面白い問題おしえて〜な 二十四問目 [無断転載禁止]©2ch.net

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1132人目の素数さん2017/08/07(月) 00:07:33.27ID:y+VPlwP8

241132人目の素数さん2017/10/21(土) 19:37:19.09ID:NqQS+cuf
あら、間違えてたorz
ラングジュって誰なんでしょうね笑

面白い問題スレなので幾何の自作問題出しときますね♪

(1)或る9つの異なる点において,次の条件を満たすとき,9つのうち8つが同一円周上に存在することを示せ.
条件:どの5点に於いても,そのうち4点が同一円周上に存在する.


(2)三角形ABCに於いて,∠A内の傍心をI_Aとおく.辺BC,AB,AC上にそれぞれ点D,P,Qが在って,AP=CD,AQ=BDを満たしている.

また,三角形PBDと三角形QCD其々の外接円は2点で交わるとする.
この2つの交点のうち点Dでないものを点Eとおく.このとき,点I_A,D,Eは同一直線上に在ることを示せ.

242132人目の素数さん2017/10/21(土) 19:43:12.79ID:lnVE/SbO
>>239
横から失礼。独立なのは4種類(左右反転をいれると8種類)あったよ。

>>228の拡張

三角形を五段にして、使う数字を1から15までにしたものは何通り可能か?

さらに拡張
三角形を6段にして、使う数字を1から21までにしたものは不可能だが、
使う数字を1から22までにするると一通り可能となる。使わない数字は何か?

243132人目の素数さん2017/10/21(土) 19:53:01.19ID:eJYoKJ3T
J国とC国が海を隔てて存在している。
海上に国境を引いて、国境上のどの地点から見ても
両国の領土までの距離が等しくなるようにしたい。
そのように国境を引くことは可能か?

244132人目の素数さん2017/10/21(土) 20:05:39.01ID:P1IDIQpT
G I B H
 A F E
  D @  
   C
1から10まで一つ入れました

245132人目の素数さん2017/10/21(土) 20:11:05.28ID:P1IDIQpT
>>243
J 国とC国は形、面積が同じなんだろ(丸とか

246132人目の素数さん2017/10/21(土) 23:04:14.01ID:gIa8pLhZ
>>243
まあ、可能でしょうなあ。
d=(J国からの距離)-(C国からの距離)というのを、海上の座標を定義域とする
関数とすると、明らかに連続で、C国の海岸線ではプラス、J国の海岸線ではマイナスに
なっているので、その値が0になるところを辿ればいいのだから。

247132人目の素数さん2017/10/22(日) 01:58:23.93ID:k/cRaXCA
入り江がある場合も?

248名無しさん@そうだ選挙に行こう! Go to vote!2017/10/22(日) 08:47:25.88ID:92V5orwH
>>247
たぶん大丈夫

249名無しさん@そうだ選挙に行こう! Go to vote!2017/10/22(日) 15:00:25.25ID:FBhS88Mi
>>241
此の幾何問題むずくね?
特に後者...

250132人目の素数さん2017/10/22(日) 20:00:02.18ID:kD3swxA5
61415313.
6202232113.

251132人目の素数さん2017/10/23(月) 00:53:36.54ID:2CO3D21b
問題を6問出しておこう
@a,bを実数とする.方程式ax^2-2ax-b=0が0≦x≦3に実数解をもつような点(a,b)の範囲をab平面上に図示せよ.

A袋の中に1の数字が書かれたカードが1枚,2の数字が書かれたカードが2枚,3の数字が書かれたカードが3枚ある.
袋の中から1枚のカードを取り出し,カードに書かれた数字を確認し袋に戻すという操作を繰り返す.
n回操作を繰り返した後,取り出したカードに書かれた数字の総和が3の倍数となる確率を求めよ.

B点Oを中心とする半径rの球面Sがある.平面Fは球面Sと共有点をもち,その共有点全体は円Cをなす.Fが動くとき,円Cを底面,点Oを頂点とする塩水の体積の最大値を求めよ.

Cpを素数,sをpの倍数でない整数とする.
(1)st-1がpの倍数となる整数tが存在することを示せ.
(2)s^2-1がpの倍数となるための必要十分条件は,sをpで割った余りが1またはp-1となることを示せ.
(3)(p-1)!+1はpの倍数であることを示せ.

Dxy平面上に2点O(0,0),A(2,1)がある.点Pが曲線y=e^2上を動くとき,線分の長さの和OP+PAの最小値を求めよ.


E数列{a_n}をa_n=∫[0,1]x^n*e^xdx(n=0,1,2,...)で定める.
(1)n=0,1,2,...に対し,a_(n+1)をa_nで表せ.
(2)無限級数Σ[n=0,∞]1/n!の和を求めよ.

252132人目の素数さん2017/10/23(月) 01:24:55.10ID:RuudF8So
学校の宿題レベルが面白いとは、呆れるのを通り越して哀れみを感じる

253132人目の素数さん2017/10/23(月) 11:32:14.55ID:I0vxc0sG
>>241
(1)
或る5点を選ぶと、その4点は円周C上に存在する。(題意)
1点を別の点で置き換えても、その4点は円周D上に存在する。(題意)
∴ C,Dは異なる3個以上の点を共有する。
∴ C=D、「同一円周」はじつは同一の円周である。
5点をどう選んでも、そのうちの4点はC上に存在する。
∴ C上に存在しない点は高々1個しかない。

254132人目の素数さん2017/10/23(月) 13:38:10.27ID:I0vxc0sG
>>251
奇数番目

(1) a≠0 のとき x = 1±√(1+ b/a),
 -1 ≦ b/a ≦ 3,
 a=0 のときは b=0,

(3) 点Oと平面Fの距離を h とすると、円Cの半径は √(rr-hh)
 V(h)=(π/3)(rr-hh)h
 =(2π/3)(r/√3)^3 -(π/3){(r/√3)^3 +(r/√3)^3 + h^3 - rrh}
 ≦(2π/3)(r/√3)^3,  (← AM-GM)
 最大は h = r/√3 のとき。

(5)直線 y=ee ?
 A '(2,2ee-1)とおく。
 OP + PA = OP + PA '≧ OA '= √{4 + (2ee-1)^2}

255132人目の素数さん2017/10/23(月) 13:40:04.55ID:ld+Bd+yO
>>253
ABCDE,ABCDF,ABCDG,ABCDH,ABCDIのそれぞれの5点のうち4点が同一円周上にあってもABCDが同一円周上にあればいいのでEFGHIがその円周上にあるとは言えない。

256132人目の素数さん2017/10/23(月) 14:00:01.54ID:ld+Bd+yO
>>253
三つの円の二円ずつの交点の六点をとると
六点のうちどの五点をとってもそのうち四点が同一円周上にあるけど
六点のうち五点が同一円周上にあるとはいえないので
証明には九点というのを使う必要がある。

257132人目の素数さん2017/10/23(月) 14:27:14.27ID:2CO3D21b
>>254
(1)
a=0のとき
-b=0よりb=0
したがってa=0のとき、b=0となり、このときは任意のxが解であるためこの点(原点)は条件を満たす

a≠0のとき
ax^2-2ax-b=0
これは二次方程式であるためこれが0≦x≦3を満たす解を持つことを考える。

関数f(x)=(左辺)を考えると
f(x)=a(x-1)^2-a-b
これが0≦x≦3にx軸と交点を持つための条件は
(i)a>0のとき
-a-b≦0かつf(3)≧0
(ii)a<0のとき
-a-b≧0かつf(3)≦0

では?
偶数番は難しくてとっつけないな...

258132人目の素数さん2017/10/23(月) 14:57:46.04ID:aT1WkN5V
>>251

A

f(x)= ( (x^1+2x^2+3x^3) / 6 )^n

と置く。f(x)=Σ[k=0〜∞] a_k x^k と展開するとき、r=0,1,2 に対して

f_r(x)=Σ[0≦k, k≡r (mod 3)] a_k x^k

と置けば、f(x)=f_0(x)+f_1(x)+f_2(x) となる。また、求める確率は f_0(1) である。
ω=e^{2πi/3} と置けば、l=0,1,2 に対して f(ω^l)=f_0(ω^l)+f_1(ω^l)+f_2(ω^l) となる。
簡単な考察により、r=1,2 に対して Σ[l=0〜2] f_r(ω^l) = 0 となることが分かる。
また、f_0(ω^l)=f_0(1) (l=0,1,2) である。よって、Σ[l=0〜2] f(ω^l)=3f_0(1) となるので、

f_0(1)=(1/3)Σ[l=0〜2] f(ω^l)=(途中計算省略)= ( 1+((√3)/6)^n * 2cos(πn/6) ) / 3

となる。よって、( 1+((√3)/6)^n * 2cos(πn/6) ) / 3 が求める確率である。

259132人目の素数さん2017/10/23(月) 21:58:37.35ID:I0vxc0sG
>>241 (1)
>>255

X,Y等は{E,F,G,H,I}のどれかを表わすとする。

5点{A,B,C,X,Y}に於いて、XもYもABCの外接円上に存在しない。
・4点{A,B,X,Y}が同一円周上に存在する.
・4点{B,C,X,Y}が同一円周上に存在する.
・4点{C,A,X,Y}が同一円周上に存在する.
のいずれか1つだけが成り立つ。(2つ以上 成り立てば矛盾)

5点{A,B,D,X,Y}
5点{A,C,D,X,Y}
5点{B,C,D,X,Y}
に於いても同様だから、
・4点{A,B,X,Y}{C,D,X,Y}が同一円周上に存在する.
・4点{B,C,X,Y}{A,D,X,Y}が同一円周上に存在する.
・4点{C,A,X,Y}{B,D,X,Y}が同一円周上に存在する.
の1つだけが成り立つ。(2つ以上 成り立てば矛盾)

{X,Y}の組は C[5,2]= 10 とおりある。
それらは上記の3種のいずれかに属するから、いずれか1種に4組以上が属する。(鳩ノ巣原理)
その4組の{X,Y}の中に、文字の重複が3回以上ある。
第1種の場合については
(1)4文字循環の場合
 {A,B,X,Y,Z,W}{C,D,X,Y,Z,W}が同一円周上に存在する。
∴ 8点{A,B,C,D,X,Y,Z,W}が同一円周上に存在する。
(2)それ以外の場合
 9点が同一円周上に存在する。

260132人目の素数さん2017/10/23(月) 22:11:32.20ID:vRWWbVD4
>>259
4と6いけます?

261132人目の素数さん2017/10/23(月) 23:43:28.58ID:2CO3D21b
私には解けないのでここで1問(謎)

asinθ+bcosθが最大値をとる時のtanθの値を求めよ。ただし、a,b,sinθ,cosθは実数とし、b≠0である。

262132人目の素数さん2017/10/23(月) 23:44:11.32ID:2CO3D21b
b≠0である。

263132人目の素数さん2017/10/23(月) 23:59:47.73ID:0nYxYDlE
>>261
asin+bcos≦√(a^2+b^2)√(sin^2+cos^2)=√(a^2+b^2)
等号はacos=bsinのとき
よってtan=a/b

264132人目の素数さん2017/10/24(火) 00:02:40.23ID:Qx6baGkh
半径1の円周を直径を折り目として、直角に折ったものをMとする

このとき、Mを境界に持つ曲面の面積の最小値を求めよ

265132人目の素数さん2017/10/24(火) 09:07:03.86ID:jdGUs1kc
>>259 訂正

最後の辺り
(1)文字循環がある場合(3文字 or 4文字)
(2)文字循環がない場合

266132人目の素数さん2017/10/24(火) 23:18:19.68ID:jdGUs1kc
>>264
プラトー問題ですな。

数セミ増刊「数学100の問題」日本評論社(1984/Sep)
 p.188-189

267132人目の素数さん2017/10/25(水) 01:52:51.99ID:iCDqTvAW
>>241
(2)
簡単に概略、特殊な場合を除いた解答
直線CI_AとQCDの外接円の交点でC以外の方をC'、直線BI_AとPCDの外接円の交点でB以外の交点をB'とする
一致した場合は別で解ける
角の二等分線からC'D=C'Qで∠DC'Q=∠BCA、B'D=B'Pで∠PB'D=∠ABC
△C'QA≡△C'DB、△B'PA≡△B'DCから∠AC'B=∠ACB、∠AB'C=∠ABC
よってAB'BCC'の5点は同一円周上
よってBI_A×B'I_A=CI_A×C'I_A
直線DI_AとQCDの外接円の交点、PCDの外接円の交点でDと異なる方をそれぞれE'、E"とすれば
E'I_A×DI_A=C'I_A×CI_A=B'I_A×BI_A=E"I_A×DI_A
なのでE'I_A=E"I_Aから、E'とE"は一致
点の取り方から、E'(=E")は二つの外接円の交点でDと異なる方であり、これはEと一致する
したがって、E, D, I_Aは同一直線上にある

268132人目の素数さん2017/10/25(水) 05:15:06.39ID:q+PBe4Rp
a,bを自然数として、
k=(aab+a+b)/(abb+b+7)とする。
kが自然数になるときを考える。
(1) b=1のとき、aを求めよ。
(2) b=2のとき、aを求めよ。
(3) b≧3のときを考える。
(i) k<(a/b+1/b)を示せ。
(ii) b≧3のとき(b-7/b)>0になることを利用して、(a/b-1/b)<kを示せ。
(iii) aをkとbで表せ。
(iv) bをkで表せ。

269132人目の素数さん2017/10/25(水) 11:18:24.81ID:pcVh66sW
必ず4点のみだと5点が同一円上にあるケースが必ずあって条件満たさないんじゃ( ̄▽ ̄;)

270132人目の素数さん2017/10/25(水) 17:46:09.04ID:pcVh66sW
https://i.imgur.com/4YFzx0B.jpg

こう解きましたが、省かれる1点が確実に5点に含まれるならそうなんだけど、「どの5点も」だからEを抜いた場合も成立しなきゃ十分とはならないんだよね...

271132人目の素数さん2017/10/25(水) 17:49:24.72ID:3pQ+8OFe
>>270
汚くて読みづらい字だが、味わい深くもある

272132人目の素数さん2017/10/25(水) 18:11:20.62ID:pcVh66sW
Eを抜いた場合を考えると問題が成立しなくなるので、止むを得ずEを含めた場合のみで考えたのですが...
上半分で、
ある一点だけが円周上にない⇔条件が成り立つ ことを言いたかったのですが不十分ですかね?

273132人目の素数さん2017/10/25(水) 19:48:07.35ID:z2FhQXb7
>>270
特定した

274132人目の素数さん2017/10/25(水) 19:49:55.94ID:pcVh66sW
>>273
??
問題って成立します?

275132人目の素数さん2017/10/25(水) 19:49:59.11ID:z2FhQXb7
5の内4が何々とは5の内4だけが何々ではない
数学の言い回し

276132人目の素数さん2017/10/25(水) 21:13:14.00ID:uK36bSi/
>>251 (6)
>>260

(1)部分積分により
a[n+1] = e -(n+1)a[n],

(2) (1)と
a[1] = 1,
よりa[n]を求めると、
(-1)^n・a[n]/n!={Σ[k=0,n](-1)^k /k!}e - 1
ところで、n→∞ のとき
0 < a[n]≦ e∫[0,1] x^n dx = e/(n+1)→ 0
だから、
{Σ[k=0,∞] (-1)^k /k!}e = 1   …(A)
一方、
{Σ[k=0,∞] (-1)^k /k!}{Σ[n=0,∞]1/n!}
=Σ[m=0,∞]Σ[k=0,m](-1)^k /{k!(m-k)!}
=Σ[m=0,∞] (1/m!)Σ[k=0,n]C[m,k](-1)^k
=Σ[m=0,∞](1/m!)(1-1)^m
=Σ[m=0,∞](1/m!)δ_{m,0}
= 1   …(B)
辺々比較して
Σ[n=0,∞]1/n!= e,

[分かスレ435.723]の解答。
無理やりぢゃないよね。

277132人目の素数さん2017/10/26(木) 12:50:39.05ID:1czx1ktV
高校レベルで平面ベクトルの奇問難問面白問出してください

278132人目の素数さん2017/10/26(木) 13:13:35.48ID:K9dc9LGC
高校レベルのベクトルなんてぶっちゃけ初等幾何と大差ないよ
受験生なら初等幾何の問題や公式をあえてベクトルを使って解いてみたら
いい力試しになるんじゃないか

279132人目の素数さん2017/10/26(木) 13:19:26.62ID:AxPSvumO
>>276 補足

δ_{i,j}= 1  (i=jのとき)
    = 0   (i≠jのとき)

「クロネッカーのδ」

280132人目の素数さん2017/10/26(木) 15:17:17.91ID:jkYw2AAu
>>241
>>(1)或る9つの異なる点において,次の条件を満たすとき,9つのうち8つが同一円周上に存在することを示せ.
>>条件:どの5点に於いても,そのうち4点が同一円周上に存在する.

という問題、および、この出題者と思われる >>256 には

>>証明には九点というのを使う必要がある。

という書き込みがありましたが、この問題、実は、9点じゃなくて、7点、あるいは、8点でも成立するのでは?

「ある6点」は、三つの円の交点とすれば、「条件」が可能なことは、>>256に書かれている通りですが、
「ある7点」は、七つの「特殊な閉曲線」を用いれば可能なことは確認しましたが、「円」で作図可能かどうかは
非常に疑わしく思います。
「ある8点」で「条件」を満たす非自明な配置は、「特殊な閉曲線」でも無理のようです。

この問題文に「或る9つの異なる点」とあるのは、用意している証明方法では、9点が必要だったということに
由来しているのではありませんか?

なお、「特殊な閉曲線」とは、「特殊な閉曲線同士の交点は最大二個」という性質を持つ閉曲線を指し、
この性質さえ持てば、形状を問わないものを表します。

281132人目の素数さん2017/10/26(木) 15:37:54.56ID:1czx1ktV
>>280
256は出題者(私)では無いです.

既に私の想定解は前スレで出ているのですが,貴方の主張の通り或る9点でしか想定しておりません。

然し,或る7或いは8点に置換しても示せる旨の記述について,詳しく示してください.
興味があります.

282132人目の素数さん2017/10/26(木) 20:10:48.28ID:1czx1ktV
私の想定解はこちら

点12345より条件を満たす円Oを作る。
このとき円に乗っている点を1234とする。

この円O外に2点以上の点があると仮定すると(56とする)、
12356を考えたとき円Oは3点123より一意に定まるが、56が円O外となり条件に矛盾する。
∴背理法より円O外には1点以下しか外れない。

以上から、円Oには少なくとも(n-1)個の点が乗る。

283132人目の素数さん2017/10/26(木) 22:04:04.88ID:jkYw2AAu
>>281
 >>256 は出題者さんのコメントでは無かったのですね。失礼しました。

7点の場合ですが、次の7文字からなる、七つの数字列を見てください。
(0001111),(0110011),(0111100),(1010101),(1011010),(1100110),(1101001)
各数字列はそれぞれ「円」に対応し、第一の数字から第7の数字は、第一の点から第7の点に対応し、
円が、その点をを通る場合は1、通らない場合は0が書かれています。第1の円は、(0001111)と書かれているので、
第一、第二、第三の点は無く、第4から第7の四つの点が乗っていることを示しています。

この七つの数字列が示すように七つの円と点が取れば、条件
>>条件:どの5点に於いても,そのうち4点が同一円周上に存在する.
を満たしていても、「7つの点の内、六つが同一円周上にはない」ようなものが存在できるというものです。
実際、上の数字列でチェックしてみてください。どの5点を選んでも、1を四つ含む円が必ずあることが確かめられます。
しかし、組み合わせ上可能でも、実際にこのような「円を描く」事が可能なのか?
に疑問がわいて、「9点じゃなくて、7点、あるいは、8点でも成立するのでは?」と書きました。
7点の場合は、このように「円」という形状に起因し、不可能では?と考えました。
そこで、「特殊な閉曲線」を持ち出し、そのようなものなら可能としました。
一方、8点の場合は、上のような数字列を見つけ出すことが出来ませんでした。
(プログラムを組んで探したので、プログラムミスで見逃した可能性は否定できません)

284132人目の素数さん2017/10/26(木) 22:49:59.60ID:jkYw2AAu
>>282
>>この円O外に2点以上の点があると仮定すると(56とする)、
>>12356を考えたとき円Oは3点123より一意に定まるが、56が円O外となり条件に矛盾する。

1256か1356か2356が、別の円の上に乗っていればいいだけなのでは?
何か勘違いしてる?

285132人目の素数さん2017/10/26(木) 23:19:58.97ID:1czx1ktV
>>284
ああ、たしかに別の円に乗せられば行けるので不充分っぽい

286132人目の素数さん2017/10/27(金) 00:29:42.72ID:Jpqp4p7D
△ABCがある。BC=10, sinB=3/5, sinC=4/5となるとき、△ABCの面積を求めよ。(かなり汚い数字になりますがご勘弁を)

287132人目の素数さん2017/10/27(金) 00:44:14.90ID:IOyAuxgL
似た問題を某所に応募してみたけど採用されなかったので、ここで供養

10個の変数 x_ij (1≦i<j≦5) についての0でない多項式fであって、次を満たすものを1つ求めよ:
5つの平面ベクトル v_i (i=1,2,3,4,5) をどう定めても、f に x_ij=v_i・v_j を代入した値は必ず0になる。

288132人目の素数さん2017/10/27(金) 00:57:19.63ID:IOyAuxgL
>>287の誘導問題(群論知ってたらわりとすぐだけど一応)
コルクボードに5つの画ビョウa,b,c,d,eが、この順に正五角形の頂点をなすように刺さっている。
ab,bc,cd,de,eaの5つの組を、それぞれ紐で結ぶ。(つまり、紐は正五角形の辺をなす)
この状態から、『2つの画ビョウの位置を紐をつけたまま入れ替える』という操作を奇数回行うことで、再び紐が正五角形の辺をなすようにすることは可能か。

289132人目の素数さん2017/10/27(金) 01:02:07.76ID:XGdnrbSu
>>287
ボツ問題より、どこで募集しているかを知りたい。

290132人目の素数さん2017/10/27(金) 02:50:08.54ID:1iLpsAin
>>286
 
(cosC)^2 =(sinB)^2,
(cosB)^2 =(sinC)^2,
より
±cosC = sinB = 3/5,
cosB = sinC = 4/5,

(1) A = B+C= 90°(直角凵jのとき
 sin(A)= 1,
正弦定理より
 BC:CA:AB = sin(A):sin(B):sin(C)= 5:3:4
 面積:24 

(2) C - B = 90°(鈍角凵jのとき
 sin(A)= 7/25,
正弦定理より
 BC:CA:AB = sin(A):sin(B):sin(C)= 7:15:20
 面積: 1200/7

291132人目の素数さん2017/10/27(金) 11:02:26.31ID:Kn04ELyx
>>289
Mathpowerっていう数学のイベントが去年から毎年数日間にわたって開催されてるんだけど、
今年はその中の小イベント『数学の決闘』で出題するための問題を公募してたんだよ
もうイベントも公募も終了してるけどね

292132人目の素数さん2017/10/27(金) 11:17:43.85ID:Jpqp4p7D
鈍角の時は600/7になると思う
計算式は(1/2)(BC)(sinB)(sinC)/(sin(B+C))
これで計算すれば、
B鈍角時は解無し(負の数で解が出る)
C鈍角時は600/7
B,C鋭角時は24
ってなった

293132人目の素数さん2017/10/27(金) 15:36:57.65ID:3CZEhSpS
Mathpowerって5ちゃんねると同じく公安のスパイであるニコ生の催しか

294132人目の素数さん2017/10/27(金) 19:33:08.76ID:Jpqp4p7D
気を取り直して

3つドアがあって、景品1つとハズレが2つドアの向こうにります。
あなたはドアを1つ選びます。
このあと、ハズレのドアが1つ開きます。
その後あなたはドアを変えることも出来るし、そのまま選択することもできます。
あなたはドアを変えるべきでしょうか?

答えと理由もお願いします。

295132人目の素数さん2017/10/28(土) 15:59:05.66ID:4DKtP3Rk
次の不等式の表す領域を図示せよ。
・y≧-x^2+6|x|-8
・4y≧-5x^2+10|x|+21
・0≧x^2+y^2-6y-16
・0≧x^2-(8√2)|x|+y^2-2(3+4√2)y+64+24√2

296132人目の素数さん2017/10/28(土) 18:41:37.80ID:4DKtP3Rk
ちなみに上はミッキーマウス描けまーす...
反応ない...

ちょっとした頭の体操?というか意地悪な問題です笑

「有理数全体の集合をQとする。
この時、Qの2つの要素a/b,c/d に対して
和a/b+c/d をa/b+c/d=(ad+bc)/bd と定義する。」

この時、この定義はまだ数学的に不充分です。どこが不充分でしょうか??

297132人目の素数さん2017/10/28(土) 18:43:18.63ID:4DKtP3Rk
あ、当然b≠0かつd≠0です!笑

298132人目の素数さん2017/10/28(土) 18:51:09.66ID:jWurCcgF
キモ・・・

299132人目の素数さん2017/10/28(土) 18:52:57.46ID:4DKtP3Rk
計算してまとめただけなら定義じゃないねorz

私達は有理数の足し算は上の定義式のような計算で与えられることを知っています。では、その足し算というものを改めて定義しようとした時上の定義ではそもそも定義として危うい点が残っています。それは何でしょう?って事です( ノД`)シクシク…

300132人目の素数さん2017/10/28(土) 20:07:51.86ID:HxNBMRQu
どうせwell-definedかどうかなんだろうけど、ちょっと代数習いたて感が半端ないっす

301132人目の素数さん2017/10/28(土) 20:35:04.15ID:4DKtP3Rk
ですね笑
最近やっと代数を楽しいと思えてきました

302132人目の素数さん2017/10/28(土) 20:39:55.70ID:4DKtP3Rk
これって定理に入らないか?

いえいえ!
和や積などに代表される二項演算とは、一種の写像として定義されます。具体的には集合S上の二項演算とはf:S×S→S という写像fの事です。
なのでQの要素2つ定めれば、それに対する演算の結果は必ず一意に定まらないとダメです。

なので今回の場合は⑴そもそもの演算の結果が有理数になる。
⑵その計算結果は有理数の表示の仕方に依らず、一意に定まる。
という2点が確かめられて初めて定義可能と言えます。

303132人目の素数さん2017/10/28(土) 22:15:19.41ID:XSy63dyw
>>294
幾度となく出てる

304132人目の素数さん2017/10/29(日) 01:30:42.66ID:5TeRc4Dg
>>287の答え(の例)
Σ sgn(σ)x_σ(1)σ(2)x_σ(2)σ(3)x_σ(3)σ(4)x_σ(4)σ(5)x_σ(5)σ(1)
σ∈S_5(=5次対称群)
(ただし、x_ijとx_jiは同じ文字と見なす)

(証明)上で定めたfは 10x_12x_23x_34x_45x_ 51 の項を持つので0でない。
x_ij=v_i・v_j をfの式に代入した時の値をg(v_1,…,v_5)とおくと、gはv_i,v_j(i≠j)の入れ替えにより符号が反転することが確かめられるので、v_iのうち一次従属な二つ組が存在すればg=0とならなければならない。
v_iのうちどの二つ組も一次独立であると仮定する。各i=3,4,5に対して、v_1+t_iv_2とv_iが一次従属になるような実数t_iが存在するので、
tについての二次以下の式 h(t)=g(v_1+tv_2, v_2, v_3, v_4, v_5) は零点を3つ以上持つ。したがって、hは恒等的に0。ゆえに、g(v_1,…,v_5)も0。

305◆2VB8wsVUoo 2017/10/29(日) 18:19:01.94ID:w8MLdeK9

306◆2VB8wsVUoo 2017/10/29(日) 18:19:19.15ID:w8MLdeK9

307◆2VB8wsVUoo 2017/10/29(日) 18:19:35.82ID:w8MLdeK9

308◆2VB8wsVUoo 2017/10/29(日) 18:19:53.48ID:w8MLdeK9

309◆2VB8wsVUoo 2017/10/29(日) 18:20:10.44ID:w8MLdeK9

310◆2VB8wsVUoo 2017/10/29(日) 18:20:29.57ID:w8MLdeK9

311◆2VB8wsVUoo 2017/10/29(日) 18:20:47.60ID:w8MLdeK9

312◆2VB8wsVUoo 2017/10/29(日) 18:21:04.99ID:w8MLdeK9

313◆2VB8wsVUoo 2017/10/29(日) 18:21:24.13ID:w8MLdeK9

314◆2VB8wsVUoo 2017/10/29(日) 18:21:40.64ID:w8MLdeK9

315132人目の素数さん2017/11/08(水) 12:43:13.76ID:X+T0MJpc
面白くないかもしれんが、lim[x→+0] {e - (1+x)^(1/x)}/x を求めよ。

316132人目の素数さん2017/11/08(水) 22:22:45.97ID:mblwdtt/
>>315
0 < x << 1 のとき
(1+x)^(1/x + 1/2) 〜 e,
∴(1+x)^(1/x)〜 e/√(1+x)〜 e/(1+x/2)〜 e(1-x/2),
∴(与式)= lim[x→+0](ex/2)/x = e/2,

〜は差がO(xx)であることを表わす。

317132人目の素数さん2017/11/09(木) 14:12:21.30ID:3X7VVSFu
面白くないかもしれんが、lim[x→+0]{e -(1+x)^(1/x + 1/2)}/xx を求めよ。

318132人目の素数さん2017/11/10(金) 00:52:52.85ID:zIX+6Ycy
>>317

0 < x << 1 のとき
(1+x)^(1/x + 1/2 - x/12 + xx/24 - …)= e

319132人目の素数さん2017/11/11(土) 15:28:23.29ID:ch5TTVlt
>>318

1/(1+x)= 1 -x +xx -x^3 + …,

log(1+x)= x -xx/2 +(x^3)/3 -(x^4)/4 + …,

(1/x +1/2 -x/12 +xx/24 -…)log(1+x)= 1,

(1+x)^(1/x +1/2 -x/12 +xx/24 -…)= e,

320132人目の素数さん2017/11/12(日) 10:48:32.40ID:Ol3q012R

321132人目の素数さん2017/11/12(日) 11:44:42.83ID:+jphTJpC
>>320
対角線方向の和は等しい(全体の1/2)
32+16= 28+x,
x=20.

322132人目の素数さん2017/11/12(日) 17:20:16.27ID:ppo0TGHI
>>321
> 対角線方向の和は等しい(全体の1/2)

なぜ?

323132人目の素数さん2017/11/12(日) 18:11:44.33ID:bcdob+HV
>>322
正方形の頂点からも補助線を引けば
底辺は皆同じ長さだし
高さが同じ三角形が確変状に2つずつできるからだよ

324132人目の素数さん2017/11/12(日) 18:44:27.24ID:ppo0TGHI
ありがとう

325132人目の素数さん2017/11/12(日) 19:00:05.18ID:+jphTJpC
>>322

凸四角形ABCDの内部に点Pをとる。

4辺AB,BC,CD,DA の中点を K,L,M,N とおくと、
△APK = △BPK = k,
△BPL = △CPL = l,
△CPM = △DPM = m,
△DPN = △APN = n,
となる。      >>323

S_A = n + k,
S_B = k + l,
S_C = l + m,
S_D = m + n,

S_A + S_C = S_B + S_D,

326◆2VB8wsVUoo 2017/11/12(日) 19:10:32.10ID:AbMINYSr

327◆2VB8wsVUoo 2017/11/12(日) 19:10:47.92ID:AbMINYSr

328◆2VB8wsVUoo 2017/11/12(日) 19:11:05.90ID:AbMINYSr

329◆2VB8wsVUoo 2017/11/12(日) 19:11:22.71ID:AbMINYSr

330◆2VB8wsVUoo 2017/11/12(日) 19:11:40.74ID:AbMINYSr

331◆2VB8wsVUoo 2017/11/12(日) 19:11:58.48ID:AbMINYSr

332◆2VB8wsVUoo 2017/11/12(日) 19:12:16.30ID:AbMINYSr

333◆2VB8wsVUoo 2017/11/12(日) 19:12:38.84ID:AbMINYSr

334◆2VB8wsVUoo 2017/11/12(日) 19:12:56.75ID:AbMINYSr

335◆2VB8wsVUoo 2017/11/12(日) 19:13:15.45ID:AbMINYSr

336132人目の素数さん2017/11/12(日) 19:32:20.75ID:+jphTJpC
>>325

では、本題に入ります。
PK,PL,PM,PN で4片に切り分け K,L,Mを鳩目で留めて、各片を動かします。
ABCDを1点Qに集めると、新しい凸4角形 K'L'M'N' が出来ます。
(鳩目がえし)

〔問題〕
点P が KM と LN の交点にあったとき、◇K'L'M'N' は平行4辺形になることを示せ。

337132人目の素数さん2017/11/13(月) 00:09:15.66ID:JLzkThPB
>>323 >>325
ほう、そっちに補助線が多数派か

おれは少数派

338132人目の素数さん2017/11/13(月) 00:50:51.00ID:Yii0a2oy
なんかそんな感じの図で変な名前の定理があったなと思った
british flag's theorem だった

339132人目の素数さん2017/11/13(月) 01:30:25.03ID:JZdVlCPR
なにが「本題に入ります」だコラ
てめえは画像貼ってねえだろ

340132人目の素数さん2017/11/13(月) 01:35:51.81ID:8sAckRBe
前スレ
面白い問題おしえて〜な 二十三問目 [無断転載禁止]©2ch.net
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1497416499/

187 132人目の素数さん 2017/06/25(日) 01:21:36.25 ID:8SgueX3P
Microsoftが就職面接で出したとかいう問題
長方形ABCDに対して点PがAP=11,BP=13,CP=7を満たすとき、DPは?

216 132人目の素数さん 2017/06/25(日) 22:50:39.89 ID:LvX/aL4D
>>189,204
正解
AP^2+CP^2=BP^2+DP^2はBritish flag theoremというらしい
https://youtu.be/bhMyvC7o97Y

マイクロソフトはこの問題を口頭で解かせた…?

341132人目の素数さん2017/11/13(月) 01:55:12.51ID:Yii0a2oy
ああsつかないんだ

342◆2VB8wsVUoo 2017/11/13(月) 02:49:28.58ID:tP2A7oah

343◆2VB8wsVUoo 2017/11/13(月) 02:49:48.02ID:tP2A7oah

344◆2VB8wsVUoo 2017/11/13(月) 02:50:06.03ID:tP2A7oah

345◆2VB8wsVUoo 2017/11/13(月) 02:50:24.08ID:tP2A7oah

346◆2VB8wsVUoo 2017/11/13(月) 02:50:42.28ID:tP2A7oah

347◆2VB8wsVUoo 2017/11/13(月) 02:51:02.07ID:tP2A7oah

348◆2VB8wsVUoo 2017/11/13(月) 02:51:22.17ID:tP2A7oah

349◆2VB8wsVUoo 2017/11/13(月) 02:51:41.51ID:tP2A7oah

350◆2VB8wsVUoo 2017/11/13(月) 02:52:04.48ID:tP2A7oah

351◆2VB8wsVUoo 2017/11/13(月) 02:52:25.10ID:tP2A7oah

352132人目の素数さん2017/11/13(月) 18:30:50.24ID:ZO46PDyG
  ┌┏━━━┳━━━┓ 
  │┃ 3p^2┃5p^2 ┃
   4┣━━━╋━━━┻━┓
  p┃ ?p^2┃  7p^2 ┃ 
  └┗━━━┻━━━━━┛ 
    └─── 5p────┘
 

353132人目の素数さん2017/11/13(月) 18:35:14.93ID:s1bK+9vv
>>352
ずれすぎ。絵を書いて貼ったほうがいい

354◆2VB8wsVUoo 2017/11/13(月) 20:06:14.92ID:tP2A7oah

355◆2VB8wsVUoo 2017/11/13(月) 20:06:35.77ID:tP2A7oah

356◆2VB8wsVUoo 2017/11/13(月) 20:07:03.06ID:tP2A7oah

357◆2VB8wsVUoo 2017/11/13(月) 20:07:20.65ID:tP2A7oah

358◆2VB8wsVUoo 2017/11/13(月) 20:07:37.51ID:tP2A7oah

359◆2VB8wsVUoo 2017/11/13(月) 20:07:54.22ID:tP2A7oah

360◆2VB8wsVUoo 2017/11/13(月) 20:08:11.73ID:tP2A7oah

361◆2VB8wsVUoo 2017/11/13(月) 20:08:28.77ID:tP2A7oah

362◆2VB8wsVUoo 2017/11/13(月) 20:08:45.49ID:tP2A7oah

363◆2VB8wsVUoo 2017/11/13(月) 20:09:02.85ID:tP2A7oah

364132人目の素数さん2017/11/14(火) 03:33:26.70ID:Tiu/gc0k
>>352
等幅フォントならずれてないという罠

365132人目の素数さん2017/11/14(火) 03:42:14.27ID:Tiu/gc0k
 ┌ A━━━B━━━C‥D
 │ ┃ 3p^2┃5p^2 ┃ :
  4 E━━━F━━━G━H
 p ┃ ?p^2┃ 7p^2  ┃
 └ I━━━J━━━K━L

  . └─── 5p────┘

解けないけどとりあえず点に命名

366◆2VB8wsVUoo 2017/11/14(火) 04:43:21.57ID:DKMYn3HH

367◆2VB8wsVUoo 2017/11/14(火) 04:43:38.12ID:DKMYn3HH

368◆2VB8wsVUoo 2017/11/14(火) 04:43:54.78ID:DKMYn3HH

369◆2VB8wsVUoo 2017/11/14(火) 04:44:11.13ID:DKMYn3HH

370◆2VB8wsVUoo 2017/11/14(火) 04:44:27.58ID:DKMYn3HH

371◆2VB8wsVUoo 2017/11/14(火) 04:44:43.71ID:DKMYn3HH

372◆2VB8wsVUoo 2017/11/14(火) 04:45:00.95ID:DKMYn3HH

373◆2VB8wsVUoo 2017/11/14(火) 04:45:18.18ID:DKMYn3HH

374◆2VB8wsVUoo 2017/11/14(火) 04:45:34.73ID:DKMYn3HH

375◆2VB8wsVUoo 2017/11/14(火) 04:45:54.99ID:DKMYn3HH

376132人目の素数さん2017/11/14(火) 07:54:34.80ID:QSiwpYdW
答え出すだけなら当てずっぽうの3で計算あっちゃうからなあ
文字を置いて比と合計で方程式立てればいいんだろうけど小学生はどうやるんだろう?
中学受験とかの問題だよね?

377132人目の素数さん2017/11/14(火) 08:25:21.04ID:BWV4+ALo
東大数学科卒のおれが
少し考えてしまった

378132人目の素数さん2017/11/14(火) 08:27:48.30ID:BWV4+ALo
>>376
×

379132人目の素数さん2017/11/14(火) 09:15:51.06ID:ZesshMJ4
>>365
5cmはIL間の距離だろうな、問題の意図からして

380132人目の素数さん2017/11/14(火) 10:17:13.68ID:DHFhf7rh
問題文

長方形AILDがある。
辺AI上に点E、辺DL上に点Hを、AE=DHとなるようにとる。
辺AD上に点B、辺IL上に点Jを、AB=IJとなるようにとる。
EHとBJの交点をFとする。
線分BD上に点C、線分FH上に点G、線分JL上に点Kを、BC=FG=JKとなるようにとる。
AI=DL=4、AD=IL=5、□AEFB=3、□BFGC=5、□FJLH=7であるとき、□EIJFを求めよ。

381132人目の素数さん2017/11/14(火) 11:59:24.39ID:B4AZ+w8T
点C,G,Kってただの糞エアロパーツ?

382◆2VB8wsVUoo 2017/11/14(火) 13:05:50.88ID:DKMYn3HH

383◆2VB8wsVUoo 2017/11/14(火) 13:06:10.21ID:DKMYn3HH

384◆2VB8wsVUoo 2017/11/14(火) 13:06:28.13ID:DKMYn3HH

385◆2VB8wsVUoo 2017/11/14(火) 13:06:46.09ID:DKMYn3HH

386◆2VB8wsVUoo 2017/11/14(火) 13:07:03.30ID:DKMYn3HH

387◆2VB8wsVUoo 2017/11/14(火) 13:07:22.13ID:DKMYn3HH

388◆2VB8wsVUoo 2017/11/14(火) 13:07:39.76ID:DKMYn3HH

389◆2VB8wsVUoo 2017/11/14(火) 13:07:58.92ID:DKMYn3HH

390◆2VB8wsVUoo 2017/11/14(火) 13:08:16.69ID:DKMYn3HH

391◆2VB8wsVUoo 2017/11/14(火) 13:08:37.46ID:DKMYn3HH

392132人目の素数さん2017/11/14(火) 17:46:50.52ID:Tiu/gc0k
>>379
3以外の別解がないことが証明できた

393132人目の素数さん2017/11/14(火) 17:54:52.45ID:Tiu/gc0k
AE=p,AB=q とするとき
┌pq=3
┤(4-p)(5-q)=7
└3(5-q)>5
を解くと
(p,q)=(2,3/2)のみになりこのとき(4-p)q=3

なお(p,q)=(6/5,2)は上2式だけみたすが3(5-q)=25/12<5 なので不適

394132人目の素数さん2017/11/14(火) 18:39:53.24ID:GD1DjxVU
>>377
なら当てずっぽうは立派な回答だと知ってように

395132人目の素数さん2017/11/14(火) 19:47:46.43ID:6BrELZtY
3 ^2とかと表示されて意味不明だった。

3 10-x
x 7

x(10-x)=21
x=3,7

396◆2VB8wsVUoo 2017/11/14(火) 20:36:32.61ID:DKMYn3HH

397◆2VB8wsVUoo 2017/11/14(火) 20:36:47.91ID:DKMYn3HH

398◆2VB8wsVUoo 2017/11/14(火) 20:37:03.82ID:DKMYn3HH

399◆2VB8wsVUoo 2017/11/14(火) 20:37:20.23ID:DKMYn3HH

400◆2VB8wsVUoo 2017/11/14(火) 20:37:35.97ID:DKMYn3HH

401◆2VB8wsVUoo 2017/11/14(火) 20:38:09.64ID:DKMYn3HH

402◆2VB8wsVUoo 2017/11/14(火) 20:38:25.77ID:DKMYn3HH

403◆2VB8wsVUoo 2017/11/14(火) 20:38:42.44ID:DKMYn3HH

404◆2VB8wsVUoo 2017/11/14(火) 20:38:59.96ID:DKMYn3HH

405◆2VB8wsVUoo 2017/11/14(火) 20:39:17.96ID:DKMYn3HH

4063802017/11/14(火) 22:13:32.27ID:A0rgzxpS
解答例

AE=xとおく。
□AEFB=3よりAB=3/x
AI=4よりEI=FJ=4-x
□FJLH=7よりBD=FH=7/(4-x)
AB+BD=5より3/x+7/(4-x)=5⇔5xx-16x+12=0⇔x=6/5,2
x=6/5のときAC=(3+5)/x=20/3>5=ADより矛盾(□BFGC=5はここで使う)。
x=2のときEI=AE=2より□EIJF=□AEFB=3

4073802017/11/14(火) 22:15:44.36ID:A0rgzxpS
これを小学校の算数の知識(面積比)で解くのが主旨なのでは

4083932017/11/14(火) 23:34:48.28ID:Tiu/gc0k
>>393を訂正
正:「なお(p,q)=(6/5,5/2)は上2式だけみたすが3(5-q)=3<5 なので不適」
3(5-q)が意図するのは□BFGCではなく□BFHDの面積なので気をつけてほしい
右上の欠けを足したものは5cm^2より真に大きかろう、の意

409132人目の素数さん2017/11/14(火) 23:48:51.76ID:Tiu/gc0k
解がいくつもありそうに思いきや、
Aを中心に積が3の双曲線(片割れのみ)
Lを中心に積が7の双曲線(片割れのみ)
を書いて考えただけでも、
交点は2個以下だから、解が2個以下であることまでわかる

てのは中学知識以上か

410◆2VB8wsVUoo 2017/11/15(水) 00:54:28.91ID:WZuPK5Ir

411◆2VB8wsVUoo 2017/11/15(水) 00:54:51.79ID:WZuPK5Ir

412◆2VB8wsVUoo 2017/11/15(水) 00:55:10.78ID:WZuPK5Ir

413◆2VB8wsVUoo 2017/11/15(水) 00:55:29.92ID:WZuPK5Ir

414◆2VB8wsVUoo 2017/11/15(水) 00:55:50.37ID:WZuPK5Ir

415◆2VB8wsVUoo 2017/11/15(水) 00:56:11.00ID:WZuPK5Ir

416◆2VB8wsVUoo 2017/11/15(水) 00:56:30.69ID:WZuPK5Ir

417◆2VB8wsVUoo 2017/11/15(水) 00:56:49.86ID:WZuPK5Ir

418◆2VB8wsVUoo 2017/11/15(水) 00:57:06.95ID:WZuPK5Ir

419◆2VB8wsVUoo 2017/11/15(水) 00:57:25.48ID:WZuPK5Ir

420132人目の素数さん2017/11/15(水) 07:51:33.18ID:leq/t8zY
>>365
Dまでの全体の大きな四角形は20cm^2
大きな四角形を十字で分けて左上と右下を足して10cm^2なので左下と右上を足しても10cm^2
こうなるためにはBがADの中点であるかEがAIの中点であるか少なくともどちらかが必要※
従って求める左下の四角形の面積は3cm^2か7cm^2だが7だと右上が5より小さい3となってしまい不適

※は辺の長さを文字で置けば簡単だが、図形でやろうとするとちょっと面倒な方法しか思いつかない
BもEも中点でないとすると大きな四角形の中心について点対称に移動した十字を書き加えたとき中央に小さな四角形が必ずできる
この四角形の面積のぶん、左上と右下の和、左下と右上の和に差が出る

421132人目の素数さん2017/11/15(水) 08:27:56.05ID:yoSEZHQY
一方が中点じゃない時にもう一方が必ず中点になる事をいえばいいだけじゃね

422132人目の素数さん2017/11/15(水) 08:40:23.80ID:leq/t8zY
>>421
それを簡単に言う方法が思いつかないってことだよ
小学生でもすんなり理解できるくらいの証明方法があったら教えてくれ

423132人目の素数さん2017/11/15(水) 12:35:25.28ID:YjleuV3m
ことによると、もっとでかい図形の一部として考えでもするのかな
悪名高きラングレーの凧はそのたぐい

424◆2VB8wsVUoo 2017/11/15(水) 20:26:03.02ID:WZuPK5Ir

425◆2VB8wsVUoo 2017/11/15(水) 20:26:18.76ID:WZuPK5Ir

426◆2VB8wsVUoo 2017/11/15(水) 20:26:36.11ID:WZuPK5Ir

427◆2VB8wsVUoo 2017/11/15(水) 20:27:07.62ID:WZuPK5Ir

428◆2VB8wsVUoo 2017/11/15(水) 20:27:25.49ID:WZuPK5Ir

429◆2VB8wsVUoo 2017/11/15(水) 20:27:41.70ID:WZuPK5Ir

430◆2VB8wsVUoo 2017/11/15(水) 20:27:57.62ID:WZuPK5Ir

431◆2VB8wsVUoo 2017/11/15(水) 20:28:13.71ID:WZuPK5Ir

432◆2VB8wsVUoo 2017/11/15(水) 20:28:29.97ID:WZuPK5Ir

433◆2VB8wsVUoo 2017/11/15(水) 20:28:45.05ID:WZuPK5Ir

434132人目の素数さん2017/11/16(木) 04:10:16.86ID:+0/ZGG+j
>>423
「ラングレーの問題」とか「フランクリンの蛸」とか

435◆2VB8wsVUoo 2017/11/16(木) 05:57:40.12ID:6ldUKvsQ

436◆2VB8wsVUoo 2017/11/16(木) 05:57:57.05ID:6ldUKvsQ

437◆2VB8wsVUoo 2017/11/16(木) 05:58:13.36ID:6ldUKvsQ

438◆2VB8wsVUoo 2017/11/16(木) 05:58:30.14ID:6ldUKvsQ

439◆2VB8wsVUoo 2017/11/16(木) 05:58:46.31ID:6ldUKvsQ

440◆2VB8wsVUoo 2017/11/16(木) 05:59:02.85ID:6ldUKvsQ

441◆2VB8wsVUoo 2017/11/16(木) 05:59:20.31ID:6ldUKvsQ

442◆2VB8wsVUoo 2017/11/16(木) 05:59:37.37ID:6ldUKvsQ

443◆2VB8wsVUoo 2017/11/16(木) 05:59:55.72ID:6ldUKvsQ

444◆2VB8wsVUoo 2017/11/16(木) 06:00:12.36ID:6ldUKvsQ

445132人目の素数さん2017/11/16(木) 14:34:01.79ID:xSbgXfSQ
1辺の長さ1の正三角形の面積を二等分する曲線の長さの最小値を求めよ

446132人目の素数さん2017/11/16(木) 14:34:50.15ID:xSbgXfSQ
高さ1、底円の半径1の円錐の体積を二等分する曲面の面積の最小値を求めよ

447132人目の素数さん2017/11/16(木) 14:37:39.09ID:j2ynrfH6
>>445
頂点中心の円弧

448132人目の素数さん2017/11/16(木) 14:38:54.77ID:xSbgXfSQ
>>447
はやい正解

ちなみに証明は?

449132人目の素数さん2017/11/16(木) 14:39:09.94ID:j2ynrfH6
>>446
頂点中心の球面錐

450132人目の素数さん2017/11/16(木) 14:40:43.15ID:j2ynrfH6
>>448
変分法で

451132人目の素数さん2017/11/16(木) 14:42:41.47ID:w3VzNcGK
正三角形の内部(周を含む)と曲線の共通部分がチョン切れてもいいの?

452132人目の素数さん2017/11/16(木) 14:55:42.27ID:OJKu5fNY
>>451
それでも構いません
閉曲線じゃなくてもいいです

453◆2VB8wsVUoo 2017/11/16(木) 15:47:02.80ID:dwsFtXIf

454◆2VB8wsVUoo 2017/11/16(木) 15:47:19.18ID:dwsFtXIf

455◆2VB8wsVUoo 2017/11/16(木) 15:47:35.99ID:dwsFtXIf

456◆2VB8wsVUoo 2017/11/16(木) 15:47:53.87ID:dwsFtXIf

457◆2VB8wsVUoo 2017/11/16(木) 15:48:15.13ID:dwsFtXIf

458◆2VB8wsVUoo 2017/11/16(木) 15:48:35.12ID:dwsFtXIf

459◆2VB8wsVUoo 2017/11/16(木) 15:48:50.41ID:dwsFtXIf

460◆2VB8wsVUoo 2017/11/16(木) 15:49:06.67ID:dwsFtXIf

461◆2VB8wsVUoo 2017/11/16(木) 15:49:22.40ID:dwsFtXIf

462◆2VB8wsVUoo 2017/11/16(木) 15:49:37.46ID:dwsFtXIf

463132人目の素数さん2017/11/16(木) 17:33:11.94ID:41JgcOJC
>>445
問題の意味がわからん
直線で2等分するのが最短だと思うんだが

464132人目の素数さん2017/11/16(木) 18:37:02.51ID:uFb11v3p
>>463
直線の場合と>>447の場合で計算して比較してみな

465132人目の素数さん2017/11/16(木) 20:15:38.73ID:KgFiXVl/
>>463の本音↓
「自分で計算するのメンドクセーから他の人にやってもらお♪」

466◆2VB8wsVUoo 2017/11/16(木) 20:52:15.86ID:dwsFtXIf

467◆2VB8wsVUoo 2017/11/16(木) 20:52:33.36ID:dwsFtXIf

468◆2VB8wsVUoo 2017/11/16(木) 20:52:51.21ID:dwsFtXIf

469◆2VB8wsVUoo 2017/11/16(木) 20:53:08.77ID:dwsFtXIf

470◆2VB8wsVUoo 2017/11/16(木) 20:53:27.29ID:dwsFtXIf

471◆2VB8wsVUoo 2017/11/16(木) 20:53:43.74ID:dwsFtXIf

472◆2VB8wsVUoo 2017/11/16(木) 20:53:59.38ID:dwsFtXIf

473◆2VB8wsVUoo 2017/11/16(木) 20:54:17.03ID:dwsFtXIf

474◆2VB8wsVUoo 2017/11/16(木) 20:54:35.43ID:dwsFtXIf

475◆2VB8wsVUoo 2017/11/16(木) 20:54:57.64ID:dwsFtXIf

476132人目の素数さん2017/11/16(木) 23:54:45.63ID:41JgcOJC
正三角形を6個並べる
同じ面積で周が最小なのは円

こんな感じ?

477132人目の素数さん2017/11/17(金) 01:07:53.30ID:5tznSTq6
Wolfram先生を頼らずに、次式を手計算で因数分解するには、どう考えたらいいかな?
(abc)^2 + (bcd)^2 + (cda)^2 + (dab)^2 + abcd(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)

478132人目の素数さん2017/11/17(金) 01:53:53.18ID:VLF4tQu0
>>477
どの文字も3次以下。
1次以下の3つの因数?
(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)

479132人目の素数さん2017/11/17(金) 01:58:30.79ID:VLF4tQu0
>>446

底円の面積は πゆえ
円錐の体積 V = π/3,

高さが(1/2)^(1/3)倍になるように、底面に平行な平面で切る。
その断面積は S =(1/2)^(2/3)π = 0.630π,

軸と母線のなす角αは
 α = arctan{(底円の半径)/(高さ)}= arctan(1)= π/4,
 cosα = 1/√2,

球面錐の半径をrとすると
 体積 V ' =(2π/3)(1-cosα)r^3
これが V = π/3 の半分だから
 r = 1/{4(1-cosα)}^(1/3)= 0.9486

断面積 S ' = 2π(1-cosα)r^2 = 0.5271π

480132人目の素数さん2017/11/17(金) 02:16:25.75ID:VLF4tQu0
>>445


1辺が1の正△の高さ(√3)/2、面積はS =(√3)/4

高さが√(1/2)倍になるように、底面に平行な平面で切る。
その長さは L =√(1/2)= 0.7071

半径r、中心角60°の扇形の面積は S ' = πrr/6,
これが S =(√3)/4 の半分だから
r =(1/2)√{(3√3)/π}= 0.643
L ' = πr/3 = 0.6734

481◆2VB8wsVUoo 2017/11/17(金) 03:12:17.10ID:Y8c01QBt

482◆2VB8wsVUoo 2017/11/17(金) 03:12:39.24ID:Y8c01QBt

483◆2VB8wsVUoo 2017/11/17(金) 03:12:57.25ID:Y8c01QBt

484◆2VB8wsVUoo 2017/11/17(金) 03:13:14.75ID:Y8c01QBt

485◆2VB8wsVUoo 2017/11/17(金) 03:13:32.66ID:Y8c01QBt

486◆2VB8wsVUoo 2017/11/17(金) 03:13:49.71ID:Y8c01QBt

487◆2VB8wsVUoo 2017/11/17(金) 03:14:06.05ID:Y8c01QBt

488◆2VB8wsVUoo 2017/11/17(金) 03:14:22.91ID:Y8c01QBt

489◆2VB8wsVUoo 2017/11/17(金) 03:14:40.14ID:Y8c01QBt

490◆2VB8wsVUoo 2017/11/17(金) 03:14:58.46ID:Y8c01QBt

491132人目の素数さん2017/11/17(金) 07:11:02.84ID:eHjnVrvG
>>445
こういう問題って円弧、直線以外も解になり得るの?

492132人目の素数さん2017/11/17(金) 07:39:59.09ID:N4iBa0j5
最小値は求まるけど図示は可能なんだろうか?
等積問題と同じようなもん?

493◆2VB8wsVUoo 2017/11/17(金) 14:48:02.83ID:Y8c01QBt

494◆2VB8wsVUoo 2017/11/17(金) 14:48:21.41ID:Y8c01QBt

495◆2VB8wsVUoo 2017/11/17(金) 14:48:37.93ID:Y8c01QBt

496◆2VB8wsVUoo 2017/11/17(金) 14:48:54.55ID:Y8c01QBt

497◆2VB8wsVUoo 2017/11/17(金) 14:49:11.31ID:Y8c01QBt

498◆2VB8wsVUoo 2017/11/17(金) 14:49:27.70ID:Y8c01QBt

499◆2VB8wsVUoo 2017/11/17(金) 14:49:50.55ID:Y8c01QBt

500◆2VB8wsVUoo 2017/11/17(金) 14:50:07.12ID:Y8c01QBt

501◆2VB8wsVUoo 2017/11/17(金) 14:50:24.14ID:Y8c01QBt

502◆2VB8wsVUoo 2017/11/17(金) 14:50:39.67ID:Y8c01QBt

503132人目の素数さん2017/11/19(日) 20:32:58.40ID:iFjU+4Gu
半径1の円に内接する四角形ABCDが、
AC⊥BD かつ 2OA↑+3OB↑+4OC↑=0↑(矢印はベクトル)をみたすとき、
四角形ABCDの面積を求めよ。

504◆2VB8wsVUoo 2017/11/19(日) 20:44:12.14ID:1TUhKzn4

505◆2VB8wsVUoo 2017/11/19(日) 20:44:28.65ID:1TUhKzn4

506◆2VB8wsVUoo 2017/11/19(日) 20:44:44.71ID:1TUhKzn4

507◆2VB8wsVUoo 2017/11/19(日) 20:45:00.85ID:1TUhKzn4

508◆2VB8wsVUoo 2017/11/19(日) 20:45:18.62ID:1TUhKzn4

509◆2VB8wsVUoo 2017/11/19(日) 20:45:36.78ID:1TUhKzn4

510◆2VB8wsVUoo 2017/11/19(日) 20:45:53.49ID:1TUhKzn4

511◆2VB8wsVUoo 2017/11/19(日) 20:46:10.61ID:1TUhKzn4

512◆2VB8wsVUoo 2017/11/19(日) 20:46:28.14ID:1TUhKzn4

513◆2VB8wsVUoo 2017/11/19(日) 20:46:45.59ID:1TUhKzn4

514132人目の素数さん2017/11/20(月) 14:01:33.33ID:hzCSYxc+
(1)
2直線y=ax, y=bxが、y=xについて対称の位置にあるための、a,bの必要十分条件を求めよ。
(2)
xy≠0, kは定数として、
(y/x)+(x/y)=k (|k|>2)
はどのようなグラフになるか?
(y/x)-(x/y)=k
はどのようなグラフになるか?

515132人目の素数さん2017/11/20(月) 21:43:11.87ID:MPXap2oe
>>514
(1,a)//y=ax
(1,b)//y=bx
(1,a)/√(1+a^2)+(1,b)/√(1+b^2)//y=x
1/√(1+a^2)+1/√(1+b^2)=a/√(1+a^2)+b/√(1+b^2)

516132人目の素数さん2017/11/20(月) 21:48:31.58ID:MPXap2oe
√(1+a^2)+√(1+b^2)=b√(1+a^2)+a√(1+b^2)
(1-b)√(1+a^2)=(a-1)√(1+b^2)
(1-2b+b^2)(1+a^2)=(a^2-2a+1)(1+b^2)
b(1+a^2)=a(1+b^2)
a(ab-1)=b(ab-1)
(a-b)(ab-1)=0
a=b,ab=1

517132人目の素数さん2017/11/20(月) 21:49:43.27ID:MPXap2oe
a=b=±1 -> ab-1=0
a=b≠1 -> NG
ab=1

518◆2VB8wsVUoo 2017/11/20(月) 22:48:07.76ID:yjl62pX+

519◆2VB8wsVUoo 2017/11/20(月) 22:48:24.88ID:yjl62pX+

520◆2VB8wsVUoo 2017/11/20(月) 22:48:44.20ID:yjl62pX+

521◆2VB8wsVUoo 2017/11/20(月) 22:49:01.83ID:yjl62pX+

522◆2VB8wsVUoo 2017/11/20(月) 22:49:20.34ID:yjl62pX+

523◆2VB8wsVUoo 2017/11/20(月) 22:49:37.32ID:yjl62pX+

524◆2VB8wsVUoo 2017/11/20(月) 22:49:54.88ID:yjl62pX+

525◆2VB8wsVUoo 2017/11/20(月) 22:50:11.45ID:yjl62pX+

526◆2VB8wsVUoo 2017/11/20(月) 22:50:29.55ID:yjl62pX+

527◆2VB8wsVUoo 2017/11/20(月) 22:50:46.80ID:yjl62pX+

528132人目の素数さん2017/11/20(月) 23:13:45.09ID:fb9CDJs2
>>515-517
(1)正解
(1,a)/√(1+a^2)+(1,b)/√(1+b^2)=(c,c)からab=1まで同値性を保持している

529◆2VB8wsVUoo 2017/11/21(火) 06:11:05.72ID:XVyRctJ0

530◆2VB8wsVUoo 2017/11/21(火) 06:11:28.63ID:XVyRctJ0

531◆2VB8wsVUoo 2017/11/21(火) 06:11:45.85ID:XVyRctJ0

532◆2VB8wsVUoo 2017/11/21(火) 06:12:02.49ID:XVyRctJ0

533◆2VB8wsVUoo 2017/11/21(火) 06:12:18.00ID:XVyRctJ0

534◆2VB8wsVUoo 2017/11/21(火) 06:12:34.22ID:XVyRctJ0

535◆2VB8wsVUoo 2017/11/21(火) 06:12:51.02ID:XVyRctJ0

536◆2VB8wsVUoo 2017/11/21(火) 06:13:08.27ID:XVyRctJ0

537◆2VB8wsVUoo 2017/11/21(火) 06:13:24.88ID:XVyRctJ0

538◆2VB8wsVUoo 2017/11/21(火) 06:13:42.27ID:XVyRctJ0

539132人目の素数さん2017/11/21(火) 06:51:26.51ID:H9m/I1ar
(1)の補足

(y=x対称)⇒ab=1
a=tan(π/4+α), b=tan(π/4-α)とおいて計算するとab=1

ab=1⇒(y=x対称)
ab=1, ab≠0でa=tanθ, b=tan(π/2-θ)とおけば、θ=π/4+αと変換してπ/2-θ=π/4-αでy=x対称なのを示せる
が…
>a=tanθ, b=tan(π/2-θ)とおけば、
のところが循環論法かもしれない

540◆2VB8wsVUoo 2017/11/21(火) 07:46:20.68ID:XVyRctJ0

541◆2VB8wsVUoo 2017/11/21(火) 07:46:36.83ID:XVyRctJ0

542◆2VB8wsVUoo 2017/11/21(火) 07:46:53.90ID:XVyRctJ0

543◆2VB8wsVUoo 2017/11/21(火) 07:47:10.98ID:XVyRctJ0

544◆2VB8wsVUoo 2017/11/21(火) 07:47:29.55ID:XVyRctJ0

545◆2VB8wsVUoo 2017/11/21(火) 07:47:47.04ID:XVyRctJ0

546◆2VB8wsVUoo 2017/11/21(火) 07:48:05.97ID:XVyRctJ0

547◆2VB8wsVUoo 2017/11/21(火) 07:48:24.30ID:XVyRctJ0

548◆2VB8wsVUoo 2017/11/21(火) 07:48:42.50ID:XVyRctJ0

549◆2VB8wsVUoo 2017/11/21(火) 07:49:01.19ID:XVyRctJ0

550132人目の素数さん2017/11/21(火) 14:21:46.90ID:Heuk6zpo
y=ax<->x=ay
y=bx
∀x=abx
ab=1

551◆2VB8wsVUoo 2017/11/21(火) 17:51:46.95ID:XVyRctJ0

552◆2VB8wsVUoo 2017/11/21(火) 17:52:04.40ID:XVyRctJ0

553◆2VB8wsVUoo 2017/11/21(火) 17:52:22.57ID:XVyRctJ0

554◆2VB8wsVUoo 2017/11/21(火) 17:52:41.53ID:XVyRctJ0

555◆2VB8wsVUoo 2017/11/21(火) 17:52:59.59ID:XVyRctJ0

556◆2VB8wsVUoo 2017/11/21(火) 17:53:17.26ID:XVyRctJ0

557◆2VB8wsVUoo 2017/11/21(火) 17:53:37.49ID:XVyRctJ0

558◆2VB8wsVUoo 2017/11/21(火) 17:53:55.82ID:XVyRctJ0

559◆2VB8wsVUoo 2017/11/21(火) 17:54:14.02ID:XVyRctJ0

560◆2VB8wsVUoo 2017/11/21(火) 17:54:33.40ID:XVyRctJ0

561132人目の素数さん2017/11/24(金) 01:28:03.71ID:3FWBc0BM
>>514(2)の解答

x≠0∧y≠0, k^2-4>0を考慮して
(y/x)+(x/y)=k
⇔y^2-kxy+x^2=0
⇔y=(kx±√((k^2)(x^2)-4(x^2)))/2
⇔y=(kx±|x|√(k^2-4))/2
⇔y=((k±√(k^2-4))/2)x
((k+√(k^2-4))/2)((k-√(k^2-4))/2)=1より、
これはy=xに対称な(原点を除く)2直線を表している

x≠0∧y≠0を考慮して
(y/x)-(x/y)=k
⇔y^2-kxy-x^2=0
⇔y=(kx±√((k^2)(x^2)+4(x^2)))/2
⇔y=(kx±|x|√(k^2+4))/2
⇔y=((k±√(k^2+4))/2)x
((k+√(k^2+4))/2)((k-√(k^2+4))/2)=-1より、
これは直交する(原点を除く)2直線を表している

562◆2VB8wsVUoo 2017/11/24(金) 01:45:53.40ID:7RwNGOaZ

563◆2VB8wsVUoo 2017/11/24(金) 01:46:09.34ID:7RwNGOaZ

564◆2VB8wsVUoo 2017/11/24(金) 01:46:26.66ID:7RwNGOaZ

565◆2VB8wsVUoo 2017/11/24(金) 01:46:42.31ID:7RwNGOaZ

566◆2VB8wsVUoo 2017/11/24(金) 01:46:57.30ID:7RwNGOaZ

567◆2VB8wsVUoo 2017/11/24(金) 01:47:14.24ID:7RwNGOaZ

568◆2VB8wsVUoo 2017/11/24(金) 01:47:30.86ID:7RwNGOaZ

569◆2VB8wsVUoo 2017/11/24(金) 01:47:46.46ID:7RwNGOaZ

570◆2VB8wsVUoo 2017/11/24(金) 01:48:02.51ID:7RwNGOaZ

571◆2VB8wsVUoo 2017/11/24(金) 01:48:18.26ID:7RwNGOaZ

572ゲルシュゴリンの定理2017/11/26(日) 01:48:41.01ID:D95U6Y/2
4次行列
[100 , 0 , 0 , 1]
[0.5 , 100 , 0 , 0.5]
[-1 , 0 , 100 , 0]
[1/2 , 1/3 , 1/6 , 100]
の固有値の絶対値はいくつくらい?
暗算で

573132人目の素数さん2017/11/26(日) 22:21:43.16ID:b02GGEMo
>>572

(x-100)^4 -(2/3)(x-100)^2 = 0,

∴ x = 100, 100±√(2/3).

574132人目の素数さん2017/11/26(日) 22:38:30.18ID:b02GGEMo
>>241 (1)

最も多数の点をとおる円の1つをΓとする。
Γはn個の点を通るとする。
題意より、n≧4
Γが通る点をA,B,C,… とする。
n<8 のとき、Γを通らない2点X,Yがある。

575132人目の素数さん2017/11/26(日) 22:40:06.20ID:b02GGEMo
>>241 (1)

・5≦n<8 のとき
 5点{A,B,C,X,Y}に於いて、そのうち4点が同一円周上に存在する。
 このとき、A,B,C のうちの1つが欠ける。
 ∵ もし XまたはY が欠けて A,B,C が残るならばその円はΓに一致し、XまたはY がΓ上に存在することになる。(矛盾)
 たとえば、4点{A,B,X,Y}が同一円周上に存在する、とする。
 A,B の片方を共有する{A,C,X,Y}や{B,D,X,Y}は同一円周上に存在しない。(C,D は A,B 以外の任意の点)
 ∵ もし存在するなら{A,B,C,X,Y}や{A,B,D,X,Y}が同一円周上に存在するが、それらはΓに一致し、X,Y がΓ上にあることになる。(矛盾)

 次に、5点{C,D,E,X,Y}に於いて、そのうち4点が同一円周上に存在する。
 たとえば、4点{C,D,X,Y}が同一円周上に存在する、とする。

 更に、5点{A,C,E,X,Y}に於いて、そのうちの4点が同一円周上に存在する。
 A,C,E のうちの1つが欠けるが、上記の2円のいずれかと3点を共有するので、結局Γと一致する。(矛盾)

以上により、5≦n<8 となることはない。

576132人目の素数さん2017/11/26(日) 22:44:17.48ID:b02GGEMo
>>241 (1)

・n=4 のとき
 上と同様にして、1組の{X,Y}について
 4点{A,B,X,Y}と{C,D,X,Y}が同一円周上にある。
 4点{A,C,X,Y}と{B,D,X,Y}が同一円周上にある。
 4点{A,D,X,Y}と{B,C,X,Y}が同一円周上にある。
の3条件のうち、1つだけが成立つ。
(∵ 2つ以上が成立てば、3点を共有する2円が一致し、結局Γと一致する。矛盾)

ところで、5点から{X,Y}の組合せを選ぶ方法はC[5,2]= 10 通りある。
上記3条件の1つは、4通り以上の組合せについて成り立つ。
その4通りの中に{X,Y}の片方を共有するものもある。
たとえば、{A,B,X,Y}と{A,B,Y,Z}が同一円周上に存在するなら、
3点を共有するので2円は一致し、5点{A,B,X,Y,Z}が同一円周上に有る(n≧5)。
これは n=4 と矛盾するから、n=4 となることはない。

・まとめ
 以上により、n≧8 と結論される。

577ゲルシュゴリンの定理2017/11/27(月) 01:25:06.22ID:/O2mcbZv
>>573
まあ確かにそうなんだけど
(100-λ)^4-(1/6)(100-λ)^2-(1/2)(100-λ)^2+(1/6)(100-λ)-(1/6)(100-λ)=0
を考えるよりはもっと楽な方法が

578132人目の素数さん2017/11/28(火) 20:30:25.36ID:8oBcz/rm
…ない。

579132人目の素数さん2017/11/28(火) 20:42:42.09ID:nK0w+JqJ
nを2以上の自然数とするとき、
1+√2+...+√nは無理数であることを証明せよ

580132人目の素数さん2017/11/28(火) 22:42:00.31ID:pYbSrd6a
>>572の想定解
Gershgorin circle theoremより、固有値は4つとも、中心100,半径1の円盤に乗っている
固有値の絶対値は約100

581132人目の素数さん2017/11/29(水) 15:20:35.31ID:yyAEt0PP

582132人目の素数さん2017/11/29(水) 17:26:32.70ID:VCsmhCGN
xの多項式H_nを次の漸化式で定義する。
H_0 = 1
H_1 = 2x
H_(n+1) = 2x*H_n - 2n*H_(n-1)

m≠nのとき
∫[-∞,+∞] (H_n)(H_m)(e^(-xx)) dx
についてどんなことが言えそうか?

583132人目の素数さん2017/11/29(水) 23:50:09.14ID:uL+p74UV
>>580
100Eっぽい行列の固有値は
だいたい100っぽい。
そんだけの話。

584132人目の素数さん2017/11/29(水) 23:53:52.79ID:Rmm8KPOh
>>582
直交?

585132人目の素数さん2017/11/30(木) 01:02:10.77ID:YBzixp/L
>>582

エルミート多項式

(√π)2^n・n! δ_{n,m}

586132人目の素数さん2017/12/12(火) 05:01:41.50ID:emj/pgNO
Σkが平方数→無限にある(1,36,1225,…)
Σkkが平方数→1,4900のみ
Σkkkが平方数→全て

ところでaをある整数として
(Σk)+aが平方数になるのは有限個か?
Σ(k+a)=(Σk)+akが平方数になるのは有限個か?
a=1,-1について考えよ

587132人目の素数さん2017/12/13(水) 00:19:59.30ID:IInGjIF+
R = 1/(1+1/(1+2/(1+3/(1+4/(…)))))=(√e)∫[1,∞]e^(-xx/2)dx = √(eπ/2)・erfc(1/√2)= 0.6556795424188

S = Σ[k=1,∞]1/(2k-1)!! =(√e)∫[0,1]e^(-xx/2)dx = √(eπ/2)・erf(1/√2)= 1.4106861346424

辺々たすと

R + S =(√e)∫[0,∞]e^(-xx/2)dx = √(eπ/2)= 2.0663656770612

588132人目の素数さん2017/12/13(水) 11:32:46.57ID:IInGjIF+
>>587

部分積分を繰り返して、

∫e^(-xx/2)dx = Σ[k=1,n]{1/(2k-1)!!}x^(2k-1)e^(-xx/2)dx + {1/(2n-1)!!}∫x^(2n)e^(-xx/2)dx,

S =(√e)∫[0,1]e^(-xx/2)dx = Σ[k=1,∞]1/(2k-1)!!,

589132人目の素数さん2017/12/14(木) 01:26:30.70ID:BG0HQM59

590132人目の素数さん2017/12/14(木) 16:17:42.55ID:t9T3shyE
三角形ABCにおいて,∠A内の傍心をI_Aとおく.辺BC,AB,AC上にそれぞれ点D,P,Qがあって,AP=CD,AQ=BDを満たしている.

また,三角形PBDと三角形QCDそれぞれの外接円は2点で交わるとする.
この2つの交点のうち点Dでないものを点Eとおく.このとき,点I_A,D,Eは同一直線上にあることを示せ.

591132人目の素数さん2017/12/14(木) 19:04:34.54ID:t9T3shyE
此処って問題解ける人どれくらいいるんでしょう...

簡単な問題をもう1問(数3の範囲で解けます)
f,gを定義域が開区間I=(a,b)である連続な実数値関数とする
此の時、任意のα,β∈Iに対し、∫(x:α→β) f(x)dx=∫(x:α→β) g(x)dxを満たすならば、f=gである事を示せ

592132人目の素数さん2017/12/14(木) 19:13:44.97ID:AzNCv8pt
「面白い」問題なら解くけど

593132人目の素数さん2017/12/14(木) 19:18:02.09ID:Ofj4vZmo
手垢の付いた問題は解かないけど

594132人目の素数さん2017/12/15(金) 01:40:24.29ID:YbKpkeYJ
>>591

(略証)
c∈I とする。(a<c<b)
題意により、h(x)= f(x)- g(x)もIで連続。
ε> 0 を任意の正数とする。
h(x)は x=c で連続ゆえ、
 |x-c| < δ ⇒ |h(x)- h(c)| < ε
なる δ>0 がある。
[c-δ,c+δ]∩ I = J とおくと、
x ∈ J ⇒ h(c)-ε < h(x)< h(c)+ε,

一方、題意により、
 ∫_J h(x)dx = 0,
∴ h(c)-ε < 0 < h(c)+ε,
∴ |h(c)|< ε
ε>0 は任意に小さくできるから、
 h(c)= 0,
 f(c)- g(c)= 0,

595132人目の素数さん2017/12/15(金) 02:01:20.23ID:YbKpkeYJ
>>591

数3だと
 ∫[c,c+t] h(x)dx = 0,
をtで微分してt→0 かなぁ(微分積分学の基本定理というらしい。)

596132人目の素数さん2017/12/15(金) 08:47:36.88ID:G5v7erv5
確かに微積分学の基本定理は受験でも使うし使えば簡単だが一応無くても高校範囲で解くことは可能

597132人目の素数さん2017/12/15(金) 08:47:59.47ID:G5v7erv5
(選択公理に目を瞑れば)

598数32017/12/15(金) 11:56:54.59ID:uqXDpGhA
f=g+z
->
∫zdx=0

if z !=0 , then there exists z != 0 in [a,b].
take m = min[z,[a,b]]

∫zdx >= m(a-b) !=0

599132人目の素数さん2017/12/15(金) 14:24:12.18ID:IuA5e40o
F(x) = ∫_α^x f(t) dt, G(x) = ∫_α^x g(t) dt とおく。
条件よりF(x) = G(x)を満たすのでF'(x) = G'(x)、即ちf(x) = g(x)が成り立つ。
当ってる? 平面図形の問題は分からん。

600132人目の素数さん2017/12/15(金) 16:07:29.46ID:y5bzFKnT
>>599
良いだろうね

もう一問
悪魔は8×8のチェス盤にランダムにポーン(0〜64個)を置き、どこかのマスを指定する。
幼女Aはそれを見てどこか1マスに対し「ポーンを置く」「取り除く」のいずれかの行動を1回のみ行う。その後、幼女Bはチェス盤の様子を見て悪魔がどのマスを指定したのか答えねばならない。どうすればいい?

601132人目の素数さん2017/12/15(金) 23:00:11.32ID:kGUdHQtO
>>600
8×8のチェス盤64マスに、0〜63の番号を割り振る。
ポーンのおかれている番号をリストアップし、さらに指定されたマスの番号をリストに加え、
これら全ての排他的論理和を求める。
その排他的論理の値に当たるマスに「操作」を加える。これが幼女Aの行動。
幼女Bは、ポーンのおかれている番号をリストアップしこれら全ての排他的論理和を求め、
その値に当たるマス目を指定すればよい。同様の問題がちょっと前にも出されている。

602132人目の素数さん2017/12/16(土) 02:38:51.80ID:IUgCYmg5
>>586

Σk^4 が平方数 → なし?
Σk^5 が平方数 → 1001^2(k=1〜13)のみ?
Σk^m (m>5)が平方数 → なし?

603132人目の素数さん2017/12/16(土) 05:10:51.04ID:IUgCYmg5
>>586

Σ[k=1,n]k = n(n+1)/2 = mm,

m=n=1 は自然数解。
{m,n}が自然数解ならば{3m+2n+1,4m+3n+1}も自然数解。
∴自然数解は無限にある。

一般解
 m_k ={(√2 +1)^(2k)-(√2 -1)^(2k)}/(4√2),
 n_k ={(√2 +1)^(2k)+(√2 -1)^(2k)-2}/4,
 kは自然数。

604132人目の素数さん2017/12/16(土) 13:31:38.53ID:IUgCYmg5
>>603

m_{k+1}= 3m_k +2n_k +1,
n_{k+1}= 4m_k +3n_k +1,

∴漸化式
m_{k+1}= 6・m_k - m_{k-1},
n_{k+1}= 6・n_k - n_{k-1}+2,

605132人目の素数さん2017/12/16(土) 14:47:31.83ID:1gDMckgM
>>603
一般解ってことは
他にないのね?なぜ?

606132人目の素数さん2017/12/16(土) 17:33:02.86ID:YLFrUwwC
空間内の
AA_1=AA_2=AA_3=√3
A_1A_2=A_2A_3=A_1=√6
を満たす四面体AA_1A_2A_3をHとする.△A_1A_2A_3の内心をI,内接円をCとする.円Cの中心が直線AI上にあるように,円CをAI方向に平行移動するとき,円Cが描く図形をFとする.四面体Hの表面および内部と,Fの表面および内部の共通部分Kの体積を求めよ.

607132人目の素数さん2017/12/16(土) 17:34:42.77ID:YLFrUwwC
訂正
空間内の
AA_1=AA_2=AA_3=√3
A_1A_2=A_2A_3=A_3A_1=√6
を満たす四面体AA_1A_2A_3をHとする.△A_1A_2A_3の内心をI,内接円をCとする.円Cの中心が直線AI上にあるように,円CをAI方向に平行移動するとき,円Cが描く図形をFとする.四面体Hの表面および内部と,Fの表面および内部の共通部分Kの体積を求めよ.

608132人目の素数さん2017/12/16(土) 19:38:31.32ID:YKyBeAy6
任意の実数 x, y に対して、f(f(x)+y) = 2x + f(f(f(y)-x)) をみたす関数 f を求めよ。

609132人目の素数さん2017/12/17(日) 00:19:49.14ID:YgXxzpBe
>>608
y=0
ffx=2x+ff(f0-x)
x=f0/2
ff(f0/2)=f0+ff(f0/2)
f0=0
ffx=2x+ff(-x)
x=0
fy=fffy
x=fy
f(ffy-y)=2fy
0=f(fffy-fy)=2ffy
f(fx+y)=2x
x=0
fy=0
0=2x
NG

610132人目の素数さん2017/12/17(日) 01:18:03.96ID:rRk/M3Id
>>605

2m = M,2n+1 = N とおけば

 NN - 2MM = 1

という「ペル方程式」になります。

ペル方程式の全ての解は、最小解(M_1,N_1)≠(0,1)のべき乗になることが知られています。

 N_k + M_k(√2)={N_1 + M_1(√2)}^k

611132人目の素数さん2017/12/17(日) 01:18:47.10ID:4vXjwLo4
>>609
ヴォイニッチ手稿かよ! 何を書いているのか理解できんわ!

612132人目の素数さん2017/12/17(日) 01:39:12.64ID:YgXxzpBe
>>611
問題として成立してない

613132人目の素数さん2017/12/17(日) 01:40:03.13ID:YgXxzpBe
>>610
へーそうなんだ
面白いね

614132人目の素数さん2017/12/17(日) 01:58:30.57ID:4vXjwLo4
>>608
検索したら出てきた。面白スレ20問目912

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912 :132人目の素数さん:2015/05/09(土) 05:43:03.75 ID:2Ji3jztR
f : R→R
∀x, ∀y ∈R , f(f(x)+y) = 2x + f(f(f(y))-x)

914 :132人目の素数さん:2015/05/09(土) 14:24:47.79 ID:thUnZu1m
解の1つがf(x)=xなのはわかった

915 :132人目の素数さん:2015/05/09(土) 18:33:22.73 ID:2Ji3jztR
こういう関数方程式の問題のお決まりの解法ってなんだろうな

916 :132人目の素数さん:2015/05/10(日) 16:02:40.40 ID:CIiswLGB
>>912
2003 春合宿なら
f(f(x)+y) = 2x + f(f(y)-x)
だけど、それとは別の問題?

917 :132人目の素数さん:2015/05/10(日) 16:31:57.91 ID:3rqDb3p4
>>916
別。

918 :132人目の素数さん:2015/05/10(日) 18:48:38.37 ID:CIiswLGB
>>912
与式においてy=-f(x)として
f(0)=2x+f(f(f(-f(x)))-x)
この左辺は定数で, xは実数全体を動くのでfは全射.
a,b∈R, f(a)=f(b)とする. 与式においてy=a, bとして
f(f(x)+a)=f(f(x)+b)
fは全射よりf(x)は任意の実数値をとりうるのでfは周期b-aをもつ.
また, 与式においてx=a, bとして
2a+f(f(f(y))-a)=2b+f(f(f(y))-b)
f(f(y))-a-{f(f(y))-b)}=b-aとfの周期性よりf(f(f(y))-a)=f(f(f(y))-b)なので
a=b よってfは単射.
与式においてx=y=0として
f(f(0))=f(f(f(0))) fは単射なのでf(0)=0
∀c∈R, 与式においてx=-c, y=0として
f(f(-c))=-2c+f(c)・・・@
また, 与式においてx=0, y=-cとして
f(-c)=f(f(f(-c)))
fは単射なので-c=f(f(-c))・・・A
@, Aより-2c+f(c)=-c
よってf(c)=c
逆にf(x)=xは与式を満たす. □
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918の下から7行目が間違っているような…。
正しくは f(f(-c))=-2c+f(f(-c))・・・@ だから、それ以降が使えんな。

615132人目の素数さん2017/12/17(日) 02:00:00.00ID:KSMqeXY0
n^2(n+1)^2(2n^2+2n-1)/12.
n=1,13,133,1321,13081,....

616132人目の素数さん2017/12/17(日) 03:42:58.65ID:MW4shBkj
>>608
f(s)をsの整式に限定した場合の解はf(s)=±s
∵f(s)をsのn次式とおくと与式左辺はyのn次式、右辺はyの(n^3)次式なので、任意のyで等式が成立するnは0または1
そこでf(s)=as+bとおく。
左辺=a(ax+b+y)+b=aax+ay+(ab+b)
右辺=2x+a(a(ay+b−x)+b)+b=(2−aa)x+aaay+(aab+ab+b)
aa=(2−aa)よりa=±1。これはa=aaaも満たす。
ab+b=aab+ab+bよりaab=0
aa=1なのでb=0 □

整式以外のときはどうすればよいでしょうね

617132人目の素数さん2017/12/17(日) 05:17:08.31ID:4vXjwLo4
>>608
分かっていることは、これくらいでござるな。
(1) f は全単射
(2) f(0) = 0
(3) f(f(x)) = x
(4) f(-x) = -f(x)
(5) f(2x) = 2f(x)
(6) 与式は f(f(x)+y) = f(y)+x と書き直せる

618132人目の素数さん2017/12/17(日) 07:30:39.15ID:MW4shBkj
>>614
918の修正版

与式においてy=-f(x)として
f(0)=2x+f(f(f(-f(x))-x))
この左辺は定数で, xは実数全体を動くのでfは全射.
a,b∈R, f(a)=f(b)とする. 与式においてy=a, bとして
f(f(x)+a)=f(f(x)+b)
fは全射よりf(x)は任意の実数値をとりうるのでfは周期b-aをもつ.
また, 与式においてx=a, bとして
2a+f(f(f(y))-a)=2b+f(f(f(y))-b)
f(f(y))-a-{f(f(y))-b)}=b-aとfの周期性よりf(f(f(y))-a)=f(f(f(y))-b)なので
a=b よってfは単射.
与式においてx=y=0として
f(f(0))=f(f(f(0))) fは単射なのでf(0)=0
〜〜以下修正〜〜
∀c∈R, 与式においてx=0, y=cとして
f(c)=f(f(f(c)))
fは単射なのでc=f(f(c))…@
@と与式より、
f(f(x)+y)=2x+(f(y)-x)=x+f(y)
この式においてx=f(a),y=bとして
f(f(f(a))+b)=f(a)+f(b)
@よりf(a+b)=f(a)+f(b):fは加法的…A

逆に@とAが成立すれば、与式について
右辺=f(f(x)+y)=f(f(x))+f(y)=x+f(y)
左辺=2x+f(f(f(y)))-f(f(x))=x+f(y)
なので、@かつAが与式の成立に必要十分 □

ここまでですね

619132人目の素数さん2017/12/17(日) 08:00:01.42ID:KSMqeXY0
>>614
問題が違う。

620132人目の素数さん2017/12/17(日) 08:20:32.41ID:YgXxzpBe
>>609
間違えた
> >>608
> y=0
> ffx=2x+ff(f0-x)
> x=f0/2
> ff(f0/2)=f0+ff(f0/2)
> f0=0
> ffx=2x+ff(-x)
これは不要
x=0
fy=fffy
y=-fx
f(fx-fx)=0=2x+ff(f(-fx)-x)
f epi
x=fy
x=ffx
f iso
f(fx+y)=2x+fy-x=x+fy
f(z+y)= fz+fy
f Q-homo & ff=Id
example
f1=e
fe=1
fx=x for other generators
f(p+qe+Σr_sx_s)=pe+q+Σr_sx_s

621132人目の素数さん2017/12/17(日) 08:29:11.39ID:YgXxzpBe
>>620
> f Q-homo & ff=Id
f Q- iso & ff=Id

622132人目の素数さん2017/12/17(日) 09:00:01.25ID:KSMqeXY0
x=a+b,f(a)=a,f(b)=-b.
f(x)=a-b.

a=(x+f(x))/2,b=(x-f(x))/2.
x=a+b,f(a)=a,f(b)=-b.

a+b=c+d,f(a)=a,f(b)=-b,f(c)=c,f(d)=-d.
a-b=c-d.
a=c,b=d.

623132人目の素数さん2017/12/17(日) 12:04:47.22ID:4vXjwLo4
>>620>>622
数式だけの羅列だと、何を言いたいのか、何をやっているのかサッパリ理解できないんだが?
単に俺がアホなだけなんだろうけど。

624132人目の素数さん2017/12/17(日) 12:56:48.68ID:rRk/M3Id
>>615

{n(n+1)/2}^2 は明らかに平方数ゆえ、
(2nn+2n-1)/3 が平方数 mm ならばよい。

(2n+1)/3 = N とおくと、
3NN - 2mm = 1,

(m,N)が自然数解 → (5m+6N,4m+5N)も自然数解。
m_{k+1}= 5 m_k + 6 N_k,
N_{k+1}= 4 m_k + 5 N_k,

漸化式
m_{k+1}= 10 m_k - m_{k-1},
N_{k+1}= 10 N_k - N_{k-1},

一般式
m_k ={(√3 +√2)^(2k+1)-(√3 -√2)^(2k+1)}/(2√2),
N_k ={(√3 +√2)^(2k+1)+(√3 -√2)^(2k+1)}/(2√3),

625132人目の素数さん2017/12/17(日) 18:06:01.29ID:YgXxzpBe
>>618
fx=x
fx=-x
以外に
具体的に書けるfはある?
RのQ-mod baseって選択公理から存在が出るだけで
具体的には無理ぽ

626132人目の素数さん2017/12/17(日) 18:29:36.84ID:fnZuYwJ/
たしか選択公理までは必要なくRが整列できればよかったと思う
どちらにせよ具体的にはならないけど

627132人目の素数さん2017/12/17(日) 19:17:06.01ID:MW4shBkj
>>625
ハメル基底U={Ui}(Q-mode baseはこの意味?)を使って任意の実数xを有理ベクトル(q1,…,qn)に1対1に対応させてx=Σqi・Uiが成立するようにできるから、
基底ごとに係数ai=1またはai=ー1を選んでf(x)=Σai・qi・Uiとすれば条件は満たされるのではと。

628132人目の素数さん2017/12/17(日) 19:38:11.15ID:MW4shBkj
>>626
ハメル基底の存在を示すとき選択公理が出てくる
選択公理からはハメル基底が「ある」ということは言えるが、ハメル基底の実例を具体的に示すことはできない
ハメル基底の実例が示せないから、実数を有理ベクトルに分解する方法も具体的には示せない
ってところかな

629132人目の素数さん2017/12/17(日) 19:44:10.58ID:YgXxzpBe
>>627
Q-mod baseと書いたのはそれのこと
そしてそれが具体的に与えられないから
fを具体的に書けそうもないってこと
具体的に書けたら基底の交換とか反転(-1倍)とか
固有値±1の行列的なのが色々と

630132人目の素数さん2017/12/18(月) 00:33:44.65ID:UbK7WUxq
>>586

Σ[k=1,n]k^5 ={n(n+1)/2}^2(2nn+2n-1)/3,
が平方数になるような n をさがす。

>>624 に沿って考えると、結果は >>615 になるらしい。

631132人目の素数さん2017/12/18(月) 10:22:50.68ID:GtvOXPBa
黒板に何個かの相異なる自然数が書かれている。此れから2人で,以下の様な操作を交互に行うゲームをする.
(操作)「プレーヤーは自分の手番※のとき,黒板に書かれている数から1つの数aを選び,aを其れから1を引いた数a-1に書き直す.
此のとき,a-1=0であるか,a-1が既に黒板に書かれている他の或る数と等しければ,今書いたばかりのa-1を1つ黒板から消す.」

自分の手番のとき,黒板に書かれている最後の数を消してしまったプレーヤーが負けになる.
此のゲームに於いて,両者が最善を尽くした場合に先手が勝つ場合は先手必勝であると言い,後手が勝つ場合は後手必勝であると言う.

例えば,黒板に1,2が書かれている場合は,先手が2を選ぶと,2-1=1は黒板に書かれているから其れは消されて1が1つだけ黒板に残る.
其のとき,後手は1を選ぶしか無いが,1-1=0なので0は消されて,黒板から全ての数が消えてしまい,後手が負けとなる.
故に黒板に1,2が書かれている状態は,先手必勝である.

問.此のゲームについて最初に黒板に書かれている数が全て偶数の場合は,先手必勝であることを証明せよ.

※「手番」とは,先手と後手の2人で交互に操作を行うゲームにおいて,操作を行う順番が回ってきた状態を言う.

632132人目の素数さん2017/12/18(月) 10:54:34.54ID:vwATuN9O
濁点が1コずつしかないのが気になる
ゲームの結果消されたのかな

633132人目の素数さん2017/12/18(月) 11:20:26.47ID:eRhrRXUs
今年は素数みたいな粋な注意書がありそう

634132人目の素数さん2017/12/18(月) 12:13:56.89ID:vwATuN9O
先手は以下の戦略をとることで必ず勝利できる。
@ 盤面が全て偶数ならば最大の数を減ずる
A 盤面に奇数が2つだけあるとき、小さい方の奇数を減ずる
(証明)初期盤面が全て偶数であるとき、上記の戦略をとると先手の着手後の盤面は必ず「最大の数は奇数」かつ「最大でない数は全て偶然」の状態(条件A)にできる。
この条件Aを満たす盤面は奇数が少なくとも1つ残っており、先手は負けることはない。このことを以下に示す。

先手の初手は@に従う。盤面は全て偶数である、および初期盤面に同一の数が存在しないことから、最大数は他のどの数よりも2以上大きい。
よって、最大数を1減じて奇数にしても他の数より大きいため盤面に奇数が残り、その奇数は盤面の最大数である。
最大数は奇数、かつそれ以外の数は偶数となり条件Aを満たす。

次に条件Aを満たす盤面での後手の着手を考える。後手の次の手は最大数である奇数か、それ以外の偶数を減ずることになる。
最大数の奇数が1である場合、それが最大数であることから他に数はなく、後手は唯一残った1を消す必要があるので先手は勝利する。
最大数の奇数が3以上のとき、後手が奇数を1減じて偶数とすると、その偶数を消す必要があるときもないときも、盤面に残った数はすべて偶数となる。
元の盤面はすべて異なる数であり、減じた結果の数が他の数と一致すればその数は消されるため、盤面はすべて異なる偶数となる。
そのため、初手と同じく次に先手が@のとおり着手すれば条件Aを満たす盤面にできる。
最大数の奇数が3以上のとき、後手がいずれかの偶数を選び、1減じて奇数とした場合、元の盤面の唯一の奇数は最大数であることから、これとは一致しない。よってこの着手では奇数が2つだけ残る。
先手はAの戦略をとることで、後手が今しがた減じた奇数を1減じて偶数とする。
この着手で最大数の奇数は盤面に残り、減じた偶数を消す必要があるときもないときも、最大数以外の数はすべて偶数となる。この場合も条件Aを満たす。
後手の着手は他にない。後手がいずれの着手をしても、先手は常に次に条件Aの盤面にすることができ、先手は負けることがない。
最後に、全ての着手で盤面の数の総和は単調減少であり、このゲームは必ず決着する(引き分けはない)
よって、このゲームにおいて、偶数のみの盤面では先手必勝である。□

635132人目の素数さん2017/12/18(月) 12:49:42.46ID:GtvOXPBa
即答か...流石

2つの壁と床が互いに直交している部屋の隅に半径1の円盤を立てかけて静止させる.
但し円盤は其の2つの壁と床の其々に唯1点点ずつで接触しているものとし,厚さは無視する.又部屋は十分広くて円盤が他の壁に接触することは無い.
部屋の隅を原点Oとし,壁と床を座標面,全ての座標が正である領域を室内とする座標系を定める.
円盤に垂直なベクトルを円盤の法線ベクトルということにする.又単純化のため,全ての成分が正となる法線ベクトルを持つ円盤だけを考える.
此のとき円盤の中心 (α, β, γ) の存在範囲を求めて図示せよ.

636132人目の素数さん2017/12/18(月) 13:10:04.21ID:nqvhCgK9
2015近大数コンB-1

637132人目の素数さん2017/12/20(水) 23:08:11.57ID:5IhznqoQ
xy平面上において、放物線y=x^2と円Oは異なる4点A,B,C,Dで交わっており、Aのx座標をaとする。
C,Dが線分ABの垂直二等分線上にあり、直線ABの傾きが正であるとき、C,Dのx座標をaで表せ。

638132人目の素数さん2017/12/21(木) 01:31:33.08ID:de+NyBf2
>>637

A(a,aa)
B(b,bb)
C(c,cc)
D(d,dd)
とおく。
(ABの傾き)= a+b,
(CDの傾き)= c+d,
AB ⊥ CD より(a+b)(c+d)= -1

題意より、CDは円Oの直径。
円Oの中心O'は CD の中点O'((c+d)/2,(cc+dd)/2)
円Oの半径は CD/2 =|c-d|√{1+(c+d)^2}/2

∴c,d は次式の根。
xx + x/(a+b) -(aa+bb+1)/2 = 0,

639132人目の素数さん2017/12/21(木) 01:45:11.00ID:de+NyBf2
これにより c,d は a+b,aa+bb で表わされる。

またA,Bは円O上にある。
∴a,b は次式の根。
{x-(c+d)/2}^2 +{xx -(cc+dd)/2}^2 =(CD/2)^2

これらより a+b,aa+bb は a で表わせる。

640132人目の素数さん2017/12/21(木) 14:03:31.20ID:de+NyBf2
(続き)
放物線y=xx と円Oの交点はすべて次式の根。  >>639
{x-(c+d)/2}^2 +{xx -(cc+dd)/2}^2 =(CD/2)^2,
∴{(x+c)(x+d)+1}(x-c)(x-d)= 0,
∴(x-a)(x-b)=(x+c)(x+d)+ 1,
∴ a+b = -(c+d),

ところで直交性(a+b)(c+d)= -1,(ABの傾き)= a+b >0  >>638
により
 a+b = 1,c+d = -1,

∴ c,d は次式の根。
xx + x -(aa-a+1)= 0,

641132人目の素数さん2017/12/21(木) 14:42:34.69ID:wwmE25ut
y²=x²+x+kを満たす0以上の整数(x,y)の組が2個となるような正の整数kを全て求めよ

642132人目の素数さん2017/12/21(木) 20:51:11.79ID:wwmE25ut
>>637
円Oの方程式を(x-p)^2+(y-q)^2=r^2とおいて
y=x^2を代入して整理すると
x^4+(1-2q)x^2-2px+p^2+q^2-r^2=0
A,B,C,Dのx座標をa,b,c,dとすると
解と係数の関係によりa+b+c+d=0
このとき直線ABの傾きは(b^2-a^2)/(b-a)=a+b、
同様に直線CDの傾きはc+dなので、2直線の傾きの和は0
直線ABの傾きは正で直線ABと直線CDは直交するので
直線ABの傾きは1、直線CDの傾きは-1
A(a,a^2)から直線ABの式はy=x+a^2-a
y=x^2を代入して整理するとx^2-x-a^2+a=0
解と係数の関係からa+b=1なのでb=1-a
つまりB(1-a,(1-a)^2)
ABの中点は(1/2,a^2-a+1/2)なので
直線CDの式はy=-x+a^2-a+1
これとy=x^2との交点のx座標を求めると
x={-1±√(4a^2-4a+5)}/2 … (答)

643132人目の素数さん2017/12/21(木) 21:57:28.27ID:gjhKD82f
>>640,642
正解!

644132人目の素数さん2017/12/23(土) 00:38:20.81ID:hi/zE5Ka
三角数1,3,6,10,...,n(n+1)/2,...がある。このとき、mが三角数であることが、(a_i・m)+b_iが三角数であるための必要十分条件であるようなa_i,b_iの組が無限に存在することを示せ。

645132人目の素数さん2017/12/23(土) 03:13:58.87ID:gDyMI1rU
>>641

k≠平方数のとき
(x,y)=(k-1,k)だけ、1個(不適)

k=平方数のとき
(x,y)=(0,√k)もある。
 他に解が無ければ2個

k = L^2,
L = 2,3,6,9,15,21,…

646132人目の素数さん2017/12/23(土) 04:12:50.91ID:vWsab/FY
>>644
a>0
a+b=1
3a+b=3
a=1
b=0

647132人目の素数さん2017/12/23(土) 10:52:03.63ID:hi/zE5Ka
2017年もそろそろ終わるということで。

x_0,x_1,x_2,...,x_63が{1,2,...,2017} の異なる要素であり、
かつ
(x_0)+(x_1)+2(x_2)+3(x_3)+...+63(x_63)
が2017で割り切れるような64個の順序組(x_0,x_1,x_2,...,x_63)を求めよ。

648132人目の素数さん2017/12/23(土) 11:02:53.30ID:YapE+IwD
>>647
x_0=630
x_i=i (1≦i≦63)
とか
x_0=694
x_i=i+1(1≦i≦63)
とか
想定解は
x_0=2016
x_i=i^2(1≦i≦63)
だと思うが

649132人目の素数さん2017/12/23(土) 11:08:09.35ID:hi/zE5Ka
ええと...答案書ける?

650132人目の素数さん2017/12/23(土) 11:30:53.05ID:pEu9Op4q
まぁ実際にはi^2の形は2016を超えるのでmod 2017で考えるのだが
2017が素数なのでi≧1でかぶらないことは明らかで
229^2+1が2017の倍数なのは簡単な計算で求められるから
2016も出てこないだろうことが言えるのかな

651132人目の素数さん2017/12/23(土) 13:16:12.92ID:VAwmH06/
>>644
a= s^2, b=(s^2-1)/8 とすれば簡単に確認できる
一般に自然数Nが△であることと,8N+1が□であることは同値であること
および 0以上の値を取る整数列が1より小さいなら0を取るしかないことを使えば
すべて求めることも可能

652132人目の素数さん2017/12/23(土) 13:20:10.40ID:UW3Uffha
別解が多数あるような問題だと面白味に欠けるね

653132人目の素数さん2017/12/23(土) 14:00:07.94ID:8Lg2YKjF
9m+1=3.
m=2/9.

654132人目の素数さん2017/12/23(土) 14:06:53.67ID:hfP9wJYE
別解がないような問題って、気付いたらおしまいな一発芸クイズ問題のことか?

655132人目の素数さん2017/12/23(土) 14:08:33.89ID:hi/zE5Ka
つまらないのか...
年末だし自作問題だしまくろうというヤケ糞精神で挑みますよ...

f(x),f’(x),f’’(x),f’’’(x)が任意のxに対して正であるような実関数fを取る。
また、この関数fは連続な3次導関数である。
任意のxに対してf’’’(x)≦f(x)が従うとき、
任意のxに対して
f’(x)<2f(x)が従うことを示せ。

656132人目の素数さん2017/12/23(土) 14:30:48.11ID:GaEzdGdo
学校の課題で問題が出されたのですが、全くわかりません。
問題は、
問1 平均値μ=2、および標準偏差σ=2の正規分布に従う確率変数を考える。このとき、この確率変数が次の区間に含ま
れる確率を小数第4位まで計算しなさい。
1 (4, ∞)
2 (-∞, 2.7)
3 (0.88, 5.6)
4 (1.46, 3.24)

問2 ある検問所で記録された車のスピードのデータによると、そこを通過する車は平均時速61.6km、標準偏差7.0kmで、だいたい正規分布に従っている。このとき、次の割合を100分率(パーセント)で小数第1位まで計算しなさい。
1 時速70kmをこえている車は全体の○%である
2 時速49kmよりも遅い車は全体の○%である
3 時速56kmから時速63kmまでの車は全体の ○%である

皆様方どうかお手を差し伸べていただけませんか、、、

657132人目の素数さん2017/12/23(土) 15:00:01.28ID:8Lg2YKjF
3^2=1^2+1+7.
7^2=6^2+6+7.

658132人目の素数さん2017/12/23(土) 15:49:07.42ID:gGCV2aUH
>>653
9m+1=6
m=5/9

659132人目の素数さん2017/12/23(土) 16:04:18.47ID:hi/zE5Ka
詰まってるようなのでさらに投下

n≧3である整数nに対し、θ=2π/nが従っている。
ここで、Iをn×n単位行列、A={a_(jk)}は任意のj,kに対して
要素a_(jk)=cos(jθ+kθ)を持つとする。
このとき、n×n行列l+Aの行列式を求めよ。

660132人目の素数さん2017/12/23(土) 17:02:25.06ID:VAwmH06/
整数環Z[√2] において, x^3+y^3=z^3 を満たすx,y,zをすべて求めよ

661132人目の素数さん2017/12/23(土) 21:37:14.73ID:TqYw9/fC
f ∈ C^2 かつ f(0)≠0 で、
任意のx、y∈R に対して f(x+y) + f(x-y) = f(x)f(y)
をみたすとき、f を求めよ。

662132人目の素数さん2017/12/23(土) 22:52:19.21ID:gGCV2aUH
>>659
日本語が変すぎ

663132人目の素数さん2017/12/23(土) 23:14:31.72ID:gGCV2aUH
>>661
f0+f0=f0f0
f0=2
fy+f-y=f0fy=2fy
f-y=fy
f2x+f0=fxfx
2f'2x=2fxf'x
うーん

664132人目の素数さん2017/12/23(土) 23:18:56.51ID:gDyMI1rU
>>659

D_n(θ)=|I + A|
=|δ_(j,k)+ a_(j,k)|
=|δ_(j,k)+ cos((j+k)θ)|
= -(nn-n-4)/4 + Σ[m=1,n]((n+2-m)/2)cos(2mθ),

D_n(2π/n)= -(n+2)(n-2)/4,

どうでもいいけど、
D_n(θ)は周期πで、θ=0,±π,±2π,… にピークをもち、nが大きいほど鋭い。
D_n(0)= n+1,

665132人目の素数さん2017/12/23(土) 23:29:53.90ID:gDyMI1rU
>>661

f(x)= 2cos(kx),
f(x)= 2cosh(kx)= e^(kx)+ e^(-kx),
他にもあるか…
う〜ん

666132人目の素数さん2017/12/23(土) 23:42:05.13ID:VAwmH06/
1-4n が Z/mZ で平方数となるような自然数nをすべて求めよ(但し, m=n! とする)

667132人目の素数さん2017/12/24(日) 00:16:32.86ID:cmcygqx4
>>664
ついでに…

D_n(±π/2)= -(n+2)(n-2)/4   (n:偶数)
          -(n+1)(n-1)/4   (n:奇数)
θがピーク(mπ)から離れた所にあるときは、これ位の値。。。

668132人目の素数さん2017/12/24(日) 08:51:22.74ID:XxuOjX7e
>>661
f(x)=a^x+a^-x (a∈ℝ)

669132人目の素数さん2017/12/24(日) 11:42:20.65ID:Xnr2/YA4
またぞろ選択公理絡みの異常解が出てくる問題かな

670132人目の素数さん2017/12/24(日) 11:52:31.08ID:cmcygqx4
>>668
 それはそうだが、最後に「う−ん」がない。

671132人目の素数さん2017/12/24(日) 12:22:02.44ID:4I+VyOLh
>>661
f∈C^2 を使ってみよう。
f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y) の両辺を y で微分した後
2y で割って y→0 の極限をとると、
f''(x)=f(x){lim f'(y)/(2y)}。
左辺が収束することから、右辺の{ }内も収束する。
f''(x)=f(x)C (Cは定数) と置いて
微分方程式を解いて原式へ代入すると、
誰かが上に書いた解が得られる。

672132人目の素数さん2017/12/24(日) 13:29:15.73ID:XxuOjX7e
x=y=0とせよ
2f(0)=f(0)^2
f(0)≠0より f(0)=2

x=0とせよ
f(y)+f(-y)=2f(y)
f(-y)=f(y)
∴fは偶関数.

y=xとせよ
f(2x)+2=f(x)^2
両辺をxで微分して両辺を2で割ると
f'(2x)=f'(x)f(x)
x=0を代入するとf'(0)=0.

与式の両辺をxについて微分せよ
f'(x+y)+f'(x-y)=f'(x)f(y)
更に微分せよ
f''(x+y)+f'(x-y)=f''(x)f(y)
此処でx=0とせよ
f''(y)+f''(-y)=f''(0)f(y)
偶関数を微分すると奇関数になり、奇関数を微分すると偶関数になるからf''は偶関数であって
2f''(y)=f''(0)f(y)
此の二階の微分方程式の解を求めよ
f''(0)=Kと置く
2f''(y)=Kf(y)
2f''(y)-Kf(y)=0

特性方程式2t^2-K=0を解き、t=±√(K/2)
則ち一般解はf(y)=Ae^{√(K/2)y}+Be^{-√(K/2)y}
√(K/2)=Cとせよ
f(y)=Ae^(Cy)+Be^(-Cy)
f(0)=2よりA+B=2
f'(0)=2よりf'(0)=AC-BC=0
AC=BC

C=0のときf(y)=A+B=2
此れはf(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)を満たす

C≠0のときA=B,則ちA=B=1
此のときf(y)=e^(Cy)+e^(-Cy)
此れはC=0としても成立する.

∴求める関数は f(x)=e^(Cx)+e^(-Cx) (Cは定数)


因みに>>655を解けたやつおるか?

673132人目の素数さん2017/12/24(日) 14:43:40.28ID:89LOn+Gp
微分可能って仮定はどこからでたの?

674132人目の素数さん2017/12/24(日) 15:24:42.41ID:4I+VyOLh
f∈C^2

675132人目の素数さん2017/12/24(日) 15:25:35.11ID:4L8q796c
>>673
f∈C²という表記がfがC²級(2回微分可能で微分係数が連続)ということを指しているのでは?

676132人目の素数さん2017/12/24(日) 17:34:40.63ID:l/9hxEv0
おお。

677132人目の素数さん2017/12/24(日) 18:21:16.77ID:Xnr2/YA4
f:C→C の意味かな、それだったらf∈C^Cって書き方が正しいよねとか思ってた

678132人目の素数さん2017/12/25(月) 02:47:59.87ID:HAz1LRxT
>>664 (補足)

D_n(θ)= -(n+2)(n-2)/4 +{n/4 + Σ[m=1,n]((n+2-m)/2)cos(2mθ)},

θ = 2π/n のときは m ⇔ n-m としても cos(2mθ)は不変だから平均して

{ }=((n+4)/4)Σ[m=1,n]cos(2mθ)
=((n+4)/4)Σ[m=1,n]{sin((2m+1)θ)- sin(2m-1)θ)}/(2sinθ)
= 0,

・漸化式は

D_{n+1}(θ)-2 cos(2θ)D_n(θ)+ D_{n-1}(θ)= -((nn-2)/2){1 - cos(2θ)}

679132人目の素数さん2017/12/25(月) 07:11:24.62ID:e0+X2iMy
>>677
お前は高校数学止まりなのか?常識だと思うが。お大事に。

680132人目の素数さん2017/12/25(月) 08:18:01.17ID:nZWVudFS
いや、あれは>>661が悪い。
「級」を付けて書かなければ、
値が複素2次ベクトルかな?
くらいに思うほうが普通。

681132人目の素数さん2017/12/25(月) 09:06:09.40ID:48ocxvwa
思わん思わん

682132人目の素数さん2017/12/25(月) 09:23:30.09ID:lE0+sr8Z
どんな数学書を読んだらそんな勘違いするのか

683132人目の素数さん2017/12/25(月) 09:23:43.63ID:yDO/OeKP
数学科の常識は非常識だからな
ときどきそういうことが起こる

684132人目の素数さん2017/12/25(月) 09:42:35.29ID:Ll0quYmf
テキストだけの世界で端折った書き方する方が悪い
数学書は表記について意味を定義した上で省略が許される

685132人目の素数さん2017/12/25(月) 11:52:04.26ID:e0+X2iMy
基本中の基本である定義を知らないのがおかしいんじゃないのかな?

686132人目の素数さん2017/12/27(水) 19:46:24.68ID:HxzH42Hz
〔問題21〕
凸4辺形ABCDにおいて、∠ABC = β,∠BCD = γ とします。
β/2 + γ = 120゚,
∠ABD :∠DBC = 1:3,
∠ACD = 30゚,
と角度が指定されています。
このとき、∠ADB は何度でしょうか。

・参考
E.M.Lanley:"A problem",The Math. Gazette(1922/Oct)(1923/May)
Franklin の凧
数セミ増刊「数学の問題 第2集」日本評論社(1978)問題21

687132人目の素数さん2017/12/27(水) 19:57:27.87ID:HxzH42Hz
>>686
訂正スマソ

E.M.Langley:"A problem",The Math. Gazette(1922/Oct)(1923/May)

688132人目の素数さん2017/12/27(水) 20:51:55.98ID:ShDF2mQ5
>>686
∠ABCの二等分線と直線CDの交点をEとすれば
1つ目の条件より∠BEC=60°
∠ACD=30°よりACとBEは垂直で、内角の二等分線であることからAB=AC, ∠ABE=∠CBE
これと2つ目の条件から∠ABD=∠EBD
また、対称性から∠AEB=∠CEB=60°であり∠AED=60°
よって直線EDは∠AEBの外角の二等分線であり
点Dは△ABEの傍心の1つ
よって∠ADB=1/2 ∠AEB=30°

でどうでしょうか

689132人目の素数さん2017/12/28(木) 04:14:38.43ID:bxSLS3DP

690132人目の素数さん2017/12/29(金) 03:20:02.58ID:Fcad1R4A
>>688
 正解!おみごとです。

だだし AB=BC ですが…

最後の定理(?)
 点Dが△ABEの傍心のとき、∠ADB =(1/2)∠AEB
も簡単ですね。
∠ADB = 180°- ∠BAD - ∠ABD
 = 180°-(90°+ ∠BAE/2)-(1/2)∠ABE
 =(180°-∠BAE -∠ABE)/2
 =(1/2)∠AEB,

691132人目の素数さん2017/12/29(金) 04:12:00.74ID:Fcad1R4A
>>686

(別解)
DC上に∠ABF=60°となる点Fをとって BF と共に AF を結ぶ。
∠BFC = 180°-(β-60゚)- γ = γ となるから BF = BC.
また、∠BAC = 180°- β -(γ-30゚)=(γ-30゚)= ∠BCA だから BA = BC.
したがって、頂角∠ABF = 60°の2等辺△ABF は正三角形となり、AF= BF で ∠AFD = β/2 となる。
ところが、∠FBD = 60°- β/4 = ∠FDB だから、FD = FB で、結局△FAD は2等辺三角形となる。
その頂角が∠AFD = β/2 だから、その底角として
∠ADC = 90°- β/4,
∠ADB = 30°

前掲書「数学の問題 第2集」問題21,解V(改)

692132人目の素数さん2017/12/29(金) 19:47:09.47ID:tFbo94hj
(1) (2^n-1)/n が整数となるような自然数nを全て求めよ。
(2) (2^n+1)/(n^2) が整数となるような自然数nを全て求めよ。

693132人目の素数さん2017/12/29(金) 19:56:20.67ID:tFbo94hj
(3) (2^n+1)/n が整数となるような素数nを全て求めよ。

694132人目の素数さん2017/12/29(金) 21:52:01.80ID:E4ItVfjT
(3)
2^n+1は明らかに奇数なので、nは奇素数であることがわかる。また、nが奇数であれば2^n+1は3の倍数であるので、結局のところn=3のみが求めるnである。

695132人目の素数さん2017/12/29(金) 23:50:31.73ID:FZBCcLtg
(2)
n∈ℕ=ℤ>0とする
(2ⁿ+1)/n²∈ℕは則ちn²|(2ⁿ+1)であり、従ってn|2ⁿ+1である
2ⁿ+1は奇数より、n²も奇数であり、則ちnは奇数である
n=1とすれば、1²|2¹+1は明らか
nが素数であればFermatの小定理より、
n|2ⁿ⁻¹-1
∴n|2ⁿ-2=2ⁿ+1-3
前提より、或るα∈ℕが存在し、2ⁿ+1=αn
∴n|αn-3、則ちn|3
nは素数より、n=3が必要である
逆に2³+1=9=3²=3²×1より、1∈ℤも加味し、
nが合成数の時、n|2ⁿ+1と仮定する
或る素数pとβ∈ℕが存在し、n=pβと表せる
∴p|2ⁿ+1
Fermatの小定理より、p|2ᵖ⁻¹-1
∴p|2ᵖ-2
∴p|2ᵖᵝ-2ᵝ=2ⁿ+1-2ᵝ-1
前提より、或るγ∈ℕが存在し、2ⁿ+1=γn
∴p|γn-2ᵝ-1、則ちp|2ᵝ+1
∴p|2ᵖ-2も加味し、p|2ᵖ+2ᵝ-1
∴p|2²ᵖ+2ᵖᵝ-1=4ᵖ+2ⁿ+1-2=4ᵖ-2+γn
此処で、Fermatの小定理より、p|4ᵖ⁻¹-1
従ってp|4ᵖ-4

696132人目の素数さん2017/12/30(土) 00:28:53.78ID:OjZCutAG
>>692
(2)は IMO-1990(北京)A3.
いわゆる「マスターデーモン」

>>693
(3)n=3^m のとき、3で割りきれ、9で割りきれない。(n≠素数 ですが)
m=0,1 のとき 3,m=2 のとき 57,m=3 のとき ≡-24(mod 729)、m≧4 のとき ≡462(mod 729)

697132人目の素数さん2017/12/30(土) 00:37:38.44ID:OjZCutAG
>>688-690

〔補題〕
凸4辺形ABEDにおいて、
 BD は ∠ABE を2等分し、
 ED は ∠AEE’を2等分する(E’はBEの延長線上の点)
とします。このとき
 AD は ∠EAA ’を2等分する。(A ’はBAの延長線上の点)

(略証)
点D が△ABEの傍心となることを使えば明らかだが、あえて使わない。
デカルト座標をとる。
Bを原点、BE方向をx軸とし、BE=1 とする。
p = tan(∠ABE/2),
q = tan(∠BEA/2),
とおく。
sin(∠AEB)= 2q/(1+qq),
sin(∠ABE)= 2p/(1+pp),cos(∠ABE)=(1-pp)/(1+pp),
sin(∠BAE)= sin(∠AEB+∠ABE)= 2(p+q)(1-pq)/{(1+pp)(1+qq)},

正弦定理より
AB = sin(∠AEB)/sin(∠BAE)= sin(∠AEB)/sin(∠AEB+∠ABE)=(1+pp)q/{(p+q)(1-pq)},

A(ABcos(∠ABE),ABsin(∠ABE))=((1-pp)q/{(p+q)(1-pq)},2pq/{(p+q)(1-pq)})
B(0,0)
D(1/(1-pq),p/(1-pq))
E(1,0)

↑AD =({p/(p+q)(1-pq)}(1+pq),{p/(p+q)(1-pq)}(p-q))
DAの傾き =(p-q)/(1+pq)= tan((∠ABE-∠BEA)/2)=(∠EAA’の2等分線の傾き)
∴ AD は ∠EAA’を2等分する。

698132人目の素数さん2017/12/30(土) 07:08:50.93ID:HJRnpCjN
マスターデーモンって、あれか?
女の子に教えてもらったメアドにメール出したら、知らない外人から返事が来るってヤツ。

699132人目の素数さん2017/12/30(土) 12:17:21.04ID:HJRnpCjN
>>692
(1)はどうやるの?

700132人目の素数さん2017/12/30(土) 13:03:03.03ID:Swdov7O+
>>699
(2^n-1)/n∈ℤのとき明らかにn∈ℕ
n≧2と仮定すれば、nの素因数のうち最小であるpが取れる
此のとき2^n-1≡0(modp)より2^n≡1(modp)
一方nは奇数より、則ちpも奇数
∴Fermatの小定理から2^(p-1)≡1(modp)
∴2^(gcd(n, p-1))≡1(modp)
pはnの最小の素因数より、p-1の素因数とnの素因数が共通することは無い
∴gcd(n, p-1)=1
∴2^1≡1(modp)⇔2≡1(modp)
∴p=1
此れはpが素数であることに矛盾する
∴n<2
n∈ℕよりn=1が必要である
n=1のとき(2^n-1)/n=1∈ℤ
∴n=1

701132人目の素数さん2017/12/30(土) 13:14:44.23ID:HJRnpCjN
ありがとう。この手の問題は好きだけど苦手。解けたことがない。

702132人目の素数さん2017/12/30(土) 13:33:09.27ID:Swdov7O+
自分が一重瞼なのか二重瞼なのかわからない人がn人いて、n人は毎朝を顔を合わせる。
すると天の声が聞こえてきて、二重瞼の人の人数に関する自明でない何かを言う。
n人は自分の瞼の状態がわかると40秒後に心臓麻痺で死ぬ仕組みになっている。
n人は天の声を最も自然な形で信じ込む。

実はn人は遅かれ早かれ全員死ぬ(驚くべきことに天の声が明らかな嘘のときも成り立つ)ことが証明できるが、難しいのでn=3の場合を証明せよ。

例えばn=2として2人とも一重瞼とする。天の声が「2人とも二重瞼である」といったとき、A君は天の声が嘘だとわかり、もし自分が二重瞼なら40秒後にB君が死ぬはずであると結論する。
しかしB君は死なないので自分が一重瞼であることがわかり、40秒後にA君は死ぬ。同じことがB君にも言えるので2人の心臓は同時に麻痺を起こす。

・「毎朝」という条件は特に意味がない。
・「自明でない何か」とは、例えば「少なくとも〜人は一重瞼である」のように、「情報量としてゼロではない断定的なセリフ」を指す。

703132人目の素数さん2017/12/30(土) 15:35:39.77ID:/h12TCYZ
つ鏡

704132人目の素数さん2017/12/30(土) 15:59:44.59ID:X9Qp65Rk
>>702
n変数論理関数の真理値表をつくるときは n行を使うから 2^n通り
よって, n変数論理関数の個数は2^(2^n)であり,有限である.
つまり,2^(2^n)日以内に全滅する.

>>660
誰か解かないのかな スルーされている

7057042017/12/30(土) 16:12:22.19ID:X9Qp65Rk
>>704
(誤)n変数論理関数の真理値表をつくるときは n行を使うから 2^n通り
(正)n変数論理関数の真理値表をつくるときは 2^n行を使う

706132人目の素数さん2017/12/30(土) 17:58:10.82ID:Swdov7O+
>>704
回答ありがとうございます。

「論理関数」ということばを初めて聞いたので私には難しいのかもしれません。
40n 秒以内に全滅すると考えています。

n=3 のときは状況を列挙すればいいわけですがやはりそれ以外の方法は期待したいところです。

707132人目の素数さん2017/12/30(土) 18:33:07.29ID:dI2X0ZTp
A一,B一,C一
「少なくとも2人は一重である」→40秒後に誰も死なない→全員自分が一重だと悟る→40秒後に全滅
計80秒

A一,B一,C二
「少なくとも1人は二重である」→40秒後にCが死ぬ→A,Bが自分が一重だと悟る→40秒後に全滅
計80秒

708sage2017/12/30(土) 19:59:24.94ID:X9Qp65Rk
>>706
与えた上界2^(2^n)はもちろん最良からかけ離れていることは承知
このバカでかい上界の意味するところは全滅するまでというよりは
2^(2^n)回目以降の天の声は内容の重複が生じてしまうという意味
この場合の重複というのは内容を個々にみていった場合の重複であって,
いくつかの内容から ある内容が自明になってしまう場合は重複とみなしていない.
たとえば, n=2として 3つの内容を 「Aくんは一重」, 「AかBは一重」 「Bくんは一重」
この3つは重複しているとみなしていないが 本題のほうは
さきの2つの内容から3つ目の内容が自明化してしまうので
このようなことは起こらないという立場だとおもわれる
なので本題では 2^(2^n)より前にすでに内容が重複しているだろう
(いずれにしろ「いつか必ず全滅」を示したことにはなるが)
そういう意味で自明な上界だが, その一方で上限を求めるということならまだ考えてない.

論理関数とは {0,1}^n から {0,1}への写像
n人に番号をふり, i番目(1≦i≦n)の人が一重という命題が真なら A_i = 1, 偽なら A_i=0
A_1 から A_n に 0か1をすべて割り当てて, それ全体に対して, 0か1を割り当てる
これで論理関数がつくられた

天の声は必ず論理関数として表現されるとみなす(これは数学の問題としての形式化)
たとえば, n=3 として, 少なくとも一人が一重というのを論理関数Fで表現すると,
F(0,0,0) = 0, F(A_1,A_2,A_3)=1 (A_1=A_2=A_2=0 でないとき)
もっと複雑なものとしては「1番の人が二重であるか,あるは,2,3番の人のどちらかは一重」
F(0,A_2,A_3)=1, F(1,0,0)=0, F(1,A_2, A_3)=1 (A_2=A_3=0 でないとき)

こんな感じです

709132人目の素数さん2017/12/30(土) 20:03:44.37ID:X9Qp65Rk
(誤) 「Aくんは一重」, 「AかBは一重」 「Bくんは一重」
(正) 「Aくんは一重」, 「AかBの片方だけが一重」 「Bくんは二重」

710132人目の素数さん2017/12/30(土) 20:43:42.49ID:Swdov7O+
>>708
少し考えます

ある直方体のなかに、その直方体より縦と横と高さの長さの和が大きい直方体を入れることはできるでしょうか?

711132人目の素数さん2017/12/31(日) 01:05:58.85ID:95lUPHAf
うーむ

712132人目の素数さん2017/12/31(日) 01:39:11.71ID:luAx8+8l
>>688

3 circumcenter method(3外心法?)というのがあるようですね。

斉藤 浩:「初等幾何で整角四角形を完全制覇」, 現代数学, 49巻, 590号, pp.66-73 (2016/Feb)
http://www.gensu.co.jp/saito/challenge/3circumcenter_en.html
成書(2009年)では難しかった問題も解けるらしい。

713132人目の素数さん2017/12/31(日) 02:15:09.09ID:1wo8CHXV
>>710
>ある直方体のなかに、その直方体より縦と横と高さの長さの和が大きい直方体を入れることはできるでしょうか?
これちょっと前に直方体のr近傍の体積の比較による見事な証明見たよ

714132人目の素数さん2017/12/31(日) 02:47:55.63ID:luAx8+8l
>>660 >>704

a=18-17√2,b=18+17√2,n∈Z として
(x,y,z)=(a・n,b・n,42n)

715132人目の素数さん2017/12/31(日) 03:03:42.60ID:luAx8+8l
>>660

a’= 9√2 -17,b’= 9√2+17,c’= 21√2, として
(x,y,z)=(a’n,b’n,c’n)も

716132人目の素数さん2017/12/31(日) 12:41:22.77ID:ky9WzhjK
>>713
リンクある?

717132人目の素数さん2017/12/31(日) 13:56:06.09ID:iKYWVkCy
>>686
凸四角形ABCDにおいて、
∠ABD=t, ∠DBC=3t, ∠BCA=90-2t, ∠ACD=30 (ただし、0<t<45,角度は全て度数法)
のとき、∠BDA=30となる
という話なので、 http://www.gensu.co.jp/saito/langley/ の最初のFlashの系列1-13の
120<x<165の範囲に相当するが、

別の系列で
∠ABD=2t, ∠DBC=90-3t, ∠BCA=60-t, ∠ACD=3t(ただし、0<t<30)のとき、∠BDAを求めよ
という問題もできる。(系列1-5の120<x<150)

いわゆるラングレーの(最初の)問題を含む系列が2つあるという話。

(で、こういう系列に属してる問題の証明に外心3つ法 http://www.gensu.co.jp/saito/challenge/3circumcenter_jp.html
を持ち出すのは、少々「砂場でブルドーザー」感はある)

718132人目の素数さん2017/12/31(日) 15:00:03.94ID:qskzjnqt

719132人目の素数さん2017/12/31(日) 15:26:48.87ID:ky9WzhjK
>>718
レス番いくつ?

720132人目の素数さん2017/12/31(日) 17:38:23.26ID:luAx8+8l
>>717

∠B =∠C の場合は三角法を使えば解けますね。(初等的でない?)
∠ABC = ∠BCD = β
∠DBC = β’
∠ACB = γ’
とおくと
∠ADB = β’- arctan[{(tanβ)^2(tanβ’- tanγ')}/{(tanβ)^2 -tanβ’tanγ'}],

http://www.youtube.com/watch?v=O2J4Nvy9cKo

721132人目の素数さん2018/01/01(月) 04:23:48.24ID:YGqriAdp
      ∧_∧
     ( ´Д` )  新年あけまして
     /     ヽ
     し、__X__,ノJ

      /´⌒⌒ヽ
    l⌒    ⌒l  おめでとうございます
   ⊂ (   ) ⊃
      V ̄V

722132人目の素数さん2018/01/01(月) 21:14:03.96ID:C5IEESt5
双曲線y^2 - xy -x^2 =1があり、
(x,y)はこの式の非負整数解である。
ある平方数nに対し、x+y=nが成り立っているとき、なりうるnの和を求めよ

723132人目の素数さん2018/01/02(火) 04:16:56.08ID:KflQvt+M
>>660

n∈ Z[√2]として
(x,y,z)=(0,n,n)(n,0,n)(n,-n,0)

>>714-715
n∈ Z[√2]

724132人目の素数さん2018/01/02(火) 04:57:07.19ID:KflQvt+M
>>722

題意より、
(x,y)=(0,1)(1,2)(3,5)(8,13) … (F_{2m},F_{2m+1}) …
ここに m≧0、F はフィボナッチ数。
n = x+y = F_{2m+2}が平方数となるのは
F_2 = 1 と F_12 = 144
1 + 144 = 145

725132人目の素数さん2018/01/02(火) 10:50:22.33ID:okX91MtS
>>724
これどこからフィボナッチ出てくるの?

726132人目の素数さん2018/01/02(火) 13:13:10.36ID:0lWf9w73
>>725
面白い双曲線なのよ

727132人目の素数さん2018/01/02(火) 14:10:18.69ID:KflQvt+M
>>725

(0,1)は一つの解。
(x,y)が解ならば(x’,y’)=(x+y,y+x’)も解になる。
そこで{f_m|m≧0}= 0,1,…,x,y,x’,y’,…
とおくと、
f_1 = f_2 = 1,
f_{m+1}= f_m + f_{m-1},
∴f_m はフィボナッチ数。

728132人目の素数さん2018/01/02(火) 14:33:09.55ID:okX91MtS
>>727
>(x,y)が解ならば(x’,y’)=(x+y,y+x’)も解になる。
へぇー確かにそうなるけど
この
(x',y')=(x+y,x+2y)
という変換はアドホックに得られたものかな?

729132人目の素数さん2018/01/02(火) 16:38:41.88ID:okX91MtS
2次曲線で(x',y')=(x+y,+2y)という変換で不変なものは
x^2+xy-y^2=c
に限るのね
アフィン変換一般についても2次曲線と関連づけられそうね

730132人目の素数さん2018/01/03(水) 04:35:57.68ID:M3D961pO
〔問題717〕
凸4辺形ABCDにおいて、∠ABC = β,∠BCD = γ とします。
β + γ/2 = 120°(60゚<β<90゚,60゚<γ<120゚)
∠ABD :∠ACD = 2:3,
∠BAC - ∠ABD = 30゚
と角度が指定されています。
このとき、∠ADB は何度でしょうか。

∠DBC + ∠ACD = 90゚
∠BCA + ∠BDC = 90゚

731132人目の素数さん2018/01/04(木) 00:14:10.93ID:Hj9rtC2t
>>710
中の直方体の1つの頂点を直交座標で原点と置き、隣り合う頂点の1つを(a,b,c)と置け。
此の直方体を、座標軸に辺が平行な直方体で囲むことを考えよ。
此の辺を長さ1長くすると、囲むのに必要な直方体を得るには
x軸方向にa/√(aa+bb+cc)
y軸方向にb/√(aa+bb+cc)
z軸方向にc/√(aa+bb+cc)
の長さを付け足す必要が生まれる
更に考察を踏み込むと、
隣り合う3つの頂点を(ak,bk,ck)と置くと
囲むのに必要な直方体のx軸方向の長さは
Σak/√(akak+bkbk+ckck)
などと表せ、此れで目的の不等式を示せる
中の直方体の辺も座標軸に平行な時のみ等号成立

732132人目の素数さん2018/01/04(木) 22:08:31.55ID:q45yvd8D
>>730

∠ADB = 30°

733132人目の素数さん2018/01/05(金) 23:49:47.51ID:7ZNncoy1
>>660
整数環Zに値する最小値が無いため解は0

734132人目の素数さん2018/01/06(土) 07:44:38.44ID:jKWU7LXK
大学受験レベルの問題を作ってみた。工夫すれば計算はそれ程。


xy平面上に原点O、A(0,1)、B(1,2)、C(3,0)をとる。
直線OB,ACの交点をPとして、O,Cを焦点とし、Pを通る楕円をC1、
A,Bを焦点とし、Pを通る楕円をC2とする。 
C1,C2の周及び内部の領域をそれぞれD1、D2とするとき、和集合D1∪D2の領域の面積を求めよ。

735132人目の素数さん2018/01/06(土) 15:03:56.51ID:UX59u7iL
>>700
3行目の

> 此のとき2^n-1≡0(modp)

は何故? ここは明らかに言えるの?

736132人目の素数さん2018/01/06(土) 17:54:39.25ID:q194DY3+
一辺4の正三角形、長さ30の針金、半径2の円盤がある。
(i)
針金の先に円盤を取り付け、
正三角形の点Cに針金の一端を固定して針金が辺BCに接した図の状態から時計回りに円盤を動かす。
(ii)
針金は正三角形の角で折り曲げる。
(iii)
円盤が正三角形にぶつかったら終了とする。

円盤の通る軌跡の面積を求めよ。
ただし、針金の太さは無視できるものとする。

一応用意してる解答では、3パーツに分けてます

どなたか要領の良い解答を待ってます

737132人目の素数さん2018/01/06(土) 18:35:30.41ID:ioRU9Isi
>>735
2^n-1がnの倍数かつnがpの倍数なんだから明らかでしょうに

738132人目の素数さん2018/01/06(土) 19:03:11.59ID:q194DY3+
図を忘れてた


https://i.imgur.com/iz3KDYZ.jpg

739132人目の素数さん2018/01/06(土) 19:05:42.86ID:ioRU9Isi
>>736
ところどころ条件が不明瞭なんだけど、以下でいい?
・針金の初期状態は直線の一部つまり線分であり、線分の一方の端点が正三角形の頂点C、かつ線分が頂点Bを含む
・円盤は針金の頂点Cとは異なる側の端点に円盤の中心が重なるように取り付ける
・針金および円盤は正三角形と同一の平面上を動く
・針金は正三角形に巻き付けるように折り曲げてゆく。このとき、針金の正三角形に接していない部分は線分の状態を維持する

740132人目の素数さん2018/01/06(土) 19:19:13.40ID:ioRU9Isi
>>738
図があったのか
これ、円盤の周までの針金の長さが30なの?

741132人目の素数さん2018/01/06(土) 19:55:04.34ID:q194DY3+
針金の長さが30ですが...

742132人目の素数さん2018/01/06(土) 21:25:17.61ID:KArfBxjX
今話題の阪大の過去問の改題ですが、暇な方は是非チャレンジしてみて下さい!
実数ℝからℝへの関数fは次の2つの条件を満たすとする。
(a)任意の実数x,yに対しf(x+y)=f(x)+f(y)

(b)fは連続である。つまりlim(n→∞)a_n=αならばlim(n→∞)f(a_n)=f(α)

この2つの仮定からfの微分可能性を導こう。

⑴f(1)=aとおく。任意の整数nに対しf(n)=anとなる事を示せ。

⑵任意の有理数rに対しf(r)=ar を示せ。

⑶一般に、任意の実数は必ずある有理数列の極限で表せる事が知られている。
この事を用いて任意の実数xに対しf(x)=ax を示せ。

⑷f(x)は任意の実数xに於いて微分可能である事を定義に基づいて示せ

743132人目の素数さん2018/01/06(土) 21:30:47.92ID:KArfBxjX
因みに原題はこちら。
挑戦枠だけあってかなり骨があります(というか有理数の稠密性知らないと無理な気すらする…)


https://i.imgur.com/aLYMX7n.jpg

744132人目の素数さん2018/01/07(日) 09:22:09.32ID:9R15ZkXF
>>743
fq=q
ux={q|x<q}
lx= {q|x>q}
fux={fq|x<q}={q|x<q}
flx={fq|x>q}={q|x>q}
flx<fx<fux
fx=x

745132人目の素数さん2018/01/07(日) 09:23:35.43ID:9R15ZkXF
flx<fx<fux
fx=x

746132人目の素数さん2018/01/07(日) 15:21:07.41ID:MXKMTdfE
>>743
何年度の問題ですか?

747132人目の素数さん2018/01/07(日) 15:46:50.05ID:pGpwp6A2
誰か734

748132人目の素数さん2018/01/07(日) 18:19:56.83ID:VVbpgw0b
>>743
線形性とf(xy)=f(x)f(y)から有理数についてf(x)=xで、稠密性から1発
これ前他の大学も出してたね

749132人目の素数さん2018/01/07(日) 22:25:30.99ID:9jmbCXAa
>>747
どこらへんが面白いの?

750132人目の素数さん2018/01/08(月) 00:23:28.18ID:27YyLP77
面白くないよ

751132人目の素数さん2018/01/08(月) 01:04:46.73ID:syCUhg30
とりあえず答えてみたら

752132人目の素数さん2018/01/08(月) 05:02:49.08ID:o2HjFYS0
>>700
アホな質問かもしれないけど、教えてください。
3行目と5行目から6行目が出てくるのが分かりませぬ…。
抜き出すと、次の部分です。

2^n≡1 (mod p) かつ 2^(p-1)≡1 (mod p) ならば、2^(gcd(n, p-1))≡1 (mod p)

753132人目の素数さん2018/01/08(月) 07:28:19.49ID:wDeXD3tv
>>749
工夫すれば計算はそれほど必要なく5分程で解ける

754132人目の素数さん2018/01/08(月) 08:00:02.08ID:xaiDjCmX
ユークリッドの互除法。
a,bに対してx,yが存在して
gcd(a,b)=ax+by。

2^gcd(a,b)=(2^a)^x(2^b)^y。

755132人目の素数さん2018/01/08(月) 22:27:26.32ID:6yE9/RTC
>>734 >>747 >>753

交点P(3/7,6/7)

OP =(3/7)√5,
AP =(1/7)√10,
BP =(4/7)√5,
CP =(6/7)√10,
より
OP:AP = 3:√2,
CP:BP = 3:√2,
また
OC:AB = 3:√2,
∠OPC = ∠APB
よって
△OPC ∽ △APB
また
C1 ∽ C2
D1 ∽ D2
面積比は 9:2

楕円 C1,C2 は点Pで接するから、D1∩D2 ={P}
(点Pにおける共通接線はOCとABの2等分線の方向で、それらと 22.5°の角をなす。)

楕円C1について
a =(CP+OP)/2,b =√(aa - 9/4),e =(3/2a),

楕円C2について
a' =(AP+BP)/2 =(√2)/3 a,b' =(√2)/3 b,e' = 1/(a'√2)= e,

S = S(D1)+ S(D2)= πab + πa'b' = πab +(2/9)πab =(11/9)πab,

756132人目の素数さん2018/01/08(月) 22:32:17.07ID:6yE9/RTC
>>755 の続き

数値を入れると、

a =(3/14)(2√10 + √5)= 1.83441928
b =(3/7)√(5√2 -1)= 1.05598015
e =(2√10 - √5)/5 = 0.81769747

a' = 0.86475354
b' = 0.49779382
e' = e

S = 2.36757932π

757132人目の素数さん2018/01/09(火) 01:18:49.79ID:LGZC+Dl2
肝心な2つの楕円が接することの説明がないじゃん

758132人目の素数さん2018/01/09(火) 11:21:56.60ID:dgOIUcU6
>>757
D1∩D2 ={P}の証明

D1とD2が点Qを共有したとする。
Q∈D1 より OQ + CQ ≦ OP + CP = 2a,
Q∈D2 より AQ + BQ ≦ AP + BP = 2a’
辺々たすと
OQ + AQ + BQ + CQ ≦(OP + BP)+(AP + CP)= OB + AC … (1)

一方、△不等式から、
OQ + BQ ≧ OB,
AQ + CQ ≧ AC,
辺々たすと
OQ + AQ + BQ + CQ ≧ OB + AC … (2)
等号成立はQ ∈(OB∩AC)={P}のとき。

(1)(2)より等号が成立する。
∴ Q = P.

759132人目の素数さん2018/01/09(火) 12:15:48.79ID:LGZC+Dl2
>>758
正解!
楕円が相似形になること・楕円同士が接することに気付くのがこの問題のポイントでした。

760132人目の素数さん2018/01/09(火) 13:15:45.95ID:KWEYIsTZ
>>754
ありがとうございます

761132人目の素数さん2018/01/09(火) 19:21:05.59ID:szzDHmE7
どっちかの封筒に2倍の金が入ってるってやつで
もし10000だったら1/2で5000、1/2で20000になるから
期待値的に絶対交換した方がいいってやつさ
面白い問題教えてーな激しくガイシュツのやつでみたんだけど
あれの解説が納得できない


普通に1/2で低い方、1/2で高い方選ぶんだから、片方の金額をx、もう片方を2xってすると、低い方とる確率が1/2、高い方とる確率も1/2なんだから、期待値は
(1/2)x+(1/2)2x=(3/2)x
だから、もし低い方だったら期待値とくらべて自分の手持ちが3倍、高かったら手持ちが3/4倍になるんだから1/2(1/2)x(3)+1/2(2x)(3/4)=(3/2)x
だから交換してもしなくても期待値は変わらないっていう説明じゃだめなん?

762132人目の素数さん2018/01/09(火) 20:49:50.68ID:aBLuETRh
>>759
わざとらしい厚化粧を剥がすことのみがポイントってこと?

763132人目の素数さん2018/01/10(水) 13:38:16.66ID:yyayDtEj
>>761
一万円を入れた封筒と、二万円を入れた封筒を用意し、この二つの封筒を、大きな封筒に入れる。これをAとする。
一万円を入れた封筒と、五千円を入れた封筒を用意し、この二つの封筒を、大きな封筒に入れる。これをBとする。
AとBは外見では区別がつかない。

問題1:Aを50、Bを50、合計100用意し、箱に入れて、よくかき混ぜる。
 箱からランダムに一つ大きな封筒を取りだし、その大きな封筒の中から一つ封筒を取りだし、中身を確認すると
 一万円が入っていた。その大きな封筒に入っている、もう一方の封筒の中身が二万円である確率は?

問題2:Aを10、Bを90、合計100用意し、箱に入れて、よくかき混ぜる。箱から...≪以下同文≫

問題3:Aをn、Bを100−n、合計100用意し、箱に入れて、よくかき混ぜる。箱から...≪以下同文≫

問題4:AとBを併せて100用意し、箱に入れて、よくかき混ぜる。箱から...≪以下同文≫

問題5:AとBを併せて一つ用意し、箱に入れた。つまり、AかBを用意して箱に入れた。箱から封筒を取りだし、...≪以下同文≫

764132人目の素数さん2018/01/10(水) 13:38:55.46ID:yyayDtEj
つづき
 761の問題は、問題5に相当するものだが、761さんは無条件にA・Bが用意されている確率は共に1/2として議論している。
果たしてそれは妥当か? それが正しいというのならば、「A・Bが用意されている確率は共に1/2」に相当する内容が問題文
で確認できなければならない。確認できるのは、大きな封筒に入っている二つの封筒の内、どちらを選ぶかが1/2というだけ。
Aが用意されていて、二つの封筒から一つを選ぶとき、一万円を選ぶ確率は1/2で、二万円を選ぶ確率も1/2だが、
この確率事象は終了し、すでに一万円を選んでいる。ここで交換したら、他方の封筒には確率1で二万円が入っている。
同様に、Bが用意されていて、一万を選び、ここで、封筒を交換したら確率1で五千円が入っている。
Aが用意されている確率、Bが用意されている確率を、どうして、「大きな封筒の中の二つの封筒から一方を選ぶ」
のと同じように 1/2 と、判断できるのか? 
Aが用意されている確率、Bが用意されている確率が、「大きな封筒の中の二つの封筒から一方を選ぶ」のと同じように、
1/2 づつだ と、巧みに思わされているだけ。

上の問題では、問う内容が「もう一方の封筒の中身が二万円の確率は」となっているが、
「交換したときの期待値は」としてもよい。そして、問題1から3では、きちんと期待値が計算できるが、
問題4,5では出来ない。理由は、必要な情報が問題に無いから。
同様に、761の問題でも期待値は計算でない。
この問題に、(勝手な想定を置かずに)期待値を持ち出して議論しても本質にはたどり着かない。

二つの封筒問題には、「数学的見地から、あるいは、期待値という観点から、交換すべきかどうかの判断は出来ない」
というのが妥当で正当な結論。

765132人目の素数さん2018/01/10(水) 21:59:39.97ID:w1qVs6Aq
金額で期待値測るからだめなんだろ
金額とは別に金額から決まる嬉しさを表す数値(経済学の効用関数)を導入する

最初にあけた封筒の中身a円と
一般の金額x円に対して
嬉しさの関数が log_2 (x/a) の人にとっては何も悩むことはない

766132人目の素数さん2018/01/10(水) 22:30:57.84ID:yyayDtEj
>>765
1/2教信者が矛盾を避けるために導入したアイデア。オッカムの剃刀で棄てられる。

767132人目の素数さん2018/01/11(木) 10:02:14.31ID:RLBorN9o
logだと赤字のとき虚しさが漂うんですが

768132人目の素数さん2018/01/11(木) 15:00:59.48ID:gGnDAYFj
>>763
ちなみにこれの問題3を解くとどうなります?

769132人目の素数さん2018/01/12(金) 01:55:04.09ID:Or3GsGEd
正の数aが a + 1/a = [a] +[1/a] + 1 をみたすとき、aは無理数であることを示せ。ここで[a]はガウス記号。

770132人目の素数さん2018/01/12(金) 05:28:29.23ID:aNi1PHCw
>>767
 ±πiずれる。

>>769

x -[x]={x}とおくと
 0 ≦{x}< 1
 {a}+{1/a}= 1,

a または 1/a が整数のとき
 {a}= 0 または{1/a}= 0 ゆえ、和は1より小さい。

a が分数のとき
 a = p/q(p,q≧2 は自然数、互いに素)
 {a}= m/q,{1/a}= n/p,
 p,qは互いに素だから、和は1にならない。

771132人目の素数さん2018/01/12(金) 07:38:08.51ID:D//7CCq/
>>769
(a^2+1)/a=n
a^2-na+1=0
a=(n±√(n^2-4))/2
aが有理数→√(n^2-4)=p/q
n^2-4=p^2/q^2
q=1
n^2-p^2=(n-p)(n+p)=4
n=±2,p=0,a=±1
a+1/a=±2≠[a]+[1/a]+1=1±2
NG
aは無理数
a=(3+√5)/2
1/a=(3-√5)/2
[a]=2
[1/a]=0
a+1/a=3=[a]+[1/a]+1
aは存在

772132人目の素数さん2018/01/12(金) 12:06:24.79ID:ECD3lcV6
>>764
1/2じゃないの?
例えば金額をxと置き換えて10000となるのは
x=5000、2x=10000の時と
x=10000、2x=20000の時
この2つになる確率は同じはず
xの上限が無限になると確率が分からなくなるって事?
それは数学的におかしくね?

773132人目の素数さん2018/01/12(金) 13:50:19.98ID:C3nTSBqQ
>>772
> この2つになる確率は同じはず
そういう設定かどうかが問題では不明なので

現実の問題として考えると
5,000円と10,000円の2つが用意してあったが選ぶ人には「どちらかがどちらかの2倍」としか言わなかった
引いた人は袋を替えることが出来るが替えた方が得か?
という問題だと考えることも出来るというかむしろ妥当
こうなると替えた方が得かどうかは不明としか言いようがなく確率で考える問題ではなくなっている

774132人目の素数さん2018/01/12(金) 14:08:19.79ID:mFtDwv+X
二封筒問題は、必ず議論が紛糾するネタであり、
雑多な問題を扱うこのスレには向かないので
別のところでやっていただいたほうがよいと思われます。

775132人目の素数さん2018/01/12(金) 14:19:58.85ID:ECD3lcV6
>>773
なるほど
つまり問題文として不備があるってことね
>>774
そうなんだ
あまり数学板に来た事がなくて
すまなんだ

776132人目の素数さん2018/01/12(金) 15:40:02.86ID:aNi1PHCw
>>762
うん

777132人目の素数さん2018/01/12(金) 17:41:00.08ID:jxiFg+zg
>>764
ベイジアン的にはどっちも同等だから1/2でしょうよ

778132人目の素数さん2018/01/12(金) 17:48:50.65ID:jxiFg+zg
>>761
交換しなければ期待値は1万円確定
交換したら期待値は5000p+20000(1-p)=20000-15000p
p=1/2が妥当な推測として12500円

779132人目の素数さん2018/01/12(金) 19:10:46.08ID:f4N6ck+k
p=1/2が妥当な推測になるような数学的根拠がまったくわからない

ってのが指摘されていることなんじゃないのかね

780132人目の素数さん2018/01/13(土) 02:50:24.02ID:8oWXJ1ub
そう。
>>763 の問題2と4を解けば終わる話。

781132人目の素数さん2018/01/13(土) 13:53:16.51ID:vxAtUgvr
>>771

n は3以上の自然数とする。
 n-1 <(n+√(nn-4))/2 < n,
(n-√(nn-4))/2 = 2/(n+√(nn-4))< 1,

∴[a]+[1/a]= n-1,

∴ a + 1/a =[a]+[1/a]+ 1,

782132人目の素数さん2018/01/13(土) 13:53:42.05ID:BrLzT1uQ
正整数Nの全ての約数dに対して1/(d^2+N)の総和が1/Nに等しくなるような、正整数Nを全て求めよ

783132人目の素数さん2018/01/13(土) 15:21:19.07ID:cdvpZheR
子供のテスト問題。
https://i.imgur.com/Dhfjjr8.jpg

784132人目の素数さん2018/01/13(土) 16:04:51.85ID:qu21oNoK
数学の問題じゃないな

785132人目の素数さん2018/01/13(土) 18:02:49.68ID:l5cQ8XEN
>>783
自分の目を塞げってやつだろ、このスレに出す問題じゃないな。

786132人目の素数さん2018/01/13(土) 18:11:43.15ID:p9jSzu0M
>>779
>p=1/2が妥当な推測になるような数学的根拠がまったくわからない
ベイジアンでは
推測できないときには同等と考えます

787132人目の素数さん2018/01/13(土) 19:14:36.93ID:Bhnz9Zau
>>786
そしてその推測が誤りだったから実はどうなるかを推測し直していく問題なのか

788132人目の素数さん2018/01/13(土) 19:47:02.49ID:IcEcp/Nx
>> ベイジアンでは
>> 推測できないときには同等と考えます

違います。考えていません。ただ単にそれを採用しているだけ。

データ更新こそがベイズ流の本質。ベイジアンは初期データにこだわりはない。
初期データは最終的に寄与が小さくなるためどのようなものでも大差が無いと考えている。
ただ、何の情報が無い場合でも、何らかの初期データは無理矢理にでも設定しなければならない。
それが無ければデータ更新も何も出来ないから。

初期データは、最終的には寄与が小さくなるため、全て同じでも、好みによって差をつけてもかまわない。
経験を駆使して、最終結果に近いであろうデータを用いるのが効率的であろうし、収束が早い。
ここに実行者の経験や能力が現れる。

≪  しかし、そのような技術の関与が無いことの方が望ましいと考える場合や、  ≫
≪ 主観が入っていないことを明確にしたいような場合には、水平データを使うのが無難といえる。 ≫

その例が多くあるというだけ。その単なる『配慮』を以て、
「水平データから始めることこそ、ベイジアン流だ」等と勘違いしている1/2信奉者が、ベイジアンを語っているだけ。

789132人目の素数さん2018/01/13(土) 21:18:54.94ID:p9jSzu0M
>>788
こだわりがないときは1/2とします

790132人目の素数さん2018/01/13(土) 21:23:01.93ID:p9jSzu0M
この問題に関してはp=1/2で確定です
なぜかと言えば金額は不明で倍額ということだけ指定されていて
たまたま1万円が見えたと言うだけ
1万と5000あるいは1万と2万荷限定されるわけではなく
xと2xの封筒がどんな比率でも構わず無数にある中から
1組選ばれているというだけのことだからですよ
その中でx=10000か2x=10000かは等確率つまりp=1/2で確定ですね

791132人目の素数さん2018/01/13(土) 21:30:54.11ID:W7ucPUwR
>>789
それは貴方個人のこだわりでしかない
「ベイジアンでは推測できないときには同等と考えます」は誤り

というのが趣旨でしょう

792132人目の素数さん2018/01/13(土) 22:02:11.13ID:Bhnz9Zau
これを1/2と思い込んでしまいがちだから面白い問題になるってことなんだろうな

793132人目の素数さん2018/01/13(土) 22:10:32.40ID:qu21oNoK
いや面白くはない
出題者の意地が悪いだけ

794132人目の素数さん2018/01/13(土) 23:14:32.89ID:j2acKMxk
ベイズ統計学は、ベイズ改訂という改訂の連鎖に価値があるのであって、
改訂前の単なる初期値には何の価値も無い。

ベイズにおける 1/2 という値は改訂前の単なる初期値に過ぎないのだから、
この 1/2 という数値を「妥当」だと言い張ったところで何の価値も無い。
「ベイジアンでは推測できないときには同等と考えます」と言い張ったところで、
それは主観確率の初期設定をどうしたいかというマインドコントロールでしかなく、
数学的根拠になり得ない。

常識的に考えても、改訂前の単なる決めつけである「 1/2 」という値から
期待値を計算したところで、その期待値も単なる決めつけでしかなく、何の価値も無い。
そこで確率の改訂を繰り返すことで、主観確率なのに客観性が上がっていくことが
期待されるところに、ベイズ統計学の価値がある。

そして、この違いを分からないバカがベイズ統計学をやる価値も無い。

795132人目の素数さん2018/01/13(土) 23:32:21.00ID:n+R0iV0s
要は一様分布と仮定するか否かってだけでしょ
どっちも間違ってないと思うけどな

796132人目の素数さん2018/01/13(土) 23:38:35.16ID:Bhnz9Zau
一様分布に設定することが不可能なんだから

797132人目の素数さん2018/01/13(土) 23:42:48.49ID:W7ucPUwR
>要は一様分布と仮定するか否かってだけでしょ
問題の在り処を取り違えている
(今の状況で)一様分布を仮定することがベイズ統計では自動的に承認されるのか、それとも特記すべき事項なのかが争点

798132人目の素数さん2018/01/14(日) 00:09:28.63ID:yNhhPVL1
いろいろあるねえ

799132人目の素数さん2018/01/14(日) 00:34:31.02ID:7iI/H+u5
この問題は金額の分布が問題にされているのではなく
2つのうちどちらを選んで10000円が出たかというところだけが考慮すべき事柄です
金額の分布を云々している人はアホとしか言いようがありませんね
もう一方が5000円であるか20000円であるかは等確率すなわちp=1/2ですので
選択を変更する場合に得られる期待値は12500円
すなわち選択は必ず変更するべきと言うことです

800132人目の素数さん2018/01/14(日) 00:37:58.91ID:ZEpbJsii
数学の問題じゃないので適当に決めちゃいました

801132人目の素数さん2018/01/14(日) 00:53:01.53ID:+CLRWeXb

802132人目の素数さん2018/01/14(日) 01:08:42.58ID:9RpZhmpe
いっそ二封筒問題のスレを立てればいいんでないかな

803132人目の素数さん2018/01/14(日) 01:33:12.41ID:QZS2nyEG
いずれにしても二封筒問題はこのスレで扱う問題とは違うと

804132人目の素数さん2018/01/15(月) 14:41:10.85ID:Nr3Tqe6F
2整数の最大公約数を(a,b)で表す。(a,b)=cの時ax+by =cは必ず整数解を持つというベズーの等式を少し高級な視点から証明してみましょう!

ℤを整数全体の集合とする。ℤの部分集合Iでa,b∈I⇒a-b∈I,a∈I,n∈ℤ⇒na∈ℤ の2条件を満たす様なものをイデアル(Ideal)と呼ぶ。例えば2ℤ={2n|n∈ℤ}はイデアルである。
⑴m∈ℤ⇒mℤはイデアルとなる事を示せ

⑵I⊂ℤがイデアルならばある整数mを用いてI=mℤとなる事を示せ(Iの中で最も絶対値の小さい0でない整数をmと置こう)

805132人目の素数さん2018/01/15(月) 14:41:31.11ID:Nr3Tqe6F
⑶2つのイデアルの和、つまりmℤ+nℤ={mk+nl | k,l∈ℤ}はイデアルである事を示せ

⑷ベズーの等式が成り立つ事を示せ

806132人目の素数さん2018/01/15(月) 18:49:29.36ID:DUXDgO4Y
⑴a,b∈mℤ⇒a=mk,b=ml (k,l∈ℤ)と置け、
a-b=m(k-l)∈mℤ,
n∈ℤ⇒na=m(nk)∈mℤ
よりてmℤはイデアル

⑵I={0}の時、I=0ℤより成立
I≠{0}の時、Iの要素で絶対値の最も小さな0でない元をmと置きてI=mℤを示す
イデアルの定義よりmℤ⊂Iであり、
a∈I⇒a=mq+r (0≦r<|m|)と表せり、
r=a-mqは仮定よりイデアルIの元
r≠0の時に此れはmの最小性に反するので
r=0故にI⊂mℤとなりI=mℤ

⑶⑴と同様

⑷⑶よりaℤ+bℤはイデアルである
故にある整数dを用いてaℤ+bℤ=dℤとなる
示すべきはd=cである
a∈dℤ,b∈dℤよりdはa,bの公約数
又、d'をa,bの任意の公約数とした時に或る整数x,yが存在しax+by=dとなるのでd'はdの約数
以上よりd=cとなり、ベズーの等式は示された □

807132人目の素数さん2018/01/15(月) 18:52:06.13ID:DUXDgO4Y
簡単すぎw

808132人目の素数さん2018/01/16(火) 08:17:17.98ID:PWgP6/+/
面白い問題教えテーな

809132人目の素数さん2018/01/17(水) 03:49:10.39ID:PWBeFkV2
a<cで(a,a+3,c)というピタゴラス数の組は存在するか?(類題:近大数コン2014)

810132人目の素数さん2018/01/17(水) 03:50:03.08ID:PWBeFkV2
(a+3)<cね

811132人目の素数さん2018/01/17(水) 07:16:24.17ID:leMdf1QC
自然数nに対して、n乗積分
∫_(R^n) 1/(1+||x||^(2n))dx
を求めよ
(||・||はユークリッドノルム)

812132人目の素数さん2018/01/17(水) 10:16:43.95ID:YoDVUQg0
>>809
3で割ったあまりを調べるとないことがわかる。

813132人目の素数さん2018/01/17(水) 10:42:39.57ID:1S3G2BEK
>>812
素であると条件がついてないから(9,12,15)で良いんじゃない?

814132人目の素数さん2018/01/17(水) 11:11:08.99ID:EO7VHN63
>>813
(12,16,20)だな

815132人目の素数さん2018/01/17(水) 13:09:12.30ID:c5xzziUo
私はあなたに面白い問題を教えてくれるでしょう!

私は日本語を話せませんので、英語で問題を書きます。
多分、私は日本語で答えを読むことができるので、あなたは日本語でそれを書くことができます。
できれば、私の問題を日本語に翻訳してください。

Consider the 2^1013 numbers ±1±2±...±1013.
How many of these numbers are 2017 in modulo 2027?
Express your answer in modulo 1000.

ありがとう!

816132人目の素数さん2018/01/17(水) 13:19:19.15ID:9qRKZbfk
スパムメールっぽい日本語だな
☆☆☆ あなたがアマゾンにアカウントはロック!至急パスワードに変更!! ☆☆☆
みたいなの

817132人目の素数さん2018/01/17(水) 13:20:42.98ID:7PcoNND/
「大好きが虫はタダシくんの」 を思い出した

818132人目の素数さん2018/01/17(水) 14:11:20.04ID:1S3G2BEK
>>815
例えば1+…+384−385+386+…+1013≡2017(mod 2027)である
2027は奇数であるので、この問題は以下と同値である
「1から1013までの整数の集合の部分集合のうち、総和が385+2027k(kは整数)となる部分集合の個数の下3桁を求めよ」

819132人目の素数さん2018/01/17(水) 14:15:53.19ID:YoDVUQg0
元の問題って和訳すると?

820132人目の素数さん2018/01/17(水) 14:20:04.78ID:3jdYKGvc
859.

821132人目の素数さん2018/01/17(水) 14:56:22.18ID:1S3G2BEK
答え出ちゃったね
>>819
【訳】
±1±2±...±1013の形の2^1013個の数を考えよ
2027を法として2017に合同な数は幾つあるか?
1000で割った余りを解答せよ

822132人目の素数さん2018/01/17(水) 16:12:08.13ID:YoDVUQg0
どう求めたの?

823132人目の素数さん2018/01/17(水) 19:31:56.47ID:9BtkzFPq
うほうほ

824132人目の素数さん2018/01/17(水) 21:44:13.29ID:EO7VHN63
>>822
コンピュータ

825132人目の素数さん2018/01/17(水) 21:51:44.14ID:ugLbTJqW
>>815
1を加算する操作をsとし、整数による加算をs^k、kによる減算をs^-kのように表現するとき、
±1±2±...±1013の形の式のうち解が整数nとなる式の個数は
Π(k=1→1013)(s^k+s^-k)…@を展開したときのs^nの係数に現れる。
2027を法とする演算を考えればよいので、s^2027=s^0とし、
このときのs^2017の係数を考えればそれが2017と合同な式の個数となる。これを求めればよい。
Π(m=0→1012)(s^(2^m)+s^-(2^m))…Aの形の式を考える。
s^(2^m),s^-(2^m) (0≦m≦1012) の各々に、s^k,s^-k (1≦k≦1013) のいずれかと同一のものが
ちょうど1つずつ存在する(1対1に対応する)ことから、Aは@の項を並び替えたものであり、@に等しい。
Aを展開するとs^-(2^1013-1)+s^-(2^1013-3)+...+s^-3+s^-1+s^1+s^3+...+s^(2^1013-1)…A'となる。
A'の項の総数は2^1013個であり、各項の指数が2ずつの等間隔に存在すること、2027が奇数であること、
2^1013+1が2027の倍数であることから、1≦k≦2026 の各々について s^k に等しい項は(2^1013+1)/2027個ある。
すなわちs^2017に等しい項の数は(2^1013+1)/2027個あり、これが求める係数である。
(なお、s^0=s^(2^1013+1)に等しい項の個数は他のs^kより1つ少ない)
(2^1013+1)/2027を10進数で表現すると300桁を超えるが、
1000の余りを求めればよいので2027×1000を法とする演算で2^1013+1を求め、
2027で割る方法をとれば計算量を減らすことができる。
計算は省略する。解は859。
※巡回群に詳しい方、補足がありましたらお願いします。

826132人目の素数さん2018/01/17(水) 21:55:00.34ID:ugLbTJqW
>>825
1行目ミスった
整数kによる加算をs^k、整数kによる減算をs^-kのように表現する

827132人目の素数さん2018/01/17(水) 22:03:36.43ID:qFKXYmDa
コンピューターおばあちゃん コンピューターおばあちゃん
イェーイイェーイ ぼーくら大好きさー

828132人目の素数さん2018/01/17(水) 22:30:44.76ID:mZCIBayH
お尻ペンペンコンピューターの方が好きだわ俺。

829132人目の素数さん2018/01/17(水) 23:22:58.51ID:EO7VHN63
>>825
お見事
2027は素数
x^2027=1で
Σx^(±1±2±...±1013)=(Σx^±1)(Σx^±2)...(Σx^±1013)=(x+x^2026)(x^2+x^2025)...(x^1013+x^1014)
ということね
そして上記の式のxのベキは2027の0以外の2026個で原始根のベキで表せるわけだけど
F_2027において2が原始根なのは確かにそうだとは確認したけど簡単に分かるの?
まあ2でなくても原始根ならいいけど原始根は探すの結構めんどくさい

830132人目の素数さん2018/01/17(水) 23:35:03.42ID:EO7VHN63
>>829
>2でなくても原始根ならいいけど
2じゃないと駄目か
±だから展開したとき2進法で考えるから-(2^1013-1)から2^1013-1まで2飛ばしで出てくるってことになる
3とかだと3進法ではそうもならないな

831132人目の素数さん2018/01/17(水) 23:59:13.48ID:ugLbTJqW
そう。2が原始根であることが言えればいい
位数が2027-1の約数であり、2027-1の素因数は2と1013なので、
2 と 2^2 と 2^1013 について 2027 を法として 1 と合同でないことを確認すればよい

832132人目の素数さん2018/01/18(木) 00:15:10.12ID:8rC65/QE
Oh wow guys Congratulations!!
It seems you got a right answer.
So I’ll show you my solutions.

Let p=2027 and observe that this is prime.
Let a_i for 0≦i≦p-1 be the number of the 2^2013 numbers which are i in modulo p.
Then,
N=Π[(p-1)/2, i=1]((ε^k)+(ε^(-k)))
=a_0+...+a_(p-1)ε^(p-1)
where ε=exp((2π/p)i).
Now, observe that
Π[p-1,i=1]((ε^k)+(ε^(-k)))
=NΠ[p-1,i=(p+1)/2]((ε^k)+(ε^(-k)))
=NΠ[p-1,i=(p+1)/2]((ε^(k-p))+(ε^(p-k)))
=NΠ[(p-1)/2,i=1]((ε^k)+(ε^(-k)))
=N^2

But,
Π[p-1,i=1]((ε^k)+(ε^(-k)))
=Π[p-1,i=1](ε^(2k)+1)=Π[p-1,i=1](1+ε^k)=1
where we use the fact that k→2k is bijective in ℤ/pℤ and 1+x+...+x^(p-1)
=Π_(1≦k≦p-1)(x-ε^k).
So N^2=1⇒N=±1.
So,
a_0+...+a_(p-1)ε^(p-1)=±1
⇒a_0±1=a_1=...=a_(p-1)=q
for some integer q.Then,
pq=a_0+...+a_(p-1)±1=2^((p-1)/2)±1.
Since q must be an integer
and 2^((p-1)/2)≡(2/p),
q=(2^1013-(2/2027))/2027
=((2^1013)+1)/2027≡859 (mod 1000).

833132人目の素数さん2018/01/18(木) 01:22:37.18ID:I6nQhhU/
>>831
なーるほどー
位数は1か2か1013か2026かしかないってことか
2^1013はキツそうだけど2^11=2048=21とか使うのかしらね

834132人目の素数さん2018/01/18(木) 02:12:14.89ID:BqMeO5gJ
>>833
2^1013の計算は多少手間だけど、工夫すれば短くできそう
例えばこう
2^1013≡2^(1008+5)≡2^(7・2・2・2・2・3・3+5)
≡((((((2^7)^2)^2)^2)^2)^3)^3・2^5
≡(((((128^2)^2)^2)^2)^3)^3・32
≡((((168^2)^2)^2)^3)^3・32
≡((((-154)^2)^2)^3)^3・32
≡(((-608)^2)^3)^3・32
≡(750^3)^3・32
≡(750^2・750)^3・32
≡(1021・750)^3・32
≡(-456)^3・32
≡(-456)^2・(-456・32)
≡(-845)・(-403)
≡-1 (mod 2027)

835132人目の素数さん2018/01/18(木) 02:47:01.58ID:3VMTZnuL
>>809-810

a=3A, c=3C とおくと、

AA +(A+1)^2 = CC,

(2A+1)^2 + 1 = 2CC  … ペル方程式

(A,C)=(0,1)
(A,C)が自然数解なら(A',C')=(3A+2C+1,4A+3C+2)も自然数解。

A_n ={(√2 +1)^(2n+1)-(√2 -1)^(2n+1)-2}/4,
C_n ={(√2 +1)^(2n+1)+(√2 -1)^(2n+1)}/(2√2),

836132人目の素数さん2018/01/18(木) 04:13:54.25ID:3VMTZnuL
>>835

   (A_n, C_n)
n=0 (0, 1)
n=1 (3, 5)
n=2 (20, 29)
n=3 (119, 169)
n=4 (696, 985)
n=5 (4059, 5741)
n=6 (23660, 33461)
n=7 (137903, 195025)
n=8 (803760, 1136689)
n=9 (4684659, 6625109)
n=10 (27304196, 38613965)

837132人目の素数さん2018/01/18(木) 15:27:22.81ID:FEilI+AF
全ての実数で定義されている実数関数 f に対し
B={x | limsup_y→x |f(y)-f(x)|/|y-x|<∞}と置く
R-Bが高々可算個の疎な閉集合で被覆されるならば
ある開区間で f はリプシッツ連続となることを示せ
ただし選択公理によるベールの被覆定理を仮定する

838132人目の素数さん2018/01/19(金) 17:10:25.90ID:K29Y+eUT
誰もわからないようだから解答置いとく
https://www.axfc.net/u/3870548?key=Lipschitz

839132人目の素数さん2018/01/20(土) 12:43:59.72ID:urj88i9i
5×5の碁盤目状の道路があり、5件の家
A(0,1)、B(1,4)、C(2,0)、D(3,3)、E(4,2) がある。
https://i.imgur.com/pzdRfIv.jpg

この街に直線道路を1本引きたい。
5件からのマンハッタン距離の平方和が最小となる直線を求めよ。

840132人目の素数さん2018/01/20(土) 12:46:16.88ID:urj88i9i
言い方がマズかったかな。

  Aから直線道路までのマンハッタン距離の2乗
+ Bから直線道路までのマンハッタン距離の2乗
+ Cから直線道路までのマンハッタン距離の2乗
+ Dから直線道路までのマンハッタン距離の2乗
+ Eから直線道路までのマンハッタン距離の2乗

が最小となるような直線です。

841132人目の素数さん2018/01/20(土) 13:28:39.53ID:urj88i9i
ごめん、もう一度訂正。

  Aから直線道路までのx軸方向の移動距離の2乗+y軸方向の移動距離の2乗
+ Bから直線道路までのx軸方向の移動距離の2乗+y軸方向の移動距離の2乗
+ Cから直線道路までのx軸方向の移動距離の2乗+y軸方向の移動距離の2乗
+ Dから直線道路までのx軸方向の移動距離の2乗+y軸方向の移動距離の2乗
+ Eから直線道路までのx軸方向の移動距離の2乗+y軸方向の移動距離の2乗

842132人目の素数さん2018/01/20(土) 22:03:01.41ID:kH6iNY66
マンハッタンじゃないじゃないか。

843132人目の素数さん2018/01/21(日) 04:26:29.48ID:SUkk+U6n
>>839

点(x_a,y_a)から直線 y = mx+n までのM距離は、
x軸方向の移動距離 と y軸方向の移動距離 のうち小さい方、つまり
min{|y_a -m x_a -n|,|(y_a -m x_a -n)/m|}

|m|≦ 1 のとき |y_a -m x_a -n|,
|m|≧ 1 のとき |(y_a -m x_a -n)/m|,

y =(x+18)/10 または y=10x-18 のとき 距離の平方和 = 99/10

844◆2VB8wsVUoo 2018/01/22(月) 00:17:07.65ID:vBTdEgh5

845◆2VB8wsVUoo 2018/01/22(月) 00:17:25.91ID:vBTdEgh5

846◆2VB8wsVUoo 2018/01/22(月) 00:17:43.88ID:vBTdEgh5

847◆2VB8wsVUoo 2018/01/22(月) 00:18:00.02ID:vBTdEgh5

848◆2VB8wsVUoo 2018/01/22(月) 00:18:15.29ID:vBTdEgh5

849◆2VB8wsVUoo 2018/01/22(月) 00:18:31.27ID:vBTdEgh5

850◆2VB8wsVUoo 2018/01/22(月) 00:18:48.82ID:vBTdEgh5

851◆2VB8wsVUoo 2018/01/22(月) 00:19:05.96ID:vBTdEgh5

852◆2VB8wsVUoo 2018/01/22(月) 00:19:23.27ID:vBTdEgh5

853◆2VB8wsVUoo 2018/01/22(月) 00:19:46.95ID:vBTdEgh5

854132人目の素数さん2018/01/22(月) 17:38:25.78ID:EFMpeTLH
>>843

M距離の和を最小にするなら、、
 y =(1/4)x + 1 のとき M距離の和 = 11/2

855132人目の素数さん2018/01/24(水) 04:13:19.14ID:9ooAixL8
>>835 >>836 補足

a ≡ a+3 ≡ ±1 (mod 3)
とすると、
aa +(a+3)^2 ≡ 1 + 1 ≡ 2 (mod 3)
一方、
cc ≡ 0,1 (mod 3)
となるので不成立。

a ≡ a+3 ≡ c ≡ 0 (mod 3)に限る。

856132人目の素数さん2018/01/26(金) 12:03:24.53ID:8Tf4BNki
作用素Hについて、固有値E_k(E_0<E_1<E_2<…)と対応する固有関数ψ_kが存在するとする
であるとする
ここで、固有値Eをもつ関数Ψが存在するとき、NE≧E_0となることを示せ。
ただしN=√(1/(∫|Ψ|^2 dx))

857132人目の素数さん2018/01/26(金) 12:06:35.17ID:8Tf4BNki
↑訂正
作用素Hについて、固有値E_k(E_0<E_1<E_2<…)と対応する固有関数ψ_k(∫|ψ|^2 dx=1)が存在するとする
ここで固有値Eをもつ関数Ψが存在するとき、NE≧E_0となることを示せ。
ただしN=√(1/(∫|Ψ|^2 dx))

858132人目の素数さん2018/01/27(土) 13:45:49.81ID:51dP2oKU
中学生でも解ける問題を一つ

半径rの円が3つあり、残り二つの円と互いに外接している。
それぞれの円の周上にP,Q,Rを取る時、三角形PQRの重心Gの動きうる範囲の面積を求めよ。

859132人目の素数さん2018/01/27(土) 15:06:08.09ID:MA43eYRM
>>857
HP0=E0P0
P=2P0
N=1/4
E=E0
1/4E0≧E0
??

860132人目の素数さん2018/01/27(土) 15:07:06.83ID:MA43eYRM
N=1/2

861132人目の素数さん2018/01/27(土) 18:09:12.75ID:me3DxH9X
P=2(p_0)だと固有値Eは2(E_0)
NE=(1/2)2(E_0)=(E_0)

862132人目の素数さん2018/01/27(土) 21:36:02.22ID:Mtp4B3bf
>>861
>P=2(p_0)だと固有値Eは2(E_0)
なんで?

863132人目の素数さん2018/01/27(土) 21:41:45.04ID:me3DxH9X
H(2(p_0))=2H(p_0)=2(E_0)(p_0)

864132人目の素数さん2018/01/27(土) 21:43:11.21ID:me3DxH9X
ちょっと問題文のほうに問題があったね
撤回

865132人目の素数さん2018/01/27(土) 21:47:10.38ID:me3DxH9X
E≧E_0となることを示せ

866132人目の素数さん2018/01/27(土) 21:59:09.92ID:me3DxH9X
あとHはエルミート

867132人目の素数さん2018/01/27(土) 22:07:23.69ID:WDfOMKEo
2の倍数または3の倍数または5の倍数でない自然数について

50番目の数字は何?

868132人目の素数さん2018/01/27(土) 22:21:48.51ID:ExPNLsIw
1-100
100-(50+33+20-16-6-10+3)=100-74=26

1-200
200-(100+66+40-33-13-20+6)=200-146=54

187,191,193,197,199

187?

869132人目の素数さん2018/01/27(土) 22:25:35.16ID:WDfOMKEo
>>868
正解

870132人目の素数さん2018/01/27(土) 22:31:46.23ID:gbbm6MqT
>>858
どうやって解いたものかと思ったが
点P、Q、Rの属する円の中心をそれぞれ点A、B、Cとする。
三角形ABCの重心をFとする
ベクトルF→A、F→B、F→Cの和は
1/3(F→A+F→B+F→C)=F→Fとなるので零ベクトル。
一方、ベクトルF→Gを考えると
F→G=1/3(F→P+F→Q+F→R)
=1/3((F→A+A→P)+(F→B+B→Q)+(F→C+C→R))
=1/3(A→P+B→Q+C→R)
ベクトルA→P、B→Q、C→RとF→P'、F→Q'、F→R'がそれぞれ等しくなるように点P'、Q'、R'をとると、
それらは点Fを中心とする半径rの円(以下円Fとする)の周にある。
F→G=1/3(F→P'+F→Q'+F→R')なので、点Gは円Fに内接する三角形P'Q'R'の重心であり、円Fの内部または周にある。(周にあるのは点P'、Q'、R'が一致するとき)
次に、
円Fの内部に任意の点Hをとるとき、線分FHのH側の延長と円Fの交点に点P'をとり、
H'→H=1/2(H→P')となるような点H'をとると、点H'は円Fの内部にあるので点H'における直線FHとの垂線は円Fと2箇所で交わり、
各々の交点に点Q'、R'をとると、三角形P'Q'R'の重心である点Gは
F→G=1/3(F→P'+F→Q'+F→R')=1/3(2(F→H')+F→R')=1/3((F→H+H→P')+2(F→H-H'→H))=F→Hとなるため
点Hと点Gが一致するように点P、Q、Rを取ることができることがわかる。
同様に円Fの周に点Gをとるには、ベクトルA→P、B→Q、C→RのすべてがF→Gと等しくなるように点P、Q、Rをとればよい。これらの点は各円の周にある。
以上のことから、点Gの存在範囲は円F、すなわち三角形ABCの重心を中心とする半径rの円の周および内部の全域と一致する。
面積はπr^2

871132人目の素数さん2018/01/27(土) 23:28:57.71ID:io9lIhrc
>>867
という数列の一般項を求めるような問題が昔数検にあったかな

872132人目の素数さん2018/01/28(日) 01:55:15.75ID:ru4HDAPy
>>871

kは非負整数とする。
a_{8k}= 30k -1,
a_{8k+1}= 30k + 1,
a_{8k+2}= 30k + 7,
a_{8k+3}= 30k + 11,
a_{8k+4}= 30k + 13.
a_{8k+5}= 30k + 17,
a_{8k+6}= 30k + 19,
a_{8k+7}= 30k + 23,

873132人目の素数さん2018/01/28(日) 02:25:15.18ID:QQEABl6G
周期30(8個)
1,7,11,13,17,19,23,29

874132人目の素数さん2018/01/28(日) 10:41:35.47ID:MjDW5aU2
>>865
なら当たり前じゃんw
固有値の中でE0が最小って
最初に書いてる

875132人目の素数さん2018/01/29(月) 15:15:53.94ID:Nr3Pwzrb
正三角形ABCの中に点Dをとる
三辺の長さがAD,BD,CDである三角形を作ったとき、その3つの角度はどうなるか?
元のA,B,C,Dで表せ

876132人目の素数さん2018/01/30(火) 06:28:00.94ID:xcx/0UYn
2円が2点で交わっているとき、2円に引いた接線の長さが等しいような点の軌跡を求めよ。(1行問題)

877132人目の素数さん2018/01/30(火) 18:33:19.75ID:fE9anC+i
直線 2ax+2by=a^2+b^2+r^2-R^2

878132人目の素数さん2018/01/30(火) 22:47:20.84ID:kRiBvn5X
田舎だから、ろくな高校なくて県内トップの高校だが高校偏差値60、俺の数学の偏差値は進研模試70、駿台模試68な俺。数学に割と自信あって来てみたらレベル高すぎて挫折。みんなは大数とか解いてるのかな( ´・ω・` )

879132人目の素数さん2018/01/31(水) 01:58:00.18ID:UkP0goc8
>>876
中心o、半径rの円と、中心O、半径Rの円があり、2点 A,B で交わるとする。
中心間の距離oO = d とおく。
oOとABは点Cで直交する。
oC =(dd+rr-RR)/2d,
OC =(dd+RR-rr)/2d,
AB = 4(r,R,d)/d,

直線AB上の点Pから
円oへの接線の長さは
 √(Po^2 - r^2)= √(PC^2 + Co^2 - r^2)= √{PC^2 -(AB/2)^2},
円Oへの接線の長さは
 √(PO^2 - R^2)= √(PC^2 + CO^2 - R^2)= √{PC^2 -(AB/2)^2},
ゆえ一致する。

答え 直線ABのうち、線分ABを除く部分。

880132人目の素数さん2018/01/31(水) 08:11:27.71ID:EIHOrY2u
差がnになるような立方数と平方数
みたいな問題に一般解ある?

881132人目の素数さん2018/02/01(木) 01:20:12.16ID:9NvJxwVa
>>880

yy =(重根をもたない3〜4次多項式)

楕円曲線と云うらしい。(楕円ではない。)
数論の中心的課題の一つ。
有理数解についての構造定理(モーデルの定理)がある。
整数解は有限個しか存在しない。

882132人目の素数さん2018/02/01(木) 01:22:06.92ID:9NvJxwVa
>>880 訂正

yy = f(x) (fは重根をもたない3〜4次多項式)

883132人目の素数さん2018/02/01(木) 02:44:13.73ID:Igkrh3Kq
nを3以上の自然数とする
円に内接するn角形で、面積が最大となるものは正n角形であることを示せ.

884132人目の素数さん2018/02/01(木) 04:12:29.84ID:ozAVSfgN
>>883
面積最大となる内接n角形が、大きさの異なる中心角(=外接円の中心における辺の両端のなす角度)を隣り合わせに持つと仮定すると、
それらに挟まれる頂点を「中心角の和の二等分線と円との交点」に置き換えた内接n角形は元の内接n角形より面積が大きいため、仮定と矛盾する
よって面積最大の内接n角形はすべての中心角の大きさが等しい
そのようなn角形は正n角形である

885132人目の素数さん2018/02/01(木) 04:36:04.06ID:YQK7w38I
>>884
なるほど
イェンゼンの不等式を使う解法を想定してたけどこんなにシンプルに解けるのか

886132人目の素数さん2018/02/01(木) 05:09:27.60ID:WltzC0iH
>>885
続けたまえ

887132人目の素数さん2018/02/01(木) 05:20:20.13ID:YQK7w38I
>>886
n角形の中心角をθ_1,...,θ_nとすれば、
Σ(i=1,n)θ_i=2πで、
0≦x≦πのとき、f(x)=sinxは上に凸
したがってイェンゼンの不等式から
n角形の面積=(1/2)Σ(i=1,n)sin(θ_i)
=(n/2)*(1/n)Σ(i=1,n)sin(θ_i)
≦(n/2)sin((1/n)Σ(i=1,n)θ_i)
=(n/2)sin(2π/n)

で等号成立はθ_1=...=θ_nのとき

みたいなのを想定してました

888132人目の素数さん2018/02/01(木) 10:30:28.47ID:ozAVSfgN
>>887
その方法もありかな
ただθiの取りうる範囲が0<θi<2πで、sinθiが上に凸でない区間を含むのでイェンゼンの不等式を使う前にもうひと工夫要る

889132人目の素数さん2018/02/01(木) 10:52:13.85ID:4D0Z8f3F
>>888
中心角がθ_i>πとすると辺が反対側になるからθ_i<πとしても問題無いと思う

890132人目の素数さん2018/02/03(土) 06:00:26.28ID:ZbURmVBy
>>884
この方法で言えることは、

「正n角形でないn角形は面積最大になり得ない」

ということに過ぎなくて、正n角形が面積最大なのかは、この方法からは分からない。
つまり、正n角形が他のn角形と比較して必ず大きくなっているのかは、
この方法からは分からない。

ただし、面積最大の多角形が「存在する」ことが別途証明してあるなら、
この方法と合わせることで、正n角形が面積最大だと分かる。

891132人目の素数さん2018/02/03(土) 08:00:05.58ID:SRNC+iev
>>890
円周の1点P0と、点P0と中心角2πk/nをなす円周上の点Pk(1≦k<n)を順に結んでできるn角形は円に内接する正n角形となる(存在性)
円に内接するn角形で、正n角形より面積の大きいものが存在すると仮定する。そのようなn角形は>>884の主張により正n角形でなければならない
円に内接するn角形は、円の中心から頂点までの距離が円の半径に等しい
円の中心と内接正n角形の各辺の両端を頂点とする三角形は中心角2π/nとそれを挟む辺が等しいため互いに合同である
この三角形の面積をS1とすると、同一の円に内接する正n角形はいずれも等しい面積nS1をもつこととなる。この性質は元の正n角形についても成立する
同一円に内接する正n角形の面積が互いに等しい事実は元の仮定と矛盾する(背理法)
円に内接する正n角形は存在し、正n角形より面積の大きいn角形は存在しない。よって正n角形は条件を満たす最大のn角形である

892132人目の素数さん2018/02/03(土) 09:12:03.68ID:ZbURmVBy
>>891
間違っている。

(1) 円に内接するn角形で、正n角形より面積の大きいものが存在すると仮定する。
(2) そのようなn角形は>>884の主張により正n角形でなければならない

この2行について、(1)から(2)への推論の仕方が間違っている。
(1)では、正n角形より面積の大きいn角形(面積最大とは限らないn角形)を
仮定しているだけなので、そのn角形に対しては >>884 は適用できない。
>>884 を使って(2)を推論するためには、もともとの(1)を

(1)' 円に内接する面積最大のn角形は正n角形でないと仮定する。

としなければならない。しかし、これでは面積が最大のn角形の「存在性」を
最初に仮定してしまっているので意味が無い。

893132人目の素数さん2018/02/03(土) 09:18:00.24ID:ZbURmVBy
面積最大のn角形が「存在する」ことを証明するには、たとえば >>887 を拝借して、

A = { (θ_1,...,θ_n)|θ_i≧0, Σ(i=1,n)θ_i=2π }

S:A → R

S(θ_1,...,θ_n) = (1/2)Σ(i=1,n)sin(θ_i)

として関数 S を定義すればよい。このとき、S は A 上の連続関数であり、
かつ A はコンパクトなので、S は最大値を持つことが分かる。
すなわち、面積最大のn角形は「存在する」ことが分かる。

……というように、面積最大のn角形の「存在性」を言うには、
それなりの抽象論が必要になって、なかなか初等的にはいかない。

初等的に済むのは、>>887 のように、ある種の不等式を使って、
直接的に「正n角形が面積最大」を示すことである。

そういう方法ではない、>>884 のような方針を使う場合には、
面積最大のn角形の「存在性」を示す必要があって、
そうすると上記のように それなりの抽象論が必要になる。

894132人目の素数さん2018/02/03(土) 09:27:16.78ID:SRNC+iev
>>892
>としなければならない。しかし、これでは面積が最大のn角形の「存在性」を
>最初に仮定してしまっている

していませんよ

895132人目の素数さん2018/02/03(土) 09:31:23.85ID:ZbURmVBy
>>894
もともとの(1)では仮定していないが、その(1)では(2)が推論できずに失敗するので、
(2)を推論したければ (1)' に修正しなければならない。しかし、(1)' では
面積が最大のn角形の「存在性」を仮定してしまっているので、これでは意味が無い。

結局、>>891のやり方はいずれにしても失敗する、ということ。

896132人目の素数さん2018/02/03(土) 09:45:17.33ID:SRNC+iev
それじゃ>>884を引用せずにやりますかの

円周の1点P0と、点P0と中心角2πk/nをなす円周上の点Pk(1≦k<n)を順に結んでできるn角形は円に内接する正n角形となる(存在性)
円に内接するn角形で、正n角形より面積の大きいものが存在すると仮定する。そのようなn角形は辺ごとに中心角が異なっていてはならないため正n角形でなければならない
円に内接するn角形は、円の中心から頂点までの距離が円の半径に等しい
円の中心と内接正n角形の各辺の両端を頂点とする三角形は中心角2π/nとそれを挟む辺が等しいため互いに合同である
この三角形の面積をS1とすると、同一の円に内接する正n角形はいずれも等しい面積nS1をもつこととなる。この性質は元の正n角形についても成立する
同一円に内接する正n角形の面積が互いに等しい事実は元の仮定と矛盾する(背理法)
円に内接する正n角形は存在し、正n角形より面積の大きいn角形は存在しない。よって正n角形は条件を満たす最大のn角形である

897132人目の素数さん2018/02/03(土) 09:49:46.47ID:ZbURmVBy
>>896
(1) 円に内接するn角形で、正n角形より面積の大きいものが存在すると仮定する。
(2) そのようなn角形は辺ごとに中心角が異なっていてはならないため正n角形でなければならない

(1)から(2)への推論が間違っている。(1)に>>884と同じことをしても、(2)は出て来ない。

898132人目の素数さん2018/02/03(土) 09:51:36.31ID:qEUwhi6H
>円に内接するn角形で、正n角形より面積の大きいものが存在すると仮定する。そのようなn角形は辺ごとに中心角が異なっていてはならないため
そうはならないね。中心角が異なるn角形よりさらに大きなn角形が存在することしかいえない

899132人目の素数さん2018/02/03(土) 10:02:10.08ID:SRNC+iev
わかりました
結局は>>884の論法を拝借しても証明できないということですね。残念

900132人目の素数さん2018/02/03(土) 10:21:37.36ID:NEmce2OD
>>893
n角形の面積が頂点の位置の連続関数かつ有界
ってことが言えれば>>884のやり方でも良いの?

901132人目の素数さん2018/02/03(土) 10:33:56.24ID:ZbURmVBy
>>900
面積最大のn角形が「存在する」ことが別途証明できているなら、>>884のやり方でよい。
で、面積最大のn角形が「存在する」ことの証明法の1つが>>893


> n角形の面積が頂点の位置の連続関数かつ有界

「連続かつ有界な関数」は最大値を持つとは限らないので、その条件ではダメ。
「コンパクト集合上の連続関数」は最大値を持つので、チェックすべきはこっち。
>>893 の設定だと、A はコンパクトで S:A → R は連続なので、S は最大値を持ち、
よって面積最大のn角形が存在することになる。

9028652018/02/03(土) 13:22:15.84ID:bx+/cqz+
>>874
リッツの変分原理を回りくどく出題したんだよね…

903132人目の素数さん2018/02/03(土) 20:34:33.26ID:vz2cYDpM
>>875の答え
新しい三角形の3つの角は
∠ADB-60°
∠BDC-60°
∠CDA-60°
元の正三角形を2つくっつけると容易に導ける
https://youtu.be/dF67AJH9mjM

904132人目の素数さん2018/02/04(日) 01:13:03.83ID:1AYVpyrY
>>902
新旧リッツの変分は、ルヴァンに忠実に含まれている。

905132人目の素数さん2018/02/05(月) 04:29:09.80ID:tjkCYLNc
>>888-889
 θ_i > πの辺があるとき

・n=3 のとき
 その辺の長さ <2,高さ <1 面積 <1
 一方、正△の面積は(3/2)sin(2π/3)=(3√3)/4 > 1

・n≧4 のとき
 n角形は半円の内部に収まるから、面積 < π/2
 一方、正n角形の面積は(n/2)sin(2π/n)≧ 2  (←(sinθ)/θ ≧ 2/π)

いずれの場合も面積最大ではない。

>>903

△ABCを頂点Aのまわりに60°回す。
 B→C,C→E,D→F

△ADFは正△

906132人目の素数さん2018/02/06(火) 02:54:03.11ID:7rgGAmy4
(12371^56 + 34)^28 を 243 で割った余りを求めよ。

907132人目の素数さん2018/02/06(火) 06:10:07.43ID:7rgGAmy4
自然数nの各位の数字の和をS(n)とおくとき、S(n^2) = S(n)-7をみたすnの最小値を求めよ。

908132人目の素数さん2018/02/06(火) 16:49:32.36ID:Yc2MOlIU
番外編第2問 完全なるネタ問です。暇な時にでもどうぞ。

[2'](オリジナル)

x,yを自然数とする。

 x^2 - y^2 =(x+y)(x-y)
 
  を、「xy」を出現させずに示せ。

>>906
 12371 ≡ -22 (mod 243)
 (-22)^56 ≡ -83 (mod 243)
 (-83+34)^28 ≡ (-49)^28 ≡ 130 (mod 243)

(twitter.com/perfectly08641086/)

909132人目の素数さん2018/02/06(火) 17:11:52.86ID:Yc2MOlIU
>>907

n=149, S(149)= 14, S(22201)= 7

910132人目の素数さん2018/02/06(火) 17:24:47.10ID:tIuHS797
>>908
x=(x+y)-y

911132人目の素数さん2018/02/06(火) 22:22:11.96ID:5Qv839bR
>>879
遅くなったが○(必要性(AB上の点だけである)を言ってないが)


2交点を通る直線の、円の外部にある部分(1行解答)

912132人目の素数さん2018/02/07(水) 05:11:06.72ID:hJs29j8F
[5]
n,k を自然数とする。
次の条件を満たす k の値をすべて求めよ。
「n,n+k がともに平方数となるような n がただ一つに定まる。」

(日本ジュニア数学オリンピック2014年、予選 第6問 他 アレンジ)
http://twitter.com/perfect08641086/

913132人目の素数さん2018/02/07(水) 07:11:10.59ID:N1eeF5xg
>>912
以下、自然数とは正整数のこととする。
n=NN,n+k=MMである自然数N,Mが存在する場合、k=(n+k)-n=MM-NN=(M+N)(M-N)となる
よって、kに対してkがM+NとM-Nの積となるような自然数の組(M,N)が1通りに定まる場合を求める
M+NとM-Nはともに異なる奇数であるか、ともに異なる偶数である
1)M+NとM-Nがともに異なる奇数である場合
kは奇数である。
kが3以上の異なる奇数K,L(K>L>1)の積KLである場合、
(M,N)=((KL+1)/2,(KL-1)/2),((K+L)/2,(K-L)/2)の少なくとも2通りの解がある
k=1の場合、M+N=M-N=1のため題意を満たさない
これらを除くとkが奇素数または奇素数の平方である場合のみ、単一解(M,N)=((k+1)/2,(k-1)/2)をもつ
2)M+NとM-Nがともに異なる偶数である場合
kは4の倍数である。
kが4以上の異なる偶数2K,2L(K>L>1)の積4KLである場合、
(M,N)=(KL+1,KL-1),(K+L,K-L)の少なくとも2通りの解がある
k=4の場合、M+N=M-N=2のため題意を満たさない
これらを除くとk/4が素数または素数の平方である場合のみ、単一解(M,N)=(k/4+1,k/4-1)をもつ
上記より、kは奇素数、奇素数の平方、素数の4倍、素数の平方の4倍のいずれかである。

9142682018/02/07(水) 09:46:09.13ID:ToZYT75j
>>268の解答

(1)
k=(aa+a+1)/(a+8)=a-7+57/(a+8)
57/(a+8)が整数になる自然数aはa=11,49

(2)
kが自然数ならば2kも自然数
2k=2(2aa+a+2)/(4a+9)=a-1+(-3a+13)/(4a+9)
a≧1で-1<(-3a+13)/(4a+9)<1かつaが整数のとき(-3a+13)/(4a+9)≠0だから、
aが自然数のとき2kが自然数になることはない。
よってkが自然数になることはない。

(3)
(i) b(aab+a+b)=aabb+ab+bb≦aabb+ab+abb<aabb+ab+7a+abb+b+7=(a+1)(abb+b+7)
∴(aab+a+b)/(abb+b+7)<(a+1)/b
(ii)
(a-1)(abb+b+7)/b=aab+a+7a/b-ab-1-7/b=aab+a-a(b-7/b)-1-7/b<aab+a-1-7/b<
=aab+a+b
∴(a-1)/b<(aab+a+b)/(abb+b+7)
(iii)
(a/b-1/b)<k<(a/b+1/b)より(a-1)<bk<(a+1)
a-1,a+1,bkはいずれも整数だからbk=a
(iv)
元の式よりk=(bbbkk+bk+b)/(bbbk+b+7)
∴bbbkk+bk+7k=bbbkk+bk+b⇔b=7k

確かに(a,b)=(11,1),(49,1),(7kk,7k)のときkは自然数である。

出典:IMO1998-4
誘導は勝手につけた

9152682018/02/07(水) 09:56:38.30ID:ToZYT75j
で、本題なんだが、前スレで268を出題するつもりが、ミスにより

(a^2+a+b)/(ab^2+b+7)が自然数となるような自然数の組を求めよ

という問題文になってしまった(分子の第1項が違う)。
仕方なく解いてみたのだが、色々やってもa,bを上から抑えられずうまくいかなかった。
誰か挑戦してみてください。

====================

【途中経過】

あるbを与えられたとき、aは次のように求められる。

kを自然数として
(a^2+a+b)/((b^2)a+b+7)=k
⇔a^2+(1-(b^2)k)a+b-bk-7k=0 …★
aが自然数解を持つための必要条件は判別式が平方数だから、mを非負整数として
(1-(b^2)k)^2-4(b-bk-7k)=m^2
⇔…
⇔((b^4)k-b^2+2b+14+m)((b^4)k-b^2+2b+14-m)=4(b^5-b^3-6b^2+14b+49)

例えばb=1のとき、右辺は228
素因数分解して左辺の候補を絞ると(k,m)=(7,16),(43,56)
★にkを代入すると
k=7のときa=11,-5
k=43のときa=49,-7
よって(a,b)=(11,1),(49,1)を得る。
これらは確かに与式を満たす。

この方法でb=10まで確認したところ、(a,b)=(11,1),(49,1),(17,2),(27,3)を得た。

916132人目の素数さん2018/02/07(水) 11:24:10.23ID:RLIi/erX
>>915
(1-(b^2)k)^2-4(b-bk-7k)=m^2
⇔…
⇔((b^4)k-b^2+2b+14+m)((b^4)k-b^2+2b+14-m)=4(b^5-b^3-6b^2+14b+49)
のところがわからない
(1-(b^2)k)^2-4(b-bk-7k)≡((b^4)k-b^2+2b+14)^2-4(b^5-b^3-6b^2+14b+49)
と言ってるように見えるけどそうなの?

9172682018/02/07(水) 11:32:06.68ID:/xZxX6e1
展開してみると一致するのがわかる

9182682018/02/07(水) 11:53:29.64ID:/xZxX6e1
いや
最初に両辺にb^4かけてM=(b^2)mで置き換えてた
すまんな

(b^4)((1-(b^2)k)^2-4(b-bk-7k))=M^2=((b^4)k-b^2+2b+14)^2-4(b^5-b^3-6b^2+14b+49)

919132人目の素数さん2018/02/07(水) 14:31:49.31ID:RLIi/erX
>>918
わかりました
(1-(b^2)k)^2-4(b-bk-7k)=m^2 を k の2次方程式と見たときの判別式が
4(b^5-b^3-6b^2+14b+49)+((b^2)m)^2
ですが、これが平方数であって、
((b^4)k-b^2+2b+14)^2に等しいという言い方もできるわけですね

920132人目の素数さん2018/02/07(水) 16:18:34.01ID:RLIi/erX
>>915
a,bを自然数として、k=f(a,b)=(a^2+a+b)/(ab^2+b+7)とする
1) bが一定のとき、a≧bの範囲でf(a,b)はaについて単調増加であることを示せ
2) b≧4、n≧1のとき、f(nb^2-1,b)<nを示せ
3) b≧4、n≧1のとき、f(nb^2,b)>nを示せ
4) a≧1、b≧4の自然数について、f(a,b)は自然数とならないことを示せ

こんな感じですかね

921132人目の素数さん2018/02/08(木) 02:02:08.73ID:B/BL4khY
>>913
正解です!

922132人目の素数さん2018/02/08(木) 10:16:48.21ID:FamPdXrc
球面上でランダムに選んだ4点からなる四面体が球面の中心を含む確率を求めよ。
厳密でなくてよい。エレガントな解答がある。

923132人目の素数さん2018/02/08(木) 10:35:32.87ID:KjVcfdlC
なんとなく15/16?

924132人目の素数さん2018/02/08(木) 11:19:12.25ID:DJohvmqw
>>922
1/8かな
四面体のどの2頂点を選んでも、その2頂点を通る大円で分けられたそれぞれの半球面に残りの2頂点が1つずつ含まれることが、四面体が中心を含むための必要充分条件となる
3つの頂点をランダムに選んだとき、4つ目の頂点はそれら3つの頂点から2つを選んでできる3通りの大円について、1/2の確率で頂点のない半球に置かれる
点の選び方がランダムなので、大円の取り方は互いに独立と考えてよく、結果、四面体が円の中心を含む確率は(1/2)^3=1/8となる

925132人目の素数さん2018/02/08(木) 11:45:16.91ID:Jvsagswg
ベルトランの逆説と同じような事態にはならんのか?

926132人目の素数さん2018/02/08(木) 12:03:21.48ID:kp9W/haN
当然球面上の一様分布で考えようから
ならんよ

927132人目の素数さん2018/02/08(木) 16:31:09.97ID:O4Qrpcje
>>924
>> 四面体のどの2頂点を選んでも、その2頂点を通る大円で分けられたそれぞれの半球面に残りの2頂点が
>> 1つずつ含まれることが、四面体が中心を含むための必要充分条件となる

必要条件だけど、十分条件ではないよ

928132人目の素数さん2018/02/08(木) 18:04:27.66ID:YTD6ywQx
円と三角形の場合でまず考えたら?

929132人目の素数さん2018/02/08(木) 21:47:07.53ID:oi+h1F3T
>>924
1/8正解
前半の必要十分条件については、特に反例は思い付かない

3本の直径と1個の点Pをランダムに選ぶ
それぞれの直径の端点を1つずつ選ぶ方法は2^3=8通りあるが、出来上がった四面体が球面の中心を含むのは1つのみ(選ばれなかった端点からなる球面三角形上にPがあるとき)
よって1/8

パトナム競争の問題
https://mks.mff.cuni.cz/kalva/putnam/psoln/psol926.html
この動画でも解説されている(円と三角形の場合から始めている)
https://youtu.be/OkmNXy7er84

930132人目の素数さん2018/02/09(金) 07:37:01.95ID:17ymJrhU
互いに素なa、b∈Zと、任意のn∈Zに対して、ax+bとnが互いに素であるようなx∈Zが存在することを示せ。

931132人目の素数さん2018/02/09(金) 10:13:24.55ID:a7Eou/Nb
>>930
任意のn∈Zというが、n=0は除く必要がある

932132人目の素数さん2018/02/09(金) 23:13:52.78ID:17ymJrhU
オイラーのφ関数について、gcd(a,b) = d >1 ならば、φ(ab)φ(g) = φ(a)φ(b)・d を示せ。

933132人目の素数さん2018/02/10(土) 00:37:34.68ID:JLwIa9Z8
>>932
gcd(a,b)= d > 1 というが、a,bの一方だけを割り切るような素数がある場合は除く必要がある

934132人目の素数さん2018/02/10(土) 01:56:05.67ID:p8fUG64o
>>933
なぜ?

935132人目の素数さん2018/02/10(土) 07:33:02.12ID:MY7c6GmE
>>932
g=dと考えていい?
正整数a,bについてgcd(a,b)=dのときφ(ab)φ(d)=φ(a)φ(b)・dを示す。
正整数nについて、その素因数を{Pm}とするとき、φ(n)=n・Π{Pm}(1-1/Pm)
bと素である最大のaの約数をa1とする。
aと素である最大のbの約数をb1とする。
a1の素因数を{Ax}、b1の素因数を{By}、dの素因数を{Dz}とすると、
aの素因数は{Ax}∪{Dz}、bの素因数は{By}∪{Dz}である。
a1,b1はそれぞれdと素である。つまり、{Ax}∩{Dz},{By}∩{Dz}はいずれも要素を持たない。
a1とb1は素である。つまり、{Ax}∩{By}は要素を持たない。
a2=a/a1、b2=b/b1となる整数a2,b2があり、それぞれはdの倍数であるから、
a3=a2/d、b3=b2/dとなる整数a3,b3がある。
a=a1・a3・d、b=b1・b3・dとなる。
以上のことから、n=d,a,b,abについてφ(n)は以下となる。
φ(d)=dΠ{Dz}(1-1/Dz)
φ(a)=φ(a1・a3・d)=a1・a3・d・Π{Ax}(1-1/Ax)Π{Dz}(1-1/Dz)=a1・a3・φ(d)・Π{Ax}(1-1/Ax)
φ(b)=φ(b1・b3・d)=b1・b3・d・Π{By}(1-1/By)Π{Dz}(1-1/Dz)=b1・b3・φ(d)・Π{By}(1-1/By)
φ(ab)=φ(a1・a3・d・b1・b3・d)=a1・a3・d・b1・b3・d・Π{Ax}(1-1/Ax)Π{By}(1-1/By)Π{Dz}(1-1/Dz)
=(φ(a)/φ(d))(φ(b)/φ(d))φ(d)・d=(φ(a)φ(b)・d)/φ(d)
よって、φ(ab)φ(d)=φ(a)φ(b)・d

936DJ学術 2018/02/10(土) 08:37:19.43ID:63PiesU1
わからんのか。フィーリングで速読してみろ。

937132人目の素数さん2018/02/10(土) 12:00:09.69ID:R1D7D1fh
lim[n→+∞] (1+(1/n))^n ≡ e (★)
lim[n→-∞] (1+(1/n))^n = e
lim[n→+0] (1+(1/n))^n = 1
lim[n→-0] (1+(1/n))^n = 1

lim[n→+∞] (1-(1/n))^n = 1/e
lim[n→-∞] (1-(1/n))^n = 1/e
lim[n→+0] (1-(1/n))^n = 1
lim[n→-0] (1-(1/n))^n = 1

lim[n→+∞] (1+n)^(1/n) =1
lim[n→+0] (1+n)^(1/n) = e
lim[n→-0] (1+n)^(1/n) = e

lim[n→-∞] (1-n)^(1/n) =1
lim[n→+0] (1-n)^(1/n) = 1/e
lim[n→-0] (1-n)^(1/n) = 1/e

★を定義として残りの式を示せ

938132人目の素数さん2018/02/10(土) 13:49:42.01ID:eO8qQVZO
面白いのか?

939132人目の素数さん2018/02/10(土) 14:39:29.12ID:JLwIa9Z8
オイラーのφ関数は乗法的だから、素数pごとに分けて考えてよい。
 (ab/d)・d = a・b
より
 φ(ab/d)・φ(d) = φ(a)・φ(b)

 φ(n) = n・Π{p_m|n} (1-1/p_m) を使う。


>>937

lim [n→+∞] (1 + 1/n)^(n + 1/2) ≡ e   (☆)
の方がカコイイ

940132人目の素数さん2018/02/10(土) 14:58:04.94ID:SG8Nnt8l
>>939
乗法的?
φ(2)=φ(3)=1
φ(6)=2≠φ(2)φ(3)

941132人目の素数さん2018/02/10(土) 15:03:18.71ID:VcDtRhPJ
>>940
>φ(3)=1

942132人目の素数さん2018/02/10(土) 15:04:45.15ID:SG8Nnt8l
>>940
間違えた
φ(2)=1
φ(4)=2≠φ(2)φ(2)

943132人目の素数さん2018/02/10(土) 15:07:41.85ID:SG8Nnt8l
>>941
φ(3)=2ね
φ(9)=6≠φ(3)φ(3)

944132人目の素数さん2018/02/10(土) 15:28:50.93ID:VcDtRhPJ
>>942
数論的関数の乗法性の定義を知らないのか

945132人目の素数さん2018/02/10(土) 19:13:51.53ID:p8fUG64o
>>942
実に実に実に実に実にぃ〜怠惰デスネ! 一から、いえゼロから勉強し直してくるのです!

946132人目の素数さん2018/02/11(日) 01:47:44.56ID:jr8eNYeJ
思いついた問題はあるんだけど
出題するタイミングが分かんないんだよね

ここ2,3日に出た問題にレスが付かなそうだったら投下する

947132人目の素数さん2018/02/11(日) 01:58:52.82ID:oyQM1khy
>>932
d|(ab/d)
つまり、ab/d は d の素因数をすべて含んでいる。
φ(ab/d)= φ(ab)/d,
>>939 にこれを使えば出るらしいよ。

948132人目の素数さん2018/02/11(日) 12:51:57.50ID:zE0RtHGg
暇なときにでもどうぞ

例えば8だと転置しても基本変形後の行列が変わらない事、及びσが置換全体を走る時σ^(-1)が置換全体を走る事使えば良いんですかね?
13は固有値使うと早いのかな?
17は基本変形を施す行列が正則であることから示せるね
...のような感じで答えてくださって構わないです


https://i.imgur.com/mMPwhK0.jpg

949132人目の素数さん2018/02/11(日) 13:12:04.08ID:T9JK+LpN
>>948
書名は?

950132人目の素数さん2018/02/11(日) 14:46:04.95ID:14fB0Cxv
signature by the auther

951132人目の素数さん2018/02/11(日) 14:48:26.10ID:lsbQUPFq
>>932
φ(a)=a(1-1/p1)...(1-1/pi)(1-1/q1)...(1-1/qj)
φ(b)=b(1-1/p1)...(1-1/pi)(1-1/r1)...(1-1/rk)
φ(d)=d(1-1/p1)...(1-1/pi)
φ(ab)=ab(1-1/p1)...(1-1/pi)(1-1/q1)...(1-1/qj)(1-1/r1)...(1-1/rk)
φ(ab)φ(d)/φ(a)φ(b)=d

952132人目の素数さん2018/02/11(日) 15:51:15.08ID:lsbQUPFq
>>939
> (ab/d)・d = a・b
>より
> φ(ab/d)・φ(d) = φ(a)・φ(b)
これってdがaやbとどういう関係の時に成り立つの?

953132人目の素数さん2018/02/11(日) 16:24:21.30ID:oyQM1khy
>>952
gcd(a,b) = d のとき

954132人目の素数さん2018/02/11(日) 17:21:31.53ID:T9JK+LpN
問題文読めとしか言えんな。

955132人目の素数さん2018/02/11(日) 18:09:51.25ID:lsbQUPFq
>>953
d=gcd(a,b)のときだけじゃなく
d=aやd=bのときもだけど?

956132人目の素数さん2018/02/11(日) 18:12:20.27ID:lsbQUPFq
>>953
それとその等式が
d=gcd(a,b)
のときに成り立つことの証明は
結局の所それを使わず
φ(ab)φ(d)=φ(a)φ(b)d
を証明するのと同じじゃないの?

957132人目の素数さん2018/02/13(火) 04:44:01.92ID:nn3laMHF
【懸賞問題】

ab平面上の図形Aに対して、xy平面上の点の集合Bを
B={(x,y) | ∀(a,b)∈A, |ax+by|≦1}
と定義する。

Aが単位円のとき、Bはどのような図形になるか?(Aの面積)*(Bの面積)はいくつか?これより大きくなる例を見つけた場合1億円差し上げます。

Aが{(a,b) | |x|≦1, |y|≦1}の正方形のとき、Bはどのような図形になるか?(Aの面積)*(Bの面積)はいくつか?これより小さくなる例を見つけた場合1億円差し上げます。

958132人目の素数さん2018/02/13(火) 05:17:38.32ID:nn3laMHF
訂正
下の設問はA={(a,b) | |a|≦1, |b|≦1}

959132人目の素数さん2018/02/13(火) 05:22:30.15ID:nn3laMHF
【懸賞問題その2】

abc空間上の図形Aに対して、xyz空間上の点の集合Bを
B={(x,y,z) | ∀(a,b,c)∈A, |ax+by+cz|≦1}
と定義する。

Aが単位球のとき、Bはどのような図形になるか?(Aの体積)*(Bの体積)はいくつか?これより大きくなる例を見つけた場合1億円差し上げます。

Aが{(a,b,c) | |a|≦1, |b|≦1, |c|≦1}の立方体のとき、Bはどのような図形になるか?(Aの体積)*(Bの体積)はいくつか?これより小さくなる例を見つけた場合は教えてください。

960132人目の素数さん2018/02/13(火) 08:16:24.16ID:BwPDiADw
>>957
A={(1,0),(0,1)}
(Aの面積)*(Bの面積)=0

961132人目の素数さん2018/02/13(火) 16:29:32.11ID:MRRgZbNg
それは面積を持たないし、平面図形じゃないですね。
Aは中身のつまった面積のある図形です。

962132人目の素数さん2018/02/13(火) 17:22:04.99ID:BwPDiADw
頭の悪い奴だな
そんな条件はないし面積0を持ってる
面積0とかが嫌なら少し膨らませて長方形とかにすればいい

963132人目の素数さん2018/02/13(火) 17:25:27.30ID:NuFkq5VM
一億円ホントに持ってんだろうな?

964132人目の素数さん2018/02/13(火) 17:28:26.39ID:gxVfB1/i
>>962
試しにその少し膨らませた長方形で計算してみてください。

965132人目の素数さん2018/02/13(火) 17:50:37.35ID:BwPDiADw
A={(a,b)|1≦a+b≦1+t,-1≦a-b≦1}
B⊂{(x,y)||1x+0y|≦1,|0x+1y|≦1}={(x,y)||x|≦1,|y|≦1}

Aの面積=t
Bの面積≦4

(Aの面積)*(Bの面積)≦4t

966132人目の素数さん2018/02/13(火) 17:57:58.05ID:gxVfB1/i
>>965
Bのほうは誤りですね

967132人目の素数さん2018/02/13(火) 18:09:17.70ID:BwPDiADw
>>966
どれが間違い

(1) B⊂{(x,y)||1x+0y|≦1,|0x+1y|≦1}
(2) {(x,y)||1x+0y|≦1,|0x+1y|≦1}={(x,y)||x|≦1,|y|≦1}
(3) {(x,y)||x|≦1,|y|≦1}の面積は4
(4) Bの面積≦4

968132人目の素数さん2018/02/13(火) 18:38:24.47ID:gxVfB1/i
(1)です。

969132人目の素数さん2018/02/13(火) 19:53:14.08ID:6niM5lNE
やはりこのスレのレベルでは手に終えないようですね。
有効な回答が出ないようなので、懸賞問題は締切とさせていただきます。
次回にご期待ください。

970132人目の素数さん2018/02/14(水) 01:32:03.09ID:ZgrnGGF4
gcd(a,b)=1 をみたす a、b∈Z と、任意の n∈Z (n≠0) に対して、gcd(ax+b,n)=1 をみたす x∈Z が存在することを示せ。

971132人目の素数さん2018/02/15(木) 04:49:41.27ID:tNBf7zgk
>>970

n≠0 の約数のうち、bと素な最大の約数をxとする。(*)
gcd(ax+b,x)=gcd(b,x)= 1  … (1)

また、題意より
gcd(a,b)= 1,
gcd(ax+b,b)= gcd(ax,b)= 1,
n/x の素因数はすべてbの素因数だから  ←(*)
gcd(ax+b,n/x)= 1 … (2)

(1)(2)より、
gcd(ax+b,n)= 1.

972132人目の素数さん2018/02/15(木) 10:50:44.52ID:BNcyv0HF
検算において、九去法よりも11去法の方が誤りの検出力が強いのは何故か?

973132人目の素数さん2018/02/15(木) 12:22:29.92ID:9GXVdFDs
九去法は数字の入れ換えを検出できない

974132人目の素数さん2018/02/16(金) 04:00:17.83ID:XBulL9Eh
簡単に解ける幾何の問題を一つ作ってみた
問.点Oを中心とする半径1の円と、点Aがあり、OA=2とする。
円周上に点P,Q,Rをとり、Oから直線APへの距離は1/2とする。
また、AP上P側に点XをAX=5となるように取り、
さらに、AQ上、AR上それぞれQ,R側に点Y,Zを取ると、
四角形PQYX,及び四角形QRZYはそれぞれ円に内接するという。
∠XYZ=120°の時、XZの長さを求めよ。

975132人目の素数さん2018/02/18(日) 05:13:40.49ID:3SEy6oaf
(1) 0<θ<πで、2-2cosθと(sinθ)^2の大小を比較せよ。
(2) πを下から抑えるとき、円に内接する正多角形の周長と面積のどちらを用いるのがよいか。
(3) πを上から抑えるとき、円に外接する正多角形の周長と面積のどちらを用いるのがよいか。

(参考)
一般の平面図形で、与えられた周長で面積が最大となるものは円である(等周問題)。
従って、ある平面図形の周長が2πより短いとき、(周長の半分の数値)>(面積の数値)である。

976132人目の素数さん2018/02/18(日) 06:31:15.01ID:3BoN6Yxt
>>975
(1)
(2-2cosθ)-(sinθ)^2=(1-cosθ)^2
0<θ<πで、cosθ<1なので2-2cosθ>(sinθ)^2

977132人目の素数さん2018/02/18(日) 07:36:49.45ID:ThRmH7UL
>>974は面白くない?

978132人目の素数さん2018/02/18(日) 07:52:11.70ID:cwS1ZbkW
レスがつかなかったということは?

979DJ学術 2018/02/18(日) 08:32:28.36ID:qgnnmKYh
あほなもんだなあ。数学は。我ながら。

980132人目の素数さん2018/02/18(日) 10:36:49.37ID:qShdtbzi
平面上にn個の異なる点を配置する。何の2点間の距離も、必ず或る2つの実数値の何方かを取るようにn個の点を配置することを考える。n=3の時は、二等辺三角形をなす様に配置する例がある。

1) n=4の時、点の配置を全て求めよ。
2) n=5の時、点の配置は正五角形に限ると言えるか。
3) n=6の時、条件を満たす点は位置は存在しないことを示せ。

981132人目の素数さん2018/02/18(日) 13:49:43.04ID:e4NqLH6n
>>980
1)
・正3角形+その中心  (√3)
・正方形  (√2)
・正5角形−1頂点  (√5 -1)
・60°の菱形:合同な2つの正3角形を辺で張り合わせた形 (√3)

982132人目の素数さん2018/02/18(日) 14:34:58.79ID:3BoN6Yxt
>>981
正三角形の頂点3つと、その1つから対向する辺へ垂線を下ろしたとき、その垂線の延長線上に4つ目の点の候補があと2つある

983132人目の素数さん2018/02/18(日) 15:06:38.42ID:3BoN6Yxt
>>982
こう言い変えてみる
平面上の円に対して
・中心角30度をなして等間隔に並ぶ円周上の3点および円の中心
・中心角60度をなして等間隔に並ぶ円周上の3点および円の中心(>>980の4番目の解)
・中心角72度をなして等間隔に並ぶ円周上の4点(>>980の3番目の解)
・中心角90度をなして等間隔に並ぶ円周上の4点(>>980の2番目の解)
・中心角120度をなして等間隔に並ぶ円周上の3点および円の中心(>>980の1番目の解)
・中心角165度をなして等間隔に並ぶ円周上の3点および円の中心

984132人目の素数さん2018/02/18(日) 15:08:45.21ID:3BoN6Yxt
>>983
アンカー間違えた>>981宛ね

985132人目の素数さん2018/02/18(日) 15:35:21.76ID:e4NqLH6n
>>982
1)
・正三角形(辺長=L)と、1頂点から対辺の方向に±Lだけずれた点。((√3 干1)/√2 = 2sin(45゚干30゚)

986132人目の素数さん2018/02/18(日) 15:40:09.07ID:qShdtbzi
我ながら素敵な問題なので皆さん頑張って下さい
エレガントな解を待っています

987132人目の素数さん2018/02/18(日) 16:28:14.33ID:3BoN6Yxt
3次元でやるとどうなるかってのが興味深い

ところで次スレたてられる人いますか?

988132人目の素数さん2018/02/18(日) 21:24:15.16ID:i8Ar5mh5
974
そんな難しいかね。簡単にとける思うんだけど。

989132人目の素数さん2018/02/18(日) 23:04:15.61ID:gINNEtP1
このスレで解かれずに残ってる問題一覧:

990132人目の素数さん2018/02/19(月) 00:15:11.67ID:uzLAXv/z
各自で次スレに転載すればよし

991132人目の素数さん2018/02/19(月) 00:22:02.99ID:uzLAXv/z
このスレは実質25スレ目だから

次スレ
面白い問題おしえて〜な 26問目
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1518967270/

992132人目の素数さん2018/02/19(月) 01:08:01.47ID:/8jC6j7+
>>980
(2)
5点のうちの1点を取り去れば、(1)のどれかになるはず。 >>983

>>991
スレ立て乙

993132人目の素数さん2018/02/19(月) 15:24:25.97ID:sUgpud4p
>>987
三次元で点4つの場合
・四面すべてが合同な二等辺三角形である四面体の各頂点
・少なくとも2枚の面が正三角形である四面体の各頂点
・正三角形を底面に持ち、残りの頂点から底面に下ろした垂線の足が底面の重心と一致する四面体の各頂点
・正三角形を底面に持ち、少なくとも1つの斜辺の長さが正三角形の一辺に等しく、かつその斜辺を含む底面との垂面で面対称となる四面体の各頂点
・斜辺a底辺bの二等辺三角形と斜辺b底辺aの二等辺三角形を2枚ずつ組み合わせてできる四面体の各頂点

994132人目の素数さん2018/02/20(火) 02:53:56.44ID:sbEXHfX1
>>993

最初のは、正方形柱の、1つおきの4頂点…

正4面体はすべてに含まれそう。

995132人目の素数さん2018/02/22(木) 00:27:10.81ID:/AvHZMpx
>>915

aを定数とすると、与式が自然数ならば
b+a^2+a≧ab^2+b+7
⇔ab^2-a^2-a+7≦0
⇔-√(a+1-7/a)≦b≦√(a+1-7/a) (∵a>0)
bは自然数だから
1≦b≦√(a+1-7/a)
特にa≦10000のときb≦100<100.0…

# Python 3
for a in range(1,10001):
for b in range(1,101):
k=(b+a*a+a)/(a*b*b+b+7)
if k==int(k):
print(a,b,k)
print('done')

数秒で次の出力を得た

11 1 7.0
17 2 4.0
27 3 3.0
49 1 43.0
done

これ以外に解はないと考えられる

996132人目の素数さん2018/02/22(木) 00:34:36.18ID:qyfrsyyj

997132人目の素数さん2018/02/22(木) 22:15:53.35ID:8IEdD/eb
とっとと埋めない?

998132人目の素数さん2018/02/22(木) 22:31:24.00ID:6Ip2UVFo
埋めない

999132人目の素数さん2018/02/23(金) 00:12:21.16ID:+0EFqQk0
余白が足りない

1000132人目の素数さん2018/02/23(金) 00:15:24.31ID:jpZcZ0GN
驚くべき証明を発見した

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