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f(x)=sin(x),g(x)=cos(x)としたときのf,gの合成関数に関する不等式 [無断転載禁止]©2ch.net
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0001１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/02/06(月) 22:48:31.70ID:6zsmoEqG
全ての実数xについて
f∘g∘f∘…∘g>g∘f∘g∘…∘f

さっき思いついたけどどう証明するん
0002１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/02/07(火) 10:24:50.83ID:aCP2n1Du
>>1
（x使ってない...）

cos(sin(x)) > |sin(cos(x))|,

(略証)
左辺も右辺も周期πの偶関数なので、｜x|≦π/2 で考える。
｜sin(x)｜≦｜x｜≦π/2 より、
cos(sin(x)）≧ cos(x）≧｜sin(cos(x))|


・東大入試作問者スレ１５-148
・不等式スレ３-343、４-627〜629
0003１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/02/07(火) 10:25:47.17ID:NqGOmEA3
…ってなに？
0004１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/02/07(火) 23:17:09.16ID:n9f7OGqJ
>>3
どんな実数xに対しても
sin(cos(sin(cos(sin(...(cosx))))))よりも
cos(sin(cos(sin(cos(...(sinx))))))の方が絶対大きいって話

...は無限級数とかに使う同じ動作を繰り返すみたいな記号だと補完してくれ
（Σ(k,n=1,∞)=1+2+3+4+... みたいなやつ）
0005１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/02/07(火) 23:18:09.90ID:n9f7OGqJ
>>2
何回合成しても成り立つ？
0006１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/02/07(火) 23:18:25.32ID:n9f7OGqJ
あ、俺は>>1です
0007１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/02/07(火) 23:20:58.84ID:n9f7OGqJ
>>4
逆でした
訂正：
どんな実数xに対しても
sin(cos(sin(cos(sin(...(cosx))))))よりも
cos(sin(cos(sin(cos(...(sinx))))))の方が絶対小さいって話
0008１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/02/08(水) 02:05:22.41ID:nc6vwE89
無限を雑に扱いすぎ…

ある実数p，qを用いて
数列{a_n},{b_n}を
a_1=p，a_{n+1}=sin(cos(a_n))
b_1=q，b_{n+1}=cos(sin(a_n))
という漸化式で定義すると，
lim{n→∞]a_n=α，lim{n→∞]b_n=βは常に存在し，その値はp,qによらない。
ちなみに、αはsin(cos x)=xの解，βはcos(sin x)=xの解
ざっくり計算すると、α=0.6948…，β=0.7681…
0010１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/02/08(水) 22:37:11.06ID:rGLhtxcW
>>8-9
ありがとうございます！
まだ読んでませんが
0011１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/02/09(木) 23:09:37.26ID:qZ1XtkvU
>>4
動作を繰り返すみたいなってなんやねん
有限回の操作なら合ってるんちゃう？>>2がいうように
001312
垢版 |
2017/02/17(金) 13:35:07.20ID:wzrn+Bbj
畳み込みと勘違いした。
0024１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/05/13(土) 11:36:22.85ID:SLtYMLHl
f^n(x)やg^n(x)などと書けば誤解はなかったのにな
「f^nはfのn個の合成」みたいに但し書きを添えておくとなお良し
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