円の任意の2弦を選んだときにそれらが交わる確率は?

1132人目の素数さん2018/05/01(火) 21:13:06.50ID:nIjWQ5+3
お願いします。

2132人目の素数さん2018/05/01(火) 22:17:37.01ID:VsseSZYp

3132人目の素数さん2018/05/01(火) 23:10:32.08ID:Be837sS1

4イナ ◆/7jUdUKiSM 2018/05/01(火) 23:34:52.45ID:VWn4t1yJ
1/2

じゃないかな?

5イナ ◆/7jUdUKiSM 2018/05/01(火) 23:38:59.82ID:VWn4t1yJ
どっちかが雨に濡れて消えたり、消しゴムが滑って消したりすることもあるだろ。
‖ ̄ ̄‖ ̄ ̄ /■\ ̄/
‖∩∩‖∩∩(´∀∩)┨
( (`)(^o^))つц~丿┃
(っ[ ̄]っц) γ )┃
「 ̄ ̄ ̄ ̄ ̄]`υυ ̄┃
□/_UU__UU□、‖/\┃_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_限りなく1/2に近い1/2未満。前>>4

6132人目の素数さん2018/05/01(火) 23:53:14.27ID:p2IaVO1G
その確率は弦の集合にどういう測度を入れるかに依存する

7132人目の素数さん2018/05/02(水) 00:27:01.89ID:OMSs1I9c
一様分布なら1/3

8132人目の素数さん2018/05/02(水) 00:51:17.25ID:mJGWQQsb
>>7

円周上に4点を選び、順に A,B,C,D とする。
どう選んでも、弦の配置が3とおり可能で
 交わらない … 2とおり(AB+CD、AD+BC)
 交わる … 1とおり(AC+BD)

(4点とも同じ分布に従うとする)

9132人目の素数さん2018/05/02(水) 18:20:55.38ID:oGWKC96S
>>7
> 一様分布なら1/3

だからその「一様」というのはどういう計量についての一様性なのかという事柄に確率は依存するんだよ

10132人目の素数さん2018/05/03(木) 02:27:34.07ID:CZ0Fa01r
>>8

4点とも同じ分布なら(任意の分布で)OK
4点に相関があっても完全対称ならOK
かな

11132人目の素数さん2018/05/03(木) 05:00:46.00ID:yXlJeHv9
>>8
分布が完全対称ってなんですか?

12132人目の素数さん2018/05/03(木) 05:10:46.24ID:yXlJeHv9
>>8

任意のS_1上の区間I,J,K,Lについて

P(p_1∈I_1,p_2∈I_2,p_3∈I_3,p_4∈I_4)
=P(p_1∈I_2,p_2∈I_1,p_3∈I_3,p_4∈I_4)
=P(p_1∈I_3,p_2∈I_2,p_3∈I_1,p_4∈I_4)
=P(p_1∈I_1,p_2∈I_2,p_3∈I_3,p_4∈I_1)

かな?なら成立しますね。

13132人目の素数さん2018/05/03(木) 13:12:53.45ID:i2deuK8x
任意なら100%やな

14132人目の素数さん2018/05/03(木) 13:24:32.71ID:4YhlTbJU
弦の元になる直線が、位置と方向について一様ならどうだ

15132人目の素数さん2018/05/03(木) 13:50:51.14ID:Y4g/yVBF
位置について一様な確率測度なんか存在せんやろ?

16132人目の素数さん2018/05/03(木) 15:54:58.78ID:UrgENH9E
弦の中点が円の(周と中心を除く)内部において一様に分布する、ならあるだろうな。
さらに、その中点の選び方が、中心と中点を結んだベクトルの方向と大きさをそれぞれ
独立な一様分布で選ぶと、また別な議論になる。

ベルトランのパラドックスでよく出てくるやつ。

17132人目の素数さん2018/05/03(木) 17:52:31.42ID:EUchk2o2
円周上の点なら[0, 2π]の一様分布でいいのでは?
0と2πは同じ点になるけど測度0なので無視

18132人目の素数さん2018/05/03(木) 20:54:24.56ID:PQNVo0sN
ぶっちゃけどんな分布とっても大して面白くなりそうもないなぁ

19132人目の素数さん2018/05/03(木) 23:17:36.50ID:UrgENH9E
弦の中心が円内に一様に分布するような確率分布を考えると、
問題はそんなに単純ではなくなってそれなりに面白いと思うが。

問題:
点Oを中心とする半径1の円の,Oを通らない2本の弦l1とl2を考える。
l1の中心をP,l2の中心をQとし、OP=r(0<r<1)とする。
l1とl2が交わっているとき,Pを定点とみなした場合のQの動きうる領域を図示し,
その面積を求めよ。
(逆三角関数を使ってよい)

20132人目の素数さん2018/05/04(金) 00:17:08.99ID:9zRvuNhR
>>23

l1の端点の一方と円の中心を直径とする半径1/2の円2つの排他的論理和?

21132人目の素数さん2018/05/04(金) 02:13:19.01ID:vWuMJwe/
>>20
その通りだと思います。
で、その面積は(1/2)(π+r√(1-r^2)-arcsin(r)) (計算ミスがなければ)
となり、それを円の面積πで割ったものがPを固定した時の弦同士が交わる確率。
あとは、Pを円内の一様分布としたときのrの確率分布を考えて
その確率分布で重み付けしてPを固定した時の確率を積分したものが
この設定での弦が交わる確率となります。

22132人目の素数さん2018/05/04(金) 02:38:22.31ID:vWuMJwe/
>>21 計算違った。
誤:(1/2)(π+r√(1-r^2)-arcsin(r))
正:π/2+r√(1-r^2)-arcsin(r)

23132人目の素数さん2018/05/04(金) 02:45:23.97ID:vWuMJwe/
それで、確率変数rの確率密度関数はf(r)=2rとなるので
求める確率は
∫[0〜1]2r(π/2+r√(1-r^2)-arcsin(r))/πdr = 3/8
となるようです。

周上に4点を独立に一様分布として取った場合の確率(=1/3)とは、
当然異なる結果となりました。

24132人目の素数さん2018/05/04(金) 11:03:20.47ID:BIeZ36gV
正n角の場合の極限と一致すればいいのでは

25132人目の素数さん2018/05/04(金) 18:10:59.20ID:5luOZIgf
これ問題の設定が不十分だから答えが何通りもあるやつじゃね?

26132人目の素数さん2018/05/04(金) 20:20:34.86ID:KGgH0rWt
院試とかだと問題の設定をわざと曖昧にして学生に仮定を立てるところから解答させることがあるね

27132人目の素数さん2018/05/04(金) 23:39:31.96ID:3hdq6jse
>>23

OP=r も OQ も0に近いときは(相対角にもよるが)ほとんどの場合に交叉する。
一方、OP=r または OQが1に近いときは、めったに交叉しない。
OP と OQ には正の相関があり、交叉確率は(独立分布の)1/3 より大きい。

28◆2VB8wsVUoo 2018/05/07(月) 05:45:37.11ID:EWP32cBY

29◆2VB8wsVUoo 2018/05/07(月) 05:45:59.78ID:EWP32cBY

30◆2VB8wsVUoo 2018/05/07(月) 05:46:19.80ID:EWP32cBY

31◆2VB8wsVUoo 2018/05/07(月) 05:46:40.12ID:EWP32cBY

32◆2VB8wsVUoo 2018/05/07(月) 05:47:00.02ID:EWP32cBY

33◆2VB8wsVUoo 2018/05/07(月) 05:47:16.83ID:EWP32cBY

34◆2VB8wsVUoo 2018/05/07(月) 05:47:30.37ID:EWP32cBY

35◆2VB8wsVUoo 2018/05/07(月) 05:47:50.23ID:EWP32cBY

36◆2VB8wsVUoo 2018/05/07(月) 05:48:10.09ID:EWP32cBY

37◆2VB8wsVUoo 2018/05/07(月) 05:48:29.77ID:EWP32cBY

38132人目の素数さん2018/05/07(月) 12:48:03.30ID:SWI/sRCA
惨めな奴

39132人目の素数さん2018/05/08(火) 10:57:59.73ID:Hp4/C/NR
my備忘録。
>>23の別解。2弦の中点をP,QとしてP=O,P=Qの場合は無視。
極座標P(r,α),Q(s,β)を
0<r,s≦1,-π≦α,β≦π
であるように選ぶ。
測度はrs/(π^2)drdsdαdβ、∠POQはmin{|α-β|,π-|α-β|}、2弦が交差する条件は
|Acos(r) - Acos(s)| < ∠POQ < |Acos(r) + Acos(s)|。
r,sを固定してこの条件をみたすαβ平面上の領域は4つの台形になってその面積の和は
8πmin{Acos(r),Acos(s)}。
よって求める確率は
∫[0<r,s≦1] 8πmin{Acos(r),Acos(s)} rs/(π^2) drds
=∫[0<s≦r≦1] (16/π)Acos(r) rs drds
=∫[0<r≦1] (8π)Acos(r) r^3 dr
=3/8。

40132人目の素数さん2018/05/10(木) 17:57:12.96ID:xWcobH06
>>14
弦を円周上の2点の定めるものとし
点の分布が円周上で一様(均一)なら
1/3

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