【悲報】数学者、π+eが無理数かどうかまだ分からない
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そんで級数なり無限積なり表示を変えるだけでも大分印象変わるだろう
「無理数×無理数＝無理数」の反例
√12×√3＝6
(参考)
有理数であることも無理数であることも証明できない実数 (2016/03/26〜)
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1458990939/
-5π + 7e = -83/25,
π = 12802/4075 = 3.1415951
e = 11077/4075 = 2.7182822
π + e = 23879/4075,
π･e = 16012/1875,
どちらも有理数…
{-π, e} は2次方程式
163t^2 + 69t - 1392 = 0,
の解だな
π = 355/113 = 3.1415929 (密率)
π + e = 710/113 - 69/163 = 107933/18419,
で有理数
e = (√912345 - 69)/326 = 2.71830529
π + e = (√912345)/163,
で代数的数
912345 = 3･5･7･8689
http://www.youtube.com/watch?v=ZxA-xD9mUmM 04:35,
e+π, eπ の両方とも有理数ではない。
http://www.youtube.com/watch?v=HZsjwLlka-8 01:27,
(x-e)(x-π）＝x^2-ax+b
である。するとeもπも共に有理係数のｘの二次式の零点になるから、
代数的数である。それはeあるいはπが超越数であることに矛盾する。
よってaとbの両方が有理数であることは不可能。
これは一般的に
2つの超越数の和と積が共に有理数になることは無い
ことを示している。さらに強く、共に代数的数になることもないといえる。
「2つの超越数の和と積が共に有理数になることは無い。」
という言明は
「2つの超越数の和と積が共に代数的数になることは無い。」
ことを意味しないから。
e+πが有理数a, eπが有理数ｂとすると、
(x-e)(x-π）＝x^2-ax+b
である。
>2つの超越数e,πは共に有理係数のｘの二次式の零点にはならないから、
>有理係数xの二次式x^2-ax+bの解は高々2次の代数的数とはならない。
>よって、a=e+π、b=eπ、π>eから、有理係数の二次式x^2-ax+bの解を計算すると
>x=e,πであって、2つの解x=e,πは有理係数のｘの高々二次式の零点にはならない。
ここから先、矛盾するようなことがいえない
より、「2つの超越数の和と積が共に代数的数になることはない」、が言える。
なぜならば、もしも和と積が共に代数的数になるとしたら、
2つの超越数が実は代数的数だとなってしまい、矛盾するから。
リンデマン・ワイエルシュトラスの定理はご存じ？
超越数の和と積が云々は中学生レベルの数学だろ。
（つまりアルゴリズムで定義された数が、有理数かどうかを必ず決定できる
アルゴリズムは存在しない）。
予想するけれども、だれか証明してたかな？
eｘπ＝９ でヨシ(๑•̀ㅂ•́)و✧
∵π＝３でヨシなのでe＝3でヨシ
無理数とか有理数とか小数とか
存在しません。自然数だげで、ヨシ
そこらの凡人が証明を思いついたりするようなものではなからう。
誰にも証明を試みる気が起きないだけだよ
派手な級数で表示されたπ+eを書いてπ+eが無理数であることを証明する気なんて普通起きないだろ
ちょっとは有名になれるあるよ。
正しければπ＋eが超越数であることを証明する方が効率がいい筈
どこまで拡大しても直線は曲線にならず、曲線は直線にならない。
無限大に拡大したとしてもだ。（無限大なるものこそこの世に存在しない。）
それで、どこまで拡大して比較しても近似なので、当然πは無理数になる。
eが無理数かどう変わらないが、πが無理数であるだから、
π＋eも当然無理数となる。
正しければリンデマン・ワイエルシュトラスの定理に出て来るような式が
区間 (0,1) 上殆ど至るところで成り立つことを使えば、>>42のようなことが出来る
実変数yに関して区間 [0,1) 上殆ど至る所で成り立つ式 y=1-e^{-y] とeが超越数であること、
及び任意の実代数的数xに対して e^x が超越数であるという
リンデマン・ワイエルシュトラスの定理の特殊な場合の結果を使えば、
実変数のときは実変数yに関して直線R上殆ど至る所 e^y は無理数であることがいえて簡単に終わる
直線Rの部分空間Aを A={a∈R|aは代数的数} と定義する。区間 [0,1) の部分空間X,Yを
X={a∈[0,1)}|aは実代数的数}、Y={log(x)∈[0,1)|xは区間 [1,e) における実代数的数}
と定義する。代数的数の全体は可算集合で、空間Aは直線R上の零集合だから、Xは区間 [0,1) 上の零集合である。
同様に、リンデマン・ワイエルシュトラスの定理の特殊な場合の結果から、Yは区間 [0,1) 上の零集合である。
X∩Y=∅ であって、XとYは直線R上の零集合だから、X∪Y は直線R上の零集合である
X∪Y と [0,1) は可測集合で、X∪Y のルベーグ測度は0、[0,1) の一次元ルベーグ測度は1だから、
区間 [0,1) の部分空間 [0,1)-(X∪Y) は可測集合であって、[0,1)-(X∪Y) の一次元ルベーグ測度は1である
>>46で書いた、実変数yに関して区間 [0,1) 上殆ど至る所で成り立つ式 y=1-e^{-y] とは、
区間 [0,1) における可測集合 [0,1)-(X∪Y) 上で成り立つ式 y=1-e^{-y] のことを指している
さてオイラーの定数γは γ＝lim_{n→+∞}(1+…+1/n-log(n)) と定義される
各正整数nに対して、γ_n=1+…+1/n-log(n) とおく
どんな2以上の整数nについても γ_n はXとYのどちらにも含まれないことが
リンデマン・ワイエルシュトラスの定理を使えばどちらかというと比較的簡単に示せるから、
任意の2以上の整数nに対して γ_n∈[0,1)-(X∪Y) である
よって、任意の2以上の整数nに対して γ_n=1-e^{-γ_n] が成り立つ
γを代数的数とすると、n→+∞ とすれば γ＝1-e^{-γ] が得られて、
リンデマン・ワイエルシュトラスの定理に反し矛盾するから、γは超越数で、無理数である
故に、γはXには含まれない。γ∈Y とする。集合Yの定義から、
或る実代数的数 x∈[1,e) が存在して log(x)=e^γ である
よって、x=e^{e^γ} である。だが、e^γ＝Σ_{k=0,1,…,+∞}(γ^k/k!)＞1 だから、
x>e であって、x∈[1,e) に反し矛盾する。故に、背理法により、γはYにも含まれない
0<γ<1 だから、γは区間 [0,1) における可測集合 [0,1)-(X∪Y) に含まれる。
よって、等式 γ=1-e^{-γ] が成り立つ。γは超越数だから、e^γは超越数である
→ γ_n はXとYのどちらにも属さないことが
γはXには含まれない → γはXには属さない
故に、背理法により、γはYにも含まれない
→ 故に、背理法により、γはYにも属さない
γは区間 [0,1) における可測集合 [0,1)-(X∪Y) に属する
→ γは区間 [0,1) における可測集合 [0,1)-(X∪Y) に属する
γは区間 [0,1) における可測集合 [0,1)-(X∪Y) に含まれる
→ γは区間 [0,1) における可測集合 [0,1)-(X∪Y) に属する
>γ∈Y とする。集合Yの定義から、或る実代数的数 x∈[1,e) が存在して log(x)=e^γ である
>よって、x=e^{e^γ} である。だが、e^γ＝Σ_{k=0,1,…,+∞}(γ^k/k!)＞1 だから、
>x>e であって、x∈[1,e) に反し矛盾する。故に、背理法により、γはYにも含まれない
>0<γ<1 だから、γは区間 [0,1) における可測集合 [0,1)-(X∪Y) に含まれる。
>よって、等式 γ=1-e^{-γ] が成り立つ。γは超越数だから、e^γは超越数である
の部分は全体的に間違えた
e^γ が無理数かどうかまでは知らない
γが集合Yにも属さなければ、e^γ は超越数であって、無理数である
リンデマン・ワイエルシュトラスの定理に反し矛盾するから、γは超越数で、無理数である
→ リンデマン・ワイエルシュトラスの定理から矛盾が生じるから、γは超越数で、無理数である
よって、x≠1 であって、γは 1/2<γ<1 を満たすから、
x=e^{e^γ}
>e^{e^{1/2}}
=Σ_{k=0,1,…,+∞}( ( e^{k/2} )/(k!) )
>Σ_{k=-0,1,2}( ( e^{k/2} )/(k!) )
=1+e^{1/2}+e/2
>1+1+2/2=3
>e
である。故に、x∈[1,e) に反し矛盾する。この矛盾は γ∈Y としたことから生じたから
背理法が適用出来て、背理法を適用すれば、γはYに属さない
γは X∪Y には属さないから、γは可測集合 [0,1)-(X∪Y) に属する
よって、等式 γ=1-e^{-γ] が成り立つ。γは超越数だから、e^γは超越数であって無理数である
評価が正しければこれでいい。まあ、正確には段階を踏む必要はあるが
Σ_{k=-0,1,2}( ( e^{k/2} )/(k!) ) → Σ_{k=0,1,2}( ( e^{k/2} )/(k!) )
何故か0を-0と書いてしまった
まあ、等式 γ=1-e^{-γ] が成り立つことは微分積分の基本的な手法で確認出来る
うまく示せたら良いのにね。もちろんオイラー定数が無理数、超越数に
なることを示せれば（なお）良い。
実際は実数体R上での実解析の応用で既に終わってた
定理にも一般化出来るとは思う
正規数に関する話とかもっと難しいことは幾らでもある
それではγの超越性あるいは無理数性はどうよ？
等式 γ=1-e^{-γ] が成り立つことはいえているから、
e^γ が超越数であればγも超越数になる
しか持たないから稀である。
「構成法が具体的に示されている実数であって、
それが有理数になるかならないかを決定できない
ということを証明できる」、そのようなものがあるだろうか？
というのは、確かに難しそうだな。
こういうのをかんがえてみよう。
いま無理数aを勝手に決める。例えばπでもeでも√2でも良い。
そうして、実数ｘの定義を、次のようにする
命題Pが真であればｘ＝0とする、命題Pが偽ならｘ＝a とする。
するとｘは確かに実数であって、有理数か無理数かどちらかだが、
命題Pの真偽が決定できなければ、どちらであるかが決定できない。
でもこれでは答えになっていないかな。
満点防止で。
証明して来たら満点あげてもいい。
論文の内容が難し過ぎて世界で数人しか理解できない。
また、他人に分かりやすく説明できる人は０人。
計算つづけたら、どこかで割り切れる可能性はある。
π＋ｅ は証明されるまで無理数であり有理数。
かけをするなら無理数でいいんじゃない。
背理法で簡単に示せる
そういうことだと思う
数学も二値論理ではなく確率的状態を取れば現実に即する
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