大学学部レベル質問スレ 15単位目
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https://i.imgur.com/W1Gr243.png
前スレでも貼ったものですが、これの(2)と(挑戦)をお願いします >>5
逆から計算すると底辺かける高さで表せるとしたら三角錐の底辺は1/2or(又は)0だから。
どちらかしか成り立たないのはおかしい。
以上証明終わり。
具体的値は未解決問題(自分の中では)。 「全順序部分集合」を「鎖」と言うようですが、これの読み方は「くさり」ですか？それとも「さ」ですか？
どっちでもいいですか？ (x+y)^4=x^2y の囲む面積を求める問題で、本にある答えは(極座標変換して)θが0からπ/2までで積分しています
rの符号を見てθの積分範囲は0からπになりそうな気がするんですが、π/2からπの範囲は足さなくていいんでしょうか？それとも常にx≧0ですか？ >>14
x/y=tとおいて
与式
⇔x(1+t^4)=t^3
⇔x=t^3/(1+t^4), y=t^2/(1+t^4)
でy軸対称みたいだから後で2倍してるんじゃない？ 極座標でもわかるな
r = sinθcos^2θ/(sinθ+cosθ)^2 (-π/2<θ<π/2)
において変換(r→-r, θ→-θ)で不変だからy軸対称 >>15
この(iii)です、2倍されてなさそうですが後で2倍し忘れただけなのかな
ありがとうございます
https://i.imgur.com/4v0yZvs.jpg >>15
はウソ
x=t^3/(1+t)^4
y=t^2/(1+t)^4
だ
撤回します >>17
wolfram大先生に教えてもらった
θ=3π/2で切れるから第二象限では切れてる
第三、第四象限は変換
θ→π+θ、r→-rでの不変だからこない >>19-20
ありがとうございます
実際にπ/2からπまでの積分も加えようとしたら0になってしまいました……
やっぱりグラフ書いてみないとダメですね すみません、この5.の説明をして欲しいです
https://i.imgur.com/ACbmQdP.jpg
https://i.imgur.com/AJAhe7g.jpg
問題は「A!∈M(!は否定) 、したがって∃λ,O_λ⊂A」としている部分で
EとしてR^2の原点中心の閉球を考えて、開被覆を原点を少しだけ越えたところの半平面(とEとの共通部分)、A=E-{(0,1)}とすれば反例になってしまうかと思います >>23
問題の誤字で
\mathfrak{M} = { M | ∀λ(λ∈Λ) [M ⊂ O_λ] }
ではなくて
\mathfrak{M} = { M | ∀λ(λ∈Λ) [M \not⊂ O_λ]
なのでは？ >>25
あーなるほど……
ずっと解答が誤字ってるのかと思ってて、ただそうすると今度は②以降がおかしくなるのでなんか変だと思いましたが、そうか問題が誤植か……ありがとうございます >>27
ありがとう、これが背景にあったのか
>>23の本は柴田敏男『集合と位相空間』です Rings of Differential Operators
はMSCのどこに分類されるべきだと思いますか？ >>33
なるほど...さわりだけでも構わないのですが具体的にどんな感じになりますか？
不勉強でごめんなさい 至る所で使われる証明方法だから
初歩的な所をもっと読めば良い M:コンパクトなn-dim可微分多様体でN=S^(n-4i)を球面として次元は4i＜(n-1)/2を満たすとする
このとき可微分写像f:M→Nに対して
y∈Nが正則値ならf^-1(y)は4i次元の可微分多様体になりますが
その法束が自明である事はどのようにして言えるのでしょうか
具体的な本の中で使われていた事実なので，いろいろ仮定がついていますが
どれが必要なのかはわからないので全て書きました 本の記述がわからないという質問をする人は書名とページを明記してほしい すみません
ミルナー・スタシェフの特性類講義p.224のLem20.1の証明の最後のステップになります 向き付け不可能な空間をユークリッド空間に埋め込むと
法束が向き付け可能であればユークリッド空間の向きと法束の向きから
元の空間の向きも定まってしまって矛盾するので法束は向き付け不可能
よって法束は自明ではないことが言えるようです
なので何らかの仮定は必要なはずです >>36
そのノーマルバンドルは1点の周りのチャートの中のR^(n-4i)引き戻したものになるから自明じゃないの？
>>40
>向き付け不可能な空間をユークリッド空間に埋め込むと
これと元の話とはどう関係してるの？ >>38
本を見たけど>>41さんの言う通りのことが書いてあった。
ベクトル束の引き戻しの理解があやふやなんだと思う。 >>41
引き戻しになるという事がなぜ言えるのか分からないのですが
引き戻しについてもう一度勉強し直すしかないでしょうか
>>40は>>39へのアンカーが抜けていました >>36ですが無事引き戻しになることが理解できました
ありがとうございます >>45
え？
引き戻しになるの？
f:M→NでNの接束はm-4i次元のバンドル
その引き戻しf*T(N)はM上のランクn-4iのバンドルで接束はcovariantだから自然な射T(M)→f*T(N)があってランクがそれぞれn,n-4iでこの射のkernelがf^-1(y)の接束だと思うんだけど >>46
次元についてはM:n次元,N:n-4i次元でf^-1(y):4i次元なので
Mでのf^-1(y)の法束はn-4i次元となって
Nでのyの法束つまりyでの接束の次元n-4iと一致しています
証明はfの微分
Df_x:DM_x→DN_yの核にDf^-1(y)_xが含まれるので
F:DM_x/Df^-1(y)_x→DN_yが誘導されて
これはそれぞれの法束のファイバーの間の線形写像
正則性より元の微分Df_xが全射なので誘導された写像も全射であって
domainと行き先の次元が等しいのでFは結局同型
よってこれが法束の間の束写像を定めているので～と考えました >>47
そう、君の書いてるDN_yを張り合わせたものがNの接束T(N)の引き戻し
つまり引き戻しf^*(T(N))はT(M)の商バンドルであって部分バンドルではない
でバンドルの完全列
0→T(f^(-1)(y))→T(M)→f^*(T(N))→0ができる
問題は第3項が自明なら第1項が自明か？
でそんなに自明でないし一般には成り立たないと思う
他の次元差がどうこう使わないと出ない希ガス イヤ、わかった
法バンドルが余接バンドルじゃなくてリーマン計量がなんか入っててその意味での直交補空間バンドルって意味なら通る
そう言う意味？ >>49
はい、確かに本ではリーマン計量は常に仮定していました
まだ>>48の内容がよく理解できていないのですが
第1項T(f^-1(y))の自明性はなぜ必要なのでしょう？
欲しいのはf^-1(y)の法束の自明性なですが
これは第3項の自明性のことではないのでしょうか >>49
なんでデュアルと思うかなあ
法は直交つまり軽量入ってる場合の用語
だいたい
デュアルが自明かどうかは
君書いてるようにT(f^-1(y))が自明かどうかなんだから
わざわざ（君の言う）法バンドルが自明とか問うわけないじゃん >>50-51
ホント失礼しました
畑が代数系であんまりリーマン計量とかやらないので反射的にcotagentと脳内変換してた
お騒がせしました Σ[n=1,...,∞]1/(n^k) = 1/a_n * π^k
と表せる？(ｋは自然数≧2)
ｋが偶数の時は簡潔な自然数列が定まる？ 「(可微分)多様体Mの弧状連結性により座標近傍Uも弧状連結であるから、」
という記述があるんですが本当ですか？M=R^nのときですら言えないような気が……
ちなみに、上の記述はdf=0ならfがM上で定数であることの証明中に出てきます
直観的には、U(と同相なR^nの開集合)の連結成分上では定数だから、後は別の弧状連結な座標近傍をくっつけて局所定数fの定義域を広げていく(Mの弧状連結性からM全体に広げられる、したがってM全体で定数)やり方で示せると思いますが、この方針だとどこかで詰まりますか？ >>55
最初の文はそのまま読めば当然ウソだけど
筆者は弧状連結な座標近傍が取れるという意味で書いてると思う
2つ目の疑問はその方針では言えていない
例えばR上の座標近傍で(0,1/2),(1/4,3/4),(3/8,7/8),…というものを使って拡張していっても
(0,1)についての結果しか言えずR全体の結果には到達できない、つまり
＞Mの弧状連結性からM全体に広げられる
という部分を示すために具体的に2点の間の道を取って
道に沿って拡張して一方から他方へとたどり着けることを示している そういうの暗算みたいにできない？
Mがスムースならわざわざ弧状とか付けなくてよくない？
一体どこ大学だよ？どんな本で勉強してんの？ >>55
都度広げていくのではなくて
全部の点の周りにそれぞれU取って
どこでも定数それがどこでも同じ値っていう方針じゃない？ そもそも
a∈im(f)に対してf^(-1)(a)は空でない開集合かつ閉集合を示す方が楽やろ >>55
前も書いたが、本の記述がわからないという質問をする人は書名とページを明記してほしい >>56
ですよね、ありがとうございます
とりあえず弧状連結成分取って読み進めましたが、回りくどすぎた
>>57
学生ですらないです……
単なる趣味で数理物理の本を読んでます 位相空間に関する性質が、積空間や部分空間に遺伝する性質であるか遺伝しない性質であるかって、何が要因で決まる？ 一概には言えないだろうね
開や閉は部分空間で変化する(部分空間との共通部分をとる)から開や閉が関係してる条件は怪しくなってくる
でも条件が開や閉の共通部分で書けているものは大丈夫だったり 順序数って集合論や基礎論の議論以外に登場することありますか？
知人と話してるとき、なんの役にたつの？と聞かれて困ってしまいました。
私としては順序数や集合論自体、大変おもしろく学べているのでそれで満足なんですが。
何か良い例がありましたらよろしくお願いします。 距離空間がパラコンパクト、の証明は順序数を使うと瞬殺 >>69
任意のR-加群が入射加群に埋め込まれることを示す一般的アプローチのBaer's argumentとか 上の一般的は多くの人にとって普通ということではなく数学的により広いということです 複素解析の質問です。よろしくお願いします。
f(z)がz=∞を孤立特異点に持つとは、f(1/ζ)がζ=0を孤立特異点に持つことと定義します。
f(z)=1/(z-1)とします。
f(1/ζ)=1(1/ζ-1)=ζ+ζ^2+ζ^3+…より、ローラン展開の主要部が0であるためにz=∞を孤立特異点に持ちません。
f(z)のz=∞での留数は、z=∞が孤立特異点であるときに限り定義されるはずなのですが、無限遠点含めて留数の和を取ると0になるため1/(z-1)のz=∞での留数は-1と分かります。
実際に調べてみるとやはり1/(z-1)のz=∞での留数は-1で間違いないらしいです。
z=∞が孤立特異点でないのに留数が存在しているのですが、これはおかしくないのでしょうか？ res(f(z),∞) = res(-f(1/z)/z^2,0)
じゃない？ 1/(z-1) を展開した事ないのか？
級数展開の証明では 1/(1-z) の展開を使ってるのにな 自己解決しました。
f(z)=把_n z^-nとローラン展開した時にRes[z=∞]f(z)=-c_1となるのでこのローラン展開主要部が0であったとしても（つまりz=∞が孤立特異点でなくても）留数は存在して0以外の値を取りうるのですね……。
無限遠点に限っては極でなくても留数が定まるようです、お目汚し失礼しました。 何を馬鹿なことを言ってんだ
1/(z -1) = -1 - z - z^2 - z^3 - …
1/(1/ζ -1) = -1 - 1/ζ - 1/ζ^2 - 1/ζ^3 - …
というだけだろ コレはresという記号がちょっと誤解を与える記号である事が要因
wikipediaにも書いてあるけどresはあくまでスカラーに対して定義されるものでなく1-formに対して定義されるもの
本来はres(1/(z-1)dz, z=∞)のように表すべきものなのを雑に表してるから間違いやすい
そこは最初にこの記号作った人がそういうふうに決めてしまったので脳内で変換して読まないといけない
平面上の話だけしてるならそれでもいいが、z=∞とか出てくると話が狂う
res(1/(z-1)dz, z=∞)をwで表示して計算するなら
res(1/(1/w-1) (-dw/w^2), w=0)
= res(-1/(w-w^2)dw, w=0)
= res(1/(w-1)-1/w,w=0)
=-1
コレでres(1/(z-1)dz,z=1)=1と話の辻褄が合う ・a[i,j] は直交行列。(Lorentz変換)
γ1, γ2, γ3, γ4 は 4次のエルミート行列で
・γi γj + γj γi = 0 (i≠jのとき) [反交換関係]
・γi γi = I (単位行列)
を満たすものとします。(Dirac行列)
この時、
ΣΣΣΣ{i,j,k,m} a[1,i]a[2,j]a[3,k]a[4,m] γi γj γk γm = det(a) γ1 γ2 γ3 γ4
となる事を示してください。
物理の教科書的には 具体的な Dirac行列 と 微小Lorentz変換を与えて
計算するのが定番みたいなんですが、前提として挙げた代数関係だけを使って解けませんかね？ twitterでlim x→0 logxとlim x→+0 logxが同じかどうかという問題があったのですが、
lim x→a f(x)=-∞の定義はfの定義域をDとして∀N>0∃δ>0∀x∈D 0<∣x-a∣<δ⇒f(x)<-Nで、
lim x→0 logx=-∞を考えると、δ=e^-Nとおくと
0<x<e^-N(x∈logの定義域=(0,∞)なので絶対値が外せる)⇒logx<-Nとなって成立し、
lim x→0 logxとlim x→+0 logxは同じになると思うのですが、おかしい部分などありますか？ >>82
反交換関係から γi γj γk γm = sign(i, j, k, m) γ1 γ2 γ3 γ4 を出して
あとは det の定義 >>84 和をとる時の添え字は各自独立に動くので
γ1 γ2 γ1 γ4 みたいな重複アリの項をどう処理したらいいのか分からんのです。
いくつかランダムな直交行列と、具体的な Dirac行列(Dirac表現) で数値計算してみたんですが、
・γi γi γj γk, γi γj γi γk, .... (3色: i,j,kは相異なる)
・γi γj γj γj, γi γj γi γi, ...., γi γi γj γj, ... (2色: i,jは相異なる)
・γi γi γi γi (1色)
この場合分けの総和でゼロになる事が(数値上で)確認できたんですが、其々の段の和はゼロにはならんのです。
どうやれば代数的に相殺できるのやら...といった感じなのです。 >>83
そもそも実関数ならx<0で定義されてない、つまりx→0の極限操作そのものが定義されてないです
ただし本によってはx<0で定義されない場合は片側極限(x→+0)によってその極限(x→0)を定義するので、回答は「立場によって変わる」となります
「lim x→a f(x)=-∞の定義は…」とありますが、そこでのDはaの近傍、特にx<aであるようなある点xも含むことを仮定してませんか？もちろん、上で言ったように片側極限をもって定義することもありaが孤立点でなければいいと書いてるものもありますが、とにかく定義の確認をするべきです >>86
すみません、定義に見落としがありました
lim x→a f(x)=-∞の定義はfの定義域をDとして、aは集積点で∀N>0∃δ>0∀x∈D 0<∣x-a∣<δ⇒f(x)<-Nとなります
ただ、結局0は(0,∞)のRの部分集合としての集積点であり、やはりlim x→0 logxとlim x→+0 logxは同じになるということで良いのですか？ >>84
det の定義
det(a) = ΣΣΣΣ{i,j,k,m} sign(i, j, k, m) a[1,i]a[2,j]a[3,k]a[4,m]
は知らんのか >>85 (追加)
別の場合分けで部分的にゼロになるのは分かるんです。
ΣΣΣ{i,k,m} a[1,i]a[2,i]a[3,k]a[4,m] γi γi γk γm
= Σ{i} a[1,i]a[2,i] ΣΣ{k,m} a[3,k]a[4,m] γk γm = 0 (aの直交性)
ΣΣΣ{i,j,k かつ i≠j} a[1,i]a[2,j]a[3,k]a[4,k] γi γj γk γk
= ΣΣ{i,j かつ i≠j} a[1,i]a[2,j] γi γj Σ{k} a[3,k]a[4,k] = 0 (aの直交性)
しかしこの先が続かない... 残りの場合分けは簡単になるようには見えません。
>>88
i,j,k,m が全て相異なるパターンの和がそうなるのは分かります。
そうでないパターンの総和がゼロになる事を示したいのです。
本当に代数関係だけで示せるのかは知りません。 おっと悪い
γi γi = I
を見落としてたわ
直交行列を使うんだろうな >>89
ありがとうございます、答えがはっきり分かりスッキリしました >>91
おかしいな
Σ{i} a[1,i]a[2,i]a[3,i]a[4,i]
は残るぞ >>93
PARI/GPによる数値計算の一部を載せときます。
この種の計算に向いてる言語とは思いませんが、ある程度は何をしたか伝わるかと思います。
X = matrix(4); \\ 4次ゼロ行列
\\ 3色
X += sum(i=1,4,sum(j=1,4,sum(k=1,4, (i!=j)*(j!=k)*(k!=i)*( \
a[1,i]*a[2,i]*a[3,j]*a[4,k] *G[j]*G[k] + \
a[1,i]*a[2,j]*a[3,i]*a[4,k] *G[k]*G[j] + \
a[1,i]*a[2,j]*a[3,k]*a[4,i] *G[j]*G[k] + \
a[1,j]*a[2,i]*a[3,i]*a[4,k] *G[j]*G[k] + \
a[1,j]*a[2,i]*a[3,k]*a[4,i] *G[k]*G[j] + \
a[1,j]*a[2,k]*a[3,i]*a[4,i] *G[j]*G[k] ) )));
\\ 2色
X += sum(i=1,4,sum(j=1,4, (i!=j)*( \
a[1,i]*a[2,i]*a[3,j]*a[4,j] *+matid(4) + \
a[1,i]*a[2,j]*a[3,i]*a[4,j] *-matid(4) + \
a[1,i]*a[2,j]*a[3,j]*a[4,i] *+matid(4) + \
a[1,j]*a[2,i]*a[3,i]*a[4,i] *G[j]*G[i] + \
a[1,i]*a[2,j]*a[3,i]*a[4,i] *G[i]*G[j] + \
a[1,i]*a[2,i]*a[3,j]*a[4,i] *G[j]*G[i] + \
a[1,i]*a[2,i]*a[3,i]*a[4,j] *G[i]*G[j] ) ));
\\ 1色
X += sum(i=1,4, a[1,i]*a[2,i]*a[3,i]*a[4,i])*matid(4);
これでゼロ行列になりました。
(ランダム直交行列: a[i,j]と Dirac行列: G[i] を用意する部分は省略) >>82 (改)
もしかしたら当初の代数関係のみを用いて示すのは無理があるのかもしれません。
Sを4次の変換行列として、
物理的要請 S⁻¹γᵢS = Σ{j} aᵢⱼγⱼ を加えます。
本来示したかったのは S⁻¹γ₅S = det(a) γ₅ の等式でした。(γ₅:= γ₁γ₂γ₃γ₄)
S⁻¹γ₅S = (S⁻¹γ₁S)(S⁻¹γ₂S)(S⁻¹γ₃S)(S⁻¹γ₄S)
= Σ{ijkm} a₁ᵢ a₂ⱼ a₃ₖ a₄ₘ γᵢ γⱼ γₖ γₘ
一方で γ₅ = 1/4! *Σ{ijkm} ε[ijkm] γᵢ γⱼ γₖ γₘ (ε[ijkm]は完全反対称テンソル)
と表せるので、
S⁻¹γ₅S = 1/4! *Σ{ijkm} ε[ijkm] (S⁻¹γᵢS)(S⁻¹γⱼS)(S⁻¹γₖS)(S⁻¹γₘS)
= 1/4! *Σ{ijkm} Σ{stuv} ε[ijkm] aᵢₛ aⱼₜ aₖᵤ aₘᵥ γₛ γₜ γᵤ γᵥ
= det(a) γ₁γ₂γ₃γ₄ {∵ εの反対称性より s,t,u,vの重複項は消える}
これより >>82 の等式が示せました。 >>96
a に対応する S の存在を前提条件に加えたので、元の >>82 とは問題の性質が変わったんです。 物理的要請と書いてるけど、そういうSはいつでも取れるはずなんじゃないっけ
直交群の被覆であるスピン群からそういう元を取ったと思えば だからスピン群を経由しない方法でも示せるはずだけど、和を包除原理や対称反対称分解使って計算するだけだと上手く示せない…
すごくモヤモヤする >>98
> そういうSはいつでも取れる
空間回転とLorentzブーストに関しては無限小変換の生成子を構成する。空間反転に関しては S=γ₄ が条件を満たす事を確認する。
物理の教科書的にはそういう流れになります。本を読み返したらDirac行列の表現によらない記述になってました。
a の中には物理的に無意味なのもありますが、虚数の空間回転とか加えれば たぶん網羅するのでしょう。
そういう意味では >>82 は「代数関係のみを使って示せる」と言えるのかも。
> 直交群の被覆であるスピン群
実験物理出身の自分には高度過ぎるようです。 ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
