微分積分 [無断転載禁止]©2ch.net

1132人目の素数さん2016/12/18(日) 20:26:01.60ID:YNxFI0aJ
微分積分

372◆2VB8wsVUoo 2017/11/07(火) 05:18:58.44ID:qfDf0bUe

373132人目の素数さん2017/11/07(火) 20:41:55.47ID:tIMewAzz
斎藤正彦さんの『行列と群』という本の中で、


f(z) を実係数多項式とし、複素係数の多項式として

f(z) = g(z)*h(z)

と分解されるとする。

このとき、g(z) が実係数多項式ならば h(z) も実係数多項式である


という論法が使われているのですが、証明を教えてください。

374◆2VB8wsVUoo 2017/11/08(水) 01:50:57.02ID:r2EqUl6O

375◆2VB8wsVUoo 2017/11/08(水) 01:51:14.47ID:r2EqUl6O

376◆2VB8wsVUoo 2017/11/08(水) 01:51:30.49ID:r2EqUl6O

377◆2VB8wsVUoo 2017/11/08(水) 01:51:48.39ID:r2EqUl6O

378◆2VB8wsVUoo 2017/11/08(水) 01:52:06.61ID:r2EqUl6O

379◆2VB8wsVUoo 2017/11/08(水) 01:52:28.87ID:r2EqUl6O

380◆2VB8wsVUoo 2017/11/08(水) 01:52:48.00ID:r2EqUl6O

381◆2VB8wsVUoo 2017/11/08(水) 01:53:04.96ID:r2EqUl6O

382◆2VB8wsVUoo 2017/11/08(水) 01:53:22.13ID:r2EqUl6O

383◆2VB8wsVUoo 2017/11/08(水) 01:53:39.83ID:r2EqUl6O

384132人目の素数さん2017/11/13(月) 20:59:17.97ID:JOdQXv6a
>>373
f(x)/g(x)=h(x) の両辺が
実数係数有理式。

385132人目の素数さん2017/11/14(火) 12:10:38.53ID:5GwueLvD
区間 [a, b) と R は同相でないことの証明ですが、

[a, b) から1点 a を除いた集合は連結

一方、

R から1点を除いた集合は非連結


という証明がありますが、直接的に証明してください。

386◆2VB8wsVUoo 2017/11/14(火) 13:01:53.48ID:DKMYn3HH

387◆2VB8wsVUoo 2017/11/14(火) 13:02:09.54ID:DKMYn3HH

388◆2VB8wsVUoo 2017/11/14(火) 13:02:25.37ID:DKMYn3HH

389◆2VB8wsVUoo 2017/11/14(火) 13:02:43.60ID:DKMYn3HH

390◆2VB8wsVUoo 2017/11/14(火) 13:03:01.09ID:DKMYn3HH

391◆2VB8wsVUoo 2017/11/14(火) 13:03:17.68ID:DKMYn3HH

392◆2VB8wsVUoo 2017/11/14(火) 13:03:35.37ID:DKMYn3HH

393◆2VB8wsVUoo 2017/11/14(火) 13:03:53.78ID:DKMYn3HH

394◆2VB8wsVUoo 2017/11/14(火) 13:04:11.26ID:DKMYn3HH

395◆2VB8wsVUoo 2017/11/14(火) 13:04:29.05ID:DKMYn3HH

396132人目の素数さん2017/11/24(金) 12:27:06.34ID:2XbK5FAe
〔問題〕
g_i(t)=(1/π)log|1-(r_i)/t|
のとき
∫(-∞,∞)g_1(t)g_2(t) dt
を求めよ。

397132人目の素数さん2017/11/24(金) 12:33:16.70ID:2XbK5FAe
>>396

r_1,r_2 > 0 とする。

398132人目の素数さん2017/11/27(月) 10:38:29.04ID:f62zTFKa
>>396-397

min{r_1,r_2}

森口・宇田川・一松:「数学公式I」岩波全書221(1956)p.242

399132人目の素数さん2017/11/27(月) 10:40:16.99ID:f62zTFKa
〔問題〕
a,b>0 のとき
 (1/π)∫[0,∞)2sin(at)sin(bt)/tt dt
を求めよ。

400132人目の素数さん2017/11/27(月) 10:45:00.32ID:f62zTFKa
>>399

積和公式
2 sin(at)sin(bt)= cos((a-b)t)- cos((a+b)t),
より
(1/π)∫[0,∞)2sin(at)sin(bt)/tt dt
=(1/π)∫[0,∞){1-cos((a+b)t)}/tt dt -(1/π)∫[0,∞){1-cos((a-b)t)}/tt dt
={(|a+b|-|a-b|)/π}∫[0,∞){1-cos(u)}/uu du
=(|a+b|-|a-b|)/2    (*)
= min{a,b}

*)高木:「解析概論」改訂第三版、岩波書店(1961)  §48,p.169

 森口・宇田川・一松:「数学公式I」岩波全書221(1956) p.251,p.257

401132人目の素数さん2017/11/27(月) 20:36:31.14ID:xEoMPOim
floor(sqrt(x)) = floor(sqrt(floor(x)))

がすべての負でない実数に対して成り立つことを示せ。

解答:

floor(x) ≦ x だから

sqrt(floor(x)) ≦ sqrt(x).
floor(sqrt(floor(x))) ≦ floor(sqrt(x)).

今、仮に、 floor(sqrt(floor(x))) < floor(sqrt(x))

が成り立つような負でない実数が存在すると仮定する。

x が整数ならば floor(sqrt(floor(x))) = floor(sqrt(x)) だから、 x は整数ではない。

x は整数ではないからもちろん sqrt(x) も整数ではない。

よって、 floor(sqrt(x)) < sqrt(x)

sqrt(floor(x)) < floor(sqrt(x)) が成り立つ。なぜなら、 floor(sqrt(x)) ≦ sqrt(floor(x))

と仮定すると、 floor(sqrt(x)) ≦ floor(sqrt(floor(x))) となってしいまい仮定に反するからである。

以上より、 sqrt(floor(x)) < floor(sqrt(s)) < sqrt(x).

x < floor(x) + 1 だから sqrt(x) < sqrt(floor(x) + 1).

∴ sqrt(floor(x)) < floor(sqrt(x)) < sqrt(floor(x) + 1)

sqrt(floor(x)) < sqrt((floor(sqrt(x)))^2) < sqrt(floor(x) + 1)

floor(x) と floor(x) + 1 の間に整数 (floor(sqrt(x)))^2 が存在することはあり得ない。

これは矛盾である。

したがって、

floor(sqrt(x)) = floor(sqrt(floor(x)))

がすべての負でない実数に対して成り立つ。 👀
Rock54: Caution(BBR-MD5:0be15ced7fbdb9fdb4d0ce1929c1b82f)

402132人目の素数さん2017/12/07(木) 22:02:26.00ID:PGE1ivVB
時枝正さんの You Tube の講義動画を見ました。

メビウスの帯をセンターラインで切ると4回ねじれた帯ができますが、
これはどう考えれば分かりやすいんですか?

403132人目の素数さん2017/12/21(木) 09:48:16.01ID:KTVs56hk
0 ≦ x ≦ s
0 ≦ y ≦ s
0 ≦ z ≦ s
x + y + z = 2*s

という条件をみたす点 (x, y, z) の集合はコンパクト集合である。

f は連続写像だからこのコンパクト集合上で最大値をとる。

点 (2*s/3, 2*s/3, 2*s/3) はこのコンパクト集合上の点であり、
f(2*s/3, 2*s/3, 2*s/3) = (1/27)*s^3 > 0 である。

x, y, z のどれかが s であれば f = 0 であるからそのような (x, y, z) は最大点ではない。
x, y, z のどれかが 0 であるとする。例えば、 x = 0 であるとする。

このとき、

y + z = 2*s
0 ≦ y ≦ s
0 ≦ z ≦ s

であるから y = z = s でなければならない。

f(0, s, s) = 0 である。

よって、 x, y, z のどれかが 0 であるような点 (x, y, z) は最大点ではない。

以上から、最大点を (x, y, z) とすると、

x, y, z は、

0 < x < s
0 < y < s
0 < z < s
x + y + z = 2*s

という条件をみたす。

よって、

x, y, z が

0 < x < s
0 < y < s
0 < z < s
x + y + z = 2*s

という条件をみたすとき、

f(x, y, z) = (s - x)*(s - y)*(s - z)

を最大にする点 (x, y, z) は存在する。

404132人目の素数さん2017/12/21(木) 12:56:35.21ID:2Ndt8RS0
>>402
まんまや

405132人目の素数さん2018/01/01(月) 19:30:36.59ID:MtjEXQ7g
連続関数 f(x, y) が全平面で 0 にならないと仮定する。
2変数連続関数の中間値の定理により、

f(x, y) > 0 for all (x, y)

または、

f(x, y) < 0 for all (x, y)

が成り立つ。

406132人目の素数さん2018/01/04(木) 22:18:03.09ID:q45yvd8D
〔補題〕
a_i≧0,x_iは実数のとき
Σ[1≦i,j≦n]min{a_i,a_j}x_i xj ≧ 0 (半正値)

(略証)
 >>396-400 から出る。

407◆2VB8wsVUoo 2018/01/19(金) 18:41:40.58ID:ujRq+81i

408◆2VB8wsVUoo 2018/01/19(金) 18:42:00.52ID:ujRq+81i

409◆2VB8wsVUoo 2018/01/19(金) 18:42:18.39ID:ujRq+81i

410◆2VB8wsVUoo 2018/01/19(金) 18:42:37.29ID:ujRq+81i

411◆2VB8wsVUoo 2018/01/19(金) 18:42:56.70ID:ujRq+81i

412◆2VB8wsVUoo 2018/01/19(金) 18:43:17.01ID:ujRq+81i

413◆2VB8wsVUoo 2018/01/19(金) 18:43:35.29ID:ujRq+81i

414◆2VB8wsVUoo 2018/01/19(金) 18:43:52.88ID:ujRq+81i

415◆2VB8wsVUoo 2018/01/19(金) 18:44:11.15ID:ujRq+81i

416◆2VB8wsVUoo 2018/01/19(金) 18:44:29.51ID:ujRq+81i

417132人目の素数さん2018/02/02(金) 14:03:40.43ID:qNa0b/Hk
{a} ⊂ A ⊂ {a, b} ⇒ A = {a} または A = {a, b}

これはどうやって証明するんですか?

418132人目の素数さん2018/02/04(日) 12:52:50.68ID:e/Db4a5+
マルチ

419132人目の素数さん2018/02/05(月) 12:40:36.66ID:NBMTNhVs
一般のバナッハ空間で、
f(x+h)=f(x)+f'(x)h+|h|ε
で微分係数f'(x)を(普通に)定義するとして、
fがC1級の時、f'(x0)が逆を持てばfはx0で局所的に
逆写像を持つのは普通にいえますが、
線型写像としてのf'(x0)の核が0(つまり単射)のとき、
fがx0で局所的に単射になることは言えるのでしょうか?
バナッハ空間が有限次元ならやさしいのですが、
一般の場合がわかりません。どなたか偉い人、証明を
教えていただけないでしょうか。
それとも無限次元では言えないのかなあ。

420132人目の素数さん2018/02/06(火) 05:13:22.12ID:prVkj7SB
>>419 もう少し条件を付け足せば、無限次元でも、成り立ちます。

f を バナッハ空間 E の開集合 U からバナッハ空間 F への C^1 級写像で、
U のある点 x_0 に対し、 Ker(Df(x_0)) = {0}, かつ Im(Df(x_0)) が F の閉部分線型空間の時、
E における x_0 の閉近傍 V⊆U が存在し、f は V から f(V) への位相同型となり、
f(V) は F の閉集合であるようにできます。

Im(Df(x_0)) が F で閉でないときは、僕にはわかりません。

4214192018/02/06(火) 17:11:43.09ID:f7xgRLJ1
>>420
レスありがとうございます。すごいですね。証明の概略だけでもおしえていただけませんか。

422132人目の素数さん2018/02/06(火) 17:51:27.99ID:prVkj7SB
>>421

ここに pdf があります。証明がついていますので、ダウンロードして見てください。

ttps://box.yahoo.co.jp/guest/viewer?sid=box-l-acm4ry5jroxcmimohztk3mtseu-1001&uniqid=cbb8be2e-d92f-441e-a4f2-6b7a00d3c056&viewtype=detail

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