みんなで2018年、平成30年にちなんだ問題を考えよう

1中坊2017/12/30(土) 09:40:33.81ID:IU7mvELv
とりあえず試しに4問作ってみました。よそにも書き込んでいますが。(1)は無理矢理です。
(1)2,0,1,8,30の5つの数を一つずつ次の□に当てはめて式を完成させよ。
 □^3*□^2+□*□-□=2018
(2)A,B,Cに当てはまる自然数を答えよ。
 A^3+B^2+C^1=2018
A+B+C=30
(3)@連続する12個の自然数のうち最も小さい数をNとする。この12個の自然数のそれぞれの二乗の和は2018になる。Nの値を求めよ。
※例えば、連続する3つの自然数10,11,12のそれぞれの二乗の和は
10^2+11^2+12^2=100+121+144=365
となる。
  A連続する4つの自然数のうち最も大きい数をMとする。この4個の自然数のそれぞれの二乗の和は30になるMの値を求めよ。
尚、(N-1)(M+1)=30となる。
(4)連立方程式を解け。
  X^2+Y^2=2018
X-Y=30
ただしX,Yは自然数とする。

2132人目の素数さん2017/12/30(土) 11:23:18.79ID:rM/pIPDF
2018^{30}を1008で割った余りを求めよ

3中坊2017/12/30(土) 12:27:57.02ID:IU7mvELv
>2
(2018^30)/1008
=(2+2*1008)^30/1008
=2^30+...........+(2*1008)^30
……の部分は30乗の展開の仕方が分かりませんが、
(2+2*1008)^30=(2+2*1008)(2+2*1008)...
という風に書き出してみると、すべて1008を1つは掛けているので、1008の倍数、
よって2^30以外の部分はすべての項を1008でくくれるため、1008出割り切れることが分かりました。
したがって、2^30÷1008の余りを考えればよいので、
2^30=(2^10)^3であることから1024^3を地道に計算して(w)
1024^3=1073741824を得ました。(ここらへんで計算ミスってそうですw)
1008000000は1008の倍数であるので先ほどの数との差である65741824÷1008を考える。
また、60480000は1008の倍数であるので65741824との差である5261825÷1008を考える。
同様に、5040000は1008の倍数であるので221824÷1008を考え、201600は1008の倍数であるので21224÷1008を考え、20160は1008の倍数であるので1064÷1008を考えます。
ここまでくると引き算で1064-1008=56
よって答えは56
でよろしいでしょうか。
中学数学の知識ではこれが限界です。

4132人目の素数さん2017/12/30(土) 15:36:21.47ID:yty53Umu
tan2018は有理数か。

5中坊2017/12/30(土) 15:50:26.73ID:IU7mvELv
1ですが、
(4)を少しいじっただけですが。
(5)Nを自然数として
(N-1)^2+N^3+(N+1)^2=2018
を満たすNを求めよ。

6132人目の素数さん2017/12/30(土) 16:19:45.42ID:IU7mvELv
>4
tan2018°=tan(218°+360°*5)
  =tan218°
  =tan(218°-180°)
=tan38°
tan38°が有理数でないのは自明である
したがってtan2018°は有理数でない

自分なりに適当に書かせてもらいましたが、この問題は解けませんw
すいません。

7中坊2017/12/31(日) 11:08:30.86ID:0R1JEu0U
2018は連続する何個の自然数の和で表されるか?
また、その連続する自然数を小さい順にすべてかけ。

8132人目の素数さん2017/12/31(日) 16:37:11.94ID:sdX0HZs3
こんなのはいかが?
[問] 2018の約数を自分自身も含めて合計すると3030となるが、
同様に、4桁の数で、約数の合計を求めると、千位と十位、百位と一位の数がそれぞれ等しい4桁の数になるというものが、
もともとの数が素数であるものを除くと9つある。2018以外の8つを全て挙げよ。

9132人目の素数さん2017/12/31(日) 17:20:52.00ID:iKYWVkCy
>>4
tan38=tan2018
tan76 = 2tan38/(1-(tan38)^2)
tan114 = (tan38+tan76)/(1-tan38*tan76)
tan10 = tan190 = (tan76+tan114)/(1-tan76*tan114)
tan20 = 2tan10/(1-(tan10)^2)
tan30 = (tan10+tan20)/(1-tan10*tan20)

もしtan2018が有理数ならこいつらは全部有理数だが
実際はtan30=1/√3は無理数なので矛盾

tan1°が無理数であることを示せ、ってのと同類の問題

10中坊2017/12/31(日) 17:26:06.33ID:0R1JEu0U
>9
「tan1°が無理数であることを示せ」ってどっかの大学入試で出たやつですか?

11132人目の素数さん2018/01/01(月) 00:05:48.00ID:Xow8zGi+
30^{2018}を31で割った余りを求めよ

12132人目の素数さん2018/01/01(月) 00:29:07.83ID:jHcehM53
平成生まれは29歳

13132人目の素数さん2018/01/01(月) 00:40:43.62ID:bQXehnPI
>>11
1

14132人目の素数さん2018/01/01(月) 01:40:33.43ID:gs7ZcDW2
高校数学ばっかだな
数学科の定番ネタだとやっぱ「位数2018の群を分類せよ」

15中坊2018/01/01(月) 09:01:09.37ID:UFgbOwQ7
あけましておめでとうございます。
超簡単でやっつけ感満載ですが。
a^2-b^2-c^2=2018
a+b-c=2018
を満たす自然数a,b,cを求めよ。

16132人目の素数さん2018/01/01(月) 15:11:33.08ID:1aYPDTTx
aa-bb-cc=(a+b-c)(a-b+c)-2bcより
2018=2018(a-b+c)-2bc
bc=1009(a-b+c-1)…@
1009は素数なのでbかcのいずれか一方は1009の倍数
1) b=1009kの場合
@に代入して1009kc=1009(a-1009k+c-1)よりa=(c+1009)k-c+1
2018=a+b-c=(c+1009)k-c+1+1009k-c=c(k-2)+1+2018kよりc=-2019/(k-2)-2018
cは自然数なのでk=1のみが条件を満たす
k=1より(a,b,c)=(1010,1009,1)★
2) c=1009mの場合
@に代入して1009bm=1009(a-b+1009m-1)よりa=(b-1009)m+b+1
2018=a+b-c=(b-1009)m+b+1+b-1009m=b(m+2)+1-2018mよりc=-2019/(m+2)+2018
cは自然数なのでm+2は2019=3×673の約数。よってm=1,671,2017のみが条件を満たす
m=1より(a,b,c)=(1682,1345,1009)★
m=671より(a,b,c)=(677042,2015,677039)★
m=2017より(a,b,c)=(2035154,2017,2035153)★
解は上記★の4通り

17132人目の素数さん2018/01/01(月) 15:13:10.13ID:1aYPDTTx
>>16訂正
2018=a+b-c=(b-1009)m+b+1+b-1009m=b(m+2)+1-2018mよりb=-2019/(m+2)+2018
bは自然数なのでm+2は2019=3×673の約数。よってm=1,671,2017のみが条件を満たす

18132人目の素数さん2018/01/02(火) 11:01:32.12ID:2YX2FMxc
>>14
位数10の群の分類と本質的に何が違う?

19132人目の素数さん2018/01/02(火) 16:28:46.14ID:UJ+khHIb
509の素数判定に時間がかかる

20132人目の素数さん2018/01/02(火) 16:32:36.33ID:u2N82n9L
どういうことやねん

21132人目の素数さん2018/01/02(火) 17:17:54.73ID:UJ+khHIb
すまん、間違えた
1009の素数判定だった
10=2・5
2018=2・1009
位数2p(pは奇素数)の群は?演習問題に載ってる

22132人目の素数さん2018/01/02(火) 17:29:22.72ID:axlM57g8
巡回群Z/2018Zと二面体群D_1009だけだな
自明な問題やな

23132人目の素数さん2018/01/02(火) 22:55:53.66ID:u2N82n9L
巡回群(Z_1009)*={1, 2, 3, ..., 1008}において、以下の問に答えよ。
(1)
2が原始元とならない理由を述べよ。
(2)
この集合から任意の整数を1つ選んだとき、それが原始元である確率を求めよ。
(3)
2^x=30(mod 1009)を満たすxを求めよ。

うまい問題を作るのは難しいな

24132人目の素数さん2018/01/05(金) 05:36:54.77ID:zmc+EELj
2018は、素因数分解すると2×1009
実は、この「2」と「1009」はそれぞれ1桁と4桁の最小素数の積で表される。
2018みたいに各桁の最小素数のみでの積になる整数を挙げよ(例:242・256・4036)

参考「桁別での最小素数」(※4桁まで併記)
1桁・・・・2
2桁・・・・11
3桁・・・・101
4桁・・・・1009

25中坊2018/01/06(土) 23:04:47.65ID:x0ca6Ohr
2018^30の下二桁を答えよ。

累乗の末尾数字の循環にはなにか規則性があるのでしょうか?高校数学で習うのならとてもわくわくします。

下一桁はわかりやすく4つごとに循環する数が多いですね。

@1,1,1,1…
A2486,2486,2486,2486,…



G8426,8426,8426,…
H91,91,91,91…

下二桁は20や10ごとに循環する数が多いですね
@1,1,1,1…
A2,4 8 16 32 64 28 56 12 24 48 96 92 84 68 36 72 44 88 76 52,04 08 16…
B3 9 27 81 43 29 87 61 83 49 47 41 23 69 07 21 63 89 67 01,03 09 27…



P17 89 13 21 57 69 73 41 97 49 33 61 37 29 93 81 77 09 53 01,17 89 13…
R19 61 59 21 99 81 39 41 79 01,19 61 59…
一応1から20までの累乗の下二桁の循環を地道に計算して調べました。(1は二桁にはなりませんが)
下一桁はきれいにだいたい4つごとに循環してくれますが十の位がなかなか循環してくれませんでした。たぶん下三桁も
ずっと同じように循環していくんだろな〜と思います。

26◆2VB8wsVUoo 2018/01/21(日) 12:23:06.32ID:oUqQkvBY

27◆2VB8wsVUoo 2018/01/21(日) 12:23:24.48ID:oUqQkvBY

28◆2VB8wsVUoo 2018/01/21(日) 12:23:43.64ID:oUqQkvBY

29◆2VB8wsVUoo 2018/01/21(日) 12:24:06.08ID:oUqQkvBY

30◆2VB8wsVUoo 2018/01/21(日) 12:24:40.24ID:oUqQkvBY

31◆2VB8wsVUoo 2018/01/21(日) 12:24:59.55ID:oUqQkvBY

32◆2VB8wsVUoo 2018/01/21(日) 12:25:18.17ID:oUqQkvBY

33◆2VB8wsVUoo 2018/01/21(日) 12:25:39.42ID:oUqQkvBY

34◆2VB8wsVUoo 2018/01/21(日) 12:25:58.04ID:oUqQkvBY

35◆2VB8wsVUoo 2018/01/21(日) 12:26:16.13ID:oUqQkvBY

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