モンティーホール問題を高校生にわかるように説明してくれ [無断転載禁止]©2ch.net

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1SOUTH2017/03/12(日) 18:23:31.38ID:/Eul2Kt1
モンティーホール問題とは...
プレーヤーの前に閉まった3つのドアがあって、プレーヤーが1つのドアを選択した後、司会のモンティが残りのドアのうちヤギがいるドアを開けてヤギを見せる。

プレーヤーはドアを変更すべきだろうか?
(wikiより)

952132人目の素数さん2018/08/27(月) 12:13:16.85ID:PpZ2VG0P
>>949
> 厳密なルールを追加して、純粋な数学的問題にしたものと認識している

それにしてはお粗末。
マリリンさんの回答が正しいための「暗黙の条件」(以心伝心条項)が多すぎる。

953132人目の素数さん2018/08/27(月) 21:04:21.20ID:LAzQKTd9
おさえておきたいデマ

@モンティ・ホール問題は Monty Hall がホストを務めるTV番組のゲームに関する問題だ
Aマリリンに反論した人が多かったのは、モンティ・ホール問題の問題文が曖昧だからだ
B挑戦者が選んだ扉が当りのときにホストが開ける扉に偏りがあるとき、
 ホストが開け残した扉が当りである確率は2/3とはならないので、マリリンの答えは不完全である
Cモンティ・ホール問題のゲームの中でホストが挑戦者にルールを 説明したかで答えが変わる

954132人目の素数さん2018/08/29(水) 04:28:23.30ID:t4URk5dT
「マリリンに聞け」に掲載されたソースでは「モンティホール問題」とは呼ばれていない。
マリリンさんは「ゲームショー問題」と名づけていらっしゃる。

ソースはこんな感じ。
{もしあなたがゲームショーに出ているとして、
あなたは三つの扉を選ぶことができるものとします。
一つの扉の背後には車が、他の扉の背後にはヤギがいます。
あなたは一つの扉を選びます。例えば1番です。
そこで、扉の背後に何があるか知っているホストが他の扉、
例えば3番を開けます。そこにはヤギがいます。
彼はあなたに言います。「2番の扉を選びたいですか」
さあ、選択を変更するほうが得ですか?}
http://marilynvossavant.com/game-show-problem/

繰り返しゲームだともランダムに配置替えされるとも明示されていません。
こういうゲームが何回も繰り返されるなんて現実的想定じゃありませんね。

955132人目の素数さん2018/08/29(水) 04:35:24.76ID:t4URk5dT
ゲームショーとしては考えにくいケースですが、
例えば回答者であるあなたがこのゲームに30回繰り返し再挑戦できるという仮定を《勝手に》追加しましょう。
それでもシミュレートすると変更したほうが当たる確率が50%以下になることがあるんだよね。
当然2/3にも定まらない。
1+1=が2以外になることなど一度もあってはならない数学で、これは致命的欠陥です。

956132人目の素数さん2018/08/30(木) 01:53:48.34ID:VrFSxjA5
【余談】
最初の当たり扉の配置が均等ではなくて
かつ挑戦者がその確率を予想できるような状況であれば
最初に最もハズレそうな扉を選ぶのが最も有利な戦略になる。

957132人目の素数さん2018/09/05(水) 22:00:27.26ID:w29Cpwk0
回答者「あなた」が山羊よりも車を選好するとする前提すら明示されていないね。
空気を読めってやつかな。

958132人目の素数さん2018/09/30(日) 15:59:06.08ID:fD9i3Nko
何にでもイチャモンをつければいいってもんでもない

959132人目の素数さん2018/09/30(日) 22:41:45.16ID:+jdmGKVk
選好など定義など無駄であろう
「変更すべきか?」ではなく
「変更した場合の扉が車の確率は?」等の尋ね方にすればいいだけ

960132人目の素数さん2018/10/01(月) 02:36:47.20ID:tP5Pmqzy
これって最初の当たり扉の配置が均等ではない場合も
スイッチの平均勝率は(2/3)になるんだよな
(1/3)の等確率で最初の扉を選ぶという前提だけど

たとえば、当(A,B,C)=(1/2、1/3、1/6) の場合
(個別のスイッチ勝率)=(4/7、2/5、3/4、1/2、6/7、4/5) 
の6通りになるけど、全体の平均は(2/3)になる

よく考えたら当たり前かもしれないけど

961132人目の素数さん2018/10/05(金) 00:38:23.26ID:wu+L1Bel
これ確率で説明しても納得しにくいでしょ?
開いた後に確率が変動するとかピンとこない

「当たりと思うものを選ぶ」と思わせるミスリードからくる錯覚なんだから

もし直感でAが当たりと思ったならば、「Aを選んで変更しない」がそもそも間違いで「Bを選んで変更する」を選ぶだけ

962132人目の素数さん2018/10/05(金) 06:30:23.10ID:Qvgh89ZW
もうすこし勉強してから、考えた方がいいよ。
「モンティホール 、 フィッシャー」
でググってごらん。

963132人目の素数さん2018/10/05(金) 12:49:13.65ID:x401P+/u
後半だけを考えるとわかりやすいよ

2つの扉があり片方があたりです
司会者は当たりで無い方の扉を開けてくれます

つまり自分が引く扉は一つだが、二つとも引いたのと
同じ結果が必ず得られるということ

最初に引いた扉が当たりの確率が1/3だから
残りの2/3が扉を変えた場合の確率になるね

964132人目の素数さん2018/10/05(金) 14:51:42.57ID:mu0CXWVY
単純思考(確率不変の定理)は変形問題に応用できないのが玉にきず

当(A,B,C)=(1/3、1/2、1/6)

(選A、開C)  当(A,B)=(1/4、3/4)
(選A、開B)  当(A,C)=(1/2、1/2)

965132人目の素数さん2018/10/08(月) 12:37:19.95ID:wsSt+wU4
扉100枚で98枚の外れを開示したときの例をよく見るんだけど納得できない
始めに正解を開ける確率は1/100だから変えたときのほうが圧倒的に正解率が上がるっていうのは分かる
ただ分かることはその確率が1/100よりも大きいってことだけ

扉を90枚、80枚と減らしていけば変更して当たる確率は100枚のときより小さくなることは簡単に分かる
それで3枚まで減らしたときに本当に1/3より大きくなるかってのは結局計算しないと分からないんじゃないかって

966132人目の素数さん2018/10/08(月) 16:33:44.65ID:yJjocNYv
どの例で納得するかは、人それぞれ
昔から扉100枚の例は好き嫌いが分かれてるから、あまり気にするな

数学的な厳密性に欠けてる可能性があるとしても
理解の手助けになってる事実がある以上、一概に全否定はできない

967132人目の素数さん2018/10/08(月) 17:17:08.78ID:yJjocNYv
扉N枚 (N≧3)
扉1を選んで、扉(3〜N)が開かれた場合の、扉(1,2)が当たりである確率

@ P(当1 ∧ 残2)=(1/N)*{1/(Nー1)}
A P(当2 ∧ 残2)=(1/N)*(1)

@:A=1:(Nー1)

P(当1|残2)=@/(@+A)=1/N
P(当2|残2)=A/(@+A)=(Nー1)/N

968132人目の素数さん2018/10/10(水) 19:42:47.06ID:5eKjiJT6
>>696
結局、お前は1/2派なんだよ
正しく実験されると2/3以外にはならなくて都合が悪いから
シミュレーションの有効性にケチをつけたがってるだけ

969132人目の素数さん2018/10/10(水) 21:37:12.52ID:+LeNUumz
司会者と自分で合計2枚の扉を引けるんだよ
更に司会者は当たりを必ず譲ってくれる

どう考えても1/2にはならないだろ

970132人目の素数さん2018/10/11(木) 03:39:20.49ID:WSM7eO1c
『挑戦者は2つのドアを同時に開けることはできない』

確率でものを考える人はこんな単純な事実に気が付かないから
3分の2なんて変な数字が出てくる

971132人目の素数さん2018/10/11(木) 12:49:11.06ID:Wg8VdZ5k
>>970
なんで?
結果的に挑戦者と司会者で合計2つのドアを開けてるだろ

司会者が当たりを持っていく事は無いんだから
挑戦者が2つのドアを開けたのと同じになる

972132人目の素数さん2018/10/13(土) 07:32:13.57ID:hLWa7wIN
ゲーム終了時に開けてないドアがいくつ残るか
ここを考えるのも解りやすいね

--------------------------

もし司会者が当たりの場所を知らなかったとしても
当たった場合は後から譲ってもらえる事になっていれば2/3になるよね

当たりの場所を知ってる司会者には
同様の事がゲーム中に出来るんだよ

973132人目の素数さん2018/10/13(土) 15:08:23.25ID:MrS7D/hi
モンティが確定情報を持っている場合、
ゲーム不成立の確率がゼロになるので
プレイヤーの最初の選択時の確率は変化しない

974132人目の素数さん2018/10/13(土) 18:18:31.43ID:5CghCs6S
当(A,B,C)=(a,b,c)
a+b+c=1

扉Aを選んで、扉Cが開けられた場合の、扉Aが当たりである確率は a/(a+2b)
どんなときでも (a) と一致するわけではない

一致しない場合でも
モンティは確定情報を持っていて、ゲーム不成立の確率はゼロ

975132人目の素数さん2018/10/14(日) 02:27:13.03ID:KkBlRZKF
■ニャンティホール問題

□□□  ∧,,∧    ∧,,∧   
□□□  (,,・∀・)   ミ,,・∀・ミ  
□□□〜(_u,uノ @ミ_u,,uミ 

976132人目の素数さん2018/10/15(月) 22:16:28.65ID:7xOWNZMY
ゲーム不成立の確率がゼロ

裏を返せば、モンティがヤギを当てる確率は100%

977132人目の素数さん2018/10/16(火) 01:00:59.23ID:jrV1s/Gw
当(A,B,C)=(65/100、2/100、33/100)

あなたが扉Aを選ぶと、司会者は扉Bがハズレだと示した。
あなたは扉Cに変更すべきだろうか?

978132人目の素数さん2018/10/16(火) 01:55:35.27ID:Jr7ZoTQC
モンティが確定情報を持ってBを開けた場合
Aの確率は変化しない
Cの確率は35%にアップする

979132人目の素数さん2018/10/16(火) 02:26:29.25ID:A32TNFue
簡単なプログラムを作って乱数シミューレーションすればあっさり&はっきり結果が出た
もでなぜわからなかったかの理由がまだわからない

980132人目の素数さん2018/10/16(火) 02:38:11.50ID:jrV1s/Gw
@ P(当A ∧ 開B)=(65/100)*(1/2)
A P(当C ∧ 開B)=(33/100)*(1)

@:A=65:66

P(当A|開B)=@/(@+A)=65/131
P(当C|開B)=A/(@+A)=66/131 

扉Cに変更するべき

981132人目の素数さん2018/10/16(火) 18:39:14.80ID:jrV1s/Gw
>>978
Aの確率が変化しないのは、BとCの確率が等しいときだけ

982132人目の素数さん2018/10/16(火) 22:32:52.91ID:ZvEx7rpJ
これは司会者がBを開けた後に
選び直しますか?と聞くのがミソかな

確率的には全く変わらないが、開く前だと残り2つのどちらに当たりが入っていても
自分の物になることが理解しやすいと思う

扉1つと2つどちらがいいですか?と言ってるのと同じなんだよね

983132人目の素数さん2018/10/17(水) 00:03:55.09ID:zWThBcqr
男『ここにABCD4枚のカードがあります。』
男『4枚のうち1枚が当たりです。』
男『私はどれが当たりか知っています。』
男『さあ、好きなの1枚選んで。』
女『じゃあA』
男『では、貴方の選ばなかったBCDのうちDはハズレであることを教えよう。』
 (Dをめくる。確かにハズレだった。)
男『もう一度残ったABCの3枚から選び直していいよ。変えてみる?』
女『(モンティホールの応用だから変えたほうが若干得そうね)じゃあB。』
男『選ばなかったACのうちCもハズレなことを教えよう。』
 (Cをめくる。確かにハズレだった。)
男『ラストチャンス。ABどっち?』
女『…(やっぱりAに戻したくなってきたw)』

女はAに変更すべきだろうか?

984132人目の素数さん2018/10/17(水) 00:11:58.77ID:LxNRGIwD
男『私はどれが当たりか知っています』

つまり、確定情報なのでAの確率は1/4まま不動

女はAに変更すべきではない

Bの確率は3/4と高確率

985132人目の素数さん2018/10/17(水) 14:27:27.04ID:zWThBcqr
@ 当(A,B,C,D)=(1/4、1/4、1/4、1/4)
↓ (選A、開D)
A 当(A,B,C)=(1/4、3/8、3/8)
↓ (選B、開C)
B 当(A,B)=(4/7、3/7)

女はAに変更すべき

986132人目の素数さん2018/10/17(水) 17:04:29.17ID:LxNRGIwD
A 当(A,B,C)=(1/4、3/8、3/8)

Aで確定情報をもとにCの3/8がオープンになるから
通常のモンティホールと同じで
Aの1/4は変化しない

987132人目の素数さん2018/10/17(水) 17:17:26.86ID:zWThBcqr
当(A,B,C)=(1/4、3/8、3/8)
(選B、開C)

@ P(当A ∧ 開C)=(1/4)*(1)
A P(当B ∧ 開C)=(3/8)*(1/2)

@:A=4:3

P(当A|開C)=@/(@+A)=4/7
P(当B|開C)=A/(@+A)=3/7

988132人目の素数さん2018/10/17(水) 17:30:11.91ID:LxNRGIwD
@ 当(A,B,C,D)=(1/4、1/4、1/4、1/4)

@の確率1/4はドアの枚数と分母が一致するので
ここから選択した確率は、確定情報を持った(すなわち不成立ゲームがゼロ)
男がドアを開けるのでゲーム最後まで固定される

A 当(A,B,C)=(1/4、3/8、3/8)

Aから女が選択したBの3/8も確率固定されるが
Aのドアの確率固定力のほうが強力なので
Cのドアオープンとともに強制的に3/4に上げられる

989132人目の素数さん2018/10/17(水) 17:34:40.26ID:LxNRGIwD
>>985
@からAになる時にはAのドアの確率が1/4で固定されているのに

AからBになる時には4/7に変化するのはおかしい

確定情報を持っている男がドアを開けるのなら
BのAのドアの確率も1/4のまま不変である

990132人目の素数さん2018/10/17(水) 23:09:51.54ID:zWThBcqr
@ 当(A,B,C,D,E)=(1/5、1/5、1/5、1/5、1/5)
↓ (選A、開E)
A 当(A,B,C,D)=(1/5、4/15、4/15、4/15)
↓ (選B、開D)
B 当(A,B,C)=(9/29、8/29、12/29)

991132人目の素数さん2018/10/18(木) 04:38:11.99ID:gj9Mj7fw
当(A,B,C,D)=(1/100、32/100、33/100、34/100)

(選A、開D) 当(A,B,C)=(2/197、96/197、99/197)
(選A、開C) 当(A,B,D)=(2/200、96/200、102/200)
(選A、開B) 当(A,C,D)=(2/203、99/203、102/203)

992132人目の素数さん2018/10/18(木) 16:33:12.39ID:gj9Mj7fw
>>974
最初に選んだ扉の当たり確率が変化しないための条件は

a=a/(a+2b)
1=1/(a+2b)
a+2b=1
2b=1−a
2b=b+c (∵a+b+c=1)
b=c

993132人目の素数さん2018/10/18(木) 17:08:05.42ID:gj9Mj7fw
当(A,B,C,D)=(a,b,c,d)
a+b+c+d=1
P(当A|選A,開D)=2a/(2a+3b+3c)

最初に選んだ扉の当たり確率が変化しないための条件は

a=2a/(2a+3b+3c)
1=2/(2a+3b+3c)
2a+3b+3c=2
3(a+b+c)=2+a
3(1−d)=2+a
d=(1−a)/3    (必ずしも b=c=d である必要はない)

994132人目の素数さん2018/10/19(金) 00:43:49.68ID:ecUXrhdS
・よくある勘違い
モンティ・ホール問題で選択を変えることは
「最初に選んだドア以外の2つのドアを選ぶ」ことと同じである

普通のモンティ・ホール問題については、この勘違いでも(たまたま)正しいが
一般的な状況でも成り立つと思っているとマズい

995132人目の素数さん2018/10/19(金) 02:06:45.47ID:5btDxqP5
勘違いではない
確定情報を持っているモンティがハズレのドアを開けるのなら
選択を変えることは
「最初に選んだドア以外の2つのドアを選ぶ」ことと同じである

996132人目の素数さん2018/10/19(金) 02:36:59.69ID:ecUXrhdS
モンティ・ホール問題で出てくるゲームをやることになった挑戦者。
前日に猛勉強してコツ(a.k.a. 勘違い)をつかんだ。

「結局これは3つのドアのうち、1つを選ぶか、他の2つを選ぶかということだ。
司会者は必ず、挑戦者が選んだ1つのドア以外の2つのドアから、外れのドアを開ける。
ということは、選択を変えることは、他の2つのドアを選ぶのと同じだ。
1つより2つの方が当たる確率が高いのは当然だ。実際、確率は変えるときの方が変えないときの倍になっている。
簡単な話だ。選択を変えた方が勝ちだ!」

997132人目の素数さん2018/10/19(金) 02:40:02.49ID:ecUXrhdS
翌日、ゲームの説明を受ける挑戦者。
基本的にはモンティ・ホール問題なのだが、1つだけ違いがあった。

3つのドアA、B、Cのどれに賞品を入れるか、くじで決めるのだが、この確率が1/3ずつではなかった。
Aに9999/10000、Bには99/10000、Cには1/10000の確率で賞品を入れる。
以降は同じで、司会者はどのドアに賞品が入ったか知っている。

こんなの絶対Aに決まってると思った挑戦者はあまりの興奮のため、誤ってBを選んでしまった。
だが選択を変えるチャンスが1回あるのはルールで決まっているのだ。
そのときAに変えればいい…
しかし司会者が開けたのはAだった!
Aは外れだったのだ。

998132人目の素数さん2018/10/19(金) 02:42:18.53ID:ecUXrhdS
挑戦者は思った。

「Aが外れだったのは驚きだな…奇跡的な確率じゃないか?
でもこれでBが当たりというのは確実だろう。
BにはCの100倍近い確率で賞品が入るんだから。
…待てよ?
選択を変えるということは、残り2つのドアを選ぶということだったはずだ。
司会者がAを開けるまで、B以外が当たる確率は(9900/10000)+1/10000だった。
これはBが当たる確率より100倍以上大きい。
そしてそれがそっくり、Cが当たる確率になるはず…なのか?
だとすればBを選び続けるのはあまりに無謀すぎる。
しかしCが当たりとはとても…」

999132人目の素数さん2018/10/19(金) 02:42:51.33ID:ecUXrhdS
当たる確率が高いのは選択を変える方なのだろうか、変えない方なのだろうか?

1000132人目の素数さん2018/10/19(金) 02:44:09.25ID:ecUXrhdS
変える   2/101
変えない  99/101

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