現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む51

>>126 つづき

>>2)稠密な場合は自明に定理1.7の仮定が、不成立(仮定が不成立の場合は、証明の必要さえない)
>定理の仮定は
>''R-Bfが可算個の疎な閉集合で被覆できる''
>ですが
>あなたの主張は
>''R-BfがRで稠密ならばR-Bfは可算個の疎な閉集合で被覆できない''
>ということですか?

いいえ違います。

なお、補足すると
1)Rの部分集合で、''R-Bfが可算個の疎な閉集合で被覆できる''例として、自然数N、整数Z、有理数Qや代数的数Aがあります
2)一方、''R-Bfが可算個の疎な閉集合で被覆できる''に反する例として、無理数P*や超越数Tがあります
(*注:Pはあまり使われないが、なにも記号がないのも寂しいのでPでも。P,Q,Rという並びです。iRとして2文字もかったるいしね)

さらに補足
1)の例示は、全て無限集合ですが、これ以外に有限離散点から成る有限集合も可能です。
1)の例示では、a)稠密な場合と、b)そうで無い場合に、二分できます。例示中のQとAがR中稠密で、それ以外の例示はR中稠密ではありません。

つづく

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