには、 (x, y) ∈ Γ となるような y は存在しないため、 f(x) という記号はナンセンスではないでしょうか？ 五次以上の交代群から単位元でない元を取ってきてそれが生成する部分群は非正規な部分群である 下の文章に、「you might think that both events depend on the first coin.」と書いてある箇所があります。
何が言いたいのかが分かりません。
2つの事象が両方とも1枚目のコインに依存しているというのはどういうことでしょうか？
2つの事象 A, B が独立であるということを言っている文脈で、なぜ、「あなたは、事象 A, B が共に1枚目のコインに依存していると考えるかもしれない」という話が出てくるのでしょうか？
For example, suppose that we flip two fair coins and that the outcomes are independent.
Then the probability of two heads is (1/2)*(1/2) = 1/4. Now suppose that one event is that
the first coin comes up heads and the other event is that the coins come up differently.
Each of these events occurs with probability 1/2, and the probability that both events occur is 1/4;
thus, according to the definition of independence, the events are independent - even though
you might think that both events depend on the first coin. 「コイン1が表になる」を事象A
「コイン1とコイン2は違う面が出る」を事象Bとする。
事象Aと事象Bは独立である。事象Bはコイン1の面に依存しているにもかかわらず。 >>262
事象A, B共に、コイン1の表裏に依存していると書いてあります。
まず、ある事象がコイン1の表裏に依存するとはどういう意味でしょうか？ >>263
「コイン1が表になる」事象がコイン1の裏表に依存しているのは当然でしょう。
今の場合「依存」数学的に厳密な定義ではなく常識的な感覚です。 y = f(x)
z = g(x)
であっても、 y ないし、 z が x の関数であるとは言えないと思います。 訂正します：
y = f(x)
z = g(x)
であっても、 y が z の関数であるかまたは、 z が y の関数であるとは言えないと思います。 事象 A, B が共に1枚目のコインに依存しているからといって、事象 A, B が互いに依存しているに違いないなどと考える人などいないのではないでしょうか？ >>260
の著者らは、
事象 A, B が共に1枚目のコインに依存しているから事象 A, B が互いに依存していると考える読者がいるかもしれないと考えていますが、
なぜそう考えるのかのロジックが分かりません。
>>260
は非常に権威のある本です。 >>263
>事象A, B共に、コイン1の表裏に依存していると書いてあります。
書いてないけど？
書いてあるのは「依存すると思うかも知れないが」 >>268
>なぜそう考えるのかのロジックが分かりません。
数学的な定義を納得できない人が居るかも知れないとは思わないのね >>268
著者は、独立と無関係は違うよ、と言ってるわけ A_1, …, A_n を n 個の事象とする。
{i, j} ⊂ {1, …, n}, #{i, j} = 2 であるような任意の i, j に対して、
P(A_i ∩ A_j) = P(A_i) * P(A_j)
が成り立つとき、 A_1, …, A_n は対ごとに独立であるという。
{i_1, i_2, …, i_k} ⊂ {1, …, n}, #{i_1, i_2, …, i_k} = k であるような任意の i_1, i_2, …, i_k に対して、
P(A_i_1 ∩ A_i_2 ∩ … ∩ A_i_k) = P(A_i_1) * P(A_i_2) * … * P(A_i_k)
が成り立つとき、 A_1, …, A_n は独立であるという。 以下の条件を満たすような n 個の事象 A_1, A_2, …, A_n の例を挙げよ。
(1)
A_1, A_2, …, A_n は対ごとに独立である。
(2)
k ≧ 3 とする。
{i_1, i_2, …, i_k} ⊂ {1, …, n}, #{i_1, i_2, …, i_k} = k であるような任意の i_1, i_2, …, i_k に対して、
P(A_i_1 ∩ A_i_2 ∩ … ∩ A_i_k) ≠ P(A_i_1) * P(A_i_2) * … * P(A_i_k)
が成り立つ。 訂正します：
以下の条件を満たすような n 個の事象 A_1, A_2, …, A_n の例を挙げよ。
(1)
A_1, A_2, …, A_n は対ごとに独立である。
(2)
k ≧ 3 とする。
{i_1, i_2, …, i_k} ⊂ {1, …, n}, #{i_1, i_2, …, i_k} = k であるような任意の i_1, i_2, …, i_k に対して、
A_i_1, A_i_2, …, A_i_k は独立でない。 U={1,2,3,4}
A={1,2}
B={2,3}
C={1,3} ラムダ式で
A->B->C
とあったら、「AからB->Cを導ける」と言う意味？
それとも「AからBを、BからCを導ける」と言う意味？ カリー化の逆を考えればいいのか
C f(A,B)
これと同じか？
->を「ならば」だと思っちゃダメだな
「AからB->Cを導ける」これはまあ正しい
「AとBからCを導ける」これも一応正しいはず
「AからBを導ける」これは間違いか？
f(A,B)でAからBを導く関数が定義されてる保証無いもんな アフィン超平面は超平面の並行移動
(H=H0+x)で示されることを厳密に証明せよ
直感では明らかなんですけど、厳密にってどうやるんでしょうか…
簡単なので省略って言われた >>282
アフィン超平面の定義はどう書いてありますか？ >>283
そう思いますが厳密に証明せよと問題が出されたので困っています >>288
定義じゃないならその定義に沿って厳密に証明したら良いじゃん x∈H0を取る
<p*,(x+x*)-x*> = <p*,x> = 0
よってx+x*∈H ゆえにH⊇H0+x*
x∈Hを取る
<p*,x-x*> = 0
よってx-x*∈H0 よってx∈H0+x* ゆえにH⊆H0+x*
以上から H=H0+x* >>293
ありがとうございます！
=なので⊆かつ⊇を示せば良かったのですね！ >>294
それ分かってたらそれ示すだけで簡単なので省略 >>294
マルチしてるんだから
他所でも同じお礼を言っておいたら？ >>286
そのタブローを手で書くのに疲れてしまったので、なんかいいソフトウェアはないですか？ Γ関数は、階乗関数を実数変数へ拡張したものと見なせるのは理解できましたが
外にも同様に階乗関数を実数変数へ拡張したとみなせる関数は無いのでしょうか？ >>300
>複素変数まで拡張したら
四元数に拡張できますか？ Γ(x)+f(x)sinπx
f(x) : 任意関数 Pythonで機械学習したいなら大学レベルの数学は必要ですか？ >>308
やるだけならいらないよ
ライブラリに従って打ち込むだけだし
仕組みとか意味とかを理解するにはいる せめてこういう質問したら
１．機械学習をやりたいのですが大学レベルの数学は必要ですか？
２．機械学習をやりたいのですが大学レベルの数学は必要ですか？プログラムはPythonnで自作します。
３．機械学習をやりたいのですが大学レベルの数学は必要ですか？プログラムはTensorFlowを使います。 三村征雄著『微分積分学I』
以下の三村征雄さんの証明があまりにも大雑把すぎます。厳密な証明を書いてください。
各 i ∈ {1, 2, …} に対して、 M_i ⊂ {1, 2, …} とする。
異なる i, j に対して、 M_i ∩ M_j = {} とする。
{1, 2, …} = M_1 ∪ M_2 ∪ … とする。
Σ_{n=1}^{∞} a_n は絶対収束する実級数とする。
s^(i) := Σ_{n ∈ M_i} a_n とする。
このとき、
Σ_{i ∈ {1, 2, …}} s^(i) = Σ_{n=1}^{∞} a_n
が成り立つ。
三村征雄さんの証明：
s := Σ_{n=1}^{∞} a_n とおく。
s - Σ_{i=1}^{m} s^(i)は Σ_{n=1}^{∞} a_n から、 n ∈ M_1 ∪ … ∪ M_m であるような項 a_n を取りのぞいて得られる級数の和である。
いま n が任意に与えられたとすれば、 m を十分大きくとることにより、 M_1 ∪ … ∪ M_m は a_1, a_2, …, a_n をすべて含むようにする
ことができる。このとき、不等式
|s - Σ_{i=1}^{m} s^(i)| ≦ |a_{n+1}| + |a_{n+2}| + …
が成り立つ。この式の右辺は任意の ε > 0 より小さくすることができる。
したがって、 Σ_{i ∈ {1, 2, …}} s^(i) = Σ_{n=1}^{∞} a_n が成り立つ。 >>316
適当で良さげなので
特に必要性を感じないかな 三村征雄著『微分積分学I』
>>316
の定理に関連して、以下のような記述をしています：
-----------------------------------------------------
2つの絶対収束級数の積を求めるのに、
(Σ_{n=1}^{∞} a_n) * (Σ_{m=1}^{∞} b_m) = Σ_{n=1}^{∞} ((Σ_{m=1}^{∞} a_n * b_m) = Σ_{n=1}^{∞} a_n * (Σ_{m=1}^{∞} b_m)
としてもよいわけである。これは拡張された分配法則とみることができる。
-----------------------------------------------------
これって、別に2つの級数が絶対収束級数でなくても、普通の収束級数であれば成り立つ話ですよね。 >>320
三村さんは
>>316
の定理の応用例として
>>318
の話をしています。
>>316
の定理とは全く関係なく成り立つわけですが。 相変わらず他人を貶せば賢く見えると思ってるんだな
それだけでバカと思われるのに >>321
だからバカだというんだよ
もちろん分配してバラかしたあと自由に出す順番変えていいという意味に決まってるやろ
そういう著者の行間の言葉が読めもしないクソみたいな数学力しかないのに他人をいつまでもいつまでも侮蔑することだけに終始してるからダメなんだよ
数学以前に心構えが腐ってんだよ Σ_{n=1}^{∞} a_n
Σ_{n=1}^{∞} b_n
が絶対収束級数であるとき、
a_1*b_1 + a_1*b_2 + a_2*b_1 + a_1*b_3 + a_2*b_2 + a_3*b1 + …
が絶対収束級数であり、順序を自由に変えられるという話は、上の話の前に既に証明していて済んでいる話です。
それにこれは分配法則とは何の関係もない話です。 >>324
アホ
ホンマにアホ
ここまで書かれてまだなんのことか理解できてない
著者はバラしたあとの二重項[i,j]を自由に動かして好きに計算する事が絶対収束の条件下ではできると言ってんだよ
お前は和の順番を指定したら20項の無限和が収束値の積に一致してると言ってる
だからなんやねん？
バカか？ >>325
a_1*b_1 + a_1*b_2 + a_2*b_1 + a_1*b_3 + a_2*b_2 + a_3*b1 + …
は絶対収束級数ですので、項の位置を自由に動かしても和は一定です。
そして、そのことは
>>318
の記述の前に既に証明してあることです。
ですので、三村さんは、普通の収束級数であれば成り立つ話を無意味に書いているだけだと思います。
-----------------------------------------------------
2つの絶対収束級数の積を求めるのに、
(Σ_{n=1}^{∞} a_n) * (Σ_{m=1}^{∞} b_m) = Σ_{n=1}^{∞} ((Σ_{m=1}^{∞} a_n * b_m) = Σ_{n=1}^{∞} a_n * (Σ_{m=1}^{∞} b_m)
としてもよいわけである。これは拡張された分配法則とみることができる。
----------------------------------------------------- >>326
だからその「思ってるだけ」ってのがおかしいと思わんところがバカだって言ってるんだよ
絶対収束する無限級数を“バラして”和の順番取り替えるというのは数学の常套手段
それが“可能”であるというのはとても大切な事で先生はそれに“分配法則”を擬えておられるにすぎない
そんな事を一々一々くだらん文章作って他人を侮蔑して何がしたいんや？
そもそもお前にそんな偉そうな口叩くだけの数学力はないわカス 絶対収束しないけど収束する級数だったらどうなるか確かめてみたらいいんじゃない？ a_1*b_1 + a_1*b_2 + a_2*b_1 + a_1*b_3 + a_2*b_2 + a_3*b1 + …
は絶対収束級数ですので、項の位置を自由に動かしても和は一定です。
そして、そのことは
>>318
の記述の数ページ前に既に証明してあることです。
明らかに、三村さんは、
>>316
の定理を適用すると、「分配法則」が証明できると書いています。
ですが、
>>316
の定理など不要です。 >>321
>>>316
>の定理の応用例として
>
>>>318
>の話をしています。
その通りみたいよ
>>>316
>の定理とは全く関係なく成り立つわけですが。
それもその通りだよ
せやけどそれが筆者の意図では無いってだけで >>316
「M_1 ∪ … ∪ M_m は a_1, a_2, …, a_n をすべて含むようにすることができる。」
これもよく見ると三村征雄さんの間違いですね。
「M_1 ∪ … ∪ M_m は 1, 2, …, n をすべて含むようにすることができる。」
が正しいですよね。 i.imgur.com/XlFFTwT.jpg
これ教えて下さい could not find the request 茂木健一郎氏が、圏論で自然数を構成すると
13の中に7が入るみたいな不味いことが起こり
これは圏論学者の中で公然の公然の秘密になっていると言ってました
このことが記載されている文献を教えてください
https://youtu.be/WpSSJHPCXL0 もしかして集合論の順序数の話かな？
圏論というのはいかがなものか >>346
どうみてもそうだろう
圏論の部分だけでなく「不味い」とか「秘密」だとか意味不明なことばかり言ってるし
完全なる妄言でしかない >>346 の説が正しいんだったら動画見るまでもないな 動画だと圏論に限っての話みたいだけど
茂木先生が勘違いしてるということ？ 圏論の専門家が集合論による数の構築をするときの話をしているので、茂木はそこまで出鱈目な話はしていない。13は7より大きい、が順序数集合としての13は順序数集合としての7を含んでいる、ということになるわけで。
evil questionというのはその数学者の冗談でしょう。 つまり圏論を軸に数学を構成しようとする人たちの「集合論では13が7含んでしまうけどどないやねん」という批判？的な話してるのを「圏論では13が7を含むのです」と引用してるって事？
それはそれで酷い話ですがな 結局茂木さんの言ってることは間違ってなかったな
東大の先生に向かって妄言とか信用できないとか言ってる奴は何なんだ？www 圏論とか関係なしにノイマン流に空集合から始めて1={0},2={0,1},...って自然数作れば3∈17みたいなのは起こらない？
圏論で自然数作るとそういう事が発生しないなら寧ろ優れてるのでは YouTube で natural number category theory と検索したら上から2番目に出て来たけど元ネタは多分この動画の21：30～かな
https://www.youtube.com/watch?v=WLkMBMUk48E
https://i.imgur.com/rl0H6u6.png >>357
>圏論で自然数作る
お前は何を言っているのか自分で分かって居るまい 自然数の構築ごときで「批判」とかなら有理数も実数も複素数も「批判」していくのかな
全部順序対使うけど順序対の定義は何通りもある上「余計な性質」が付け加わるのだが実はどうでも良くてという認識を「批判」されてもなあ >>353
30分辺りでMatとVectはisomじゃなくてequivだって言ってるけど
線形写像はR^nの標準基底で行列表現できるからそういうfunctorを定義してisomになるんじゃないの？ 一応全部見たけど∞-categoryまで駆け足で説明（だけ）したって感じね
3∈17が真か偽かそれは構築モデルによって異なるから
モデルによって異ならない言明に制限するにはisomとかequivとかいう概念を必要とするんだよ
みたいなことでcategory論への導入をしているだけでは？ >>353
特に後半テンパってる感じで喋ってるのは
やっぱ専門の内容をそうでない人に語るのが辛いのかね
動画撮影時の聴衆は同僚？学生？
前者ならさらにテンパってしまいそう だから茂木って人が3∈17は変だビックリみたいなコト言ったとしたらちょっとそれ違うなって感じ
大体普通の集合論だと何でもかでも集合だから3∈17かどうか問うのは（モデルによって真偽変わるけど）別におかしいことではないだろうし >>362
順序対なんかはまさに圏論的定式化が適切な例だな >>354
>圏論を軸に数学を構成しようとする人たちの
その手の人なら
>「集合論では13が7含んでしまうけどどないやねん」という批判？的な話してるのを
そういう「批判」はしないと思うよ
そんな存在しない「批判」をしているとされてしまった研究者たちが可哀想
>「圏論では13が7を含むのです」と引用してるって事？
もぎって人は頭いい人だと思うから
2重3重に間違ったそんな風な引用はしないんじゃない？
知らんけど おっす
ZFCでは任意の順序数α、βに対して、α∈β∨α＝β∨β∈αが成り立つのは常識やぞ
一方、無限公理により無限集合が存在する。これより宰相の無限順序数ωを定義できる。
順序数α∈ωなるものを自然数と呼ぶ。
以上より、3∈17 >>368
> もぎって人は頭いい人だと思うから
ここ笑うところ？ >>369
ユーチューブの人は自然数のモデルは別に順序数である必要は無いって話を枕にしてるよ >>369
それ以外の定式化もあるという話なのに馬鹿か >>372
だから見てみれって
別に否定しているわけではないが
それのみではないということを
話の枕にしてるんだよ >>370
脳科学者でありながら数学も数学者並みにできるんだから頭はいいだろ 学部一回生はまだじゃないかな
集合で自然数～実数作ろうは二回生のイメージ >>376
社会学者でありながら線形代数学をマスターした宮台真治氏と、どっちが頭がいいですか？ 社会学者になる前にマスターしたのでないと意味がないと思う https://www.youtube.com/channel/UCuPoqYPg5dqY5oawpYYkR_w
最難関の数学・物理 by 林俊介
↑このスレで全然名前出てないけど、受験数学系Youtuberとしては一番ハイレベル
でしかも、解説がロジカル。
大抵の受験数学講師って、答えを知ってるからって後付論法で解説するパターンが多いけど、林俊介の解説は理屈っぽい
受験数学好きならオススメ 形式の法則 単行本 ? 1987/3/1
G・スペンサー=ブラウン (著), 大澤 真幸 (著), 宮台 真司 (著)
行為の代数学―スペンサー=ブラウンから社会システム論へ 単行本 ? 1999/12/1
大澤 真幸 (著) >>381
圏論でファンクターを使うとか動画で言ってたから圏論に関してはプロに近いだろ >>385
このひと P=￢P を満たす解を「虚数」と言っていた >>386
えぇ……それだけだと「線形代数で行列を使う」「微積で関数を使う」と同レベルの発言でしかないと思うんですけど ここの茂木先生を貶めている奴らは何なんだw
茂木先生より結果出しているやついないだろ >>390
貶める？ダメ出しをすることを貶めると感じるのは学術的なタイドでは無いな
ダメ出しになっているかどうかは別の話だが 「有名な○○先生が言ってるから正しいんだ！」なんてのは小学生までにしよ？
茂木の評価は別として、どんなに偉い研究者だろうが全知全能の神様(笑)ではない以上
専門外のことに関してはトンチンカンな発言をすることもある 貶めふる気はさらさらないけどおかしな発言はおかしな発言だという以外の評価のしょうがない 7∈13の件については、意図があってわざわざそのように構成してるんだから不味いも何もない
あたかもそこに陰謀でもあるような表現にはむしろ悪意しか感じない 動画ではその例は、茂木先生やペンローズが数学の形式主義が嫌いな理由として挙げられているのだが、
数学の形式主義が嫌いかどうかなんて人それぞれだし、茂木先生がそれを嫌いだと言ってもそれは批判すべきことではないだろ ZFCに代わる何かが用意できれば良いけれど
まあまず無理そう
atomのある集合論ってのがあるらしいけど
どんなんかいな
知らんけど 圏論は思いっきり形式主義だよね…
圏論始めたマクレーンも数学その形式と機能という本で書いてる おそらく・・・・
イヤな形式主義は集合論に押しつけて
ユーチューブの人が言っていたように
「無意味な言明」を排除して
安全安心な上澄みにしてるってことでは いや形式主義どうこうではなく圏論と集合論の区別がついてないからみんなつっこんでんでしょ？ 圏論って間違えて言ってるのを集合論として修正してやったとしても
形式主義が気に食わないと言いながら形式主義の極地の圏論的な定式化を持ち上げるってのは
どういう認識してるのか謎だなと >>403
茂木先生は圏論は持ち上げてないだろ
むしろ数学の形式主義を批判するために圏論を例に出している
動画ではね
ペンローズも同意見だと言ってる >>404
>むしろ数学の形式主義を批判するために圏論を例に出している
別に圏論では数学の形式主義を批判しようなんて思ってないと思うよ
やっぱホントに7∈13だからダメだって思ってるのかな？ンじゃ{{p|p<π},{p|p>π}}∈πとかもアカンとか言うんだろうな ペンローズを引き合いに出して正当化するてのがねー
情けないと思わんのかね？ 3∈17はナンセンスだとしてそもそも自然数は大小関係含めて考えることの方が多いからノイマン流の構成だと m∈n <==> m<n という事実がある以上そんなカリカリする方がナンセンスだと思う
もちろんペアノの公理しか考えないなら3∈17なんて命題は出て来ようが無いわけだが >>407
自然数の定義に限らず
ZFCには∈しかないから
それによって他の関係を定義していくことになり
どこまで行っても最終的には∈に帰着するよね イコールでさえ
A=B ≡ ∀x(x∈A ⇔ x∈B) >>408
あんま詳しくないけど型理論とチャーチエンコーディングつかって自然数使えばその限りでは無いんじゃない？ 数学板の中でこれだけ議論になるってやっぱり茂木健一郎は凄いな pを奇素数として、cos2π/p∈Q(tan(2π/p),√-1)ですか？
(cos(2π/p)+√-1sin(2π/p)∈Q(tan2π/p,√-1)ですか？)
よろしくお願いします。 pを奇素数として、cos(2π/p)∈Q(tan(2π/p),√-1)ですか？
(cos(2π/p)+√-1sin(2π/p)∈Q(tan(2π/p),√-1)ですか？)
よろしくお願いします。 >>416
> pを奇素数として、cos2π/p∈Q(tan(2π/p),√-1)ですか？
> (cos(2π/p)+√-1sin(2π/p)∈Q(tan2π/p,√-1)ですか？)
> よろしくお願いします。
t=tan(2π/p)として
u:=tan(π/p)
= tan(π/2-2π/p×(p-1)/2)∈Q(t)
なので
cos(2π/p)=(1-u^2)/(1+u^2)∈Q(t)
sin(2π/p)=2u/(1+u^2)∈Q(t) >>411
えっと>>408は
ZFCのことを言っているので
それ以外の構成ははてさて >>408は「帰着する」の意味があいまいなのがダメ 専門ではちゃんと研究もしてるんだろうから先生ではあるやろ
数学面での能力がダメなだけ
オレらだって医学なんかわからんし むしろ、色々な概念を定義によって増やしていくのに、7∈13というプリミティブな記述になるところに違和感がある。 数学得意な人って
お金の計算がどんぶり勘定の人少ない気がするんですが
適当な人は良くいますか？
逆に得意じゃない人は
精密に計算何てできるわけないけどｗ 茂木先生やペンローズのような天才はここでは理解されないのか。。。 そりゃ無理やろ
ペンローズはともかく俺らに医師の能力なんぞわかるはずもない
俺らがわかるのはその人の数学的実力のみ
数学的には出来の悪い学部生止まり >>433
茂木先生はケンブリッジでペンローズと親友だったと言ってたよ ペンローズとかいうおひと、かなりいちゃってるんでしょ ペンローズは間違いなく数学史に名を残す天才だからな
茂木先生が医学史になを残すほどの業績をあげてるんかねぇ？
医学なんぞ興味もないけど 大学3年から高校数学・学部数学を本気で勉強して東大or京大etcの数学科大学院に受かることは可能ですか？
馬鹿な質問ですみません >>437
1日6時間の数学を週5で3年間これをずっと夏休みも祝日も年末年始も続けてたら、微積・線形代数レベルから始めても受かる
カリキュラムは東大・京大のを参照しながら、参考書は自分で買って写経する気力でやれ 今大学２年、半年後から高校・大学数学から始めて受かりますか？
ということじゃないの？ 初カキコです
当方27歳の会社員なのですが、大学数学を学びたいと思い、東京大学出版の「基礎数学1 線形代数入門1」を買ってみました
そこで質問なのですが、基礎数学シリーズで大学数学科でやる範囲はほとんど学習出来るのでしょうか？
それと、それらの本に載っている問題の解答はどこで手に入るのでしょうか？
よろしくお願いします とりあえず大学数学科のシラバスに載ってる教科書で勉強すればいいんでないの
授業ページに演習問題も上がってたりするし >>441
まず数学科のカリキュラムを調べよう
基礎数学シリーズは線型代数と解析入門はやってみたら、読めたら優秀 >>443
>>444
回答ありがとうございます
某国立大学のカリキュラムに沿って学んでみようと思います
もう一つ質問があるのですが、講義で使う教科書は基本的に丸善などの本屋で市販されている物なのでしょうか？ >>445
基本的に大きめの本屋で買えないものは無いけどそれは買う段になって気にすれば良いと思う ある程度勉強すると数学が分かるということは
どういうことであるかが分かるようになる
いくら脳科学の専門家とはいえ
茂木の本でそれが分かるようになるかどうか疑問 >>442
個人的な意見として、英語がある程度読めるなら、まずはAnalysis 1(Terence Tao)がオススメ
いわゆる微積分の本で数学科学生が一番最初に受ける分野の一つだが、内容自体も非常にレベルが高く素晴らしいのに、それを学部生成り立ての人に分かりやすく説明しているのが更に凄い
このまま2に進めば一気に学部3年程度のルベーグ積分まで行けるし、寄り道してlinear algebraのテキストを読んで、更にalgebraを学んでもいい
いずれにしてもこの本を読み終わってる頃には大学数学はかなり学びやすくなっていると思う >>447
>>452
回答ありがとうございます
今さっき池袋のジュンク堂に行ってきたところです
内田伏一氏の「集合と位相」が分かりやすかったので、先程述べた「基礎数学 線形代数入門」と一緒に読み進めていきたいと思います
将来的に、英語の論文も読みたいなぁと思ってるので、英語も並行して勉強しようと思います 内田伏一の「集合と位相」が気に入ったのは
最良の第一歩だったと思います >>457
自然数とか実数とかの構成も書かれてるの？ S.T.Yauはそれに感動した（もちろん他の本を読んで）と
自伝に書いていましたね >>452
個人的な意見だが、大学に入りたてのときに
神田の古書店で代数や位相幾何の英語の本を
買い込んで、授業をさぼって読みふけったことがあった
しかし結局線形代数がなんとか身に着いたのは
その二年後に受けた素晴らしい授業のおかげだった
だから
よい先生の授業を受けなさい 超楕円関数にも楕円関数のペー関数みたいなどんな有理型関数もそれの有理関数で表せる有能な関数ってあるの？ >>437
解析学や確率論、あと当然だけど微積の定期テストの問題が問題なく解ける状態なら余裕
定期テスト忘れてるからムズってなるだけで内容はぶっちゃけそのレベル 独学で学べる人はかなりの能力（学力、忍耐力）があると思う、あと時間とお金が必要
俺も>>461 さんの言うように、いい先生の講義を受けるのがおすすめ
社会人で受けられない、独学しかない、という人には、がんがれー、というしかない
ようつべには、部分部分でいいやつもあるけど散発的なのがほとんど 岩波の基礎数学って読むのにどれくらいの期間がかかりますか？
中沢新一先生が全巻読破したらしいのですが 古い本だな
細かい解説とかないと内容理解に倍の時間がかかるし
理解できないところも出てくる 同じ無いようなものを最新の一番解説わかりやすい本選んで読んだ方がいい気がするけど
理解に時間をかけるって基本無駄だぞ >>468
こっちにしたら
アースダイバー 神社編 読破したって言っても演習問題はどれくらい解いてたんだ？ >>468
中沢に丁寧な手紙でも出して尋ねてみたら？
「覚えていない」とは言わないはずだから その手の人々は字面をざっと眺めただけでも読破と言うから >>468
30年かかっても
岩波の基礎数学の
「可換環論」さえ読破できていない 行列式の定義から置換による符号をなくしたものの計算は、行列サイズの3乗くらいの計算コストでできますか？
2×2の行列
a b
c d
に対するad+bcみたいなのを、大きな行列で計算したいのですが >>478
できるやろ
多重線形性は符号関係なく成立してるんやから掃き出し法がそのまま使える 非線形微分方程式の簡単な例を探しています
https://kenyu-life.com/2018/11/28/nonlinear_solution/ にある
dx/dt = sinX
のような簡潔な記述が良いです（2階でも簡単な記述であれば可）
結構探しましたが意外と見つからないので質問することにしました。 >>480
行列式を掃き出し法で求める際は2つの行が同じ行列の行列式が0という条件を使うと思うのですが、
>>478のように符号がない場合はそれが成り立たないので、掃き出し法は使えないように思います >>481
振り子の方程式が有名かと
d^2x/dt^2 = -Asin x >>486
ありがとうございます！大きいサイズの行列に対する計算は難しいようですね >>487
wikipediaに記事あったけど今の所多項式時間で計算する方法は見つかってないみたいで記事にはO(2^(n-1) n)とある
>While the determinant can be computed in polynomial time by Gaussian elimination,
>it is generally believed that the permanent cannot be computed in polynomial time.
https://en.wikipedia.org/wiki/Computing_the_permanent しばらくぶりに数学やると
頭ものすごい使うというかやってないと衰える気がするんだが
そういうのあると思います？？
一日トレーニングとして1問とくとかどのくらい脳に刺激あたえたらいいかとか
使ってると脳のその部分は肥大するみたいだし a^3+b^3+c^3-3abc は (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc) と因数分解できます
a^4+b^4+c^4+d^4 - 2(a^2b^2+a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2+c^2d^2) + 8abcd は
(a+b+c+d)(a-b-c+d)(a-b+c-d)(a+b-c-d) と因数分解できます
じゃあ変数a,b,c,d,eの対称式である5次の斉次多項式F(a,b,c,d,e)で
(1) aについて5次の項と3,2,1,0次の項を含む。4次の項は含まない
(2) 2次,3次の斉次多項式G,HがあってF=GHとなる。もしくは1次,4次の斉次多項式G,HがあってF=GHとなる
の2つの性質を満たす奴はありますか？ すいません>>494の質問取り下げてもいいでしょうか
この条件だとあっさり例見つかるんで… アイディアはどうやったら浮かぶようになるんですか？ アイデアが豊富なことで定評のある数学者の論文をたくさん読む アイデアが豊富でないと有名な数学者の論文を読むと、アイデアが浮かばなくなるのでしょうか？ >>501
「定評がある」というのは
「自分は読んだことがないけど」という意味も含んでいる
>>502
簡単なロジックの練習問題でひっかけようとするのは醜い 学部レベルなら難しいアイデアなんて問題解くのに大抵必要なくない？普通に問題イジってれば解が見えてくる、アイデア／定理が必要なら教科書に載ってる、というような問題が多い感じがする 高校レベルでさえアイデアが必要になることはあるのに、学部レベルだと不要になる？ 数学科卒だったらきっと遭遇した問題／科目で、普通に考えた程度じゃ思いつかないアイデアが必要な例を挙げてくれる？
アイデアってどれぐらいの程度のものを指してるのかわからない >>503
気にしなくていいです、思い付きの質問ですから 一応、こういうのは読んだけど、感心して終わり
科学と方法 ポアンカレ 人によってまるで意味もレベルも違うことを聞いてどうすんだ？ 数学100の発見
数学セミナー編集部 (編集)
出版社 : 日本評論社 (1998/9/11)
発売日 : 1998/9/11
言語 : 日本語
単行本 : 221ページ
ISBN-10 : 4535606110
ISBN-13 : 978-4535606111
これがいちばん網羅的かな？
>>504-505 おもしろそうね。
＋
ーーーーー
線形代数に関する質問です
行列のランクの意味として
「行列Aのランクは、行列Aを作用させたベクトルの線形変換後の次元数に等しい」
というのがあると思うのですが、
たとえば行列A
A＝（a1 a2) a1=(-3 -2 1)t a2=(1 4 -2)t
のランクは2ですが、この行列Aを、二次元のベクトルを成分に持つ行列B
B=(b1 b2) b1=(1 0)t b2=(0 1)t
に掛けると三次元のベクトルに変形され、ランクと次元数が合わなくなると思うのですが
これは一体どういうことなのでしょうか、よろしくお願いします。 杉浦光夫著『解析入門II』
f(x, y) = x^2 + y^2 - 1 = 0
「ただし (1, 0), (-1, 0) の二点では、そのどんな小さな ε 近傍をとっても、一つの x に対し (1.5) をみたす y が二つこの近傍の中に含まれるため、
この近傍全体で(2.5)をみたす y を x の一価関数として定めることはできない。」
などと書いています。
ナンセンスことを書いていますね。 x = 1 を含むような開集合上では、そもそも陰関数を定義することができません。なぜなら、 x = 1 の右側の点 x_0 に
対して、 f(x_0, y) = 0 を満たすような y は存在しないからです。
杉浦さんの書き方だと、まるで陰関数自体は定義できるが一意的には決められないと言っているかのようです。
そもそも陰関数自体を定義できないわけですから、トンチンカンなことを書いていますね。
こういう非常にベーシックなところすら理解していないんですね。 >>520
(1,0)のε近傍ってのはf(x,y)=0を満たす点全体における(1,0)の近傍のことでしょ
>x = 1 を含むような開集合
という解釈が間違いですね >>520
>陰関数自体は定義できるが一意的には決められない
これ解釈イキスギ
>近傍全体で(2.5)をみたす y を x の一価関数として定めることはできない
と言っているのみ 解析概論も実数の公理のところでアルキメデスの原理の扱いがおかしかったわな
まあ目くじら立てることでもないんでないの 暗算とかも毎日か週1でもいいからやると
覚えてられる数字の量が増えていく。限界はあるけど
限界の8割とか6割ぐらいまで上げて維持しておくといいことが多い
じゃあ数学の論理力もってなるわけだが時間がないんだよな 左脳、右脳両方使うと良いよ
おすすめは高校入試ぐらいの問題、難関高でない方がいいけど時々難しいのもアリ
図形の問題、方程式、文章題は暇つぶしと脳の活性化に最適
100均でノート大量に（11000円ほど）買って、問題、解法、ポイント、類題を書き留めておく
定年後に、日中は塾講師で教え、夜間はLINEで教えると人気じじいになれるかも（笑）
ちょうどいい小遣い稼ぎになる、認知症にならない死ぬまでの間 杉浦光夫著『解析入門II』
陰関数定理IIの証明ですが、p.12で定義される関数 F の定義域がおかしくないですか？
F : V_1 × W_1 -> R^{m-1}
となっていますが、
F : V_1 -> R^{m-1}
が正しいですよね？ >>526
1つの分野、2次関数？とかでも
慶応とかの入試問題とくとかもあるでしょ
どの分野やろうかなと思ってしまう
ただしやっても週1で1時間ぐらいかな。時間がない 国語もわからないけど
数学の難しい文章問題って何が難しいのかよくわからない
計算だと１２３１２３２３＋１２３１２３１２だと桁数を覚えてられない
っていう難しさと、計算速度がむずかしいんだなと簡単にわかるけど。
文章問題作ってる人はどう作れば難しいかをわかってないと作れないと思う 質問：三辺がピタゴラス数からなる直角三角形の鋭角はπの有理数倍にならないことの証明を教えてほしい
回答：a,b,cを最大公約数が1となる3つの自然数として、直角三角形の斜辺をc、残りの二辺をa,b、さらに
z=a/c+ib/c
とする。もしもこの複素数の偏角がπの有理数倍ならば、ある自然数nが存在して
z^n=1
となり、つまりzは代数的整数だからa/cもb/cも整数であるが、このようなことはc=1でしか起き得ない
-------------
この質問へのこの回答って正しいですか？ >>535
>zは代数的整数だからa/cもb/cも整数
ここらへん >>536
z=a/c+ib/cが代数的整数ならa/cもb/cも整数である
どこかおかしい？ >>538
はたしてそれはz=a/c+ib/cと書けるのだろうか p + qiが代数的整数、p,qが有理数→p,qは整数
を自明と言っていいと思うならその証明書いてみればいい 一般に代数拡大の整数環を決定する問題はそんなに簡単でもない
もちろん二次体なら全部すぐ決定できるけど、ましてやQ(i)の整数環がZ[i]という事実を使うならそれは書かんとダメやろ
その事実を自明、容易で省略するレベルの議論ならそもそも>>635自体が自明とか容易で終わってしまう >>537>>540
あ、そっか
>>535で合ってるわ 代数的整数の実部は代数的整数か？
いいえ
という話 誰も一般の話はしてなくて
z=a/c+ib/c
なら成り立つというだけではないでしょうか >>549
そこは論証がいる
>>543さんのいうように「Q(i)の整数環はZ[i]」を示さないといけない 1の原始3乗根の実部は-1/2だよね。
代数的整数の実部が有理数でも実部が整数とは限らない 一般的な話はどこにも書いてなくて、ただ単に
「z=a/c+ib/c∈Q[i]が代数的整数であればa/cもb/cも整数である」
と書いてあるだけかと思いますが… >>554
それが自明かどうかの前に1の3乗根の件はあなたの誤読ということでいい？
論点を一つずつ整理していきましょう 質問とか言ってるけどホントは質問じゃないんだよ
こんなすごい証明見つけたよ
すごいでしよ？って言いたいだけやから結論はもとから決まってるんだよ
ほっとけよ >>556
うん…
>>536も誤読、というか文盲だよね >>559
君はまず>>555に答えてもらえるかな >>537
>>540
ありがとうございました
ID:eKt5ePffやID:qeaL45+Zみたいなバカが踊り狂うのをもう少し見ていたいのですが、
他の方の迷惑になるのでこのへんでしめます >>562
彼は間違った認識を持ったまま去ってしまった。 >>562
多分だけど
[三辺がピタゴラス数からなる直角三角形の鋭角はπの有理数倍にならない]
から
∀a,b∈Q (a+ibが代数的整数→a,b∈Z)
が証明できるんじゃないかな
どうだろ？
ID:eKt5ePff のニュアンスはそんなところじゃないかと思うけど Q(i)の整数環がZ[i]なのはそんなに難しくらない
z=a+biが代数的整数ならそのtrace 2aは整数、よって2b=-i(2z-2a)も代数的整数であり整数
∴ a = c/2, b = d/2 ( c,d ∈ Z )とおける
c,dどちらかが奇数ならa^2+b^2 = (c^2+d^2)/4は整数ではないが、a^2+b^2はzのノルムだから整数でならねばならないゆえ矛盾
そんなに難しくないが自明で許される話ではもちろんない
まぁ何言っても無駄だし無意味
どうせこんなレベルのやつの話聞いてても時間の無駄だからほっとけばいい 点列コンパクトだとかnetだとかそういう集合位相の発展みたいなのってどういう本に乗ってますか？松坂集合位相とかにはのってないし… >>569
>点列コンパクトだとかnetだとかそういう集合位相の発展みたいなの
点列コンパクトが発展というのはよく分からないが
ネットは点列の概念の拡張だよな
関数空間だとネットの方が良いみたいなのって
どうしてなのかな 有向集合で添字づけられた点列がネットだっけ？
(余)極限的なものの類似はどうなるん？ >>573
どうなるも点列の極限と同じよ
U(a,ε)にどっから先全部入れば極限
それはそうとして
ネットっていう言い方だけど
帰納系点集合ってことだよね compact spaces equivalently have converging subnet of every net >>574
ああごめん圏論的極限のつもりだった
けどフィルターとしての極限は変わらないしこっちも変わらないかな >>574
距離付け可能な位相空間ならわざわざネットなんて使う必要はない >>577
近傍系のどこへもどっからか先全部入ると極限 >>577
詳しそうだから聞くけど
関数空間考えるときに有効だそうだけど
どういうところが？ >>578
その微妙な部分を飛ばしたらネットを考える意味がない >>580
そうなんだよ
そこよ
考える意味はどこに有るんだろ 何十年か前の集合論のテストで出た問題
1回生の時の初めてのテストだったから度肝を抜かれてよく覚えている
【問】平面上の四角形は何個あるか
濃度の問題で何とかこじつけてא （アレフ） 個と書いた記憶がある
詳細は忘れた
誰か模範解答を教えて下さい >>584
x∈R → (x,0)-(x+1,0)-(x+1,1)-(x,1)-(x,0)∈四角形の全体 は単射
(a,b)-(c,d)-(e,f)-(g,h)-(a,b)∈四角形の全体 → (a,b,c,d,e,f,g,h)∈R^8 は単射
|R|≦|四角形の全体|≦|R^8|=|R|^8=|R|
|四角形の全体|=|R| 四角形がある前提の平面でないなら 0個でいいんじゃね？ >>585
有り難うございます
流れは分かりました 大学院(数学専攻)の過去問を解答例とともに公開している大学はありますか? あれば教えて下さい.
金沢大学は公開していることを知っているのでそこ以外でお願いします. 入力したN次元ベクトルに対して、その第n成分の値を返すN変数関数
f(x_1,…,x_n,…,x_N) = x_n
このような関数を呼ぶ際の固有名詞はあるのでしょうか。 Rのリーマン計量をg=f(t)dt^2とした時
gが完備であることと以下の広義積分が共に収束する事が同値である事を示せ
∫[0→∞]√f(t)dt,∫[-∞→0]√f(t)dt
という問題がありました。
これはf(t)=1の時を考えると通常のユークリッド計量であり完備であるのに
上の広義積分はどちらも発散するので間違いだと思いますが
どこかを修正すれば正しい主張になるのでしょうか？ >>597
なるほど…それなら確かに成り立ちそうな気がする
証明考えてみます、ありがとう 圏論の話です
圏の圏における モノ射 (*1)は、忠実関手(*2)であることを証明してください.
*1「Fはモノ射」: F.G1 = F.G2 ⇒ G1 = G2
*2 「Fは忠実関手」: F(f) = F(f’) ⇒ f = f’ (射の写像が単射である)
出典: Popescu, Theory of Categories p.21 Exercise 3.9 (解答は無し)
F(f) = F(f’) とする
G1 = Id. , G2 = [対象は全て動かさず fをf’ に移すような自己関手]
F. G1 (...g.f.h ... ) = F(...g.f.h ...) = F(...g.f’.h ...) = F. G2 (...g.f.h ... )
よって G1 = G2 故に f = G1(f) = G2(f) = f’
G2 を well-defined に採れる保証があれば この解法でいいのですが、ちょっと微妙に思います
全くの別解でも構わないのでよろしくお願いします >>599
モノ射の定義合ってる？
mono functor とかだよね？
合成を右にかけてる？ 距離空間としての完備とRiemann計量空間としての完備は意味が違うやろ >>601
圏の圏(対象は圏、射は関手) に限らず
モノ射は一般的な定義だと思います >>599
F:C→Dがmonoとする
F(f1)=F(f2) fi:X→Yとする
cat. Eをobj(E)={A,B}、E(A,A)={id_A}、E(B,B)={id_B}、E(A,B)={e}、E(B,A)=Φ、comp.:=推して知るべしで定められる圏としてGi(e)=fiであるものとすると
FG1(e)=F(f1)=F(f2)=FG2(e)
残りも全部等しいのでFG1=FG2
∴G1=G2
∴f1=G1((e)=G2(e)=f2 >>600 ありがとうございます、理解できました.
追加で申し訳ないのですが、これがエピ射だったら何が言えるか分かりますか？
充満関手(射の写像が全射)になるとか？
問の原文
3.9. Show that the monomorphism in Cat are precisely the faithful functors. What are the epimorphisms? >>599
それならあたりきしゃりきのこんこんチキ前じゃん >>607 の件、解決しました
https://math.stackexchange.com/questions/693970/monomorphisms-and-epimorphisms-in-the-category-of-small-categories
関手 F: C → D
Fの像 D’ は Dの部分圏を為し, ２つのD を D’ で貼り合わせた圏 P := D⊔D/~ (pushout) を考える.
関手 G: D→P {左のDと見なして同値関係を採る}
関手 H: D→P {右のDと見なして同値関係を採る}
D=D’ ⇔ G = H となるので .... (以下省略) >>610
どうやって張り合わせる？
二つのDをD1,D2としてD1(X,Y)のf1とD2(Y,Z)のf2の合成はどう定義する？ >>390
zがなんであるかの説明をせずに答えが得られると思ってるなら愚かとしか >>612
h、zは小さいんだろう、物理板で聞けよ >>611
> 二つのDをD1,D2としてD1(X,Y)のf1とD2(Y,Z)のf2の合成はどう定義する？
X∈D1-D’ , Y∈D’, Z∈D2-D’ のような場合は 新たな 射 を付け加える必要があるので
P := 「D1⊔D2/~ から生成されるミニマムな圏」
とでもしましょう >>817
結局は‥以降のリンク先にある結論になるのはどうなってるんですか？
そのpush outからどうやってどんな結論に繋がるんですか？ >>619
関手 Fが「圏の圏」においてエピ射のとき
もしFが対象と射に関して全射ではないとすると
>>610, >>617 より ある関手 G, H について
G.F = H.F かつ G≠H となるので、Fがエピ射であることに矛盾する.
よって Fは (充満関手であるだけでなく) 全射である. >>821
え？
結論って
fullでなくてもepiになることはあり得る
だけ？
そんなの
objC = {X}
C(X,X) = {非負整数}
m・n = m+n
objD = {X}
D(X,X\ = {整数}
m・n=m+n
で自然な埋め込みC→Dがfullでないepi
で例一個あげておしまいじゃないの？ >>610
細かいこと言うと関手の像は部分圏にはならないよ
だからリンク先でも像の充満部分圏をとっている >>624 「関手の像は部分圏にはならない」
これ知らなかったので、リンク先の人は勘違いしてんなーと思って無視してました。
https://scrapbox.io/category/関手性公理 >>626
オレのやつは返信したいレス長押ししたらアンカー自動でつけてくれるんだけどめんどくさいので手で打つ
アンカー間違ってもわかるし
それをネタにレスバ仕掛けてくるようなやつには気遣わないといけないけどここにはそんなことしてくるやつそんないないし f(x)=Σ[n>0]sin(x/(n^2)) は x>0 で必ず f(x)>0 になるでしょうか？ >>629に加えて lim[x→∞]f(x)/(√(x)) が幾つかも教えて頂けると幸いです MがZFのモデルの時、x∈Mに対して、xの冪集合Pow(x)∈Mって成り立つ？ あ、冪集合についての述語y=Pow(x)は絶対的ではないから無理か
ただ単に、モデルは冪集合公理を満足するだけか α(w±ich,t)をべき級数展開してるじゃない？ >>633
>>633
D := d/dw として
α(w±ich) = Σ[k=0,∞] (1/k!).(±ich.D)^k α(w) = exp{±ich.D} α(w)
よって
α(w+ich)+α(w-ich) = 2.cos(ch.D)α(w)
α(w+ich)-α(w-ich) = 2i.sin(ch.D)α(w) ...
ごく素直に整理しただけですね >>636
分かりやすい解説ありがとうございました！
テイラー展開を使えば良かったのですね... 盲点でした
【速報】排水弁を開いたままプールに注水すると水が貯まるのに時間がかかることが判明 [279771991]
https://hayabusa9.5ch.net/test/read.cgi/news/1631161919/
市教委によると、8月24日にプール清掃があり、排水弁のバルブを閉めてから給水するはずだった。
だが担当教諭がバルブを逆の方向に回転させてしまい、排水弁は開いたままになっていた。
その後、プールの水がなかなかたまらないことに学校が気づき、9月1日に市教委が調査したところ、
排水弁が開いていたことがわかった。
https://www.asahi.com/articles/ASP993JH9P98PTIL01S.html
24 ザナミビル(茸) [ﾆﾀﾞ] sage ▼ 2021/09/09(木) 13:38:01.03 ID:v6NsQuPl0 [1回目]
「この状態でプールの水が満タンになる時間と、排水された水の量と注入された水の量それぞれを求めよ」って問題ありそうｗ
62 インターフェロンβ(栃木県) [JP] sage ▼ 2021/09/09(木) 13:47:47.64 ID:cDedaB6W0 [2回目]
>24
ある程度貯まったトコで排水量が給水量超えて永久に満水にならない条件にすると
一夜漬けで挑む学生がハマる良い問題になりそう
設計でそうなってても掃除サボってて詰まってると満水になっちゃうんだろうな
71 バロキサビルマルボキシル(東京都) [US] sage ▼ 2021/09/09(木) 13:51:35.43 ID:quA+crMr0 [1回目]
中学入試とかで出る問題だな
72 アメナメビル(ジパング) [CN] sage ▼ 2021/09/09(木) 13:52:27.00 ID:F8bzrmKy0 [1回目]
>62
難しいな
給水量が一定でも排水量は水位によって変化するし
84 ホスアンプレナビルカルシウム(東京都) [CN] ▼ 2021/09/09(木) 13:59:19.62 ID:/eo12kUg0 [1回目]
算数の時間に計算で習っただろw
118 アマンタジン(高知県) [DE] ▼ 2021/09/09(木) 14:16:14.95 ID:ygp6wxga0 [1回目]
算数でこんな問題あったよね
151 ピマリシン(群馬県) [GB] sage ▼ 2021/09/09(木) 14:47:15.47 ID:ZvQtcWCK0 [1回目]
これ一定の水位までは貯まっていたんだろうね
通常の25mプールとして36万リットル、そのプールを丸1日で満タンにできる取水量だとしたら、水位がわかる？ 排水量が水位に比例すると仮定すると
微分方程式: dy/dt = c - k*y(t) に帰着する. {c, k は定数}
解: y(t) = (c/k)*(1 - exp(-k*t) )
よって
水位: Y の時 (但し 0 ≦ Y < c/k)
時間: T = (-1/k)*log( 1-(k/c)*Y )
注水量: c*T
排水量: c*T - Y 複素数列{z[n]}(n=1,2,...)がn→∞で複素数zへ収束している。
このときn→∞で(1+z[n]/n)^n→e^zとなることを示せ。
これを以下のように解説しているサイトを見かけたのですが、
この複素数の扱い方は問題ないのでしょうか？
x が複素変数でも、
lim[|x|→∞] (1+1/x)^x
= lim[|h|→0] (1+h)^(1/h) ：h=1/x
= lim[|h|→0] exp log (1+h)^(1/h)
= lim[|h|→0] exp (1/h)log (1+h)
= exp lim[|h|→0] (1/h)log (1+h)
= exp lim[|h|→0] (1/h){ log (1+h) - log(1+0) }
= exp ((log(y))' _{y=1})
= exp １
= e.
であり、たとえ複素数であっても
(1+z[n]/n)^n
= (1+z[n]/n)^(n/z[n] z[n])
= ( (1+z[n]/n)^(n/z[n]) )^z[n]
という変形はできるから、x:=n/z[n] とおけば上で書いたことから
= ( (1+1/x)^x )^z[n]
→ e^z. 下の数学のpdfのL.h.という表記の意味がわからず困っています。教えてください。お願いします。
http://www.ozawa.phys.waseda.ac.jp/pdf/Gram.pdf >>643
みたときないなあ
参考文献でみてみたら？ 文脈的には{}内のベクトルが張る空間て感じっぽいけど たぶん L.h. : linear hull (線型包) だと思う
この部分集合(の線形和)が張る空間ってこと
こんなの教科書に寄りけりな記号だから他のプリントに定義が書いてあるんじゃないかなあ >>646
ありがとうございます。直交関数について調べていて
ヒットしたので見えていたのですが、
http://www.ozawa.phys.waseda.ac.jp/koneta.html
のpdfのようです。 >>542
まぁギリギリ正しいやろけど突っ込みどころ満載で渡らなくていい橋渡ってる感はあるな ＞>>542
＞まぁギリギリ正しいやろけど突っ込みどころ満載で＞渡らなくていい橋渡ってる感はあるな
＞
＞>> 648
＞は？正しくないだろｗ
はいはい、そうでしたね 間違えましたね
本当に眠くなって来る 間違えたというより証明として不十分
代数的整数の実部(虚部)は代数的整数×1/2になるということが分かってなかったみたい >>642
こんな酷いの久しぶりに見た
日高レベルではなかろうか >>642
の証明の問題点はa^b=exp( b log a)の多価性を無視してる事とそれによって
a^(bc)=(a^b)^c‥①
は証明を要する事が抜けてる事
果たしてこの事例では成立するのか？
①が成り立つには使ってるlog(z)の分岐において
b log a = log a^b‥②
が成立していれば十分
log(z)の分岐の選び方に何の指定もないが一般的な定義域をC＼(-∞,0]としlog(z)=∫[Γ(z)]t/dtと定められるものにとるとする、ただしΓ(z)は1とzを線分で結ぶ線積分路とする
このとき
log a^b =∫[Γ(a^b)]t/dt
コレを同じlogの分岐でt=u^bと置換して
log a^b = b∫[Δ] u/du
ただしΔはΓ(a^b)をu=t^(1/b)で置換した線積分路
コレがblogaに等しくなるにはこの線積分路のC＼{0}でのホモトピー類がΓ(a)のそれと等しければ十分
今回の場合a=(1+z]n]/n、b=n/z[n]なので十分大きなnでは成立している https://i.imgur.com/TGydegK.png
ここの一連の流れが分かりません
ε^nの係数同士の比較をしていることは分かるのですが、こんな項出るのですか？ 質問
↓下の条件を満たすアルゴリズムってある？：
･有限記号列Sを入力する
･Sが論理式ならば、Sが論理式であると出力して操作を停止する
･Sが論理式でないならば、Sが論理式ではないと出力して停止する
･いずれにしてもSが有限の記号列であるなら、何であれ、有限の手続きで終了することが分かっている 論理式が普通の“一階述語論理”ならいわゆる“文脈自由文法”なので判定アルゴリズムはある
文脈自由文法 パースでググってハッピーになれる >>661
論理式をポーランド記法で書くと分かりやすい
論理式は必ず論理結合子をs, 項をtiとして
s t1 t2 t3 ... tn
という形してるからsのアリティを知っておけば判定できる
ちなみに真面目に判定するとクソ非効率だけど
論理式を記号の列σ=(s1, s2, ... sn), それぞれの記号のアリティをaiとして
count(σ)=Σ_i (ai - 1) とすると,
count(σ)=-1かつ任意のk<=|σ|に対してcount(σ[1..k])>=0
がσが式になる必要十分条件という高速な判定アルゴリズムがある >>666
×任意のk<=|σ|に対して
○任意のk<|σ|に対して f(0)=a_0, f'(0)=a_1, f''(0)=a_2, ... D^n f(0)= a_n となるn次多項式f(x)は
f(x)=(a_n/n!) x^n + ... + a_1 x + a_0 と表わせますけど(Dはxについての微分作用素)
f(0)=a_0, f'(0)=a_1, f''(0)=a_2, ... D^n f(0)= a_n
f(1)=b_0, f'(1)=b_1, f''(1)=b_2, ... D^n f(1)= b_n となる
(2n-1)次多項式f(x)はどのように表されますか？ >>668
h=1 として
f(x) = Σ[k=0, 2n+1] b_k /k! * (x-h)^k
= Σ[k=0, 2n+1] Σ[j=0,k] (-h)^j *C[k, j] * b_k /k! * x^j
= Σ[j=0, 2n+1] Σ[k=j, 2n+1] (-h)^j *C[k, j] * b_k /k! * x^j
これが Σ[j=0, n] a_j /j! * x^j + Σ[j=n+1, 2n+1] ... の形になればよい.
よって
j = 0, 1, ..., n に対して
Σ[k=n+1, 2n+1] ( C[k, j] * b_k /k! ) = (-1/h)^j *a_j /j! - Σ[k=j, n] ( C[k, j] * b_k /k! )
が成り立つように b_{n+1} , ... , b_{2n+1} を定めればよい. ---- (1)
行列 A[i,j] := C[i+n+1, j] {i,j = 0,1,..., n} として
A.x = 0 に非自明解が存在しなければ ---- (2)
逆行列を用いて (1) が可能である.
(2) について
A.x = 0 の解は 任意の h (≠0) と a_0 = b_0 = ... = a_n = b_n = 0 での解 b_{n+1} .... b_{2n+1} に相当する.
この時 f(0) = Σ[k=n+1, 2n+1] b_k /k! * (0-h)^k = (hについての多項式) = 0
よって b_{n+1} = ... = b_{2n+1} = 0 の自明解しか存在しない事が分かる. >>668
h=1 として
f(x) = Σ[k=0, 2n+1] b_k /k! * (x-h)^k
= Σ[k=0, 2n+1] Σ[j=0,k] (-h)^j *C[k, j] * b_k /k! * x^j
= Σ[j=0, 2n+1] Σ[k=j, 2n+1] (-h)^j *C[k, j] * b_k /k! * x^j
これが Σ[j=0, n] a_j /j! * x^j + Σ[j=n+1, 2n+1] ... の形になればよい.
よって
j = 0, 1, ..., n に対して
Σ[k=n+1, 2n+1] ( C[k, j] * b_k /k! ) = (-1/h)^j *a_j /j! - Σ[k=j, n] ( C[k, j] * b_k /k! )
が成り立つように b_{n+1} , ... , b_{2n+1} を定めればよい. ---- (1)
行列 A[i,j] := C[i+n+1, j] {i,j = 0,1,..., n} として
A.x = 0 に非自明解が存在しなければ ---- (2)
逆行列を用いて (1) が可能である.
(2) について
A.x = 0 の解は 任意の h (≠0) と a_0 = b_0 = ... = a_n = b_n = 0 での解 b_{n+1} .... b_{2n+1} に相当する.
この時 f(0) = Σ[k=n+1, 2n+1] b_k /k! * (0-h)^k = (hについての多項式) = 0
よって b_{n+1} = ... = b_{2n+1} = 0 の自明解しか存在しない事が分かる. 記号論理もポーランド記法も逆ポーランド記法も情緒的ではないので日本人には不向き
日本人は論理ではなく記憶照合パズルで思考する鼻っ面喚き気質
鼻腔の奥に視床下部が有る事が鼻っ面喚きに成り易いのかも知れない、間違ってたらシレっとした顔してコロッと立場変え｡
あー、ナチスだなぁ、ジャパニーズネオナチズムに陥ってるなぁ｡ 賢い人は言うことが違うね
違いすぎて馬鹿にしか見えない >>671
Imprtant thing has wrote two times >>672
文字通り
連想記憶を連想した。
二分木とかハッシュとかで実装するらしい。 メタ数学の立場において、イプシロン_0までの超限帰納法を認めることに関する是非、考え、検討について論考してるものを読みたいんだが
どっかある？ 自然数論の無矛盾性証明に興味ある？
今俺この証明の90%ぐらい理解してるんだが、記事としてまとめようかなっていう感じになってる 関数f:R→Rを
x＞0のときf(x)=sin(1/x)
x≦0のときf(x)=0
で定義すると、fは不連続なので
Rのコンパクトな部分集合Cを、f(C)がコンパクトでないようにとれると思うのですが
独力でそのようなCが構成できません。
Cの例をどなたか教えていただけませんか？
よろしくおねがいします。 >>679
説明不足かと思ったので補足します
g:R^n→R^nにおいて
gが連続⇔gが任意の連結集合を連結集合に移し、任意のコンパクト集合をコンパクト集合に移す
というVellemanの定理を知って、上のfは連結集合を連結集合に移すので、Cが存在すると思ったんですが >>678
興味ありますが
https://www.&;#x61;mazon.co.jp/dp/4826901259/
より新しい部分はありますか？ >>678
興味ありますが
https://www.&;#x61;mazon.co.jp/dp/4826901259/
より新しい部分はありますか？ >>679
C = { 1/(2nπ+asin( 1-1/n )) | n∈N } ∪ { 0 }
でf(C) = { 1 - 1/n | n∈N } ∪ { 0 }はコンパクトではないがCは{0}が唯一の集積点であるがそれを含むので閉集合 >>682
ゲーデル・エッシャー・バッハって本みたいだがその本持ってないから知らん。 ゲンツェン流の自然数論の証明体系NKについて質問
自然数論の無矛盾性証明の流れで「特殊自由変項」って言葉が出てきてるんだが、この言葉の意義を教えてくれ 多分、論理式∀xAを演繹するためにAが成り立つことを言う際に、xの任意性を担保させておくことが特殊自由変項の意義なんじゃないかと
思ってるんだが、イマイチ不安 https://i.imgur.com/KGt7Dl7.png
田中尚夫の公理的集合論p137
｢Rが全順序なら、AがR-左閉⇔AがR-始切片orA=Fld(R)｣の証明が分からん
誰か教えてくれ 関係Rが集合Aの上の関係 っていうとき、Dom(R)∪Ran(R)=Aであることが定義として要請されているけど、
この定義が必要な理由ってなんですか？ そうなの？関係って直積の部分集合、写像として見ても直積から2元(または3元)集合への写像じゃないの？ >>689
あった方が良いけど
いらんしょ
何も関係ない元があって何が問題？ >>688
>R-始切片orA=Fld(R)
R始切片って{y|yRx}？
Fld(R)って？ すみません、2ページ目において、
a_1、a_2、a_3はC_Rの外に有ると仮定しているのに、「留数定理により(5.4)の左辺は留数の和に等しい」という所が理解できません
(C_Rの内側にあるなら分かるのですが...)
どなたか教えていただませんでしょうか...
https://i.imgur.com/siwMM56.jpg
https://i.imgur.com/vJfiIYF.jpg >>693
1/λでやってるから反転するわけでしょ >>696
ζ=1/λと変換してやれば、円|ζ|=1/R内に1/a_lが入るということですかね
納得しました、ありがとうございました！ 数学の問題じゃないけど何故位相空間Xの閉集合系ってFって表記されるんだろう
closed sets ならCとかで良さそうだけどそもそも何の略なのか >>699
なるほどブルバキの影響なのかな？
じゃあ開集合系のOも open のOじゃなくてフランス語の ouvert から来てるのかな 可換環Rの任意のイデアルIに対して互いに素、つまりI+J=RとなるようなイデアルJは常に存在しますか？
Zやより一般にPIDであれば成り立つと思いますが、もっと広く成り立つかどうか(もしくは成り立たない例があれば)教えてください Local だとダメ
例えばpを素数としてR = { a/b ∈ Q | a,b∈Z, (b,p)=1 } など
この場合全ての真のイデアルはpRに含まれてしまう >>703
ありがとうございます、確かに局所環(R,m)だとI+J⊂m+m=m≠Rですね リアルな会話だとlocalって言われた瞬間にわかるやつだね 専門家の間で○○であると予想されてきたが、実際は違うかった、あるいは、本当にそうだった っていうエピソードってなんかある?
俺が知ってるところで言えば、
･四色定理は経験的に成り立つと知られていたが、証明されたのはだいぶ後
･命題は常に真偽が決定できるとヒルベルトは思っていたが、ゲーデルの第2不完全性定理によって打ち崩された。
･フェルマーの最終定理
っていうか、実際は違うかった場合と、本当にそうだった場合ってどっちのほうがケース数として多いんかな?
専門家といえども未知のことの予想については何のアテにもならんっていうのが俺の信条なんだが、実際はどうなんかな? ポアンカレ予想は普通に成り立つだろうって思われてたはず
ポアンカレが証明する10年前ぐらいの講義でまあもうすぐ証明されるでしょって感じだった >>706
「専門家といえども未知のことの予想については何のアテにもならんっていうのが俺の信条なんだが、」
それは完全に正しい。
ただ一見未知に見えるが視点を変えてみると実は既知のことだった、何ていうのもあるから難しい。
つまり未知だったかどうかも後付けの判断になり、事態の進行中にはわからない。 知ってる範囲だと予想通りの方が圧倒的に多いようだ
だから反対の証明で皆が驚く 斎藤毅著『集合と位相』に以下のように書いてあります：
Γ_f, Γ_g を f, g のグラフとすると、合成写像 g・f のグラフは
Γ_(g・f) = {(x, z) ∈ X × Z | ∃y ∈ Y((x, y) ∈ Γ_f ∧ (y, z) ∈ Γ_g)}
である。
斎藤毅さんはなぜ、
Γ_(g・f) = {(x, z) ∈ X × Z | z = g(f(x))}
と書かなかったのでしょうか？
このように書いたほうが遥かに分かりやすいはずです。
もちろん、この記述の前に記号 f(x) の定義は書いてあります。 >>711
↑は二項関係を二項関係の合成で定義してある
↓は二項関係を関数の合成で定義してる
個人的には↑の定義の方が自然で分かりやすいと思う
↓は集合的には何やってるかパッと見分からない 数学の記号で質問です。
図左のように文字（場合によってはΣ）の右上に「＜」が付くと、どういう意味になるのでしょうか？
※向きが逆の「＞」もあります
また、図右のようにダガー「†」のようなマークが付くと、どういう意味なのでしょうか？
宜しくお願い致します。
https://dotup.org/uploda/dotup.org2614077.png 蛇足
質問する側は状況、背景をきちんと説明する義務がある >>715-716
有り難うございます。
すいません、背景の提示が出来ていませんでした。
厳密には量子物理学（分子物理学）で
https://www.jstage.jst.go.jp/article/jsssj/32/10/32_10_622/_pdf/-char/ja
の2ページ目左のような使われ方をしています。
1ページ目右下で「2. 1 非平衡グリーン関数法」とあって、ここで最初に ＞ の記号が
登場するのですが、同じ行の自己エネルギーの表記と同じく、あたかも周知の意味の
ように使われています。
https://dotup.org/uploda/dotup.org2614115.png (5.14)、(5.15)を用いてδ→0にすると(5.13)がKdV方程式
U_T+6U*U_X+U_XXX=0 になることを示せ。
この問題が分かりません... どなたか教えていただけませんか
https://i.imgur.com/qfwq1aO.jpg
https://i.imgur.com/wmkpD5Y.jpg 念のため言っておくけど>>721の
>電子を加える励起に対応するグリーン関数と電子を消す励起に対応するグリーン関数て感じじゃね
はパット見て適当に書いただけだからあんまり参考にせず文献の説明優先してね >>721
そういう意味なんですね。有り難うございます。
あとダガー記号は、調べると「エルミート共役」のことでした。
https://eman-physics.net/math/linear14.html そんな事よりお前ら、昇龍拳を出し損ねない様に練習しようぜ！ p進数のpは素数でないと零因子や非可逆元が出て来てしまって都合が悪いと聞きました
しかし2進数を2桁ずつ区切れば4進数であって一対一に対応するように思うのですが、
4進数における都合の悪い元というのはどのような元なのでしょうか
よろしくお願いします >>733
2進数と4進数の対応の具体例でしょうか？
例えば2進数で101110000101…
なら4進数では131022…
となりますよね >>735
p進整数で無くとも例えば2進数における101.111001…は
4進数では22.312…となりませんか？ 2進数における101.111001…は
4進数では 11.321… >>737
10進数で非可逆元って何？
10進数で零因子って何？ >>739
526098…と426098…で零になるらしい
非可逆元はwikiにあるって書いてあったけどどれか分からないので俺も知りたい >>735に対して>>736と返してるあたり、やっぱりp進数とp進展開が混ざってるなと
例えば2進数とは0と1のみで表した実数(2進法表示)のことではなく、2進数体Q_2の元のこと
いくら実数をn進法で表現したとしても数としての実体が変わるわけではないから、ある数が零因子になったりならなかったりする訳がない >>746
2進数と2進展開は一対一に対応するって認識なんだけど…
2進展開に零因子が無いのに10進展開に零因子があるのは
10進数にあって2進数に無い元があるだけのことなんだから別におかしなことではないよね
実数は関係無い そもそもp進数て下の桁に無限に続くことはないと思うんやけど
>>738とか>>740は何で下の桁に続いてるの?
有限の桁を「…」で表してるだけ？ >>747
p進整数環Z_pをどう理解してるかわからんけど、Z/(p^n)Zの射影極限で書けることは知ってる？
元の2進数=4進数？の件は4^n=2^(2n)からすぐわかることだし、n進数で零因子が出てくるかどうかはn=pqを異なる素数としてpもしくはqの行き先を見てみたらいいんじゃないかな
知らんけど ウリゾーンの補題の証明中に出て来た等式の証明が分からなかったので教えて頂けると助かります:
自然数m, nについて, m > n なら,
g_n <= g_m <= f_m <= f_n <= g_n + 2/2^n
が成り立つとき,
inf_m f_m = sup_m g_m
を示せ >>751
なんか変やな
そもそもgは上に有界で広義単調増大、fは下に有界で広義単調減少なのでlimsup,liminfなんて考える意味ないやん
fもgも2/2^nも全部収束するからlimの加法性でバラせばいいだけやし
そんな著者の変なこだわりに付き合う事ないよ しかし付き合うなら
gm ≦ fn のm→∞でsup g ≦ fn、n→∞でsup g≦inf f
fm ≦ gn + 2/2^nのm→∞でinf f - 2/2^n ≦ gn、n→∞で
inf g ≧ inf( f + 2/2^n ) ≧ inf f + inf 2/2^n = inf f
周りくどい >>754
最後のはinf g >= inf fだから当然sup g >= inf fって事ですね
ありがとうございました >>754
ただこれは2/2^nの符号が逆なような…
> inf g ≧ inf( f + 2/2^n ) ≧ inf f + inf 2/2^n = inf f >>756
> ただこれは2/2^nの符号が逆なような…
> > inf g ≧ inf( f + 2/2^n ) ≧ inf f + inf 2/2^n = inf f
せやね、訂正
inf g ≧ inf( f - 2/2^n ) ≧ inf f + inf( -2/2^n ) = inf f
inf(-2/2^n)もどのみち消えるけど
supとかinfの使い方の練習にはちょうどいいかもしれんけど、ウリゾーンの証明とかの段階でわざわざ持ち出す話でもない >>751
ここで証明を読み直してみたら？
https://infologicmation.はてなblog.com/entry/2018/11/24/Urysohn%E3%81%AE%E8%A3%9C%E9%A1%8C
くっそ丁寧に証明してるぞ、行間ゼロで >>758
Urysohnの補題を使ってTietzeの拡張定理を証明するまでが簡潔かつ行間ゼロで証明されてる コメント止まってるけど>>758のサイト分かりやすいよな？ 更新頻度を見ればわかるように、こんな丁寧な記述は筆者の負担が大きすぎる。 >>761
>>758のこと？
行間が完全にゼロだから、手を動かす必要すら無く、鼻ほじりながらでも完全理解できるよな >>765,766
(g_n,(2/3)^n)のペアからh_n=F(g_n,(2/3)^n)を定め、関数の無限級数Σh_nがfの連続な拡張になっていることを確認している議論だが？
どこがわかりにくい？ >>767
今さっきTietzeの拡張定理を読み直してみたが、手を動かすこと無く10分で完璧に理解できたんだが、記号の扱いが読みにくいとか？ 注釈 \mathcal{C}_Aは部分空間Aの閉集合系 (g_n,(2/3)^n)の列のとり方が記号がごちゃごちゃして紛らわしかったかな？ >>765
確かに「簡潔｣と言うと、証明の核心部分のみをピックアップするが故に行間の空きがチラホラ生まれるニュアンスがあるから、
「簡潔」ではないな >>768
一度学習した人間が読み直すのに10分かかるのは即ち読みづらいということでは >>773
すっげぇ頭悪いレスだけど、「行間が自明」ってのはクソ主観だから
要するに、お前にとっては自明なだけ
他人が読むように記述する際にできるだけ多くの人間が一々各個人にとっての行間を感じないようにするのが、それこそ行間を埋めた説明(証明)だから。
お前みたいな考え方に代表される、”自分の中で理解できていることは相手も理解できて当然だ”っていう考え･深層心理ってシンプルに邪魔
少なくとも人に説明・教えるのには向いてない
こういう風な聞き方をしたらどうかな？
「お前のその自明の定義は？」 全称記号、存在記号とか書いてあると自明と思える人なんだろ >>774
アホ？
読みやすいかどうかは個人の判断
全く分かってないな >>778
お前アホすぎて会話が通じてないやん
っつーか、お前自明の定義答えられねぇの？
>>読みやすいかどうかは個人の判断
こういうセリフを吐いてる時点でお前の中で思考が閉じてるんだよアホ
他人が読むように記述する際にできるだけ多くの人間が一々各個人にとっての行間を感じないようにするのが、それこそ行間を埋めた説明(証明)だから
って言ってるだろアホ低能
>>779
だったら、｢証明は明らかである｣でありとあらゆる証明が簡潔になるなｗｗｗ
アホすぎて話にならん
低能は死んどけｗ
こいつ頭悪すぎて二分思考っていうかメチャクチャ思考が薄っぺらすぎるｗ 例えばアメリカの高校の教科書であるRon Larsonらの「Geometry」では、
線分PQバー≅XYバーが与えられてXYバー≅PQバーを証明するのに
Statements Reasons
PQバー≅XYバー 与えられる
PQ＝XY 合同線分の定義
XY＝PQ 等号の対称性
XYバー≅PQバー 合同線分の定義
というParagraph Proofを作成して学ぶ
こういうのが分かりにくいのであれば日本の数学教育の失敗だと思う >>778,779
お前って考えてることが浅い所で留まってて全然深く考えれない人間だなww 証明の行間は自分で埋めるものだよ
理解ができればアホでも出来る 何が読みやすい証明か？ってのは結構議論ある気がする
個人的には行間が程よく開いていて細々した議論は補題とか定理として事前に示してあるのが読みやすいと思う
もしくは付録として後にまとめるか
最適な行間の取り方は対象とする読者に依存するから一概には言えない >>783,784,785
お前の自己流儀なんてどうでもいいし何の興味もないし、だぁ～～れも聞いてもない。価値ゼロ。ゴミ、ウンコ。
骨の髄まで精神論が染み込んでる人間ってこんなんになってしまうんだな
会話が通じないってまさしくこれ
だから、”明らか”という言葉も何がどういうふうに明らかなのかはこいつの心の中だけの主観オンリーの言葉
こりゃ通じないわ
もう一度言う、お前は自分の中だけで思考が閉じていて会話にならん。シンプルに死ね。
数学以前に言葉のキャッチボールを覚えろ、発達障害
>>786
行間はある程度飛ばしてでも議論の骨格･大筋を見せてくれたほうが読む側も理解の方向性が定めやすいってのは分かる。 >>787
ある記述が簡潔かどうかはそれを読むものが決めるのだよ
全く理解してないな 忌避したいが為に
汚い言葉を使うのは
あまりに幼稚 ようちなひとにはぎょうかんをぜんぶかいてあげなくてはかんけつではないね >>787
>”明らか”という言葉
これが主観で無いという主張だとしたら
恐れ戦く他無いな >>787
>”明らか”という言葉
これが主観で無いという主張だとしたら
恐れ戦く他無いな >>781
アメリカではこういう教育が行われていて、
日本では行間が開いてて証明を丁寧に追わない教育が行われている
どちらが数学で活躍してるかは一目瞭然 >>788
>>779に速攻で矛盾
障害者の心中は流石に理解しかねるｗ
>>789
お前、障害者に絡まれたことある？
今の俺の気持ちはそんな感じ
>>791,792
へぇ～～｢明らか｣って主観でしかない言葉なんだ
んじゃ、世の数学書には主観まみれの数学書しかねぇんだな。
数学って厳密な学問じゃなかったの？？？？ｗｗｗ 障害者の相手はまともに相手するだけエネルギーの無駄w
おちょくるのが丁度いいわｗ 明らかってのは多分に主観的なんじゃないかな
「明らか」は誰が見てもそうだ、と言う事だけど逆に言えば誰かが見る・知るというのが前提にある 「明らか」は誰が見てもそうだ、というのが定義なら主観的ではないでしょ
個々人が見て「そうだ」と思うかは主観だけど、「誰が見ても」とANDをとった結果は主観的ではない ただ、「明らか」は誰が見てもそうだ、というのが定義としても、
「明らかではない」は主観的であるとはいえるかもしれない >>794
>へぇ～～｢明らか｣って主観でしかない言葉なんだ
主観だよ
明らかにねｗ 君
論文とか読んだことないだろｗ
数学書でも
明らかに思えるまで勉強してね 間違ってたら死んで御詫びするルールの元で対談させたら何人が逃げるかな？ https://twitter.com/taketo1024
こいつ１０月２６日あたりから「自明」について語り始めてんじゃん
上の方のレスの発達障害ってこいつかな
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account) 30文字以内で表現できる一番大きな整数って何ですか？ >>804
あなたの想像出来る最大の整数より1大きい整数 >>806
てことは、3より1大きい整数ってことですか？
なるほど、ありそうですね
まだまだ答え待ってます >てことは、3より1大きい整数ってことですか？
3より1大きい整数nを想像出来てるということは>>806の整数はすくなくともn+1以上だな >>804
ブルーバックスレベルのくっそ薄っぺらい質問だけど、
そういうのはある種の自己言及や自然言語を用いることからくる厄介な感じの質問だからな >>809
定義不能よな
それに似たのが
有理数とも実数とも1対1にならない実数の部分集合
何が定義されているのか曖昧すぎり nを0でない整数として-n=nと言われたら、そんなn無いだろ、で話が終わるのに
クレタ人は嘘つき、と言われたら、パラドックスだなんだと話が盛り上がるのは何故ですか？ >>811
>クレタ人は嘘つき、と言われたら
は
クレタ人は嘘つき、とクレタ人が言ったら、の間違いですすみません 自己言及を無制限に認めると破綻が起きるが、
自己言及的な命題を構成してゲーデルの第1、2不完全性定理が示せるんだよな >>810
全然似ていない
連続体仮説を否定すればそのような集合が存在する、ということ。 >>810-811
有名だが実はその程度ではパラドックスに成っていない
何故なら「論理的正直」≠「￢論理的嘘吐き」である為に
・論理的正直
・論理的嘘吐き
・￢論理的正直者・￢論理的嘘吐き
と四者に別れる為。「￢論理的正直」は普段は「論理的嘘吐き」と同じ振る舞いをし､
「￢論理的嘘吐き」は「論理的正直」と同じ振る舞いをするが､
自己言及が絡むと途端に「￢論理的正直」も「￢論理的嘘吐き」も
「論理的正直」とも「論理的嘘吐き」とも異なる振る舞いをする｡
よって「クレタ人は『論理的嘘吐き』だ」と言ったクレタ人は「論理的正直」でも「論理的嘘吐き」でもなく
「￢論理的正直」or「￢論理的嘘吐」という事に成り、特定には更に質問に答えさせる必要が有る｡
此の様に回答者は単純論理で回答していない可能性が有り、適宜に対応する必要が有る｡
複雑であれば複雑であるほど質問に答えさせて論理的性質を明かす必要が有る｡
現実には「論理的正直」も「論理的嘘吐き」も「￢論理的正直」も「￢論理的嘘吐き」も皆無で､
「都合今は正直」「都合今は嘘吐き」しか存在しないと言って過言では無い｡ ただのITエンジニアです
大学でCSを一切やっていないため、以下の解答が正しいのかわからず質問します
オートマトンの計算能力で解ける問題とチューリングマシンの計算能力が必要になる場合の違いについてです
全パターンの分岐を書き出せば処理できる場合はオートマトン相当の処理能力で事足りるが、そうでない場合はチューリングマシン相当の計算能力が必要となる
具体的には日本円が最大で1万円までしか投入できない自動販売機のおつりの計算は
全部の入力パターンのIF文を書き下せばどうであれ処理が達成できるのでオートマトンで処理できるが
任意の金額を投入できる自動販売機のおつりの計算はチューリングマシンが必要になる、と
この考えはあっているのでしょうか。
ぶっちゃけチューリングマシンの定義を眺めているとこれはめちゃくちゃ言い回しが抽象的なだけで要するに1+1=2を処理しているときの人間の脳の働きの話をしているだけだと理解し、この考えにたどり着いたのですが 最近、整列可能定理を習いました
この定理によれば実数体に順序を入れて整列集合に出来るはずですが、具体的な構成が全く思いつきません
実数体を整列集合にするうまい順序を教えてください >>818
実数体Rに限って、整列可能定理における証明とは違った特別の簡明な整列順序ってあるのか知らんが、
そんなもの知る必要あるのか？
例えば、
https://infologicmation.はてなblog.com/entry/2019/07/01/055007
の証明を見ると、選択公理を使いつつ、整列順序を具体的に構成しているが？
しかも、この証明に注意すると、任意の選択写像fに対して、そのfから整列集合を構成しているぞ よくある質問みたい
ttps://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q11174635401 >>818
1、2、3、と取って行ってω
残りから又取って行ってω2
又取って行ってω3
取って行ってω^2
取って行ってω^3
取って行ってω^ω
取って行ってω^ω^ω
取って行ってを繰り返すんだよ
全部取りつくしておしまい 以下の議論のおかしな点を指摘せよ。
C を正の整数の集合の非有限部分集合とする。
h(1) を C の最小元とする。
h(1), …, h(n-1) が定義されたとする。
C - {h(1), …, h(n-1)} の最小元を h(n) と定義する。
帰納法により、全ての正の整数 n に対して、 h(n) が定義できた。 >>818
wikiによれば「しかし、ZFC や、一般連続体仮説を加えた体系 ZFC+GCH においては、R 上の整列順序を定義する論理式は存在しない。」となっていますね。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E5%88%97%E9%9B%86%E5%90%88 >>812
クレタ人は信用できないみたいだから、
インディアンを連れて行って調べさせるといいらしい。
「インディアン嘘つかない」 選択公理絡みでなんやかや言いたいんやろな
しょうもない >>823
Can we start by saying, "Let A be the set of all integers n for which the function h is defined?"
But that's silly; the symbol h has no meaning at the outset of the proof.
It only takes on meaning in the course of the proof. So something more is needed. >>828
まぁ自然数の集合やからな
ならもう間違いはない
しょうもないイチャモンつける以外おかしなところはない >>828
内田「集合と位相」のp.43には次の記述があるので選択公理は関係あるのでは？
『すべての無限集合は可算部分集合をもつことを示した。
実はこの証明には選択公理を暗黙のうちに用いている。
そのことを明確にしておこう。集合Aが無限集合であるとし、fを集合Aの上の一つの選択とする。
まず、a1 = f(A)とおく。次にa2 = f(A - {a1})とおく。同様にして一般に
an = f(A - {a1,...,an-1})
とおく。このとき、集合{an | n∈N}はAの加算部分集合である。』 >>831
誤字
× fを集合Aの上の一つの選択とする → 〇 fを集合Aの上の一つの選択関数とする (*):
h(1) = smallest element of C,
h(i) = smallest element of [C - h({1, …, i - 1})] for i > 1.
Theorem:
There exists a unique function h : Z_+ → C satisfying (*) for all i ∈ Z_+. >>823
無限と書かず、「非有限」という慣習とは違う言葉を使っているのはなぜ？ >>837
有限がまず定義されて、有限でないことを無限と定義します。
無限という新しい言葉を使わなくていい利点はあると思います。 帰納的定義に選択公理が使われているかどうかの見極めのポイントは、
定義される値(集合)が一意に定まっているか、どうか
な。
以下これについて説明する。
全体集合が整列集合のときは、｢○○を満たす”最小の元”｣という言い方をすることによって、
(実際にその最小性は後の議論で何ら使われなかったとしても)一意性が担保される。
これが核心部分。
>>831で引用されている内容についてだが、一般の集合を考えているので、従って整列集合とは言えないので、
帰納的に何かを定義するにしても、その一意性が担保されない。
そこが選択公理を使うかどうかの分かれ目となる。
というのも、実は、帰納的定義において、
○○を満たす元(集合)が存在するけど、一意には定まらないから、取り敢えずそういう元を1個取ってきて定める
という議論の進め方をして、帰納的定義をする時、実は、選択公理を使っている。
この事実には案外気づかれずスルーされてることあるけど、要注意な。 いまいち分かってないんだが代数体Kの分離閉包KバーからKのvにおける完備化の分離閉包Kvバーへの埋め込みを固定するときに選択公理使ってたの？ んで、>>842の言っていることがしっかりわかれば、上の方のレスであった、
Tiezeの拡張定理において、(Urysohnの補題を引用したところとは別の場所で)選択公理を用いなきゃいけない所(＊)があったことも分かる。
＊：帰納的に関数列を定めていくところ。
普通のテキスト(？)では、選択公理を使っていることが分かるようにその様子を全面に押し出した既述は し な い から、
何気なく議論を進めているだけで、さらっと選択公理を使っていることがしばしばある >>844
○○を満たす元(集合)が存在するけど、一意には定まらないから、取り敢えずそういう元を1個取ってきて定める
という議論の進め方をする具体例 >>846
体論はもう何年もやってないから分からん うろ覚えだけど代数的閉包の存在は選択公理と同値だった気がする
さっきの自然数と例は空でない自然数の部分集合のクラス
X = { A ⊂ N | N ≠ Φ } からNへの選択関数 f : X→ N を
f(A) = min A でさだめれは、すなわち
f = { < A, y > | A∈X, y∈N, y∈A, ∀a∈A, y≦a }
と定めればコレが選択関数になり、fのwell defined性にACはいらないのでこの話にACは出てこない >>848
だからその場合は、Nの整列性により値が一意に定まるから選択公理は使わない
さっきから俺が言ってるんだが？
あと、集合の既述が汚い
f = { <A, a>∈X×N | a∈A かつ ∀a∈A [ y≦a ] }
と書いたほうが綺麗。こういう見た目が綺麗な集合の記述は慣れた方がいいよ 訂正
f = { <A, a>∈X×N | a∈A かつ ∀b∈A [ a≦b ] } >>842
>>845
「弱い」選択公理と通常の選択公理の区別がついてないでしょう？ >>849
「あと、集合の既述が汚い
f = { <A, a>∈X×N | a∈A かつ ∀a∈A [ y≦a ] }
と書いたほうが綺麗。こういう見た目が綺麗な集合の記述は慣れた方がいいよ」
端から見ると馬鹿の下らないアドバイスにしか見えない。
5ちゃんで数学記号をいじる時点で見やすくはならない >>851
普通のACと加算選択公理の違いの話か？
今なんの関係がある？ >>851
聞きたいんだが、それが一体何の関係がある？
俺の上述の議論は可算選択公理だけで議論は補完できるから、選択公理は要らないってか？
一々言葉足らずのアホの脳内をこっちが補完してあげなきゃならんのか 可算選択公理も違う
あれはA_λ∈ΛのΛが可算
今のは∪Aλが可算 >>855
文献で「さらっと選択公理を使っている」と言ってるときそれが可算選択公理か選択公理かの違いは大きい。 >>814
だからさ具体的に挙げられないってことだよ >>859
証明を具体的に検討したら、可算ACか普通のACか分かる。
証明無しでそう言われた場合、それがどう影響する？
可算ACかACかで何か違いが生まれるような議論って何がある？ そもそも>>848で可算ACなんぞ使ってないやろに 「さらっと選択公理を使っている」と言ってる文献なんてあるか？ >>825
クレタ人は 終始一貫性が無いが
インディアンは終始一貫性がある。
(嘘つかないかは不明だけど) >>823
で、結局は823はどこがおかしいわけ？
ここは分からないことを質問するスレであって、
自分が知っていることを皆に答えさせて悦に入るスレでないのだが。
スレの趣旨にそぐわないやり取りが延々と続いているので終息させるためにも、
823は早く自分が用意している答えを述べよ、 田中尚夫、公理的集合論p137
2項関係R(⊆V×V)とクラスAが与えられた時、∀x,y[xRy∧y∈A⇒x∈A]が成立するならば、AはR-左閉であるという。
もしRが全順序なら、AがR-左閉であることは、AがR-始切片であるか、または、Fld(R)自身であることを意味する。
↑第2文が間違っているように見える。
ちなみに、Fld(R)={x|∃y(xRy∨yRx)}
Rを実数の≦の全順序
A=(-∞,0)とすると、AはR-左閉である。がしかし、
任意の実数yに対して、(-∞,0)≠(-∞,y]だし、Fld(≦)=実数全体となる。
Rを実数の＜の全順序としても、
A=(-∞,0]とすると、AはR-左閉だが、(-∞,0]≠(-∞,y)となる 始切片とか言ってるし順序数の文脈じゃないの？
なんで実数出て来るのか分からん 位相不変量って、二つの空間が同相でないことを示す以外に用途ある？
できれば微積分への応用が知りたい よろしくおねがいします
関数N→Nを再帰的に定義することは高校から数列として習いますが、N×N→Nや多変数関数の再帰的定義を私の勉強の範囲で見かけません
興味があるのですが、そのような分野はなんと言われていますか？
それとも見かけない理由があるのでしょうか
結局にN→Nに還元できるとか >>875
廣瀬健、「帰納的関数」
篠田寿一、「帰納的関数と述語」
がまさにそれ
「帰納的関数論」でググるといい。
ゲーデルの不完全性定理と関係がある。 Rが順序関係でないときも含めて、{x|xRy∧￢yRx}をyによるR-始切片といい、Seg_R(y)と表す。 順序の定義が任意のx∈Vに対しxRxという流儀なら、実数のyによるR-始切片は
(-∞,y)になる。yは￢yRyを満たさないから。 >>879
確かにそうだな。
でも非反射的順序＜の時は、Seg_R(y)=(-∞,y)だな。A=(-∞,0]に一致しない >>880
>>870でRが全順序ならばって条件入ってるじゃん >>881
お前なぁ、その時何か言えさえすればいいってもんんじゃねぇんだぞ
思考停止になって取り敢えずなにか喚くのやめろ
だから聞き返されて後が答えられねぇんだろ >>872
順序数というか有基底的関係に関する定理を証明する中での話
>>870は文脈読めてないだけか茶化してるだけ >>884
じゃ、｢Rが全順序なら、AがR-左閉であることは、AがR-始切片であるか、または、Fld(R)自身である｣の証明教えてもらっていいですか？ >>885
ちなみに、R-始切片もFld(R)もR-左閉であることはすぐに分かるので、示すべきことは⇒のみ。 たぶん
分かんないんですかって言われてる内容が分かんないんですね
証明すべきことのことですよ と言われたら、何の証明も貼らず黙って逃げるゴミ共ｗ
ID:s9Jso80y←取り敢えずお前は死んだほうがいい。生きてる価値がない お前の両親は何でお前に犯罪観念を躾なかったんだろうな｡
「自殺教唆」とはどんな犯罪なのか――他人に自殺を「決意」させる犯罪 - 弁護士ドットコム >>890
>ID:JfETH95u
キてるキてるｗ >>881
> ID:d9i4MfiU
この人はよく分かってる 今読んでる本に
ロルの定理により偏微分方程式∂u/∂t=-c∂u/∂xを満たす任意の滑らかな関数は，ある滑らかな関数kによってu(x, t)=k(x-ct)と書ける．
とあるんですけどロルの定理をどう使うんですかね？ >>895
文字の使い方がイマイチ･･･
p=x-ct
q=x+xt
で変数変換じゃない >>896
どの辺がロルの定理っぽさなんですかね？ しいて言えば∂v(p,q)/∂p=0⇒v(p,q)=constだろ >>898
あーこれですね
平均値の定理の証明にロルの定理使うのと同じですね
ありがとうございました 線形代数なんですが、
α:V->V*; x=Σ_{i=1}^n x_i e_i -> Σ_{i=1}^n x_i e_i*
但し e=(e_i)_{i=1}^n: Vの基底, e*=(e_i*)_{i=1}^n: eの双対基底
って写像になりますか？
つまりVの任意の基底eに対してα(x)は同じ値になりますか？(x∈V) >>900
>つまりVの任意の基底eに対してα(x)は同じ値になりますか
は？
なんでそんな必要が？ >>901
同じ入力なのに基底の取り方によって写像の行先が変わってしまったら写像とは呼べなくないですか？ 基底と線形写像の関係で混乱してるんじゃないか
基底を1つ固定して写像αをそう定義することは全く問題ない
ただし他の基底e'で写像αを見たとき、綺麗にΣx'_i (e'_i)*とは書けなくなる、ただそれだけの話 というより
Σ_{i=1}^n x_i e_i = Σ_{i=1}^n y_i e'_i ならば Σ_{i=1}^n x_i e_i* = Σ_{i=1}^n y_i e'_i*
は言えるのか？が気になってます eからe'への変換行列をAとすると座標も双対基底もAの逆行列で変換されるから、それは成り立たない 逆行列になっちゃうんですね
やっぱり基底を一つ固定しないとαは写像にならないんですね VからV*への基底の取り方に依存しない同型写像は無いらしいんですけどどうやって証明したら良いんでしょう いやだから写像にはなるって
写像かどうかが基底の取り方に依存するわけない >>908
e,fをVの基底だとして,ある(x_i),(y_i)∈K^nがあって,
x=Σ_i x_i e_i = Σ_i y_i f_i
と書けるので, もしαが写像だとすると,
α(x) = α(Σ_i x_i e_i) = α(Σ_i y_i f_i)
となるはずですよね
αの定義から
α(Σ_i x_i e_i) = Σ_i x_i e_i*
α(Σ_i y_i f_i) = Σ_i y_i f_i*
なので
Σ_i x_i e_i* = Σ_i y_i f_i*
が言えますけど>>905(>>904)と矛盾することになりませんか？ >>909
VからV*への基底の取り方に依存しない同型が無いことを示すのに圏論が必要なんですかね？ >>910
＞α(Σ_i y_i f_i) = Σ_i y_i f_i*
だからこれが成り立たないと>>905で指摘されてるでしょ >>912
つまり>>900のような割り当ては出来ないってことですよね？ >>910
やはり基底と線形写像の関係で混乱してるようだね
基底を固定して線形写像αを作ってしまえば、それは基底によらない意味を持つよ
ただし他の基底で見たときは写像の式の見た目が汚くなるってだけ
写像が基底によらないことと式の見た目が変化することは違う >>914
というより量化の問題だと思います
>>900では基底を選んでからαを定義してるわけではなく,
x∈Vに対してVの基底を任意に一つ選びそれをeとしています
このときx=Σ_i x_i e_iと書けるのでe_iの係数を取り出してeの双対基底e*について
α(x)=Σ_i x_i e_i*と定義してます
このようにαを定義してしまうとα(x)の値がeに依存して変化してしまうのでは？という話です >>915
>>>900では基底を選んでからαを定義してるわけではなく,
基底を選んでからαを定義しているよそれ あるいはxに対してeを別々に選びたいならαは線形写像じゃない >>915
それなら全然無理だね
そんな無茶苦茶な作り方は普通の線形写像では出来ない
線形写像の式というのは普通は基底によって変わるものだから
たぶん頭にあるであろうV**みたいな特別なときだけ出来る作り方が先に想定されてて、話が逆転気味 正に同型V->V*は基底を選ばないと作れないと言うのを定式化しようとしてる過程で浮かんだ疑問でした この命題を形式的に述べて証明する方針が分からずに困ってます 線形代数の教科書にちらっと書いてあった文言で証明がなくて… 1次元でeを基底そのデャ�Aルをe*としｂｽら
K∋k＝0で(ke)*=(1/k)e*だから当たり前 >>911
自然変換では無い例としてよく挙げられる そもそも付加構造なしでは双対(-)*は反変関手にしかならないからVとV*の自然変換なんてもの考えられないはず 同型V->V*は基底に依存するというのを命題として形式的に述べるとどうなりますかね？ >>928
>同型V->V*は基底に依存する
線形写像が基底に依存するとはどういうこと？ 表、裏が出る確率が p, 1 - p で、n 回試行した時の表が出る回数を
確率変数 K とし、表が k 回出る確率を f(k) とします。
直前に出たものと、直後に出るものとの相関係数が 0 ではないような場合に、
f(k)はどうなるでしょう。
相関が 0 の場合には、
f(k) = nCk p^k (1-p)^{n-k}
だとは思いますが。
もしかすると、平均的な確率 f(k) を求めておいて、そこからのずれ、
というような概念を導入するのでしょうか？ 一般的な公式にまとめるのは無理やろ
誰得なわけわからん式にしかならんやろな >>930
>直前に出たものと、直後に出るものとの相関係数が 0 ではない
具体的にそれ式で書いて >>933
[補足]
対象が統計的な扱いしかできないような事象で、相関係数は、実験的に
測定することは出来るでしょうが、本質的に事象が起きるメカニズムを
式では表現できないようなものが有る場合です。
また、メカニズムは分かっていても、細かく論じるのが難しい場合に、
相関係数や何らかの統計的数値だけで分かることはないだろうか、
という問題意識です。 >>929
まず線形写像の族を考えて,
線形写像の族(α_e: V -> W)_{e: Vの基底}が基底に依存しないとは
∀v∈V∃w∈W∀e:Vの基底(w=α_e (v))
が成り立つこととします.
この時vからwが一意に定まるのでこの対応をαとすればαは基底に依存しない線形写像V->Wと言えると思います
逆にある線形写像がこのように定められたらそれは基底に依存しないと言えると思います サイズが大きくて数値的にも最大固有値を求めるのができない場合に、
最大固有値の下界は変分法で一応得られると思うのですが、
逆に最大固有値の上界をなるべく精度良く求めるためのある程度系統的な方法ってありますか？ >>925
>K∋k≠0で(ke)*=(1/k)e*
ここが良く分からないです >>939
(ke)*(e)=(1/k)k(ke)*(e)=(1/k)(ke)*(ke)=1/k=(1/k)e*(e) >>935
>>915のαがα_eの定義ならば(α_e)はその定義で「基底に依存しない」ではない >>940
(ke)*(ke)=1ではなくて(ke)*(ke)=k^2 e*e = k^2ではないですか？
>>941
>>915のαは基底に依存させようとして作ってます >>942
>(ke)*(ke)=1ではなくて(ke)*(ke)=k^2 e*e = k^2ではないですか？
f=ke
f*(f)=1 微分幾何の第一基本量とか長さとかに関する質問です。
力学的な微分幾何（著者は大森英樹）という本の第１部第３章§３．２（a）に書かれている内容の読解が難しいので下の解釈で合っているかどうか教えて欲しいです。この本が読める環境の人お願いします！
↓
・ui(i=1.2)は何らかのパラメーターの事で、ここではそれをR^3内の曲面Sに引く曲線上の点にしている。だからuiはS内に引かれた曲線の網（の点全体）の事。
・点(u1,u2)（位置ベクトルとは違う）とS上の位置rは同じ点を指す。
・よってパラメーターの変化(ui+⊿ui)-uiはS内の２点間の距離の事で、これはS内の生物は測定可能。
しかし、位置rというのはSに関係無く設定する座標系の座標の事だから、この座標系で考えた時の位置ベクトルはS内の生物にとっては理解出来ない。S内の生物はこの座標系の次元さえ知らないから２次元生物にとっては座標系は２次元に見えるし、Sを３次元空間だとすると３次元生物にとってはこの座標系は３次元だと思うはずだけど、それは空間が制限されているだけで実際には何次元なのかは分からない。
代わりに、S内の生物はこれと同一の点である点(u1,u2)（位置ベクトルとは違う）なら知っているし、Sに制限された空間内に住んでいても、その点uiの変化に対する位置ベクトルrの変化（座標系の座標の変化）はその空間S上に制限されるからこの位置ベクトルの変化はS内の生物にも理解可能。実際に位置ベクトルの変化を測定しようとするなら例えばS上に勝手な座標系を設定すれば良い。この勝手な座標系を極小の大きさで取れば接空間の事かも。
そう考えたら現実の空間は実はもっと多次元の空間を現実空間に制限したものであり、現実空間上の点と点を繋ぐベクトルは点(u1,u2,u3)（位置ベクトルとは違う）をそのまま３次元空間の勝手な位置座標に対応させた時の位置の変化と言える（点という概念に位置という概念を付け足したという事）。
したがって第一基本量はS内の生物にとって計算可能。S上で長さを測りたいならその勝手な座標系での位置の変化を測れば良い。その線素は第一基本量を使うからS内の生物にも測れる。
以上です。誤解をしている所があったら指摘お願いします！ >>934
毎回の事象が独立では無いといいたい？
その場合表裏の出る確率p,1-pとは何を指している？ ちなみに独学で勉強していて訊ける人がいないので、友達や先生に訊けというアドバイスは無しでお願い致します。 >>943
ああ、kは一般の係数を言ってるのかと思ったので混乱しました
要は基底をeからfに取り替えたときの座標変換行列が直交行列なのでその行列式が±1という文脈ですね >>947
>kは一般の係数を言ってるのかと思った
一般の係数というか基底の変換（行列）だよ >>942
>>>915のαは基底に依存させようとして作ってます
各基底に関する表現行列を同じものにしようとしているということ >>949
各基底とそのデュアルに関すると言うべきか
表現行列を同じものにと言うよりは
表現行列を単位行列にと言うべきか >>947
>要は基底をeからfに取り替えたときの座標変換行列が直交行列なのでその行列式が±1という文脈ですね
？
1次元であるし直交行列と言うよりはただ1なだけ >>951
>1次元であるし直交行列と言うよりはただ1なだけ
違った
座標変換行列は(1/k)か
xe=(1/k)x(ke)
高次元でも直交行列ではなく正則であると言うだけ >>928
そもそも一般的に、次元の等しいベクトル空間V、Wの間の同型写像が
どう表せるかは知っているの？ >>955
φ_e: V -> K^n; Σ_i x_i e_i -> (x_i) とすると
同型T: V -> W (dim V = dim W)について可逆なn次正方行列Mがあって
T= (φ_f)^(-1) . M . φ_e
と書けるという話ですか？ 任意の有限次元の線形空間Vとその双対空間V*について基底に依存しない同型V->V*があると仮定するとどういう矛盾が起きるんでしょうか >>935
>まず線形写像の族を考えて,
>線形写像の族(α_e: V -> W)_{e: Vの基底}が基底に依存しないとは
>∀v∈V∃w∈W∀e:Vの基底(w=α_e (v))
>が成り立つこととします.
「基底に依存しない」と同値なのは「∀e,e' (α_e=α_e')」
言い換えると
「「線形写像の族が基底に依存しないと」いう定義をわざわざする必要は無い」
かな >>959
添え字無しのαを導入したかったので前段階として導入しました
一番気になっているのは>>958です >>960
そこの「基底に依存しない」が>>935の「基底に依存しない」の意味なら
基底に依存しない同型写像の存在に矛盾はない
それは>>914に書かれているとおり
>基底を固定して線形写像αを作ってしまえば、それは基底によらない意味を持つよ
という意味で
たとえば>>935の記法を使えば
あるe0についてのα_e0を以て任意のeについてα_e=α_e0と定義するという（アホみたいな）ことだけど >>962
んー中々うまくいかないですね
調べてみると>>926にある通り確かに色んな本で特別な同型はないとか色々な言い方がされてるみたいなんですが、特別な同型があるとどうマズいとかこういう矛盾が起きるというのがはっきり示されてないんですよね >>958
「表現行列」を勉強すれば、自分の質問が変なことが分かったり、
やりたいことを定式化して解決することができると思うよ >>964
ちなみに>>964さんなら以下の内容をどう定式化されます？
以下本の該当部分を引用
"Vが有限次元のときは，Vの基底を考えれば，それを双対基底にうつす同形V→V^*がある.．
しかし，この同形は基底に依存するもので，特別な同形V→V^*があるわけではない．" >>965
そこは
「基底を変えれば違う同型写像になる」
としか言ってないよ 今、小平の複素解析の細胞分割可能定理を読んでるんだが、くっそ長い。20ページぐらいある
論理展開を読むのがくっそだるいんだが、誰かこの証明を見やすい感じにまとめてる人いる？
文字が汚くても論理の流れを綺麗にしてくれるんなら、手書きノートでも全然読みたいんだが、誰か持ってる？ >>965
"Vが有限次元のときは，Vの基底を考えれば，それを双対基底にうつす同形V→V^*がある.．"
基底を考えた場合の同型はどう表せるかは分かる？ >>965
例えば1次元空間と体kの同型ですら特別なものは無いよ
基底に依存する話
VからV*への線形写像はV※Vからkへの線形写像と自然に対応するし
Vが1次元ならV※Vも1次元だから
上の話に帰着するわけ >>966
同型の表現行列を固定した時に基底を変えると違う写像になるっていうことが述べられてるんですかね？ なんで具体的に写像書いて基底変換してみないんだろうか >>971
だよね
>>970
1次元空間VからV*への線形写像作ってみなよ 横だけど「具体的に線形写像を作ったら基底によって変わる」で学部生ならまあ正解でいいと思う
修士は微妙だが、博士でこれを回答だと思ってるような人は流石にいないだろう >>973
>「具体的に線形写像を作ったら基底によって変わる」で学部生ならまあ正解
え？正解なの？てゆーか基底によって変わるのは行列による表現では？ >>973
>博士でこれを回答だと思ってるような人は流石にいないだろう
これは何についての回答なの？ >>972
>1次元空間VからV*への線形写像作ってみなよ
α:V->V*, α=(φ_e*)^(-1) . p_e . φ_e
但し p_e∈K, φ_e: V->K; xe->x
p_e != 0なら同型
と言うところまでしか… >>979
ちょっと話ごちゃごちゃしますけど
β:V->V**, β=(φ_e**)^(-1) . p . φ_e
はeに依存しないですよね？ 齋藤正彦著『線型代数入門』のp.136に以下の記述があります。
「
実線形空間の線型変換 T の場合、任意の基底に関する T の行列を A とすれば、 A は実行列であり、実数 α が T の固有値であるということは、
実係数の斉次一次方程式 (α*E - A) * x = 0 が、自明でない実解を持つということである。第2章§2注意2（p.58）により、これは α が実特性根
であるということと同値である。証明終。
」
第2章§2注意2（p.58）とは、 A を実行列としたとき、 A * x = 0 の解は複素ベクトルにはならず、実ベクトルになるというものです。
上の齋藤さんの記述の「第2章§2注意2（p.58）により、これは α が実特性根であるということと同値である。」って必要ですか？
当たり前のことですよね？
第2章§2注意2（p.58）というのはなぜ書いたのかが分かりません。非常に自明なことです。
A * x = 0 の解は、 A の成分と四則演算のみを使って表わされるから自明なことです。 >>978
本当に気になっているのなら、残念だがここで質問しても回答を得ることはできないかもしれない
俺が正解を書くことはできると思うが、それが正解であると判定できる人がいない
学部くらいの知識、常識で「反論みたいなもの」をレスされて、混迷を極める(ひどい場合には正解が潰される)展開になりうることは容易に想像できる
博士以上のきちんと正解が示せる人はここまで来ていないし、よりレベルの高い場所で質問をしたほうが良いかもしれない >>973の真意
>>971,>>972を「基底を変えたら写像そのものが変わるだろ？」と言ってるように見えた
に1票 >>982
とりあえず書いていただけるとありがたいです そもそも線形写像f:V->v^*が存在する空間Vの特徴付けができそうだが >>983
違うの？
>>966で明確に「基底を変えれば違う写像になる」と書いてあるが別人が別の主張をしてるのか ああそうか
eに依存して定義したものが実は他のすべてのe'でも同じになるということ
君の最初の奴はそうならないわけ >>986
たとえば1次元空間Vとその双対V*の基底eとその双対基底e*でなら
f(xe)=xe*と定義した線形写像は「別の基底で同じ定義をしたら」別の線形写像になるということ k≠0で(ke)*=(1/k)e*だから(ke)**=((1/k)e*)*=k(e**)だから
V→V*とV→V**は本質的に異なるってだけ>>ID:9wLeWaLz >>990
それが「基底に依存する」ことに対する回答であるならば、学部生なら正解
ただ数学的には（エッセンスは含まれているが）不正解
博士以上の人なら分かると思うが、いなさそうだな M∈K^(n×n)を固定してVの基底eに対して
α_e=(φ_e*)^(-1) . M . φ_e : V->V* (MはM倍写像と同一視)
と定義したときに∀e,f:Vの基底(α_e=α_f)が成り立つことを
α:V->V*は基底に依存しない線形写像
の定義だと思って良いんですかね？ >>996
一応調べる中で出て来たのでこれは読みました
Samuel Eilenberg and Saunders MacLane. General theory of natural equivalences. Trans. Amer. Math.
Soc., 58:231?294, 1945.
どちらかと言うと圏論によって証明される事実と言うよりは圏論が始まる切っ掛けとして線形代数の中で知られていた事実という扱いみたいです このスレッドは１０００を超えました。
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