探検
サイコロを1,000個振ってみろｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ [無断転載禁止]©2ch.net
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同じ大きさのサイコロが64個ある。
各サイコロの形は1x1x1の立方体であり、64個が4x4x4の箱にピッタリ詰めて置かれている。
剣豪がやって来て、この箱をある平面に沿って一刀両断した。
さて、無傷で残ったサイコロは最低で何個だろうか？
(剣の厚みはゼロに限りなく近いとする)
箱の位置を 0≦x≦4, 0≦y≦4, 0≦z≦4 とする。
平面 0.6x + 0.9y + z = 5.15 で切った場合
0<z<1 9 / 16
1<z<2 6 / 16
2<z<3 6 / 16
3<z<4 8 / 16
-------------------
計 29 / 64
(i,j)番目のサイコロ柱 i-1<x<i, j-1<y<j に注目する。
z = d-ax-by は (x,y)=(i,j) で最小、(x,y)=(i-1,j-1) で最大となる。
z_min(i,j) = d -ai -bj,
z_max(i,j) = d -a(i-1) -b(j-1),
無傷なサイコロは、平面の下に [z_min] 個、平面の上に [4-z_max] 個ある。
ただし、負になったときは０に, 5以上になったときは４に修正する。
これを i=1〜4, j=1〜4 について総和したものが答。
平面が z軸に平行のとき
xy平面に投影すると直線になる。7個/段 以下しか切れない。
36個以上が無傷で残る。
x軸またはy軸に平行のときも同様。
平面が x軸、y軸、z軸のどれにも平行でないとき
ax+by+cz = d (a,b,c,d>0) とする。
64個のサイコロを 体対角線方向の組に分類する。
(1,1,1) - (2,2,2) - (3,3,3) - (4,4,4)
(1,1,2) - (2,2,3) - (3,3,4)
(1,2,1) - (2,3,2) - (3,4,3)
(1,1,2) - (2,2,3) - (3,3,4)
(1,2,2) - (2,3,3) - (3,4,4)
(2,1,2) - (3,2,3) - (4,3,4)
(2,2,1) - (3,3,2) - (4,4,3)
(1,1,3) - (2,2,4) (1,3,1) - (2,4,2) (3,1,1) - (4,2,2)
(1,2,3) - (2,3,4) (1,3,2) - (2,4,3) (2,1,3) - (3,2,4)
(2,3,1) - (3,4,2) (3,1,2) - (4,2,3) (3,2,1) - (4,3,2)
(1,3,3) - (2,4,4) (3,1,3) - (4,2,4) (3,3,1) - (4,4,2)
各組のうち、切れるサイコロは１つ以下。
∴ 46個のうち27個以上が無傷で残る。
6つの「頂点」は反プリズムをなす。
(1,1,4) と (4,4,1) (1,4,1) と (4,1,4) (4,1,1) と (1,4,4)
の3組に分ける。そのうちの2組を平面が切っても、2個は無傷で残る。
以上に述べたことから、サイコロ 29個以上が無傷で残る。
z=0 の断面で 6 < x+y < 8,
z=1､3 の断面で 3 < x+y < 5
z=4 の断面で 0 < x+y < 2,
となります。
z=1 で x+y=5-ε, z=3 でx+y=3+ε としても
z=0 で x+y=6-2ε, z=4 で x+y=2+2ε となり不可能。
一方 3x3x3 の場合は
平面が6つの「頂点」を切る条件は
z=0 の断面で 4 < x+y < 6,
z=1､2 の断面で 2 < x+y < 4,
z=3 の断面で 0 < x+y < 2,
となり、これは可能。
x + y + 2(1-e)z = 3(2-e), (0<e<2/3)
平面 z = d-ax-by := f(x,y) に一般化する。
この平面が以下の4個を切るとする。
(4,1,4) を切る ⇒ f(3,0) > 3,
(1,4,4) を切る ⇒ f(0,3) > 3,
(4,1,1) を切る ⇒ f(4,1) < 1,
(1,4,1) を切る ⇒ f(1,4) < 1,
fは線形だから
f(1,1) = {3f(3,0)+3f(0,3)-f(4,1)-f(1,4)}/4 > 4,
f(3,3) = {3f(4,1)+3f(1,4)-f(3,0)-f(0,3)}/4 < 0,
よって (1,1,4) と (4,4,1) の2個は無傷で残る。
今この平面が6個の「頂点」のうち 5個以上を切ると仮定しよう。
その5個は >>127 の 3ペアのうち2ペアを含む。
よって >>128 により他の1ペアは無傷で残るはず。(矛盾)
∴ 「頂点」6個のうちの2個は無傷で残る。
平面がz軸に平行のとき
直線は 箱の表面と2回、サイコロ同士の境界(6面) と1回づつ、最大で8回交差する。
∴ 生じる線分は7個以下、サイコロ7個/段 以下 しか切れない。
9個/段 以上が無傷で残る。
xy平面に投影して考える。
直線は 箱と2回、サイコロ同士の境界(6面) と1回づつ、最大で8回交差する。
かずきち@dy_dt_dt_dx 8月28日
学コン8月号Sコース1等賞1位とれました！
マジで嬉しいです！
来月からも理系に負けず頑張りたいと思います！
https://twitter.com/dy_dt_dt_dx
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)
パチで初当たりN分の１のとき、N回転までに少なくとも１回あたる確率は1 - (1- 1/N)^N
Nをとばすと、1 - 1 /e (約63％)に収束する
しかも収束性が良いのでN=6でもN=319でもN=1000でも確率にそんなに差はない
この辺りを目安にして打てばいいよ
収束性が良いということは、STや時短のときにも参考になるね
正解。
(29個しかない例 >>124)(補足 >>129-132)
解答者52人中
初等幾何による正解者 9人
代数幾何による正解者 6人
結果に到達した人 9人
その他 28人
(2019年12月号 解説)
現実のサイコロが等確率と思うかどうか････
はサイコロジー（psychology）の問題
n回の出目の合計の1の位がk (k=0, 1, ..., 9) となる確率P(n,k)を求めよ。
[分かスレ４６４．246]
P(n, k) の漸化式は
P(n+1, k) = (1/6)Σ[j=1,6] P(n, k-j)
ここで、kは 10で割った剰余で考える。
これを解いて
P(n, k) = (1/10) + (1/5) r^{n/2} cos(2π(3.5n - k)/10)
+ (1/5) (r')^{n/2} cos(2π(4.5n + 3k)/10)
+ (1/2) (1/6)^n (δ5_{n,k} - 1/5),
ここに
r = (5+2√5)/36 = (√5) φ^3 /36 = 0.2631148876
r' = (5-2√5)/36 = (√5) φ^{-3} /36 = 0.01466289014
δ5_{n,k} = 1, n≡k (mod 5)
= 0, n≠k (mod 5)
[分かスレ４６４．258,288-289,301]
+ (1/5) (r')^{n/2} cos(2π(4.5n + 3k)/10)
+ (1/2) (1/6)^n (δ_{n'-k,5} - (1/5))
+ (1/10)(-1)^k δ_{n,0},
n' = mod(n,5)
サイコロをn回振る試行を考える。この試行において、
n回の出目の和を７で割った余りがk (k=0,1,...,6)となる確率 P(n,k) を求めよ。
P(n+1,k} = (1 - P(n,k))/6,
より
P(n,0) = (1/7){1 + 6(-1/6)^n},
P(n,k) = (1/7){1 - (-1/6)^n}, (0<k<7)
サイコロをn回振る試行を考える。この試行において、
n回の出目の和を６で割った余りがk (k=0,1,...,5) となる確率 P(n,k) を求めよ。
P(n,k) = 1/6 (n>0)
サイコロをn回振る試行を考える。この試行において、
n回の出目の和を５で割った余りがk (k=0,1,...,4) となる確率 P(n,k) を求めよ。
P(n+1,k} = {1 + P(n,k-1)}/6,
より
P(n,k) = (1/5){1 + 4(1/6)^n}, (n-k が5の倍数)
P(n,k) = (1/5){1 - (1/6)^n}, (n-k が5で割り切れない)
---------------------------------------------
Q(n,k) = P(n,k+n') n' = mod(n,5)
とおくと
Q(n+1, k) = {1 + Q(n,k)}/6,
サイコロをn回振る試行を考える。この試行において、
n回の出目の和を４で割った余りが k (k=0,1,2,3) となる確率 P(n,k) を求めよ。
g(x) = {(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6) / 6}^n
における x^s の係数である。
sが4の倍数の項だけ拾えば
P(n,0) = (1/4){g(1) + g(i) + g(-1) + g(-i)},
同様にして
P(n,1) = (1/4){g(1) -ig(i) - g(-1) +ig(-i)},
P(n,2) = (1/4){g(1) - g(i) + g(-1) - g(-i)},
P(n,3) = (1/4){g(1) +ig(i) - g(-1) -ig(-i)},
これに
g(1) = 1,
g(-1) = 0,
g(i) = {(i-1)/6}^n,
g(-i) = {(-i-1)/6}^n,
を入れて
P(n,0) = (1/4){1 + 2/(3√2)^n・cos(3nπ/4)},
P(n,1) = (1/4){1 + 2/(3√2)^n・sin(3nπ/4)},
P(n,2) = (1/4){1 - 2/(3√2)^n・cos(3nπ/4)},
P(n,3) = (1/4){1 - 2/(3√2)^n・sin(3nπ/4)},
サイコロをn回振る試行を考える。この試行において、
n回の出目の和を３で割った余りがk (k=0,1,2) となる確率 P(n,k) を求めよ。
P(n,k) = 1/3 (n>0)
サイコロをn回振る試行を考える。この試行において、
n回の出目の和を２で割った余りがk (k=0,1) となる確率 P(n,k) を求めよ。
P(n,k) = 1/2 (n>0)
サイコロをn回振る試行を考える。この試行において、
n回の出目の和を８で割った余りが k (k=0,1,…,7) となる確率 P(n,k) を求めよ。
g(x) = {(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6) / 6}^n
における x^s の係数である。
sが8の倍数の項だけ拾えば
P(n,0) = (1/8){g(1)+g(ω)+g(i)+g(-ω')+g(-1)+g(-ω)+g(-i)+g(ω')},
同様にして
P(n,4) = (1/8){g(1)-g(ω)+g(i)-g(-ω')+g(-1)-g(-ω)+g(-i)-g(ω')},
ω = (1+i)/√2, ω' = (1-i)/√2, (1の8乗根)
これに
g(1) = 1,
g(ω) = {(-1-ω')/6}^n,
g(i) = {(i-1)/6}^n = {-ω'/(3√2)}^n,
g(-ω') = {(-1+ω)/6}^n,
g(-1) = δ_{n,0},
g(-ω) = {(-1+ω')/6}^n,
g(-i) = {(-i-1)/6}^n = {-ω/(3√2)}^n,
g(ω') = {(-1-ω)/6}^n,
を入れて
P(n,0) = (1/8){1 + δ_{n,0} + 2/(3√2)^n・cos(3nπ/4)}
+ (1/8)(-1/(3√2))^n･{2(1+1/√2)^(n/2)･cos(nπ/8) + 2(1-1/√2)^(n/2)･cos(3nπ/8)},
P(n,4) = (1/8){1 + δ_{n,0} + 2/(3√2)^n・cos(3nπ/4)}
- (1/8)(-1/(3√2))^n･{2(1+1/√2)^(n/2)･cos(nπ/8) + 2(1-1/√2)^(n/2)･cos(3nπ/8)},
後略
://kizuna.5ch.net/test/read.cgi/cafe30/1666669961/l50
IDの超奇跡も、暗号で未来のこと現在のこと過去のこと、色んな人や物事を、ID管理機械学習AIに満たないプログラム脳の機械さんが書いてくれる
未来現在過去の予言
機械の乱数文字列は解読できたら一番気軽に読める予言
※ただし頭のいい機械の文字列に限定。頭の悪い機械は駄目
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