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ルベーグ積分や測度論のスレ その2
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0005１３２人目の素数さん
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2017/10/18(水) 15:39:03.93ID:KOE53k2s
実解析のスレがあったはず、それにlog速へのリンクはまずいのでは？
0007１３２人目の素数さん
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2017/10/18(水) 23:53:02.26ID:+KA0efom
関数解析と聞くとなぜか胸熱…
0009１３２人目の素数さん
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2017/10/22(日) 00:13:58.18ID:2eKNWJaL
最近の俺の興味はメジャーよりゲージだからなー。
まぁ「ゲージ理論の基礎数理」で関数解析関係の話がからっきいついていけなかったから測度論〜関数解析絡みのお勉強が必須なのは自覚してるが…。
0011１３２人目の素数さん
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2017/10/22(日) 00:34:13.52ID:2eKNWJaL
だって研究とかの前向きで生産的な営為じゃなくて昔の人がとっくに作り上げ済みのもの蒸し返す行為にすぎないんだもの。

グロタンディーク並みによく知らんうちに車輪の再発明しちゃうような真似なら新規性のある研究をする研究者候補生として前途は明るいかもしれないが。
0012１３２人目の素数さん
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2017/10/22(日) 01:41:11.35ID:34U/AvdN
>>11
>だって研究とかの前向きで生産的な営為じゃなくて昔の人がとっくに作り上げ済みのもの蒸し返す行為にすぎないんだもの

気持ちは痛いほど分かります
人生の時間は限られてるもんね
0027１３２人目の素数さん
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2017/10/31(火) 09:52:55.72ID:2QhCAhpK
ルベーグ積分がさっぱりわからないのですがオススメの参考書はありますか？
非数学科なのですが興味があり独学してみようと思っています
0030１３２人目の素数さん
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2017/11/29(水) 09:41:16.44ID:gicKeA0G
ルベーグ積分入門が終わった。やはり誤植が少なからずあった。次は
0033１３２人目の素数さん
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2018/10/20(土) 08:38:00.47ID:UMQ1TdOH
>>27
一年遅れのレスでなんだけども、名大の山上滋先生が最新の講義ノートupしてくれてて、参考文献も色々書いてるよ
このリストにはないけども、個人的には吉田耕作「測度と積分」が好み（←岩波基礎数学選書：現代解析入門の後半に収録）
https://www.math.nagoya-u.ac.jp/~yamagami/teaching/topics/integral2018.pdf

>>30
伊藤清三のを完全フォロー？凄いなー
>>32
清三と好対照の溝畑ルベーグの内容を知ってますか？
0035１３２人目の素数さん
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2018/10/20(土) 22:48:49.90ID:UMQ1TdOH
>>34
生堅そうな・・・まあそう映るのも著者が著者だから分かります
値段で若い人にスルーされるのは本当に残念です
私買って精読してまたコメントしますわ
0036１３２人目の素数さん
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2018/10/22(月) 18:29:21.12ID:VattNfm3
>>33
耕作・清三・溝畑の3つ読めばいいよな
溝畑はわかりやすいリース流で測度論を必要としない
だから嫌という人もいるが、こっち知っておくと理解深まる

清三はなんだかんだで日本の標準
でも耕作の方が読みやすい

耕作・溝畑だけで充分とも思う
Haar測度とかDenjoy積分知りたいとかじゃなければもう充分
0038１３２人目の素数さん
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2018/10/24(水) 17:08:34.90ID:VgTREJC0
ルベーグ測度の重要性や価値を大学2年生（微分積分学を履修済み）にプレゼンするとしたら、どんな話をする？
0040１３２人目の素数さん
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2018/10/25(木) 14:19:02.59ID:6/92Y/iD
ブラック?ショールズ方程式を理解できるようになれるかもしれない
0042１３２人目の素数さん
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2018/10/26(金) 19:06:58.76ID:1KCGyJeQ
ルベーグ積分が確率論に必要って嘘だよね？
ルベーグ積分の前に確率論あったじゃん
0044１３２人目の素数さん
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2018/10/27(土) 10:53:04.14ID:sjLLdu9W
　　　 ／￣`Y ￣ヽ､
　　 /　/ / / l | | lヽヽ
　　/　/ //　⌒　 ⌒ヽ
　　|　| |/　 （●） （●）
　 （Ｓ|| | 　　⌒　･ｨ　 ヽ　　芸能人が吹き替えに挑戦というのは
　　|　|| |　　　ﾄ-＝-ｧ　ﾉ
　　|　|| |　　　|-ｒ ､/　/|
　　|　|| | ＼＿｀ﾆ'_／　|
　　　　((　(　つ ヽつ、
　　　　　　. 〉 　　　i　))
　　　　　　（__ノ^（＿）
0045１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/27(土) 10:53:53.01ID:sjLLdu9W
　　　 ／￣`Y ￣ヽ､
　　 /　/ / / l | | lヽヽ
　　/　/ //　⌒　 ⌒ヽ
　　|　| |/　 （●） （●）
　 （Ｓ|| | 　　⌒　･ｨ　 ヽ　　許せないという気持ちが分かる
　　|　|| |　　　ﾄ-＝-ｧ　ﾉ
　　|　|| |　　　|-ｒ ､/　/|
　　|　|| | ＼＿｀ﾆ'_／　|
　　　 　⊂/　⊂　）
　　　　　 i　　　　ヽ
　　 ((　（＿）^ヽ.__） ))
0046１３２人目の素数さん
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2018/10/27(土) 15:35:11.98ID:6K2w2rjj
>>38
普通、長さや面積は当たり前に考えられると思われている。
しかし、それらは決して当たり前ではない。
例えば、物質の長さと言っても、
物質を構成する分子や原子の間はスカスカなのだ。
このスカスカのものの長さや面積や体積は一体何なのか。
同様に、数の集合においても、その元が一つのときは長さが0なのに、
それがある部分集合になったら長さを持つことになる。
直感的な長さや面積の概念の危うさを無限集合から考えさせるような話をする。
0047１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/28(日) 00:12:20.66ID:DChuy+vB
こんばんは。ルベーグ積分を勉強する前に必要な勉強を教えてください。高２です。
0048１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/28(日) 10:37:37.68ID:NuJ3LmM4
　　　　　　　　　/""`､
　　　　　　　　/　　　 `､
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　　 　／　　　　　　　　　　　＼
　　　〈　　　　　　　　　　　　　:/
　　　　＼__,,,,-''''"""""''''-,,,_:/
　　　　　 // （●）　（●） ヽヽ芸能人が吹き替えに挑戦というのは
　　　　ｒ-i./　｀⌒,(･･)⌒´　ヽ.l-､許せないという気持ちが分かるので
　　　　| | |　　　),ｒ=‐､(　　　| | ﾉ私の顔が思い浮かばないように
　　　　｀| |ヽ　 　 ⌒ 　　 　ﾉ| ||ナチュラルな吹き替えを心がけた
.　　　　 | | | |＼ ｀ｰ-‐'' ／| || ||
　　　　　　　／ 　　　　　　＼
　　　　　　/ 　　　．　,　． 、 丶
　 _＿_＿/　/）　　　　　　ﾉ 丶 丶____＿＿____
／壱（＿ ノ（　　　□■ ⌒ヽ 丶 ＿）／万 ／|
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|≡≡|__|≡≡|≡ ﾉノ |≡｀ J≡≡|__|≡≡|彡|
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0050１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/28(日) 15:18:12.25ID:DChuy+vB
>>49
どうしてですか？
0052学術
垢版 |
2018/10/28(日) 18:31:57.67ID:wp+hJex4
スカスカは無数を表すのだろうね。有数といえば分子とか。
0053１３２人目の素数さん
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2018/10/28(日) 19:46:33.34ID:0Tu6us6V
このスレに大類昌俊が書き込みしてそう
0054１３２人目の素数さん
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2018/10/28(日) 23:44:24.50ID:w8/fydrh
>>53
はいアウト
ついに一線を越えたな
おまえ以外誰も興味を持ってない障害者スレから二度と出てくんな
0057１３２人目の素数さん
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2018/10/29(月) 22:10:55.73ID:jaoN+B4j
普通に数学をする上では, 整数全体の集合Ｚからの有
理数全体の集合Ｑの構成およびＱの完備化による実数
全体の集合Ｒの構成さえ理解できていれば困らないで
あろう(これは多くの本に書かれてあるので機会と時
間があるときに解説したい). しかし根本にある自然数
をどう定義するか, これは必ずしも広く正確に知られ
たことではない. またＲの定義には公理的な方法もあ
り, そこから逆に自然数を定義することもある.自然数
の定義と聞いて多くの人が思い浮かべるのはペアノの
公理系によるものであろう. しかしこれを正確に把握
するためにはZFまで見直さなければならない. またＲ
の定義にはＱの切断による構成もある(デデキント切
断を公理として認めて公理的に定義するのとはまた別
の話である). Ｑの切断による構成もZFC公理系を基に
して定義される順序数の概念まで考察しなければ真に
理解することはできない.
0058１３２人目の素数さん
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2018/10/29(月) 22:11:30.97ID:jaoN+B4j
Ｑの完備化としてＲを定義するのとＲを公理的に定義
するのは, このブログの執筆段階から妥当ではないと
考えられるため, また数とは何かという問いに答える
ため, ここでは順序数の概念に基づいた考察をするこ
とにする.
0059１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/29(月) 22:12:23.85ID:jaoN+B4j
数とは何か定義するのは, 現代数学的に言うと, その数
全体の集合をどう定義するか, どう構成するかという
ことである. 自然数は典型的な順序数の例であり, 順序
数の概念は自然数の拡張である. Ｚは通常の大小関係
では整列集合にならないが整列可能定理により整列集
合とすることができ, やはり整数は順序数の特別な場
合と考えることができる. ＱにもＲにも整列可能定理
により整列順序を入れることができ, 有理数も実数も
順序数とみなせる. 特にＱの切断によるＲの構成は順
序数の基本的な性質に並行している. つまり数とは現
代数学的には順序数なのである.
0060１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/29(月) 22:13:18.24ID:jaoN+B4j
Ｒをさらに拡大したものには複素数全体の集合Ｃと超
実数全体の集合*Ｒがある. これらの元が数であるかど
うかは微妙なところなのでこれもまた別の機会に書こ
うと思う. だが少なくともZFC公理系のもとでは「数
を実数の意味でとらえるとき, 数とは順序数のことで
ある」と言えるであろう. 数自身もまた或る種の集合として定義されているのである. これが現代数学による答えであろう.
0061１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/29(月) 22:14:05.67ID:jaoN+B4j
なお非数学的なことを言えば, 数とは量や個数あるい
は回数など数字を用いて表される概念を抽象化したも
のである, ということになるだろう. 例えば１個のみか
んと１個のりんごが目の前にあるとき合わせて果物は
何個かという問いには誰もが２個と答えるだろう. こ
れは演算を果物の個数全体の集合すなわちＮで行って
いることに他ならないが, 上述の説明と「1+1＝2」の
間には明らかな抽象度の飛躍がある.
0064１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/30(火) 17:46:09.79ID:iB44h34+
暇つぶし代わりにどうぞ

1. ユークリッド空間の可算集合はルベーグ測度について零集合であることを示せ. (ヒント:特定の被覆について外測度が出れば外測度の値の一意性からその値は任意の被覆に対する値でもある)

2. 可算集合を基に定義される測度空間で空でない集合の測度がゼロでないものを構成せよ. (ヒント:群の位数)

3. 任意の集合Xとその冪集合Ｐ(X)について m({})＝0, m(A)＝∞({}≠A∈Ｐ(X)) とすると(X, Ｐ(X), m)は測度空間であることを示せ. ({}は空集合. この問題のみ測度空間の定義にσ-有限性は仮定しない)

4. ユークリッド空間の空でない開集合のルベーグ測度は正であることを示せ.

5. ユークリッド空間のルベーグ可測集合Eに対してEのベクトルvだけの平行移動E＋v＝v＋E＝{x|x＝y＋v, y∈E}とする. このときm(E＋v)＝m(v＋E)＝m(E)を示せ. (ヒント:ルベーグ測度の定義)

6. ルベーグ測度mとルベーグ可積分関数fに対して
∫f(x＋v)m(dx)
＝∫f(v＋x)m(dx)
＝∫f(x)m(dx)
を示せ(積分範囲はユークリッド空間全域).

7. ルベーグ積分∫_Ｒχ_Ｑ(x)m(dx)を求めよ.

8. 問題2で構成された測度空間において可測関数はＲ∪{±∞}への写像としての数列であり可積分関数の積分は絶対収束する無限級数であることを示せ.

9. ルベーグ可測集合Eに対して
m(E)＝inf{m(O)|開集合O⊇E}
を証明せよ. (ヒント:(外)測度の単調性より
m(E)≦右辺)

10. ノルム空間Vにおいて三角不等式
| ||x||−||y|| |≦||x−y|| ( ∀x, y∈V )
を示せ.

11. ヒルベルト空間において内積は連続であることを示せ.
0066１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/10/30(火) 21:41:34.52ID:iB44h34+
>>65
不正解、残念！！
0069１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/10(土) 16:17:59.24ID:yz14pnCB
ルベーグ積分が正の部分と負の部分に分けて定義されるのってどうにかならんのか？
リーマン積分みたいに一気にやれよ
0071１３２人目の素数さん
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2018/11/11(日) 17:11:25.80ID:Lx1A/P6d
＜わからない９大理由＞
１．読まない …参考書などを読まない。読む気などさらさらない｡
２．調べない …過去スレ、ググるなど最低限の内容も自分で調べようとしない｡
３．試さない …めんどくさいなどの理由で実行しない。する気もない｡
４．覚えない …人から聞いて、楽して得た答えは身に付かないから、すぐに忘れる。
５．説明できない …何に困っているのか、第三者に正確に伝わる文章が書けない。
６．理解力が足りない …理解力以前の問題で理解しようとしない｡
７．人を利用することしか頭にない …甘え根性でその場を乗り切ろうとする｡
８．感謝しない …教えてもらって当たり前。事がすんだらさようなら｡
９．逆切れする …自分の思うようにならないと逆切れする｡
0072１３２人目の素数さん
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2018/11/11(日) 18:30:43.75ID:ygoqKLq6
まるで大類昌俊
0075１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/12(月) 21:15:14.01ID:karrrsww
ルベーグ積分が何の役に立つのかリストにしてくれませんか？それを見て勉強するかどうか決めます。
0076１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/12(月) 21:16:41.59ID:NapsQ4WF
関数解析
量子力学
0077１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/12(月) 21:46:58.61ID:sYl1o0en
一様収束に拘わらずに積分と極限操作の順序を入れ替える根拠にできる。
0078１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/12(月) 21:59:08.14ID:teOXOGb0
画処理でルベーグ積分は使えないの？
0081１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/13(火) 15:52:46.09ID:bkM3+WR/
うーん
あんまり重要じゃなさそうですね
まあ人間が実世界でする求積にはリーマン積分で十分ですもんね
0082１３２人目の素数さん
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2018/11/13(火) 21:33:14.51ID:X2oAJ/Dq
その通りです
リーマン積分で満足しているなら，ルベーグ積分なんて無駄なんだから時間の無駄に決まってます
0083１３２人目の素数さん
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2018/11/13(火) 22:25:06.02ID:lQBjdQ/O
勉強しなくてもいい理由が欲しいんだろうな
したくなければしなくていいのが勉強
0087１３２人目の素数さん
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2018/11/15(木) 18:39:39.88ID:Mu7q//06
　┌─────────┐
　│ 　　　　　　　　　　 　 　.|
　│　 キチガイ警報！　　│
　│ 　　　　　　　　　　 　 　.|
　└―――──――――┘
　　　　　　ヽ(´ー｀)ﾉ
　　 　 　　　 (　 へ)
　 　 　 　 　　く
0088１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/16(金) 07:22:03.44ID:zYM8bjwi
定理の証明には、ルベーグ積分が有利。諸定理の使える条件がゆるい。
面積の値が欲しいだけなら、リーマン積分で十分。
コンピュータを使った数値計算でルベーグ積分することはない。
というより、コンピュータの数値計算で完全加法性なんて扱えない。
0089１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/16(金) 13:35:26.79ID:O0EEVdUr
普通は台形積分だろ
リーマン積分みたいな短冊を使う奴なんているんか
0090１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/17(土) 00:16:14.83ID:QLXqSuI2
あのさぁ、極限とる前の横軸の分割が、区間による有限個の分割なら、
区間上の形は、短冊でも台形でもシンプソンでもガウス積分でも、
リーマン積分と考えて何の問題もないよ。
0092１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/17(土) 16:35:26.65ID:QLXqSuI2
やれやれ、ルベーグ積分がわからないのはいいとしても、
リーマン積分を知らんとは。
そらぁ無理だは、ルベーグ積分わかるのは。
0095１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/17(土) 23:09:20.22ID:QLXqSuI2
昔は数学板にルベーグ積分知らないのがいることが驚愕だった。
しかし、今やリーマン積分知らないのがいる。まさに衝撃の事実。
しかもそれをボーッと見て感想を書いている。もはや言葉がない。
ただ恐怖と戦慄があるだけだ。時代は変わった。
上には上のアホがいる。いや、下には下か。
0096１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/18(日) 01:18:35.94ID:uEtlHBs8
リーマン測度
0098１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/18(日) 02:22:46.86ID:Eh49lOQG
>>95
最近の学生は一様連続がわからんから
0100１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/11/18(日) 15:33:08.82ID:Eh49lOQG
>>99
ネタにマジレスすると

リーマン測度（Riemannian measure）:
計量の入った多様体 (M, g) の体積要素のこと vol_M などと表す

リーマン積分の測度論的構成
ジョルダン測度を使ってルベーグ積分のような構成をすることはできるが
煩雑なだけで積分できる範囲も広がらないので手間のかかる演習問題だな
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