【数セミ】エレガントな解答をもとむ3【2018.10】

95132人目の素数さん2018/11/09(金) 12:04:27.56ID:pvdoV3Z4
11月号

■出題1

N=8n に限ることは容易に分かると思う。

例の図を見て最初に思いつくのは
 1〜2n では ↓,←
 2n+1〜6n では ↑,→
 6n+1〜8n では ↓,←
というものだろう。

曲線 x = y - √|y| 上に
 P_k (-k(k+1),-kk)   k=0〜4n
曲線 x = y + √|y| 上に
 Q_k(-k(k+1),-(k+1)^2)  k=0〜4n-1
を取り、
P_0 - Q_0 - P_1 - Q_1 - … - P_4n を結ぶ。

* これらの曲線は、1本の放物線(軸: y=x-1/4)の2本の枝である。

このままでは閉じないから、P_nで180゚ 折り曲げ、さらに P_3n でも180゚折り曲げよう。
このとき P_n および P_3n の接線を横切るから、N角形は自身と交叉しない。
また P_4n は P_0 と重なる、つまり閉じる。

このN角形の面積は 4(11n+2)n^2
3曲線に囲まれた部分の面積は (4/3)n^3
P_k たちが作る4n角形の面積は (4/3)n^3 + (2/3)n,
らしい。

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