モンティーホール問題を高校生にわかるように説明してくれ [無断転載禁止]©2ch.net

**SOUTH** · 2017/03/12(日) 18:23:31.38

モンティーホール問題とは...
プレーヤーの前に閉まった3つのドアがあって、プレーヤーが1つのドアを選択した後、司会のモンティが残りのドアのうちヤギがいるドアを開けてヤギを見せる。

プレーヤーはドアを変更すべきだろうか？
(wikiより)

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/27(月) 12:13:16.85

>>949
> 厳密なルールを追加して、純粋な数学的問題にしたものと認識している

それにしてはお粗末。
マリリンさんの回答が正しいための「暗黙の条件」（以心伝心条項）が多すぎる。

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/27(月) 21:04:21.20

おさえておきたいデマ

①モンティ・ホール問題は Monty Hall がホストを務めるTV番組のゲームに関する問題だ
②マリリンに反論した人が多かったのは、モンティ・ホール問題の問題文が曖昧だからだ
③挑戦者が選んだ扉が当りのときにホストが開ける扉に偏りがあるとき、
　ホストが開け残した扉が当りである確率は2／3とはならないので、マリリンの答えは不完全である
④モンティ・ホール問題のゲームの中でホストが挑戦者にルールを説明したかで答えが変わる

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/29(水) 04:28:23.30

「マリリンに聞け」に掲載されたソースでは「モンティホール問題」とは呼ばれていない。
マリリンさんは「ゲームショー問題」と名づけていらっしゃる。

ソースはこんな感じ。
｛もしあなたがゲームショーに出ているとして、
あなたは三つの扉を選ぶことができるものとします。
一つの扉の背後には車が、他の扉の背後にはヤギがいます。
あなたは一つの扉を選びます。例えば1番です。
そこで、扉の背後に何があるか知っているホストが他の扉、
例えば3番を開けます。そこにはヤギがいます。
彼はあなたに言います。「2番の扉を選びたいですか」
さあ、選択を変更するほうが得ですか？｝
http://marilynvossavant.com/game-show-problem/

繰り返しゲームだともランダムに配置替えされるとも明示されていません。
こういうゲームが何回も繰り返されるなんて現実的想定じゃありませんね。

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/29(水) 04:35:24.76

ゲームショーとしては考えにくいケースですが、
例えば回答者であるあなたがこのゲームに30回繰り返し再挑戦できるという仮定を《勝手に》追加しましょう。
それでもシミュレートすると変更したほうが当たる確率が50%以下になることがあるんだよね。
当然2/3にも定まらない。
1+1=が2以外になることなど一度もあってはならない数学で、これは致命的欠陥です。

**１３２人目の素数さん** · 2018/08/30(木) 01:53:48.34

【余談】
最初の当たり扉の配置が均等ではなくて
かつ挑戦者がその確率を予想できるような状況であれば
最初に最もハズレそうな扉を選ぶのが最も有利な戦略になる。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/05(水) 22:00:27.26

回答者「あなた」が山羊よりも車を選好するとする前提すら明示されていないね。
空気を読めってやつかな。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/30(日) 15:59:06.08

何にでもイチャモンをつければいいってもんでもない

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/30(日) 22:41:45.16

選好など定義など無駄であろう
「変更すべきか？」ではなく
「変更した場合の扉が車の確率は？」等の尋ね方にすればいいだけ

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/01(月) 02:36:47.20

これって最初の当たり扉の配置が均等ではない場合も
スイッチの平均勝率は(2/3)になるんだよな
(1/3)の等確率で最初の扉を選ぶという前提だけど

たとえば、当(A,B,C)＝(1/2、1/3、1/6)　の場合
(個別のスイッチ勝率)＝(4/7、2/5、3/4、1/2、6/7、4/5)　
の６通りになるけど、全体の平均は(2/3)になる

よく考えたら当たり前かもしれないけど

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/05(金) 00:38:23.26

これ確率で説明しても納得しにくいでしょ？
開いた後に確率が変動するとかピンとこない

「当たりと思うものを選ぶ」と思わせるミスリードからくる錯覚なんだから

もし直感でAが当たりと思ったならば、「Aを選んで変更しない」がそもそも間違いで「Bを選んで変更する」を選ぶだけ

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/05(金) 06:30:23.10

もうすこし勉強してから、考えた方がいいよ。
「モンティホール　、　フィッシャー」
でググってごらん。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/05(金) 12:49:13.65

後半だけを考えるとわかりやすいよ

2つの扉があり片方があたりです
司会者は当たりで無い方の扉を開けてくれます

つまり自分が引く扉は一つだが、二つとも引いたのと
同じ結果が必ず得られるということ

最初に引いた扉が当たりの確率が1/3だから
残りの2/3が扉を変えた場合の確率になるね

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/05(金) 14:51:42.57

単純思考(確率不変の定理)は変形問題に応用できないのが玉にきず

当(A,B,C)＝(1/3、1/2、1/6)

(選A、開C)　　当(A,B)＝(1/4、3/4)
(選A、開B)　　当(A,C)＝(1/2、1/2)

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/08(月) 12:37:19.95

扉100枚で98枚の外れを開示したときの例をよく見るんだけど納得できない
始めに正解を開ける確率は1/100だから変えたときのほうが圧倒的に正解率が上がるっていうのは分かる
ただ分かることはその確率が1/100よりも大きいってことだけ

扉を90枚、80枚と減らしていけば変更して当たる確率は100枚のときより小さくなることは簡単に分かる
それで3枚まで減らしたときに本当に1/3より大きくなるかってのは結局計算しないと分からないんじゃないかって

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/08(月) 16:33:44.65

どの例で納得するかは、人それぞれ
昔から扉100枚の例は好き嫌いが分かれてるから、あまり気にするな

数学的な厳密性に欠けてる可能性があるとしても
理解の手助けになってる事実がある以上、一概に全否定はできない

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/08(月) 17:17:08.78

扉N枚　(N≧3)
扉1を選んで、扉(3～N)が開かれた場合の、扉(1,2)が当たりである確率

①　P(当1 ∧ 残2)＝(1/N)*{1/(Nー1)}
②　P(当2 ∧ 残2)＝(1/N)*(1)

①：②＝1：(Nー1)

P(当1｜残2)＝①/(①+②)＝1/N
P(当2｜残2)＝②/(①+②)＝(Nー1)/N

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/10(水) 19:42:47.06

>>696
結局、お前は1/2派なんだよ
正しく実験されると2/3以外にはならなくて都合が悪いから
シミュレーションの有効性にケチをつけたがってるだけ

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/10(水) 21:37:12.52

司会者と自分で合計2枚の扉を引けるんだよ
更に司会者は当たりを必ず譲ってくれる

どう考えても1/2にはならないだろ

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/11(木) 03:39:20.49

『挑戦者は２つのドアを同時に開けることはできない』

確率でものを考える人はこんな単純な事実に気が付かないから
３分の２なんて変な数字が出てくる

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/11(木) 12:49:11.06

>>970
なんで？
結果的に挑戦者と司会者で合計２つのドアを開けてるだろ

司会者が当たりを持っていく事は無いんだから
挑戦者が２つのドアを開けたのと同じになる

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/13(土) 07:32:13.57

ゲーム終了時に開けてないドアがいくつ残るか
ここを考えるのも解りやすいね

--------------------------

もし司会者が当たりの場所を知らなかったとしても
当たった場合は後から譲ってもらえる事になっていれば2/3になるよね

当たりの場所を知ってる司会者には
同様の事がゲーム中に出来るんだよ

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/13(土) 15:08:23.25

モンティが確定情報を持っている場合、
ゲーム不成立の確率がゼロになるので
プレイヤーの最初の選択時の確率は変化しない

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/13(土) 18:18:31.43

当(A,B,C)＝(a,b,c)
a＋b＋c＝1

扉Aを選んで、扉Cが開けられた場合の、扉Aが当たりである確率は　a/(a＋2b)
どんなときでも (a) と一致するわけではない

一致しない場合でも
モンティは確定情報を持っていて、ゲーム不成立の確率はゼロ

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/14(日) 02:27:13.03

■ニャンティホール問題

□□□　　∧,,∧ 　　 ∧,,∧　　　
□□□　 (,,・∀・) 　ﾐ,,・∀・ﾐ　
□□□～(_ｕ,ｕﾉ　＠ﾐ_ｕ,,ｕﾐ　

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/15(月) 22:16:28.65

ゲーム不成立の確率がゼロ

裏を返せば、モンティがヤギを当てる確率は１００％

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/16(火) 01:00:59.23

当(A,B,C)＝(65/100、2/100、33/100)

あなたが扉Aを選ぶと、司会者は扉Bがハズレだと示した。
あなたは扉Cに変更すべきだろうか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/16(火) 01:55:35.27

モンティが確定情報を持ってBを開けた場合
Aの確率は変化しない
Cの確率は３５％にアップする

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/16(火) 02:26:29.25

簡単なプログラムを作って乱数シミューレーションすればあっさり＆はっきり結果が出た
もでなぜわからなかったかの理由がまだわからない

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/16(火) 02:38:11.50

①　P(当A ∧ 開B)＝(65/100)*(1/2)
②　P(当C ∧ 開B)＝(33/100)*(1)

①：②＝65：66

P(当A｜開B)＝①/(①+②)＝65/131
P(当C｜開B)＝②/(①+②)＝66/131　

扉Cに変更するべき

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/16(火) 18:39:14.80

>>978
Aの確率が変化しないのは、BとCの確率が等しいときだけ

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/16(火) 22:32:52.91

これは司会者がＢを開けた後に
選び直しますか？と聞くのがミソかな

確率的には全く変わらないが、開く前だと残り2つのどちらに当たりが入っていても
自分の物になることが理解しやすいと思う

扉1つと2つどちらがいいですか？と言ってるのと同じなんだよね

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/17(水) 00:03:55.09

男『ここにＡＢＣＤ４枚のカードがあります。』
男『４枚のうち１枚が当たりです。』
男『私はどれが当たりか知っています。』
男『さあ、好きなの１枚選んで。』
女『じゃあＡ』
男『では、貴方の選ばなかったＢＣＤのうちＤはハズレであることを教えよう。』
　（Ｄをめくる。確かにハズレだった。）
男『もう一度残ったＡＢＣの３枚から選び直していいよ。変えてみる？』
女『（モンティホールの応用だから変えたほうが若干得そうね）じゃあＢ。』
男『選ばなかったＡＣのうちＣもハズレなことを教えよう。』
　（Ｃをめくる。確かにハズレだった。）
男『ラストチャンス。ＡＢどっち？』
女『…(やっぱりＡに戻したくなってきたw）』

女はAに変更すべきだろうか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/17(水) 00:11:58.77

男『私はどれが当たりか知っています』

つまり、確定情報なのでAの確率は１／４まま不動

女はAに変更すべきではない

Bの確率は３／４と高確率

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/17(水) 14:27:27.04

①　当(A,B,C,D)＝(1/4、1/4、1/4、1/4)
↓　(選A、開D)
②　当(A,B,C)＝(1/4、3/8、3/8)
↓　(選B、開C)
③　当(A,B)＝(4/7、3/7)

女はAに変更すべき

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/17(水) 17:04:29.17

②　当(A,B,C)＝(1/4、3/8、3/8)

②で確定情報をもとにCの3/8がオープンになるから
通常のモンティホールと同じで
Aの1/4は変化しない

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/17(水) 17:17:26.86

当(A,B,C)＝(1/4、3/8、3/8)
(選B、開C)

①　P(当A ∧ 開C)＝(1/4)*(1)
②　P(当B ∧ 開C)＝(3/8)*(1/2)

①：②＝4：3

P(当A｜開C)＝①/(①＋②)＝4/7
P(当B｜開C)＝②/(①＋②)＝3/7

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/17(水) 17:30:11.91

①　当(A,B,C,D)＝(1/4、1/4、1/4、1/4)

①の確率1/4はドアの枚数と分母が一致するので
ここから選択した確率は、確定情報を持った（すなわち不成立ゲームがゼロ）
男がドアを開けるのでゲーム最後まで固定される

②　当(A,B,C)＝(1/4、3/8、3/8)

②から女が選択したBの3/8も確率固定されるが
Aのドアの確率固定力のほうが強力なので
Cのドアオープンとともに強制的に3/4に上げられる

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/17(水) 17:34:40.26

>>985
①から②になる時にはAのドアの確率が1/4で固定されているのに

②から③になる時には4/7に変化するのはおかしい

確定情報を持っている男がドアを開けるのなら
③のAのドアの確率も1/4のまま不変である

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/17(水) 23:09:51.54

①　当(A,B,C,D,E)＝(1/5、1/5、1/5、1/5、1/5)
↓　(選A、開E)
②　当(A,B,C,D)＝(1/5、4/15、4/15、4/15)
↓　(選B、開D)
③　当(A,B,C)＝(9/29、8/29、12/29)

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/18(木) 04:38:11.99

当(A,B,C,D)＝(1/100、32/100、33/100、34/100)

(選A、開D)　当(A,B,C)＝(2/197、96/197、99/197)
(選A、開C)　当(A,B,D)＝(2/200、96/200、102/200)
(選A、開B)　当(A,C,D)＝(2/203、99/203、102/203)

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/18(木) 16:33:12.39

>>974
最初に選んだ扉の当たり確率が変化しないための条件は

a＝a/(a+2b)
1＝1/(a+2b)
a+2b＝1
2b＝1－a
2b＝ｂ+c　(∵a+b+c＝1)
b＝c

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/18(木) 17:08:05.42

当(A,B,C,D)＝(a,b,c,d)
a+b+c+d＝1
P(当A｜選A,開D)＝2a/(2a+3b+3c)

最初に選んだ扉の当たり確率が変化しないための条件は

a＝2a/(2a+3b+3c)
1＝2/(2a+3b+3c)
2a+3b+3c＝2
3(a＋b＋c)＝2＋a
3(1－d)＝2＋a
d＝(1－a)/3　　　　(必ずしも　b＝c＝d　である必要はない)

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/19(金) 00:43:49.68

・よくある勘違い
モンティ・ホール問題で選択を変えることは
「最初に選んだドア以外の2つのドアを選ぶ」ことと同じである

普通のモンティ・ホール問題については、この勘違いでも(たまたま)正しいが
一般的な状況でも成り立つと思っているとマズい

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/19(金) 02:06:45.47

勘違いではない
確定情報を持っているモンティがハズレのドアを開けるのなら
選択を変えることは
「最初に選んだドア以外の2つのドアを選ぶ」ことと同じである

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/19(金) 02:36:59.69

モンティ・ホール問題で出てくるゲームをやることになった挑戦者。
前日に猛勉強してコツ(a.k.a. 勘違い)をつかんだ。

「結局これは3つのドアのうち、1つを選ぶか、他の2つを選ぶかということだ。
司会者は必ず、挑戦者が選んだ1つのドア以外の2つのドアから、外れのドアを開ける。
ということは、選択を変えることは、他の2つのドアを選ぶのと同じだ。
1つより2つの方が当たる確率が高いのは当然だ。実際、確率は変えるときの方が変えないときの倍になっている。
簡単な話だ。選択を変えた方が勝ちだ！」

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/19(金) 02:40:02.49

翌日、ゲームの説明を受ける挑戦者。
基本的にはモンティ・ホール問題なのだが、1つだけ違いがあった。

3つのドアA、B、Cのどれに賞品を入れるか、くじで決めるのだが、この確率が1/3ずつではなかった。
Aに9999/10000、Bには99/10000、Cには1/10000の確率で賞品を入れる。
以降は同じで、司会者はどのドアに賞品が入ったか知っている。

こんなの絶対Aに決まってると思った挑戦者はあまりの興奮のため、誤ってBを選んでしまった。
だが選択を変えるチャンスが1回あるのはルールで決まっているのだ。
そのときAに変えればいい…
しかし司会者が開けたのはAだった！
Aは外れだったのだ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/19(金) 02:42:18.53

挑戦者は思った。

「Aが外れだったのは驚きだな…奇跡的な確率じゃないか？
でもこれでBが当たりというのは確実だろう。
BにはCの100倍近い確率で賞品が入るんだから。
…待てよ？
選択を変えるということは、残り2つのドアを選ぶということだったはずだ。
司会者がAを開けるまで、B以外が当たる確率は(9900/10000)+1/10000だった。
これはBが当たる確率より100倍以上大きい。
そしてそれがそっくり、Cが当たる確率になるはず…なのか？
だとすればBを選び続けるのはあまりに無謀すぎる。
しかしCが当たりとはとても…」

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/19(金) 02:42:51.33

当たる確率が高いのは選択を変える方なのだろうか、変えない方なのだろうか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/19(金) 02:44:09.25

変える　　　2/101
変えない　　99/101

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