期待値の計算をしたいけどそもそもの考え方も分からない

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/19(土) 18:46:26.98

数学的素養がかなり残念な状態です
以下の箱ABのクジから「1等が出現するまでの回数の期待値」を算出するための計算式と解説をお願いします
　
ちょっと複雑なので長くなります
　
共通条件：
クジを1回引くごとにその番号に対応した景品と交換しクジは再び箱に戻す
　
「基本ルールセット」
・1～20000までの番号が書かれたクジの入っている箱Aがある
1等から5等がそれぞれ
1等：1～32番
2等：33～64番
3等：65～96番
4等：97～1000番
5等：1001～20000番が割り当てられている
　
・箱Aから9回連続して5等を引いた場合は
　次回特別な箱Bから1枚クジを引くことができる
※『直近の出現履歴に5等が9回連続した場合のみ』
　
・特別な箱Bの中身は1等から4等のみしか入っておらず
1等から4等までそれぞれ
1等：1～40番
2等：41～80番
3等：81～120番
4等：121～1000番が割り当てられている
　
　
「バリエーション1」
・1～12000までの番号が1等から5等がそれぞれ
1等：1～100番
2等：101～200番
3等：201～300番
4等：301～600番
5等：601～12000番が割り当てられている
　
・『直近の出現履歴に5等が9回連続した場合のみ』次回箱Bから引ける
　
・特別な箱Bの中身は1等から4等のみしか入っておらず
1等から4等までそれぞれ
1等：1～100番
2等：101～200番
3等：201～300番
4等：301～600番が割り当てられている

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/19(土) 18:46:56.65

「バリエーション2」
・1～12000までの番号が1等から5等がそれぞれ
1等：1～100番
2等：101～200番
3等：201～300番
4等：301～600番
5等：601～12000番が割り当てられている
　
・『直近の出現履歴に5等が9回連続した場合のみ』次回箱Bから引ける
　
・特別な箱Bの中身は1等から3等のみしか入っておらず
1等から4等までそれぞれ
1等：1～100番
2等：101～200番
3等：201～300番
　
　
「バリエーション3」
・1～12000までの番号が1等から4等がそれぞれ
1等：1～100番
2等：101～200番
3等：201～300番
4等：301～12000番が割り当てられている
　
・『直近の出現履歴に4等が9回連続した場合のみ』次回箱Bから引ける
　
・特別な箱Bの中身は1等から3等のみしか入っておらず
1等から4等までそれぞれ
1等：1～100番
2等：101～200番
3等：201～300番

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/19(土) 18:51:47.96

一つの箱だけの場合は分かるのですが特定条件で別な確率の甘い箱で抽選できる
となるとさっぱりわからず悩んでます

基本ルールセット～バリエーション2までの期待値の求め方は割合が違うだけで考え方は同じですが
バリエーション２の計算式が多分違うため別途式を教えてもらわなければいけません

お知恵を貸してください

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/19(土) 19:24:09.09

＞ちょっと複雑なので

諦めな

だれも
「ただただ複雑なだけで数学的な面白さがまるでない問題」
の回答を書いて差し上げる気力なんかないよ

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/19(土) 19:31:29.82

どうせならこんな問題にしとけ

「ｎ人がカラオケバトルをした場合の、トップ入れ替わり回数の期待値を求めよ」

期待値はｎの関数で答えろよｗ

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/19(土) 19:33:21.64

>>5
ちなみに１人の時は、１回としておく
（０回とした場合の答えは、上記から１引けばいいだけだが）

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/19(土) 22:03:12.04

>>5
どういう分布で推移するんだよ

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/20(日) 01:27:29.72

どうせガチャだろ

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/20(日) 06:14:03.55

>>5
それをnの関数f(n)で書くとする
そしてn人のうちの最高得点者がk番目に歌う場合を考える
1からk-1番目までにおけるトップ入れ変わり回数の期待値はf(k-1)で、
その直後に最後の入れ変わりがあるから、上記条件の下での期待値はf(k-1)+1
f(n)=Σ[k=1,n](最高得点者がk番目に歌う確率)(f(k-1)+1)=1+1/nΣ[k=0,n-1]f(k)

nf(n)-(n-1)f(n-1)={n+Σ[k=0,n-1]f(k)}-{n-1+Σ[k=0,n-2]f(k)}=1+f(n-1)
よりf(n)-f(n-1)=1/nだから、f(n)=Σ[k=1,n]1/k

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/20(日) 07:07:24.49

>>9
さすがですね　正解です

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/23(水) 02:17:16.41

>>10
じゃあ質問
X, Yを1から100までの自然数に値を取る一様分布に従う確率変数したとき、Y≧Xとなる確率は1/2か？

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/23(水) 02:17:50.16

>>11
XとYは独立とする

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/23(水) 03:21:27.00

P(Y≧X)=Σ[i=1,100]Σ[j=i,100]P(X=i,Y=j)
=Σ[i=1,100](100-i+1)1/100^2=(101*100-101*100/2)/100^2=101/200

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/23(水) 03:58:41.24

P(Y≧X)=1/2(P(X≧Y)+P(Y≧X))=1/2(1+P(X=Y))=1/2(1+1/100))=101/200

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/23(水) 08:47:03.43

正解
じゃあ2人でカラオケバトルをしたときに2人目が歌ってトップが入れ替わる確率は101/200でいいのかな？

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/23(水) 09:58:08.06

ルールによるんじゃね？既存のトップと同点以上で入れ替わるルールならそうかもな

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/23(水) 20:50:52.13

>>9の解答は
(k番目に歌う人が最高得点者になる確率)=1/n
を使ってるように見えるけど、どういうルールならそうなるのかな

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/23(水) 22:56:07.00

1位からｎ位までの順序がつくことと歌う順番がランダムであること、かな

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/24(木) 06:24:48.48

本当か？
まあ一番手取り早いのはカラオケの点数を[0,1]上の一様分布に従う確率変数とする事かな
いずれにせよ>>9の解を想定しているのなら設定を明記した方がいいな

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/24(木) 19:08:56.92

>>19
想定される設定
・ｎ人の間に大小関係がついている（同点はありえない）
・順位は順番に依存しない