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分からない問題はここに書いてね460
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分からない問題はここに書いてね460
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Γ(3)＝2!＝2、つまり乙か
おつおつ
「任意の4桁の数字を選び、その数字に関して、
ストレート(４桁の各数字と並びの順序が一致)や
ボックス(４桁の各数字が一致（並びの順序は問わない）)という当たり方がある、ナンバーズ4という宝くじに関して、巷で言われている、ある「理論」について考察してみよう。
それは、ナンバーズ4の達人と巷で騒がれている、
ミラクル・チャーリー氏が提唱する、「足す9理論」である。
これは、「4つの数字の中の2つは足して9になる数字を選ぶこと」らしい。
例えば「0935」の0+9=9、「3468」の3+6=9などが該当する。
なお、足して9になるペアを1つ作れば、他の2つの数字は何でも可とするらしい。
(つまり、0945のように、足して9になるペアが2つあってもよい。)
(1)
2秒で(つまり、直感で(※))、
以下の事象の確率を予想せよ。
(出題者の意図などを忖度せず、正直に答えること。)
(※)…直感については、
神永正博著
『直感を裏切る数学 「思い込み」にだまされない数学的思考法 (ブルーバックス)』
などを、この問題に取り組んだ後にでも参照することを薦める。まずは、この問題に取り組もう。
(制限時間:2秒)
------------------------------------------------------
「足す9理論」が当選番号に生じている確率
------------------------------------------------------
予想はどうだっただろうか？
実はこの「理論」、過去の抽選100回中49回の当選番号に出現している、つまり、出現率49%を誇る理論と巷では言われている。(2019年8月9日時点)
「高っ！」と思っただろうか。
それとも、「低くない？」だろうか。
いやいや、「そんなもんだろ。」だろうか。
どう思ったかは兎も角、
(2)へ進もう。
(2)
(1)で扱った事象の確率を、今度は直感ではなく、計算して求めよ。
(2)の結果を踏まえて、(1)での直感での予想との比較や、この「理論」の実績値について、
最新100回(5373回～5472回)の当選番号(下部に添付)も参照しつつ考察せよ。
特に、「足す9理論」を理論として、支持するor支持しないorどちらでもない、
のどの立場を取るか、その理由とともに明記すること。
最新100回(5373回～5472回)(後ろのほうが最新)の当選番号
→
2808.5857.1913.9958.9209.0978.4752.8713.8836.0335.
8687.9217.2207.1775.0425.0773.9447.5706.3983.4477.
4097.7214.5351.3012.6240.2973.5141.2598.4906.9561.
4717.4489.8864.7838.7034.1092.7573.2175.4803.4017.
2861.7072.5078.9836.0426.2402.2929.1429.8886.4893.
7278.8472.3775.0029.0828.1149.0491.3417.4430.2116.
9011.7471.6531.6845.2369.4996.3752.1598.7886.5859.
7709.4767.1447.2739.7732.8473.3036.0517.8183.3061.
8609.3730.0881.8475.9617.0722.8256.1944.8970.6754.
8139.7206.6079.4370.9421.1341.9147.0386.9856.7437(最新)」
という宿題です。
回答のほど宜しくお願い致します。
値域のRにユークリッド位相を入れたとき、{f_a}_{a∈R}による始位相は何か
答えはあるr>0で[x,x+r)を含む集合を点xの近傍とする位相らしいんですが、その証明がわからないです
まずxをひとつ任意に固定したときの近傍系を考えて、そのxをいくつか(有限個)動かして共通する形の近傍をとればいいのでしょうか？
> 実数aに対してf_a:R→Rをf_a(x)=1(x0で[x,x+r)を含む集合を点xの近傍とする位相らしいんですが、その証明がわからないです
> まずxをひとつ任意に固定したときの近傍系を考えて、そのxをいくつか(有限個)動かして共通する形の近傍をとればいいのでしょうか？
>>6
> 実数aに対してf_a:R→Rをf_a(x)=1(x0で[x,x+r)を含む集合を点xの近傍とする位相らしいんですが、その証明がわからないです
> まずxをひとつ任意に固定したときの近傍系を考えて、そのxをいくつか(有限個)動かして共通する形の近傍をとればいいのでしょうか？
操作ミス
その始位相には[1,1+r)の形の開集合は含まれない希ガス
思考停止の虱潰しプログラム解
rm(list=ls())
(comb=combn(4,2)) # comb : 4つから２個を選ぶ組み合わせ６通り
f9 <- function(x){ # x:4個の数列,xの2個の和が9になるかTRUE/FALSEを返す
i=1 # i:1~6
flg <- sum(x[comb[,i]])==9 # 2個の和が9か否かのフラッグ
while(flg==FALSE & i<=6){ # フラッグがFALSEかiが6以下であれば
flg <- sum(x[comb[,i]])==9 # 次のcombの組み合わせで判定
i=i+1
}
return(flg)
}
# demo
(x=sample(0:9,4,replace=TRUE)) ; f9(x)
n4 <- function(num, N=10, digit = 4){ # 9 -> 0 0 0 9
r=num%%N
q=num%/%N
while(q > 0 | digit > 1){
r=append(q%%N,r)
q=q%/%N
digit=digit-1
}
return(r)
}
nums=sapply(0:9999,n4) # 0 0 0 0 ～ 9 9 9 9 の行列
mean(apply(nums,2,f9)) # 和が９の割合 4630/10000
> mean(apply(nums,2,f9)) # 和が９の割合 4630/10000
[1] 0.463
data=c(2808,5857,1913,9958,9209,0978,4752,8713,8836,0335,
8687,9217,2207,1775,0425,0773,9447,5706,3983,4477,
4097,7214,5351,3012,6240,2973,5141,2598,4906,9561,
4717,4489,8864,7838,7034,1092,7573,2175,4803,4017,
2861,7072,5078,9836,0426,2402,2929,1429,8886,4893,
7278,8472,3775,0029,0828,1149,0491,3417,4430,2116,
9011,7471,6531,6845,2369,4996,3752,1598,7886,5859,
7709,4767,1447,2739,7732,8473,3036,0517,8183,3061,
8609,3730,0881,8475,9617,0722,8256,1944,8970,6754,
8139,7206,6079,4370,9421,1341,9147,0386,9856,7437)
N4=Vectorize(n4)
mean(apply(N4(data),2,f9))
> mean(apply(N4(data),2,f9))
[1] 0.44
p=0.463で表がでる確率のサイコロを100回投げて44回でるのは偶然の範囲か？
という問題に帰結できる。
> binom.test(44,100,0.463)
Exact binomial test
data: 44 and 100
number of successes = 44, number of trials = 100, p-value =
0.6889
alternative hypothesis: true probability of success is not equal to 0.463
95 percent confidence interval:
0.3408360 0.5428125
sample estimates:
probability of success
0.44
while(flg==FALSE & i<=6){ # フラッグがFALSEかiが6以下であれば
↓
while(flg==FALSE & i<=6){ # フラッグがFALSEでiが6以下であれば
49/100でもやってみた。
> binom.test(49,100,0.463)
Exact binomial test
data: 49 and 100
number of successes = 49, number of trials = 100, p-value = 0.6168
alternative hypothesis: true probability of success is not equal to 0.463
95 percent confidence interval:
0.3886442 0.5919637
sample estimates:
probability of success
0.49
これで 単項式、かつ、nを含む三乗根の数 （3乗根√n など…）
を作図できるだろうか？
出来るなら作図の仕方を説明せよ
（出来ないならば、それを証明せよ）
問 2. 折り紙がある。
これで 単項式、かつ、nを含む三乗根の数 （3乗根√n など…）
を作図できるだろうか？
出来るなら作図の仕方を説明せよ、
（出来ないならば、それを証明せよ）
高校の休み時間に ブルーバックス読んでそう
２つの和は０＋０から９＋９まで
和の値と何通りの並べ方があるか列挙すると
> data.frame(sum=0:18,how_many=sum2)
sum how_many
1 0 523
2 1 974
3 2 1485
4 3 1924
5 4 2423
6 5 2850
7 6 3337
8 7 3752
9 8 4227
10 9 4630
11 10 4227
12 11 3752
13 12 3337
14 13 2850
15 14 2423
16 15 1924
17 16 1485
18 17 974
19 18 523
確率にしてグラフにすると
https://i.imgur.com/GVsklfr.png
和が９になる確率が一番高い。
問１（目盛なしの定規では）できない 問２できる
いずれも既に解決された問題である。「作図可能数」「立方体倍積問題」「折り紙公理」などで調べるとよいだろう。
具体的な実際の証明は知らん。
∴44%
(2)たとえば左端の数字を1としたら残り3桁に8が出れば当たり。
(1/10)+(9/10)(1/10)+(9/10)(9/10)(1/10)=0.1+0.09+0.081=0.271
左から2桁目に8が出ず、9/10の確率で出たその数字たとえば4と足して9になる数字5が残り2桁に出る確率は、
(9/10)(1/10)+(9/10)(9/10)(1/10)=0.09+0.081=0.271
54.2%かというとさにあらず。
8が出ず4が出て5がでないかわりに8が出てる場合を数えてるから引かないかん。
(9/10)(1/10)+(9/10)(8/10)(1/10)=0.09+0.072=0.162
足すと0.271+0.162=0.433
∴43.3%
>>5(3)
(2)で求めた43.3%という値は(1)の44%というたまたま出た値と近いので、あってる可能性があり、この「足す9理論」なかなかおもしろい。しかしながらたまたま近い確率で起きるだけで、足すと9になる数字があることと当選番号になる、すなわち当たることとのあいだに相関関係がない。したがって指示するわけがない。しかも50%以上負けるなら、早めに辞めてほかに当たるべき。
実績からは「足す9理論」よりも「足す10理論」の方がいいみたいだな。
最新100回のデータから「足すｎ理論(n=0～18)」の合致割合を出してグラフ化した。
棒グラフが理論値、●が最近100回のデータ
https://i.imgur.com/no23yq0.png
＞実績からは「足す9理論」よりも「足す10理論」の方がいいみたいだな。
を検証してみる。
理論（虱潰しプログラムだが）で求めた確率と実績で割合で有意差があるかを二項検定でｐ値を出してみた。
> data.frame(n=0:18,p.value=p_value)
n p.value
1 0 0.06694115
2 1 0.73486354
3 2 0.15838056
4 3 1.00000000
5 4 0.81649567
6 5 0.50653530
7 6 0.28929290
8 7 0.83650318
9 8 0.68631874
10 9 0.68887759
11 10 0.36279682
12 11 0.09787803
13 12 0.13732421
14 13 0.74018774
15 14 0.19849042
16 15 0.61374346
17 16 0.09087549
18 17 0.30811398
19 18 0.82095381
いずれもｐ値は0.05なので有意差なしといえる。
結論 ： 足すｎ理論で当たる確率を有意に上昇させることはできない。
43.3%が既に間違い。
高校数学スレで正解がでているよ。
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592497360/352
理論（虱潰しプログラムだが）で求めた確率と実績で割合で有意差があるかを二項検定でｐ値を出してみた。
↓
理論（虱潰しプログラムだが）で求めた確率と
最近100件の実績での割合で「足すｎ理論」が有意差をもって成立するかをみるために二項検定でｐ値を出してみた
理論も実績でも0.5を超えていないのはイナ大先生の仰せの通り。
0.5の線を引いてグラフにしてみた。
https://i.imgur.com/fu5sUPG.png
最近１００回のデータで
１の位は奇数であるだと、合致率0.58
１０の位は奇数であるだと、合致率0.59
１００の位は偶数であるだと、合致率0.56
１０００の位は偶数であるだと、合致率0.54
これをもって、どれが有利だといっても簡単すぎて誰もだまされないけど
「足す９理論」だと簡単には計算できないから騙される椰子がでそうだな。
ミラクル・チャーリー氏って 和が９になる確率が一番高い ことを知っているのではないかなぁ。
いずれもｐ値は0.05以上なので有意差なしといえる。
大学だとどのレベルの当たるのでしょう私はドロップアウトしたので
数学ができませんのでよろしくお願いしますm(_ _)m
でも、彼のアメブロ
2020.06.27 14:40の「足す９理論・恐るべし！」という題名のアメブロ内で、
「以前は足す１０理論が最強だと思っていましたが今は足す９理論だと確信しております。」
と書いてるくらいだから、確率分かってるのか疑いたくもなる。
を満たす自然数(n,k,m)の組が存在するならば、全て決定せよ。
n≧2 のとき
左辺 < 1/(n-1) ≦ 1 < 右辺
にて 不成立。
n=1 のとき
左辺 = k, 右辺 = H_m,
(n,k,m) = (1,1,1)
調和数列が自然数値をとらないなら、他にはない。
>4の求めているのはプログラム解ではないのだろうな。
数学苦手の俺にはプログラム組む方が苦痛がなくていい。
ありがとうございます。n=1→自然数にならないを使うのはなるほどです、解けました。
４つ足すと０以上になる番号を選べば勝率１００％と主張すると、嘘がすぐにバレるけど。
少し面倒な手順だと騙される人がでそう。
＞しかも50%以上負けるなら、
当選番号に足すと9になる数字がある確率は0.463と計算できたけど。
１００検体に４４検体が陽性のなんらかの所見があった場合に、陽性率が５０％を超える確率は
> pbeta(0.5,1+44,1+56,lower.tail=FALSE)
[1] 0.1161502
くらいあるから、役に立つ所見かもしれない。
>>5(2)択一式なら、数えたりないこともありえるんで3%増しの46.3%を選んだほうが当たりやすい。
https://i.imgur.com/0lerh41.jpg
eの二次以降無視して主要項だけ比較してるんでね？
((1+le)^(1/le))^(-lT) (1-le)l
≒ ((1-le)^(-1/le))^(-lT) (1-le)l
= (1-le)^((-1/le)(-lT)) (1-le)l
= (1-le)^(-T/e) (1-le)l
= (1-le)^(-T/e-1) l
= P(T)
計算させているうちにそれを混同してしまうのを狙っているんじゃないかな。
末尾が奇数なら当たる確率は約５０％と主張しているのと変わらんのだけどね。
〔補題〕m>1 のとき、調和数列 H_m は自然数ではない。
{1,2,････,m} を素因数分解したとき、2の指数の最大値は
e = [ log(m)/log(2) ]
であるが、この値をとる m は 2^e ただ一つである。
(2[m/2]+1)!!・2^(e-1)・H_m は半奇数である。
∴ H_m は自然数でない。 （終）
「ある1つの頂点に集まる辺の数が3であり、またある1つの頂点に集まる辺の数がn-1であるような凸n面体が、少なくとも1つ存在する。」
（2）凸2020面体の各頂点に集まる辺の数を小さい順にa[1],a[2],...,a[2020]と表す。これらの中に異なる数がx種類あるとして、xを最小にする凸2020面体の例を1つ挙げよ。
（3）（2）において、xを最大にする凸2020面体の例を1つ挙げよ。
であるが、この値(e)をとる m以下の自然数は 2^e ただ一つである。
うーん、、
一番下の行からの流れはそれっぽいんだけど、一行目から二行目の近似が違う気がすんのよね
近似じゃなくてきれいに=で結べるはず
もし最初の≒以外が全部正しくて全体が一次近似でなく“完全に＝”であるなら
(1+le)^(1/le)=(1-le)^(-1/le)
が“完全に＝”という事になってしまう。
(1) (n-1)角錐が条件を満たす。
(2) 2018角柱はx=1の2020面体である。
(3) わからん。誰か賢い人頼む。
四角錐の頂点って４辺が集まっているのでは？
そもそも数学的に意味ありそうなの(3)だけだけどコレは答え出そうにないし。
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微分幾何学入門
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底面は3だから良いじゃんか
>>43
(3) 隣り合った頂点を結ぶ辺長を0に連続的変形して
面数を変えず頂点と辺を1づつ減らす変形が可能,合体した頂点は辺数が増える
逆の操作をすれば辺数4以上の頂点を2つに分離して各頂点の辺数を減らせる
この操作を繰り返せばオイラーの多面体定理「面数+頂点数-辺数=2」を満たす限り
2018角柱から頂点と辺数の合計を減らしながら各頂点の辺数を増やせる
あとは手間の問題
よろしくおねがいします。
イヤ、それでx=…の解を見つけてもそれがxの最大値である事示すの無理じゃない？
示せる？
もっと効率のいい方法がありそう
5角形12枚、6角形n-12枚からなる
凸n面体を用意する。
頂点は2n-4個、辺は3n-6本となる。
元の面を5角錐、6角錐、…、(n+4)角錐に
置き換える。この頂点が、点に集まる
頂点の数の多様性を満たす。
辺どうしは元の凸n面体の辺に対応する位置で
1本ずつ接するようにし、残りの辺は
元の凸n面体の頂点ごとに
3、4、5、6角形を適当に貼り付けて
ひとつの凸多面体にする。
5, 6, 7, 8, 9角錐の頂点のうち5, 4, 3, 2, 1個には
余った辺を置くことができず、このような頂点は
最小で7個となるように配置できる。
残りの頂点に集まる辺の本数を
（0～1個の頂点を除き）すべて奇数とすると、
辺の本数の半分（端数切捨て）の多角形で
それぞれの頂点を埋めることができる。
方法は、3つの辺に近い順に対応する辺同士を
同一平面（ねじれの位置でない）にすることで
3, 4, 4, ..., 4, 5(または6) 角形で埋める。
以上の方法で元の凸n面体から作られる
新しい凸多面体の面の数は
(5+6+...+n-4)+(1/2){(5+6+...+n-4)-(3n-6)-(2n-4-7)}
=(3n^2+7n+68)/4
凸2020面体を作るときのnの最大値は
不等式 (3n^2+7n+68)/4≦2020 を解いて
n≦50
n=50のとき、最大で54角錐の貼り付いた
立体となる。面の数を表す多項式の値は
1979.5 となるので、余った辺が1つの頂点だけ
偶数本集まった 1980 面体ができる。
残りの40枚は、角錐の辺を増やす、または
余った辺の間に貼る面の数を増やす
（辺同士をねじれの位置にし、間に貼る4角形を
3角形2枚に変えて増やす）
ことで補正できる。
出来上がった立体の図示は省略。
その手の論法では
この方法でできるのは高々50
とか言えてるだけじゃないの？
その不等式はその方法で作れる限界が50以下って言ってるだけでしよ？
なるほど、一つでもあればいいのか。
ΣVk - 1/2ΣkVk + 2020 = 2
2018 = Σ(k/2-1)Vk ≧ Σ[k=3,n] (k/2-1)
から得られる上限は50よりずっと大きい。
なので少なくともオイラーの公式だけから上限が50をいうのは無理だろ？
だから>>52 は各頂点の辺数を増やすと頂点と辺数の合計が減るのを使うのさ
ああ、確かにa=1のときは(-∞,1+r)を含む集合でないといけないですね
a≠1のときはどうですか？
1以外の近傍はどうですか？
I[p] = ∫[0,pπ] exp(-x^2n)*cos(x) dx
とするとき、有理数a,bを用いて
I[p] = aπ+b
となるように有理数pを定めることはできるか。
それはいけると思ふ
あと5chでの行列の書き方はこれで良いでしょうか。左から順に第1,2,3行です。
次のAに対し、A^nを求めよ。
A=[1,2,0][-1,-2,0][0,0,1]
（答え）
A^n=
[(-1)^(n+1),2(-1)^(n+1),1+(-1)^n]
[(-1)^n,2(-1)^n,(-1)^(n+1)]
[0,0,1]
固有値が1,0,-1だから各成分は1^n、(-1)^n、0^nの線形結合。
ありがとうございます
ありがとうございます。実際に確認してみて理解できました。
ところでA^nにn=0を代入しても単位行列にならない場合、Aはどんな行列なのでしょうか。これは有名な話なのでしょうか。
いやA^nのnにn=0代入したらいつでも0。
対角化可能な場合には固有値0を持ってて0^nを0にしてしまうとずれる。
例えば
A=[[2,0],[0,0]]
のとき
A^n=[[2^n,0],[0,0^n]]であってA^n=[[2^n,0],[0,0]]ではない(少なくともn=0で成立しない、左辺はE、右辺は[[1,0],[0,0]]になるから)
nが正の整数のとき
A^n =
[(-1)^(n+1), 2(-1)^(n+1), ０]
[(-1)^n, 2(-1)^n, ０]
[0, 0, 1]
nが正の奇数（1,3,5,････）のとき
A^n = A,
nが2以上の偶数（2,4,6,････）のとき
A^n =
[ -1, -2, 0]
[ 1, 2, 0]
[0, 0, 1]
ぢゃね？
「賢くなるパズル」(宮本哲也 著、学研、660円～）が解けるということ。
おれとか小学1年の頃に
正13角形の作図が5分で出来たわ
賢くなるパズル（読売夕刊、隔週土曜日）
解き方とルール
￣￣￣￣￣￣￣
★マス目に1～5の数字入れて 表を完成させる。
・細枠内の数字の和か積のどちらかが、指定の数になる。
・同列（タテ、ヨコとも）に同じ数字は入らない。
・細枠内の数字の和か積のどちらかが、下図で指定の数になる。
┏━┯━━━┯━━━┓
┃12│ 12 │ 12 ┃
┃ │ ┌─┴─┐ ┃
┃ │ │ 25 │ ┃
┃ ├─┴─┐ └─┨
┃ │ 16 │ ┃
┠─┴─┐ ├───┨
┃10 │ │ 12┃
┃ ┌─┴─┴─┐ ┃
┃ │ 12 │ ┃
┗━┷━━━━━┷━┛
そんな子供騙しは俺にはヌルすぎる。
甥っ子にでもやらせるわ。
不完全作じゃないか
@4p23
43@p2
324@p
p@234
2p34@
0とid
楽しく学ぶ方法を教えてください
まずあなたにとっての「楽しい」を定義してください。
おみごと！
{@, p} = {1, 5}
ですね。
今日(11日)の夕刊の「前回(7月4日掲載)の答え」には
*前回の練習問題は答えが二つあります。
とあり、二つの答えが載っている。
その前まで ずっと一通りだったのに
前回だけ変えるのなら
出題のとき言ってほしいねぇ。
････とぼやいても後の祭か。
ぬるぽ
がっ
勉強が始まって3分以内にドーパミンとエンドルフィンの量がピーク時の5/6以上となることです
なぜかIDが変わっていました
別人がなりすましてるだけだろ
つまんねえから消えて
統計と女の涙は信じるな と教わったぞｗ
英文のこっちの方が面白いけど。
Statistics are like bikinis. What they reveal is suggestive, but what they conceal is vital.
n ∊ N に対し、 N^3 の部分集合 S(n) を
S(n) := {(a, b, c) ∊ N^3 | 0 < a < b < c かつ gcd(a, b, c) = 1 かつ lcm(a, b, c) = n}
によって定める。
ここで gcd(a, b, c) は a, b, c の最大公約数とし、 lcm(a, b, c) は a, b, c の最小公倍数とする。
S(n) の元の個数 #S(n) を全て決定せよ。
【例】 p, q を相異なる素数とすると、
#S(1) = 0
#S(p) = 0
#S(pq) = 4
#S((p^2) * q) = 10
・細枠内の数字の和か積のどちらかが、下図で指定の数になる。
┏━┯━━━┯━━━┓
┃12│12 │12 ┃
┃ └─┐ │ ┌─┨
┃ │ │ │12┃
┠───┴─┼─┘ ┃
┃20 │ ┃
┠─┐ ┌─┴─┬─┨
┃12│ │11 │25┃
┃ └─┤ ┌─┘ ┃
┃ │ │ ┃
┗━━━┷━┷━━━┛
パズルとしてはちょっとね
>>90
>>73を前提に考えたら解が無さそう
00032
0002
0021
21345
32451
┏━┯━━━┯━━━┓
┃12│12 │12 ┃
┃ └─┐ │ ┌─┨
┃ │ │ │12┃
┠───┴─┼─┘ ┃
┃20 │ ┃
┠─┐ ┌─┴─┬─┨
┃12│ │11 │25┃
┃ └─┤ ┌─┘ ┃
┃ │ │ ┃
┗━━━┷━┷━━━┛
下2行は正しい。
43512
54123
21345
32451
きちんと認識できたようだ
小数点以下の
第9位までを暗記したい
方法A
e = "2.7 " + "1828" + "1828"
2.7 のあとに "1828" が2回繰り返される
方法B
e = "2.71" + {"828"←1→"828"}
2.71 の後に回文（1を軸にして 828 が左右対称に）
どちらが覚えやすいか？
クソコテ 付けっぱなしだった…
アタシっていつもこう…orz
正解です!!
>>95
Aの場合は
e = 2.7 + 1828/99990 (?)
例えば、 n = p^k （ p は素数）の場合、
#S(p^k) = k-1 ( k = 1, 2, 3, … )
となるので、 n が 1 つの素数のべき乗のときは完全に決定できる
ところが、 n の素因数が 2 種類以上になると途端に難しい
>>89の問題において、 n = p_1 * p_2 * … * p_k （ p_1, p_2, … , p_k は相異なる素数）のとき、
#S(p_1 * p_2 * … * p_k) = #S(p_1 * p_2 * … * p_{k-1}) * 2^k
= 2^(2+3+…+k) = 2^((k-1)(k+2)/2)
( k = 2, 3, 4, … )
この予想は真か偽か？
> m100
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12] [,13] [,14] [,15] [,16] [,17] [,18] [,19] [,20] [,21] [,22] [,23]
0 0 0 1 0 4 0 2 1 4 0 10 0 4 4 3 0 10 0 10 4 4 0
[,24] [,25] [,26] [,27] [,28] [,29] [,30] [,31] [,32] [,33] [,34] [,35] [,36] [,37] [,38] [,39] [,40] [,41] [,42] [,43] [,44]
16 1 4 2 10 0 32 0 4 4 4 4 22 0 4 4 16 0 32 0 10
[,45] [,46] [,47] [,48] [,49] [,50] [,51] [,52] [,53] [,54] [,55] [,56] [,57] [,58] [,59] [,60] [,61] [,62] [,63] [,64] [,65]
10 4 0 22 1 10 4 10 0 16 4 16 4 4 0 68 0 4 10 5 4
[,66] [,67] [,68] [,69] [,70] [,71] [,72] [,73] [,74] [,75] [,76] [,77] [,78] [,79] [,80] [,81] [,82] [,83] [,84] [,85] [,86]
32 0 10 4 32 0 34 0 4 10 10 4 32 0 22 3 4 0 68 4 4
[,87] [,88] [,89] [,90] [,91] [,92] [,93] [,94] [,95] [,96] [,97] [,98] [,99] [,100]
4 16 0 68 4 10 4 4 4 28 0 10 10 22>>95
>>95
こうやって習ったような記憶がある。
e = 2.718281828459045…
鮒一鉢二鉢一鉢二鉢至極惜しい
（ふなひとはちふたはちひとはちふたはちしごくおしい）
訂正
最初の漸化式
>#S(p_1 * p_2 * … * p_k) = #S(p_1 * p_2 * … * p_{k-1}) * 2^k
については k > 2 とする。
俺はAで覚えた
e = 2.718281828459045…
鮒一鉢二鉢一鉢二鉢至極惜しい
（ふなひとはちふたはちひとはちふたはちしごくおしい）
面白い覚え方ですね！
語呂合わせで覚えやすいし。
ただ、少数以下15位まで覚える事に
価値があるとは思えないので遠慮しときます。
>>102
>>95
俺はB派。
まず、おおむね、 2.71 だと覚える。
それから 「828」 を 数字の1 で左右対称の回文にする。
(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
を導け。
に意味はありますか？ただ煩雑なだけだと思いますが、過程に発見でもあるんでしょうか。
解答の方針をどのように立てるかのセンスを問う、煩雑な計算を正確にこなす能力を問う、などの出題意図が考えられます。
単に能力を問う問題であり、とくに発見はないかと。解答能力を試す問題ですから、意味はあるといえるでしょう。
もしそうであったとしても質問スレであるから質問に対して解答をするのが妥当だろうと考え返答しました。
>>106さんの求める対応とは異なったようですので申し訳ありません。
Aはエジプト分数で書ける：
e = 1 + 1 + 1/2 + 1/5 + 1/55 + 1/9999
>>99
k=2 (n=p･q) #S = 4 = 2^2 真
k=3 (n=p･q･r) #S = 32 = 2^5 真
k=4 #S = 208 ≠ 2^9 偽
#S = 6^(k-1) - 2^(k-1) = 2^(k-1)･{3^(k-1) -1},
らしい。
T(n) := {(a,b,c) ∈ N^3 | gcd(a,b,c)=1 かつ lcm(a,b,c)=n }
とおく。
nにおける素因数pの指数をeとすると、題意により、
a,b,c におけるpの指数は {0,e',e} (0≦e'≦e)
e'=0 または e'=e の場合が各 3 とおり、
0<e'<e の場合が各 3!=6 とおりある。
∴ 合計 6e とおり。
n = (p_1)^(e_1)･(p_2)^(e_2) …… (p_k)^(e_k)
(p_1,p_2,…,p_k は相異なる素数) とすれば、
#T(n) = Π[i=1,…,k] 6(e_i) = (6^k)Π[i=1,…,k] (e_i)
T(n) は a=b=c を含まないが、a=b, b=c, c=a を含んでいる。
a=b ⇔ {i=1,…,k について、p_i の指数が等しい}
⇔
∀(1≦i≦k) (a,b,c) における p_i の指数は (0,0,e_i) または (e_i,e_i,0)
∴ 2^k とおり。
b=c, c=a についても同じ。
∴ T(n) のうちで 0<a<b<c を満たすものの数は
#S = {#T - 3(2^k)}/6,
-------------------------------------------------------
とくに nが平方因子を含まない (square-free) とき
e_i = 1, (i=1,…,k)
#T = 6^k,
#S = 6^(k-1) - 2^(k-1) = 2^(k-1)･{3^(k-1) - 1},
よく使う定数の暗記のコツ を
つぶやいたつもりだけど、
予想以上のどエライ レス、
e = 多項式の形 が来てビックリした。
完全に高校のレベルを越えとるな。
複利計算の e = lim n→∞ (1+1/n)^n
の形しか分からんちん。
すごい！
まさかここまで完璧にわかるとは
予想は k = 3 までしか計算していなかったことがバレてしまいました
#S(n) よりも #T(n) のほうが計算しやすいんですね
素因数の指数を使った数え上げがお見事です
そんな事は気にすんな
数列{a[n]}を以下の手続きにより定める。
・a[1],a[2],a[3]はa,b,cのいずれかであり、どの2つも相異なる。
・任意の自然数nについて、a[n],a[n+1],a[n+2]はある三角形の3辺の長さをなす。またn≧2のときa[n+2]≠a[n-1]である。
n≧4のとき、a[n]が取りうる値の範囲をa,b,cで表せ。
分野的には物理に近いから基本的には板違いだけど、質問内容が数学であればここでよい。
その条件ではa[n]は定まっていない。
多分(0,∞)になると思うけどきちんと書くのは面倒だな。
a[4]の範囲は[ |c-b|, |c+b| ]
n≧5に対しa[n]の範囲は(0, F[n-3]b + F[n-2]c] (ただしF[n]はFibonacci数列)。
射影となってるんですが射影ではない場合は不成立なんですか
なんで射影なんだろうと
∮(0,π) sin^2(Nx)/sin^2(x) dx
(∮は普通のインテグラル)
問題文の不備はもう諦めた(´・ω・｀)
c-b > b-a のとき、a[1]=c とおくと
a[4] の下限をより小さい (b-a) にできる
あと区間はすべて
閉区間 [ ] ではなく開区間 ( )
区間の両端を許すと
途中で三角形がつぶれる
あぁ、いずれかか。
(1)どの辺の長さも整数
(2)どの面の面積も整数
(3)体積が整数
In=∫(sin(Nx)/sin(x))^2dx=∫(1-cos(2Nx))/(sin(x)^2dx
とおいて積和公式から
I(n+1)+I(n-1)
=2∫(1-cos(2Nx)cos2x)/(sin(x)^2dx
=2∫(1-cos(2Nx))/(sin(x)^2dx
. + 2∫cos(2Nx)(1-cos(2x)/(sin(x)^2dx
=2In
∴In=nπ
O(0,0,0)
A(117,0,0)
B(117,520,0)
C(0,0,576)
など
BCもCAも整数ではないのだが
2∫cos(2Nx)(1-cos(2x)/(sin(x)^2dx
は奇関数だから0ってことですかね
あと解答の
=2ln
の部分からの詳細も教えて頂けるとありがたいです
それで実現できるのならそれでも十分ですが、辺の長さと面積がともに整数な三角形は直角三角形に限りません。
例えばピタゴラス三角形２つをくっつけた 13,37,40 の三角形なども面積は整数です。
ガウスとストークスの定理なんですが解説していただきたいです。
cos の倍角公式
1 - cos(2x) = 2sin(x)^2 から
∫cos(2Nx)(1-cos(2x)/sin(x)^2 dx
= ∫2cos(2Nx) dx
=［ sin(2Nx) /N ](x=0,π)
= {sin(2Nπ) - sin(0)} /N
= 0, (周期性により0)
漸化式
I(N+1) + I(N-1) = ････ = 2I(N),
と
I(0) = ∫(0,π) 0 dx = 0,
I(1) = ∫(0,π) 1 dx = π,
から
I(N) = Nπ.
>>123
数学では、nとNは別の文字でつ。。。
あれ？昔作ったプログラムで出てきた答えなんだけど。
家帰ったら見直してみる
直接計算するなら
D(x) = sin(Nx)/sin(x)
= {sin(Nx) - sin(-Nx)}/{2sin(x)}
= cos((N-1)x) + cos((N-3)x) + ････ + cos((3-N)x) + cos((1-N)x)}
= Σ[k=1,N] cos((-1-N+2k)x),
D(x)^2 = Σ[k=1,N］Σ[L=1,N] cos((-1-N+2k)x)・cos((-1-N+2L)x)
= (1/2)Σ[k=1-N,N-1］Σ[L=1-N,N-1] {cos(2(k-L)x)＋cos(2(-1-N+k+L)x)}
k=L となる項が N項、k+L=N+1 となる項が N項ある。
これらの項を積分すると ∫(0,π) dx = π,
その他の項を積分すると、周期性により 0,
よって、
I(N) = Nπ.
チト回りくどいが、D(x)はディリクレ核とか云うらしい。
高木貞治：「解析概論」改訂第三版, 岩波書店 (1961)
第6章 Fourier式展開 §74 p.276 (5)の辺り
昔作ったプログラムでピタゴラス三角形四枚で四面体になるやつ探すやつで
(1,40/9,41/9)
(1,84/13,85/13)
(41/9,84/13,855625/13689)
(40/9,85/13,855625/13689)
は全部ピタゴラス三角形で四面体の4面になるはず
ピタゴラス三角形4枚で四面体を作るだけなら、合同な三角形を4枚張り合わせるだけでええんやで。
体積整数をどうクリアするかって問題や。
いや、コレは体積も有理数
A-B
| |
C-D
AB=CD=3
AC=BD=4
AD=CE=5
体積＝0
ってことは分母の公倍数をかければ>>122の答えになるんか。
ありがとうございますありがとうございます。
O(0,0,0)
A(1,0,0)
B(1,40/9,0)
C(0,0,84/13)
で4つともピタゴラス三角形。
OCは△OABに垂直なので体積も有理数
AB=(2/3)√10 なんやけど。そのプログラムおかしくない？
(2x/(1-x^2))^2+(2y/(1-y^2))^3+1=z^2
の有利点を虱潰しに探していくプログラム
(x,y)=(1/4,3/11),(1/4,17/28),(4/5,6/7),‥
といっぱいある。>>134は3番目の解から作ったやつ。
おそらく無限にあると予想。
OA = 1, OB = 41/9, OC = 84/13,
AB = 40/9, AC = 85/13, BC = 925/117,
・面積
OA⊥AB より ⊿OAB = OA･AB /2 = 20/9,
OA⊥OC より ⊿AOC = OA･OC /2 = 42/13,
OB⊥OC より ⊿BOC = OB･OC /2 = 574/39,
AB⊥AC より ⊿BAC = AB･AC /2 = 1700/117,
・体積
V(COAB) = OC･OA･AB /6 = 560/117,
(1)∫∫ s𝑭∙ 𝒏d𝑆
(2)∫ c𝑭 ∙𝑑𝒓
教えてほしいです。
https://i.imgur.com/azeWyhN.jpg
すみませんこれです。
・座標
O (0, 0, 0)
A (1, 0, 0)
B (1, 2x/(1-xx), 0)
C (0, 0, 2y/(1-yy))
・稜長
OA = 1, OB = (1+xx)/(1-xx), OC = 2y/(1-yy),
AB = 2x/(1-xx), AC = (1+yy)/(1-yy), BC = z,
・面積
OA⊥AB より ⊿OAB = OA･AB/2 = x/(1-xx),
OA⊥OC より ⊿AOC = OA･OC/2 = y/(1-yy),
OB⊥OC より ⊿BOC = OB･OC /2 = (1+xx)y/{(1-xx)(1-yy)},
AB⊥AC より ⊿BAC = AB･AC /2 = x(1+yy)/{(1-xx)(1-yy)},
・体積
V(COAB) = OC･OA･AB /6 = 2xy/{3(1-xx)(1-yy)},
(x, y, z，2x/(1-xx), 2y/(1-yy))
= (1/4, 3/11, 1073/840，8/15, 33/56)
(1/4, 17/28, 221/99，8/15, 952/495)
(4/5, 6/7, 925/117，40/9, 84/13)
指数3ぢゃなくて２でつね。
そうそう^3じゃなくて^2。
昔この話題が出たときピタゴラス三角形四枚貼ってできないのかな？と思って理詰めではわかんなかったのでプログラム組んで探してみたらいっぱいあるやんと思ったやつ。
いっぱいあるだけで有限個なのか無限にあるのかは不明。
F の発散と回転を計算すると ∇・F = 23, ∇×F = (16,18,12)
(1) Gauss定理から発散の体積積分だから 23×7
(2) Stokesの定理から回転の面積分で z 成分(zの法面)だから 12×17
無限にあることの証明は容易
どうやんの？
>>142の曲面に無限に非自明な解があるの示せるの？
6C1+6C2+6C3+6C4+6C5+6C6＝63になると思いますが、
これをさらに簡略化した式にすることは可能ですか？
2^6-1
n個から0取り出す場合の数って日常的イメージがわかないな。
nCi=nCn-iが成立するには1じゃないといけないけど。
車通勤のa君は片道20kmの一般道を平均時速70km/hで信号等もあるのでだいたいいつも45分で会社に着きます
法定速度の50km/h厳守で同じ道のりを走ったらどのくらいの時間がかかるでしょうか
馬鹿な僕には分からないので教えてくれませんか
面倒な方法しか思いつかん
平均が70ってとんでもない爆走じゃねえか
最高が70なんじゃないの？
止まってる時間や加速している時間、50を超えてる時間がどれくらいあるのかとか複雑で実際に50を守って走って検証したほうが早い
70km/hで走行したとき20kmの道のりは20/70[h]=17.143[min]かかるはず
つまり信号などで45-17=28[min]停止している
50km/hで走行したとき20kmの道のりは
20/50[h]=24[min]かかるはず
信号に70km/hのときの同じだけ時間が取られるとすると24+28=52[min]かかる
…ことにはなるけど、信号で停まりすぎな気がするし、同じだけ信号にかかるのかも不明なので問題がよくわからん
あるタクシー会社のタクシーには１から通し番号がふられている。
タクシー会社の規模から保有タクシー台数は１００台以下とわかっている。
何台観察したかは不明だが最大の番号が６０であった。
この会社の保有するタクシー台数の期待値を求めよ
尚、計算には数値の分布が不明な場合は一様分布を仮定する。
シミュレーションしてみたら
> # 観察された台数が不明なときのシミュレーション
> sim <- function(){
+ M=m=0 # m:観察台数 M:最大番号 (初期値0)
+ while(M!=60){ # M=60でないなら
+ N=sample(60:100,1) # タクシー総数Nを60 ~ 100から選ぶ
+ m=sample(1:N,1) # 観察する台数mを1 ~ Nから選ぶ
+ M=max(sample(1:N,m)) # N台からm台選択して最大値をMにいれる
+ }
+ return(N) # タクシー総数を返す
+ }
> re=replicate(1e4,sim()) # 1万回繰り返して平均値(期待値)を算出
> mean(re)
[1] 62.422
という値になった。
信号の待ち時間が車速によらないと仮定すると
> 20/50*60 + (45-(20/70)*60)
[1] 51.85714
約52分
仮に、途中は時速70kmか止まっているかしかなくて20kmを45分だとすると走っている時間は17分弱ってことになる
時速50kmか止まっているかで20km進む場合、走っている時間は24分
止まっている時間が同じなら、7分ちょっと遅くなるだけってことになるから52分ちょっとかかることになる
現実的には流れに乗って走るのが一番だよ
>尚、計算には数値の分布が不明な場合は一様分布を仮定する。
の意味
保有台数は60台から100台の間だから70台である確率も90台である確率も全部同じで1/(100-60+1)=1/41
保有台数が80台なら観察する台数が1台である確率も50台である確率も同じで1/80
といういう風に勝手に決めて計算。
時速50ｋｍ走行での信号待ち時間はどう設定するのが合理的だろう？
ゆっくりだと信号にかかりやすいので27.85714*70/50でいい？
これはだめだな。
観察する台数が60を超えたら最大数が60という前提に矛盾するから。
保有台数が例えば80台のときには観察台数の候補は１～80じゃなくて1～60にしないとだめだな。
面倒な方法でもいいので教えてたも。
（1）内積↑AB・↑ACの最小値を求めよ。
（2）円の周上または内部の点Pが固定されており、OP=p(0≦p≦1)である。(↑PB・↑PC)+(↑PC・↑PA)+(↑PA・↑PB)の最初うちを求めよ。
>>166→ABと→ACのなす角をθとすると、
θ=120°のとき→AB・→AC=AB・ACcosθ=1・1(-√3/2)=-√3/2=0.8660254……
θ=135°のとき→AB・→AC=AB・ACcosθ=｛1/2+(1-1/√2)^2｝(-√2/2)=1-√2=-0.41421356……
∴現時点での最初うち0.8660254
θ=120°のとき→AB・→AC=AB・ACcosθ=1・1(-√3/2)=-√3/2=-0.8660254……
cos120°=-√3/2 とは、さすがはイナ
>>166(1)
内積最小となるのが対称性からAB=ACのときであることを認めるのなら
∠AOB=∠AOC=θとおいて
↑AB・↑AC=↑OB・↑OC-↑OA・↑OB-↑OA・↑OC+|↑OA|^2
=cos(360°-2θ)-cosθ-cosθ+1
=cos(2θ)-2cosθ+1
=2(cosθ)^2-2cosθ
=2{cosθ-(1/2)}-(1/2)
cosθ=1/2 すなわち θ=60°のとき最小値-1/2。このとき∠BAC=120°
>>166(2)→PB・→PC+→PC・→PA+→PA・→PBはBとCが重なって∠APB=120°のとき、
1・1cos0°-√3/2-√3/2=1-√3=-0.7320508……
現時点で暫定的に最小。
プログラム解
f <- function(x,y){
A=c(1,0)
B=c(cos(x),sin(x))
C=c(cos(y),sin(y))
pracma::dot(A-B,A-C)
}
optim(par=c(1,1),fn=function(xy)f(xy[1],xy[2]))
> optim(par=c(1,1),fn=function(xy)f(xy[1],xy[2]))
$par
[1] -1.047095 1.047197
$value
[1] -0.5
最小値は -0.5
３Dグラフにしてみた。
https://i.imgur.com/p54BJLx.png
それほど煩雑ぢゃないかも。
原点Oを内部に含む凸閉曲線Lを考える。
L上に定点A,B,Cおよび動点Pをとる。
ABCPAの順に並ぶとし、線分AC と BP のを交点をXとおく。
対頂角より ∠AXP = ∠BXC,
題意により、Lで方べきの定理が成り立つ。
AX･CX = BX･PX,
AX：PX = BX：CX
二辺挟角より △APX ∽ △BCX
∴ ∠P = ∠C,
円周角の定理の逆により
点Pは、定点A,B,Cを通る円の周上を動く。
この円の中心を（a,b）、半径をrとすれば
(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 （終）
プログラム解
library(pracma)
fn <- function(x,y,z,p=0.5){
A=c(1,0)
B=c(cos(x),sin(x))
C=c(cos(y),sin(y))
P=c(p*cos(z),p*sin(z))
dot(P-B,P-C)+dot(P-C,P-A)+dot(P-A,P-B)
}
g <- function(p){
optim(par=c(1,1,1),
fn=function(w) fn(w[1],w[2],w[3],p),method='L')$value
}
g=Vectorize(g)
optimize(g,c(0,1))
> optimize(g,c(0,1))
$minimum
[1] 0.3333333
$objective
[1] -1.333333
ｐが1/3のときに最小値 -4/3
〔円周角の定理〕
円Eの周上に3点A,B,Cがあるとき
∠APB > ∠C ⇔ PはEの内部にある。
∠APB = ∠C ⇔ PはEの周上にある。
∠APB < ∠C ⇔ PはEの外部にある。
いや、題意はそうじゃなくて円の方程式そのものを導出せよだろな
円上の点A(x,y)に対してB(x,2b-y)、C(a-r,b)、D(a+r,b)とP(x,b)に対して方べきの定理より
AP BP = CP DP
∴ (y-b)^2=r^2-(x-a)^2
∴ (x-a)^2+(y-b)^2=r^2
↑こんなの意味あんのって事でしょ？
>>169cos150°だっけ(-｡-;じゃあ-1/2だ、最小値。
点Aが「円」上にあっても B、C、Dが「円」上にあるとは限らない。
この「円」について分かっていることは
・閉曲線である。
・方べきの定理が成立つ。
ことだけ
は
(a,b)を中心とし、半径rの円の方程式が
(x-a)^2+(y-a)^2=r^2
となる事を示せ
ではないの？
が示したのは「方べきの定理が成立つ閉曲線は円に限る」ということ。
>>175
「円」と直線 y=b の交点を C(a-r,b) D(a+r,b) とおく。
線分CD上の点P(x,b) を通る鉛直線と「円」の交点をA(x,y) B(x,2b-y) とする。
（ここで「円」は直線 y=b について対称と仮定した。）
方べきの定理より
AP BP = CP DP
････
意味はある。
悪いな、面倒だから照明してないんだ
ピタゴラス三角形の直角部分を3つ付けて
直角の隅になるようにすれば斜面の面積以外は整数にできるから
斜面をピタゴラス三角形2つをつないで作る事にして
ピタゴラス三角形の関係式を弄る方法を思い付いただけだ
そうですか。
まぁ元の問題が一個見つけろだから一個あればそれでいいんだけど。
>>142はひとつxまたはyを止めるごとに楕円曲線になるから、その有理点の位数が無限であるのがひとつでも見つかればいいんだけど、与えられた極大点の位数が有限か無限か決定する方法見つからなくてそこで諦めた。
多分無限にあるんだろうけどなぁ。
角度の「１分」の読み方は、「いっぷん」「いちふん」どちらでしょうか？
別に決まってるわけではないし単に日本語の問題だから読みやすい方でいいかと
いっぷんのほうが自然には感じるが
証明してみな。
１分の角とか１分角と呼ぶらしいけど、「１分」自体の読み方で時刻との使い分けはしないのですね。回答ありがとうございました。
｢X1,X2,…,Xn:互いに独立な同一の確率変数で、以下のfxi(x)を確率密度関数とする。
fxi=2x(0<x<1),0(その他)
このとき、
Yn=(X1+X2+…+Xn)/n
のモーメント母関数を求め、lim(n→∞)Ynを求めましょう。｣
全くわからないです馬鹿でスミマセン
問題文↓
https://i.imgur.com/8NnOhkP.jpg
実数xについての関数
f(x)=ax^2+bx+c
について『f(q) - f(p) = q - p』となる実数p,qが存在するためのa,b,cの条件を求めよ。
p=-b/(2a) , q=(1/a)-b/(2a) とすれば必ず成り立つからa≠0なら a,b,c は何でもいい。
平均値の定理みたいなもんかな
直線 y = x + α と y = f(x) との交点は常に条件を満たすはず
だから a ≠ 0 なら a, b, c に特に条件は必要ない
何で面積で円周率が出てくるんですか？
証明はどこかにある。頑張って探してね。
後は意味がわからん。
三角形の三辺の長さの和と面積の関係を考えてみると面白いかも。
新たな発見があるはずｗ
予想される某芸人の答
(1)
ヘロンの公式を偏微分して答を出す。
(2)
最大の三角形は三角形の面積の公式からどの一辺を底辺にしても同じ形でなければならない。
それが同じになるのは正三角形のときである。
∴示された
> 最大の三角形は三角形の面積の公式からどの一辺を底辺にしても同じ形でなければならない。
なんで？
n回の独立試行の場合、標本平均Yn の期待値は母平均ぢゃね？
E(X) = ∫ X･f(X)dX = ∫[0,1] 2XX dX = 2/3.
これが0になることを証明するにはどうすればいいんでしょうか
e^an ≧ (ean/2)^2,
(与式) = n/(e^an) ≦ n･(2/ean)^2
= 4/{(ea)^2･n} → 0 (n→∞)
n回の独立試行では
f(X_1,X_2,････,X_n) = Π[i=1,n] f(X_i)
モーメント母関数は
E(e^(tY)) = ∫････∫ e^{t(X1+X2+････Xn)/n} f(X1,X2,････Xn) dX1dX2････dXn
= {∫[0,1] e^(tX/n) f(X) dX}^n
= g(t)^n,
ここで
g(t) = ∫[0,1] e^(tX/n) f(X) dX
= ∫[0,1] e^(tX/n) 2X dX
= { [ (2n/t)e^(tX/n)･(X -n/t) ](x=0,1)
= (2n/t){e^(t/n)･(1-n/t) + n/t},
= Σ[k=0,∞] 2/{k!(k+2)}・(t/n)^k
= 1 + (2/3)(t/n) + (1/4)(t/n)^2 + (1/15)(t/n)^3 + (1/72)(t/n)^4 + (1/420)(t/n)^5 + ････
≒ 1 + (2/3n)t,
したがって
E(e^(tY)) = {g(t)}^n
= 1 + (2/3)t + {(2/9) +1/(36n)}t^2 + {(4/81) +1/(54n) -1/(810nn)}t^3 + {(2/243) +1/(162n) -17/(38880nn) -3/(38880n^3)}t^4 + ････
≒ e^(2t/3 + (1/36n)t^2)
= e^(μt + (1/2)(σt)^2)
∴ μ = 2/3, σ^2 = 1/(18n),
直感的に理解するための実演
・半径30cmの 大きい円 を ピザの生地 で作る。
・中心から 半径が微小な値 (1 ナノメートル) の小さい円 を書いて、
その形に切り込みを入れる。
今回は、便宜上、 微小な値を 1cm とする。
・大円から微小円をくり抜いて、
DVDのような形のピザ生地にする。
・このDVDに右向きへざっくりと切り込みを入れて
ぺろりと剥がす
（ロールケーキを剥がしたような感じの形状になる）
・これを長方形になるように、ちょっとずつ、成型していく。
結果として
縦が r cm、 横が 円周の長さ2πrの半分 = πr
の長方形が得られる。
r x πr = πr^2
円の面積がそういう三角形の面積に等しい
っていうのは説明として分かりづらい。
四角形で説明した方がいい。
円の面積は
円周長の「半分」を底辺として、
高さが半径長である「四角形の面積」に等しい。
それが芸風。
ネタにマジレスｗ
n＞Nのとき|n/e^an - 0|＜εとなるNを探したい
n/e^an＞0だから|n/e^an|=n/e^an
またn＜e^nなので
n/e^an ＜ e^n/e^an = 1/e^(a-1)n
n＞Nなのでe^(a-1)n ＞ e^(a-1)Nだから
1/e^(a-1)n ＜ 1/e^(a-1)N
よってこれが＜εとなるようにN=εe^(a-1)/2とすればよい
>>191半径kの円の円周が2πkだから、
k=0からrまで円周を足し集めると円の面積になる。
∫[0→r]2πkdk=πr^2
任意のε>0 に対して
N = 4/{(ea)^2･ε},
とおけば
n>N ⇒ (与式) < ε,
16S^2=(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)≦(a+b+c)[(1/3){(-a+b+c)+(a-b+c)+(a+b-c)}]^3=(a+b+c)^4/27
ｎ→∞で
σ^2 = 1/(18n)→0
になるので、何が求められているのからなかったのだけど、
>194でよかったのか。
三辺の和を３にしてグラフを書いてみた。
https://i.imgur.com/NoRx8Ut.png
RSA暗号は要点だけ書けば次のような仕組みです。
1.素数a,bを決める
2.c=abとおく
3.d=(a-1)(b-1)とおく
4.dと互いに素な自然数eを一つ決める
5.feをdで割った余りが1となる自然数fを求める
6.ペア(c,e)を公開鍵、ペア(c,f)を秘密鍵とする
7.平文（を自然数列に変換した項の一つ）をmとすると、暗号文はm^eをcで割った余りnである
8.暗号文がnのとき、n^fをcで割った余りはmであるので復号できる（∵数論のオイラーの定理）
よく一般向けの解説等では、
「a,bを十分大きくとればcからa,bを求めるのが事実上不可能なのでRSA暗号は安全」
と書かれてますが、
「a,bを知ることなく何か巧妙な手段でfを求めるのもやはり事実上不可能」
だと言えますか？
もちろんそうでないと現実的におかしいのですが、しばらく考えてみても理由が思いつかなかったので
分かる方教えてください。
多分数行の算数でわかるような単純なことだろうと思われるのですが
そもそもその“cからa,bを求めるのが事実上不可能”(=計算量が指数的に増大しないアルゴリズムは存在しない)が証明されてないからなぁ。
…まあ確かにそれはそうなんですが、
「そこへの還元の出来なさ」が言えそうで言えないのがもどかしいのです
つまりc,e,f全部知ってる人はa,bも全部少ない手間で計算できるのか？ですね。
どーなんだろ？
量子コンピュータを悪者が手にするようになる前に堅牢な暗号が開発されなかったらどうなっちゃうん？
ラインダール（SHA2）が主流なんだっけ
>>198
ありがとうございます
(1)
a+b+c=2s
c=2s-a-b
S=√(s(s-a)(s-b)(s-c))
16S^2
=(a+b+(2s-a-b))(-a+b+(2s-a-b))(a-b+(2s-a-b))(a+b-(2s-a-b))
=2s(2s-2a)(2s-2b)(2a+2b-2s)
∂/∂a(2s(2s-2a)(2s-2b)(2a+2b-2s))=16s(b-s)(2a+b-2s)
a=s-b/2
∂/∂b(2s(2s-2a)(2s-2b)(2a+2b-2s))=16s(a-s)(a+2b-2s)
b=s-a/2
s=a+b/2=b+a/2
b=a, s=(3/2)a
c=2s-a-b=a
∴ a=b=c
って正しそうだけど、証明は難しいのかなぁ？
三角形と四角形なら私にもできるけど。
プレートシュナイダーの公式使えばそうでもない。
https://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E3%83%96%E3%83%AC%E3%83%BC%E3%83%88%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%8A%E3%82%A4%E3%83%80%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F
面白そうなので、ちょっと実験してみた。
暗号文ｍは123
> library(numbers)
> library(gmp)
> options(digits=22)
> k=1e3
> (ab=sample(Primes(k),2))
[1] 911 47
> # 1
> a=ab[1] ; b=ab[2] ; GCD(a,b)
[1] 1
> # 2
> (c=a*b)
[1] 42817
> # 3
> (d=(a-1)*(b-1))
[1] 41860
> # 4
> flg=FALSE
> while(!flg){
+ e=sample(k,1)
+ flg <- GCD(d,e)==1
+ }
> e ; GCD(d,e)
[1] 361
[1] 1
> # 5
> flg=FALSE
> f=0
> while(!flg){
+ f=f+1
+ flg <- (f*e)%%d==1
+ }
> f ; (f*e)%%d
[1] 18321
[1] 1
> # 6
> (public=c(c,e))
[1] 42817 361
> (secret=c(c,f))
[1] 42817 18321
> # 7
> m=as.bigz(123)
> (n=m^e%%c)
Big Integer ('bigz') :
[1] 3047
> #8
> n^f%%c
Big Integer ('bigz') :
[1] 123
復号されていて面白い。理屈はさっぱりわからんけどｗ
>>216n角形は1つの頂点から対角線をn-3本引くことでn-2個の三角形に分割できるから、1つの三角形が最大になるように頂点をとるなら最寄りの2つの頂点のなるべく中間にいたほうが三角形の面積が大きくなるのは当たり前だろうが。
ありがとうございます。
長方形でしか考えておりませんでした。 (_ _)
(凹なところはそこを反転させると面積が増やせる)
また隣り合う辺の長さは等しい
(違っていればその辺の和を保って二等辺にすることでその三角形部分の面積を増やせる)
さらに隣り合う内角の大きさは等しい
(違っていればその隣り合う二角を等しくすることでその四角形部分の面積を増やせる、なぜなら>>220によってその四角形部分は対角の和が180度のとき最大になり、そのとき四角形部分は円に内接する形であり、いま3辺は長さが等しいのでそれは二角が等しいときである)
という感じか
a[1]=n
a[2]=(kn,n)
a[j+1]=(a[j],a[j-1])
ただし(x,y)=xCyの二項係数
このときa[j]のnについてのオーダーはどのようになりますか？
まぁそうなんだけど
AB=BC=CD=a
AD=b
が束縛条件で面積最大が等脚台形のときがまぁまぁ
メンドそう。
オレは昔の人が便利な定理残してくれてるんだからありがたく使わせていただくの大好き。
プレートシュナイダーの公式
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e9/Bretschneider%27s_formula.svg/788px-Bretschneider%27s_formula.svg.png
T=(p+q+r+s)/2
S=sqrt((T-p)*(T-q)*(T-r)*(T-s)-p*q*r*s*(cos(A/2+C/2))^2)
を使ってプログラムに最大となる四角形を探索させてみた。
https://i.imgur.com/bG1HFbO.png
四辺の長さの和が20(T=10に相当)として作図させてみた。
四角形ABCDでDを原点、Cをx軸上の点としてA,Bを任意に動かす。
A,Bの位置が決まるとDA,ABの長さが決まる。
BC+CDが20-DA-ABの長さになるようにCを決定する。
これで決定された四角形にプレートシュナイダーの公式を使って面積Sを計算。
Sが最大になるA,Bの位置をコンピューターに探索させる。
その結果は、やはり、最初の直感通りであったｗ
https://i.imgur.com/NuinABd.png
Rのコードはここ
https://egg.5ch.net/test/read.cgi/hosp/1592215787/188
∴示された。
P,Q,R を隣合う頂点とし、 PQ≠QR と仮定する。
Qを通りPRに平行な直線をLとする。
Lに関してRと対称な点R'をとる。
PR'の中点をQ'とおけば
PQ+QR = PQ+QR' > PR' = PQ'+Q'R,
かつ △PQR = △PQ'R
Q' を少し持ち上げて PQ+QR = PQ"+Q"R となるようにすれば
△PQR < △PQ"R (矛盾)
∴ 面積が最大になるのは PQ=QR の場合しかないな。
コンセヴィッチとかが一晩ガチで考えたらモジュライ空間に謎の不変量か測度作って超アクロバティックな一発計算でカッコよく示しそう
を求めよ。
Wolfram先生によると
≈0.6214496242358133576392657282153393238931646769197054169479755316419305616213745298777519239036674507
σ^2の値を推定せよ。
s^2 = [(x_1 - avg(x))^2 + … + (x_n - avg(x))^2] / (n - 1)
が正しい推定値だそうですが、なぜですか？
x_1 - avg(x), x_2 - avg(x), ････, x_n - avg(x)
の和は0なので、自由度は n-1 しかありません。(*)
∴ E( 標本分散 ) = σ^2・(n-1)/n,
∴ E(s^2) = σ^2.
*) (1,1,････,1) 方向のバラツキは標本分散に寄与しません。
サンプルデータは統計的自由度が1つ少ない
という説明(なんかモヤモヤするやつ)
自分の理解としては
そもそも分散の定義式自体に起因するというもの
母集団{m_i |1≦i≦N}からサンプル{x_i |1≦i≦n}を抽出するとして
母集団の分散σ^2=Σ(m_i-(Σm_j)/N)^2/Nを変形すれば
(Σ(m_i)^2/(NC1)-Σ_(i<j)m_im_j)/(NC2))×((N-1)/N)…[母]
となる(ここでNCrは二項係数)
同じように、サンプルの(通常の)分散を変形すれば
(Σ(x_i)^2/(nC1)-Σ_(i<j)x_ix_j)/(nC2))×((n-1)/n)…[サ]
となる([母]と全く同じ形)
さてサンプルに
m_iが選ばれている確率は(nC1/NC1)
m_im_jが選ばれている確率は(nC2/NC2)
なので[サ]の期待値を取れば
「[サ]の((n-1)/n)以外の部分」から
「[母]の((N-1)/N)以外の部分」がキレイに復元される
しかし、
この困った部分(n-1)/n は(N-1)/Nへ変換されない
ここの調整を先にサンプルの分散にn/(n-1)×(N-1)/Nを掛けて行っていると思える
ただ、通常Nはとても大きい数なので(N-1)/N≒1となり、普通はn/(n-1)のみ掛けて調整される
つまり分散の式が
("スケール共変"な良い部分) × (困った部分(N-1)/N)
という形の定義になっているのが原因と思える
ありがとうございました。
ところで、別の話になりますが、P(X)をXのすべての部分集合の集合を表すとします。P(P(X))というのはハウスドルフの公理系に出てきます。
P(P(P(X)))、P(P(P(P(X))))、…が数学において登場しないのはなぜでしょうか？
普通に登場してそうだけどね
複雑な構造はちゃんと書き下すとPPP(X)とか必要になるやつありそう
(与式) = [ -exp(-x)arctan(x) ](0,∞) + ∫[0,∞] exp(-x)/(1+xx) dx
= ∫[0,∞] exp(-x)/(1+xx) dx
= f(1)
= 0.6214496242358
ここに
f(a) = ∫[0,∞] exp(-ax)/(1+xx) dx, (a>0)
より
f(a) + f "(a) = ∫[0,∞] exp(-ax) dx = 1/a,
これを解くと
f(a) = ∫[0,∞] sin(y)/(y+a) dy
= ∫[a,∞] sin(θ-a)/θ dθ
= ∫[a,∞] {-cosθ･sin(a) + sinθ･cos(a)}/θ dθ
= Ci(a)sin(a) + {π/2 - Si(a)}cos(a),
ここに
Ci(a) = -∫[a,∞] (cosθ)/θ dθ, 余弦積分
Si(a) = ∫[0,a] (sinθ)/θ dθ, 正弦積分
これに
Ci(1) = 0.337403922901
π/2 - Si(1) = 0.6247132564277
cos(1) = 0.54030230586814
sin(1) = 0.8414709848079
を入れる。
基数や順序数の定義を公理で確認しながらやると無限に出てくるな
一般に k 個のパラメータを推定して残差の分散を求めると n-k で割る式になる
平均だけ求めた場合は k=1 になるだけの話
avg(x) = (1/n) Σx_i も変数。計算が面倒だけど
n=3 で試すと E(s^2) = 2 σ^2 になる。
ところで、別の話になりますが、松坂和夫の集合位相入門に「Sの空でない部分集合Oが開集合であるための必要十分条件は、
Oの任意の点xに対して、Oがxの近傍となっていることである。」という定理があります。なぜわざわざ「Sの空でない」と制限しているのでしょうか？
みたいな回りくどい書き方にするのが嫌だったんじゃね？
空集合は開に決まってるんだから判定方法自体が必要ないし。
論理的にはOが空のとき仮定x∈Oのところが偽だから問題ないって話か
なるほど
気になるんだけど、式変形的にはどうやる？
□ABCDが円に内接するよう、実数xの値を定めよ。
>>252
そうです。松坂和夫の集合位相入門にはわざわざ「p⇒q」はpが偽なら真であるということを述べていますし、空集合がすべての集合の部分集合であることを証明したりもしています。
ここまで典型的な問題が質問されるのも逆に新鮮みを感じる。
∠BAD=θとすると∠BCD=180°-θで、cos∠BAD=cos∠BCD=cosθ
△BADに余弦定理で x^2=4^2+7^2-2*4*7cosθ
△BCDに余弦定理で x^2=5^2+6^2-2*5*6cosθ
x^2とcosθについての2元1次連立方程式として解く。
ありがとうございます。間が抜けていまして、これはxとθの連立方程式ですね
cosθが入っているので解けないと勝手に勘違いしていました。
母分散の値がわかっていれば推定する必要はないのでは？
母分散の値が不明なときに/(n-1)になるんじゃなかったかな？
これm<cでないと復号できないみたい。
集合・位相入門って、あとがきかなんかで、いくつかの命題で空集合を敢えて除外した理由とか書いてあった気がするが
最小二乗法の正規方程式を代入するだけ
行列計算が結構必要だよ
数式が扱えない所でやるもんじゃ無いな
なるほど、今度勉強してみます
自分が考えてた方向性は
「キュムラントの擬再現性」的なもの
2次キュムラントである分散は
(再現部分) × (N(N-1)÷N^2)
となった
3次キュムラントならば
(再現部分) × (N(N-1)(N-2)÷N^3)
となり
一般にi次キュムラントは
(再現部分) × (N(N-1)…(N-i)÷N^i)
と
i乗と階差i乗の分だけズレが生じる
調べてみたらこの方向性はK-statistics(K統計量)とかの話らしいですね
(再現部分)の中にさらに擬再現な項も現れてくる(？)
>>254余弦定理より、
(4^2+7^2-x^2)/(2×4×7)=-(5^2+6^2-x^2)/(2×5×6)
15(65-x^2)=-14(61-x^2)
15×65=29x^2-14×61
x^2=1829/29
x=7.94159716413……
>>254余弦定理より、
(4^2+7^2-x^2)/(2×4×7)=-(5^2+6^2-x^2)/(2×5×6)
15(65-x^2)=-14(61-x^2)
15×65=29x^2-14×61
x^2=1829/29
x=7.94159716413……
√53041/29
ここでの補正部分はn/(n-1)×(N-1)/Nであるのに
多くの論説でn/(n-1)しか計算で出てこないのは
サンプルの変数x_iたちを独立とみなして計算しているからか
x_i≠x_j(i≠j)という束縛条件の有無
つまり同時抽出か反復抽出かで若干結果が異なる
自分のは同時抽出でx_iたちが独立ではないときの計算だけどこれは面倒だからあまり教科書ではされていない(？)
母数Nが大きいとき、これらにほとんど差異はなくなる
トレミーより AC･BD = 4･6 + 5･7 = 59,
また
BD = x = √(59･31/29) = 7.941597164
AC = y = √(59･29/31) = 7.429236057
AX = 14L, BX = 10L,
CX = 15L, DX = 21L,
AC = 29L, BD = 31L,
ここに L = √{59/(29･31)} = 0.25618
暗号化前の数値mが123の間違いだな。
暗号はｎの3047
n=3047からm=123へ公開鍵(c=42817,e=361)を使って復号できるか？
### 暗号解読 ###
rm(list=ls())
# 公開鍵 (c,e)
c=42817
e=361
# 暗号
n=3047
# 素因数分解してdを決定
library(gmp)
(c1=gmp::factorize(c)) # 計算機にcを素因数分解させて
(d=prod((c1-1))) # 素因数-1の積dを求める
# fを虱潰しに探す
fmax=1e6 # 探索させる秘密鍵 (c,f)のｆの上限=10^6
f=0 # 初期値
flg=FALSE # 条件をみたすか否かのフラッグ
re.f=NULL # fの候補を容れる数列
# fmax以下でf*eをdで割った余りが1となるfの値を数をre.fに追加する
while(!flg | f<=fmax){
f=f+1 # 1増やして
flg <- (f*e)%%d==1 # f*e (mod d)が1に等しいか?
if(flg & f<=fmax) re.f=c(re.f,f) # 等しければre.fに追加
}
re.f # 秘密鍵(c,f)のfの候補
decode=NULL # 秘密鍵(c,f)を使っての復号
for(f in re.f){
decode=append(decode,asNumeric(mod.bigz(pow.bigz(n,f),c)))
}
decode
> re.f # 秘密鍵(c,f)のfの候補
[1] 18321 60181 102041 143901 185761 227621 269481 311341 353201 395061 436921
[12] 478781 520641 562501 604361 646221 688081 729941 771801 813661 855521 897381
[23] 939241 981101
> decode
[1] 123 123 123 123 123 123 123 123 123 123 123 123 123 123 123 123 123 123 123 123
[21] 123 123 123 123
確かwikiの選択公理のとこに選択公理ないと証明できない定理の一覧みたいなのあったと思うけど
176: 2020/06/02(火) 14:05:44 ID:hfqlPygz
6を法として+1に合同な素数と、-1に合同な素数が、p以下に同数あるような素数pを「均衡素数」と呼ぶことにする。
(例えば2,3,7,13は均衡素数だが、5,11はそうでない)
このとき、 均衡素数を20個見つけよ
x以下の≡1 (mod 6)である素数と≡5(mod 6)である素数の数が等しくなるxじゃね？
. 5
7 ◯
11
. 13 ◯
17
. 19 ◯
. 23
. 29
31
37 ◯
‥‥
じゃね？
succ(0)≠0 (∵ 公理)
succ(x)≠xとする。
succ(succ(x))=succ(x)とする。
この時succ(c)=x (∵ 公理)
コレは仮定に矛盾。
∴succ(succ(x))≠succ(x)
小中学生でも問題の意味がわかるような問題とか、暗号みたいに何かの役に立っている数理をプログラムするのが楽しい。
例えば、こういう問題。内容的には中学入試らしいね。
容量8Lの袋と容量5Lの袋を使って池の水を丁度4L集めたい。袋に目盛りはついていません。
袋から袋への移し替えは全量で行います。
池からとる水の量や池に捨てる水の量には制限はありません。
最初に片方に満たした作業を１回目として丁度4Lを集めるのに最低何回の移動が必要か？
以下の (i), (ii), (iii) が全て成り立つと仮定する。
(i) N(x) = 0 となる x ∊ S が少なくとも一つは存在する。
(ii) x ∊ S に対し、 N(x) = 0 ならば P(x) は真である。
(iii) x ∊ S に対し、「 |N(y)| < |N(x)| を満たす全ての y ∊ S に対し、 P(y) は真である」
が成り立つならば P(x) は真である。
このとき、全ての x ∊ S に対して P(x) は真であるといえるか？
いえるならば証明を与え、いえないならば反例を挙げよ。
操作の組み合わせを総当たりで試すんか？
https://i.imgur.com/1n8PJf0.jpg
https://i.imgur.com/vgdqWiH.jpg
y′′ − y′ − 6y = 2, y(0) = 0, y′(0) = 1
途中式もお願いします
命題ってただのS→{真,偽}のこと？
それなら偽の逆像の元で|N(x)|の最少値を探せば矛盾するから逆像は空集合、よって全て真が言えそう
地道にやってみたけど、多分>>289の方がスマートにやれると思う。
絶対値の縦棒と紛らわしかったので、集合の内包的記法の縦棒を∥と表記した。変な書き方で申し訳ない。
x∈S に対して A0={a∈S|∥N(a)>0 かつ |N(a)|<|N(x)|} と定める。N(A0)は±N(X)を上限、下限とする整数の集合だから有限集合である。
A0＝∅ であれば、P(x)は真である。
A0≠∅ のとき、B0={|N(a)|∥a∈A0}は自然数の集合だから最小値が存在し、その最小値をn1とする。
A1={a∈S∥N(a)>n1 かつ |N(a)|<|N(x)|} と定める。
A1＝∅ であれば、P(x)は真である。
A1≠∅ のとき、B1={|N(a)|∥a∈A1}は自然数の集合だから最小値が存在し、その最小値をn2とする。
A2={a∈S∥N(a)>n2 かつ |N(a)|<|N(x)|} と定める。
A2＝∅ であれば、P(x)は真である。
A2≠∅ のとき、B2={|N(a)|∥a∈A2}は自然数の集合だから最小値が存在し、その最小値をn3とする。
以下同様にAiを定めると、どこかで空集合が現れない限り #(N(A0))>#(N(A1))>#(N(A2))>…… となるが、
これは自然数の減少列であるから有限である。したがって必ず有限回の操作で空集合が現れるためP(x)は真である。
(上)
連立１次方程式
4x -3y -4z +3u -4v = -5 … (1)
-x +y +2z -v = 1 … (2)
-x -2z -2u +5v = 1 … (3)
を解け。
(略解)
(1) + (2)･3 + (3) より
u -2v = -1 … (4)
u= 2b-1, v=b,
(2)+(3)+(4)･2 より
-2x +y = 0,
これらより
[x] [-2a+b+1]
[y] [-4a+2b+2]
[z] = [a]
[u] [2b-1]
[v] [b]
ただし a,bは任意。
A={x∈S∥P(x)が偽} , B={|N(x)|∥x∈A} とする。
非負整数の集合であるBの最小値を与えるAの要素のうちの1つをx1とする。
(iii)の対偶から、P(x)が偽であるならば「|N(y)| < |N(x)| を満たす y ∊ S でP(y)が偽であるものが存在する」が成り立つ
したがってP(x1)が偽であるから|N(y)| < |N(x1)| を満たす y ∊ S でP(y)が偽であるものが存在することになるが、これはx1の最小性に矛盾する。
N以下の素数で均衡素数を表示させてみた。
F <- function(N){
library(numbers)
prime=Primes(N)
n_p=length(prime)
f1 <- function(x) x%%6==1
f5 <- function(x) x%%6==5
p1=prime[sapply(prime,f1)]
p5=prime[sapply(prime,f5)]
f <- function(p) sum(p1<=p)==sum(p5<=p)
p=NULL
i=1
lp=length(p)
while(i <= n_p){
x=prime[i]
if(f(x)==TRUE) p=c(p,x)
lp=length(p)
i=i+1
}
p
}
> F(1e3)
[1] 2 3 7 13 19 37 43 79 163 223 229
> F(1e4)
[1] 2 3 7 13 19 37 43 79 163 223 229
> F(1e5)
[1] 2 3 7 13 19 37 43 79 163 223 229
> F(1e6)
[1] 2 3 7 13 19 37 43 79 163 223 229
あとは知らん。
0 = tt-t-6 = (t-3)(t+2),
より 特性根は -2, 3.
ラプラス変換を
y = a{e^(-2x) -1} + b{e^(3x) -1}
とおく。
これを与式に代入して解くと
a=0, b=1/3,
y = {e^(3x) - 1}/3.
ありがとうございます！掃出法でちゃんと解きなおせました
計算機を使っても11個でお手上げ
ということですねわかりました
ありがとうございます
>>282
1回目、5Lにとる。
2回目、8Lに移し替える。
3回目、5Lにとる。
4回目、8Lに3L移し替え8L満水、5Lに2L残る。
5回目、8L捨てる。
6回目、2Lを8Lに移し替える。
7回目、5Lとる。
8回目、8Lに移し替える。
9回目、5Lとる。
10回目、8Lに1L移し替え8L満水、5Lに4L残る。
∴最低10回必要。
>>282今仮に8Lの袋が満水で45°傾けて0.5L残る形状をしてたとしたら、
0.5×8=4(L)
∴最低8回必要とすることも可能。
コンピュータの使い方が下手だと解けないって問題かな
C上の相異なる2点P(p,p^2),Q(q,q^2)に対し、直線PQを以下の全ての条件を満たすように定めたい。
それは可能か。可能ならばp,qをaで表せ。
（条件）
・0<p<a,a<q
・Cと直線OAと直線PQとで囲まれる3つの有限領域の面積が全て等しい
それだから問題を袋にした。
360°<16θ<370°を示せ。
いや>299が想定した正解。
高校数学スレのグラフを使っての解法をプログラムして
値を変えても応用できるようにしただけ。
１３リットルの容器と７リットルの容器の移し替えで前者に１０リットルを満たすステップは１８回になったな。
プロラムにバクが紛れているかもしれんからもっと少ない回数で可能かもしれない。
１８回未満のステップがあれば提示希望。
13L 7L
1 13 0
2 6 7
3 6 0
4 0 6
5 13 6
6 12 7
7 12 0
8 5 7
9 5 0
10 0 5
11 13 5
12 11 7
13 11 0
14 4 7
15 4 0
16 0 4
17 13 4
18 10 7
>>302題意より、それはできないよ。
袋にしたのは傾けて1/2にならないって意味だ。
放物線の回転体なら1/16になる。
半径1高さ1なら満杯でπ/2
45°傾けて∫[t=0→1]……dt
π/2-π/16=15π/32
満水:流出:残留=16:15:1
Wolfram先生によると
θ=22.6198649480404261729490108766797211594872729681881102887427570043581852608784595213388154454546402776839224441176...
だそうです。
１３Lと７Lだと１０Lを満たすのが一番ステップが多いな。
目的とする量を変化させてグラフにしてみた。
https://i.imgur.com/LG6q866.png
https://i.imgur.com/aOV5lum.png
>>306
tanθ=5/12=0.41666……
題意より22.5°＜θ＜23.125°
tan22.5°=0.41421356……=√2-1=5/(5+5√2)
12＜5+5√2
tan23.125°=0.42705195776……
5+0.42705195776……=11.7081772117……＜12
∴示された。
内田伏一『集合と位相』問16.6
(X, O)を位相空間とし、(Y, O_Y)をその部分空間とする。A⊂Yに対して、部分空間(Y, O_Y)におけるAの導集合は、位相空間(X, O)における
Aの導集合A^dとYとの共通部分A^d∩Yに一致することを示せ。
上の解答は見ただけで読んでいませんが、そうする必要は本当にありますか？
部分空間(Y, O_Y)におけるAの導集合={x∈Y | A-{x}の閉包にxが含まれる}
A^d∩Y={x∈X | A-{x}の閉包にxが含まれる}∩Y
この2つの集合が一致するのは自明ではないですか？
tanθ=5/12=0.41666……
題意より22.5°＜θ＜23.125°
tan22.5°=0.41421356……=√2-1=5/(5+5√2)
12＜5+5√2
tan23.125°=0.42705195776……
5÷0.42705195776……=11.7081772117……＜12
∴示された。
tanθ=5/12 , tan(2θ)=120/119＞1=tan45°から 2θ＜45°すなわち 360°<16θ
0<x<π/2 で tanx＞x であるから tan(2θ-π/4)＞2θ-π/4
tan(2θ-π/4)={(120/119)-1}/{1+(120/119)}=1/239
2θ＜(π/4)+(1/239)＜(π/4)+(π/144)=370°/8
よって 16θ＜370°
傾けるとこういう形になるのはイメージわくけど、体積計算はどうすればいい？
https://i.imgur.com/Q89Uv7f.png
・12と13が挟む角θからtan2θを計算し、360°<16θを示す（18点）
・（注意）三角関数の計算によらない他の方針であっても勿論良い
・5,12,13の直角三角形を2つ張り合わせて、先の2θと図形的考察で16θ<370°（32点）
・三角関数などの考察を用いても勿論良い、テイラー展開を用いても良いが上下から不等式評価をしていなければ減点する
・（注意）ソフトウェアを利用した計算については、当該部及びその影響する部分に点を与えない。
ゴミ、価値なし
想定以上の素晴らしい解答
点数ではなく給付金を与えたい
∴示されたｗ
0<x<π/2 ⇒ x < tan(x),
を使うのでござるか。
∴ 2θ - π/4 < tan(2θ -π/4) = 1/239,
∴ 16θ < 2π + 8/239 = 361.91785036°
誤差 0.0000112°
かなり近い…
有限個の n を除いて f(n) が素数となるような f は定数に限ることを証明せよ。
弓形OPA = (1/6)(a-0)^3,
弓形PAQ = (1/6)(q-p)^3
が等しいことから、必要条件
q-p = a-0,
が出るが、さて････
OA： y = ax,
PQ： y = (p+q)x -pq,
の交点Xは (pq/(p+q-a), apq/(p+q-a))
部分空間(Y, O_Y)におけるAの導集合={x∈Y | A-{x}の閉包にxが含まれる}
A^d∩Y={x∈X | A-{x}の閉包にxが含まれる}∩Y
この2つの集合が一致するのは自明であり、集積点の定義をそのまま使った素直な解答だと思います。なぜ
http://www.shokabo.co.jp/author/1401/answer/Q16.6.pdf
のような解答なのかが分かりません。
OA： y = ax,
PQ： y = (2q-a)x - (q-a)q,
の交点Xは (q/2, aq/2)
題意から
p^3 -3aap + a^3 = 0,
３つの実根のうち 0<p/a<1 を満たすものは
p = 0.3472963553338607 a,
q = 1.3472963553338607 a,
かな？
>>318
ほかスレで最近やって欠円を足し集めるんだったような、
やろうとして放置してたような。
放物線1回転を満杯でπ/2になるのは∫[t=0→1]πtdt=π/2
∵半径√tだから。
一応「閉包」と言ってもXでの閉包とYでの閉包で異なる、ということに注意が必要ってことかな
まあYでの閉包=Xでの閉包∩Yなんだけどそれは少し考えておく必要がある
直線OAと直線x=pの交点をB、直線PQと直線x=aとの交点をC、直線OAと直線PQの交点をEとする。
囲まれる3つの有限領域について、O-P間を領域S,P-A間を領域T,A-Q間を領域Uとする。
>>326からq=a+pのとき領域SとUの面積は等しいので、あとは領域SとTの面積が等しければよい。
点E(>>326における点X)のx座標は (a+p)/2 であるから、線分ABの中点がEなので△APEと△BPEは面積が等しい。
したがって、Sから△BPEを除いた領域とTから△APEを除いた面積は等しい。
∫[0~p](ax-x^2)dx=(1/6)(a-p)^3
3ap^2-2p^3=(a-p)^3
a^3-3a^2p+p^3=0
あかん、この3次方程式解けんわ。ギブアップ。
f(a+np)=pではなく無限個のnに対して(±pとは異なる)pの倍数になるってことかな
それで>>324が示せてますね
>>294
10億まで調べたが（GPUで10分ぐらい）それ以降のが見つからんな
import math
import sys
from tqdm import tqdm
MAX=int(sys.argv[1])
merk=int(MAX/20)
record=dict()
sosu=[2,3,]
kinko_sosu=[2,3,]
def isPrime(n):
m = math.floor(math.sqrt(n)) + 1
for p in sosu:
if n % p == 0:
return False
if p >= m:
return True
cnt_1mod6=cnt_5mod6=0
cnt_p=2
for i in tqdm(range(5,MAX)):
if isPrime(i):
cnt_p+=1
sosu.append(i)
if i % 6 == 1:
cnt_1mod6 += 1
elif i % 6 == 5:
cnt_5mod6 += 1
if cnt_1mod6 == cnt_5mod6:
kinko_sosu.append(i)
if i % merk == 0:
record[i] = str(round(100*(cnt_5mod6 - cnt_1mod6)/cnt_1mod6,3))+'%'
print(kinko_sosu)
print(record)
100%|██████████| 99999995/99999995 [09:58<00:00, 167059.18it/s]
[2, 3, 7, 13, 19, 37, 43, 79, 163, 223, 229]
{5000000: '0.075%', 10000000: '0.057%', 15000000: '0.063%', 20000000: '0.056%',
25000000: '0.027%', 30000000: '0.041%', 35000000: '0.054%', 40000000: '0.038%',
45000000: '0.039%', 50000000: '0.011%', 55000000: '0.028%', 60000000: '0.02%',
65000000: '0.033%', 70000000: '0.033%', 75000000: '0.029%', 80000000: '0.028%',
85000000: '0.021%', 90000000: '0.021%', 95000000: '0.016%'}
まちがえた10億じゃなく1億
sys.argv[1]を10**8で実行した結果
残った水の立体イメージがわかないなぁ。
ようやく容器の３D画像が作図できた。
https://i.imgur.com/togYUp3.png
https://i.imgur.com/Q302eTI.png
Wolfram先生に聞いたらどうでしょうか？
https://ja.wolframalpha.com/input/?i=solve+a%5E3-3a%5E2p%2Bp%5E3%3D0+for+p
p = (i ((-2 + 2 i sqrt(3))^(2/3) (sqrt(3) + i) - 2 2^(1/3) (sqrt(3) + -i)) a)/(4 (-1 + i sqrt(3))^(1/3))
p = ((-2 + 2 i sqrt(3) + 2^(1/3) (-1 - i sqrt(3)) (-1 + i sqrt(3))^(2/3)) a)/(2 2^(2/3) (-1 + i sqrt(3))^(1/3))
p = (1/(1/2 i (sqrt(3) + i))^(1/3) + (1/2 i (sqrt(3) + i))^(1/3)) a
と表示されたので実数解なし？
dy/dx = 3*x^2 -3*a^2 = 3(x+a)(x-a)
-Inf -a a Inf
増加 0 減少 0 増加
実数解が3個ありそう。
微分して=0は二次方程式になりその実数解は０か２個だから。
>>318
残り水エリア全体のうち左1/4の地点の底がもっとも深くなる。
答えはπ/32になると思ったんやが、
∫[t=0→1]｛tθ-t√(t-t^2)｝dt=π/32
こうするしかないの。
は
f(0)=a^3>0
f(a)=-a^3<0
極値は±a
だから
0<p<aの範囲内では実数解を1つ必ず含む
その解をβとしたとき
p=β、q=a+β
が題意を満たす唯一の場合
でいいのでは？
中間値の定理から根をもつ、終了
一般にはそれでいいけどこの場合は0<p<aの解の存在を確認する必要がある
p=u+v とおくと
(u+v)^3-3a^2(u+v)+a^3=0
u^3+v^3+3uv(u+v)-3a^2(u+v)+a^3=0
(u^3+v^3+a^3)+(3uv-3a^2)(u+v)=0
u^3+v^3=-a^3 かつ uv=a^2 であればよい。
u^3,v^3 はtの2次方程式 t^2+a^3t+a^6=0 の解
t={-a^3±a^3√(a^3-4)}/2
p=u+v={-a^3+a^3√(a^3-4)}^(1/3)/2^(1/3)+{-a^3-a^3√(a^3-4)}^(1/3)/2^(1/3)
q=a+p=a+{-a^3+a^3√(a^3-4)}^(1/3)/2^(1/3)+{-a^3-a^3√(a^3-4)}^(1/3)/2^(1/3)
>>342
元の>>304の問いがp,qをaで表せだからね。存在については最初からほぼ明らかだし。
p=u+v とおくと
(u+v)^3-3a^2(u+v)+a^3=0
u^3+v^3+3uv(u+v)-3a^2(u+v)+a^3=0
(u^3+v^3+a^3)+(3uv-3a^2)(u+v)=0
u^3+v^3=-a^3 かつ uv=a^2 であればよい。
u^3,v^3 はtの2次方程式 t^2+a^3t+a^6=0 の解
t={-a^3±a^3√(a^3-4)}/2
p=u+v={-a^3+a^3√(a^3-4)}^(1/3)/2^(1/3)+{-a^3-a^3√(a^3-4)}^(1/3)/2^(1/3)
q=a+p=a+{-a^3+a^3√(a^3-4)}^(1/3)/2^(1/3)+{-a^3-a^3√(a^3-4)}^(1/3)/2^(1/3)
>>342
元の>>304の問いがp,qをaで表せだからね。存在については最初からほぼ明らかだし。
解が1つしかないというのは確認しておくべきかと思いました
それとu^3,v^3に対してu,vは一般には1の3乗根1,ω,ω^2分不定性がありますが、そのうちどれが正しく0<p<aの解を与えるかってすぐ分かりますか？
x＝x^2+t^2
α=1/2 (1 - sqrt(1 - 4 t^2))
β=1/2 (1 + sqrt(1 - 4 t^2))
t=[-1/2,1/2]
β-α=sqrt(1-4*t^2)
f=function(x) (sqrt(1-4*x^2))^3/6
数値積分して
integrate(f, -1/2,1/2)$value
> integrate(f, -1/2,1/2)$value
[1] 0.09817476
> pi/32
[1] 0.09817477
なのであってる。
ωu+ω^2v 型と ω^2u+ωv 型は実数にならんやろ。
三つとも実数解ですよ
そうなんか。ならわからんわ。すまんな。
P=(0,0),Q=(1,0)
このときd2がR^2の距離関数にならないことを示せ
これ誰か教えてくださいorz
dとd2の違いすら分からん・・・
そもそも違うものなの???
全然違うでしょ
その定義なら d2(P, Q) = 0 だし
d2って二次元の距離だよね？dってﾅﾝﾅﾝﾀﾞ
え？ d は距離関数じゃないの？ d の定義は？
d(x,y)=0⇔x=y
d(x,y)=d(x,y)
∀x,y,z, d(x,z)<=d(x,y)+d(y,z)
だよね？
なんか根本的に間違ってるのか
それでも d(P, P) + d(Q, Q) = 0 より明らかでしょ
書き忘れただけ？
なるほどそんな簡単なことだったのか
全然わからなかった
本当ありがとうございます
>>348あってるのはわかる。微積やってたころは授業無視して内職したり帰って図書館行ったら母校の元校長先生がお勤めだったり、遅刻して校長室におかん呼び出されたり、そういう時期だから、微積やってたっていっても我流なんだよ。せやでちゃんと計算過程というか立式、式変形をやってほしい。それとも今の微積はこんなちんぷんかんぷんな分野に変わり果ててしまったのか？
傾ける角度と残存液体量をグラフにしてみた。
63.43495度=arctan(2)以上傾けると残りは０
https://i.imgur.com/2fZbhO8.png
# y=ax^2の放物線回転体で上縁の半径がrである器をdeg度傾けて残る液体の量
Tilt <- function(deg=45,a=1,r=1){
θ=deg*pi/180
max=atan(2*a*r)
if(θ>max) return(0)
f <- function(x){
(a/6)* ((1/a)*sqrt(4*a^2*r^2 - 4*a^2*x^2 - 4*a*r*tan(θ) + tan(θ)^2))^3
}
abs(integrate(f,-(tan(θ)/(2*a)-r),tan(θ)/(2*a)-r)$value)
}
>335のグラフの描き方がわからなくて苦労した。
立式後の式変形はWolframを活用。
最初から答は数値積分で出すつもりだったので積分に苦労せずｗ
>>364
半分流れ出るのは20°ぐらい傾けたころか。
T_3(t) = 4t^3 -3t (第一種チェビシェフ多項式）を使えば
p^3 -3aap +a^3 = 2 a^3 {T_3(p/2a) + 1/2}
題意から
T_3(p/2a) = -1/2 = cos(±2π/3),
∴ p = 2a cos(-2π/9), 2a cos(4π/9), 2a cos(-8π/9).
この3つの実根のうち 0<p<a を満たすものは
p = 2cos(4π/9)･a = β,
q = {1 + 2cos(4π/9)}a = a + β,
実根が1つのときはカルダノの解法が使えるけど、
実根が3つのときはチェビシェフT_3 ですよ。
ついでに
複素数の累乗根を求めるときは、一般には三角関数やその逆関数を使わざるを得ない。
それを「代数的」解法と呼ぶのはチョト違和感ある。
三倍角の公式から
(2cosθ)^3-3(2cosθ)+(-2cos3θ)=0
だから
cos3θ=-1/2
のとき
2acosθが問題の三次式の解になってるのか
これはもしかしたら元問題の作図的な超技巧解答もワンチャンあるかもしれませんな
エレベーターが上昇し始めたところ、2階では誰も降りなかった。
このとき、2人以上同時に降りる階が存在する確率を求めよ。
ただし、乗客は3階～51階のどこかの階で必ず降りるものとする。
平行移動で2次項が落とせて
実根が3つあって、3重解でないときは
相似拡大で3次係数と1次係数の比を-3/4にできて
三倍角で解けるって感じか
便利だね
>>370
鳩ノ巣原理で必ずどこかで2人以上降りるのでは
>>370エレベーターが止まる回数は、
51-2=49(回)
50人乗っていて必ずどこかの階で降りるなら、
2人以上降りる階が存在する確率は100%。
Tilt(0)の半分になる角度をNewton-Raphson法で計算させると
> uniroot(function(x) Tilt(x)-Tilt(0)/2, c(0,60))$root
[1] 17.65144
１８°弱となりました。
> data.frame(残量割合=vol,傾斜角度=sapply(vol,Vol2deg))
残量割合 傾斜角度
1 0.05 46.512967
2 0.10 41.196221
3 0.15 37.064992
4 0.20 33.525274
5 0.25 30.361196
6 0.30 27.466962
7 0.35 24.781772
8 0.40 22.267050
9 0.45 19.896579
10 0.50 17.651442
11 0.55 15.517473
12 0.60 13.483627
13 0.65 11.541048
14 0.70 9.682432
15 0.75 7.901620
16 0.80 6.193337
17 0.85 4.552906
18 0.90 2.976271
19 0.95 1.459747
20 1.00 0.000000
グラフにすると
https://i.imgur.com/Z3fqwvy.png
入試問題 ： 1983年東大理６ の解答を参考に一般化しただけです。
（積分は面倒なので数値積分）
http://www5a.biglobe.ne.jp/~t-konno/math/tokyo/1983_tokyo_rz_6.pdf
計算式が複雑になるかなぁ。
昼休みにでもやってみるか。
何か他の説明もあるかもね
代数トポロジーでも次元の偶奇で空間の性質が変わるみたいな話は聞くし
2次の項を落としたものを
f(t) = t^3 -3At + 2B = 0,
とおく。
f '(t) = 3(tt-A),
A>0 ならば
f(-√A) = 2A√A + 2B, (極大)
f(√A) = -2A√A + 2B, (極小)
実根が3つある条件は
0 > f(-√A)f(√A) = 4(BB - A^3),
チェビシェフT_3 で。
一方、BB - A^3 > 0 (A≦0 も含む) のとき 実根は１つだけ。
カルダノの公式で
t = - {B -√(BB-A^3)}^(1/3) - {B +√(BB-A^3)}^(1/3),
ここは大学レベルの解析できる人いない。大学で聞きな。
>>376
83年やったら赤本で解いとるな。俺を押しあげた原動力やないか。
体積Vを傾きθの関数として式で表したりはせえへんのやな。
そりゃダメでしょ
R 上の関数 f(x) = -x + 1 に対して [0, 3] の分割 P と [0, 1] の分割 P* を考えればすぐにわかる
A =｛(x,y)∈R^2 ,x ≧ 0; xy = 1｝
B = ｛(x,y)∈R^2 ,x ≧ 0; xy =-1｝
で定義する. また集合A + B を, A + B = (a + b)∈R^2 a∈A; b∈Bで定義する.
(1) A;B はともにR2 の閉集合であることを示せ.
(2) 点(0,0) は, 集合A + B の触点ではあるが, A + B には属さない(すなわちA + B は閉集合ではない)ことを示せ
とっかかりすらわからん誰か教えて
よく見かける方法だけど、少し回りくどい(と俺は思う)。
指示関数:χ{P} は 条件PがTrue なら 1, Falseなら 0 の値をとる.
n次元単位球体積:
V[n] = ∫∫...∫dx^n χ{ Σ[i=1,n] x[i]^2 ≦ 1 }
=∫[x=-1,+1]dx ∫...∫dx^{n-1} χ{ Σ[i=1,n-1] x[i]^2 ≦ 1-x^2 }
=∫[x=-1,+1]dx ∫...∫dx^{n-1} χ{ Σ[i=] (x[i]/√(1-xx))^2 ≦ 1}
=2∫[x=0,1]dx √(1-xx)^{n-1} * V[n-1]
= ∫[s=0,1]ds s^{-1/2} (1-s)^{(n-1)/2} * V[n-1]
= B(1/2, (n+1)/2) * V[n-1]
= Γ(1/2)Γ((n+1)/2)/Γ((n+2)/2)* ..... *V[1]
= π^{(n-1)/2} Γ((2+1)/2)/Γ((n+2)/2) * 2
= √π^n / Γ(n/2 + 1)
こっちの直接的な計算の方が好き。 ガンマ関数が現れる理由に思い悩むこともない。
","と";"がどういう意味で使われているのかわからないけど、
xy = ±1 であるためには x ≠ 0 であることが必要だから、要するに y = ±1/x ってことでは
グラフを描いてみたらどうか
(1)
A内の任意の収束点列(x_n,y_n)→(α,β)について
常に x_n≧0 であるから α=lim(x_n)≧0
αβ=(lim(x_n))*(lim(y_n))=lim(x_n*y_n)=1
したがってαβ∈A 。Bについても同様。
(2)
(2/n,0)=(1/n,n)+(1/n,-n) であるから点列(2/n,0)はA+Bの点列である。
lim(2/n,0)=(0,0) であるから(0,0)はA+Bの触点である。また、
x=0 のとき xy≠1 だからA={(x,y)∈R^2 ,x>0 かつ xy=1}
x=0 のとき xy≠-1 だからB={(x,y)∈R^2 ,x>0 かつ xy=-1}
ゆえにA+Bに属する点のx座標は常に正であり、(0,0)はA+Bに属さない。
単純かもしれないけどわかりません。おしえて
>>375二次関数なのか？
Ｖ=π(θ-63.43495)^2/(2×63.43495^2)
零写像のみ
準同型を f : Q → Z とすると、全ての正の整数 n に対し、
n*f(1/n) = f(1) が成り立つので f(1) = 0 でなければならない。
そこでもし f(a/b) ≠ 0 となる有理数 a/b が存在すれば、
b*f(a/b) = f(a) = a*f(1) = 0 となるので矛盾する。
θ=0°,17.651442°,30.361196°,45°,63.43495°に対し、
Ｖ=π/2,π/4,π/8,π/32,0となる比例定数kを決めたらいかんのか？
なるほど(2)そんな感じで変形すればすぐ00って分かるのか・・・
本当助かりました
確率計算で教えて頂きたいです。
25枚の山札があり内1枚がレアカードだとします。
25枚の山札から10枚を引いて手札にし、
更に手札の10枚のうち2枚を山札から交換できる場合
（交換は、交換したいカードを山札でない場所に捨てたあとに山札から引きます)
1.
交換まで終わった後の手札にレアカードが含まれる確率は
(10+2)/25=0.48
で正しいでしょうか？
2
山札25枚のうち2枚がレアカードだとして
上記と同様に山札から引く・交換する場合、少なくとも1枚のレアカードが含まれる確率は
(23/25)×(22/24)×(21/23)...(12/14)≒0.260
1から引いて0.74
で正しいでしょうか？
違うはず
組み合わせで考えると(少し計算は面倒だけど)わかりやすいと思う
初学的に書くために,n個からk個選ぶ組み合わせを n(C)k と表記しますね
1)求める確率は
(25枚から10枚選んだときにレアカードがある確率P1) + (25枚から10枚選んだときにレアカードがなく、残りの15枚から2枚選んだときにレアカードがある確率P2)
だよね
P1=24(C)9 / 25(C)10
これは
(レアカード1枚と、残りの24枚から9枚選ぶ総数) / (25枚から10枚選ぶ総数)
なのは理解できる?
P2=((25(C)10 - 24(C)9) / 25(C)10) * (14(C)1 / 15(C)2)
これは((25枚から10枚選ぶ総数-10枚にレアカードがある総数 = 最初にレアカードがなかったときの総数) / (25枚から10枚選ぶ総数)) * ((15枚からレアカード1枚と、残り14枚から1枚選ぶ総数) / (15枚から2枚選ぶ総数)
2)はこの考え方を使って、2回の操作でレアカードを1枚も引かない場合(余事象)の確率をまず計算すると楽だと思うよ
レアカードが最初の11枚にあった場合12枚目はないと思うし、レアカードが最初の10枚にあった場合、11枚目も12枚目もないと思う。
レアカードが最初の11枚にあった場合12枚目はないと思うし、レアカードが最初の10枚にあった場合、11枚目も12枚目もないと思う。
それ計算すると結局12/25じゃね
残量は
∫[-(tan(θ)/2-1),(tan(θ)/2-1)] 1/6 ((tan(θ) - 4) tan(θ) - 4 x^2 + 4)^(3/2) dx
になるので、この逆関数をつくればいい。
俺にはできないのであしからず。
だねw
質問者がどういう考え方なのかイマイチわからんけど解答は合ってると思うw
結局、
1)白玉1個黒玉24個を無作為に並べて12個目まで白玉がある確率
2)白玉2個黒玉23個を無作為に並べて12個目までに白玉が少なくとも1個ある確率
と同じ
いつものシミュレーション（数値を変えても実行できるように関数化）
数理解は大先生にお任せ
# exchange n cards
exch <- function(x,y,n){
nx=length(x)
ny=length(y)
ix=sample(nx,n) # index of x exchanged
iy=sample(ny,n)
X=c(y[iy],x[-ix])
Y=c(x[ix],y[-iy])
list(X,Y)
}
# demo
exch(0:9,10:19,3)
#
sim <- function(
r=1, # レアカードの枚数
n25=25, # 最初の山札の枚数
n10=10, # 最初に引く手札の枚数
e2=2){ # 交換する枚数
t10=sample(n25,n10) # 交換前の手札10枚
y15=(1:n25)[-t10] # 交換前の山札15枚
te=exch(t10,y15,e2)[[2]] # 交換後の手札
any(1:r %in% te) # １枚でもレアカードを含むか？
}
mean(replicate(1e6,sim(1))) # レアカード１枚
mean(replicate(1e6,sim(2))) # レアカード２枚
百万回の結果
> mean(replicate(1e6,sim(1))) # レアカード１枚
[1] 0.599649
> mean(replicate(1e6,sim(2))) # レアカード２枚
[1] 0.85018
山札にレアカードが残る確率を計算していたｗ
sim <- function(
r=1, # レアカードの枚数
n25=25, # 最初の山札の枚数
n10=10, # 最初に引く手札の枚数
e2=2){ # 交換する枚数
t10=sample(n25,n10) # 交換前の手札10枚
y15=(1:n25)[-t10] # 交換前の山札15枚
te=exch(t10,y15,e2)[[1]] # 交換後の手札
any(1:r %in% te) # １枚でもレアカードを含むか？
}
mean(replicate(1e6,sim(1))) # レアカード１枚
mean(replicate(1e6,sim(2))) # レアカード２枚
[1] 0.400497
> mean(replicate(1e6,sim(2))) # レアカード２枚
[1] 0.650049
組み合わせの問題だという事自体の認識がありませんでした。
大昔に勉強して以来の数学で、頭がまだ追いついていないので、じっくり読み解いてみます。
困った。数理解の方が正しく思えるが
どこにバグがあるかわからん:(
まあ、たしかに質問の文章にはそうは書かれていないけど
いや、カードは確認しない設定だと思うぞ
そうすると
nCrをchoose(n,r)で表示
レアカード１枚の場合は
choose(24,9)/choose(25,10)*choose(9,2)/choose(10,2) + choose(24,10)/choose(25,10)*choose(14,1)/choose(15,2)=2/5
となるのでシミュレーション結果と一致する。
手札は全て見えている状態です。
従って最初の10枚でレアカードが来たら交換はしません。交換の1回目で来てもそこで交換は止めます。
ややこしい事になり申し訳ありません。
系統的場合分けは苦手なのでレアカード枚数を増やしてレアカード獲得確率をシミュレーションで出してみた。
> data.frame(レアカード枚数=1:10,獲得確率=p)
レアカード枚数 獲得確率
1 1 0.399044
2 2 0.650411
3 3 0.801908
4 4 0.892122
5 5 0.943564
6 6 0.971844
7 7 0.986491
8 8 0.994096
9 9 0.997447
10 10 0.999093
それなら>>402で合ってると思う
そういう設定だと、数学問題として面白くないなぁ。
>>395あってる。
違うかもしれないけど、少なくとも俺といっしょ。
間違った解答しといて面白さ語るなよ
>∫[x=0,1]dx √(1-xx)^{n-1}
これがβ関数で表せるからそこからΓ関数に繋がるってこと？
式の上からはそれに過ぎないんだろうけど･･･・
∫[x+y=1] x^(a-1)y^(b-1) dxdy
= Γ(a)Γ(b)/Γ(a+b)
∫[x+y+z=1] x^(a-1)y^(b-1)z^(c-1) dxdydz
= Γ(a)Γ(b)Γ(c)/Γ(a+b+c)
∫[x+y+z+w=1] x^(a-1)y^(b-1)z^(c-1) w^(d-1) dxdydzdw
= Γ(a)Γ(b)Γ(c)Γ(d)/Γ(a+b+c+d)
‥‥
を利用してたな
手札がみえないルールなら間違いじゃないと思うんだが。
違うかな？
まあ何を自然だと思うかだよね
自分はガウス積分信仰があるので、もし他の分野(例えばp進解析とか)で球体積公式の類似があるとすればガウス積分の類似で計算しそうなイメージがある
半径ｒの半球状お椀をθ傾けたときに残る液体の量
y1=r+tanθ*(x-r)
y2=r-sqrt(r^2-(x^2+t^2))
α = r*sin^2(θ) - cos^2(θ)sqrt(r^2-t^2-t^2*tan^2(θ))
β = r*sin^2(θ) + cos^2(θ)sqrt(r^2-t^2-t^2*tan^2(θ))
y1-y2=tanθ*(x-r) + sqrt(r^2-(x^2+t^2))
S(t)=integrate[α,β] (y1-y2)dx
integrate[-rcosθ,rcosθ] S(t)dt
までできたがここで挫折（間違っているかもしれん）
半分残すには何度傾けたらいいかわからん。
課題はこれ。
「半球状のお椀に液体が満タンで満たしてある、何度傾けたら半分になるか？」
こういうイメージ
https://i.imgur.com/YOjXlN7.png
多分、有名角ではない
>>422
30°ぐらいかな？
半円より大きい欠円0から1/√3まで足し集めて、πのあるのとないのと、
文字変えて半円より小さい欠円0から1/3まで足し集めて。
奇しくも昨日の問題と同じになったぞ(？)
つまり
θ=arcsin(2cos4π/9)=(20.32…)°
pは半径aの半球をちょうど半分の体積に切る位置にある
と言える
これをRを使って数値重積分して計算
https://i.imgur.com/4lehqLd.png
> uniroot(function(x) Volume(x)/Volume(0)-0.5,c(0,90))$root
[1] 20.32207
他の方と同じような値になったので>422の式でいいのだろう。
ようやく安心して眠れるｗ
半球面お碗を角度 θ 傾けて 液体を半分にするには...
V(θ) = r^3 ∫[x=sinθ..1] dx π* { √(1-x^2) }^2
= πr^3 ∫[x=sinθ..1] dx ( 1-x^2 ) = r^3 (x - x^3/3 )[x=sinθ, 1]
= πr^3 { 1-sinθ - (1-(sinθ)^3)/3 }
= πr^3 { 2/3 -t + t^3/3 } (t = sinθ と置いた)
V(θ)/V(0) = 3/2 * { 2/3 - t + t^3/3 } = 1/2 よって t^3 - 3t + 1 = 0 を解く。
WolframAlpha で "solve t^3 - 3t + 1 = 0" とやると 第2根が [0,1] の範囲に来るので,
θ = arcsin(t) = arcsin( √(2 - √3 cos(π/18) - sin(π/18)) ) = 20.322... [deg]
と求まる。
どうやら √(2 - √3 cos(π/18) - sin(π/18)) = 2cos4π/9 が成り立つらしい。
arcsin(2cos4π/9) というふうな厳密解を出せるひとは尊敬しちゃう。
>>422
θ°傾けて残り水がπ/3になったとすると、
π∫[t=0→1-sinθ]｛1-(1-t^2)｝dt=π/3
∫[t=0→1-sinθ](2t-t^2)dt=1/3
[t^2-t^3/3](t=1-sinθ)=1/3
(1-sinθ)^2-(1-sinθ)^3/3=1/3
3(1-2sinθ+sin^2θ)-(1-3sinθ+3sin^2θ-sin^3θ)=1
3-6sinθ+3sin^2θ-1+3sinθ-3sin^2θ+sin^3θ-1=0
sin^3θ-3sinθ-1=0
x=sinθ,f(x)=x^3-3x+1とおくと、
f'(x)=3x^2-3=0
x=±1
-1≦x≦1で存在するθはただ1つ。
sinθ=0.34202014332……
θ=20°ぐらいしかない。
3倍角公式: 4cos³θ -3cosθ - cos(3θ) = 0
を 4c³ -3c - C = 0 と書く
0 = a³/4*(4c³ -3c - C) = (ac)³ - (3a²/4)(ac) - a³C/4
α=3a²/4, β=-a³C/4 となるように a, θを選ぶ
つまり
a = √(4α/3),
θ = ±arccos(-4β/a³)/3 + 2Nπ/3 {Nは任意整数}
このとき
0 = (ac)^3 -α(ac) +β より x=a*cosθ が解となる。
x^3 - 3x + 1 = 0 (α=3, β=1) の場合
a=2, θ=±2π/9 + 2πN/3 {Nは任意整数}
∴ x= 2cos(8π/9), 2cos(4π/9), 2cos(2π/9) が相異なる3解である。
その中で、 2cos(4π/9) だけが [0,1] に収まる 。
"昨日の問題" がどれか知らないがこんな感じで導出したのだろうか。
s_n := Σ[k=0,n] C[2k,k]
によって定める。
例えば、 s_0 = 1, s_1 = 3, s_2 = 9, s_3 = 29, s_4 = 99, s_5 = 351, …
s_n が素数となる n を小さい順に並べると、
1, 3, 12, 39, 90, …
である。
(1) s_n は常に奇数であることを示せ。
(2) n > 1 のとき、 s_n が素数ならば n は 3 の倍数となることを示せ。
(3) s_n が素数となる n は無数に存在するか？
元々が5.7リットルで1日で1リットル減り、その分を毎日補充するとしたら
何日後に初めのタレが総量の5%以下になりますか
なるほど。
1リットル減った時に1リットル補充すると考えてください。
n log(4.7/5.7)=log(0.05)
n=15.5296803515
16日後
ありがとうございます。
数学の知識がゼロで申し訳ないのですが
2つ目の式は何を求めているのでしょうか。
5(z-2)^2/(z^3-z^2+4z-4)
のやりかた、これであってますか？
https://imgur.com/gallery/NSuiGaN
どうもありがとうございました。
レスありがとうございます。
>422は>423の
https://i.imgur.com/YOjXlN7.png
のカマボコの断面様の面積を積分して体積として求めたので重積分になったのですが
π∫[t=0→1-sinθ]｛1-(1-t^2)｝dt
って何を積分しているのでしょうか？
一般に
ord_p((m+n)!/m!n!)=Σ(|_(m+n)/p^i_|-|_m/p^i_|-|_n/p^i_|)
(ここで|_x_|はxの整数部分)
だから、
2nCnにおけるpの指数は
「nをp進表示して2倍するときに繰り上がる回数」
だと分かる
例えばn≧1のとき、nを2進表示すると必ず1が存在するので、そこで繰り上がりが起こり2nCnの2の指数を持つ
つまりn≧1で2nCnは偶数である
よって(1)が分かる
同じように3進表示したとき2を持つnのとき、2nCnは3の倍数である
またnが0と1のみの3進表示を持つとき、2nCnを3で割った余りは階乗による定義を注意深く見るとこで
(3進表記でx…z0…0タイプの0部分は全て約分されることが分かっており、その約分後に有限体F_3上で考えて)
1～2nまでの中のx…y20…0タイプの個数の偶(resp.奇)数個で1(resp.-1)mod3となる
そしてこれはnを3進表記したときの1の個数の偶(resp.奇)と一致する
以上のことから
nを3進表記したとき
１つでも2が入ってるとき、2nCn=0 mod3
01のみで1が偶数個のとき、2nCn=1 mod3
01のみで1が奇数個のとき、2nCn=-1 mod3
これから累計であるs_nの3で割った余りを計算すると
nが3の倍数以外ではs_nが3で割れることが分かる
つまり(2)が分かる
(3)はすぐには分からなそう…
お椀を盃に変えて問題にしてみた。（解答は持ち得ていませんのであしからず）
半径１の球面を切り取って深さｈ（もしくは辺縁の半径a)の盃をつくる。
盃に酒を満たしたあと何度傾ければ半分の酒が残るか？
蒸発したり誰かが飲んだりはしないものとするｗ
https://i.imgur.com/b1r26CQ.jpg
タレ問題にヒントを得てこんなのを考えてみた。
原住民100人からなるある職場では平均して1年間に20人に一人が退職する。
一人の１年間の退職確率は1/20で退職は独立事象とする。
民族を問わず誰かが退職したら同じ人数を移民で補充する。
移民の１年間退職確率は1/10で独立事象とする。
職場の過半数が移民になるのは何年後か？
（自作問題でシミュレーション解しか持ち得ていませんのであしからず）
乱数発生させた（いわゆるモンテカルロシミュレーションの）結果
https://i.imgur.com/gGFctq2.png
傾き: θ での球中心から水面まで: t= sin( arcsin(1-h)+θ ) {負値の場合は中心が水没してると見なす}
水量: V(t) = π∫[x=t,1]dx (1-xx)
= π*( (1-t) - (1-t³)/3 )
= π*( t³/3 -t + 2/3 )
= π/3*( t³ -3t + 2 )
水量比: r {問の場合は r=1/2}
V(t) = r * V(1-h) を t について解く (tについての3次方程式)
β = 2 - ((1-h)³ -3(1-h) + 2)*r と置くと、 t³ -3t + β = 0
β=1 (h=1,r=1/2) (>>432) での連続性を考慮すると、t=2cos( -arccos(-β/2)/3 + 2π/3 ) が唯一解
∴ θ = arcsin(t) - arcsin(1-h)
= arcsin( 2cos(-arccos(-β/2)/3 + 2π/3) ) - arcsin(1-h)
r = 1/2 の場合は、-β/2 = -1/4*h³ +3/4*h² -1
θ = arcsin( 2cos(-arccos(-1/4*h³ +3/4*h² -1) /3 + 2π/3) ) - arcsin(1-h)
が厳密解となる。
>>442
θ傾けた半球型の丼鉢の水深がもっとも深い位置で1-sinθです。
もっとも深い地点t=0から水面1-sinθまで円の面積を足し集めたんだったと思います。
一回やってあれば、簡単に解ける問題ですが
やってないと絶対思いつきません。
ところがこの問題、テストでは見ましたが
問題集で見たことありません。
どこに載ってるんでしょうか？
>>449
早速のレスありがとうございます。
作図しながら解説を味わいます。
考えればわかるだろ
ってか間違ってねえか？それ
そのようなP,Q,Rの取り方を説明せよ。ただし本問において、辺は三角形の頂点を含まないものとする。
まさか1[rad]=π/180°の話がわからないってこと?
不細工な方法しか思い浮かばないなあ
AB、BC上に適当に2点を取ってその2点を頂点とする正三角形を描く（もう一つの頂点はCA側にとる）
もう一つの頂点を通りCAと平行な直線を引くと△ABCと相似な三角形が出来る
これを正三角形ごと拡大もしくは縮小すればOK
思考停止のプログラム解
(PQ-QR)^2+(PQ-PR)^2の値が最低値になるようなPQRを探索するプログラムを作って終了ｗ
https://i.imgur.com/wjIRHCa.png
単なる遊びです。
まさか本当に1[rad]=π/180°だと思い込んでるんじゃなかろうね？
5/(z^3 -z^2 +4z -4) = 5/{(z-1)(zz+4)}
= {(zz+4) - (z+1)(z-1)}/{(z-1)(zz+4)}
= 1/(z-1) - (z+1)/(zz+4),
と
1/(zz+4) = (i/4){1/(z+2i)-1/(z-2i)},
を利用する。
> nを3進表記したとき
> １つでも2が入ってるとき、2nCn=0 mod3
> 01のみで1が偶数個のとき、2nCn=1 mod3
> 01のみで1が奇数個のとき、2nCn=-1 mod3
これはもっと一般化できるのか
n,mをp進表記して
n=Σ(n_i)p^i (0≦n_i≦p-1)
m=Σ(m_i)p^i (0≦m_i≦p-1)
としたとき
∃i (n_i)+(m_i)≧p ならば(n+m)!/n!m!≡0 mod p
そうでないとき
(n+m)!/n!m!≡Π((n_i)+(m_i))!/(n_i)!(m_i)! mod p
つまり二項係数のmod pは(p-1)次以下の二項係数のmod pで決定できる
0≦n_i,m_i≦p-1かつ(n_i)+(m_i)≧pのとき
((n_i)+(m_i))!/(n_i)!(m_i)!≡0 mod p
を既知とするなら
(n+m)!/n!m!≡Π((n_i)+(m_i))!/(n_i)!(m_i)! mod p
の一式だけでも十分か
(x+y)^(p^i)≡x^(p^i)+y^(p^i) mod pより
(x+y)^(n+m)=(x+y)^(Σ(n_i+m_i)p^i)
≡Π(x^(p^i)+y^(p^i))^(n_i+m_i) mod p
左辺の(x^n)(y^m)の係数は(n+m)!/n!m!で
右辺で考えた場合、p進表示の一意性から
各iパートで(x^(p_i))^(n_i)(y^(p_i))^(m_i)の係数を拾ってこなけらばならないことから分かる
>>444
杯を酒で満たしたとき酒の量は、
π∫[0→h]｛1-(1-t)^2｝dt=π∫[0→h](2t-t^2)dt=π[t^2-t^3/3](t=h)=(h^2-h^3/3)π
θ傾けた残り酒の深さをkとすると、(k^2-k^3/3)π=(h^2/2-h^3/6)π
6k^2-2k^3=3h^2-h^3
h^3-3h^2+6k^2-2k^3=0
図からピタゴラスの定理よりa=√(2h-h^2)
(1-k)/cosθ-(1-h)=atanθ
k=1-cosθ+hcosθ-asinθ
kとhの式に代入すると、
h^3-3h^2+6(1-cosθ+hcosθ-asinθ)^2-2(1-cosθ+hcosθ-asinθ)^3=0
hの三次方程式が0＜h＜1/3ぐらいの実数解を持ち、
kがh/2＜k＜hの範囲にあるんじゃないかと考えている。
y=8x^3-1
z=8y^3-1
x=8z^3-1
｛ 1-cos(x^2+y^2)｝/x^4+y^4
どなたかお願いします。
=(x^2+y^2)^2/(x^4+y^4)/2 + O((x^2+y^2)^4)/(x^4+y^4)
=1/2 + x^2y^2/(x^4+y^4) +O(～)
→indeterminate
https://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+y%3D8x%5E3-1%2Cz%3D8y%5E3-1%2C+x%3D8z%5E3-1&;lang=ja
この手の極限は極座標変換して考えるのが定石かな
これwolfram大先生はx=y=zのときの解を出してるようだけど、xの27次式としてみたとき他のいくつかの解はyzが異なる値になる解が出たりしないの？
https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3D8x%5E3-1%2C+z%3D8y%5E3-1%2C+x%3D8z%5E3-1
wolfram大先生、大変失礼しました
表示を増やすタップすると全部ありました
y=-x^2+2
z=-y^2+2
x=-z^2+2
とかか
x=y=zととして考えるとx=y=z=1かx=y=z=-2
か出てこないけど、隠れた実解が他に存在してる
答えて頂きありがとうございます
極座標で上手くいかなかったのです
y = f(x)
z = f(y)
x = f(z)
ならば x = f(f(f(x))) の解が連立方程式の解の候補になるね
このとき、 x = f(x) の解は必ず連立方程式の解になっていて、
x = f(x) ⇒ x = y ⇒ y = f(y)
だから x = y なら自動的に x = y = z になる
>>463の場合は f(x) = 8x^3 - 1 で x = f(f(f(x))) の実数解が唯一つだから
x = y = z となる解が x = f(x) の実数解として唯一つに定まる
訂正
>だから x = y なら自動的に x = y = z になる
↓
だから自動的に x = y = z になる
え？
極座標変換すれば一変数の極限に帰着される（もちろん極限値は存在しない）と思うけど
どの辺が上手くいかなかったんだ？
変換すると
(sin(r^2/2)/(r^2/2))^2 × 2/(3+cos4θ)
みたいになるはず
だからr→0のとき2/(3+cos4θ)の不定性が残る
途中、式変形で
(cosθ)^4+(sinθ)^4
=((cosθ)^2+(sinθ)^2)^2-2(cosθsinθ)^2
=1-(sin2θ)^2/2=1-(1-cos4θ)/4=(3+cos4θ)/4
とかを使う
親切に見せかけて意地悪でワロタ
ありがとうございます
この不定性が残ると極限値は存在しないということですか？
θが消えていれば極限値を求められるという認識で合っているでしょうか
レスありがとうございます。
Wolfram先生にお願いしたら
標準の計算時間制限を超えました...
と返ってきました。
[x]はx以下の最大の整数
[[x]]はx以上の最小の整数
logは自然対数とする
n≧2のとき、次は常に成り立ちますか？
[2^(1+1/n)/(2^(1/n)-1)]=[[2n/log2]]
今月のはやめとけ
nは2以上の自然数とします
数学は自由です
t=x^2+y^2とおいて
(1-cos(x^2+y^2))/(x^4+y^4)
=(1-cost)/t^2 * 1/(1-2(xy/t)^2)
と変形した後に
(1-cost)/t^2と1/(1-2(xy/t)^2)の極限別々に求めれば良いんでないの
ここからなら極座標変換楽でしょ(x=rcosθ, y=rsinθ, t=r^2)
数学の世界を盛り上げようとがんばってる人の足引っ張ったらあかん
よくわからないです
>447
> h=1/2
>
> θ=asin(2*cos(-acos(-1/4*h^3 +3/4*h^2 -1) /3 + 2*pi/3) ) - asin(1-h)
> θ*180/pi
[1] 11.07564
>462
> h=1/2
> f <- function(θ) h^3-3*h^2+6*(1-cos(θ)+h*cos(θ)-asin(θ))^2-2*(1-cos(θ)+h*cos(θ)-asin(θ))^3
> fi=Vectorize(f)
> θi=uniroot(fi,c(0,pi/6))$root
> θi*180/pi
[1] 9.336245
微妙に違うな。
となる解は
z = 8z^3 -1,
の解で、カルダノの公式より
p + q = 0.5826865215312
pω + qω',
pω' + qω
と求まる。ここに
p = (√54 - √53)^(1/3) /(2√6) = 0.0834629372
q = (√54 + √53)^(1/3) /(2√6) = 0.4992235843
ここでヒントになるような情報が出てしまったらキャンペーンに水さすやろ？
せっかく自力で正解にたどり着いた人の努力が水の泡になるやろ？
x,y,z ≦2,
x = -2cos ξ,
y = -2cos η,
z = -2cos ζ,
とおくと、与式より
cos η = cos(2ξ),
cos ζ = cos(2η),
cos ξ = cos(2ζ),
∴ cos(8ξ) = cos ξ = cos(-ξ),
∴ 9ξ = 2nπ,
-2 cos(2π/9) = -1.532088886
-2 cos(4π/9) = -0.347296355
-2 cos(8π/9) = 1.879385242
期待値を E[X1] = μ として、分散を V(X1) = σ2 と
する
Sn = X1 + X2 + ··· + Xn とする
このとき、Sn の期待値と分散を求めよ
意地悪だなあ
普通に直接 x = rcos(θ), y = rsin(θ) と極座標変換すれば
(1 - cos(x^2 + y^2)) / (x^4 + y^4) = (1 - cos(r^2)) / (r^4(cos^4(θ) + sin^4(θ)))
で
lim_[r→0] (1 - cos(r^2)) / r^4 = 1/2
より極限は θ によって変わるので極限値は存在しない（例えば、 θ = 0, π/4 などとせよ）
で十分なのに
もし
lim_[r→0] (1 - cos(r^2)) / r^4 = 1/2
がわからないならそれは一変数の極限値の問題だからまた別の問題だし
nμとn*σ2 だけど、ここで質問文をタイプするより
期待値・分散の定義付近を教科書で見るほうが早いような気もする…
数学苦手なものです。
来週テストがあるのですが、テストに向けての練習問題が、お恥ずかしいのですが、分かりません。
コロナの関係で大学にもまだいけておらず、数学を聞ける人もいないので、今から記述する問題を、
途中式と解説も含めて、回答していただける方いますか？
教えてもらえたら幸いです
* 使用言語 : PARI/GP
* intnum(x=a, b, f(x) ) : 関数 f をx=aから b まで 数値積分
h=1/2;
t=asin(2*cos(-acos(-1/4*h^3 +3/4*h^2 -1) /3 + 2*Pi/3) ) - asin(1-h);
t*180/Pi
= 11.075638328194143852976248413099107351
intnum(x=sin(asin(1-h)+t),1, 1-x*x) / intnum(x=1-h, 1, 1-x*x)
= 0.50000000000000000000000000000000000001
h=1.0;
t=asin(2*cos(-acos(-1/4*h^3 +3/4*h^2 -1) /3 + 2*Pi/3) ) - asin(1-h);
t*180/Pi
= 20.322037016506141867920614451404025971
intnum(x=sin(asin(1-h)+t),1, 1-x*x) / intnum(x=1-h, 1, 1-x*x)
= 0.50000000000000000000000000000000000001
h=2.0;
t=asin(2*cos(-acos(-1/4*h^3 +3/4*h^2 -1) /3 + 2*Pi/3) ) - asin(1-h);
t*180/Pi
= 90.000000000000000000000000000000000000
intnum(x=sin(asin(1-h)+t),1, 1-x*x) / intnum(x=1-h, 1, 1-x*x)
= 0.50000000000000000000000000000000000001
この場合、上に無限小の穴を開けた球面盃(壺)になるので
計算せずとも t=90 [deg] になるのは明らか。
もしわかる方いたら、解説と途中式も含めてお願いいたします
１ 次の計算をしなさい。（分母は有理化し、約分できる場合は必ず行うこと）
① 3√2 -√98分の14
② －8分の７× 4 － 1.8 ÷ (－3分の2) ③ －(－3)
3 + 12 ÷ (－2)
2
〔 〕 〔 〕 〔 〕
２ 次の量を〔 〕内の単位で表しなさい。 ３ 循環小数 ０．３
̇ を分数で表しなさい。
０．６ｇ〔ｍｇ〕 （計算方法）
〔 〕ｍｇ 〔 〕
６ 次の〔 〕内に入る数を求めなさい。
① 〔 〕円の５％Off は６４６円である。 ② ３％の食塩水３００ｇには〔 〕ｇの食塩が
とけている。
７ ４０分間に１２ｋｍ走るランナーは、１時間３０分で何ｋｍ走れるか。解き方を示して、答えなさい。
（解き方）
〔 〕ｋｍ
番号 氏 名
８ １１％の食塩水と１７％の食塩水を混ぜ合わせて、１２％の食塩水を６００ｇ作りたい。１１％の食塩水は
何ｇ混ぜればよいか。
（解き方）
〔 〕ｇ
９ 仕入れ値２５００円の商品に、３０％の利益を見込んで定価をつけたが、売れなかったので定価の2割引きで売っ
た。利益はいくらか。
（解き方）
〔 〕円
10 秒速３０ｍで走る長さ３６０ｍの急行列車が、秒速２０ｍで走る長さ４４０ｍの貨物列車に追いついてから追い
抜くまでに何秒かかるか？
（解き方）
〔 〕秒
11 ３６Km 離れた２地点を船で往復した。上りにかかった時間が４時間、下りにかかった時間が３時間だった。
このとき川の流れの速さを求めよ。
（解き方）
〔 〕km/h
12 PとQの二人が、１週１２Km のサイクリングコースを自転車で走る。Pは時速２１Km、Qは時速１２Km で
走行する。Q が走り始めてから１５分後に、Pが同じ方向に走り始めた。PがQに追いつくのは、Pが走り始め
てから何分後か？
（解き方）
〔 〕分後
誰か教えて
丸投げw
運営にアクセス禁止の通報しておくわ
Hom_Z(Q,Q) ≡ Q
via
f → f(1)
r→0 のとき θ = rr/2 →0 で
{1-cos(rr)} / r^4 = 2{sin(rr/2)/rr}^2
= (1/2)(sinθ /θ)^2
→ 1/2. (θ→0)
気分を害してしまったのならごめんなさい
多分>>389と同一人物だと思うけど>>391と同様に考えればわかる
Q の自己同型は f(1) の値によって完全に決定されることがポイント
あとは自力でどうぞ
自力で考えた形跡が一切なく、しかも問題文は丸々コピペときたもんだ
これを丸投げと言わずになんと言うのか
丸投げだと思うなら、それで結構です。
自分はお答えしていただける方を対象に話しているので。
先ほども言っている通り、丸投げに見えると気分を害したのならすみません。
かかわらないでいただいて結構です。
荒らし。
色々と考えてみます。他人を当てにしてたわ。スマソ
m=7の場合は8x^3-6x+1=0が該当しますし、m=9の場合はスレにあった問題がそうです
たとえばm=11の場合はあるのでしょうか。ただしm=12等々は立方根を使う必要がない（1/2=(1/8)^(1/3)=cos(4π/12)）とみなします
mに上限があるのかご教示ください。
丸投げって云うんだから砲丸投げのことだろうけど。
もしかして円盤投げのこと？
たぶん11はない気がするが ただそうおもっただけ、例外的が正しいとして
>462
>>463
x=y=zより、x=8x^3-1
8x^3-x-1=0
f(x)=8x^3-x-1とおくと、
f'(x)=24x^2-1=0
x=-1/2√6のときf(x)は極大値f(-1/2√6)=-8/48√6+1/2√6-1=-1/6√6+1/2√6-1=1/3√6-1
x=1/2√6のときf(x)は極小値f(1/2√6)=8/48√6-1/2√6-1=-1/3√6-1
芸人に恥をかかせたらアカンｗ
これが溶けない裏口シリツ医は沢山いそう。
>>463
x=y=zより、x=8x^3-1
8x^3-x-1=0
f(x)=8x^3-x-1とおくと、
f'(x)=24x^2-1=0
x=1/2√6のときf(x)は極小値f(1/2√6)=1/6√6-1/2√6-1=-1/3√6-1
f(1/2)=-1/2
f(0.55)=-0.2212
f(0.6)=0.128
f(x)=0の解は0.55＜x＜0.6
x=0.57……ぐらいで探す。
便宜上、人間が発明した数だ。
だから、数学や物理の世界でよく見かけるのも納得できる。
・ネイピア数 e ← こいつはオイラーが発見した数だが、
けっして発明された訳ではない。
それなのに、数学や物理の世界でスキあらば登場するって何なの？
造物主が宇宙の法則を作ったんか？
例えば、素数定理
n^2 から (n+1)^2 の間の素数の数 x について
x = n / ln (n) に漸近する
↑ 素数の分布の話をしてるのに、
何で e とかいう数字が出てくるんや？スキあらば登場しよる。
ワイングラスの曲線が正弦波 y=sin(x) のときに何度傾ければ半分のワインが残るか？
https://i.imgur.com/sq3AWZr.png
なんで出てくるのかは導出の過程を知ればわかること。
「証明を見ずに結論だけを見る」からそんな変な疑問をもつことになる。
自ら理解を放棄しておいて、疑問があるんだ！ってのは意味が分からん。
>>463
x=0.58268652……
もうちょっとなんだがな。
どっちも発見して発明しているけど
私は物理ですが
俺は接客業
問題は変えてますし、数学はひとつながりですからヒントがどうこう言い出したら数学何も出来ないです
それに水をさすや努力が水の泡といった言葉で自由さを奪うのならそのキャンペーンは自分には理解できないものですね
そもそも5chやSNSは情報の海です
もう1回発見してみせろ、
いま、おれの目の前で。
任意の自然数kに対し、b[k]≦b[k+1]が成り立つかどうか述べよ。
俺は接客はしない。顔バレしたくないから。
Wolfram先生によると
1/4 (1/3 (108 - 6 sqrt(318))^(1/3) + (2 (18 + sqrt(318)))^(1/3)/3^(2/3))
0.582686521531207358478179217258899041271443659410024306672...
今やネット上だとこういうのも可能らしいね。
https://www.appps.jp/334075/
a[n]は単調増加だからb[k]＞b[k+1]となるkは存在しない。
したがって任意の自然数kに対しb[k]≦b[k+1]が成り立つ。
>>463
x=0.582686521531207
だれかに神輿担いでもらおうとか気持ちわるい輩が増えたな。
そんな暇あったら数学しろ。
目の前の1問を解きほぐしてみろ。
>>463
x=0.582686521531207
だれかに神輿担いでもらおうとか気持ちわるい輩が増えたな。
そんな暇あったら数学しろ。
目の前の1問を解きほぐしてみろ。
それがホントに面白い問題なら何故一月待てん？
自分に勘違いがなければ元の問題と>>485はかなり違う種類の問題になっていると思います
自分は元の問題よりこっちの方が気になったので書きました
式の形に惑わされないで曲線自体を対象にするような分野ってありますか？
代数幾何とか？
C[x,y]/(xy=1)とC[x,y]/(x^2-y^2=1)は同型な環になって
この環自体を調べて元の双曲線を調べる、みたいなこと代数幾何ではやるんじゃないのかな
自分はよく知らないけど
座標系を上手くとることで計算が楽になるってのは数学の至るところである話
積分でもそういう理由で変数変換したりする
たとえばb[100]=2.7182815、b[101]=2.718282
（e=2.71828182...）
みたいな可能性はないですか
つまり桁数は減っているけど、eには近づいているという
一応、8ξ=ξの方も解くと
(-2cos(2π/7), -2cos(4π/7), -2cos(8π/7))
の組もあり
これらと1,-2,-2cos(2π/9),-2cos(4π/9),-2cos(8π/9)
を合わせた8個が
問題の8次式の解になりますね
b[n]は桁数やで？すべて自然数nについてb[n]=1なんだから、そんなこと起こるはずがないやろ。
もしかして>>537の桁数っていうのは小数点以下の桁数のことか？そういうことならb[3]の時点で無限大に吹っ切れてるだろ。
nの素因数が2と5のみのときだけ小数点以下の桁数は有限で、それ以外は無限や。当然「任意の自然数kに対し、b[k]≦b[k+1]」など成り立つはずもない。
Aが零行列のとき無理じゃないか？
(6n+1)型の素数pをとって
Q→K→Q[cos(2π/p)]→Q[ζ_p]
Z/(p-1)Z⊃Z/((p-1)/3)Z⊃Z/((p-1)/3n)Z=Z/2Z⊃{0}
となるような3次拡大Kの最小多項式f(x)を考えれば
これの根にcos(2πk/p)たちが現れそう
例えばp=13のとき
f(x)=x^3+x^2-4x+1
の根は
2(cos(2π/13)-cos(3π/13))
2(cos(4π/13)+cos(3π/13))
2(cos(8π/13)+cos(12π/13))
と書ける
というかdetAdetB=detAB=1+εだから
detA=0ならε=-1のときしか無理だな
cosは一個のみでしょ
いくらでも出てきていいのは難しいけど
一個のみの解ありなしはわりと簡単そうだが
cosの多項式と書いてあった
それならn=18が最大だろうな
Q[cos(2kπ/n)](kとnは互いに素)のQ上の拡大次数dは
n=Π(p_i)^(k_i)のときd=φ(n)/2=1/2Π(p_i)^(k_i-1)(p_i-1)
これが3になるのはn=7,9,18のみで、
nが3より大きい倍数のときは中間体を考えると方程式解に必ず他のcosが混ざることがわかるから
さすが大先生！
新型コロナ感染防止にdoggy styleを推奨されていらっしゃるｗ
1ラジアン＝180度／π でした。
この問題、いまだに学校のテスト以外で見たことない。
誤
2(cos(2π/13)-cos(3π/13))
2(cos(4π/13)+cos(3π/13))
2(cos(8π/13)+cos(12π/13))
正
2(cos(2π/13)-cos(3π/13))
2(cos(4π/13)+cos(6π/13))
2(cos(8π/13)+cos(12π/13))
そりゃ「直角三角形ABCにおいてsinA=BC/ACであることを示せ」みたいな問題が出されても困るだろうに
>>450はこれと同レベル、要は定義を確認するだけであってこれがわからないのはラジアンが何かを知らないだけ
もちろんわざわざ問題として教科書や参考書に載せる程のことではない(というか導入のところに書いてあるよね)
lim f(n) = lim g(n) = +∞, lim f(n)/g(n) = 0とする。
このとき、lim (f(n))^a/(g(n))^b = 0が成り立つことを示せ。ただし、a, bは正の実数とする。
反例
f(n)=n、g(n)=n^2、a=2、b=1
正弦曲線だと変曲点があったりするから、傾けたときに残るワインの量を計算するのは大変そう。
円錐のグラスにすればよかったな。
俺には計算できないけど、作図くらいはできた。
興味ある人はよろしく。
https://i.imgur.com/s6comA3.png
https://imgur.com/6fLZEoa.jpg
eg m=18,19,26,27,‥‥
>>566傾けすぎだよ。
水面は変曲点より上にあるだろう。
ティーカップとかと違って水面が底面に接するんだよね。
それはそうとティーカップって口が広くて倒れやすいよね。
倒れるまでいかなくてもさ、こぼれるよ。
デート中にワイングラス倒してティーカップ倒して、3度目はないよ。
50代になりゃあるかもしれないけど。
http://imepic.jp/20200723/458270
こういうのはちょっと考えれば間違いだとわかりそうなものだが
ひっかけ問題のつもりなのか？
(i) a[n] の和がコーシーの条件を満たすことから |f(x)| の広義積分もコーシーの条件を満たすことを示せばよい。
(ii) b[n] の和がコーシーの条件を満たすことから f(x) の広義積分もコーシーの条件を満たすことを示せばよい。
整数とのずれを評価するときに f(x) → 0 (x → ∞) の仮定を使う。
>>571唐揚げ食べ放題？
なるほどね。問題の題と掛けたわけね。
導出した解が一般解であることの十分性を確認するように座標系の選び方に依らないことをその後に行うべきなのは指導原理なのかもしれない。
何を計算すれば良いのかのメモ
■連立方程式 [ t∈(Pi/2, Pi) ]
・y = cos(x)
・y-cos(t) = -sin(t)*(x-t)
解: (x,y) = (a, cos(a)) {←数値計算(ソルバー)}
■欠け有り領域 (y∈[cos(t), cos(a)])
・∫dx xx/√(1-xx) = ∫dx { 1/√(1-xx) + (xx-1)/√(1-xx) }
= asin(x) -∫dx √(1-xx)
・∫dx √(1-xx) = x.√(1-xx) + ∫dx xx/√(1-xx)
= x.√(1-xx) +asin(x) -∫dx √(1-xx)
= 1/2* ( x.√(1-xx) + asin(x) ) := fun1(x)
・欠け円盤: S = 2 ∫[x=q,R]dx √(RR-xx)
=2R^2 ∫[s=q/R,1]dx √(1-ss) = 2R^2* ( fun1(1) - fun1(q/R) )= 2R^2* ( Pi/4 - fun1(q/R) )
・R=acos(y), q=....
・体積V1 = ∫[y=cos(t), cos(a)]dy S {←数値積分}
■欠け無し領域 (y∈[cos(a), +1]) (a<0 の場合のみ)
・∫dy acosy^2
= y.acosy^2 +2∫dy y/√(1-yy)*acosy
= y.acosy^2 -2√(1-yy)*acosy -2∫dy 1
= y.acosy^2 -2√(1-yy)*acosy -2y := fun2(y) / Pi
・体積V2 = fun2(1)- fun2(cos(a)) = -2*Pi - fun2(cos(a))
参考(作図アプリ:Geogebra)
https://i.imgur.com/y8RExNH.gif
それをプログラム化した。 (言語:PARI/GP)
fun1(x) = if(x*x<=1, 1/2*(x*sqrt(1-x*x) + asin(x)), 0.);
fun2(x) = if(x*x<=1, Pi*( x*acos(x)^2 -2*sqrt(1-x*x)*acos(x)-2*x ), 0.);
wine(t) = {
my(a,m,v1,v2);
a = solve(x=-Pi,t-0.0001, cos(x)-cos(t)+sin(t)*(x-t));
m = (a-t)/(cos(a)-cos(t));
v = intnum(y=cos(t), cos(a),
R=acos(y); q=m*(y-cos(t))+t;
2*R^2*(Pi/4 - fun1(q/R)) );
if(a<0, v+= -2*Pi-fun2(cos(a)));
v };
wine_full = -2*Pi-fun2(-1);
t0 = solve( t=Pi/2+0.001, Pi-0.001, wine(t)- 0.5*wine_full );
atan(sin(t0)) *180/Pi
= 9.5126567320359461794301332824985679944
よって θ≒9.5 [deg] 傾ければ良い。
神が君臨された。
ありがとうございます。
変曲点はあるし、それを超えたら極大値があるし
とても自分には計算できないの諦めておりました。
wine_full = -2*Pi-fun2(-1)
= 18.439906065940647221625741533983383665
t0 = solve(t=Pi/2+0.001, Pi-0.001, wine(t)- 0.5*wine_full)
= 2.9732286551550201110170539587052710313
wine(t0)
= 9.2199530329703236108128707669916918325
wine(t0) / wine_full
= 0.49999999999999999999999999999999999999
参考: https://i.imgur.com/tWdgzem.png
自分で解決しました
（1+x）^a=1+ax+｛a（a-1）/2！｝x^2....
を使うのはわかるんだけど、どうやってaとxを求めればいいのかがわかんない
誰か教えてください
a=1/2, x=1/36
最後に6倍
6^2-(1√37)^2=-1
だからペル方程式使って
(6-√37)^3=882-145√37
882^2-(145√37)^2=-1
を得る
√37=(√(1+882^2))/145=882/145√(1+1/882^2)
最後の√の中の1/882^2をxとしてテイラー展開使うとか？
すみません、アホなんで途中の式も欲しいです
作図ありがとうございます。
1/2残るときにはワイングラスの辺縁までワインがあるのですね。
傾けすぎると>566みたいに辺縁からこぼれおちちゃいますね。
すいません。まだ分からないので、もう少し詳しくお願いいたします。
x=1/882^2は約1/80万(10^(-6)オーダー)
x^2=1/882^4は約1/6千億(10^(-12)オーダー)
テイラー展開の最初らへんの係数は高々10^2以下だから
小数第6位まで求めたければxの項まででよい
√37=882/145√(1+1/882^2)= 882/145(1+1/2×1/882^2+…)
=882/145+1/(2×145×882)+(誤差部10^(-10)以下)
ん？
>>573が証明の方針を与えていると思うが
何がわからないのかわからないと説明しようがない
級数におけるコーシーの条件と広義積分におけるコーシーの条件は？
>>571の級数におけるコーシーの条件を積分の形で書けばほとんど明らかだと思う
>>585
2.97322……という数値からして端まで行くよりも手前でワインは途切れるということだと思う。三角関数なんだから当たり前だけど。
どこまで覚えさせる？
●九九 … 20+個
・1,2,5 の段は直感で答えられるだろうから覚える必要なし。
・対称性（かける順番を入れ替えられる） から半分は省略できる。
覚える必要があるのは、実質 22個ほど
●平方の表
11^2 ～ 29^2 … 19個
・ピタゴラス数 の 29の組まで
●立方の表
1^3 ～ 12^3 … 12個
・タクシー数の2番まで
●素数
2 から 199 まで … 50個足らず
191,193,197,199 と4連続のチェイン！ が
発生してキリが良いから
以下の命題が真であるかを調べよ。
【命題】
「どのような自然数mについても、mの値により定まるある自然数の定数N[m]が存在して、N[m]以上の全ての自然数nに対しS[n]は合成数となる。」
1/2のときでも辺縁からはこぼれてる
辺縁に近すぎて見えないだけ
接線を考えれば明らか
どうやって解決したか書いてけよ！
問題のmに対するS[n]をS[n,m]と書くことにする
(k+1)^(m+1)-k^(m+1)=(m+1)k^m+(kの1次から(m-1)次のZ係数多項式)+1
の両辺の和をk=1～nまでとると
(n+1)^m-1=(m+1)S[n,m]+(S[n,1]～S[n,m-1]たちのZ係数線形和)+n
S[n,m]=(S[n,1]～S[n,m-1]たちのQ係数線形和)+n(n+1)×(nのQ係数多項式)
これから帰納的に任意のm≧1でS[n,m]がn(n+1)で割り切れるnのQ係数多項式でかけることがわかる
固定したmに対して多項式S[n,m]の係数に現れる分母は有限個
それらの積N[m]よりも大きいnではnと(n+1)の部分に分母で割り切られない素因数が残り、合成数となる
よって命題は真
やはりそうですよね。半球や放物線回転体なら漏れないので計算はできましたが、そこの計算がわからなくて諦めました。
19×19までの九九
俺は下ネタ語呂合わせで覚えたけどｗ
というか各段階で分母に(m+1)が追加されるから
S[n,m]の分母は最大でも(m+1)!
だから具体的にN[m]=(m+1)!+1とすればいいか
そもそもなんだけど、ペル方程式は
x^2 -（dy）^2=1じゃないの？
x^2-（dy）^2=-1でやる理由も教えてください
ごめん、訂正
なんでもなかったわ
〔補題〕
3つの単位ヴェクトルの和が ↑ｏ のとき、それらは互いに120°をなす。
上の2式から
(x,y) (x,y-b) (x-X, y-Y) は互いに120°をなす。
点(x,y) から見ると (0,0) (0,b) (X,Y) は120° 離れている。
下の2式から
(X-a,Y) (X-a,Y-b) (X-x,Y-y) も互いに120°をなす。
点(X,Y) から見ると (a,0) (a,b) (x,y) は120°離れている。
■ペル方程式による近似
n=37, xx - yyn = ±1
この最小解は簡単に見つかる。
[x,y]=[6,1] {6*6-1*1*37 = -1}
(Xx+Yyn)^2 - (Xy+Yx)^2 n
= (XX-YYn)xx + (YYnn -XXn)yy = (XX-YYn)(xx-nyy) {= ±1 ←(X,Y), (x,y)が解の時}
つまり解が1つ2つあれば新しい解が生成可能である。
特に [x,y]=[xx+yyn, 2xy] で生成していけば常に xx - yyn = +1 の解が得られる。
xx - yyn = (x-y√n)(x+y√n) = +1 ∴ x/y ＞ √n
x/y-√n = 1/(y*(x+y√n)) < 1/(2yy√n) < 1/12yy {∵ √n = √37 ＞ 6}
よって x/y は √n の良い近似となっている。
1/(2xy)^2 < 1/(yy)^2 < 1/yy
ペル近似の精度(桁数)は 倍々増加のオーダー+α で伸びる事が分かる。
x/y= 6/1
x/y= 73/12 ( 1/12yy < 1/(10*10*10) < 10^{-3} )
x/y= 10657/1752 ( 1/12yy < 1/(10*1000*1000) < 10^{-7} )
x/y= 227143297/37342128 ( 1/12yy < 1/(12*3*10^{-7}*3*10^{-7}) < 10^{-16} )
x/y= 10657/1752 = 6.082 762 55 ...
誤差が 10^{-7} "未満" なので第7位に繰り下がり(5→4)の不定性がある。 (x/y ＞ √n)
しかし第6位までは確定した。 √37 = 6.082 762... が求める答えだと分かる。
■テイラー展開による近似
√37 = √(36 + 1) = 6 * (1 + 1/36)^{1/2}
= 6 * ( 1 + 1/2*t - 1/8*t^2 + 1/16*t^3 - 5/128*t^4 + 7/256*t^5 ... ) {t=1/36と置いた}
テイラー展開による近似精度(桁数)は 一定増加オーダー+α で伸びる。 つまり効率が悪い。
xx - yyn = +1 の時
√n = √( (xx - 1)/yy ) = x/y* (1-1/xx)^{1/2} ≒ x/y* (1- 1/2xx) = (2xx-1)/2xy
2xx-1 = (1+yyn)+xx -1 = xx+yyn
つまりペル近似を1段進める事と、テイラー展開1次項まで採用する事は、同じ効果を持つ。
(しかし展開2次項を取り入れても ペル近似にはならない)
題意より
↑c = -↑a -↑b,
二乗して
|c|^2 = |a|^2 + |b|^2 + 2|a||b|cosθ,
ここで θ = ∠AOB
ところで |a|=|b|=|c|=1 だったから
cosθ = -1/2,
θ = ±120° (終)
ペル方程式とテイラー展開それぞれ別で計算してペル方程式の方がいいよね、って話か
てっきり混合ワザで早く収束させる話かと思った
人が来るのを待ち始めてから5分(1/12時間)という時刻だけ待つ確率を求めよ
この問題の積分区間がわからないんですが、わかる方いますか？
ピッタリ5分ならもちろん0ですな
nを十分大きいとして、
n
ΣXkの標準化が0～1となる確率(近似値)を求めよ
k=1
まず、標準化のやり方もわからないのですが、手順を教えてくれませんか？
5分以上待つ確率は
> pexp(1/12,5,lower.tail = FALSE)
[1] 0.6592406
5分以内の確率は
> pexp(1/12,5)
[1] 0.3407594
指数分布の確率密度関数をpdfとして
> pdf <- function(x,λ=5) λ*exp(-λ*x)
5分以上待つ確率
> integrate(pdf,1/12,Inf)$value
[1] 0.6592406
待ち時間が5分以内の確率
> integrate(pdf,0,1/12)$value
[1] 0.3407594
３０分待ったが客は０だったとして、その後５分以内に客がくる確率はいくらか？
色々見たけどよくわかんなかったわ
もしくはわかりやすい説明が載ってるサイトがあったら教えてくれ
丸太じゃない方のLog
この式の導出過程が知りたいです
>>528
y=sinx
y'=cosx
点(a,sina)における接線y=xcosa-acosa+sinaは、
y軸と点(0,sina-acosa)で交わり、おそらく3π/2＜x＜πでx軸と交わるときワインは半分こぼれる。
接線の傾きは｛sina-(sina-acosa)｝/a=cosa
何度かは90°引いて鋭角で答えていいと思うんやが、
やっぱり積分せないかんのか。
こんなシンプルな立体だれかがやってると思うんやが。
|t| > 1 ならガンマ関数の関数等式 Γ(z+1) = zΓ(z) と二項級数を使えば何とかなりそう
f(x) := (1-x)^(r-1/2)
{d/dx}^m f(x)
= (r-1/2)(r-1/2 -1)...(r-1/2 -(m-1)) * (-1)^m * (1-x)^(r-1/2 -m)
= (m-1 +1/2 -r)...(1/2 -r) * (1-x)^(r-1/2 -m)
= Γ(m+1/2 -r)/Γ(1/2 -r) * (1-x)^(r-1/2 -m)
よって テーラー展開 により
|x|＜1 の時
f(x) = Σ[m=0,∞] 1/m!* Γ(m+1/2 -r)/Γ(1/2 -r) * x^m
|t|＞1 の時
(tt-1)^(r-1/2) = t^(2r-1) * (1-1/tt)^(r-1/2) = t^(r-1/2) * f(1/tt)
= Σ[m=0,∞] 1/m!* Γ(m+1/2 -r)/Γ(1/2 -r) * t^(2r-1 -2m)
無量大数 (10^68)
(注)
これぐらいの大きさになると、
大数の法則がほぼ完全に成り立つ
ってワケでもねゑが････
ウィキペディアで充分だろ
その前に確率の勉強だ
どういう法則なのか全然分かりません。。
12,21,35,58,91,139,204,290,400,539,709,914,1158,1446,1780,2166,2607,3108,3674,4308,…,an,…
単純な階差数列というわけではないようですが、
anは求められるのでしょうか。
あえて増加量が規則的にならないように決めている可能性もある
直前の経験値からの増加量の下限と上限を決めておいて、
その間の乱数を使って増やすとかね
高々有限列ならあらかじめ全部計算しておけばいいし
お願いします
ストーンの定理を使うことはわかるのですがどう適用したらいいか
返信遅くなりすいません。
当方かなり数学が苦手で、ヒントをもとに考えてみましたが、やり方がいまいち分からず、解けませんでした。お手数おかけしますが、途中式を書いてもらえないでしょうか？
>>528
ワインの水面の端がx=t(π/2＜t＜3π/2)のとき水面y=sintの面積はπ(3π-t)^2
ワイン満杯V=∫[t=-1→1]π(3π/2-t)^2dt
=π[9π^2t/4-3πt^2/2t^3/3](π/2→3π/2)
=(9π^3/8-27π^3/8+27π^3/8-π^3/24+3π^3/8-9π^3/16)π
=(54-2+18-27)π^4/48
=43π^4/48
ワイングラスをθ°左に傾けたとき半分こぼれて半分残ったとすると、
残ったワインV/2=43π^4/96
ワインの左端(s,sins)
ワインの水面y=(x-s)coss+sins
ワインの水面と軸との交点(u,0)
ワインの右端(v,sinv)
欠円を足し集めるんじゃないかと――。
ありがとうございます。
たしかに規則的でない可能性もありますね。式が一つでない可能性もありますしね。。
ただ、レベルが何千とか何万の桁まであって、経験値が何万とか何億とかのけたまであるので、
ある程度式に当てはめた方が労力も少なくなるとは思うので何か法則があるのかなと考えていました。
中華製のブラウザゲームなので何考えてるかわかりませんが
助かりました！
ありがとう
何そのやばいゲーム
最悪プレイするたびに経験値が変わったりしそう
まだやってたのか
途中式を書いたら勉強にならないので書かないけど
とりあえず>>588の質問に答えたら？
>何がわからないのかわからないと説明しようがない
>級数におけるコーシーの条件と広義積分におけるコーシーの条件は？
各電球は以下の性質を持つ。
「隣接する電球が時刻t=m-1に初めて点灯したとき、時刻t=mに確率pで点灯する。」
以下の問いに答えよ。
（1）点(2,0)に置かれた電球をDとする。電球Dが初めて点灯する時刻として考えられるものを全て述べよ。必要があれば自然数nなどの文字を用いよ。
（2）Dが点灯する確率をpで表せ（どの時刻に点灯するかは問わない）。
典型的な悪問って感じ
「隣接する電球」の定義が与えられていないから、解答者の解釈によって答えが変わるよね
例えば、点 (1, 1) は原点 O と隣接するのかしないのかさえわからない
「初めて点灯したとき」の確率しか与えられていないから、
隣接する電球が全て点灯したあとに点灯していなければ二度と点灯しないのか、それとも毎時刻確率 p で点灯するのか
数学の問題とは思えない
https://i.imgur.com/c8WM6SK.jpg
「隣接」を「距離1の格子点」とするなら(1)はすべての偶数秒。(2)は経路が多すぎてなんとも。
ζ(3/2)
rを1より大きい定数とする。この問題の場合はr=3/2
n≦x≦n+1 のとき 1/(n+1)^r≦1/x^r
この両辺を区間[n~n+1]で積分して
Σ[n=1~k-1]で和をとって
両辺に1を加えて
k→∞ で極限をとれば上に有界は示せる。
上に有界で単調増加だから収束。
（1）nに関して恒等的に
S[a,n] = {S[b,n]}^2
が成り立つような自然数の組(a,b)は(3,1)のみであることを示せ。
（2）（1）においてa,bを正の有理数とした場合、(a,b)=(3,1)以外に条件を満たすものは存在するか。
ありがとうございました
>>528
ワイングラス満杯V=∫[t=π/2→3π/2](3π/2-t)^2dt
=π[9π^2t/4-3πt^2/2+t^3/3](t=π/2→3π/2)
=(9π^3/8-27π^3/8+27π^3/8-π^3/24+3π^3/8-9π^3/8)π
=(27-1+9-27)π^4/24
=π^4/3
残ったワインはV/2=π^4/6
今仮に傾けたワインの水面がx=π/2から2πまで存在するとすると、
x軸より下にあるワインはV.= ∫[t=π→3π/2](3π/2-t)^2dt
=π[9π^2t/4-3πt^2/2+t^3/3](t=π→3π/2)
=(9π^3/8-27π^3/8+27π^3/8-π^3/3+3π^3/2-9π^3/4)π
=(27-8+36-54)π^4/24
=π^4/24
x軸より上にあるワインはV`=π^4/6-π^4/24
=3π^4/24
=π^4/8
ワイングラスを傾けず正対させたとき、
x軸より上のワインはπ^4/3-π^4/24=7π^4/24
つまりワイングラスの中のワインが入ってない空間の体積は、
7π^4/24-π^4/8=6π^4/24=π^4/6
tanθ=1/(3π/2)=2/3π=0.21220659078……
tan11°=0.19438030913……
tan12°=0.21255656167……
ワインが半分残せるθは11°となるが、水面とワイングラスとの接点をx=π/2とした近似値である。
√n-√(n-1)
=(n-(n-1))/(√n+√(n-1))=1/(√n+√(n-1))≧1/(2√n)
を利用して階差を作って
2/√(n-1)-2/√n=2(√n-√(n-1))/√(n-1)n)≧1/√((n-1)n^2)
≧n^(-3/2)
を両辺足し上げて評価する
というのもあるよね～
(1)両辺のnの次数を比較するとa+1=2(b+1)であるから、自然数の組は(2b+1,b)の形のものに限られる。
n=2 のとき 1+2^(2b+1)=(1+2^b)^2 。2^b=x とおくと 1+2x^2=(1+x)^2 。これを x>0 で解いて x=2 すなわち b=1
an=[0.0041218*n^4+0.4517*n^3-0.26*n^2+6.69322*n+5.45]
[x] は x の整数部（1位未満切り捨て）
ありがとうございます！n=20 まで完璧に合いますね
解法は、エクセルのソルバーで解くとかグラフ機能で近似式とかな感じでしょうか？ご教授いただけたらありがたいです。
というのも実は、n=21以降が、
(,4308),5015,5801,6669,7626,8676,9823,....
となっており、anからの算出結果に対して、少しずつ誤差が出てきてしまいます。
ちなみに、
n=650が約265.7億、
n=651が約269.4億、
n=652が約273.2億、
n=653が約277.0億、
.
.
n=700が約527.6億、
n=701が約527.6億
.
n=900が約7494.2億、
n=901が約7592.2億、
です。
経験値のインフレやばすぎワロタ
次数を仮定して最小二乗法でも使えばええんちゃう？
>>528
点(a,sina)(π/2＜a＜π)におけるy=sinxの接線y=(x-a)cosa+sinaが(2π,0)を通れば、
0=(2π-a)cosa+sina
a=2π+tana
tanθ=sina/(2π-a)=sina/(-tana)=-cosa=-1/5でいいんじゃないか？
∴ワインが半分残せる最大の傾きは、θ=11°
(2)が難しい
(a, b) = (3, 1) のときはファウルハーバーの公式より成り立つ。
もし n に関して恒等的に
S[a,n] = {S[b,n]}^2
が成り立つなら、 n = 2 でも成り立つので
S[a,2] = {S[b,2]}^2 すなわち
1 + 2^a = (1 + 2^b)^2
が成り立つ。ここで a = b + c と置くと、
2^(c-1) = 1 + 2^(b-1)
が成り立つことがわかる。よって c > 1 である。
このとき、 (b, c) を自然数の組に限定すると、左辺は偶数であるので b = 1 でなければならない。
ゆえに (b, c) = (1, 2) すなわち (a, b) = (3, 1) となるので(1)が成り立つ。
(2)も同様に示せないだろうか？
つまり、もしも方程式
2^(c-1) = 1 + 2^(b-1)
の正の有理数解が (b, c) = (1, 2) の他には存在しないならば、
(1)の条件を満たす正の有理数の組は (a, b) = (3, 1) に限られることがわかる。
例えば、上の方程式が成り立つなら log_{2}(2^(c-1) - 1) も有理数となるが、
そのような c は 2 以外に存在するだろうか？
n=701が約534.8億
でした。。
>>649
関数でできましたっけ？
自宅のoffice365だと、ソルバー使えないんですね。。
n=900くらいまでの中間の計算が、ざっくり合っていれば参考になるので大変助かります
さすが。
その式を n≧5 の項に使うと
Σ[n=1,∞] 1/n^(3/2) < 2.671003
でござるか。
また、その式のnを1/2だけ増加すると
2/√(n -1/2) - 2/√(n +1/2)
= 2[√(n +1/2) - √(n -1/2)] /√(nn -1/4)
= 2/{[√(n +1/2) + √(n -1/2)]√(nn -1/4)}
> 2/{[2√n]n} (*)
= 1/n^(3/2),
これを n≧5 の項に使うと
Σ[n=1,∞] 1/n^(3/2) < 2.613812････
でござる。
なお ζ(3/2) = Σ[n=1,∞] 1/n^(3/2) = 2.61237535････
*) y=√x は上に凸だから
4n - [√(n +1/2) + √(n -1/2)]^2
= 4n - [2n + 2√(n +1/2)･√(n -1/2)]
= 2n - 2√(n +1/2)･√(n -1/2)
> 0, (AM-GM)
常識を知らない相手に「これは常識やで」と返答をするのはナンセンスなので。
そうなんだけど、あまりにも有名だから個別の解法を考える必要があるのかなと思って
リーマンゼータ関数でググればすぐに出てくるし
解析学のテキストに載っていることも多いし
いや、ナンセンスとも限らないな
時には有名な既知の問題であることを教える必要もあるんじゃないか？
何でもかんでも自分の力で証明する必要はないよね
例えば>>621の回答は一見「導出」に見えるが、
実際はテイラー展開とガンマ関数の性質を既知としているからself-containedというわけではないし、
わざわざ二項級数の係数を一から計算する意義もわからない
>>620でヒントが与えられているように、二項級数 (1-1/t^2)^(r-1/2) の係数を
ガンマ関数を使って表すことができるとわかれば十分だと思われる
a=0の近傍でh(a)=(1+a)g(a)としてよく、
(1-|a|)|g(a)| < |h(a)| < (1+|a|)|g(a)|
a→0で左辺および右辺は収束するから、|h(a)|は収束する。
したがって考察すべき実数値関数は存在しない。
>>650
理論値は wine_full = π*(π² - 4) = 18.4399... となる。詳細は省略。
趣向を変えて モンテカルロ法 で乱数をぶん回してみた ( n=1000000 )
PARI/GPプログラムも省略。10行ちょっとくらいに収まった。
wine(Pi)
= 18.4238...
t = Pi/2 + acos(tan( 9.5126*Pi/180 )); wine(t)/wine(Pi)
= 0.4999...
t = Pi/2 + acos(tan( 11*Pi/180 )); wine(t)/wine(Pi)
= 0.4486...
11°は傾けすぎである。
n=1000000 には根拠がある。
box = (2*Pi)*(2*Pi)*2; #乱数を振る箱体積
a = wine_full; b = 0.5 * wine_full;
b/a*(sqrt((box-a)/a) + sqrt((box-b)/b) ) / sqrt(n)
= 0.00228...
体積比 b/a の揺れ幅を 少数点以下 2桁未満に抑えたかった。
効率は悪いが元の計算でポカミスしてないかの検算には使える。
>>528
ワイングラス満杯はπ^4/3=32.4696970113……は接線の傾きや接点に誤差があっても関係ないからあってるはず。
ただし、自然数の定義は、杉浦解析入門1と同様に定義されているとする。
正しくは
V = π ∫[t=π/2→3π/2] (3π/2 - t)² (-cos(t)) dt
= ... = π ∫[t=0→π] t² sin(t) dt = ... = π (π² - 4)
っす。
(-cos(t)) のファクターは y=sin(t), δy = |dy/dt| δt に起因。
現実に 九九 だけだと
明らかに足りないって中学・高校で気づくよな？
17^2 とか 25^2、 29^2
こんなの毎回計算していたら、時間の無駄だし。
21 … 441
22 … 484
23 … 529
24 … 576
25 … 625
26 … 676
27 … 729
28 … 784
29 … 841
ちなみに、21~29 はその性質上、
下2桁が同一の形の回文(625 を折返し地点として) になっているから
覚えやすいんだよな。
下2桁は {41,84,29,76} のみ。
解決しました。
整数の定義が「自然数およびそれに負号をつけたもの」なら、
自然数の全体 N と整数の全体 Z に対して
N = {n ∊ N | n ≧ 0} と Z - N = {-n | n ∊ N, n > 0} を示して
a > 0, a = 0, a < 0 で場合分けすれば
0 < k < 1 を満たす k ∊ N が存在しないことに帰着される
>>663
y=sinxの積分関数が-cosxというのはわかる。
だからといって積分関数π(3π/2-t)^2に掛けていいという話を聞いたことがあっただろうか？
聞いたことあった気もする。けどあった気がするだけで、そんな話はないような気もする。
x=tのときの(t,sint)を左端とする水面の面積π(3π/2-t)^2をt=π/2から3π/2まで足し集めて、
ワイングラス満杯のワインの容積が出るんじゃないの？
1度目は計算間違いだった。
2度目のV=π^4/3は式が違うというのか？
π≦x≦2πの円柱に換算するとπ(π/2)^2×｛1-(-1)｝=π^3/2に比べてワイングラス満杯のワインの容積はだいぶ大きい。
π/2≦x≦πのx軸より上の部分を回転させるとかなりの容積になると思うんだよ。
18ぐらいなのか32ぐらいなのか。
正弦曲線ワイングラス満杯、
同様に数値積分で18.4399となりましたが、Wolfram先生が定積分の答を返してくれました。
integral_(-1)^1 π (π - cos^(-1)(x))^2 dx = π (π^2 - 4)?18.440
integral_(-1)^1 π (π - cos^(-1)(x))^2 dx = π (π^2 - 4) ≒ 18.440
Rのコード
f<- function(x) -cos(x) # == sin(x-pi/2) == -cos(x)
A <- function(x)pi*(pi-acos(x))^2
integrate(A,-1,1)
> integrate(A,-1,1)$value
[1] 18.4399
https://i.imgur.com/rvhAyDV.png
∫[-1,-1] pi*(pi-acos(h))^2 dh = 18.4399
この定積分はWolfram先生がπ(π^2-4)と教えてくれましたｗ
円盤面積: S(t) = π(3π/2-t)^2 {これはOK}
体積: V = lim Σ[i=1,N] δy S(t) = lim Σ δt (δy/δt) S(t)
= ∫ [t=π/2→3π/2] dt |dy/dt| S(t)
= ∫ [t=π/2→3π/2] dt (-cos(t)) S(t) {負符号が付くのは水面が下がる方向に積分してるから}
V=∫[t=π/2→3π/2]π(3π/2-t)^2dt
=π∫[t=π/2→3π/2](9π^2/4-3πt+t^2)dt
=π(9π^2t/4-3πt^2/2+t^3/3)(t=π/2→3π/2)
=π(27π^3/8-27π^3/8+9π^3/8
-9π^3/8+3π^3/8-π^3/24)
=8π^4/24
=π^4/3
あってる。
円盤の厚みがt方向ではなくy方向だからx=tに対するy=sintの積分関数-costを掛ける？
>>663の計算途中の……がわからない。
モンテカルロやってみました。
> wine <- function(x,z) -cos(sqrt(x^2+z^2))
> N=1e7
> x=runif(N,-pi,pi)
> y=runif(N,-1,1)
> z=runif(N,-pi,pi)
> (2*pi)*2*(2*pi) * mean(y >wine(x,z) & x^2+z^2<pi^2 )
[1] 18.44901
https://i.imgur.com/Btjgtgq.png
https://i.imgur.com/rvhAyDV.png
積分範囲間違って書いたので訂正
∫[-1,1] pi*(pi-acos(h))^2 dh = 18.4399
この定積分はWolfram先生がπ(π^2-4)と教えてくれましたｗ
V=∫[t=π/2→3π/2]π(3π/2-t)^2(-cost)dt
=π∫[t=π/2→3π/2]｛(9π^2/4-3πt+t^2)(-cost)-(3π/2-t)^2sint｝dt
(訂正中)
π(9π^2t/4-3πt^2/2+t^3/3)(t=π/2→3π/2)
=π(27π^3/8-27π^3/8+9π^3/8
-9π^3/8+3π^3/8-π^3/24)
=8π^4/24
=π^4/3
あってる。
怒りんぼさんね>>658
以下の極限の収束・発散を判定せよ。
（1）lim[n→∞] n!*b[n]
（2）lim[n→∞] n!*|sin(n)|*b[n]
わざわざn!を分離した定義にするのか謎
それと考えるならlimb[n]e^nとかの方が面白そう
満杯のとき水平面に平行な円を積分して答えが出せたけど
支柱と平行な方向に積分した答と合致しなかった。
鉛直方向の断面は正弦曲線でないってことかな？
3D描いたみたけど断面の曲線のイメージが沸かない。
https://i.imgur.com/Ca5fnYC.mp4
このとき点Dをうまく選べば三角形EFGを任意の三角形に相似にすることが可能であるという命題は真か偽か？
真なら証明を、偽なら反例を挙げよ。
y軸の周りにy=-cos(x)を回転させたとしてz=z0での断面の曲線は y=-cos(√(x^2+z0^2)) 正弦曲線じゃないな。
z0=0のときは正弦曲線になるけど。
これは(1)の答えが0じゃないと(2)が意味ないけと(1)の答えは0じゃないやろ
素数定理知ってれば秒やけど素数定理知らなきゃ無理
何コレ？
(1) log(n!*b[n]) = Σ[k=1,n] log(k^2/p[k])
だが素数定理より lim_[k→∞] klog(k)/p[k] = 1 だから
lim_[n→∞] log(n^2/p[n]) = ∞
となるので発散する。
(2)も同様じゃね
解析解は諦めてモンテカルロで概算をだしてみる。プログラムも全然楽だったY
WineGlass <- function(deg=0,N=1e7){ # deg degree tilted
wine <- function(x,z) -cos(sqrt(x^2+z^2)) # rotation of y=-cos(x) around y-axis
x=runif(N,-pi,pi)
y=runif(N,-1,1)
z=runif(N,-pi,pi)
θ=deg*pi/180
x0=pi-asin(tan(θ)) # x-cordinate of the edge of filled wine in tilled glass
y0=-cos(x0) # y-cordinate
(2*pi)*2*(2*pi)*mean(y >wine(x,z) & x^2+z^2<pi^2 & y<tan(θ)*(x-x0)+y0)
}
WineGlass=Vectorize(WineGlass,vectorize.args='deg')
y=WineGlass(0:20)
data.frame(deg=0:20,volume=y,ratio=y/y[1])
> data.frame(deg=0:20,volume=y,ratio=y/y[1])
deg volume ratio
1 0 18.43 1.000
2 1 17.01 0.923
3 2 15.78 0.856
4 3 14.67 0.796
5 4 13.67 0.742
6 5 12.73 0.691
7 6 11.87 0.644
8 7 11.04 0.599
9 8 10.29 0.559
10 9 9.58 0.520
11 10 8.90 0.483
12 11 8.25 0.448
13 12 7.66 0.416
14 13 7.09 0.385
15 14 6.55 0.355
16 15 6.04 0.328
17 16 5.58 0.303
18 17 5.11 0.278
19 18 4.69 0.255
20 19 4.28 0.232
21 20 3.92 0.213
９～１０°傾ければいいみたい。
> deg=c(0,seq(9.515,9.525,0.001))
> y=WineGlass(deg)
> data.frame(deg=deg,volume=y,ratio=y/y[1])
deg volume ratio
1 0.000 18.4490 1.00000
2 9.515 9.2042 0.49890
3 9.516 9.2195 0.49973
4 9.517 9.2113 0.49928
5 9.518 9.2153 0.49950
6 9.519 9.2295 0.50027
7 9.520 9.2098 0.49920
8 9.521 9.1954 0.49842
9 9.522 9.2095 0.49918
10 9.523 9.2022 0.49879
11 9.524 9.2089 0.49915
12 9.525 9.2151 0.49949
9.52°くらいだな。
部分積分の式に当てはめると、
V=∫[t=π/2→3π/2]π(3π/2-t)^2(-cost)dt
=[π(3π/2-t)^2(-sint)](t=π/2→3π/2)-∫[t=π/2→3π/2](2t-3π)(-sint)dt
=π^3-ちょい違うか。
レスありがとうございます。
ご丁寧にコードまでよんでいただいて助かりました。
確かにx<x0を追加しないと過大評価になります。
https://i.imgur.com/EqICeaa.png
x<x0を追加して再実行
> deg=c(0,seq(9.516,9.518,0.0005))
> y=WineGlass(deg,N=1e8)
> data.frame(deg=deg,volume=y,ratio=y/y[1])
deg volume ratio
1 0.0000 18.4347 1.00000
2 9.5160 9.2149 0.49987
3 9.5165 9.2156 0.49991
4 9.5170 9.2219 0.50025
5 9.5175 9.2133 0.49978
6 9.5180 9.2134 0.49979
>>528
(-cost)を掛けて部分積分で解くでちょっと待っとって。
Pがある時刻nに(i,j)にあるとき、時刻n+1には4点(i+1,j),(i-1,j),(i,j+1),(i,j-1)のいずれかにあり、4点のうちどの点にある確率も等しく1/4である。
時刻1,2,3,...にPが(k,0)にある確率の、各時刻についての総和（無限和）をP[(k,0)]とする。
比P[(2,0)]/P[(1,0)]と比P[(0,0)]/P[(1,0)]の大小を比較せよ。具体的な値を求める必要はない。
それ再起的マルコフ連鎖やろP[(a,b)の和収束せぇへんやろ
あ、イヤ、一次元は再起的やけど二次元は一時的かも知れんか
全ての点で1が普遍測度で総和が発散するからダメやな
P(X^2)=P(X)P(X)
途中で送信されてしまった。
P(X^2)=P(X)P(X)が前提ですか？
実数xについての関数
f(x)=(x+1)(x-sinθ)(x-cosθ)(x-1)
の極大値および極小値が存在するならば、それを求めよ。
分からないです…
プログラム組んだけど、うまく探索できないケースがあるな。
初期値が悪いせいか区別がつかない。
空集合は全ての集合の部分集合だから
空集合を定義域とする写像の注意点とか教科書に書いてありそうだけどな
もし書いていないなら不親切な本だね
【参考】空関数
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%A9%BA%E9%96%A2%E6%95%B0
リンク先を見てみましたが、空間数は包含写像であるとは書いてありません。
の導出をお願いします
包含写像は部分集合から定まる写像のことでしょ？
空集合から特定の集合への写像は唯一つに定まるのだから、それが包含写像になる
定義に従って証明するとどうなりますか？
2^(2z)Γ(z)Γ(z+1/2)とΓ(2z)はどちらも
z→z+1/2の変換で2z倍になる凸関数だから
定数倍しか違わなくて
その定数はz=1いれると2√πと決まる(Γ(3/2)=√π/2を使う)
みたいな感じで証明してたような
この方針だと一般にガンマ関数のn倍角も示せる
黒川さんはゼータ関数からガンマ関数を定義して
n倍角公式はゼータにおける自然数の周期nごとでの組分けに対応する、という自明なところまで帰着して示しててエレガントだった覚えが
命題 A ⇒ B は A が偽なら必ず真になることと同じ
定義のまんまだと分からんてことは
論理の基礎知識がないな
よろしくお願い致します。
https://imgur.com/a/DIfWsBb
1,2,3が百円玉、4,5が50円玉、１が表で0が裏として
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] 0 0 0 0 0
[2,] 0 0 0 0 1
...
[31,] 1 1 1 1 0
[32,] 1 1 1 1 1
の３２回の順列から
百円玉が表がでる枚数と頻度は
0 1 2 3
4 12 12 4
その確率は
0 1 2 3
4/32 12/ 32 12/32 4/32
５０円玉での確率は
0 1 2
8/32 16/32 8/32
百円玉が１枚でる確率に５０円玉が１枚でる確率をかけると12/32＊16/32＝3/16
一覧にすると（行列とも１から始まる）
> outer(px,py)
Big Rational ('bigq') 4 x 3 matrix:
[,1] [,2] [,3]
[1,] 1/32 1/16 1/32
[2,] 3/32 3/16 3/32
[3,] 3/32 3/16 3/32
[4,] 1/32 1/16 1/32
百円玉が１枚でて５０円玉が１枚でている場合を３２回から数え上げると６回なので6/32=3/16
これを繰り返して表にすると
> as.bigq(matrix(apply(gr,1,g),nrow=4,ncol=3)/32)
Big Rational ('bigq') 4 x 3 matrix:
[,1] [,2] [,3]
[1,] 1/32 1/16 1/32
[2,] 3/32 3/16 3/32
[3,] 3/32 3/16 3/32
[4,] 1/32 1/16 1/32
一致するので独立性が検証された。
ちなみに2番の問題文のs^2の式にはΣが抜けてます。よろしくお願い致します。
集合 X, Y に対し、写像 f : X → Y が包含写像であるとは、条件
X ⊂ Y かつ「 ∀x, [x ∊ X ⇒ f(x) = x] 」
を満たすことと同値
この条件が X = ∅ （空集合）のときにどうなるか考えれば良い
x∈Xは常に偽なので確かに真になります。
でも、X ⊂ Y かつ「 ∀x, [x∈X ⇒ f(x) = x] 」を
X ⊂ Y かつ「 ∀x, [x∈X ⇒ f(x) ≠ x] 」に変えても真だと思います。
別に問題なくね？
上の条件さえ満たせば包含写像なんだから
他の条件はどうでもいい
>>711で、「Xが空集合のとき、包含写像X->Yは、空集合からYへのただ1つの写像である。」と教科書に書いてあると書きましたが、
なぜわざわざ包含写像という言葉を入れたのかが分かりません。
「Xが空集合のとき、非包含写像X->Yは、空集合からYへのただ1つの写像である。」と書いても間違いではないですよね。
包含写像の定義はあれど「非包含写像」の定義はないでしょ？
そう書かれている理由は多分、包含写像とみなしたほうが自然だからだと思う
f(x) ≠ xが非包含写像の定義だと思います。
え？
確かに君が「非包含写像」をそのように定義して
「Xが空集合のとき、非包含写像X->Yは、空集合からYへのただ1つの写像である。」
と書くのは自由だし間違いではないけれど
その教科書に「非包含写像」の定義は書いていないでしょ？
Xが空集合のとき、包含写像かつ非包含写像X->Yは、空集合からYへのただ1つの写像である。」と書いても間違いではないですよね。
ｆが空関数のとき、f(x)という書き方は許されないのではないですか？
Xが空集合のときにはそのようなyは存在しないのでf(x)という記号はナンセンスではないですか？
厳密に書くならおそらく以下になる
論理式P(x,f)= f:X→Y∧X⊂Y∧(x∈X⇒(x,x)∈f)とおく
∀x∃!f(P(x,f))
⇔∀x∃f((P(x,f))∧(∀f'(P(x,f'))⇒(f'=f)))が成り立つとき、唯一つ存在するfを包含写像と呼ぶ
特にこれはX=φで真である(厳密ではない補足:XからYの関数という条件から空関数にしかなり得ないのでf'=fが必ず成り立つ)
細かく考えると大変だから、そんなに意識する必要はない
気になるならf(x)という記号はナンセンスなのでは？と思ったら上に変換できるようにしておけば問題ない
「Xが空集合のとき、包含写像X->Yは、空集合からYへのただ1つの写像である。」と教科書に書いたのかが不可解です。
まずfがXからYへの写像であるの定義が
f ⊂ X×Y かつ ∀x ∃!y (x,y)∈f
でしょ？
X=φのときはこの条件を満たすのはf=φのみでしょ？
次にX⊂Yのとき、包含写像i:X→Yの定義は
i ={(x,x) | x∈X}
でしょ？
特にYが任意の集合、Xが空集合のときi=φになるでしょ？
なぜなら、「 A ならば B 」の否定は「 A かつ B でない」であり、
空関数において A に相当するものは偽だから
X=φとします。
このとき何かのオブジェクトcに対して{(x,c) | x∈X}=φは定数関数です。
もちろん{(x,c) | x∈X}={(x,x) | x∈X}=φなのでこの定数関数は包含写像でもあります。
「Xが空集合のとき、定数関数X->Yは、空集合からYへのただ1つの写像である。」とは書かずに、
「Xが空集合のとき、包含写像X->Yは、空集合からYへのただ1つの写像である。」と書いたのはなぜか？という疑問があります。
空関数を包含写像とみなすのは φ ⊂ Y が常に成り立つという意味で自然だが、
定数関数は常に Y の一定の値をとる関数という意味で考えると、
値をとらない関数を定数関数と呼ぶのは違和感がある
まあこれは何を自然と感じるかの話であって論理的にはどうでもいい話だが
一方で包含写像は全ての部分集合に対して定義しておいた方が良さそう
実際に包含写像の条件を満足するのだから、不可解というのはナンセンスです
包含写像派の人と定数関数派の人がいたとします。定数関数派の人から見ればフェアでないということになります。
「Xが空集合のとき、X->Yは、空集合からYへのただ1つの写像である。」と書けば問題ないと思います。
包含写像は部分集合という集合の関係から自然に（しかも一意に）定まる写像であって、
定義域が空集合の場合は特別だけどそれでも包含写像なんだよ
って言いたかったんじゃないかな
定数関数は定義域が空集合でなく値域が 2 元以上ある集合の場合は一意に定まらないし
空関数だけを特別に議論する意義はないと思うし
定数関数の一種とみなしてもいいけど、その本の著者は包含写像派なんでしょ
そのあたりは著者の思想が反映されている部分とも言える
教科書だからと言ってフェアに書かれているわけではないし、フェアに書く必要もない
高校までの数学の教科書と大学以降の数学の教科書との違いだな
f(x)=(x+1)(x-a)(x-b)(x-1)
は相異なる3つの極値を持つと言えますか？
微分計算の後の3次方程式が解けずに困っています。教えてくださる方、よろしくお願いいたします。
平均値の定理を使ったらいいんじゃね
-1 < a < b < 1 のとき、 f'(-1) < 0, f'(a) > 0, f'(b) < 0, f'(1) > 0
だから f'(x) が連続より中間値の定理を使えばいいかな
2つの極小値の値が等しくなることがあるので、異なる3つの極値をもつとはいえない。
ちなみに a = -b (0 < b < 1) のときは f(x) は偶関数となるから、
極値が異なるとは限らない
（極値点は異なる）
おかしくないか？
あれはあくまで予想だろ？
実際に証明をしたのはワイルズさんなのだから
ワイルズの定理だろ、くそが。
ありがとうございます。存在を示せばよく、方程式を解く必要がないのですね。
極値点は異なるが極値は異なることが理解できました。確かに偶関数になると極値は等しい値を取りますね。ありがとうございます。
極大が１つ、極小が２つある。
θ→90°-θ とか θ→450°-θ では元のまま。
θが180°ずれると、左右が入れ替わる。(上下は元のまま)
極大
θ(°), x , f(x),
0, (√17 -1)/8 = 0.39039 , (51√17 -107)/512 = 0.20172
15, 0.526636 , 0.0850198
30, 0.647150 , 0.0187189
45, 1/√2 = 0.707107 , 0
60, 0.647150 , 0.0187189
75, 0.526635 , 0.0850198
90, (√17 -1)/8 = 0.39039 , (51√17 -107)/512 = 0.20172
105, 0.254284 , 0.341535
120, 0.124467 , 0.455905
135, 0 , 1/2,
150, -0.124467 , 0.455905
165, -0.254284 , 0.341535
180, -(√17 -1)/8 = -0.39039 , (51√17 -107)/512 = 0.20172
>>748
根 {-1, cosθ, sinθ, 1} で、3重根以上はない。
異なる根の間には極値があり(ロルの定理)、重根も極値。
∴ 極大が１つ、極小が２つある。
θ→90-θ θ→450-θ では元のまま。
θがπずれると、左右が入れ替わる。(上下は元のまま)
極小１
θ(°), x, f(x)
0, 0.983236 , -0.0004169
15, 0.526636 , 0.0850198
30, 0.939224 , -0.0037892
45, 0.905646 , -0.0070875
60, 0.939224 , -0.0037892
75, 0.983236 , -0.0004169
90, 1 , 0
105, (7+√17)/(8√2) = 0.983150 , -(85√17 -349)/2048 = -0.0007148
120, 0.935730 , -0.0124505
135, (√3)/2 = 0.866025 , -1/16 = -0.06250,
150, 0.785678 , -0.180584
165, 1/√2 = 0.707107 , -3/8 = -0.37500
180, (1+√17)/8 = 0.64039 , -(107+51√17)/512 = -0.61968
極小２
θ(°), x, f(x)
0, -(1+√17)/8 = -0.64039 , -(107+51√17)/512 = -0.61968
15, -0.591310 , -0.86097
30, -0.561855 , -1.03757
45, -(1/4)√(9-√17)) = -0.55209 , -(71+17√17)/128 = -1.1023
60, -0.561855 , -1.03757
75, -0.591310 , -0.86097
90, -(1+√17)/8 = -0.64039 , -(107+51√17)/512 = -0.61968
105, -1/√2 = -0.707107 , -3/8 = -0.37500
120, -0.785678 , -0.180584
135, -(√3)/2 = -0.866025 , -1/16 = -0.06250
150, -0.93573 , -0.0124505
165, -(7+√17)/(8√2) = -0.983150 , -(85√17 -349)/2048 = -0.0007148
180, -1 , 0
もう一つ質問があります。杉浦光夫の解析入門1での自然数の定義ですが、継承的部分集合というのを使って定義しています。
0に1を有限回加えた実数すべての集合として自然数を定義していないのはなぜですか？
極小１
θ(°), x, f(x)
0, 1 , 0,
15, 0.983236 , -0.0004169
1行ずれてますた....orz
でも解析入門1はそこまで厳密指向の本ではないように思います。
多分、実数の公理から（ペアノの公理を使わずに）数学的帰納法の原理を証明したかったんじゃないかな
素朴な定義だと難しいんじゃね
いやそれもあるんじゃないかな
p.11でわざわざ「 m 個の元を持つ集合」と「有限集合」を定義しているし
有限回もあるが、それ以前に実数は自然数から定義するだろ。
ただ、杉浦解析は代数的な概念について厳密ではないという話も聞くし、そこまで考察した上で書かれてるかはわからない
実数は自然数から定義するというのは、上のように実数の公理から始めるのではなく、
集合論の言語においてZFC公理系を仮定した場合の話
実数体 R の存在は最初から仮定されていて、
自然数の定義は「 R のすべての継承的部分集合に含まれる実数」としている
その代わりに（？）ペアノの公理を使わずに数学的帰納法の原理を「証明」している
有理数体 Q から R を得る手続き（完備化）は演習問題になっているね
継承的集合というのはあまり聞き慣れないが、inductive setをそう訳したのかもしれない
つまり上で書いた帰納的集合Aと全く同じもの
二階述語論理とかあまり気にしなければ純粋に実数の公理だけで展開できるから綺麗ではある
何故単位元+単位元+…で定めないのか？という話だけど、実はserge langのUndergraduate Analysis(杉浦解析より後)ではそう定めている
ただ読んでみればわかるが、これだとZFCでの自然数が実数として解釈されることを示すという手はずを踏む必要があり、流石ブルバキメンバーではあるが学部生には難しいかもしれない
杉浦の心情は分からんが、予想としては、langのようなやり方は知らなかったor学部生には難しい、デデキント切断かコーシー列で導入するよりは公理的に書いたほうが分かりやすい、といった判断から純粋に順序体としての実数公理から始めたのかもしれない
つまり杉浦解析はトレンドそのもののやり方っぽい
(ちなみに、上記本ではそれを批判していて、ZFCでデデキント切断で実数を構成して議論を展開している)
色々なやり方があって、本によってやり方が違うというのはそんな珍しいことではない
（1）a<p<bなる有理数pで、整数l,m,nを用いて(la+mb)/nの形で表されないものが存在する。
（2）a<q<bなる代数的無理数qで、整数l,m,nを用いて{(√(lab))^(1/m)}/nの形で表されないものが存在する。
（3）a<r<bなる超越数rで、整数l,m,nを用いて{π^(l/m)}/nの形で表されるものが存在する。
p = (2l + 3m) /n
を満たす整数 l,m,n が存在する
確率変数XとYが独立とは、(X,Y)から定まる同時分布関数がXとYの周辺分布関数の積でかけることです。
>>705
X同士が互いに独立とは仮定しません。
分布関数の積じゃなく分布密度関数の積だろ
なんでそんな迂遠な定義を覚えてるんだ？
密度関数が存在する分布なんて一般でないぞ
元の問題は密度関数が存在しなくても成り立つが
密度関数を使った証明を望んでるのか？
俺は一般の定義で一般の証明しか知らん
出題から反例が早くてワロタ
こういう間違った問題は誰が考えているんだろ
自作問題？
お前らが小学生の家庭教師をやっているとしたら
どこまで覚えさせる？？
たぶん同一人物が作り出してる
仮定がナンセンスだったり結論がナンセンスだったり、
あるいは見掛け倒しで証明が自明だったり、何というか、
その問題が暗黙のうちに目指しているであろうモチベーションが
最初からおかしいんだよな。
「問題作成のために無理やり生み出されたゴミクズでございます」
っていうニオイがプンプンするわけ。
言ってることがわかりません。
R値の確率変数に対しては分布関数は必ず存在して、一般には密度関数は存在しないと思います。
x^5+ax+b=0
の重複を込めた5つの解がすべて複素平面上の単位円|z|=1上にあるとき、以下の問いに答えよ。
（1）a,bが変化するとき、この方程式が持つ実数解の個数として考えられる値をすべて求めよ。
（2）a,bが満たすべき条件を求めよ。
（3）この方程式の解zで、1/(az+b)もまた解となるzが存在するとき、a,bが満たすべき条件を求めよ。
ヨコだけど
確率変数XとYが独立とは、(X,Y)から定まる同時分布関数がXとYの周辺分布関数の積でかけることです。
↑これ間違ってるよ
てか問題の条件満たすのa=0,b=±1だけだよ？
あ、撤回
同時分布関数とかいうのを
F_XY(X<a, Y<b)
とか定義すれば言えなくはないな
こんな定義見たことないけど
普通は
X,Yが独立:⇔∀a,b P(X<a,Y<b)=P(X<a)P(Y<b)
じゃない？
なんでそれを論証しないの？
点(3,5), (3,7)を通る直線の方程式を求めよという問題を志村が教えていた東京大学の学生に出題するとそのような直線はないと解答する学生がかならずいた。
そんなバカな学生もいるんですか？本当に。
ワロタ
「公式」の分母が 0 になるからってことか
本当ならやばいな
頭に浮かばなかったんだろう…。
それ知ってたら即座だろなー
単位円周上で考える。
z = e^(iθ) を >>777 に入れると
e^(ｉ5θ) + a･e^(ｉθ) +b = 0,
(実部)
0 = cos(5θ) + a･cosθ + b
= T_5(cosθ) + a･cosθ + b
= 16(cosθ)^5 -20(cosθ)^3 + (5+a)cosθ + b,
(虚部)
0 = sin(5θ) + a･sinθ
= sinθ{U_4(cosθ) + a},
= sinθ{16(cosθ)^4 -12(cosθ)^2 +(1+a)}
これらが (重複を込めて) 5つの共通解をもつ。
解の1つは
sinθ = 0,
θ = nπ, (z = ±1)
±(1+a) + b = 0,
他の解は
-5/4 ≦ U_4(cosθ) ≦ 5,
-5 ≦ a ≦ 1,
これらのうち、5つの解を共有するのは
a=0, b=±1 だけ
あれ？
勾配がない直線って
何か論理的におかしいな…。
正確には 勾配として0の値を持つ直線…というべきか。
でも、勾配って幅と高さの両方から求められる変化量が定義だよな。
グラフ x = 3 などは 勾配が0 なのか、 勾配を持っていないのか。
どっちだ？？
d(P)d(Q)d(R)S
ただしSは△ABCの面積である。
訂正
Sは△PQRの面積である
直線なら勾配を持ってなくてもいいじゃない
一次関数とは別物よ
y=<c1cos(pθ)+c2sin(pθ)>(c3r^p+c41/r^p)
境界条件 r=10の時f(θ)=15cosθ,r=20の時f(θ)=30sinθ
を満たすc1-c4がわかりません。p=1と単純に考えるとc1-c4は出ませんでした。どなたか教えていただけ無いでしょうか。
どういう方針を立てればよいのか助言をお願いします。
直線 y = a*x + b (a,bは既知の定数)が、曲線 y=-cos(√(x^2+t^2)) の接線になるようなtの値を求めたい。
ソルバーを使った解法でも結構です。
>>528
π(3π/2-t)^2sintdt=[π(3π/2-t)^2(-cost)](π/2→3π/2)-∫[π/2→3π/2]π(2t-3π)(-cost)dt
=0-π^3(-1)+∫[π/2→3π/2]π(2t-3π)(-cost)dt
=π^3+[π(2t-3π)(-sint)](π/2→3π/2)-∫[π/2→3π/2]2π(-sint)dt
=π^3+0-π(-2π)(-1)+2π∫[π/2→3π/2]sintdt
=π^3-2π+2π[-cost](π/2→3π/2)
=π^3-2π+2π×0
=π^3-2π
=11.239944……
もうちょいかな。
πe^-a
>>528
∫[π/2→3π/2]π(3π/2-t)^2sintdt
=[π(3π/2-t)^2(-cost)](π/2→3π/2)-∫[π/2→3π/2]π(2t-3π)(-cost)dt
=0-π^3×0+∫[π/2→3π/2]π(2t-3π)(-cost)dt
=[π(2t-3π)(-sint)](π/2→3π/2)-∫[π/2→3π/2]2π(-sint)dt
=0-π(-2π)(-1)+2π∫[π/2→3π/2]sintdt
=-2π+2π[-cost](π/2→3π/2)
=-2π-2π×0
=-2π＜0
∴飲めない。
de→/ds=kn→からd^2x/ds^2=-kdy/ds,d^2y/ds^2=kdx/dsの２つの微分方程式が成立することを示せ
何をすればよいのやら完全にこんがらがってしまいました…
その夫は中小企業を専門にする高額セミナー講師だとか！
お金大好き夫婦なの？
https://www.bing.com/search?q=%e5%b0%8f%e8%b0%b7%e5%b7%9d%e6%8b%b3%e6%ac%a1+%e8%a9%90%e6%ac%ba
・定義: ds² = dx² + dy²
|(dx/ds, dy/ds)|² = (dx/ds)² + (dy/ds)² = 1
∴ e = (dx/ds, dy/ds)
・回転行列(90度): R
[ 0, -1 ]
[ 1, 0 ]
・定義: de/ds = k n {妥当性: 0 = d(1)/ds = d(e・e)/ds = 2 e・(de/ds) ∴ e⟂(de/ds) }
de/ds = (d²x/ds², d²y/ds²)
= k n = k R e = k (-dy/ds, dx/ds)
xについての方程式
Σ[k=0,...,n] x^k = 0
がωとω'の両方を解に持つような自然数nを全て求めよ。
ただし任意の実数xに対してx^0=1とする。
(x-ω)(x-ω') = x^2 + x + 1
ありがとうございます
n=3mと3m+1のときに存在しないことの証明ですが、
「n=3m+2のときにωが解
⇒n=3m+3のときは
(n=3m+2にωを代入)+x^(3m+3)
=0+ω^(3M)
=1
で因数定理よりωは解ではない」
の流れで良いでしょうか。
の零点は 1の (n+1)乗根 (ただし1は除く) すなわち
e^(ｉkπ/(n+1)) (k=1,2,･･･,n)
また
ω = e^(ｉ2π/3), ω' = e^(-ｉ2π/3).
e^(ｉ2kπ/(n+1)) (k=1,2,･･･,n)
自力解決しました。
> WG(0)
[1] 18.4399
> WG(9)/WG(0)
[1] 0.5190115
> WG(10)/WG(0)
[1] 0.4824539
> WG=Vectorize(WG)
> uniroot(function(x) WG(x)/WG(0)-1/2,c(9,10))$root
[1] 9.512676
傾ける角度は9.51°
>696のモンテカルロでの値がいい線いってる。
10.5, 8.5, 7, 10, 11.5, 8, 12, 12.5
これらは正規分布に従うとする．そのとき，以下の問いに答えよ
1. 標本平均 x の値を以下の中から選択せよ
(1) 1.870829, (2) 2, (3) 3.5, (4) 4, (5) 10
2. （不偏）標本分散 s2 の値を以下の中から選択せよ
(1) 1.870829, (2) 2, (3) 3.5, (4) 4, (5) 10
3. （不偏）標本標準偏差 s の値を以下の中から選択せよ
(1) 1.870829, (2) 2, (3) 3.5, (4) 4, (5) 10
4. 自由度 7 の両側 0.01 点 t7(0.01) の値を以下の中から選択せよ
(1) 3.2498, (2) 3.3554, (3) 3.4995, (4) 3.8325, (5) 4.0293
5. 母平均 µ の 99% 信頼区間をを以下の中から選択せよ
(1) [7.702044,12.29796], (2) [7.627374,12.37263], (3) [7.52548,12.47452],
(4) [7.290013,12.70999], (5) [7.150855,12.84915]
最初の３問題が５、３、１になるのはわかります
正規分布表のみかたがわかりません
> d=c(10.5, 8.5, 7, 10, 11.5, 8, 12, 12.5)
> mean(d)
[1] 10
> var(d)
[1] 4
> sd(d)
[1] 2
> qt(0.995,7)
[1] 3.499483
> t.test(d,conf.level = 0.99)
One Sample t-test
data: d
t = 14.142, df = 7, p-value = 2.097e-06
alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
99 percent confidence interval:
7.525492 12.474508
sample estimates:
mean of x
10
因数定理も何も実際に代入して 0 にならないなら解じゃないでしょ
1 ≠ 0 で十分
関数f(x)を次で定める:
f(x) =∫【 ０→ｘ】 (1−t＾2)e＾(−t＾2)dt (x ∈R).
このとき
(1) lim【x→+∞】f(x), lim【x→−∞】f(x) を求めよ.
(2) y = f(x)の極値と変曲点を求めよ
eの階乗のところが分かりません
微積の質問です -関数f(x)を次で定める: f(x) =∫【 ０→ｘ】 (1－t＾2)e- 数学 | 教えて!goo
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/11797917.html
PってそれぞれX,Y,(X,Y)の確率速度で
P(X<a)=F_X(a)
P(Y<b)=F_Y(b)
P(X<a,Y<b)=F_XY(a,b)
ですよね？
mod(1+x+xx) で考えると
1+x+xx+･････+x^{3m} = 1 + x(1+x+xx)(1+x^3+････+x^{3(m-1)}) ≡ 1,
1+x+xx+･････+x^{3m+1} = 1 + x + xx(1+x+xx)(1+x^3+････+x^{3(m-1)}) ≡ 1+x,
1+x+xx+･････+x^{3m+2} = (1+x+xx)(1+x^3+････+x^{3m}) ≡ 0,
>>814
部分積分で
f(x) = (x/2)e^(-xx) + (1/2)∫[0,x] e^(-tt) dt
= (x/2)e^(-xx) + ((√π)/4) erf(x),
f '(x) = (1-xx)e^(-xx),
f "(x) = 2x(xx-2)e^(-xx),
(1)
lim[x→+∞] f(x) = (√π)/4 = 0.44311346
lim[x→－∞] f(x) = -(√π)/4 = -0.44311346
(2)
極値
f '(x) =0 より x=±1,
f(1) = 1/(2e) + ((√π)/4)erf(1) = 0.557352 (極大)
f(-1) = -1/(2e) - ((√π)/4)erf(1) = -0.557352 (極小)
変曲点
f "(x) =0 より x=±√2,
f(-√2) = 1/(ee√2) + ((√π)/4)erf(√2) = 0.518648
f(√2） = -1/(ee√2) - ((√π)/4)erf(√2) = -0.518648
f "(x) =0 より x= ±√2, 0
f(-√2) = -1/(ee√2) - ((√π)/4)erf(√2) = -0.518648
f(0) = 0,
f(√2） = 1/(ee√2) + ((√π)/4)erf(√2) = 0.518648
D内に以下の条件を全て満たすように2つの正方形SとTを配置したい。
Sの一辺の長さsを求めよ。ただしTの一辺の長さをtとすると、s≧tである。
(i)SとTはともにDに含まれる。
(ii)SはTの外部にあるか、またはSとTは外接している。
(iii)条件(i)(ii)を満たすS,Tの配置は様々であるが、その中で積stが最大である。
integral_(π/2)^((3 π)/2) π ((3 π)/2 - t)^2 sin(t) dt = 2 π^2
≒19.739
でも満杯になる量の答としては間違っている。
整理するよ。
A.
x = 3 のような縦棒の直線の場合、
勾配は存在しない。 (強いて言えば +- ∞)。
なぜなら、これを微分しようとしても、
変数x が 変数になっていないので
xに関しては微分が不可能。
ゆえに勾配は存在しないと言える。
B.
y = 5 のような横棒の直線の場合、
勾配は存在し、それは 0 の値となる。
y = 3 を言い換えると
f(x) = ax + b
= 0*x + 3
a が ゼロ、 b が3 の時の、xの 1変数1次関数。
これをxで微分したら
f '(x) = 0*1 + 0 = 0
ゆえに 「すべてのxについて 0値をとる」 と分かる。
関数 f(x)=5x/6 +3 で与えられた力学系を考える。
1より大きい任意の点を初期点とする軌道をグラフを使って分析せよ。また、1次関数と2次関数の定める力学系の相違点を述べよ。
飲めるように問題を改変、ついでにジュースに変えたｗ
y = -cos(x) -π<x<π の曲線をy軸の回りに回転させてできる面からなるワイングラスにジュースが満杯である。
極薄のストローを刺してジュースを半分飲んでいいと言われた。
満杯のときの何%の高さまで飲んでよいか？
https://i.imgur.com/qLtMpx9.png
∫［-∞,∞] cos(x)/(xx-aa) dx = -(π/2a)sin(a)
森口・宇田川・一松「数学公式I」岩波全書221 (1956)
§56. (iii) p.25
答えがわかっている自作問題を投下するスレではありません
大先生の某芸人に分からない問題を書くスレでは？ｗ
ジュース面の高さを与えたときの容量の厳密解は出せるけど、容量から高さを求めるのは俺にはできないな。
ニュートン・ラフソンで数値解しかだせない。
わかるやつおる？
どなたかご教示ください。
まずは、正方形と3辺のいずれかが平行かどうかを確定させたいです。
F(a,b,c) = ∫[0,∞] e^{-(bi+c)x}/(xx-aa) dx,
a≠0, c>0,
とおく。
{-(∂/∂b)^2 - aa}F(b,c) = ∫[0,∞] e^{-(bi+c)x} dx
= [ (-1/(bi+c))e^{-(bi+c)x} ](x=0,∞)
= 1/(bi+c),
これより
F(a,b,c) = {ｉCi(a(b-ic))sin(a(b-ic)) -ｉSi(a(b-ic))cos(a(b-ic))
+ k2･sin(ab) + k1･cos(ab)}/a,
c→+0 として実部をとると
{k2･sin(ab) + k1･cos(ab)}/a,
ところで F(a,b,c) はaの偶函数だから
k･sin(ab)/a,
かな。
f(x) = (x-a)^2･g(x)
g(x) = 1 (xが有理数のとき)
= -1 (xが無理数のとき)
また自作問題か
いい加減間違った主張を肯定の形に書くのやめたら？
この場合lim[x→a]はどうして定義できるのでしょうか。0の近傍で振動してしまいそうに見えるのですが…
では質問の形で書かせていただきます。
ところで一点のみ微分可能な関数の例を先とは別の形でご教示ください。
f(x) := (x-a)g(x)
・ワイエルシュトラスの例 (1860ころ)
g(x) = Σ[n=0,∞] (c^n) cos(b^n･πx)
(ここで bは奇数, 0<c<1, bc>1+3π/2)
ハウスドルフ次元は 2 + ln(c)/ln(b).
・ダルブーの例 (1875)
g(x) = Σ[n=0,∞] (1/n!) sin((n+1)!･πx)
・ボルツァーノ(草稿)「関数についての研究」にもある。(1830)
数セミ増刊「100人の数学者」日本評論社 (1989)
p.128-129
それは
∫[-∞,∞] cos(ax)/(xx+1) dx (Laplace)
ぢゃね？
高木：「解析概論」改訂第三版, 岩波書店 (1961)
練習問題(5)-(9) p.264
練習問題(6)-(3) p.293
森口･宇田川･一松：「数学公式I」岩波全書221 (1956)
§56. (iii) p.255
§58. p.262
ーｘ（ｃｏｓπ／４ｃｏｓｘーｓｉｎπ／４ｓｉｎｘ）これが
√２ｘｓｉｎｘになる過程がわからない
ヒントくれ・・・
・半角でおk
・括弧を使おう
アンカーをつけてなかった
>>843はどう？
https://i.imgur.com/A8vpF8X.png
>>528ちゃんと途中過程を書いて解こうぜ。
答えが満杯で18.いくらになりそうなことはわかった。
9.5°ぐらいで半分こぼれるのもあってるだろう。
そうじゃないんだ。部分積分がしたいんだ。
√2 は不要不急です。
> -cos(π/4 + x) = sin(x)
なんかおかしいと思わないのだろうか
B 第４問
pを奇素数とする。
また、複素数 ζ, α を ζ=exp(2π√(-1) /pp), α = p^(1/p)ζ と定める。
ただし p^(1/p) は実数体におけるpのp乗根を表わす。
(1) f(X）= Σ[i=0,p-1］X^(pi）が Q[X］の既約多項式であることを示せ。
(2) 拡大次数［Q(ζ,α)：Q],［Q(α)：Q］を求めよ。
(3) Q(α) が Q のガロア拡大であるかどうかを答えよ。
(4) 拡大 Q(ζ,α)/Q の中間体Fで［F：Q］= pp となるものの個数を求めよ。
なんかおかしい。
-cos(π/4 + x) = {-cos(π/2 +x) - cos(x)}/√2 = {sin(x)-cos(x)}/√2,
かな
x = π で成り立たないし
センスを感じたり、興味深いものは許す。
それ以外は見ないふりしてNGに入れるから、そのつもりで。
「自作の問いは命を賭けて書き込め」 (ソクラテス随筆集)
テキトーに作ったらほとんどが無意味か解けないようなのになってしまう
考えて解ける丁度いい問題を生むにはセンスが必要
本当に一意に決まるのでしょうか？一意に決まるための一般的な定理があれば教えてください
∫[-1,1] pi*(pi-acos(h))^2 dh = 18.4399
の計算過程ってこと？
そもそも、その定積分でいいことは同意？
残ったジュースの高さをhとするとその体積は
π*( 2*π*√(1- (h-1)^2)-2*(√(1- (h-1)^2)+π* (h-1))*acos( (h-1))+(π^2-2)* (h-1)+ (h-1)*(acos( (h-1))^2) ) -2*π
までは計算できたけど、この逆関数は作れないので数値解しかだせなかった。
エレガントに計算する方法があるかもしれん。
αx + β + cos(x) = 0
α=tanθ
β=-π*tanθ+tanθasin(tanθ) + cos(asin(tanθ))
の解を数値解で求めるしかなかったので、厳密解は得られなかった。
数列{a[n]}はn=1,2,...に対し、
a[1]=1/{(2^k)+1}, a[n+1]=|2a[n]-1|
を満たす。
a[k]はnによらない数であることを示し、それをkで表せ。
これを地球を横から見た図(2)に変換したい。
(1)の図の中心が(2)の図でも中心に来るようにします(もちろん片側半分しか見えません）。
(1)の図のある座標(x,y)は(2)の図上ではどういう座標にマッピングされますか？
座標は左下が原点(0,0)、右上が(1,1)とします。
プログラム組んで最大値をとなる図を描いてみた。
https://i.imgur.com/76fcWgE.png
stの最大値は数値解で
> sim(opt$par,print=T)
[1] 2.050347
任意の数列a[n]についてa[k]がnに依存しないのはあまりにも明らかであるが、いざ示せといわれるとどう書いたらいいものか。
f(x)=2x+1の値が n に依存しないことを示せと言われているようなものだからね。式中に全く登場しない文字に依存していないのは明らかとしか言いようがない。
a[k]がa[n]の誤植なのかとも思ったけれど、この問題のa[n]の値はnに依存しているし…
問題の不備ではないのかい？
一般には全然決まらないと思うが立方体を組み上げた図形みたいなのを考えてる？
>>863
a[k]はnによらない、って何かのギャグ？
単に、a[k]をkで表せ、です
自作問題を作るセンスがないな
なかなか悪くない漸化式だと思いますがいかがでしょうか
新しい質問をする前に >>842-843 の感想を教えてください
求められたのはsだったので
> sim(opt$par,print=T)
s = 1.684238 t = 1.217374 st = 2.050347
探索させる初期値を変化させたら、こんなのが探索されて
https://i.imgur.com/kMspA84.png
こっちの方がstが大きかった。
s = 1.596771 t = 1.317438 st = 2.103647
これも最大値じゃなくて極大値の可能性があるなぁ。行き詰まってしまった。
正方形が重ならないというのを 一方の正方形の内部に他方の正方形の頂点が存在しない、というので判定していたら、
PCがこんな図を返してきた。PCの方が賢いなｗ
https://i.imgur.com/zzPzKKQ.png
fn(x)=det(xE-Cn)として、fn(x)をn,xの式で表せ。(過程も示せ)
https://imgur.com/6ubg57q.jpg
n=1,2,3を代入してみたらどうもめっちゃ綺麗な形になるっぽいけどどう証明すればいいのかさっぱりピーマン訳わかめですわ
帰納法
行列式の展開公式を使えば
f(n+1)(x)=xfn(x)+(n+2)
が示せるから
fn(x)=Σ(n+1-i)x^i
はあはあ第n列に関する余因子展開ってことですね
それでなんで(n+2)についてる行列式が1になるって分かるんですか？
あと３行目右辺の各項の前に(-1)^(n-1)とかはいらないんですか？
めっちゃ簡単なこと聞いてたらすいません
n+2のところに掛かる余因子は対角が-1の三角行列になってるから
そして、符号は丁度余因子展開の符号と打ち消す
あー、三角行列の行列式はすべての対角成分の積になるんですね
それで符号が打ち消されると
でもxfn(x)の方は余因子展開のとき出てきた符号しか無くないですか？
何と打ち消しあうんですか？
対角の位置にある余因子の係数は常に1だよ
(-1)^(i+j)においてi=jなわけだから
！！！なるほど！
あとは自分で頑張ります！
ありがとうございました！
対角線の交点も内部にないという条件を追加してデバッグした結果。
https://i.imgur.com/kubXFuA.png
s = 2.169406 t = 1.243978 st = 2.698694
>>860
ぜんぜん違う。まずaなんかない。
数値はいい。途中過程、部分積分しないと。
acosって逆余弦(cosの逆関数)アークコサイン
a * cosじゃないよ。
https://i.imgur.com/rvhAyDV.png
fn→f, gn→g, hn→h に殆んど至るところ収束して
fn ≦ gn ≦ hn かつ ∫ fn dx→∫ f dx, ∫ hn dx→∫ h dx が成立してるならば
∫ gn dx→∫ g dx は成立しますか？
失礼
x→∞ではなくn→∞の間違いです
これ難問ですか？
y'''(x) + 6y''(x) + 12y'(x) + 8y(x) = 5x^2e^(-2x)
D^3 + 6D^2 + 12D + 8 = (D+2)^3 = 0
D = -2（3重解）
よって余関数 Y は
Y = (C3x^2+C2x+C1)e^(-2x)
((D+2)^3)y = 5x^2e^(-2x)
e^(αx)/(D-α)^n = (x^n/n!)e^(αx)
を使うと特殊解は
y0 = 5x^2･e^(-2x)/(D+2)^3
= (5x^2)(x^3/3!)e^(-2x)
= (5x^3/6)e^(-2x)
ところが wolframa で計算すると
y0 = (5x^3/12)e^(-2x)
になります。
e^(αx)/(D-α)^n = (x^n/n!)e^(αx)
を使うと特殊解は
y0 = 5x^2･e^(-2x)/(D+2)^3
= (5x^2)(x^3/3!)e^(-2x)
= (5x^5/6)e^(-2x)
ところが wolframa で計算すると
y0 = (x^5/12)e^(-2x)
になります。
>>887acosもarkcosもなしで。理論状逆関数になるアピールは要らない。
>>887acosもarkcosもなしで。理論上逆関数になるにしても。
実際に微分して確認してみればいいのでは？
1/(D+2)^3 の演算子は 5x^2･ e^(-2x) 全体に掛かるのに
e^(-2x) にだけ掛けてしまっているのが間違い。
演算子法の復習:
http://www.tsuyama-ct.ac.jp/matsuda/d-eq/bi4.pdf (誤植あるけど式を追えば分かる)
そこの公式(2) を使えば、
1/(D+a)ⁿ * x^a * e^{-ax}
= e^{-ax} * 1/Dⁿ * e^{ax} * x^a * e^{-ax} = e^{-ax} * 1/Dⁿ * x^a
= e^{-ax} * 1/{(a+1)(a+2)...(a+n)} * x^{a+n}
を得る。
特に n=3, a=2 と置いて (以下略)
へー演算子法ってのがあるのか、知らなかった
ヘヴィサイドすげーな
D 微分演算子 D = d/dx とし、 φ(t) を t の一変数多項式とするとき、
微分方程式
φ(D)y(x) = f(x) の特殊解は y(x) = (1/φ(D))f(x)
で求められるのか
さらに
(1/(D+a))f(x) = e^(-ax) ∫ f(x)e^(ax) dx
が成り立つから、これを使えば>>891の微分方程式の特殊解が得られると
>>891は a = 2 で f(x) = 5(x^2)e^(-2x) として
1/(D+2) を3回適用すればいいから、単に公式の適用ミスってことか
矩形の描写角度を求めたく...
一変が20cmの正方形Aと10cmの正方形Bがそれぞれの1辺が接している場合、接していない辺の長さが5cmずつであれば、A及びBの中心点を結んだ角度が求められると思いますが、接していない辺が7cmと3cmの場合(接する面の中点軸が一致しない場合)、この正方形Aの傾き角度は求められるのでしょうか？？
ありがとうございました。助かりました！
おう、がんばれよ
作図しようと思ったけど文章の意味がわからんのでやめた。
図示してくれたら数値解なら出すけど。
Arccos() が正しい。
一部のプログラム言語では (入力の負荷を減らすため）ACOS に変えたものの、紛らわしくなって逆効果だった、というお話。
なお毎日、昼飯前にアクセスが集中しだすとシステムエラーになる某NECの生産管理システムも ACOS だから、縁起の悪い名前ではある。
>>898
実用的には それでじゅうぶん。
理論付け(正当化・厳密化)は後からなされた。(ミクシンスキーら)
白ばっくれてもしょうがねぇ。
昼休みの時間をずらすとクラブの練習に差し障るしなぁ。
カシオの計算サイトではacosと表示されているな。
https://keisan.casio.jp/exec/system/1260315699
しかし、acosをa*cosと解釈する芸風はいつも楽しませてくれて、このスレの清涼剤ｗ
https://ja.wolframalpha.com/input/?i=acos%281%2F2%29
それでいで cos²(x) は cos( cos(x) ) ではなくて、{ cos(x) }² になるとか統一感がないよね。
このようなf(x)の例を2つ挙げよ。
負のところはe^(-1/x^2)使って適当に無限回微分可能な関数とつなげばいいんじゃないのか
同意。
Wolframの出力はそれで混乱することがある。
>>902
図を起こしてみました。
知りたいのは正方形Aが何度の傾きを持っているか...です。
https://i.imgur.com/Dse82vg.png
その角度は2つの正方形をまとめて回転させればいくらでも変化するんじゃないの？
角QPRなら atan(2/15)=0.1325515ラジアン=7.594643°
https://i.imgur.com/S3Zsl9M.png
この図でいうと、
https://i.imgur.com/S3Zsl9M.png
B,Fをx軸上において、Aを軸上に置くという条件が加わるという意味でしょうか？
そのとおりです。
正方形AおよびBの接する辺位置は変わらず、この2つの正方形が正方形Aの中心点を基準に
任意の角度で回転する場合、正方形A,Bの中心座標がわかっているのであれば回転角度を
算出できないか？が知りたいことなのです。
>>914
点B,Fは同一のX軸上とは限らない前提です。
気づいたのですが、正方形Aの中心点と、辺B,Cの中点を結んだ補助線を描き
水平から何度の傾き角度が得られるかで充足できるかもしれません。
この角度を求めるにはどのような式が有用なのでしょう。。。
それならば角BFEなので
> atan(3/10)
[1] 0.2914568 ラジアン
> atan(3/10)*180/pi
[1] 16.69924 °
△ABCの形状が色々変化するとき、以下のrの取りうる値の範囲を求めよ。
r = {max(AP,BQ,CR)}/(AB+BC+CA)
この図で
https://i.imgur.com/ZnswkDe.png
P,Q,Q2の座標がわかったときの角Q2-P-Qが必要な角度ですか？？
おお、アークタンジェントを使うとよいのですね！
ありがとうございます。
先が見えました！助かりました。
座標が
P : (p1,p2)
Q : (q1,q2)
Q2 : (r1,r2)
とすると
角Q2-P-Q = atan((r2-p2)/(r1-p1)) - atan((q2-p2)/(q1-p1)
atanはtanの逆関数
座標から角度を出すには、ベクトルの内積をつかってacosを使ってだす方法もあり。
お付き合いありがとうございました。
矩形の回転角度を求めるにあたってノーヒント（というか私が無学）だったため
大変助かりました！
図から
AB=4, BC=5, CA=6, S=(15/4)√7,
頂点Cから底辺ABに下ろした垂線CHの長さをhとおくと
h = 2S/(AB) = (15/8)√7 = 4.960783708
縦横比から
4：s：t = h：(h-s)：(h-s-t)
これで計算すると
s = 4h/(4+h) = 2.2144418924791
t = ss/4 = 1.22593822379161
s･t = (1/4)s^3 = 2.71476896035556
となった。
(これが最大かどうか分からない問題）
題意を満たす作図をするプログラムを作ってみた。
https://i.imgur.com/Og34iie.png
んで、1万回シミュレーションしてｒの値を吐かせてみた結果
> re=replicate(1e4,art(F))
> range(re)
[1] 0.4340035 0.5773468
https://i.imgur.com/NXShefl.gif
とりあえず、おかしな出力はないもよう。
AP^2 = BQ^2 = CR^2
= RR {3 - cos(2α) - cos(2β) - cos(2γ) + (√3)[sin(2α) + sin(2β) + sin(2γ)]}
= 4RR(1 + cosα cosβ cosγ + (√3)sinα sinβ sinγ)
= 4RR(1 + cosα cosβ cosγ) + 2(√3)S
ここで S = abc/4R = 2RR sinα sinβ sinγ. (正弦定理)
(AB + BC + CA)^2 = 4RR (sinα + sinβ + sinγ)^2
= 8RR(1+cosα)(1+cosβ)(1+cosγ),
AP = R{1+cosα +(√3)sinα},
BC+CA + AB = 2R{sinα + 2cos(α/2)},
α = β = γ =60° (正△) のとき
最大値 r(60°) = (√3)/3 = 0.5773502692
α ≒ 180°, β = γ ≒ 0 のとき
下限値 r(180°) = (√3)/4 = 0.4330127019
>>925 にほぼ一致
グラス底での角度２θは１２０°する。（θ＝６０°)
https://i.imgur.com/RApLE95.png
これを傾けて満杯のワインを半分にするには何度傾ければよいか？
https://i.imgur.com/CAuHmAq.png
角度θで一般解を出そうかと思ったが、自分の能力では数値解しかだせなかった。
>>528数値解じゃなく計算過程が知りたい。
部分積分だと思うけどarkcosを使う必要があるならなぜ必要か示さないといけない。
底面(楕円)から頂点までの距離(高さ)を保って、頂点を楕円中心の真上に移動しても体積は変わらない
楕円の面積は π×(長半径)×(短半径)
体積は (底面積)×(高さ)/3
水面の位置をhとしたらグラスと接する半径が
π-Arccos(h)になるから
https://i.imgur.com/rvhAyDV.png
傾けた角度と残存割合をグラフにすると
https://i.imgur.com/vflCh7w.png
線が数値積分、〇がモンテカルロ法で出した値。
ラジアン表示で0.1303291の時に半分残るみたい。
α傾けたときの楕円面の方程式は
√(x^2+z^2)/tan(θ) - (tan(α)*(x-sin(θ))+cos(θ))=0
となるけど、ここからの計算が私にはわかりません。
Wolfram先生が
z = ±sqrt(sec^2(α) tan^2(θ) cos^2(α + θ) + x^2 tan^2(α) tan^2(θ) - x^2 + 2 x tan(α) sec(α) tan^2(θ) cos(α + θ))
を返してくれたけど、陰関数のときより、益々式が複雑になった。
水面の楕円形( 長軸半径: a, 短軸半径: b ) (他は図を参照)
h' = h - AC*sinα = h - a*sinα
h" = OA*sin( 90° -θ-α ) = h * cos(θ+α) / cosθ
2a = AB = sinβ * 2h*tanθ / sin(180° -β-α) = 2h*sinθ / cos(θ-α) {∵正弦定理}
b = √{ (h' * tanθ)² - (h*tanθ - a*cosα)² }
= √{ ((2h -a*sinα)*tanθ - a*cosα )( -a*sinα*tanθ + a*cosα ) }
= a √{ (2cos(θ-α)/cosθ - sinα*tanθ - cosα)(cosα - sinα*tanθ) }
= a √{cos(θ-α)cos(θ+α)} / cosθ
∴ 体積: V(α) = (πab)*h"/3 = (π/3*h³*tan²θ) * {cos(θ+α)/cos(θ-α)}^{3/2}
問の条件: V(α) = V(0)/2
ξ=sinα, η=cosα =√(1- ξ²) と置くと、
(cosθ*η - sinθ*ξ)³/(cosθ*η + sinθ*ξ)³ = 1/2²
θ=60°のとき
4*(η - √3*ξ)³ = (η + √3*ξ)³
3(1-ξ²)√(1-ξ²) - 15√3*(1-ξ²)*ξ + 27*√(1-ξ²)*ξ² - 15√3 ξ³ = 0
... .
根号消去で整理すると ξ² についての 3次式になって、解析解は係数の四則演算と冪根で表せる(解の公式) 。
面倒なのでそのままWolframにつっこむと、唯一の実解として
ξ = 1/2^(2/3) - 1/2
を得る。
α = arcsin(ξ) = 0.1303291669... [rad] = 7.467311210... [deg]
>>934 の値と一致するので計算ミスはないと思う。
神が君臨。
ありがとう御座いました。
https://i.imgur.com/2iH0og4.png
恐れ入りました。。
>>528部分積分は、
上げてそのまま、上げて下げる、だ。
g(x)f(x)-∫g(x)f'(x)dx
検索して出てきたやつはf(x)が前になってて混乱した。
>>528部分積分は、
上げてそのまま、上げて下げる、だ。
g(x)f(x)-∫g(x)f'(x)dx
検索して出てきたやつはf(x)が前になってて混乱した。
>>933その説明だと前から知ってる人にしかわからんな。
# 円錐グラスの最深部から辺縁までの長さ = 1とると
V <- function(α,θ=pi/3) (pi/3)*cos(θ)^3*tan(θ)^2 * (cos(θ+α)/cos(θ-α))^(3/2)
V(0)= (pi/3)*cos(θ)^3*tan(θ)^2
V(α)=V(0)/2となるαは
(pi/3)*cos(θ)^3*tan(θ)^2 * (cos(θ+α)/cos(θ-α))^(3/2) = (pi/3)*cos(θ)^3*tan(θ)^2 * (1/2)
∴(cos(θ+α)/cos(θ-α))^(3/2) = 1/2
対数をとると
(3/2)*log((cos(θ+α)/cos(θ-α)))=-log(2)
という方程式を解く必要があるようです。
θとαの陰関数としてラジアンでなく°でグラフかしてみました。
https://i.imgur.com/BT5AB5V.png
2θが円錐グラスの角度、αが半量を残すように傾ける角度です。
すまん、俺にはわかるように説明できる能力ないから、他をあたってくれ。
嫌味ではありません。英語でいうところのNo offence meant.
https://i.imgur.com/XqCYwJW.jpg
向こうに書き込みます
Wolfram先生も混乱しているｗ
https://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+%283%2F2%29*log%28%28cos%28%CE%B8%2Bx%29%2Fcos%28%CE%B8-x%29%29%29%3D-log%282%29+for+x&;lang=ja
定円の1つの直径をAB、Sの頂点をP、線分PAの中点をMとする。
また、定円の周上にあり、∠NOB=60°を満たす点の1つをNとする。
いま点XがMを出発し、Sの表面上を道のりが1の分だけ自由に動く。
NXの最大値を求めよ。
図がないと考える気にならんから俺はパス。
いわゆる王道の分野、数論や〇〇幾何などで多用されない限り基礎的分野としては扱れなさそう
逆にこの定理は束論使わない証明がメジャーだけど束論のこの定理使うとこんなかっこよく解けるって定理とかあります？
>>528
V=∫[t=π/2→3π/2]π(3π/2-t)^2(-cost)dt
=π^3-π∫ [t=π/2→3π/2]｛2(-sint)｝dt
=π^3-4π
こう理解するしかないか。
束論についてよく知らないので分かりません。
コンピューターサイエンスへの応用を意識した代数学の本には束論が書かれていることが多いように思います。
ですので、役に立つ理論であるとは思いますが、>>954さんがおっしゃるように数学の中で役に立たないという
ことなのかもしれないですね。
すいません、直円錐です。ご迷惑をおかけしました。
数学でも非古典論理や圏論方面では使われてるイメージ
ただ、やはりマイナー感は否めない
1+5sin(2π/5)
間違えた。
1+25√{(1/4)-25cos(2π/5)}
なんとなく卑猥
映画ダヴィンチ・コードでそういう説明があった
そのうちセクハラで変えさせられるかも
∧・・・男根、ピラミッド
∨・・・子宮、聖杯
とかだっけ
円錐の展開図を描いて、その側面部に円を描きます。この展開図を組み立てて円錐としたとき、側面の円はどのような図形になるのでしょうか。よろしくおねがいします。
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1594131967/
分からない問題はここに書いてね462
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1596464706/
はあ…
>>950直円錐が幽体でない立体のとき、
展開図の半直線NM上にMX=1なる点Xをとれば、
NXは最大になるか、やってみたらどうかと思う。
>>950
NM=√(9+27/4+4)
=√(36+27+16)/2
=√79/2
NX≦NM+1=√79/2+1
>>950
∴NX≦5.44409720866……
コロナの突起の数ってわかってるの？
意外とシンプルな構造に見えたぞ。
むだのない間隔あけてやがる。
>>950
頂角72°の二等辺三角形の斜辺の中点と遠いほうの底角の頂点を結べば、
それがNMの最大値でNXの最大値はそれ+1
Wolframに
solve cos(θ+x)=p^(2/3)*cos(θ-x) for x where θ=pi/3 and p=0.5 and 0<x<pi/2
を突っ込むと
x = 0.130329
が返ってきました。
円錐の展開図ってピザをカットしたような扇形でいいのか？
いいよお
t∈Rに(x, y)∈Wを対応させる写像は作れますか？
言い換えると、実数全体から座標平面上の点全体への写像gであって、その値域g(R)がWに一致するような写像は具体的に作れますか？
当たり前だろ、ザコ助が
それ以外にありそうにないって明らかだろ、ザコが
紙を切って工作したことないのかな。
fの条件が書いてないけどtを固定したとき曲線のパラメータ表示f_t:R→R^2(s→(x(s),y(s))が可能なものなら
適当な全射h:R→R^2(t→(h_1(t),h_2(t)))を用意しておいて
g:R→Wをt→f_(h_1(t))(h_2(t))とすればいい
パラメータ表示できない場合でも曲線の連結成分ごとにRからの全射を用意しておいて同じように出来る
(0,0)と(cosθ,sinθ)を結ぶ線分をy軸の周りに回転させて円錐面を作って、その展開図は中心角が2πcosθの扇型でいい？
扇形に描いた円が円錐になったときの方程式ってどうやって出すんだろ。
f↑(p↑) := [f1(p↑), f2(p↑), ... , fn(p↑)]T // f1(p↑) から fn(p↑) の 転置行列と定義
の場合に、p↑がドット「・」になった f↑(・) はどういう意味になるのでしょうか？
グラフ化してみました。
https://i.imgur.com/kzwcLIz.png
媒介変数を使って作って作成。
動作確認に正三角形を乗っけてみました。
https://i.imgur.com/dPpm5u9.gif
蚊取り線香（アルキメデスの螺旋）を円錐側面に載せてみました。
https://i.imgur.com/ROMPVtF.png
何でもいいっていう意味つまり関数
有り難うございます
ゲームでモニターのサイズ差で表示のズレが生じるので修正する為に教えてください。
A 高さ53cmの内、ある一定の距離25cmを始点から終点まで0,5秒で到達する速度を300と表した場合
B 高さ39cmの内、ある一定の距離25cmを始点から終点まで0.5秒で到達させる場合には速度をいくつにすれば良いですか？
C また同条件で高さ31cmの場合も教えて欲しいです。
ゲームプログラミングの話？
ズレる原因と問題がわからんな
「高さ53cmの内」の「高さ」は現実のモニターの話？
「ある一定の距離25cm」は現実のモニター上での距離？
それともゲーム内座標における距離？
A の速度を 300 と表すのはなぜ？
返答ありがとうございます。
ゲームプレイ上での話です
高さは現実のモニターの縦の長さで、43インチ 31インチ 25インチです
画面上から下に向けてオブジェクトが落ちてくるのですが
どの高さから落ちてどの高さで受け止めるかをプレイヤーが設定できるので
43インチモニターで現実の25cm幅を300の速度
（300はゲーム内で使用する速度で、10=1フレーム=0.1666秒です）で通過するのが一番やりやすいのですが
家には31と25インチモニターしかなく、43インチでの設定をそのまま適応すると同じ300でも
画面の大きさが違うので同じ速度では無い＝ズレが生じるのでは？と思い質問させて頂きました。
なんか音ゲーのプレイヤーみたいだな
幅と速度をプレイヤーが自由に変えられるなら、
「現実の25cm幅を300の速度」なら見かけ上の速さも変わらなさそうだが
よくわからんな
同じ設定でやると速く感じるのか、それとも遅く感じるのか？
何がモニターのサイズに依存しているのかハッキリしない
お察しの通り音ゲーです。やはり変わりませんか…
体感モニターのサイズが小さくなればなるほど同じ設定にした場合に遅く感じるのですが
自分でも理屈としては変わらないと思っていた為に混乱し、数字に強い所で相談しようと思った次第です
数字に強い方が客観的に上の情報を見ても理屈上変わらないと判断したと言う事は日々の体調の差や
ある種の思い込みで錯覚していたのかもしれません。お返事ありがとうございました。
>体感モニターのサイズが小さくなればなるほど同じ設定にした場合に遅く感じる
それ単に画面に近づきすぎなんじゃないか？
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- なんかiwaraずっと重くね？
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