【議題１】どのような変換器が存在し、数学的にどのように表記できるか？
【議題２】変換器はどのようにいくつかの変換器に分解可能か？
【議題３】変換器Cに対する逆変換器C^(-1)の存在可能性について。
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有限数列上の変換について [無断転載禁止]©2ch.net
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【議題１】どのような変換器が存在し、数学的にどのように表記できるか？
【議題２】変換器はどのようにいくつかの変換器に分解可能か？
【議題３】変換器Cに対する逆変換器C^(-1)の存在可能性について。
【定義２】a_*(i)＝a_iとする。
#((a_i)_{i=k}^h)＝h-k+1
となる。
【定義５】「x ||_A y」は、条件Aが満たされるときxに等しく、その他のときyに等しい。
「||_A」を「条件Aの壁」と呼ぶことにする。
条件の壁は左結合である。すなわち x ||_A y ||_B z ＝ (x ||_A y) ||_B zである。
【定義６】「x ||_A y」は、条件Aが満たされるときyに等しく、その他のときxに等しい。
「||_A」を「条件Aの壁」と呼ぶことにする。
条件の壁は左結合である。すなわち x ||_A y ||_B z ＝ (x ||_A y) ||_B zである。
【定義８】数列XからX[h]を取り除いた数列をERASE(X, h)と表す。
【定義９】数列XからX[h]からX[k]までを取り除いた数列をERASE(X, h, k)と表す。
【定義11】数列Xの中のX[i]の前に数列Yを挿入した数列をINSERT(X, i, Y)と表す。
【定義13】数列Xの最後に数列Yの項を順番に挿入した数列をAPPEND(X, Y)と表す。
【定義15】数列Xについて、X[h]以降のm個の項を並べた数列をSUB(X, h, m)と表す。
【定義18】数列XについてX[h]以降のm個の項を数列Yで置き換えた数列を
REPLACE(X, h, m, Y)と表す。
Xの先頭からm個の項を順番に取り出したサイズmの数列を
SHRINK(X, m)と表す。
これは(f(i+h))_{i=0}^{k-h}という形に変形できる。
よって(f(i))_{i=0}^nのような、添字がゼロベースの数列を考えるだけで充分である。
ERASE(X, h)＝ERASE(X, h, h)
である。
明らかに
ERASE(X, 0, #(X)-1)＝()
である。
APPEND(X, y)＝INSERT(X, #(X), y)
であり、
APPEND(X, Y)＝INSERT(X, #(X), Y)
である。
APPEND(X, APPEND(Y, Z))＝APPEND(APPEND(X, Y), Z)
である。
である。ここに「||_{i≧h}」は条件i≧hの壁である。
APPEND(X, Y)＝(X[i] ||_{#(X)≦i} Y[i-#(X)])_{i=0}^{#(X)+#(Y)-1}
である。
INSERT(X, 0, Y)＝APPEND(Y, X)
である。
INSERT(INSERT(X, h, Y), h, Z)＝INSERT(X, h, APPEND(Z, Y))
である。
明らかにERASE(X, h, k)＝ERASE2(X, h, k-h+1)である。
【定義22】数列Xの先頭の項をFRONT(X)と表す。
【定義23】数列Xの最後のm個の項を並べた数列をBACK(X, m)と表す。
【定義24】数列Xの最後の項をBACK(X)と表す。
【定義25】すべての数列の全体集合をSeqと表す。また、サイズnの数列の全体集合をSeq(n)と表す。
【定義26】x以上y未満の整数の集合をI(x,y)と表す。
#(X)のXはSeqに属する。
X[h]のhはI(0,#(X))に属する。
ERASE(X,h)のhはI(0,#(X))に属し、Xはサイズ1以上の数列である。
ERASE2(X,h,m)のhはI(0,#(X)+1)に属し、mはI(0,#(X)-h+1)に属し、Xはサイズm以上の数列である。
INSERT(X,h,Y)のhはI(0,#(X)+1)に属し、X,YはSeqに属する。
これは２通りの見方がある。Xの最後にYを追加するか、Yの先頭にXを挿入するか。
Z＝APPEND(*,Y)の値域はSUB(Z,#(Z)-#(Y),#(Y))＝YとするZの集合である。
Z＝APPEND(X,*)の値域はSUB(Z,0,#(X))＝XとするZの集合である。
元の変換器の値域を考慮する必要がある。
ここにBACK(Z,#(Y))＝Yでなければならない。
ここにFRONT(Z,#(X))＝Xでなければならない。
どこかで見たことあると思ったら…
多重集合と負の存在 [転載禁止](c)2ch.net
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1418480755/
ここに0≦h＜#(X)かつ#(X)-1＝#(Z)≧0でなければならない。
ここに0≦h≦h+m≦#(Z)＝#(X)+#(Y)でなければならない。また、SUB(Z,h,m)＝Yである。
存在すれば、y＝g(f(x))の逆関数はx＝f^{-1}(g^{-1}(y))である。
このことを確認したい。
コンピュータ様は、明確に記述しないと数学的概念を理解してくれないらしい。
APPEND(X,Y,Z)と書いてもいい。
Z＝INSERT(ERASE(X,1),0,x)と書ける。
Y＝ERASE(X,1)＝ERASE2(X,1,1)の逆変換器はX＝INSERT(Y,1,X[1])であり、
Z＝INSERT(Y,0,x)の逆変換器はY＝ERASE(Z,0)と書ける。
よってC_1の逆変換器はX＝INSERT(ERASE(Z,0),1,X[1])と書ける。これは直感的に正しい。
X[1]は未知数となる。
Z[i]＝f(X[i]) (0≦i＜#(X))
かつ#(Z)＝#(X).
X＝FOREACH(Z,f^(-1))である。
Z＝EACHOTHER(+,X,Y)を次のように定義する。
Z[i]＝X[i]+Y[i] (0≦i＜#(X))
かつ#(Z)＝#(X).
全単射でなければ逆変換に未知数が発生して逆変換器は一意にならない。
それらがすべて全単射ならば、Cは全単射と言える。
ここにX[h]は未知数である。
ここにSUB(X,h,m)は未知数となるが、長さはmであることが確定している。
明らかにERASE2(X,h,m)＝REPLACE(X,h,m,())である。
明らかにINSERT(X,h,Y)＝REPLACE(X,h,0,Y)である。
【証明】XをYにする変換器はREPLACE(X,0,#(X),Y)である。□
REPLACE(X,h,m,Y)＝INSERT(ERASE2(X,h,m),h,Y)
である。
【証明】>>49より明らか。□
減らすのも、結果としては同じである。
f(X)＝ERASE(X,h),
ERASE2(X,h,m)＝f^m(X).
未知数ではなく虚という解釈で実数を返すから正しいと言えないんじゃないのか？
それを各単変換で補完できるとは思えないんだがわかりやすく説明出来ますか？
単射でなければ
a≠bかつf(a)＝f(b)＝cとなり、f^(-1)(c)＝aかつf^(-1)(c)＝bとなる。
ここでf^(-1)の存在は矛盾する。
しかし、fを多値関数とすれば矛盾は回避できる。
多値関数fの値は単値の集合として扱う。整列可能ならば
多値は小さい順に並べたリストにすることができる。
よって多値関数は単値関数に分解できる。
未知数は積分定数と同じように多値の違いを吸収ために用意した。
ただし、今考えているのは数列の変換器であり、
多値の違いは数列上に存在するので、それは数列の局所に限定される。
値域で像にならないものが存在することだ。
ここまでの変換器にはそのようなものはない。
>>59の発言を撤回する。
f: (x,y) |→ (0,x+y)
f(X)＝(1,2)
f^(-1)((1,2))＝?
これは機械が不正な処理をしたときに限られる。
よって変換器か変換結果が不正な状態であるということができる。
よって全射でなければ変換が不正である。
これまで見たように変換器の定義域や値域は複雑な式になることがある。
Cが単射でなければC^(-1)は多値関数となる。
応用分野において多値であることが重要ではないとき、代表の値を選出して
それを単値とするような機構にすることができる。
× 多値の違いは数列上に存在するので、それは数列の局所に限定される。
○ 多値の違いは数列上に存在するので、変換器が数列において局所的な変更しか
行わないのであれば、その違いは数列の局所に限定される。
次元を1→1.5に上げれば限定的に変換関数が変換器を通せばわかるってことなんですね
有限数列to有限数列の変換器はF(x)、G(x)で逆共有型になるかと・・・
そもそも有限関数というのは
1.2.3・・・ｎのｎさえ分かれば一般公がわかり、ｎが判断出来ない場合無限関数と仮定して初公ｄ公差ｋが分かればｎが分かる。
直接的構造で辻褄が合えばそれでTrue。変換器自体がFalse。
変換器を利用すると正解or近似域だが辻褄があったというだけでその変換器だけが単独で正解というわけでは無い。
次元を2.5としても次元Qとしても同じ変換器の個数となるのか？
それが成り立つが解は増えるばかりかと個人的に考えるのですが、どうお考えですか？
例えば、項を１つ追加した後、追加した項を取り除く、という無駄な
操作は変換器に何回適用しても結果に影響しない。
IDENTICALの逆変換器はIDENTICALである。
次元を上げるのはまだ早い
D(C(X))＝IDENTICAL(X)が常に成り立つ。
つまり、CとDを合成するとIDENTICALになる。
y=C(x)に対し、その定義域が0からN-1までの整数であり、又、値域が0からN-1までの整数であり、かつ全単射であると仮定する。
定理 1
Cによるm回の写像をC^m(・)とする時、全ての整数i<Nについて、ある整数m>0が存在し、i = C^m(i)が成り立つ。
直感としては、任意の全単射の整数関数及び任意の整数に対して長さmのループが存在する。
この時、D(i)=C^{m-1}(i)によりDを表現できる。
証明 1
背理法により、ループが存在しないと仮定する。つまり、ある整数iが存在し、全てのmについて、i \neq C^m(i)
鳩の巣の原理より、m>Nについて、系列C^m(i)には重複が存在する筈である。
つまり、C^{m+n}(i) = C^{m+n+h}(i)となるような整数n, hが存在する。
両辺にD^{m+n}を合成すると
i = C^h(i)
よって、全てのmについてi \neq C^m(i)が成り立つような整数iは存在しない。
定理 2
任意のCについて、全てのiに対して最小の整数mを計算した時、その値の集合MのサイズはO(√N)で押さえられる
証明 2
明らかに、あるループ長m_jに対して、そのループ長であるようなループの個数k_jが存在し、
N = \sum_j m_jk_j
M = \{m_1, m_2, ..., m_{M.size}\}
が成り立つ。今各ループ長及び個数に対してm_j = j, k_j = 1を仮定すると、
N \simeq (M.size)^2 / 2
となる。
対角線論法で容易に示せるのだが、
その辺りはどう扱うのかな？
計算可能関数によって定義された数列について、
ある自然数がその数列に含まれるか否か判定するアルゴリズムが存在しないことも示せるのだが、
そこもどうするんだ？
理解した。すべての実数を具体的に列挙することはできないが、
実数の全体集合をＲと表すことは可能だ。
理解できない。数式が決定的なら、自然数nについて、
(1)nを第1項と比較する。同じならば与式は真。
(2)nを第2項と比較する。同じならば与式は真。
……以下、最後の項まで繰り返して同じものがなければ与式は偽。
……というアルゴリズムが存在する。
色々わかった
次元を上げるというか変換器を通したら次元の増減となり同じ次元の数列では無い。
同じと言えてしまうと数列なので変換器自体に別の次元解に重複が存在するということ。
例えば17.0.15.2.13.4.11.6.9.8でx=ωの数列は0.2.4.6.8.9.11.13.15.17でx=dn*ωと複雑な並び替えを行うような変換器なら変換ができ次元を超え変えられるため変換器が不正。
他にも作ろうと思えば数列個分の変換器、逆生成できることに。
次元を変えずに変換が成立する数列to変換数列は
全部にdｎ+mの変換器の場合のみで逆変換器は(1/dn)-ｍ
今回の例だと1*1+(-9)=-8の変換器とするとしたらで 9.-8.7.-6.5.-4.3.-2.1.0 でω-8となりこの時の変換器は直観的に正しいが
逆変換器は(1/1*1)-(-9)=10でω+10が正しく逆変換できていると言えるだろうか
無限小と仮定の数列だったが制限付きの無限大の数列などでも直接的に説明がついてしまうのは変換器が不正。
逆変換器は数列に直接辻褄を合わせただけの値なので変換器が不正だと考えられる。
http://katahiromz.web.fc2.com/mathai/list_process.zip
例えば、このプログラムで「APPEND(<1,2>,<3,4,5>)」と入力すると、
２つのリストを連結した結果「<1, 2, 3, 4, 5>」を返す。
「SOLVE FOR X: Z=APPEND(X,Y)」と入力すると、
プログラムは方程式「Z=APPEND(X,Y)」をXについて解き、
「X = FRONT(Z, (#(Z) - #(Y)))」を出力する。
基本操作のそれぞれの逆変換器がわかっているので、基本操作の組合せで表
されるリストの方程式を解く形で逆変換器を求めることができることを確認した。
「値域を制限して」は、「終域を制限して」の間違いでした。
http://katahiromz.web.fc2.com/mathai/list_process.zip
2016年2月21日
* APPENDのバグ修正。
* std::coutをprintfにする。
* SUBSTRの逆変換をサポート。
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