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一辺の長さ1の正五角形の頂点を全て結ぶ分岐あり曲線の長さの最小値を求めよ
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0001イナ ◆/7jUdUKiSM 垢版2018/07/29(日) 09:41:30.65ID:4bUtbiVa
面白い問題おしえて～な26問目よりつづきです。
0047１３２人目の素数さん垢版2018/08/07(火) 02:53:17.00ID:aIKuwmz1
やっと平和になった。
そう言えば、きのうは広島で平和祈念式だったな。
0048イナ ◆/7jUdUKiSM 垢版2018/08/07(火) 22:03:39.61ID:O2SKNB5L
昨日までの暑さがうそみたいに涼しいね。前>>39カブトガニ型の左右対称な分岐点3つの経路の値を確認した。
(斜め線4つ)=(1+√5)/2×(2/√3)
=(1+√5)/√3
(短い縦線)=(正五角形の高さ)-(中央と左右の分岐点の水平距離)(1/√3)-(長い縦線)
=√[{(1+√5)/2}^2-(1/2)^2}]-1/2√3-(長い縦線)
(長い縦線)=(左右の頂点の高さ)-(左右の頂点と左右のの分岐点の水平距離)×(1/√3)
=√[1-{(1+√5)/4 -(1/2)}^2]-{(1+√5)/4 -(1/2)}(1/√3)
=(1/4)√(10+2√5)-(√5-1)/4√3
(最小値)=(1+√5)/√3+(1/2)√(5+2√5)-1/2√3+(1/4)√(10+2√5)-(√5-1)/4√3
=(1+2√5)/2√3+(1-√5)/4√3+(1/4)2√(5+2√5)+(1/4)√(10+2√5)
=(1/4){2√(5+2√5)+√(10+2√5)+(1+√5)√3}
≒(1/4)(6.15536707+3.80422607+5.60503415)
=3.8911568225
0050１３２人目の素数さん垢版2018/08/09(木) 14:12:16.14ID:DUTF3h+v
雨だね。
0053イナ ◆/7jUdUKiSM 垢版2018/08/10(金) 11:43:41.24ID:O38KwL8o
;;;;;;;;人;;;;;;;;;;;
;;;;;;;(＿);;;;;;;;;;
;;;;;;(＿)_)､;;;;;;;;
;;;;;(_)＿)_))､;;;;;;;
;;;;(_(＿)_)_)_);;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;>>52四辺が同じ長さのとき。前>>50 ５月５日はこどもの日だろ。６月４日は虫歯予防デー。わかるら。
0054１３２人目の素数さん垢版2018/08/11(土) 05:48:14.60ID:OvqaCq6H
>イナ
こいつには証明という概念はないの？
0055１３２人目の素数さん垢版2018/08/11(土) 18:59:45.87ID:05wxJPem
>>52

それはわかってるんですよ。基本資料だから読んでないわけがない。そのページの２ 標準偏差（２SD）って具体的にどんな数値を入れて計算するのかを聴いているんです。
0057１３２人目の素数さん垢版2018/08/15(水) 11:39:53.66ID:6OEqz/R6
http://i.imgur.com/uBTnujq.png
のシオマネキのハサミを覗いた部分は左右対称と仮定。
５角形の底辺の中点を原点として右側の三差路の交差点の座標を(x,y)として
コンピューターに最小値を算出させてみた。
座標 (0.3799888 0.2080354)で 最長値は3.956295と出てきた。

> optim(c(0.4,0.4),sio,method='Nelder-Mead')
$`par`
[1] 0.3799888 0.2080354

$value
[1] 3.956295

$counts
function gradient
45 NA

$convergence
[1] 0

$message
NULL
0061１３２人目の素数さん垢版2018/08/15(水) 21:24:45.40ID:6OEqz/R6
>>58
表示桁を増やしてみた。

> optim(c(1,0.5),kab, method = 'Nelder-Mead')
$`par`
[1] 1.0614192103443205 0.7726595158193953

$value
[1] 3.891156833029388

$counts
function gradient
57 NA

$convergence
[1] 0

$message
NULL


https://i.imgur.com/VhC8cug.png　

底辺の中点を原点において

真ん中の交差点の（０，ｙ１）、右側の交差点が（０．５、ｙ２）としたとき

y1=1.0614192103443205 y2=0.7726595158193953

で　最小値が 3.891156833029388

というのがコンピュータでの結論。

等高線をグラフ化してみた。

https://i.imgur.com/voDx7am.png
0062１３２人目の素数さん垢版2018/08/15(水) 21:30:30.90ID:eFYm1A33
左右非対称解とは結局何だったのか
0063１３２人目の素数さん垢版2018/08/15(水) 21:40:36.66ID:6OEqz/R6
>>62
min(カブトカニ形)　＜　min(シオマネキ形)はいえるけど
カブトカニ形より小さい解がないと言えるんだろうか？
0065イナ ◆/7jUdUKiSM 垢版2018/08/15(水) 23:34:05.57ID:0zF2NnMt
前>>53前々>>48カブトガニ最小=3.8911568225
分岐点2つの距離をxとおくと、
シオマネキ最小=1+{(1+√5)/2-x}×2+(1-x)×2+x
=4+√5-3x――①
斜辺1で三平方の定理。
√[1^2-{(1+√5)/2-1}^2･(1/2)^2]={(1+√5)/2-x}(√3)/2+(1-x)(√3)/2
これを解いて、
x={3√3+√15-√(10+2√5)}/4√3
②を①に代入。
シオマネキ最小=4+√5-{9+3√5-(√3)√(10+2√5)}/4
={7+√5+√(30+6√5)}/4
=3.9562341＞カブトガニ最小
0067イナ ◆/7jUdUKiSM 垢版2018/08/15(水) 23:46:15.81ID:0zF2NnMt
前>>65加筆。
>>48カブトガニ最小=3.8911568225と同様、シオマネキ最小についても作図により式を立て、パソコンなどに一任することなく、中学生がわかる程度の計算によって示したいと思う。
分岐点2つの距離をxとおくと、
シオマネキ最小=1+{(1+√5)/2-x}×2+(1-x)×2+x
=4+√5-3x――①
斜辺1で三平方の定理。
√[1^2-{(1+√5)/2-1}^2･(1/2)^2]={(1+√5)/2-x}(√3)/2+(1-x)(√3)/2
これを解いて、
x={3√3+√15-√(10+2√5)}/4√3――②
②を①に代入。
シオマネキ最小=4+√5-{9+3√5-(√3)√(10+2√5)}/4
={7+√5+√(30+6√5)}/4
=3.9562341＞カブトガニ最小
0068１３２人目の素数さん垢版2018/08/15(水) 23:54:12.57ID:9MuNAPAt
そこじゃないんだよなぁ。
それでいいん？君の数学はそのレベルで終わりでいいん？
0069イナ ◆/7jUdUKiSM 垢版2018/08/16(木) 12:10:17.67ID:SQPcPMZF
>>68ビジュアル八面体みたいに120°じゃない極値があるってのかい？　前>>67


カブトガニ最小=3.8911568225

シオマネキ最小=3.9562341
0.555……×7=3.888……
0070１３２人目の素数さん垢版2018/08/16(木) 12:18:35.11ID:GB9705T4
ホントにわかってないんだなぁ。
>>63が何を疑問に思ってるのかすら君一人だけわかってないんだなぁ。
0071イナ ◆/7jUdUKiSM 垢版2018/08/16(木) 13:12:58.98ID:SQPcPMZF
前>>69仮説。

シオマネキ最小＞カブトガニ最小＞分岐線の最小=35/9=3.888……
0073１３２人目の素数さん垢版2018/08/16(木) 19:49:59.26ID:508YkaXu
>>71
最小解があると言うなら、その解を図示するか、または座標を示してみないかい？
0074イナ ◆/7jUdUKiSM 垢版2018/08/16(木) 20:40:46.57ID:SQPcPMZF
>>71最小値に座標は関係ない。前後左右どうまわしても最小値になるときはなる。分岐線の長さxとおくと、最小値は7x。前>>72でももう疲れた。カブトガニが最小の蠏かもね。

分岐の角度を120°に保ちながらカブトガニより小さくならないかな。
もしなるならピタゴラス。xとyの二次式から四次式ぐらいで抑えないときついよ、ピタゴラス。寝冷えだ。
0075１３２人目の素数さん垢版2018/08/16(木) 20:56:43.85ID:508YkaXu
>>74
ふうん。そう。
おやすみ。おだいじに。
0076１３２人目の素数さん垢版2018/08/16(木) 21:06:24.90ID:NCnvn0cf
なんの意味もないスレ
0077高添沼田の親父「糞関東連合テメエらまとめてぶち殺すっ!!」垢版2018/08/16(木) 21:15:48.20ID:dZ5ratnn
高添沼田（葛飾区青戸6－２３－２１ハイツニュー青戸103号室）の挑発
高添沼田の親父「関東連合文句があったらいつでも孫を金属バットで殴り殺しに来やがれっ!!　関東連合の糞野郎どもは俺様がぶちのめしてやるぜっ!! 賞金をやるからいつでもかかって来いっ!!糞バエ関東連合どもっ!! 待ってるぜっ!!」 (挑戦状)
0078１３２人目の素数さん垢版2018/08/17(金) 09:27:54.93ID:VyDJkqSp
http://i.imgur.com/JLHemTx.png
のように左右対称を前提とせず、カブトガニ形の繋がりのネットワークを対象として
コンピュータで長さが最小となる座標を出して描出させてみた。
つまり変数６個で計算。
> kabu3(opt$par)
[1] 3.891156823335537
> (par=opt$par)
[1] 0.000002699127792359672 0.772642997991326407892 0.500000462950937363260
[4] 1.061317339518144553523 0.999998560151592941203 0.772643514290974220415
Rのコードはここ
https://egg.5ch.net/test/read.cgi/hosp/1493809494/621
この座標で描画すると
http://i.imgur.com/OtyByNy.png
0079１３２人目の素数さん垢版2018/08/17(金) 09:58:33.93ID:mWFnumrr
>>78
この試行はやってみたことある
まずランダムに３点をとって、その３点でできる三角形の短い方から２辺と、元の正五角形の各頂点から、３点のうち最も近い点とを結んでそれら７本の長さを合計する
それから３点を少しずつ動かして極小解を探していく

結果はカブトガニ型に収束するか、４より大きな解になるか、または収束しない
シミュレーションだから最適化できているかは不明だが、カブトガニ解より小さな解はこれまで見つかっていない
0081１３２人目の素数さん垢版2018/08/17(金) 11:06:28.65ID:VyDJkqSp
>78の最小値の最適解算出の初期値は
０～１の一様分布でランダムに設定したけれど
http://i.imgur.com/2b7wvCp.png
のような五角形外から始めても左右対称のカブトガニに収束した。

> optim(runif(6,-1,2),kabu3,method='CG')
$`par`
[1] -0.0000006244007777030901 0.7726459096103870383132 0.5000003027472189609526
[4] 1.0613226509328328450721 1.0000013550880015866795 0.7726459944754771047570

$value
[1] 3.891156823329757
0083１３２人目の素数さん垢版2018/08/17(金) 13:34:20.78ID:VyDJkqSp
>79

>まずランダムに３点をとって
５角形の頂点をp1～p5として分岐点をq1～q5の５点に増やして
p1-q1,p2-q2,p3-q3,p4-q4,p5-q5とq1-q2,q2-q3,q3-q4,q4-q5の長さの合計を
最小値とする座標を計算させてみた。
明らかに最小でない、こういうの候補と
http://i.imgur.com/Ns1e52F.png
http://i.imgur.com/ufJuOjS.png
最小とするパラメータ
> (opt=optim(runif(10),penta,method = 'CG'))
$`par`
[1] 1.0000004341739945346035 1.0000008344836242013542 0.4999996331498277601924
[4] 0.0000003625715489940964 0.0000001533897055299300 0.4058822346805296410466
[7] 0.7726451907010785102869 1.0613213678038868614806 0.7726454972413701050016
[10] 0.3769465135213049822305

$value
[1] 3.89115682332915

これで描画すると
http://i.imgur.com/m370rFb.png
p1,q1,q2が一直線、p5,q5,q4も一直線で
分岐３点のカブトガニに収束した。
0087１３２人目の素数さん垢版2018/08/18(土) 08:51:54.24ID:IFsyvQ2o
>>83
分岐点５点設定でも３分岐点に収束するのだから
３分岐点は２分岐に収束しないのでカブトガニ最小が濃厚だな。
0088１３２人目の素数さん垢版2018/08/21(火) 09:55:54.41ID:Vvkk5uPP
７角形でこういうモデルのとき　http://i.imgur.com/tLSoZ6i.png
の最適解をコンピューターで算出してみた。

Rのコードはこれ

rm(list=ls())
n=7
ngon <- function(n,digit=TRUE,axis=FALSE,cex=1,...){ # draw n-polygon
r=exp(2*pi/n*1i)
p=complex(n)
for(i in 1:(n+1)) p[i]= (1-r^i)/(1-r)
plot(p,bty='l',type='l',axes=axis, ann=FALSE,asp=1,...)
points(1/(1-r),pch='.')
if(digit) text(Re(p),Im(p),paste('p',1:n),cex=cex)
if(axis){axis(1) ; axis(2)}
invisible(p)} # return vertex complex
seg <- function(a,b,...){# draw segment of complex a to complex b
segments(Re(a),Im(a),Re(b),Im(b),col=2,...)}
pt <- function(x,y=NULL,...){ # draw text y at complex x
text(Re(x),Im(x), ifelse(is.null(y),'+',y), ...)}
poly_demo <- function(x=runif(n),y=runif(n)){ # draw segments
graphics.off()
p=ngon(n,axis=T,col='skyblue')
Q=complex(n)
re1=re2=0
for(i in 1:n){
Q[i]=x[i]+y[i]*1i
pt(Q[i],paste('q',i))
seg(p[i],Q[i])
re1=re1+abs(p[i]-Q[i])
}
for(i in 1:(n-1)){
seg(Q[i],Q[i+1])
re2=re2+abs(Q[i]-Q[i+1])
}
return(sum(re1)+sum(re2))}
poly_demo()
p=ngon(n,axis=T,col='skyblue')
poly <- function(par){
x=par[1:n]
y=par[(n+1):(2*n)]
Q=complex(n)
re1=re2=0
for(i in 1:n){
Q[i]=x[i]+y[i]*1i
re1=re1+abs(p[i]-Q[i])}
for(i in 1:(n-1)){
re2=re2+abs(Q[i]-Q[i+1])}
return(sum(re1)+sum(re2))}

(opt=optim(runif(2*n),poly,method = 'CG'))
par=opt$par
ngon(n,axis=T,col='skyblue')
poly_demo(par[1:n],par[(n+1):(2*n)])
0089１３２人目の素数さん垢版2018/08/21(火) 13:26:45.02ID:Vvkk5uPP
#　各頂点から最も近い分岐点を選んで結ぶモデル
rm(list=ls()) ; graphics.off()
# draw n-polygon
ngon <- function(n,print=TRUE,digit=TRUE,axis=FALSE,cex=1,...){
r=exp(2*pi/n*1i)
p=complex(n)
for(i in 1:(n+1)) p[i]= (1-r^i)/(1-r)
if(print){
plot(p,bty='l',type='l',axes=axis, ann=FALSE,asp=1,...)
points(1/(1-r),pch='.')
if(digit) text(Re(p),Im(p),paste('p',1:n),cex=cex)
if(axis){axis(1) ; axis(2)}}
invisible(p) # return vertex complex
}
# draw segment of complex a to complex b
seg <- function(a,b,...){
segments(Re(a),Im(a),Re(b),Im(b),col=2,...)
}
# draw text y at complex x
pt <- function(x,y=NULL,...){
text(Re(x),Im(x), ifelse(is.null(y),'+',y), ...)
}
0090１３２人目の素数さん垢版2018/08/21(火) 14:30:05.10ID:Vvkk5uPP
各頂点からｍ個の分岐点のうち最も近い分岐点を選んで結ぶというモデルにアルゴリズムを変更してみた。
初期値は多角形に外接する正方形の座標を一様分布で選んで、分岐線の長さが最小になる値を
コンピュータに探索させた。
ｍ＝１は警視庁 https://i.imgur.com/TzxfTOB.png
ｍ＝２はカメムシ https://i.imgur.com/lmbrobf.png
ｍ＝３はカブトガニ https://i.imgur.com/eFCXJIS.png
ｍ以上はカブトガニが最小になったが、初期値によっては時々、カメムシが出てきた。
ｍ＝４ https://i.imgur.com/ZgeMrKk.png
ｍ＝５https://i.imgur.com/Ma5ywKu.png
ｍ＝６https://i.imgur.com/1lXykpv.png
ｍ＝７https://i.imgur.com/vVBLEdE.png
ｍ＝８https://i.imgur.com/DMzcEI3.png

ちなみに６角形以上では多角形の辺を結ぶ分岐線が最小になって味気ない。
0095１３２人目の素数さん垢版2018/09/21(金) 20:25:39.78ID:WL3LZOyH
シャボン液を使ったら膜が動いて極小を示せるか？
最小の証明にはならんが
0096１３２人目の素数さん垢版2020/11/25(水) 12:59:02.23ID:uNm3BuF0
>>94
直角⊿　　(a,b,c) = (135,352,377) と
二等辺Δ　(x,y,y) = (132,366,366)　
は条件をみたす。（L=864, S=23760)

Denis Boris (2003/Oct/22) が a<400000 には他の例がないことを示す。
http://mathworld.wolfram.com/HeronianTriangle.html
これを IBM research の Ponder this に出題

Dan Dima (2004/Feb/12　07:07:05)　が解の uniquity を示す。
Michael Stoll (2004/Feb/27　16:25:23)　　〃

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1537412180/

慶應義塾は数論幾何学における「p進 Abel積分論」と「有理点の降下法」を応用したらしいけど
そんなの使う必要あんの？
0097１３２人目の素数さん垢版2021/02/19(金) 03:41:37.24ID:45fvrIx7
定規とコンパスにより正五角形を作図する方法

ARを直径とする円Xを描く。
これに内接する正五角形 ABCDEA を作図しよう。
　A (-1, 0)
　C (cos(36), sin(36))
　D (cos(36), -sin(36))
　R (1, 0)
　T (1/2, 0)
とする。
第二余弦定理より
　CT^2 = 1 + 1/4 - cos(36) = 5/4 - φ/2 = 5/4 - 29/36 = 4/9,
　CT = DT = 2/3,

直径ARの4等分点Tを中心とし、ARの1/3を半径とする円Yを描く。
円X と 円Y の交点を C および D とする。
ACの垂直2等分線と円Xの交点を B とする。
ADの垂直2等分線と円Xの交点を E とする。
　弦AB = BC = CD = DE = EA,　(終)

http://suseum.jp/gq/question/3233
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