一辺の長さ1の正五角形の頂点を全て結ぶ分岐あり曲線の長さの最小値を求めよ

1イナ ◆/7jUdUKiSM 2018/07/29(日) 09:41:30.65ID:4bUtbiVa
面白い問題おしえて〜な26問目よりつづきです。

45132人目の素数さん2018/08/05(日) 17:46:30.20ID:kvtNbgtJ
自由店では三股になっていないといけない。
よって最小解の凸包の頂点は全て固定点。

46132人目の素数さん2018/08/06(月) 14:31:47.00ID:iZo6oDkQ
何の話がなされているか理解できないスレ主が、元スレに戻ってやがる…。

クソコテの脳内
「なにをゆってるのかわからないけどぼくのまちがいをしてきしようとするひとわぼくをいぢめようとしているひとなのでむししてもいいよね」

47132人目の素数さん2018/08/07(火) 02:53:17.00ID:aIKuwmz1
やっと平和になった。
そう言えば、きのうは広島で平和祈念式だったな。

48イナ ◆/7jUdUKiSM 2018/08/07(火) 22:03:39.61ID:O2SKNB5L
昨日までの暑さがうそみたいに涼しいね。前>>39カブトガニ型の左右対称な分岐点3つの経路の値を確認した。
(斜め線4つ)=(1+√5)/2×(2/√3)
=(1+√5)/√3
(短い縦線)=(正五角形の高さ)-(中央と左右の分岐点の水平距離)(1/√3)-(長い縦線)
=√[{(1+√5)/2}^2-(1/2)^2}]-1/2√3-(長い縦線)
(長い縦線)=(左右の頂点の高さ)-(左右の頂点と左右のの分岐点の水平距離)×(1/√3)
=√[1-{(1+√5)/4 -(1/2)}^2]-{(1+√5)/4 -(1/2)}(1/√3)
=(1/4)√(10+2√5)-(√5-1)/4√3
(最小値)=(1+√5)/√3+(1/2)√(5+2√5)-1/2√3+(1/4)√(10+2√5)-(√5-1)/4√3
=(1+2√5)/2√3+(1-√5)/4√3+(1/4)2√(5+2√5)+(1/4)√(10+2√5)
=(1/4){2√(5+2√5)+√(10+2√5)+(1+√5)√3}
≒(1/4)(6.15536707+3.80422607+5.60503415)
=3.8911568225

49132人目の素数さん2018/08/09(木) 03:02:30.33ID:w0c/gBS2
>>47
 長崎はきょうです。。。

50132人目の素数さん2018/08/09(木) 14:12:16.14ID:DUTF3h+v
雨だね。

51132人目の素数さん2018/08/10(金) 03:17:49.07ID:MxWQLJMW
アメダス  (なぜか関西弁)
 http://www.jma.go.jp/jp/amedas/

52132人目の素数さん2018/08/10(金) 03:46:03.76ID:MxWQLJMW
〔次の問題〕
周の長さが一定の四角形(長方形以外も含む)はどうしたら面積が最大になるの?
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1482158333/

53イナ ◆/7jUdUKiSM 2018/08/10(金) 11:43:41.24ID:O38KwL8o
;;;;;;;;人;;;;;;;;;;;
;;;;;;;(_);;;;;;;;;;
;;;;;;(_)_)、;;;;;;;;
;;;;;(_)_)_))、;;;;;;;
;;;;(_(_)_)_)_);;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;>>52四辺が同じ長さのとき。前>>50 5月5日はこどもの日だろ。6月4日は虫歯予防デー。わかるら。

54132人目の素数さん2018/08/11(土) 05:48:14.60ID:OvqaCq6H
>イナ
こいつには証明という概念はないの?

55132人目の素数さん2018/08/11(土) 18:59:45.87ID:05wxJPem
>>52

それはわかってるんですよ。基本資料だから読んでないわけがない。そのページの2 標準偏差(2SD)って具体的にどんな数値を入れて計算するのかを聴いているんです。

56132人目の素数さん2018/08/15(水) 08:10:57.93ID:ui1ogxnG
五角形の中心と各頂点を結ぶ放射状の線だと題意をみたさないのか?

57132人目の素数さん2018/08/15(水) 11:39:53.66ID:6OEqz/R6
http://i.imgur.com/uBTnujq.png
のシオマネキのハサミを覗いた部分は左右対称と仮定。
5角形の底辺の中点を原点として右側の三差路の交差点の座標を(x,y)として
コンピューターに最小値を算出させてみた。
座標 (0.3799888 0.2080354)で 最長値は3.956295と出てきた。

> optim(c(0.4,0.4),sio,method='Nelder-Mead')
$`par`
[1] 0.3799888 0.2080354

$value
[1] 3.956295

$counts
function gradient
45 NA

$convergence
[1] 0

$message
NULL

58132人目の素数さん2018/08/15(水) 11:54:36.60ID:6OEqz/R6
https://i.imgur.com/VhC8cug.png

カブトガニでもやってみた

> optim(c(1,0.5),kab, method = 'Nelder-Mead')
$`par`
[1] 1.0614192 0.7726595

$value
[1] 3.891157

$counts
function gradient
57 NA

$convergence
[1] 0

$message
NULL

59132人目の素数さん2018/08/15(水) 11:57:20.54ID:6OEqz/R6
>>57
最長値は3.956295と出てきた。→最小値は3.956295と出てきた。

60132人目の素数さん2018/08/15(水) 12:18:27.42ID:6OEqz/R6

61132人目の素数さん2018/08/15(水) 21:24:45.40ID:6OEqz/R6
>>58
表示桁を増やしてみた。

> optim(c(1,0.5),kab, method = 'Nelder-Mead')
$`par`
[1] 1.0614192103443205 0.7726595158193953

$value
[1] 3.891156833029388

$counts
function gradient
57 NA

$convergence
[1] 0

$message
NULL


https://i.imgur.com/VhC8cug.png 

底辺の中点を原点において

真ん中の交差点の(0,y1)、右側の交差点が(0.5、y2)としたとき

y1=1.0614192103443205 y2=0.7726595158193953

で 最小値が 3.891156833029388

というのがコンピュータでの結論。

等高線をグラフ化してみた。

https://i.imgur.com/voDx7am.png

62132人目の素数さん2018/08/15(水) 21:30:30.90ID:eFYm1A33
左右非対称解とは結局何だったのか

63132人目の素数さん2018/08/15(水) 21:40:36.66ID:6OEqz/R6
>>62
min(カブトカニ形) < min(シオマネキ形)はいえるけど
カブトカニ形より小さい解がないと言えるんだろうか?

64132人目の素数さん2018/08/15(水) 23:27:10.16ID:m/c8a9aB
言えてる。もう証明も上がってる。

65イナ ◆/7jUdUKiSM 2018/08/15(水) 23:34:05.57ID:0zF2NnMt
>>53前々>>48カブトガニ最小=3.8911568225
分岐点2つの距離をxとおくと、
シオマネキ最小=1+{(1+√5)/2-x}×2+(1-x)×2+x
=4+√5-3x――@
斜辺1で三平方の定理。
√[1^2-{(1+√5)/2-1}^2・(1/2)^2]={(1+√5)/2-x}(√3)/2+(1-x)(√3)/2
これを解いて、
x={3√3+√15-√(10+2√5)}/4√3
Aを@に代入。
シオマネキ最小=4+√5-{9+3√5-(√3)√(10+2√5)}/4
={7+√5+√(30+6√5)}/4
=3.9562341>カブトガニ最小

66132人目の素数さん2018/08/15(水) 23:37:22.56ID:9MuNAPAt
この期に及んでまだわかってないんだな。

67イナ ◆/7jUdUKiSM 2018/08/15(水) 23:46:15.81ID:0zF2NnMt
>>65加筆。
>>48カブトガニ最小=3.8911568225と同様、シオマネキ最小についても作図により式を立て、パソコンなどに一任することなく、中学生がわかる程度の計算によって示したいと思う。
分岐点2つの距離をxとおくと、
シオマネキ最小=1+{(1+√5)/2-x}×2+(1-x)×2+x
=4+√5-3x――@
斜辺1で三平方の定理。
√[1^2-{(1+√5)/2-1}^2・(1/2)^2]={(1+√5)/2-x}(√3)/2+(1-x)(√3)/2
これを解いて、
x={3√3+√15-√(10+2√5)}/4√3――A
Aを@に代入。
シオマネキ最小=4+√5-{9+3√5-(√3)√(10+2√5)}/4
={7+√5+√(30+6√5)}/4
=3.9562341>カブトガニ最小

68132人目の素数さん2018/08/15(水) 23:54:12.57ID:9MuNAPAt
そこじゃないんだよなぁ。
それでいいん?君の数学はそのレベルで終わりでいいん?

69イナ ◆/7jUdUKiSM 2018/08/16(木) 12:10:17.67ID:SQPcPMZF
>>68ビジュアル八面体みたいに120°じゃない極値があるってのかい? 前>>67


カブトガニ最小=3.8911568225

シオマネキ最小=3.9562341
0.555……×7=3.888……

70132人目の素数さん2018/08/16(木) 12:18:35.11ID:GB9705T4
ホントにわかってないんだなぁ。
>>63が何を疑問に思ってるのかすら君一人だけわかってないんだなぁ。

71イナ ◆/7jUdUKiSM 2018/08/16(木) 13:12:58.98ID:SQPcPMZF
>>69仮説。

シオマネキ最小>カブトガニ最小>分岐線の最小=35/9=3.888……

72イナ ◆/7jUdUKiSM 2018/08/16(木) 19:49:21.02ID:SQPcPMZF
>>71
小さい蠏。

73132人目の素数さん2018/08/16(木) 19:49:59.26ID:508YkaXu
>>71
最小解があると言うなら、その解を図示するか、または座標を示してみないかい?

74イナ ◆/7jUdUKiSM 2018/08/16(木) 20:40:46.57ID:SQPcPMZF
>>71最小値に座標は関係ない。前後左右どうまわしても最小値になるときはなる。分岐線の長さxとおくと、最小値は7x。前>>72でももう疲れた。カブトガニが最小の蠏かもね。

分岐の角度を120°に保ちながらカブトガニより小さくならないかな。
もしなるならピタゴラス。xとyの二次式から四次式ぐらいで抑えないときついよ、ピタゴラス。寝冷えだ。

75132人目の素数さん2018/08/16(木) 20:56:43.85ID:508YkaXu
>>74
ふうん。そう。
おやすみ。おだいじに。

76132人目の素数さん2018/08/16(木) 21:06:24.90ID:NCnvn0cf
なんの意味もないスレ

77高添沼田の親父「糞関東連合テメエらまとめてぶち殺すっ!!」2018/08/16(木) 21:15:48.20ID:dZ5ratnn
高添沼田(葛飾区青戸6−23−21ハイツニュー青戸103号室)の挑発
高添沼田の親父「関東連合文句があったらいつでも孫を金属バットで殴り殺しに来やがれっ!! 関東連合の糞野郎どもは俺様がぶちのめしてやるぜっ!! 賞金をやるからいつでもかかって来いっ!!糞バエ関東連合どもっ!! 待ってるぜっ!!」 (挑戦状)

78132人目の素数さん2018/08/17(金) 09:27:54.93ID:VyDJkqSp
http://i.imgur.com/JLHemTx.png
のように左右対称を前提とせず、カブトガニ形の繋がりのネットワークを対象として
コンピュータで長さが最小となる座標を出して描出させてみた。
つまり変数6個で計算。
> kabu3(opt$par)
[1] 3.891156823335537
> (par=opt$par)
[1] 0.000002699127792359672 0.772642997991326407892 0.500000462950937363260
[4] 1.061317339518144553523 0.999998560151592941203 0.772643514290974220415
Rのコードはここ
https://egg.5ch.net/test/read.cgi/hosp/1493809494/621
この座標で描画すると
http://i.imgur.com/OtyByNy.png

79132人目の素数さん2018/08/17(金) 09:58:33.93ID:mWFnumrr
>>78
この試行はやってみたことある
まずランダムに3点をとって、その3点でできる三角形の短い方から2辺と、元の正五角形の各頂点から、3点のうち最も近い点とを結んでそれら7本の長さを合計する
それから3点を少しずつ動かして極小解を探していく

結果はカブトガニ型に収束するか、4より大きな解になるか、または収束しない
シミュレーションだから最適化できているかは不明だが、カブトガニ解より小さな解はこれまで見つかっていない

80132人目の素数さん2018/08/17(金) 10:15:00.75ID:VyDJkqSp
>>79
レスありがとう。
>78は座標の取りうる値に制限をつけてないので
ネットワークが重なるようなのも対象にして算出している。
http://i.imgur.com/Y9ookqK.png

81132人目の素数さん2018/08/17(金) 11:06:28.65ID:VyDJkqSp
>78の最小値の最適解算出の初期値は
0〜1の一様分布でランダムに設定したけれど
http://i.imgur.com/2b7wvCp.png
のような五角形外から始めても左右対称のカブトガニに収束した。

> optim(runif(6,-1,2),kabu3,method='CG')
$`par`
[1] -0.0000006244007777030901 0.7726459096103870383132 0.5000003027472189609526
[4] 1.0613226509328328450721 1.0000013550880015866795 0.7726459944754771047570

$value
[1] 3.891156823329757

82132人目の素数さん2018/08/17(金) 13:17:28.10ID:5QyvDwxU
お墓参りに来ますた。南無阿弥陀仏。
(まだ生きていたとは…)

83132人目の素数さん2018/08/17(金) 13:34:20.78ID:VyDJkqSp
>79

>まずランダムに3点をとって
5角形の頂点をp1〜p5として分岐点をq1〜q5の5点に増やして
p1-q1,p2-q2,p3-q3,p4-q4,p5-q5とq1-q2,q2-q3,q3-q4,q4-q5の長さの合計を
最小値とする座標を計算させてみた。
明らかに最小でない、こういうの候補と
http://i.imgur.com/Ns1e52F.png
http://i.imgur.com/ufJuOjS.png
最小とするパラメータ
> (opt=optim(runif(10),penta,method = 'CG'))
$`par`
[1] 1.0000004341739945346035 1.0000008344836242013542 0.4999996331498277601924
[4] 0.0000003625715489940964 0.0000001533897055299300 0.4058822346805296410466
[7] 0.7726451907010785102869 1.0613213678038868614806 0.7726454972413701050016
[10] 0.3769465135213049822305

$value
[1] 3.89115682332915

これで描画すると
http://i.imgur.com/m370rFb.png
p1,q1,q2が一直線、p5,q5,q4も一直線で
分岐3点のカブトガニに収束した。

84132人目の素数さん2018/08/17(金) 13:39:00.61ID:VyDJkqSp
>>83
R の コードはここに置いた
https://egg.5ch.net/test/read.cgi/hosp/1533510399/451-452

85132人目の素数さん2018/08/17(金) 14:27:36.94ID:VyDJkqSp
>>83
×こういうの候補と
〇こういうの候補を含めて

86132人目の素数さん2018/08/17(金) 15:20:06.10ID:Xs+I9BdE
>>85
→こういう候補を含めて

87132人目の素数さん2018/08/18(土) 08:51:54.24ID:IFsyvQ2o
>>83
分岐点5点設定でも3分岐点に収束するのだから
3分岐点は2分岐に収束しないのでカブトガニ最小が濃厚だな。

88132人目の素数さん2018/08/21(火) 09:55:54.41ID:Vvkk5uPP
7角形でこういうモデルのとき http://i.imgur.com/tLSoZ6i.png
の最適解をコンピューターで算出してみた。

Rのコードはこれ

rm(list=ls())
n=7
ngon <- function(n,digit=TRUE,axis=FALSE,cex=1,...){ # draw n-polygon
r=exp(2*pi/n*1i)
p=complex(n)
for(i in 1:(n+1)) p[i]= (1-r^i)/(1-r)
plot(p,bty='l',type='l',axes=axis, ann=FALSE,asp=1,...)
points(1/(1-r),pch='.')
if(digit) text(Re(p),Im(p),paste('p',1:n),cex=cex)
if(axis){axis(1) ; axis(2)}
invisible(p)} # return vertex complex
seg <- function(a,b,...){# draw segment of complex a to complex b
segments(Re(a),Im(a),Re(b),Im(b),col=2,...)}
pt <- function(x,y=NULL,...){ # draw text y at complex x
text(Re(x),Im(x), ifelse(is.null(y),'+',y), ...)}
poly_demo <- function(x=runif(n),y=runif(n)){ # draw segments
graphics.off()
p=ngon(n,axis=T,col='skyblue')
Q=complex(n)
re1=re2=0
for(i in 1:n){
Q[i]=x[i]+y[i]*1i
pt(Q[i],paste('q',i))
seg(p[i],Q[i])
re1=re1+abs(p[i]-Q[i])
}
for(i in 1:(n-1)){
seg(Q[i],Q[i+1])
re2=re2+abs(Q[i]-Q[i+1])
}
return(sum(re1)+sum(re2))}
poly_demo()
p=ngon(n,axis=T,col='skyblue')
poly <- function(par){
x=par[1:n]
y=par[(n+1):(2*n)]
Q=complex(n)
re1=re2=0
for(i in 1:n){
Q[i]=x[i]+y[i]*1i
re1=re1+abs(p[i]-Q[i])}
for(i in 1:(n-1)){
re2=re2+abs(Q[i]-Q[i+1])}
return(sum(re1)+sum(re2))}

(opt=optim(runif(2*n),poly,method = 'CG'))
par=opt$par
ngon(n,axis=T,col='skyblue')
poly_demo(par[1:n],par[(n+1):(2*n)])

89132人目の素数さん2018/08/21(火) 13:26:45.02ID:Vvkk5uPP
# 各頂点から最も近い分岐点を選んで結ぶモデル
rm(list=ls()) ; graphics.off()
# draw n-polygon
ngon <- function(n,print=TRUE,digit=TRUE,axis=FALSE,cex=1,...){
r=exp(2*pi/n*1i)
p=complex(n)
for(i in 1:(n+1)) p[i]= (1-r^i)/(1-r)
if(print){
plot(p,bty='l',type='l',axes=axis, ann=FALSE,asp=1,...)
points(1/(1-r),pch='.')
if(digit) text(Re(p),Im(p),paste('p',1:n),cex=cex)
if(axis){axis(1) ; axis(2)}}
invisible(p) # return vertex complex
}
# draw segment of complex a to complex b
seg <- function(a,b,...){
segments(Re(a),Im(a),Re(b),Im(b),col=2,...)
}
# draw text y at complex x
pt <- function(x,y=NULL,...){
text(Re(x),Im(x), ifelse(is.null(y),'+',y), ...)
}

90132人目の素数さん2018/08/21(火) 14:30:05.10ID:Vvkk5uPP
各頂点からm個の分岐点のうち最も近い分岐点を選んで結ぶというモデルにアルゴリズムを変更してみた。
初期値は多角形に外接する正方形の座標を一様分布で選んで、分岐線の長さが最小になる値を
コンピュータに探索させた。
m=1は警視庁 https://i.imgur.com/TzxfTOB.png
m=2はカメムシ https://i.imgur.com/lmbrobf.png
m=3はカブトガニ https://i.imgur.com/eFCXJIS.png
m以上はカブトガニが最小になったが、初期値によっては時々、カメムシが出てきた。
m=4 https://i.imgur.com/ZgeMrKk.png
m=5https://i.imgur.com/Ma5ywKu.png
m=6https://i.imgur.com/1lXykpv.png
m=7https://i.imgur.com/vVBLEdE.png
m=8https://i.imgur.com/DMzcEI3.png

ちなみに6角形以上では多角形の辺を結ぶ分岐線が最小になって味気ない。

91132人目の素数さん2018/08/21(火) 14:45:15.44ID:hlpHfk+X
m以上、→ 3以上、

92132人目の素数さん2018/08/21(火) 19:21:56.63ID:Vvkk5uPP
3角形から8角形までコンピュータに探索させてみた。

https://i.imgur.com/x6P31j1.png

93132人目の素数さん2018/08/31(金) 11:02:18.25ID:ww21fRDi

94132人目の素数さん2018/09/15(土) 14:07:09.33ID:XAWbYE0K
【新定理】辺の長さが全て整数となる直角三角形と二等辺三角形の組の中には、周の長さも面積も共に等しい組が(相似を除き)1組だけ [485983549]
http://leia.5ch.net/test/read.cgi/poverty/1536987574/

95132人目の素数さん2018/09/21(金) 20:25:39.78ID:WL3LZOyH
シャボン液を使ったら膜が動いて極小を示せるか?
最小の証明にはならんが

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