分からない問題はここに書いてね448

1132人目の素数さん2018/10/22(月) 23:34:13.76ID:E/Wq6zj4
さあ、今日も1日がんばろう★☆

前スレ
分からない問題はここに書いてね447
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1537106483/

708132人目の素数さん2018/11/13(火) 02:22:01.23ID:22YgXB8l
半径1の円に内接する三角形の周の長さの極値を偏微分を用いて求めよ

709132人目の素数さん2018/11/13(火) 04:29:26.57ID:uKsDMlWu
a1=1の時
2a1+1=an+3

お願いします

710132人目の素数さん2018/11/13(火) 07:25:20.32ID:UigxEbMv
>>701
f(x) = x^3 -3AAx -B,
とおくと
f '(-A) = f '(A) = 0
さらに
 A = 1 +3t +3tt,
B = ±(-2A+1)(A+3t+1)(A-3t-2)
とおけば
 f(-2A+1) = f(A+3t+1) = f(A-3t-2) = 0, or
 f(2A-1) = f(-A-3t-1) = f(-A+3t+2) = 0,

711132人目の素数さん2018/11/13(火) 08:21:29.47ID:CYvjhPro
>>708
正弦定理より a + b + c = 2 (sinA + sinB + sinC)
拘束条件は A + B + C = π
ラグランジュ未定乗数を μ として
F(A,B,C) = 2 (sinA + sinB + sinC) - μ*( A + B + C )
∂F/∂A = 2cosA - μ = 0, ... , ...
A = B = C = arccos(μ/2) = π/3 以下略

712132人目の素数さん2018/11/13(火) 15:52:58.75ID:hCijuWIV
完全マッチングは最大マッチングであることはどう証明しますか?

713132人目の素数さん2018/11/13(火) 15:58:27.86ID:hCijuWIV
あ、分かりました。

714132人目の素数さん2018/11/13(火) 16:04:57.98ID:hCijuWIV
G = (V, E) を完全パッチングをもつグラフとする。

Mp を G = (V, E) の完全マッチングとする。

明らかに、

|Mp| = |V| / 2

が成り立つ。

よって、すべての完全マッチングの辺の数は等しく、その数は、 |V| / 2 である。

Mmax を G = (V, E) の最大マッチングとし、 |Mmax| > |Mp| と仮定して矛盾を導く。

明らかに、

2 * |Mmax| ≦ |V|

が成り立つ。

∴ |Mmax| ≦ |V| / 2 = |Mp|

これは矛盾である。

よって、完全マッチングは最大マッチングである。

715132人目の素数さん2018/11/13(火) 16:05:38.37ID:hCijuWIV
>>714

訂正します:

G = (V, E) を完全マッチングをもつグラフとする。

Mp を G = (V, E) の完全マッチングとする。

明らかに、

|Mp| = |V| / 2

が成り立つ。

よって、すべての完全マッチングの辺の数は等しく、その数は、 |V| / 2 である。

Mmax を G = (V, E) の最大マッチングとし、 |Mmax| > |Mp| と仮定して矛盾を導く。

明らかに、

2 * |Mmax| ≦ |V|

が成り立つ。

∴ |Mmax| ≦ |V| / 2 = |Mp|

これは矛盾である。

よって、完全マッチングは最大マッチングである。

716132人目の素数さん2018/11/13(火) 16:45:19.88ID:ggNMuHZ2
大学入試で関数の最小を求める問題で
指定の値域で導関数がゼロになるものが一つしかない場合
論述でこれ書いたら雑な方法認定されて減点されますかね?

導関数が値域のどこかで正か負の無限大にならない場合、
+0+、-0-、+0-、-0+ の4パターンしかないですから端点と0の点だけ調べればいけますよね?

やっぱ増減表書かないとまずいでしょうか?

https://i.imgur.com/2tESt3F.jpg

717132人目の素数さん2018/11/13(火) 20:29:34.52ID:+3F7rNlc
問題 15%の食塩水600gから100gを使い、その後、水を250g入れると[ ]%の食塩水になる。

答えは10%なんですが、過程式がわからないです…
よろしくお願いします

718132人目の素数さん2018/11/13(火) 20:33:45.58ID:4BlXq1n6
>>717
水と食塩を別々に考える

719132人目の素数さん2018/11/13(火) 20:38:02.53ID:+3F7rNlc
すいません自己解決しました

720132人目の素数さん2018/11/13(火) 20:40:22.95ID:q12cjSJu
https://i.imgur.com/MKH94wj.jpg
誰も解けないかんじですか?難問ですが解ける人いたらお願いします。

721132人目の素数さん2018/11/13(火) 21:45:25.57ID:CYvjhPro
ゴミみたいな問題だからスルーしてるだけですよ。
e^{2πia/b} 以下略

722132人目の素数さん2018/11/13(火) 22:43:24.93ID:uF2vbFvO
Aを可換環、Bを部分環、a∈Aとする。
このとき、B[a]がA加群として有限生成なら、生成系はあるnが存在し{1,a,......,a^n}と取れることの証明を教えて下さい。

723132人目の素数さん2018/11/13(火) 22:47:28.25ID:uF2vbFvO
>>722
これはおかしいですね
AをB代数、b∈Bとして、A[b]がA加群として有限生成なら、生成系として{1,b,....b^n}がとれるでお願いします

724132人目の素数さん2018/11/13(火) 22:48:52.30ID:uF2vbFvO
>>723
BはA代数です

725132人目の素数さん2018/11/13(火) 22:51:50.48ID:gbdtX+ya
>>721
全部の解答解説お願いします。

726132人目の素数さん2018/11/13(火) 23:39:28.17ID:CYvjhPro
>>725
(1) 整数 k, k’ が exp(i2π k/b) = exp(i2π k’ /b) となる必要十分条件は
2π k/b = 2π k’ /b + 2π n (nは適当な整数) の関係にある事である.
すなわち k ≡ k’ (mod b) であり、k=0, 1, ..., b-1 が相異なる exp(...) を与える. よって #P = b.
(2) a k ≡ 1 (mod b) を与える k が存在する. (∵ a, b は互いに素). (1)よりそれが求めたかった k である.
(3) 明らかに Q ⊂ P である. また(2)よりQは P の生成元を含む、よって P ⊂ Q.
(4)  (3)より a1 = a2 = 1 としても同じ事である.
適当な k,k’ を選べば k/b1 + k’/b2 = k(b2 k + b1 k’)/(b1 b2) = 1/(b1 b2) とできる. (∵例えばユークリッド互除法)
よって (1)〜(3)より #(Q1Q2) = b1 b2

727132人目の素数さん2018/11/13(火) 23:42:31.90ID:uF2vbFvO
>>724
A, Ab, Ab+Ab^2, ...... はそれぞれ有限生成でA[b]も有限生成だから、あるnが存在してA+Ab+...Ab^n = A[b]となる
よって1,b, ...... , b^nがとれる
とネーター加群の真似をしてみたのですが、これは正しいでしょうか?

728イナ ◆/7jUdUKiSM 2018/11/13(火) 23:47:43.53ID:crmfHOLd
15%食塩水600gからとった食塩水100gの中に食塩は何gある?
15gだ。
残り500gの中に食塩は何gある?
75gだ。
250g足したら食塩水は何gになった?
750gだ。
750gの食塩水の中に75gの食塩がある。何%だ?
10%だ。

式か?
100×0.15=15
600-100=500
15×(500/100)=75
500+250=750
(75/750)×100=10
この五式で満点だろう。

729132人目の素数さん2018/11/13(火) 23:56:50.94ID:0KDw12l5
>>722-723
一般にMが有限生成、(m[i])がMの元の集合でM = Σ[i∈I]m[i]AとするとIの有限部分集合FがとれてM = Σm[i∈F]A。

(∵) M = Σ[j=1〜n]n[j]Aとする。
各 j に対し有限集合 F[j] と a[i,j]∈Aで
n[j] = Σ[i∈F[j]]m[i]a[ij]
となるものがとれる。
F = ∪ F[j] とすれば n[j] ∈ Σ[i∈F] m[i]Aであるから
M ⊂ Σ[j=1〜n]n[j]A ⊂ Σ[i∈F] m[i]A である。

730132人目の素数さん2018/11/14(水) 00:22:02.53ID:uBKcGx1c
>>728
問題 15%の食塩水600mLから100mLを使い、その後、水を250g入れると[ ]%の食塩水になる。
と改変すると比重を考える必要が出てきて難問化するね。

731132人目の素数さん2018/11/14(水) 01:44:04.26ID:dekwf6Rr
>>729
有限生成であることの同値な言いかえとしてそのようなことが成り立つのは知りませんでした
ありがとうございます

732132人目の素数さん2018/11/14(水) 03:05:07.86ID:CzGiYHCa
m^p-n^q=2を満たす2以上の自然数m,n,p,qは存在しないか、有限組しか存在しないことを示せ。
必要であれば以下の事実を用いて良い。
「a^b-c^d=1を満たす2以上の自然数a,b,c,dはただ一組しか存在しない」

733132人目の素数さん2018/11/14(水) 04:36:40.94ID:WJc3HkK3
n×mはn個の素数の和で表せる
m≧2、n≧2

734132人目の素数さん2018/11/14(水) 19:20:31.02ID:7CWetvl2
>>710
ありがとうございます

735132人目の素数さん2018/11/14(水) 20:29:38.39ID:x+xjb88U
>>728 ありがとうございます。助かりました。

問題@
ある仕事を仕上げるのにAは10日、Bは15日、Cは20日かかる。この仕事を3人で協力して行ったが、途中Aが休んだので、仕上げるのに6日かかった。Aは何日仕事を休んだか?

答え 3日ですが、 過去問に過程式がないので理解できないです。

問題A
2人が自転車に乗って走っている。その速さの比は11:8である。この2人が周囲480mの円形の池の同じ地点から同時に同方向にスタートしてまわるとき、速い人は遅い人を4分ごとに追い越す。2人の毎分の速さを求めよ

答え 440m. 320m. 同じく過程式が知りたいです。

よろしくお願いします

736132人目の素数さん2018/11/14(水) 20:43:14.64ID:uBKcGx1c
>>735
問題@
ある仕事を仕上げるのにAは10日、Bは15日、Cは20日かかる。この仕事を3人で協力して行ったが、途中Aが休んだので、仕上げるのに6日かかった。Aは何日仕事を休んだか?

答え 3日ですが、 過去問に過程式がないので理解できないです。

計算しやすいように仕事量を60u(unitの略)とすると
A,B,C が1日にこなす仕事量は6u,4u,3uとなる。
休んだ日数をxとすると。
6u*(6-x)+4u*6+3u*6=60u

737132人目の素数さん2018/11/14(水) 20:48:48.15ID:uBKcGx1c
問題A
2人が自転車に乗って走っている。その速さの比は11:8である。この2人が周囲480mの円形の池の同じ地点から同時に同方向にスタートしてまわるとき、速い人は遅い人を4分ごとに追い越す。2人の毎分の速さを求めよ

答え 440m. 320m. 同じく過程式が知りたいです。

よろしくお願いします


a=11u m/min
b=8u m/min
とおいて
480/4=(11-8)u
u=40

738132人目の素数さん2018/11/14(水) 20:55:52.19ID:uBKcGx1c
>735のような問題を特殊訓練や数式なしで解ける小学生は凄いといつも思う。

739132人目の素数さん2018/11/14(水) 21:18:48.70ID:a7i6J9Es
>>736
Aが一日で片づける仕事を30とすると10日で300
Bが一日で片づける仕事は20
Cが一日で片づける仕事は15となる

三人がフルで6日間働くと

(30+20+15)x6=65x6=390の仕事量

『この仕事』の仕事量はAの10日分で300

本来390できたはずの仕事が300しかできなかったので
差分は90

Aが休んだ日数は

90/30=3で三日間となる

740132人目の素数さん2018/11/14(水) 21:42:27.47ID:CzGiYHCa
3次関数f(x)はf(-1),f(1),f(2018)のいずれも整数値をとる。
任意の整数nに対してf(n)は整数か。

741132人目の素数さん2018/11/14(水) 21:43:32.00ID:x+xjb88U
>>736-739

素早い回答ありがとうございます。すごく助かります!

742132人目の素数さん2018/11/14(水) 21:45:29.01ID:CzGiYHCa
(1)半径1の円周上に長さ√2と長さ√3の弦を取ったとき、その弦に対する中心角をそれぞれ求めよ。答えのみでよい。
(2)√2+√3とπの大小を比較せよ。

743132人目の素数さん2018/11/14(水) 22:08:43.38ID:IePKq+TS
(x+1)(x-1)(x-2018)/100000

744132人目の素数さん2018/11/14(水) 22:17:57.30ID:vV14Eq0e
ax^2 + b^x + c = 0 ・・・@
Ax^2 + B^x + C = 0 ・・・A

R = (aC - Ac)^2 - (aB - Ab)(bC - Bc)

@、Aが実数係数の2次方程式でいずれも2実数解をもつとする。@の2解はα、β;Aの2解はγ、δ。
このとき、

R = a^2(Aα^2 + Bα + C)(Aβ^2 + Bβ + C) = A^2(aγ^2 + bγ + c)(aδ^2 + bδ + c)

を示せ。

745132人目の素数さん2018/11/14(水) 22:21:03.26ID:vV14Eq0e
>>744 一部訂正
2実数解→異なる実数解

746132人目の素数さん2018/11/14(水) 23:10:48.23ID:vV14Eq0e
再度訂正

ax^2 + bx + c = 0 ・・・@
Ax^2 + Bx + C = 0 ・・・A

R = (aC - Ac)^2 - (aB - Ab)(bC - Bc)

@、Aが実数係数の2次方程式でいずれも異なる2実数解をもつとする。@の2解はα、β。Aの2解はγ、δ。
このとき、

R = a^2(Aα^2 + Bα + C)(Aβ^2 + Bβ + C) = A^2(aγ^2 + bγ + c)(aδ^2 + bδ + c)

を示せ。

747132人目の素数さん2018/11/15(木) 02:14:07.59ID:waqPpZo4
a,b,c,A,B,C の単位が [U] のとき
α〜δは無次元、
(aC - Ac)^2 - (aB - Ab)(bC - Bc)は[U^2]、
a^2(Aα^2 + Bα + C)(Aβ^2 + Bβ + C)、A^2(aγ^2 + bγ + c)(aδ^2 + bδ + c)は[U^4]。

748132人目の素数さん2018/11/15(木) 03:37:51.95ID:BIkI04V5
>>742
(1) 90゚,120゚
(2) √2 + √3 > π,


あ、こっちは答だけぢゃねぇのか。
 θ = 15゚ = 60゚ - 45゚ = 45゚ - 30゚,
から加法公式により
 sin(15゚) = (√6 - √2)/4,
 tan(15゚) = 2 - √3,
が求まる。これらを Snellius-Huygens の式
 2sinθ + tanθ > 3θ,
に入れると
 (√6 - √2)/2 + (2 - √3) > π/4,
よって
 √2 + √3 > 2(√6 - √2) + 4(2 - √3) > π,

(*) (√2 + √3) - 2(√6 - √2) - 4(2 - √3)
  = (1/4)(√2 - 1)^2・(√3 - 1)^4・(√3 - √2)
  > 0,

不等式スレ9 - 761 (3), 762

749132人目の素数さん2018/11/15(木) 03:55:27.18ID:ENVjqB3L
>>746
くだらない問題
計算がちょっと長いだけだった

750132人目の素数さん2018/11/15(木) 14:40:44.23ID:neQ8JPzy
 ABC
 ACB
 BAC
 BCA
+CAB
--------
3123

A,B,Cは?

751132人目の素数さん2018/11/15(木) 15:18:09.65ID:EN9ANbG5
コピペ荒らしは、頭が伝説のわかめちゃん

752132人目の素数さん2018/11/15(木) 15:21:55.76ID:F02sKGU1
オックスフォード大学に入学して数学を専攻したい。

753132人目の素数さん2018/11/15(木) 15:56:21.46ID:fMjWRK3Z
G をグラフとする。
M^* を G の最大マッチングとする。
M を G のマッチングとする。

このとき、 G には、 M に関する、点を共有しない |M^*| - |M| 個の単純な増加パスが存在することを示せ

754132人目の素数さん2018/11/15(木) 16:09:02.25ID:KUjerVlO
この積分が解けません…途中計算を教えてもらえないでしょうか?

ざっとググった感じarcsinがでてくるらしいのですができればarcsin使う方向でお願いしたいです

https://i.imgur.com/PRH9wUj.jpg

755132人目の素数さん2018/11/15(木) 16:24:42.16ID:KUjerVlO
すみません!解決しました!
ご協力ありがとうございます!

756132人目の素数さん2018/11/15(木) 16:32:55.50ID:fMjWRK3Z
∫ sqrt( (1 - x) / (1 + x) ) dx = ∫ (1 - x) * sqrt( 1 / (1 - x^2) ) dx

= ∫ (1 - x) * (arcsin(x))' dx

=

(1 - x) * arcsin(x) + ∫ arcsinx dx

=

(1 - x) * arcsin(x) + x * arcsin(x) + sqrt(1 - x^2)

= arcsin(x) + sqrt(1 - x^2)

757132人目の素数さん2018/11/15(木) 17:15:32.83ID:v4atAZWV
>>750
Prelude> [(a,b,c)|a<-[1..9],b<-[1..9],c<-[1..9], (a+a+b+b+c)*100+(b+c+a+c+a)*10+(c+b+c+a+b)==3123]
[(3,7,8)]

758132人目の素数さん2018/11/15(木) 18:30:52.41ID:ETO4WCDt
>>750
(A,B,C)=(3,7,8)
A,B,Cが1桁の整数とは一言も書いてないけどな

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