大学学部レベル質問スレ 9単位目

1132人目の素数さん2017/12/14(木) 12:28:05.91ID:EpQbxawT
大学で習う数学に関する質問を扱うスレ

・質問する前に教科書や参考書を読むなりググるなりして
・ただの計算は
http://wolframalpha.com
・数式の表記法は
http://mathmathmath.dote ra.net
・質問のマルチポストは非推奨
・煽り、荒らしはスルー

関連スレ
分からない問題はここに書いてね478
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1511604229/

※前スレ
大学学部レベル質問スレ 8単位目
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1500294768/

367132人目の素数さん2018/02/16(金) 22:44:51.97ID:tdTwAGJw
述語論理って有限の立場って言えるのかな
∀xP(x)=P(x1)∧P(x2)∧P(x3)∧…
でしょ?もちろんx1x2x3…xnのように有限で済まないから全称記号を使うんだけど
P(x)のxとして考えうるものって原理的にはすべての数学概念だし
実質的にもどんな多くの無限でもあり得るところを
実際書き出すことが出来ないのを``有限の立場''って言って良いものか

368132人目の素数さん2018/02/16(金) 22:47:05.40ID:tdTwAGJw
それに疑問持ったのは
実数の濃度がアレフ2だってことで
実数にはアレフ1の部分集合があるってことだけど
具体的に``これがそれ''って書き出せないんだよな
それでも述語論理でその集合を使うことに問題はないとされるわけだけど
ホントにそれでいいの?

369132人目の素数さん2018/02/16(金) 23:20:25.40ID:ZehYIO33
>>366
すみません、数理論理のちゃんとした言葉で話していただけますか?
曖昧なことしか知らないなら、やめてくださいね

>>367
実際に書き出すことは不可能でも、書き出す手順が具体的に記述できるならば、それは有限の立場だと言えます
もっと抽象化すれば、自然数との対応が取れれば良いのです

370132人目の素数さん2018/02/16(金) 23:24:51.78ID:rKq6lZd1
>>368
立場の問題になるでしょうね
ストイックに行くならば、そのような集合は扱わないということになるでしょう
対象となる集合はどれだけ大きくても構わない、として、証明を記述する際においてのみ有限の立場を取る、とすれば実数を扱うことができかつ有限の立場を取ることもできるでしょうね

371132人目の素数さん2018/02/16(金) 23:27:16.98ID:rKq6lZd1
まあ元はと言えば有限の立場とは証明論に関しての用語ですから、対象の集合が有限かどうかには関係ないのでしょうけど

372DJ学術 2018/02/17(土) 08:11:53.83ID:5j7H1MVc
あの集合問題難しかったか?唖然とするほど時間がかかったものが大かたが。

373132人目の素数さん2018/02/17(土) 08:12:10.93ID:5j7H1MVc
多かったがね。

374132人目の素数さん2018/02/17(土) 11:55:21.88ID:9MwPpx69
>>367
無限個の互いに異なる対象を構成することは不可能。

375132人目の素数さん2018/02/17(土) 13:49:44.51ID:30JSXDJH
>>374
自然数は有限個なんですかねw

376132人目の素数さん2018/02/17(土) 13:52:53.05ID:12Brn5VS
>>374
>>369 が正答してんだから馬鹿言うんじゃねーよ

377132人目の素数さん2018/02/17(土) 14:50:23.47ID:9MwPpx69
>>375 >>376
数学的帰納法の必要性を論じろ。

378132人目の素数さん2018/02/17(土) 15:00:10.44ID:lVgegKOL
>>377
メタな意味では数学的帰納法は認められていますから、自然数論を形式化したいならば、数学的帰納法も形式化しておく必要があります

379132人目の素数さん2018/02/17(土) 15:04:47.58ID:2G8ttfru
日本人は全員ゴミ

380132人目の素数さん2018/02/17(土) 15:37:43.86ID:9MwPpx69
>>378
可能無限て知ってるか?

381132人目の素数さん2018/02/17(土) 16:15:42.86ID:9MwPpx69
そもそも事の発端は>>272で、「等値である」ことの定義が命題論理と述語論理では違ってくるから
前後の文脈による、と言っているのを理解して欲しい。

382132人目の素数さん2018/02/17(土) 16:45:01.21ID:5XhgLvmG
>>380
知ってます

>>381
>>272のならばは、命題論理でも述語論理でもないメタな意味での記述です
知ったかぶりはいい加減にしましょうよ、もう

383132人目の素数さん2018/02/17(土) 16:58:33.21ID:5XhgLvmG
それに命題論理と述語論理で違ってくるということはないですからね

384132人目の素数さん2018/02/17(土) 18:03:44.67ID:9MwPpx69
>>383
知ったかぶりをしているのはオマエw

385132人目の素数さん2018/02/17(土) 18:48:47.86ID:7u6zK2+e
>>384
メタの概念がわからない人に言われたくはないですねー

386132人目の素数さん2018/02/17(土) 19:37:53.90ID:bATgAwzO
めためただー

387132人目の素数さん2018/02/18(日) 17:55:57.74ID:mJ26vB4R
>>384
おまいさん、多勢に無勢だな

388132人目の素数さん2018/02/19(月) 15:24:41.94ID:8n0E54WH
X ∩ 2^X ≠ φ となるような X の例を挙げよ。

389132人目の素数さん2018/02/19(月) 15:29:18.08ID:fngSh02B
φ

390132人目の素数さん2018/02/19(月) 16:24:53.18ID:sUgpud4p
{{}}

391132人目の素数さん2018/02/19(月) 16:35:41.37ID:ecDxjMH2
NULL

392132人目の素数さん2018/02/19(月) 16:46:14.04ID:8n0E54WH
>>390

X = { { } }
2^X = { { }, { { } } }

X ∩ 2^X = { { } } ≠ { }

確かに例になっていますね。

もっと「普通の」集合 X で例はないでしょうか?

明らかに X が有限集合のときには

X ∩ 2^X = φ

ですから、 X は無限集合になるかと思いますが。

393132人目の素数さん2018/02/19(月) 16:46:57.18ID:8n0E54WH
あ、訂正します。

X = { { } }

は有限集合ですね。

394132人目の素数さん2018/02/19(月) 16:50:17.96ID:8n0E54WH
なぜ

>>388

の質問をしたかというと、斎藤毅著『集合と位相』に、以下の記述があったからです:

「X ∩ 2^X ≠ φ のときは、 X の部分集合 A が、 X の元であることもありうる。
この場合には、記号 f(A) の意味は A を X の部分集合と考えるか X の元と
考えるかで違うので、気をつける必要がある。」

↑こんな風に書くということは、そういう X が数学において頻繁に現れるということ
ですよね?めったに現れないならば、こんなことを注意する必要はないはずだから
です。

395132人目の素数さん2018/02/19(月) 17:03:55.15ID:ecDxjMH2
「disる」ってどういう意味ですか?

396132人目の素数さん2018/02/19(月) 17:10:48.30ID:fngSh02B
>>394
≠ではなく=だと思ってました

そんなの当たり前ですよね
2^XにはX自身が含まれるんですから

397132人目の素数さん2018/02/19(月) 17:14:50.88ID:sUgpud4p
>>392
2^X の要素はすべて集合ですから、
X ∩ 2^X ≠ φ ならば、X は少なくとも1つの集合を要素に持ちます
「普通の」集合とは何を指しているかわかりませんが、集合論で集合を集合の要素にすることは珍しくありません

398132人目の素数さん2018/02/19(月) 17:18:00.02ID:8n0E54WH
>>397

普通の数学で自然に登場するそのような X の例を挙げてください。

399132人目の素数さん2018/02/19(月) 17:34:18.82ID:U7ztHSUF
厳密教徒を気取ってるくせに都合よく普通の数学とか文脈から判断などと言い出す奴は信用できん

400132人目の素数さん2018/02/19(月) 17:41:04.39ID:sUgpud4p
>>398
あなたが集合論をまるで理解していないことがわかりました
これ以上の説明は無意味と考えます

401132人目の素数さん2018/02/19(月) 17:47:20.95ID:U7ztHSUF
一応話に付き合ってやると、
普通の数学では代数的・位相的構造にだけ注目して、それをどうやって構成したかを意図的に忘れるようにしているので、
X ∩ 2^X ≠ φであるかどうかを気にせずに済んでいるだけ
実際はX ∩ 2^X ≠ φであることは特別なことではない
X=

402132人目の素数さん2018/02/19(月) 17:51:12.33ID:U7ztHSUF
一応話に付き合ってやると、
普通の数学では代数的・位相的構造にだけ注目して、それをどうやって構成したかを意図的に忘れるようにしているので、
X ∩ 2^X ≠ φであるかどうかを気にせずに済んでいるだけ
実際はX ∩ 2^X ≠ φであることは特別なことではない
例えばX=ω(最も標準的な自然数全体のモデル)が該当する
{0,1,2,…n}=n+1∈X ∩ 2^X

403132人目の素数さん2018/02/19(月) 18:14:13.89ID:8n0E54WH
>>402

2^ω ∋{0, 1, 2, …, n} = n + 1 ∈ ω

ということですね。

ところで、

「記号 f(A) の意味は A を X の部分集合と考えるか X の元と考えるかで違うので、気をつける必要がある。」

と書いていますが、 X ∩ 2^X ≠ φ であるような状況では、誰でも、言われなくても自然に気をつけるのでは
ないでしょうか?

この注意が必要であるとは思えません。

404132人目の素数さん2018/02/19(月) 18:20:33.85ID:8n0E54WH
斎藤毅さんの『集合と位相』を読んでいる読者の大半は、

「X ∩ 2^X ≠ φ のときは」などとさらっと書かれているのを見たとき、
そんな X は存在するのだろうか?と思うのではないでしょうか?

斎藤毅さんの『集合と位相』の演習問題は非常に簡単なものが多いです。
そんな本に「X ∩ 2^X ≠ φ のときは」などとさらっと書くのはバランスが
悪いのではないでしょうか?

405132人目の素数さん2018/02/19(月) 18:25:27.05ID:8n0E54WH
そして、具体的に注意しなければならない例を挙げていないのは、ひどいとしか
言いようがないですね。

406132人目の素数さん2018/02/19(月) 18:28:54.55ID:8n0E54WH
誰か、これは気をつけなければいけない例だというものを挙げられる人はいますか?

いないのではないでしょうか?

もし、いないとするとこの必要のない注意は単なる斎藤毅さんの自己満足ですね。

407132人目の素数さん2018/02/19(月) 18:31:25.19ID:I/0hw+L4
>>403
n={0,1,.,.n-1}って構成だとn∩2^n=n-1よ

408132人目の素数さん2018/02/19(月) 18:31:31.43ID:8n0E54WH
「X ∩ 2^X ≠ φ のときは、 X の部分集合 A が、 X の元であることもありうる。
この場合には、記号 f(A) の意味は A を X の部分集合と考えるか X の元と
考えるかで違うので、気をつける必要がある。」

と書いていますが、本当は、

「X ∩ 2^X ≠ φ のときは、 X の部分集合 A が、 X の元であることもありうる。
この場合には、記号 f(A) の意味は A を X の部分集合と考えるか X の元と
考えるかで違う。ちょっと面白い話でしょ?」

ということではないでしょうか? 👀
Rock54: Caution(BBR-MD5:0be15ced7fbdb9fdb4d0ce1929c1b82f)

409132人目の素数さん2018/02/19(月) 19:07:01.00ID:8n0E54WH
n ∩2^n = n

じゃないですか?

410132人目の素数さん2018/02/19(月) 19:07:17.09ID:8n0E54WH
>>407

n ∩2^n = n

じゃないですか?

411132人目の素数さん2018/02/19(月) 19:15:23.01ID:U7ztHSUF
>>410
違う

412132人目の素数さん2018/02/19(月) 19:15:39.49ID:8n0E54WH
X ∩ 2^X ≠ φ

∀n ∈ N - {0} に対して、

n ∩ 2^n = n ≠ φ

ですね。

413132人目の素数さん2018/02/19(月) 19:42:01.05ID:8n0E54WH
0 ∩ 2^0 = φ ∩ 2^φ = φ ∩ { φ } = φ = 0
1 ∩ 2^1 = { φ } ∩ { φ, { φ } } = { φ } = 1

414132人目の素数さん2018/02/19(月) 23:44:03.65ID:VF4EpRLf
n={0,1,...,n-1}
2^n={φ,{0},...,{n-1},....,{0,1,...,n-2},....,{0,1,...,n-1}}={0,1,....,n}⊃n+1⊃n

415132人目の素数さん2018/02/20(火) 20:58:29.91ID:Gzgxp2u7
斎藤毅著『集合と位相』を読んでいます。

f : X → Y
∀i ∈ I(A_i ⊂ X)

とする。

f(∪_{i ∈ I} A_i) = ∪_{i ∈ I} f(A_i)

を証明せよ。

斎藤毅さんは以下のように証明しています。

非常に奇妙な証明ではないでしょうか?
こんな解答を書く人は稀ではないでしょうか?
こんな奇妙な証明を書いた意図は何でしょうか?



「y ∈ Y に対し、 y ∈ f(∪ A_i) は、 f^(-1)(y) ∩ ∪ A_i ≠ φ
と同値である。 f^(-1)(y) ∩ ∪ A_i = ∪ (f^(-1)(y) ∩ A_i) だから、これは、
f^(-1)(y) ∩ A_i ≠ φ となる i ∈ I が存在することと同値であり、 y ∈ f(A_i)
となる i ∈ I が存在することとも同値である。これはさらに y ∈ ∪_{i ∈ I} f(A_i)
と同値だから、 f(∪_{i ∈ I} A_i) = ∪_{i ∈ I} f(A_i) が示された。」

416132人目の素数さん2018/02/20(火) 20:58:45.69ID:Gzgxp2u7
普通この問題の解答は以下の解答になると思います:


y ∈ f(∪_{i ∈ I} A_i)



∃x(x ∈ ∪_{i ∈ I} A_i ∧ f(x) = y)



∃x, ∃i(x ∈ A_i ∧ f(x) = y)



∃i, ∃x(x ∈ A_i ∧ f(x) = y)



∃i(y ∈ f(A_i))



y ∈ ∪_{i ∈ I} f(A_i)

417132人目の素数さん2018/02/20(火) 22:13:28.69ID:nXzkbh+j
>>415
その証明もふつー

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