σ = (σ_i) を ΠAut(E_i/K) の任意の元とする。 σ の任意の近傍を U とする。 I の有限部分集合 J があり V_J = {(τ_i) ∈ ΠAut(E_i/K)； 各 j ∈ J に対して τ_j = σ_j} ⊂ U となる。 >>3より F_J/K は正規拡大であり、 Aut(F_J/K)は Π[j ∈ J] Aut(E_j/K) に位相群として同型である。 よって、τ_J ∈ Aut(F_J/K) で τ_J の各 E_j、j ∈ J への制限が σ_j となるものが存在する。 過去スレpart4の887より τ ∈ Aut(L/K) で τ の F_J への制限が τ_J となるものが存在する。 f(τ) ∈ V_J である。 よって、f(Aut(L/K)) は ΠAut(E_i/K) において密である。 一方、Aut(L/K) は準コンパクト（過去スレpart5の64）であるから 過去スレpart5の71より f(Aut(L/K)) は準コンパクトである。 ΠAut(E_i/K) は Hausdorff であるから過去スレpart5の69より f(Aut(L/K)) は閉集合である。 よって、f(Aut(L/K)) = ΠAut(E_i/K) である。 証明終 0006Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/02/23(木) 17:49:28.84 定義 S を集合とする。 S から S への全単射全体は写像の合成で群となる。 この群を S 上の対称群と呼び Sym(S) と書く。 0007Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/02/23(木) 17:57:02.35 定義 S を集合とする。 Sym(S)（>>6）の元を S 上の置換と呼ぶ。 Sym(S) の部分群 G を S 上の置換群と言う。 このとき S は忠実（過去スレpart5の843）な G-集合（過去スレpart5の77）となる。 逆に忠実な G-集合 X は X 上の置換群と見なされる。 0008Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/02/23(木) 18:10:51.50 定義 K を可換体とする。 L/K を拡大（過去スレpart4の512）とする。 S を L の部分集合で K 上代数的独立（過去スレpart5の7）であるとする。 L = K(S)（過去スレpart4の539）となるとき L を K 上の純超越拡大体 または L/K は純超越拡大であるとも言う。 このとき L は S を不定元の集合とする K 上の有理関数体とも言う。
S = {X_1、．．．、X_n} のとき K(S) = K(X_1、．．．、X_n) は K 上の n 変数の有理関数体とも言う。 0009Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/02/23(木) 18:21:23.15 命題 K を可換体とする。 S を任意の集合とする。 このとき S を不定元の集合とする K 上の有理関数体 K(S)（>>8）が K-同型（過去スレpart4の514）を除いて一意に存在する。
証明 S を不定元の集合とする K 上の多項式環 K[S] の存在は良く知られている。 K[S] の商体が K(S) である。 K(S) が K-同型を除いて一意であることは K[S] が K-同型を除いて一意であることから明らかである。 証明終 0010Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/02/23(木) 18:37:03.11 命題 S を集合とする。 G を S 上の置換群（>>7）とする。 K を可換体とする。 このとき G は Aut(K(S)/K) の部分群と見なされる。
証明 K(S) の任意の元 r は r = f(s_1、．．．、s_n)/g(s_1、．．．、s_n) と書ける。 ここで s_1、．．．、s_n は S の元の列であり、 f(s_1、．．．、s_n) と g(s_1、．．．、s_n) は K[s_1、．．．、s_n]（過去スレpart4の539） の元である。σ ∈ G のとき σ(r) = f(σ(s_1)、．．．、σ(s_n))/g(σ(s_1)、．．．、σ(s_n)) と定義すればよい。 この定義が矛盾なく行えることと、 この定義により G が Aut(K(S)/K) の部分群と見なされることは明らかである。 証明終 0011Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/02/23(木) 18:48:34.21 定義 G を群とする。 G の単位群を e とする。 H = {e} とおく。 G は G の H による左剰余類全体の集合 G/H と同一視される。 よって、過去スレpart5の108より G は推移的（過去スレpart5の107）な G-集合となる。 このとき G は忠実（過去スレpart5の843）な G-集合である。 よって、忠実な表現（過去スレpart5の843）G → Sym(G)（>>6）が得られる。 この表現を G の正則表現と呼ぶ。 このとき G は G 上の置換群（>>7）と見なされる。 0012Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/02/23(木) 18:49:47.19>>11 >G の単位群を e とする。
G の単位元を e とする。 0013Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/02/23(木) 18:57:41.34 命題 (G_i)、i ∈ I を群の族とする。 G = ΠG_i を (G_i)、i ∈ I の直積とする。 各 i ∈ I に対して S_i を (G_i)-集合（過去スレpart5の77）とする。 S = ΣS_i を族 (S_i)、i ∈ I の直和集合とする。 σ = (σ_i) ∈ G と x ∈ S_i に対して σx = (σ_i)x と定義することにより S は G-集合となる。 このとき、各 S_i が忠実（過去スレpart5の843）な (G_i)-集合であれば S は忠実な G-集合である。
スレ立てから２分後に書き込みか。やはり糞スレ立ててるのは、クマ自身かｗ 0015１３２人目の素数さん垢版2012/02/24(金) 01:50:55.64 何がおかしいのか意味不明 0016１３２人目の素数さん垢版2012/02/24(金) 01:55:08.98 当然俺が今まで全部スレ立てしてる。 そうでないと思ってたのか？ www 0017１３２人目の素数さん垢版2012/02/24(金) 01:57:56.38 話は変わるが逮捕厨はどこ行った？ www 0018１３２人目の素数さん垢版2012/02/24(金) 09:08:58.35>>16 ただ書き込んでるだけで虚しくないかｗ 0019１３２人目の素数さん垢版2012/02/24(金) 10:34:27.88 自分に引き付けてるなｗ 何かをコピッてるなら空しいだろうが全部再構成してる。 特に今やってるとこ（Galois拡大の構成）は面白い。 このあたり普通の教科書では扱ってない。 0020Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/02/24(金) 12:08:27.66 補題 K を可換体とする。 L/K をGalois拡大（過去スレpart4の848）とする。 E を L/K の中間体（過去スレpart4の854）とする。 T を Aut(L/K)（過去スレpart4の847）の有限部分集合とする。 任意の σ ∈ Aut(L/K) と任意の x ∈ E に対して σ(x) = τ(x) となる τ ∈ T があるとする。 このとき [E ： K] ≦ |T| である。 ここで |T| は T の要素の個数である。
証明 任意の x ∈ E に対して x の K 上の最小多項式（過去スレpart4の554）を f(X) とする。 f(X) の L における根の集合を S とする。 x ∈ S であるから任意の τ ∈ T に対して τ(x) ∈ S である。 逆に任意の y ∈ S に対して過去スレpart4の613より K-同型（過去スレpart4の514）ρ：K(x) → K(y) で ρ(x) = y となるものが存在する。 過去スレpart4の887より σ ∈ Aut(L/K) で ρ の拡張であるものが存在する。 仮定より σ(x) = τ(x) となる τ ∈ T がある。 σ(x) = ρ(x) であるから y = τ(x) よって、S = {τ(x)；τ ∈ T} である。 よって、|S| ≦ |T| である。 よって、f(X) の次数は |T| 以下である。 E/K は分離代数的（過去スレpart4の843）だから過去スレpart1の434より [E ： K] ≦ |T| である。 証明終 0021Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/02/24(金) 15:26:01.66 次の命題の証明はやや長いのでいくつかのステップに別けて証明する。
命題 (G_i)、i ∈ I を有限群の族とする。 G = ΠG_i を (G_i)、i ∈ I の直積とする。 このとき、ある可換体 K と Galois拡大（過去スレpart4の848）L/K が存在し G は Aut(L/K)（過去スレpart4の847）と同型になる。 このとき K の標数（過去スレpart4の667）は任意に取れる。 0022Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/02/24(金) 15:49:11.28 命題 (G_i)、i ∈ I を有限群の族とする。 G = ΠG_i を (G_i)、i ∈ I の直積とする。 各 i に対して忠実（過去スレpart5の843）な (G_i)-集合（過去スレpart5の77）S_i が存在する。 例えば S_i として G_i を取り G_i の正則表現をとればよい（>>11）。 S = ΣS_i を族 (S_i)、i ∈ I の直和集合とする。 >>13より S は忠実な G-集合（過去スレpart5の77）となる。 k を任意の可換体とする。 >>9より S を不定元の集合とする k 上の有理関数体 k(S)（>>8）が存在する。 L = k(S) とおく。 >>10より G は Aut(L/k) の部分群と見なされる。 K = {x ∈ L；各σ ∈ G に対して σ(x) = x } とおく。 このとき L/K はGalois拡大（過去スレpart4の848）である。
証明 L は G-集合と見なされる。 x を L の任意の元とする。 過去スレpart5の848より x の軌道（過去スレpart5の92）O(x) = {σ(x)； σ ∈ G} が 有限集合であることを示せば良い。 各 i ∈ I に対して G_i は G の部分群と見なされる。 I の有限部分集合 J があり x ∈ k(∪{S_j；j ∈ J}) となる。 σ = (σ_i) を G = ΠG_i の任意の元とする。 J = {j_1、．．．、j_n} のとき σ(x) = σ_(j_1)．．．σ_(j_n)(x) となる。 よって、|O(x)| ≦ Π[i ∈ J] |G_j| である。 ここで |O(x)| と各 |G_j| はそれぞれ O(x) と G_j の集合としての濃度を表す（過去スレpart1の180）。 各 G_j は有限群であるから |O(x)| は有限である。 証明終 0023Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/02/24(金) 16:01:13.13 命題 >>22と同じ状況を仮定する。 x_1、．．．、x_n を L の元とする。 このとき、Aut(L/K) の任意の元 σ に対して σ(x_1) = τ(x_1)、．．．、σ(x_n) = τ(x_n) となる τ ∈ G が存在する。
>>22の記号で S_i の各元は j ≠ i のとき G_j で不変であるから S_i ⊂ E_i である。 τ ≠ 1 を G_i の元とする。 τ ≠ 1 だから S_i の元 s で τ(s) ≠ s となるものが存在する。 よって、g_i(τ) ≠ 1 である。 よって、g_i は単射である。 証明終 0031Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/03(土) 08:35:16.90 補題 X を位相空間とする。 A と B を X の部分集合で B ⊂ A とする。 B の X における閉包を B~ とする。 このとき B~ ∩ A は部分空間 A における B の閉包である。
証明 A における B の閉包を B’とする。 B ⊂ B~ ∩ A であり B~ ∩ A は A の閉集合であるから B’⊂ B~ ∩ A である。 逆の包含関係を示せば良い。 x ∈ B~ ∩ A のとき x ∈ B’を示せば良い。 V を x の A における任意の開近傍とする。 V = U ∩ A となる X の開集合がある。 x ∈ B~ で x ∈ U だから U ∩ B ≠ φ である。 U ∩ B = U ∩ A ∩ B = V ∩ B だから V ∩ B ≠ φ である。 よって、x ∈ B’である。 証明終 0032Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/03(土) 08:40:52.01 命題 >>25と同じ状況を仮定する。 このとき L は (E_i)、i ∈ I の合成体である。
証明 (E_i)、i ∈ I の合成体を E とする。 Galois理論の基本定理（過去スレpart5の288）より Aut(L/E) = {1} を示せば良い。 先ず G ∩ Aut(L/E) = {1} を示す。 σ ∈ G ∩ Aut(L/E) とする。 σ ∈ G = ΠG_i だから σ = (σ_i)、i ∈ I と書ける。 >>25の証明より、各 i ∈ I と任意の x ∈ E_i に対して σ(x) = σ_i(x) となる。 σ ∈ Aut(L/E) だから σ_i(x) = x である。 よって、σ_i の E への制限は E の恒等写像である。 よって、>>30より σ_i = 1 である。 よって、σ = 1 である。 よって、G ∩ Aut(L/E) = {1} である。
証明 >>32と>>34と>>4より明らかである。 0036Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/03(土) 08:51:56.55 命題 (G_i)、i ∈ I を有限群の族とする。 G = ΠG_i を (G_i)、i ∈ I の直積とする。 各 i ∈ I に対して G_i に離散位相を与えて G = ΠG_i を位相群と見なす。 このとき、ある可換体 K と Galois拡大（過去スレpart4の848）L/K が存在し G は Aut(L/K)（過去スレpart4の847）と位相群として同型になる。 このとき K の標数（過去スレpart4の667）は任意に取れる。
証明 >>35と>>30より明らかである。 0037Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/03(土) 08:54:40.07 命題 >>22と同じ状況を仮定する。 各 i ∈ I に対して G_i に離散位相を与えて G = ΠG_i を位相群と見なす。 このとき Aut(L/K) は G と位相群として一致する。
証明 過去スレpart5の242より、各 i ∈ I に対して Aut(L/K) の各元を E_i に制限することにより 連続準同型 f_i：Aut(L/K) → Aut(E_i/K) が得られる。 族 (f_i)、i ∈ I は連続準同型 f：Aut(L/K) → ΠAut(E_i/K) を引き起こす。 >>35より f は位相群としての同型である。 f を G の制限した写像を g：G → ΠAut(E_i/K) とする。 各 i ∈ I に対して g を G_i に制限した写像を g_i：G_i → ΠAut(E_i/K) とする。 Aut(E_i/K) を ΠAut(E_i/K) の部分群と同一視したとき g_i(G) = Aut(E_i/K) である。 >>30より g_i：G_i → g_i(G) = Aut(E_i/K) は同型である。 よって、g：G → ΠAut(E_i/K) は全単射である。 ι：G → Aut(L/K) を包含写像とする。 fι = g である。 g は全射だから任意の σ ∈ Aut(L/K) に対して f(σ) = g(τ) となる τ ∈ G がある。 fι = g より f(σ) = f(ι(τ)) である。 f は単射だから σ = ι(τ) である。 よって、ι は全射である。 よって、Aut(L/K) = ι(G) = G である。 よって、f = g である。 f = g：G → ΠAut(E_i/K) は位相群としての同型であるから Aut(L/K) の部分群としての G の位相は (G_i)、i ∈ I の直積としての位相に一致する。 証明終 0038Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/03(土) 08:56:25.95 命題 G を任意の副有限群（過去スレpart5の705）とする。 有限離散群（過去スレpart5の712）の族 (G_i)、i ∈ I があり G は ΠG_i の閉部分群と位相群として同型である。
証明 G の開正規部分群全体を Ψ とする。 過去スレpart5の706より G = lim[H ∈ Ψ] G/H である。 過去スレpart3の494より G は Π[H ∈ Ψ] G/H の閉部分群と見なされる。 過去スレpart5の711より各 G/H は有限な離散群（過去スレpart5の712）である。 証明終 0039Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/03(土) 09:01:26.44 命題 G を任意の副有限群（過去スレpart5の705）とする。 このとき、ある可換体 K と Galois拡大（過去スレpart4の848）L/K が存在し G は Aut(L/K)（過去スレpart4の847）と位相群として同型になる。 このとき K の標数（過去スレpart4の667）は任意に取れる。
証明 >>38より、有限離散群（過去スレpart5の712）の族 (G_i)、i ∈ I があり G は G’= ΠG_i の閉部分群と見なされる。 >>36より、ある可換体 F と Galois拡大 L/F が存在し G’は Aut(L/F) と位相群として同型になる。 このとき F の標数は任意に取れる。 G’と Aut(L/F) をこの同型で同一視したときの G の固定体（過去スレpart4の863）を K とする。 Galois理論の基本定理（過去スレpart5の288）より Aut(L/K) = G である。 証明終 0040Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/03(土) 09:29:24.76 任意の有限群 G は副有限群であるから>>39より G はあるGalois拡大のGalois群と同型になる。 しかし、この事実は次のように簡単に証明出来る。
命題 G を任意の有限群とする。 このとき、ある可換体 K と Galois拡大（過去スレpart4の848）L/K が存在し G は Aut(L/K)（過去スレpart4の847）と同型になる。 このとき K の標数（過去スレpart4の667）は任意に取れる。
証明 忠実（過去スレpart5の843）な G-集合（過去スレpart5の77）S を任意にとる。 例えば S として G をとり G の正則表現をとればよい（>>11）。 k を任意の可換体とする。 >>9より S を不定元の集合とする k 上の有理関数体 k(S)（>>8）が存在する。 L = k(S) とおく。 >>10より G は Aut(L/k) の部分群と見なされる。 K = {x ∈ L；各σ ∈ G に対して σ(x) = x } とおく。 Artinの定理（過去スレpart1の438）より L/K はGalois拡大で G = Aut(L/K) である。 証明終 0041Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/03(土) 13:09:39.54>>40から次の問題が自然に浮かぶ。
[与えられた可換体上のGaloisの逆問題] 有限群 G と可換体 K を任意に与えたときに Galois拡大（過去スレpart4の848）L/K で G が Aut(L/K)（過去スレpart4の847）と同型になるようなものが存在するか？
この問題は K が素体（過去スレpart4の667）の時が最も重要である。 K が有限体（過去スレpart4の681）であれば後で示すように G としては巡回群しか有りえない。 よって、K が有理数体の場合が問題になる。
この問題は現在のところ未解決であるが種々の結果が知られている。 例えば G が次の場合は上の問題は肯定的である。 ・対称群（Hilbert 1892） ・交代群（Hilbert 1892） ・可解群（Shafarevich 1954, 訂正 1989） ・Mathieu 群 M23 を除く25個の散在単純群（Matzat et al 1986, the Monster group Thompson 1984） 0042Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/03(土) 14:40:12.23>>41 Shafarevichの結果は35年経ってから間違いが訂正された。 これで思い出されるのは有理数体上の任意のアーベル拡大は円分体に含まれるというKronecker-Weberの定理。 これはKroneckerにより1853年に予想されWeberにより1886年に証明された（と思われていた）。 しかし、（100年近く経ってから）1981年にNeumannによりWeberの証明の誤りが指摘され修正された。 因みにHilbertはWeberとは異なる方法により1896年にこの定理を証明している。 0043Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/03(土) 14:49:13.26>>41の年表を見るとGaloisの逆問題に関してHilbertによる最初の発見から100年近く経ってから 急激な進歩があったことが分かる。 これは有限単純群の分類が1985年頃に完成したことと関係があるだろう。 0044Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/03(土) 16:40:16.37 命題 K を可換体とする。 E/K と F/K を拡大(>>90)とする。 σ：E → F を K-同型（過去スレpart4の514）とする。 E_s と F_s をそれぞれ K の E と F における相対分離的閉包（過去スレpart4の890）とする。 このとき σ は K-同型 σ’：E_s → F_s を引き起こす。
τ は K-同型であるから上記と同様に τ(F_s) ⊂ E_s である。 よって、任意の β ∈ F_s に対して α = τ(β) とすれば α ∈ E_s であり σ(α) = β である。 よって、σ(E_s) = F_s となり σ の E_s への制限は K-同型 σ’：E_s → F_s を引き起こす。 証明終 0045Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/03(土) 16:45:23.25 定義 K を可換体とする。 過去スレpart4の636より K は代数的閉包（過去スレpart4の634）K~ を持つ。 K の K~ における相対分離的閉包（過去スレpart4の890）を K の分離代数的閉包と言う。 過去スレpart4の648より K の代数的閉包は K-同型（過去スレpart4の514）を除いて一意に定まる。 よって、>>44より K の分離代数的閉包は K-同型を除いて一意に定まる。 0046Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/03(土) 17:14:25.97 命題 K を可換体とする。 L/K を正規拡大（過去スレpart4の844）とする。 K の L における相対分離的閉包（過去スレpart4の890）を L_s とする。 このとき L_s/K はGalois拡大（過去スレpart4の848）であり Aut(L_s/K)（過去スレpart4の847）は Aut(L/K) に位相群として同型である。
証明 K の L における相対純非分離閉包（過去スレpart5の334）を K~ とする。 過去スレpart5の361より以下が成り立つ。 （1） L_s/K はGalois拡大（過去スレpart4の848）である。 （2） L は K~ と L_s の合成体（>>298）である。 （3） K = K~ ∩ L_s
よって、過去スレpart5の335より、Aut(L_s/K) は Aut(L/K~) に位相群として同型である。 一方、正規拡大に関するGaloisの基本定理（過去スレpart5の282）より Aut(L/K~) = Aut(L/K) である。 証明終 0047Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/03(土) 17:22:34.29 定義 K を可換体とする。 K の代数的閉包（過去スレpart4の634）を K~ とする。 K の分離代数的閉包（>>45）を K^sep とする。 >>46より K^sep/K はGalois拡大であり G = Aut(K^sep/K) は Aut(K~/K) に位相群として同型である。 K^sep/K を K の絶対Galois拡大と言い、G を K の絶対Galois群と呼ぶ。 0048Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/03(土) 17:43:52.28 K を可換体とする。 K の絶対Galois拡大（>>47）K^sep/K は>>45より K が定まれば K-同型を除いて一意に定まる。 K^sep は K の分離代数的拡大、特にGalois拡大を K-同型を除いて全て含む。 よって、Galois理論の基本定理（過去スレpart5の288）より K の絶対Galois群（>>47）G は K の分離代数的拡大のほとんど全ての情報を含むと考えられる。 K が与えられたとき G の構造を決定することは可換体論において重要な問題である。 特に有理数体の絶対Galois群の構造を決定することは未解決の非常に重要な問題と考えられている。 0049Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/04(日) 21:40:01.37 命題 K を可換体とする。 L/K をGalois拡大（過去スレpart4の844）とする。 G = Aut(L/K)（過去スレpart4の847）とする。 G に標準位相（過去スレpart5の216）を入れる。 G の開部分群全体を Ψ とする。 L/K の中間体 M で M/K が有限次拡大となるもの全体を Φ とする。 H ∈ Ψ に対して H の固定体（過去スレpart4の863）を k(H) と書く。 M ∈ Φ に対して Aut(L/M) を g(M) と書く。 このとき k(Ψ) ⊂ Φ、g(Φ) ⊂ Ψ であり k：Ψ → Φ と g：Φ → Ψ は互いに逆写像である。
証明 H ∈ Ψ に対して M = k(H) とする。 H は過去スレpart5の249より G の閉部分群である。 よって、Galois理論の基本定理（過去スレpart5の288）より H = g(M) 過去スレpart5の325より [M_s ： K] は有限である。 ここで、M_s は M における K の相対分離的閉包（過去スレpart4の890）である。 L/K はGalois拡大であるから M/K は分離代数的である。 よって、M_s = M である。 よって、M ∈ Φ である。
逆に任意の M ∈ Φ に対して標準位相の定義より g(M) は開部分群である。 よって、g(M) ∈ Ψ
Galois理論の基本定理（過去スレpart5の288）より k：Ψ → Φ と g：Φ → Ψ は互いに逆写像である。 証明終 0050Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/04(日) 21:44:13.41 命題 K を可換体とする。 L/K をGalois拡大（過去スレpart4の844）とする。 G = Aut(L/K)（過去スレpart4の847）とする。 G に標準位相（過去スレpart5の216）を入れる。 G の開正規部分群全体を Ψ とする。 L/K の中間体 M で M/K が有限次の正規拡大となるもの全体を Φ とする。 H ∈ Ψ に対して H の固定体（過去スレpart4の863）を k(H) と書く。 M ∈ Φ に対して Aut(L/M) を g(M) と書く。 このとき k(Ψ) ⊂ Φ、g(Φ) ⊂ Ψ であり k：Ψ → Φ と g：Φ → Ψ は互いに逆写像である。
証明 H ∈ Ψ に対して M = k(H) とする。 H は過去スレpart5の249より G の閉部分群である。 よって、Galois理論の基本定理（過去スレpart5の288）より H = g(M) よって、過去スレpart5の308より M/K は正規拡大である。 よって、>>49より M ∈ Φ である。
証明 過去スレpart5の727より G は標準位相で副有限群（過去スレpart5の705）となる。 G の開正規部分群全体を Ψ とする。 過去スレpart5の706より G は lim[H ∈ Ψ] G/H に位相群として同型である。 >>50より k：Ψ → Φ と g：Φ → Ψ は互いに逆写像である。 H ∈ Ψ に対して M = k(H) とする。 H = g(M) よって、過去スレpart5の309より G/H は位相群として Aut(M/K) に同型である。 過去スレpart5の212より G/H は離散群（過去スレpart5の712）である。 よって、G は位相群として lim[M ∈ Φ] Aut(M/K) と同型である。 証明終 0052Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/05(月) 00:11:05.52 命題 K を有限体（過去スレpart4の681）とする。 L/K を有限次拡大とする。 n = [L ： K]（過去スレpart4の560）とする。 過去スレpart4の686より |K| は素数冪 q = p^m である。 このとき L は X^(q^n) - X ∈ K[X] の根全体と一致する。 従って L は X^(q^n) - X の K 上の最小分解体（過去スレpart4の542）である。
証明 |L| = q^n である。 過去スレpart1の332より L の乗法群 L^* は巡回群である。 |L^*| = q^n - 1 である。 よって、L^* の任意の元 α に対して α^(q^n - 1) = 1 である。 よって、α^(q^n) = α である。 即ち α は多項式 X^(q^n) - X の根である。 0 は X^(q^n) - X の根であるから L の全ての元は X^(q^n) - X の根である。 |L| = q^n であるから L は X^(q^n) - X の根全体と一致する。 証明終 0053Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/05(月) 00:42:35.34 命題 K を有限体（過去スレpart4の681）とする。 過去スレpart4の686より |K| は素数冪 q = p^m である。 L/K を有限次拡大とする。 n = [L ： K]（過去スレpart4の560）とする。 ψ：L → L をFrobenius自己準同型（過去スレpart1の220）とする。 このとき L/K はGalois拡大（過去スレpart4の844）であり Aut(L/K)（過去スレpart4の847）は ψ^m で生成される位数 n の巡回群である。
証明 >>52より L は X^(q^n) - X の K 上の最小分解体（過去スレpart4の542）である。 よって、過去スレpart4の876より L/K は正規拡大（過去スレpart4の844）である。 X^(q^n) - X は分離的（過去スレpart4の694）であるから L/K はGalois拡大である。 φ = ψ^m とおく。 α ∈ L のとき φ(α) = α^(p^m) = α^q である。 φ：L → L は単射であり L は有限集合であるから φ は全単射である。 よって、φ は L の自己同型である。 >>52より K は X^q - X の根全体と一致する。 よって、φ は K の元を動かさない。 よって、φ ∈ Aut(L/K) である。 >>52より L は X^(q^n) - X の根全体と一致する。 よって、φ^n = 1 である。 過去スレpart1の332より L の乗法群 L^* は巡回群である。 α ∈ L^* をその生成元とする。 |L^*| = q^n - 1 である。 φ^r = 1、1 ≦ r ＜ n とする。 α(q^r) = α よって、α^(q^r - 1) = 1 これは α の位数が q^n - 1 であることに矛盾する。 よって、φ の位数は n である。 |Aut(L/K)| = n であるから Aut(L/K) は φ で生成される巡回群である。 証明終 0054Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/05(月) 01:40:27.39>>53 φ の位数が n であることは次のように証明したほうが良い。
φ^r = 1、1 ≦ r ＜ n とする。 全ての α ∈ L に対して α(q^r) = α よって、多項式 X^(q^r) - X が q^n 個の根を持つことになって矛盾する。 0055Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/05(月) 02:05:16.74 命題 有限体（過去スレpart4の681）は完全体（過去スレpart1の222）である。
証明 K を有限体とする。 K の標数（過去スレpart4の667）を p とする。 ψ：K → K をFrobenius自己準同型（過去スレpart1の220）とする。 ψ は単射で K は有限集合だから ψ は全射である。 よって、K = K^p（過去スレpart1の229）である。 よって、過去スレpart1の238より K は完全体（過去スレpart1の222）である。 証明終 0056Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/05(月) 02:09:29.45 命題 K を有限体（過去スレpart4の681）とする。 K~ を K の代数的閉包（過去スレpart4の634）とする。 このとき K~/K はGalois拡大（過去スレpart4の844）である。
（2）複素係数の２次多項式は複素数体において根を持つ。 0062Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/05(月) 10:27:55.00 補題 K を可換体とする。 K 係数の奇数次の多項式は K において常に根を持つとする。 L/K を任意の有限次Galois拡大（過去スレpart4の844）とする。 このとき G = Aut(L/K)（過去スレpart4の847）の位数は 2 の冪である。
証明 L ≠ K と仮定してよい。 原始要素の定理（過去スレpart1の335）より L = K(α) となる α ∈ L がある。 仮定より α の K 上の最小多項式（過去スレpart4の557）の次数は奇数では有り得ない よって、G の位数は偶数である。 |G| = (2^n)m で m は奇数とする。 過去スレpart5の802より G は位数 2^n の部分群 P を持つ。 P で固定される L の部分体を M とする。 [M ： K] = m は奇数だから上と同様の理由により m = 1 である。 即ち M = K である。 よって Galois理論の基本定理（過去スレpart5の288）より G = P である。 証明終 0063Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/05(月) 10:37:05.90 命題（代数学の基本定理） 複素数体は代数的閉体（過去スレpart4の628）である。
証明 R を実数体とし C を複素数体とする。 過去スレpart4の635より R 係数の次数 ≧ 1 の任意の多項式 f(X) が C において１次式の積に分解することを証明すればよい。 f(X) の C 上の最小分解体（過去スレpart4の542）を L とする。 L は (X^2 + 1)f(X) の R 上の最小分解体であるから L/R はGalois拡大（過去スレpart4の844）である。 >>61の（1）と>>62より G = Aut(L/R) の位数は 2 の冪である。 よって、H = Aut(L/C) の位数も 2 の冪である。 過去スレpart5の782より H は可解群（過去スレpart1の550）である。 よって、|H| ＞ 1 とすると過去スレpart1の564より H は指数 2 の正規部分群 N を持つ。 N で固定される L の部分体を F とすると [F ： C] = 2 である。 これは>>61の（2）に矛盾する。 よって |H| = 1、即ち L = C となり f(X) は C において１次式の積に分解する。 証明終 0064Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/05(月) 12:08:18.17 定義 A を可換環とする。 B = A[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。 G を集合 {1、．．．、n} 上の対称群（>>6）とする。 σ ∈ G、f = f(X_1、．．．、X_n) ∈ B のとき σf = f(X_σ(1)、．．．、X_σ(n)) と定義する。 f → σf は B の環としての自己同型である。 よって、準同型 π：G → Aut(B) が得られる。 ここで Aut(B) は B の自己同型群である。 π は明らかに単射である。 よって、B は忠実（過去スレpart5の843）な G-集合（過去スレpart5の77）となる。 Fix(G)（過去スレpart5の770）は A を含む B の部分環である。 Fix(G) を A[X_1、．．．、X_n]_sym と書く。 A[X_1、．．．、X_n]_sym の元を A 係数の n 変数の対称多項式という。 0065Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/05(月) 12:12:54.03 命題 A を可換環とする。 B = A[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。 f ∈ A[X_1、．．．、X_n]_sym（>>64）に対して f = Σf_k を同次多項式への分解とする。 このとき、各 f_k ∈ A[X_1、．．．、X_n]_sym である。
証明 自明である。 0066Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/05(月) 12:22:47.53 定義 A を可換環とする。 B = A[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。 各整数 k、0 ≦ k ≦ n に対して集合 {1、．．．、n} の部分集合 H で k 個の要素からなるもの全体を P_k とする。 各 k に対して s_k = Σ[H ∈ P_k] Π[i ∈ H] X_i とおく。 s_k は明らかに k 次の同次多項式であり対称多項式（>>64）である。 s_k を次数 k の基本対称多項式と言う。
例 s_0 = 1 s_1 = X_1 + ．．．+ X_n s_2 = Σ[i ＜ j] X_iX_j 0067Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/05(月) 12:25:14.10 命題 A を可換環とする。 B = A[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。 B[U, V] を B 上の２変数の多項式環とする。 このとき (U + VX_1)．．．(U + VX_n) = Σ[k = 0、．．．、n ] s_k U^(n-k)V^k ここで、各 s_k は次数 k の基本対称多項式（>>66）である。
証明 自明である。 0068Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/05(月) 12:27:22.20 命題 A を可換環とする。 B = A[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。 B[V] を B 上の２変数の多項式環とする。 このとき (1 + VX_1)．．．(1 + VX_n) = Σ[k = 0、．．．、n ] s_kV^k ここで、各 s_k は次数 k の基本対称多項式（>>66）である。
証明 >>67において U に 1 を代入すればよい。 0069Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/05(月) 12:30:56.94>>68 >B[V] を B 上の２変数の多項式環とする。
B[V] を B 上の１変数の多項式環とする。 0070Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/05(月) 12:32:22.40 命題 A を可換環とする。 B = A[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。 B[U] を B 上の１変数の多項式環とする。 このとき (U - X_1)．．．(U - X_n) = Σ[k = 0、．．．、n ] (-1)^(n-k) s_(n-k) U^k ここで、各 s_k は次数 k の基本対称多項式（>>66）である。
証明 >>67において V に -1 を代入すればよい。 0071Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/06(火) 10:57:14.03 記法 Z を有理整数環とする。 集合 {n ∈ Z； n ≧ 0} を Z+ と書く。 0072１３２人目の素数さん垢版2012/03/06(火) 10:59:39.93 哲也はウンコ 0073Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/06(火) 11:07:26.44 定義 n ≧ 1 を整数とする。 (Z+)^n を Z+（>>71）の n 個の直積集合とする。 a = (a_i) と b = (b_i) を (Z+)^n の元とする。 a ≠ b のとき k = min{i；a_i ≠ b_i} が定まる。 a_k ＜ b_k のとき a ＜ b と書く。 a = b または a ＜ b のとき a ≦ b と書く。 0074Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/06(火) 11:10:51.35 命題 >>73の ≦ により (Z+)^n は全順序集合となる。
証明 自明である。 0075Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/06(火) 11:17:07.44 定義 >>74により ≦ は (Z+)^n の全順序である これを (Z+)^n の辞書式順序と言う。 0076Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/06(火) 13:03:11.10 定義（代数的整数論021の178） X を順序集合とする。 X の元 a は a ＜ x となる x ∈ X が存在しないとき X の極大元と言う。 0077Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/06(火) 13:05:15.68 定義（代数的整数論021の179） X を順序集合とする。 X の元 a は x ＜ a となる x ∈ X が存在しないとき X の極小元と言う。 0078Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/06(火) 13:06:23.41 定義（代数的整数論021の397） S を順序集合とする。 (1) S の空でない任意の部分集合が極大元（>>76）を持つとき S は極大条件を満たすと言う。 (2) S の空でない任意の部分集合が極小元（>>77）を持つとき S は極小条件を満たすと言う。 0079１３２人目の素数さん垢版2012/03/06(火) 19:06:08.22 (Z+)^n の順序型は ω^n と言ってもクマーにはワカランだろうな 0080１３２人目の素数さん垢版2012/03/06(火) 19:12:11.14 百も承知 0081１３２人目の素数さん垢版2012/03/06(火) 19:16:04.63>>79 クマが知っていようがいまいが関係ないな 顔文字の意味を覚えた測度厨辺りか 0082あのこうちやんは始皇帝だった垢版2012/03/06(火) 19:58:55.83 お前たちは、定職に就くのが先決だろがあああああ！！！！！！
猫 0084Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/06(火) 20:37:19.32 定義 極小条件（>>78）を満たす全順序集合を整列集合と呼ぶ。 0085Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/06(火) 20:48:19.34 命題 I を順序集合とする。 I が整列集合（>>84）であるためには I の空でない任意の部分集合が最小元を持つことが必要十分である。
証明 必要性： I を整列集合とする。 J を I の空でない任意の部分集合とする。 仮定より J は極小元（>>77） a を持つ。 I は全順序集合であるから J の任意の元 x に対して a ≦ x または x ≦ a x ＜ a では有り得ないから a ≦ x よって、a は J の最小元である。
十分性： I の空でない任意の部分集合が最小元を持つとする。 I の任意の２元 a, b に対して {a, b} は最小元をもつ。 よって、a ≦ b または b ≦ a よって、I は全順序集合である。 I の空でない任意の部分集合の最小元はその集合の極小元でもあるから I は整列集合である。 証明終 0086Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/06(火) 21:06:18.68 定義 I が整列集合（>>84）とする。 (M_i)、i ∈ I を順序集合の族とする。 M = ΠM_i を族 (M_i)、i ∈ I の直積集合とする。 a = (a_i) と b = (b_i) を M の元とする。 I は整列集合だから a ≠ b のとき k = min { i ∈ I；a_i ≠ b_i} が定まる。 a_k ＜ b_k のとき a ＜ b と書く。 a = b または a ＜ b のとき a ≦ b と書く。 0087Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/06(火) 21:22:46.13 命題 >>86の ≦ は M の順序を定める。
証明 a ＜ b かつ b ＜ c のとき a ＜ c を証明すれば良い。 k = min { i ∈ I；a_i ≠ b_i} s = min { i ∈ I；b_i ≠ c_i} とする。 a_k ＜ b_k かつ b_s ＜ c_s である。
I は全順序集合だから以下の３通りの場合がある。
1) k = s の場合： i ＜ k のとき a_i = b_i = c_i a_k ＜ b_k ＜ c_k であるから a_k ＜ c_k よって、a ＜ c
2）k ＜ s の場合： i ＜ k のとき a_i = b_i = c_i a_k ＜ b_k = c_k であるから a_k ＜ c_k よって、a ＜ c
3）s ＜ k の場合： i ＜ s のとき a_i = b_i = c_i a_s = b_s ＜ c_s であるから a_s ＜ c_s よって、a ＜ c 証明終 0088Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/06(火) 21:26:46.48 定義 I を整列集合（>>84）とする。 (M_i)、i ∈ I を順序集合の族とする。 M = ΠM_i を族 (M_i)、i ∈ I の直積集合とする。 >>87より>>86の ≦ は M の順序となる この順序を M の辞書式順序と呼ぶ。 0089Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/06(火) 21:53:18.93 命題 I を整列集合（>>84）とする。 (M_i)、i ∈ I を順序集合の族とする。 各 M_i は空でないとする。 M = ΠM_i を族 (M_i)、i ∈ I の直積集合とする。 このとき M が辞書式順序（>>88）により全順序集合となるためには 各 M_i が全順序集合であることが必要十分である。
証明 必要性： M が辞書式順序で全順序集合であるとする。 ある k ∈ I に対して M_k が全順序集合でないと仮定して矛盾を導けば良い。 M_k の元 x、y で x ≦ y でも y ≦ x でもないものがある。
1）k が I の最小元の場合： 各 M_i は空でないから選択公理より M の元 a = (a_i) で x = a_k となるものがある。 同様に M の元 b = (b_i) で y = b_k となるものがある。 このとき辞書式順序で a ≦ b でも b ≦ a でもない。 これは M が全順序集合であることに矛盾する。
2）k が I の最小元でない場合： 各 M_i は空でないから選択公理より M の元 a = (a_i) で x = a_k となるものがある。 同様に M の元 b = (b_i) で y = b_k となるものがある。 M の元 c = (c_i) を以下のように定義する。 i ＜ k のとき c_i = a_i k ≦ i のとき c_i = b_i このとき辞書式順序で a ≦ c でも c ≦ a でもない。 これは M が全順序集合であることに矛盾する。
十分性： 自明である。 証明終 0090１３２人目の素数さん垢版2012/03/06(火) 22:33:53.71 明らかだろうが 0091Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/06(火) 22:39:19.94 命題 I を有限な整列集合（>>84）とする。 (M_i)、i ∈ I を整列集合の族とする。 M = ΠM_i を族 (M_i)、i ∈ I の直積集合とする。 このとき M は辞書式順序（>>88）により整列集合となる。
証明 I = {1、．．．、n} として一般性を失わない。 各 i ∈ I に対して f_i：M → M_i と g_i：M → (M_1)×．．．×(M_i) を射影とする。 N を M の空でない部分集合とする。 各 i ∈ I に対して M_i の元 a_i を以下のように帰納的に決める。 f_1(N) の最小元を a_1 とする。 a_1、．．．、a_i まで決まったとき f_(i+1)((g_i)^(-1)(a_1、．．．、a_i) ∩ N) の最小元を a_(i+1) とする。 このとき (a_1、．．．、a_n) が N の最小元である。 証明終 0092１３２人目の素数さん垢版2012/03/06(火) 22:56:26.62>>90 明らかだと思ったら証明はスルーすればいい。 律儀に全部読む必要はない。 0093Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/06(火) 23:00:57.35 命題 M を整列集合（>>84）とする。 N を M の部分集合とする。 x を M の任意の元とする。 { y ∈ M； y ＜ x } ⊂ N なら x ∈ N とする。 このとき M = N である。
証明 M ≠ N と仮定する。 M - N は空でないから最小限 a を持つ。 { y ∈ M； y ＜ a } ⊂ N であるから a ∈ N となって矛盾。 証明終 0094１３２人目の素数さん垢版2012/03/06(火) 23:03:23.02 というか証明は読まずに自分で考えるのがベスト 0095１３２人目の素数さん垢版2012/03/06(火) 23:07:32.59 よく演習問題が欲しいとか甘えたことを言ってるやつがいるが証明を読まずに自分で考えればいい。 それがいい演習問題になる。 または自分で問題を考えればいい。 例が欲しいとか言ってるやつも同様。 自分で例を考えるのがいい演習になる。 0096１３２人目の素数さん垢版2012/03/06(火) 23:21:04.24 かまってもらえて嬉しそうだなｗ 0097Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/06(火) 23:26:46.68 記法 A を可換環とする。 B = A[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。 B の元 f は f(X_1、．．．、X_n) = Σc_(a_1、．．．、a_n) (X_1)^(a_1)．．．(X_n)^(a_n) と書ける。 ここで (a_1、．．．、a_n) は (Z+)^n（>>73）の元であり、 c_(a_1、．．．、a_n) は A の元である。
このとき a = (a_1、．．．、a_n) X = (X_1、．．．、X_n) X^a = (X_1)^(a_1)．．．(X_n)^(a_n) c_a = c_(a_1、．．．、a_n) と略記する。 よって、f = Σc_a X^a である。 0098Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/06(火) 23:29:59.65 記法 a = (a_1、．．．、a_n) と b = (a_1、．．．、a_n) を (Z+)^n（>>73）の元としたとき a + b = (a_1 + b_1、．．．、a_n + b_n) と書く。 0099１３２人目の素数さん垢版2012/03/06(火) 23:37:45.49 別にそれほどでもない それより何でも自分に引き付けて考える癖をなんとかしろよ 0100猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY 垢版2012/03/06(火) 23:45:11.25>>99 何でも自分に引き付けて考えるのは推奨されるべき事。オマエは馬鹿。
猫 0101Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/06(火) 23:53:05.62 定義 A を可換環とする。 B = A[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。 (Z+)^n（>>73）には辞書式順序（>>75）を入れておく。 f = Σc_a X^a（>>97）を B の 0 でない元とする。 max {a；c_a ≠ 0} ∈ (Z+)^n を f の複次数（multi-degree）と呼び mdeg(f) または mdeg f と書く。
a = mdeg(f) のとき c_a X^a を f の主項（leading term）と呼び lead(f) と書く。 c_a を f の主係数と呼ぶ。 0102Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/06(火) 23:57:59.71 例 mdeg(X_1) = (1、0、．．．、0) mdeg(X_n) = (0、．．．、0、1) 0103Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/07(水) 00:02:21.83 例 s_k を次数 k の基本対称多項式（>>66）とする。 このとき lead(s_k) = X_1．．．X_k 0104Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/07(水) 00:13:18.61 命題 a、b、c を (Z+)^n（>>73）の元とする。 (Z+)^n には辞書式順序（>>75）を入れておく。 a ＜ b のとき a + c ＜ b + c である。
証明 自明である。 0105Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/07(水) 00:28:06.73 命題 A を可換環とする。 B = A[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。 f ≠ 0 と g ≠ 0 を B の元とする。 c_a と d_b をそれぞれ f と g の主係数（>>101）とする。 (c_a)(d_b) ≠ 0 のとき
証明 lead(f) = c(X_1)^(a_1)．．．(X_n)^(a_n) とする。 ここで c ≠ 0 は A の元である。 任意の σ ∈ Sym({1、．．．、n})（>>6）に対して σf = f であるから c(X_σ(1))^(a_1)．．．(X_σ(n))^(a_n) は f の項である。 よって、σ として互換 (1, 2) をとれば c(X_1)^(a_2)(X_2)^(a_1)．．．(X_n)^(a_n) は f の項である。 よって、a_1 ≧ a_2 である。 同様に σ として互換 (2, 3) をとることにより a_2 ≧ a_3 となる。 以下同様にして a_1 ≧ a_2 ≧ ．．．≧ a_n となる。 証明終 0108Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/07(水) 03:04:14.44 命題 A を可換環とする。 B = A[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。 G を集合 {1、．．．、n} 上の対称群（>>6）とする。 >>64より B は忠実（過去スレpart5の843）な G-集合（過去スレpart5の77）となる。 このとき、任意の f ∈ B に対して h = Σ[g ∈ O(f)] g は対称多項式（>>64）である。 ここで、O(f) = {σ(f)； σ ∈ G} は f の軌道（過去スレpart5の92）である。
証明 H を f の安定化部分群（過去スレpart5の93）とする。 即ち H = {σ ∈ G；σ(f) = f} である。 G/H を G の H による左剰余類全体の集合とする。 σ_1、．．．、σ_m を G/H の完全代表系とする。 O(f) = {σ_1(f)、．．．、σ_m(f)} である。 よって、h = σ_1(f) + ．．．+ σ_m(f) である。 任意の τ ∈ G に対して τσ_1、．．．、τσ_m は G/H の完全代表系である。 よって、τh = τσ_1(f) + ．．．+ τσ_m(f) = σ_1(f) + ．．．+ σ_m(f) = h よって、h は対称多項式である。 証明終 0109Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/07(水) 03:14:40.34 命題 A を可換環とする。 a_1 ≧ a_2 ≧ ．．．≧ a_n ≧ 0 を整数とする。 このとき mdeg(f) = (a_1、．．．、a_n)（>>101）となる f ∈ A[X_1、．．．、X_n]_sym（>>64）がある。
証明 g = (X_1)^(a_1)．．．(X_n)^(a_n) とする。 >>108より f = Σ[h ∈ O(g)] h は対称多項式（>>64）である。 明らかに mdeg(f) = (a_1、．．．、a_n) である。 証明終 0110Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/07(水) 08:47:31.31 命題（超限帰納法） M を整列集合（>>84）とする。 M の各元 x に関する命題 P(x) があるとする。 P(x) が次の性質（*）を満たすとする。
（*）y ＜ x なら常に P(y) が真であることを仮定すれば P(x) も真である。
このとき M の全ての元 x に対して P(x) は真である。
証明 N = { x ∈ M； P(x) が真} とおく。 （*）より { y ∈ M； y ＜ x } ⊂ N なら x ∈ N である。 よって、>>93より M = N である。 よって、M の全ての元 x に対して P(x) は真である。 証明終 0111Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/07(水) 09:21:42.55 命題 A を可換環とする。 s_k（1 ≦ k ≦ n） を次数 k の基本対称多項式（>>66）とする。 このとき、A[X_1、．．．、X_n]_sym（>>64）= A[s_1、．．．、s_n] である。 即ち、A 係数で n 変数の任意の対称多項式は s_1、．．．、s_n の A 係数の多項式として表される。
証明 >>91より、(Z+)^n （>>73）は整列集合（>>84）である。 M = {(a_1、．．．、a_n) ∈ (Z+)^n； a_1 ≧ a_2 ≧ ．．．≧ a_n} とおく。 M は整列集合の部分集合であるから整列集合である。 各 a ∈ M に対して次の命題 P(a) を考える。
P(a)：a = mdeg(g) となる g ∈ A[X_1、．．．、X_n]_sym は常に g ∈ A[s_1、．．．、s_n] となる。
>>107より g ≠ 0 を A[X_1、．．．、X_n]_sym の元としたとき mdeg(g) ∈ M である。 よって、M の全ての元 a に対して P(a) が真であることを証明すれば良い。 そのため M に関する超限帰納法（>>110）を使う。
証明 f：M → Z+ を次のように定義する。 a ∈ M のとき f(a) を {x ∈ M； x ＜ a} の元の個数とする。 f は明らかに単調増加（過去スレpart5の783）である。 a ＜ b なら明らかに f(a) ＜ f(b) であるから f は単射である。 任意の n ∈ Z+ に対して n = f(a) となる a ∈ M があることを n に関する帰納法で証明しよう。 n = 0 のときは a として M の最小元をとれば良い。 n ＞ 0 として n - 1 = f(b) となる b ∈ M があると仮定する。 このとき n = f(a) となる a ∈ M があることを示せば良い。 M は無限集合だから {x ∈ M； x ＞ b} は空でない。 a を {x ∈ M； x ＞ b} の最小元とする。 f(a) = f(b) + 1 = n である。
以上から f：M → Z+ は全単射であることが分かった。 f の逆写像を g：Z+ → M とする。 g が単調増加であることは明らかである。 証明終 0115Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/07(水) 10:11:17.59 命題 (Z+)^n（>>71）に辞書式順序（>>75）を入れて順序集合と見なす。 M = {(a_1、．．．、a_n) ∈ (Z+)^n； a_1 ≧ a_2 ≧ ．．．≧ a_n} とおく。 このとき M は順序集合として Z+ に同型（>>113) である。
証明 >>91より、(Z+)^n （>>73）は整列集合（>>84）である。 M は (Z+)^n の部分集合であるから整列集合である。 明らかに M は無限集合である。 よって、M が>>114の条件（*）を満たすことを証明すれば良い。
M の任意の元 a = (a_1、．．．、a_n) に対して x = (x_1、．．．、x_n) ∈ M、x ＜ a なら a_1 ≧ x_1 であるから a_1 ≧ x_1 ≧ x_2 ≧ ．．．≧ x_n である。 よって、集合 {x ∈ M； x ＜ a} の元の個数は (a_1)^n 以下である。 証明終 0116Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/07(水) 10:20:34.42 注意 >>111の証明で M = {(a_1、．．．、a_n) ∈ (Z+)^n； a_1 ≧ a_2 ≧ ．．．≧ a_n} に関する 超限帰納法（>>110）を使った。 しかし、>>115より M は順序集合として Z+ に同型（>>113) であるから この場合は通常の数学的帰納法と実質同じである。 このことは>>111の証明法が具体的に与えられた対称式を基本対称式の多項式として表すための 実用アルゴリズムとして使えることを意味する。 0117Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/07(水) 10:25:34.29 因みに>>111の証明をここまで丁寧かつ厳密にしている教科書を見たことがない。 0118Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/07(水) 11:05:59.77 命題 A を可換環とする。 B = A[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。 C = A[X_1、．．．、X_(n-1)] とする。 s_k（1 ≦ k ≦ n） を B における次数 k の基本対称多項式（>>66）とする。 t_k（1 ≦ k ≦ n - 1） を C における次数 k の基本対称多項式とする。 このとき各 k、1 ≦ k ≦ n - 1 に対して s_k = t_k + t(k-1)X_n となる。
証明 各 k、1 ≦ k ≦ n - 1 に対して 集合 {1、．．．、n} の部分集合 T で k 個の要素からなるもの全体を P_k とする。 集合 {1、．．．、n - 1} の部分集合 S で k 個の要素からなるもの全体を Q_k とする。 R_k = {H ∈ P_k； n ∈ H} とおく。 P_k = Q_k ∪ R_k と直和分割される。 R_k の各元は Q_(k-1) の各元と１対１に対応する。 よって、本命題が得られる。 証明終 0119Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/07(水) 11:19:52.83 定義（過去スレpart5の2の拡張） A を可換環とする。 A[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。 C を可換な A-線型環（過去スレpart1の97）とする。 α_1、．．．、α_n を C の元の有限列とする。 過去スレpart4の550より A-線型環としての準同型 ψ：A[X_1、．．．、X_n] → C で 各 i に対して ψ(X_i) = α_i となるものが一意に存在する。 ψ が単射のとき α_1、．．．、α_n は A 上代数的独立であるという。 0120Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/07(水) 11:49:53.07 命題（van der Waerden） A を可換環とする。 B = A[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。 s_k（1 ≦ k ≦ n） を B における次数 k の基本対称多項式（>>66）とする。 このとき s_1、．．．、s_n は A 上代数的独立（>>119）である。
証明 n に関する帰納法を使う。 n = 1 のときは s_1 = X_1 であるから本命題は成り立つ。 n ＞ 1 と仮定する。 s_1、．．．、s_n が A 上代数的独立でないとして矛盾を導こう。 B の元 f ≠ 0 で f(s_1、．．．、s_n) = 0 となるものがある。 f として X_n に関する次数 m が最小のものをとる。 f = g_m(X_n)^m + g_(m-1)(X_(m-1))^(m-1) + ．．．+ g_0 とする。 ここで、各 g_i は A[X_1、．．．、X_(n-1)] の元である。 このとき g_0 ≠ 0 である。 何故なら g_0 = 0 なら f は X_n で割れて m の最小性に反するからである。
f ≠ c(s_1)^(a_1)．．．(s_n)^(a_n) なら h = f - c(s_1)^(a_1)．．．(S_n)^(a_n) とおく。 h ≠ 0 であるから mdeg(h) が定義され mdeg(h) ＜ e である。 mdeg(h) = (d_1、．．．、d_n) とする。 帰納法の仮定より H ∈ A[X_1、．．．、X_n] で h = H(s_1、．．．、s_n) となるものが存在し、 d_1 = deg(H) である。 f = c(s_1)^(a_1)．．．(s_n)^(a_n) + H(s_1、．．．、s_n) G = c(X_1)^(a_1)．．．(X_n)^(a_n) + H とおけば G ∈ A[X_1、．．．、X_n] で f = G(s_1、．．．、s_n) となる。 e_1 = a_1 + ．．． + a_n = deg(c(X_1)^(a_1)．．．(X_n)^(a_n)) であり e_1 ≧ d_1 = deg(H) である。 mdeg(h) ＜ e であるから H には (X_1)^(a_1)．．．(X_n)^(a_n) の定数（≠ 0）倍の項は現れない。 よって e_1 = deg(G) である。 証明終 0123Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/07(水) 18:08:35.45>>120の命題は古くから知られていてvan der Waerdenが最初に見つけたというわけではない。 >>120の証明をvan der Waerdenに負っているという意味である。 0124Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/07(水) 18:14:32.49 定義 A を可換環とする。 B = A[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。 B の元 f ≠ 0 は f = Σc_a X^a（>>97）と書ける。 f の c_a ≠ 0 となる各項 c_a X^a の次数（>>121）が全て等しいとき f を同次多項式と言う。 0125Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/07(水) 18:22:41.00 定義 A を可換環とする。 B = A[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。 B の元 f ≠ 0 は f = Σc_a X^a（>>97）と書ける。 c_a ≠ 0 のとき単項式 c_aX^a = c_a(X_1)^(a_1)．．．(X_n)^(a_n) に対して a_1 + 2a_2 + ．．．+ na_n を c_aX^a の重さ（weight）と言う。 f の c_a ≠ 0 となる各項 c_aX^a の重さの最大値を f の重さと言う。
f の c_a ≠ 0 となる各項 c_aX^a の重さが等しいとき f を同重と言う。 0126１３２人目の素数さん垢版2012/03/07(水) 19:01:37.23 e 0127Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/07(水) 22:06:29.29 命題 A を可換環とする。 A[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。 s_k（1 ≦ k ≦ n） を次数 k の基本対称多項式（>>66）とする。 f ≠ 0 を A[X_1、．．．、X_n]_sym（>>64）の元で同次多項式（>>124）とする。 >>111より G ∈ A[X_1、．．．、X_n] で f = G(s_1、．．．、s_n) となるものが存在する。 >>120より G は f により一意に定まる。 このとき G は同重（>>125）でその重さ（>>125）は f の次数（>>121）に等しい。
f の主係数（>>101）を c とする。 f = c(s_1)^(a_1)．．．(s_n)^(a_n) なら G = c(X_1)^(a_1)．．．(X_n)^(a_n) とおけば f = G(s_1、．．．、s_n) となり n = e_1 + ．．． + e_n = a_1 + 2a_2 + ．．．+ na_n これは G の重さに等しい。
f ≠ c(s_1)^(a_1)．．．(s_n)^(a_n) なら h = f - c(s_1)^(a_1)．．．(s_n)^(a_n) とおく。 各 s_k（1 ≦ k ≦ n）は同次多項式であるから c(s_1)^(a_1)．．．(s_n)^(a_n) も同次多項式である。 deg(c(s_1)^(a_1)．．．(s_n)^(a_n)) = e_1 + ．．． + e_n = n であるから h も次数 n の同次多項式である。 h ≠ 0 であるから mdeg(h) が定義され mdeg(h) ＜ e である。 帰納法の仮定より H ∈ A[X_1、．．．、X_n] で h = H(s_1、．．．、s_n) となるものが存在し、 n = deg(h) は H の各項の重さに等しい。 f = c(s_1)^(a_1)．．．(s_n)^(a_n) + H(s_1、．．．、s_n) G = c(X_1)^(a_1)．．．(X_n)^(a_n) + H とおけば G ∈ A[X_1、．．．、X_n] で f = G(s_1、．．．、s_n) となる。 G は同重でその重さは f の次数 n に等しい。 証明終 0129Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/08(木) 09:11:30.43>>124の修正
定義 A を可換環とする。 B = A[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。 B の任意の元 f は f = Σc_a X^a（>>97）と書ける。 f の c_a ≠ 0 となる各項 c_a X^a の次数（>>121）が全て等しいとき f を同次多項式と言う。 定数、つまり A の元も同次多項式である。 0130Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/08(木) 09:18:15.13>>125の修正
定義 A を可換環とする。 B = A[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。 B の任意の元 f は f = Σc_a X^a（>>97）と書ける。 c_a ≠ 0 のとき単項式 c_aX^a = c_a(X_1)^(a_1)．．．(X_n)^(a_n) に対して a_1 + 2a_2 + ．．．+ na_n を c_aX^a の重さ（weight）と言う。 f ≠ 0 のとき c_a ≠ 0 となる各項 c_aX^a の重さの最大値を f の重さと言う。
f の c_a ≠ 0 となる各項 c_aX^a の重さが等しいとき f を同重と言う。 f = 0 も同重と見なす。 0131Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/08(木) 09:21:02.49 命題 A を可換環とする。 B = A[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。 s_k（1 ≦ k ≦ n） を次数 k の基本対称多項式（>>66）とする。 f を A[X_1、．．．、X_n]_sym（>>64）の任意の元とする。 f = Σc_a X^a（>>97）と書ける。 C を {c_a； c_a ≠ 0} で生成される A の部分環とする。 このとき G ∈ C[X_1、．．．、X_n] で f = G(s_1、．．．、s_n) となるものが一意に存在する。
証明 f ∈ C[X_1、．．．、X_n]_sym であるから >>111より G ∈ C[X_1、．．．、X_n] で f = G(s_1、．．．、s_n) となるものが存在する。 >>120より G は f により一意に定まる。 証明終 0132Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/08(木) 09:49:24.79 補題 A を可換環とする。 A[X] を 1 変数の多項式環とする。 f ∈ A[X] をモニック（過去スレpart1の115）な多項式とする。 n = deg f とする。 M = A + AX + ．．．+ AX^(n-1) とおく。 このとき A[X] は A-加群として M と fA[X] の直和である。
証明 A[X] の任意の 元 g ≠ 0 に対して g = fq + r、deg r ＜ n となる A[X] の元 q, r が一意に定まる。 これより本命題は明らかである。 証明終 0133Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/08(木) 10:11:37.62 補題 A を可換環とする。 A[X] を 1 変数の多項式環とする。 a ∈ A とする。 A-線型環（過去スレpart1の97）としての準同型 ψ：A[X] → A を ψ(X) = a により定める。 このとき Ker(ψ) = (X - a)A[X] である。
証明 (X - a)A[X] ⊂ Ker(ψ) は明らかであるから逆の包含関係を示せば良い。 f ≠ 0 を Ker(ψ) の元とする。 f = (X - a)q + r、deg r ＜ 1 となる A[X] の元 q, r が一意に定まる。 deg r = 0 だから r ∈ A である。 この等式の両辺に ψ を作用させれば 0 = r よって、f ∈ (X - a)A[X] 証明終 0134Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/08(木) 11:27:54.20>>121の修正
定義 A を可換環とする。 B = A[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。 B の元 f は f = Σc_a X^a（>>97）と書ける。 単項式 X^a = (X_1)^(a_1)．．．(X_n)^(a_n) に対して a_1 + ．．． + a_n を X^a の次数と呼び deg X^a と書く。 sup {deg X^a；c_a ≠ 0} を f の次数と呼び deg(f) または deg f と書く。 ただし、f = 0 のとき deg f = -∞ とする。 0135Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/08(木) 11:30:48.81>>132 >A[X] の任意の 元 g ≠ 0 に対して g = fq + r、deg r ＜ n となる A[X] の元 q, r が一意に定まる。
A[X] の任意の 元 g に対して g = fq + r、deg r ＜ n となる A[X] の元 q, r が一意に定まる。 0136Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/08(木) 11:36:40.07>>133の修正
補題 A を可換環とする。 A[X] を 1 変数の多項式環とする。 a ∈ A とする。 A-線型環（過去スレpart1の97）としての準同型 ψ：A[X] → A を ψ(X) = a により定める。 このとき Ker(ψ) = (X - a)A[X] である。
証明 (X - a)A[X] ⊂ Ker(ψ) は明らかであるから逆の包含関係を示せば良い。 f を Ker(ψ) の任意の元とする。 f = (X - a)q + r、deg r ＜ 1 となる A[X] の元 q, r が一意に定まる。 deg r = 0 または -∞（>>134）だから r ∈ A である。 この等式の両辺に ψ を作用させれば 0 = r よって、f ∈ (X - a)A[X] 証明終 0137Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/08(木) 15:49:44.60 補題（Bourbaki） A を可換環とする。 A[X] を 1 変数の多項式環とする。 f ∈ A[X] をモニック（過去スレpart1の115）な多項式とする。 n = deg f とする。 A[T] を 1 変数の多項式環とする。 A-線型環（過去スレpart1の97）としての準同型 ψ：A[T] → A[X] を ψ(T) = f により定める。 ψ により A[X] は A[T]-線型環と見なされる。 このとき 1、X、．．．、X^(n-1) は A[X] の A[T]-加群としての基底である。
よって、本補題の等式が得られる。 証明終 0139Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/08(木) 20:12:42.19 補題 A を可換環とする。 B = A[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。 C = A[X_1、．．．、X_(n-1)] とする。 s_k（1 ≦ k ≦ n） を B における次数 k の基本対称多項式（>>66）とする。 t_k（1 ≦ k ≦ n - 1） を C における次数 k の基本対称多項式とする。 このとき各 k、1 ≦ k ≦ n - 1 に対して t_k = (-1)^k (X_n)^k + Σ[i = 1、．．．、k] (-1)^(k-i) s_i (X_n)^(k-i)
証明 k に関する帰納法を使う。 t_1 = X_1 + ．．．+ X_(n-1) = -X_n + s_1 だから k = 1 のときは成り立つ。
証明終 0140Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/08(木) 21:03:44.99 補題 A を可換環とする。 E = A[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。 s_k（1 ≦ k ≦ n）を E における次数 k の基本対称多項式（>>66）とする。 B = A[X_n] とする。 E = B[X_1、．．．、X_(n-1)] である。 R = B[X_1、．．．、X_(n-1)]_sym （>>64）とする。 このとき R = B[s_1、．．．、s_(n-1)] であり s_1、．．．、s_(n-1) は B 上代数的独立（>>119）である。
証明 t_k（1 ≦ k ≦ n - 1）を A[X_1、．．．、X_(n-1)] における次数 k の基本対称多項式とする。
F ∈ B[X_1、．．．、X_(n-1)] とし、F(s_1、．．．、s_(n-1)) = 0 とする。 ψ(F(s_1、．．．、s_(n-1))) = F(t_1、．．．、t_(n - 1)) = 0 t_1、．．．、t_(n - 1) は B 上代数的独立であるから F = 0 である。 よって、s_1、．．．、s_(n-1) は B 上代数的独立である。 証明終 0142Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/09(金) 00:17:18.60 補題 A を可換環とする。 B を A-線型環（過去スレpart1の97）とする。 B は A-加群として自由とする。 このとき標準写像 ψ：A → B は単射である。
証明 a ∈ A とし、ψ(a) = 0 とする。 a = 0 を示せば良い。 (e_i)、i ∈ I を B の A-加群としての A 上の基底とする。 任意の i ∈ I をとる。 ae_i = ψ(a)e_i = 0 (e_i)、i ∈ I は A 上線型独立であるから a = 0 証明終 0143Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/09(金) 00:25:48.38 補題 A を可換環とする。 E = A[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。 S = A[X_1、．．．、X_n]_sym （>>64）とする。 B = A[X_n] とする。 R = B[X_1、．．．、X_(n-1)]_sym とする。 このとき R は 1、X_n、．．．、(X_n)^(n-1) を S 上の基底とする S-自由加群である。
証明 s_k（1 ≦ k ≦ n）を E における次数 k の基本対称多項式（>>66）とする。 C = A[s_1、．．．、s_(n-1)] とする。 C[X_n] = B[s_1、．．．、s_(n-1)] よって、>>140より R = C[X_n] >>138より (-1)^(n+1) s_n = X^n + Σ[k = 1、．．．、n - 1] (-1)^(n-k) s_(n-k) (X_n)^k よって、(-1)^(n+1) s_n は C[X_n] におけるモニック（過去スレpart1の115）な多項式である。 C[T] を 1 変数の多項式環とする。 C-線型環（過去スレpart1の97）としての準同型 ψ：C[T] → C[X_n] を ψ(T) = s_n により定める。 ψ により C[X_n] は C[T]-線型環と見なされる。 >>137より 1、X、．．．、X^(n-1) は C[X_n] の C[T]-加群としての基底である。 よって、>>142より ψ は単射である。 ψ(C[T]) = C[s_n] = A[s_1、．．．、s_n] >>111より S = A[s_1、．．．、s_n] である。 よって、1、X、．．．、X^(n-1) は R = C[X_n] の S-加群としての基底である。 証明終 0144Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/09(金) 01:16:02.18 命題 A を可換環とする。 B を A 上の可換な線型環（過去スレpart1の97）とする。 C を B 上の線型環とする。 (e_i)、i ∈ I を B の A 上の基底とする。 (f_j)、j ∈ J を C の B 上の基底とする。 このとき、((e_i)(f_j))、(i, j) ∈ I×J は C の A 上の基底である。
証明 過去スレpart4の561の証明と同様である。 0145Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/09(金) 01:18:02.05 命題 A を可換環とする。 E = A[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。 s_k を E における次数 k の基本対称多項式（>>66）とする。 S = A[X_1、．．．、X_n]_sym （>>64）とする。 I = {(a_1、．．．、a_n) ∈ (Z+)^n（>>73）； 0 ≦ a_i ＜ i、(1 ≦ i ≦ n)} とおく。 このとき単項式の族 (X^a)、a ∈ I は E の S-加群としての基底である。 即ち、E は S 上の階数 n！ の自由加群である。
証明 n に関する帰納法を使う。 n = 1 のときは本命題は自明である。 n ＞ 1 とする。 B = A[X_n] とする。 E = B[X_1、．．．、X_(n-1)] である。 R = B[X_1、．．．、X_(n-1)]_sym とする。 t_k（1 ≦ k ≦ n - 1） を A[X_1、．．．、X_(n-1)] における次数 k の基本対称多項式とする。 J = {(a_1、．．．、a_(n-1)) ∈ (Z+)^(n-1)（>>73）； 0 ≦ a_i ＜ i、(1 ≦ i ≦ (n-1))} とおく。 帰納法の仮定より、単項式の族 ((X_1)^(a_1)．．．(X_(n-1))^(a_(n-1)))、a ∈ J は E の R-加群としての基底である。 一方、>>143より R は 1、X_n、．．．、(X_n)^(n-1) を S 上の基底とする S-自由加群である。 よって、本命題は>>144より得られる。 証明終 0146１３２人目の素数さん垢版2012/03/09(金) 07:00:39.20 522 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e ：2012/03/08(木) 22:21:13.18 楕円関数は代数関数論の一部として理解しなけりゃ真の意義が分からないだろ。 もっと言うと代数関数論はコンパクトリーマン面、非特異射影代数曲線、１変数代数関数体 この三つを総合して考える必要がある。 これ等は一つの実体の異なる化身と考えられる。 いわば三位一体
524 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e ：2012/03/08(木) 22:43:09.82 GaussはDisquisitiones Arithmeticaeにおいてレムニスケートの等分理論についてほのめかしている。 Abelはそれに触発されて楕円関数の研究に向かったと思われる。 楕円関数の等分方程式の可解性の問題がAbelの方程式論の背後にある。 Galoisの問題意識も恐らくそこにあったと思われる。 0147１３２人目の素数さん垢版2012/03/09(金) 07:06:59.01>>74 全順序集合の定義はどこにありますか 0148１３２人目の素数さん垢版2012/03/09(金) 08:36:23.11>>147 ネット 例えばwikipedia 0149Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/09(金) 12:42:19.68 定義 A を可換環とする。 a を A の元とする。 x ∈ A に ax ∈ A を対応させる写像 λ_a：A → A が単射のとき a を A の正則元と言う。 0150Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/09(金) 13:23:01.04 命題 A を可換環とする。 B = A[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。 このとき各 X_i （1 ≦ i ≦ n）は B の正則元（>>149）である。
証明 f ≠ 0 を B の任意の非零元としたとき、(X_i)f ≠ 0 を示せば良い。 f = Σc_a X^a（>>97）と書ける。 a、b ∈ (Z+)^n（>>73）、a ≠ b なら (X_i)X^a ≠ (X_i)X^b である。 よって、(X_i)f = Σc_a (X_i)X^a ≠ 0 証明終 0151Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/09(金) 14:43:04.78>>111の別証
命題 A を可換環とする。 s_k（1 ≦ k ≦ n） を次数 k の基本対称多項式（>>66）とする。 f を A[X_1、．．．、X_n]_sym（>>64）を任意の元とする。 このとき f = G(s_1、．．．、s_n) となる G ∈ A[X_1、．．．、X_n] が存在する。 さらに G の重さ（>>125）は f の次数（>>121）に等しくなるように G を選べる。
証明 m = deg f（>>134）とする。 n と m に関する２重帰納法を使う。 n ≦ 1 のときは自明である。 n ＞ 1 とする。
A[X_1、．．．、X_(n-1)]-線型環（過去スレpart1の97）としての準同型 ψ：A[X_1、．．．、X_n] → A[X_1、．．．、X_(n-1)] を ψ(X_n) = 0 により定める。 t_k（1 ≦ k ≦ n - 1） を A[X_1、．．．、X_(n-1)] における次数 k の基本対称多項式とする。 >>118より各 k、1 ≦ k ≦ n - 1 に対して s_k = t_k + t_(k-1)X_n よって、ψ(s_k) = t_k
ψ(f) は対称多項式であるから帰納法の仮定より P ∈ A[X_1、．．．、X_(n-1)] があり ψ(f) = P(t_1、．．．、t_(n-1)) となる。 P の重さは deg ψ(f) に等しくなるように P を選べる。 ψ(f - P(s_1、．．．、s_(n-1))) = P(t_1、．．．、t_(n-1)) - P(t_1、．．．、t_(n-1)) = 0 よって、>>136より f - P(s_1、．．．、s_(n-1)) は X_n で割れる。 f - P(s_1、．．．、s_(n-1)) は対称多項式であるから各項は X_i （1 ≦ i ≦ n - 1）で割れる。 よって、f - P(s_1、．．．、s_(n-1)) は s_n = (X_1)．．．(X_n) で割れる。 よって、f = P(s_1、．．．、s_(n-1)) + (s_n)h となる h ∈ A[X_1、．．．、X_(n-1)] がある。 任意の σ ∈ Sym({1、．．．、n})（>>6）をこの等式の両辺に作用（>>64）させると f = P(s_1、．．．、s_(n-1)) + (s_n)σh よって、(s_n)h = (s_n)σh >>159より h = σh よって、h は対称多項式である。
deg P(s_1、．．．、s_(n-1)) = deg P(t_1、．．．、t_(n-1)) = deg ψ(f) ≦ deg f = m よって、deg (s_n)h = deg(f - P(s_1、．．．、s_(n-1)) ≦ m deg (s_n)h = n + deg h だから deg h ≦ m - n ＜ m
よって、帰納法の仮定より h = Q(s_1、．．．、s_n) となる Q ∈ A[X_1、．．．、X_n] がある。 Q の重さは deg h に等しくなるように Q を選べる。 G(X_1、．．．、X_n) = P(X_1、．．．、X_(n-1)) + X_nQ(X_1、．．．、X_n) とおけば G(X_1、．．．、X_n) ∈ A[X_1、．．．、X_n] で f = G(s_1、．．．、s_n) である。 P の重さ = deg ψ(f) ≦ deg f = m Q の重さ = deg h ≦ m - n よって、X_nQ の重さ ≦ m よって、G の重さ ≦ m G の重さ ＜ m なら deg f ＜ m となって矛盾。 よって、G の重さ = m 証明終 0153Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/09(金) 15:50:12.72 定義 A を必ずしも可換とは限らない環とする。 A = A_0 + A_1 + ．．．とアーベル群 A_n の直和に分解するとする。 (A_n)(A_m) ⊂ A_(n+m) が任意の整数 n、m ≧ 0 に対して成り立つとする。 このとき A を次数付き環（graded ring）と呼ぶ。 0154１３２人目の素数さん垢版2012/03/09(金) 16:13:33.10 ：Kummer ◆SgHZJkrsn08e ：2012/03/07(水) 08:30:49.56 一生読まずに積んでおくだけの可能性もあるがｗ
同様に e_1 = ．．．= e_(n-1) = 0 よって、1 = e_0 ∈ A_0 証明終 0158Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/09(金) 17:07:50.16 定義 A を可換環とする。 B を必ずしも可換とは限らない A-線型環（過去スレpart1の97）とする。 B = B_0 + B_1 + ．．．と A-部分加群 B_n の直和に分解するとする。 (B_n)(B_m) ⊂ B_(n+m) が任意の整数 n、m ≧ 0 に対して成り立つとする。 このとき B を次数付き A-線型環（graded A-algebra）と呼ぶ。 0159Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/09(金) 18:16:05.20 定義 A を可換環とする。 B と C を次数付き A-線型環（>>158）とする。 f：B → C を A-線型環としての準同型とする。 各整数 n ≧ 0 n に対して f(B_n) ⊂ C_n となるとき f を次数付き A-線型環としての準同型と言う。 0160Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/09(金) 18:20:17.25 命題 A を可換環とする。 B と C を次数付き A-線型環（>>158）とする。 f：B → C を次数付き A-線型環としての準同型（>>159）とする。 1_B と 1_C をそれぞれ B と C の恒等写像とする。 次数付き A-線型環としての準同型 g：C → B で gf = 1_B、fg = 1_C となるものがあるとき f を次数付き A-線型環としての同型写像または同型と呼ぶ。 このとき B と C は次数付き A-線型環として同型であると言う。 0161Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/09(金) 18:21:03.59>>160の修正
定義 A を可換環とする。 B と C を次数付き A-線型環（>>158）とする。 f：B → C を次数付き A-線型環としての準同型（>>159）とする。 1_B と 1_C をそれぞれ B と C の恒等写像とする。 次数付き A-線型環としての準同型 g：C → B で gf = 1_B、fg = 1_C となるものがあるとき f を次数付き A-線型環としての同型写像または同型と呼ぶ。 このとき B と C は次数付き A-線型環として同型であると言う。 0162Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/09(金) 18:33:27.47 命題 A を可換環とする。 B と C を次数付き A-線型環（>>158）とする。 f：B → C を次数付き A-線型環としての準同型（>>159）とする。 f は全単射であるとする。 このとき f は 次数付き A-線型環としての同型（>>161）である。
証明 各整数 n ≧ 0 に対して f(B_n) = C_n であることを示せば良い。 任意の y_n ∈ C_n をとる。 f は全射だから f(x) = y_n となる x ∈ B がある。 x = x_0 + ．．．+ x_m とする。 ここで m ≧ n である。 f(x) = f(x_0) + ．．．+ f(x_m) 各 i （1 ≦ i ≦ m）に対して f(x_i) ∈ C_i であるから i = n のとき f(x_i) = y_n i ≠ n のとき f(x_i) = 0 である。 f は単射だから i ≠ n のとき x_i = 0 である。 よって、x = x_n である。 よって、f(B_n) = C_n である。 証明終 0163Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/09(金) 19:32:37.93 記法 a = (a_1、．．．、a_n) を (Z+)^n（>>73）の元とする。 a_1 + ．．．+ a_n を |a| と書く。 a_1 + 2a_2 + ．．．+ na_n を wt(a) と書く(wt は重さweightの略)。 0164あのこうちやんは始皇帝だった垢版2012/03/09(金) 19:34:44.52 お前たちは、定職に就くのが先決だろがあああああ！！！！！！！
ニート・無職の、ゴミ・クズ・カスのクソガキどもがああああああ！！！！！！！ 0165１３２人目の素数さん垢版2012/03/09(金) 19:41:22.45>>164 お前は被災地にいけ！！！！！！！！！！！！！１１＠＠＠＠ 0166Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/09(金) 19:46:35.32 命題 a と b を (Z+)^n（>>73）の元とする。 >>98で a + b が定義された。 このとき （1）|a + b| = |a| + |b| （2）wt(a + b) = wt(a) + wt(b) である。
証明 a = (a_1、．．．、a_n)、b = (a_1、．．．、a_n) とする。 a + b = (a_1 + b_1、．．．、a_n + b_n) である。
（2） wt(a + b) = (a_1 + b_1) + 2(a_2 + b_2) + ．．．+ n(a_n + b_n) = (a_1 + 2a_2 + ．．．+ na_n) + (b_1 + 2b_2 + ．．．+ nb_n) = wt(a) + wt(b) 証明終 0167Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/09(金) 19:59:08.88 定義 A を可換環とする。 B = A[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。 整数 p ≧ 0 に対して単項式 X^a = (X_1)^(a_1)．．．(X_n)^(a_n) で p = |a|（>>163）となるもの全体で生成される B の A-部分加群を B_p とする。 B = B_0 + B_1 + ．．．と直和分解される。 >>166より (B_p)(B_q) ⊂ B_(p+q) である。 よって、B は次数付き A-線型環（>>158）となる。 B_p の各元 ≠ 0 は p 次の同次多項式である。 このとき B の次数付けは同次であると言う。 0168Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/09(金) 20:02:42.56 定義 A を可換環とする。 B = A[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。 整数 p ≧ 0 に対して単項式 X^a = (X_1)^(a_1)．．．(X_n)^(a_n) で p = wt(a)（>>163）となるもの全体で生成される B の A-部分加群を B_p とする。 B = B_0 + B_1 + ．．．と直和分解される。 >>166の（2）より (B_p)(B_q) ⊂ B_(p+q) である。 よって、B は次数付き A-線型環（>>158）となる。 B_p の各元 ≠ 0 は p 次の同重多項式（>>130）である。 このとき B の次数付けは同重であると言う。 0169Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/09(金) 22:02:08.22 定義 A を可換環とする。 B を次数付き A-線型環（>>158）とする。 C を B の A-線型部分環（過去スレpart1の108）とする。 C が A-部分加群 C ∩ B_n、n = 0、1、．．．の直和であるとき C を B の次数付き A-線型部分環と言う。 0170Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/09(金) 22:08:05.98 定義 A を可換環とする。 B を次数付き A-線型環（>>158）とする。 B の任意の元 x は x = Σx_n と一意に書ける。 ここで x_n ∈ B_n、n = 0、1、．．．である。 このとき、各 x_n を x の n 次の同次成分と呼ぶ。 0171Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/09(金) 22:22:18.99 命題 A を可換環とする。 B を次数付き A-線型環（>>158）とする。 C を B の A-線型部分環（過去スレpart1の108）とする。 C が B の次数付き A-線型部分環（>>169）であるためには C の任意の元の各同次成分（>>170）が C に属すことが必要十分である。
証明 必要性： C が B の次数付き A-線型部分環であるとする。 C は A-部分加群 C ∩ B_n、n = 0、1、．．．の直和である。 よって、C の任意の元 x は x = Σy_n と一意に書ける。 ここで y_n ∈ C ∩ B_n、n = 0、1、．．．である。 他方、x = Σx_n と一意に書ける。 ここで x_n ∈ B_n、n = 0、1、．．．である。 よって、y_n = x_n、n = 0、1、．．．である。 よって、各 x_n は C に属す。
十分性： C の任意の元の各同次成分が C に属すとする。 C の任意の元 x は x = Σx_n と一意に書ける。 ここで x_n ∈ B_n、n = 0、1、．．．である。 仮定より各 x_n は C に属すから x_n ∈ C ∩ B_n、n = 0、1、．．．である。 よって、C は A-部分加群 C ∩ B_n、n = 0、1、．．．の直和である。 よって、C は B の次数付き A-線型部分環である。 証明終 0172Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/09(金) 22:30:27.11 命題 A を可換環とする。 B = A[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。 B の次数付けを同次（>>167）として B を次数付き A-線型環（>>158）と見なす。 このとき、A[X_1、．．．、X_n]_sym（>>64）は B の次数付き A-線型部分環（>>169）である。
証明 >>65と>>171より明らかである。 0173Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/09(金) 23:16:06.43 定義 A を可換環とする。 B を A-線型環（過去スレpart1の97）とする。 B = B_0 + B_1 + ．．．を A-部分加群 B_n の直和とし、 (B_n)(B_m) ⊂ B_(n+m) が任意の整数 n、m ≧ 0 に対して成り立つとする。 >>158より B は次数付き A-線型環（>>158）となる。 このとき、各 B_n を B の n 次の同次成分と呼ぶ。 0174Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/09(金) 23:27:30.14 命題 A を可換環とする。 B = A[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。 s_k（1 ≦ k ≦ n）を B における次数 k の基本対称多項式（>>66）とする。 B の次数付けを同次（>>167）として B を次数付き A-線型環（>>158）と見なす。 >>172より A[X_1、．．．、X_n]_sym（>>64）は B の次数付き A-線型部分環（>>169）である。
C = A[Y_1、．．．、Y_n] を n 変数の多項式環とする。 C の次数付けを同重（>>168）として C を次数付き A-線型環と見なす。
ψ(f) は対称多項式であるから帰納法の仮定より P ∈ A[X_1、．．．、X_(n-1)] があり ψ(f) = P(t_1、．．．、t_(n-1)) となる。 ψ(f - P(s_1、．．．、s_(n-1))) = P(t_1、．．．、t_(n-1)) - P(t_1、．．．、t_(n-1)) = 0 よって、>>136より f - P(s_1、．．．、s_(n-1)) は X_n で割れる。 f - P(s_1、．．．、s_(n-1)) は対称多項式であるから各項は X_i （1 ≦ i ≦ n - 1）で割れる。 よって、f - P(s_1、．．．、s_(n-1)) は s_n = (X_1)．．．(X_n) で割れる。 よって、 f = P(s_1、．．．、s_(n-1)) + (s_n)h となる h ∈ A[X_1、．．．、X_(n-1)] がある。
任意の σ ∈ Sym({1、．．．、n})（>>6）をこの等式の両辺に作用（>>64）させると f = P(s_1、．．．、s_(n-1)) + (s_n)σh よって、(s_n)h = (s_n)σh >>159より h = σh よって、h は対称多項式である。
deg P(s_1、．．．、s_(n-1)) = deg P(t_1、．．．、t_(n-1)) = deg ψ(f) ≦ deg f = m よって、deg (s_n)h = deg(f - P(s_1、．．．、s_(n-1)) ≦ m deg (s_n)h = n + deg h だから deg h ≦ m - n ＜ m
よって、帰納法の仮定より h = H(s_1、．．．、s_n) となる H ∈ A[X_1、．．．、X_n] がある。 G(X_1、．．．、X_n) = P(X_1、．．．、X_(n-1)) + X_nH(X_1、．．．、X_n) とおけば f = G(s_1、．．．、s_n) である。 証明終 0178Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/10(土) 10:43:27.82 定義 K を可換体とする。 L = K(X_1、．．．、X_n) を K 上の n 変数の有理関数体（>>8）とする。 G を {1、．．．、n} 上の対称群（>>6）とする。 >>10より G は Aut(L/K)（過去スレpart4の847）の部分群と見なされる。 G の固定体（過去スレpart4の863）を K(X_1、．．．、X_n)_sym と書き K 上の n 変数の対称有理関数体と言う。 K(X_1、．．．、X_n)_sym の元を K 上の n 変数の対称有理関数と呼ぶ。 0179Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/10(土) 11:52:26.01 命題 K を可換体とする。 L = K(X_1、．．．、X_n) を K 上の n 変数の有理関数体（>>8）とする。 K(X_1、．．．、X_n)_sym（>>6）は K[X_1、．．．、X_n]_sym（>>64）の商体である。
証明 A = K[X_1、．．．、X_n] S = K(X_1、．．．、X_n)_sym R = K[X_1、．．．、X_n]_sym とおく。 R の商体を M とする。 R ⊂ S だから M ⊂ S よって、逆の包含関係を示せば良い。
G を {1、．．．、n} 上の対称群（>>6）とする。 f ∈ S を任意の対称有理関数とする。 f = g/h、g ∈ A、h ∈ A と書ける。 h’= Π[σ ∈ G]σh とおく。 h’∈ R である。 h ≠ 0 だから h’≠ 0 である。 g’= h’f とおく。 g’= h’(g/h) ∈ A 一方、g’は対称有理関数の積だから対称有理関数である。 よって、g’∈ A ∩ S = R よって、f = g’/h’∈ M よって、S ⊂ M 証明終 0180Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/10(土) 12:04:00.06>>179の修正
命題 K を可換体とする。 L = K(X_1、．．．、X_n) を K 上の n 変数の有理関数体（>>8）とする。 K(X_1、．．．、X_n)_sym（>>178）は K[X_1、．．．、X_n]_sym（>>64）の商体である。
証明 A = K[X_1、．．．、X_n] S = K(X_1、．．．、X_n)_sym R = K[X_1、．．．、X_n]_sym とおく。 R の商体を M とする。 R ⊂ S だから M ⊂ S よって、逆の包含関係を示せば良い。
G を {1、．．．、n} 上の対称群（>>6）とする。 f ∈ S を任意の対称有理関数とする。 f = g/h、g ∈ A、h ∈ A と書ける。 h’= Π[σ ∈ G]σh とおく。 h’∈ R である。 h ≠ 0 だから h’≠ 0 である。 g’= h’f とおく。 g’= h’(g/h) ∈ A 一方、g’は対称有理関数の積だから対称有理関数である。 よって、g’∈ A ∩ S = R よって、f = g’/h’∈ M よって、S ⊂ M 証明終 0181Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/10(土) 12:07:20.29 命題 K を可換体とする。 A = K[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。 s_k（1 ≦ k ≦ n）を A における次数 k の基本対称多項式（>>66）とする。 L = K(X_1、．．．、X_n) を n 変数の有理関数体（>>8）とする。 このとき、K(X_1、．．．、X_n)_sym（>>178）= K(s_1、．．．、s_n）である。
証明 >>111より K[X_1、．．．、X_n]_sym = K[s_1、．．．、s_n] よって、>>180より K(X_1、．．．、X_n)_sym = K(s_1、．．．、s_n) 証明終 0182Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/11(日) 05:29:29.64 命題 K を可換体とする。 f(X) を K 係数の定数でない１変数多項式とする。 L/K を f(X) の最小分解体（過去スレpart4の542）とする。 G = Aut(L/K)（過去スレpart4の847）とする。 f(X) の L における根全体の集合を S とする。 任意の σ ∈ G に対して σ(S) ⊂ S であり S は有限集合であるから σ(S) = S である。 よって、σ は S の置換を引き起こす。 よって S は G-集合（過去スレpart5の77）となる。 このとき S は忠実（過去スレpart5の843）な G-集合である。
証明 σ ∈ G が S の恒等写像を引き起こすとする。 σ = 1 を示せば良い。 S = {α_1、．．．、α_m} とする。 L = K(α_1、．．．、α_m) （過去スレpart4の539）である。 過去スレpart4の609より L = K[α_1、．．．、α_m] である。 よって L の任意の元 x に対して x = G(α_1、．．．、α_m) となる G ∈ K[X_1、．．．、X_m] がある。 σ(x) = σ(G(α_1、．．．、α_m)) = G(σ(α_1)、．．．、σ(α_m)) = G(α_1、．．．、α_m) = x よって、σ = 1 である。 証明終 0183Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/11(日) 05:45:19.02 命題 K を可換体とする。 f(X) ∈ K[X] を定数でない分離的（過去スレpart4の694）な多項式とする。 L/K を f(X) の最小分解体（過去スレpart4の542）とする。 このとき L/K はGalois拡大（過去スレpart4の848）である。
証明 過去スレpart4の876より L/K は正規拡大（過去スレpart4の844）である。 よって、L/K が分離的（過去スレpart4の843）なことを証明すれば良い。 f(X) の L における根全体の集合を {α_1、．．．、α_n} とする。 L = K(α_1、．．．、α_n)（過去スレpart4の539）である。 各 i （1 ≦ i ≦ n）に対して g_i(X) を α_i の K 上の最小多項式（過去スレpart4の554）とする。 f(α_i) = 0 であるから f(X) は g_i(X) で割れる。 f(X) は分離的であるから g_i(X) も分離的である。 よって、α_i は K 上分離的（過去スレpart4の841）である。 よって、過去スレpart1の271より L/K は分離的である。 証明終 0184Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/11(日) 06:00:41.86 命題 K を可換体とする。 f(X) ∈ K[X] を定数でない分離的（過去スレpart4の694）な多項式とする。 L/K を f(X) の最小分解体（過去スレpart4の542）とする。 f(X) の次数を n とする。 このとき [L ： K] ≦ n！ である。
証明 >>183より L/K はGalois拡大（過去スレpart4の848）である。 G = Aut(L/K)（過去スレpart4の847）とする。 過去スレpart1の317より |G| = [L ： K] であるから |G| ≦ n！ を示せば良い。 f(X) の L における根全体の集合を S = {α_1、．．．、α_n} とする。 >>182より S は忠実な G-集合である。 よって、G は S 上の対称群 Sym(S)（>>6）の部分群と同型である。 |Sym(S)| = n！ であるから |G| ≦ n！ である。 証明終 0185Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/11(日) 06:22:25.30 Galois理論を使って>>181の別証をしよう。
命題 K を可換体とする。 A = K[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。 s_k（0 ≦ k ≦ n）を A における次数 k の基本対称多項式（>>66）とする。 L = K(X_1、．．．、X_n) を n 変数の有理関数体（>>8）とする。 このとき、K(X_1、．．．、X_n)_sym（>>178）= K(s_1、．．．、s_n）である。
証明 S = K(X_1、．．．、X_n)_sym とおく。 M = K(s_1、．．．、s_n) とおく。
G を {1、．．．、n} 上の対称群（>>6）とする。 >>10より G は Aut(L/K)（過去スレpart4の847）の部分群と見なされる。 S は G の固定体（過去スレpart4の863）だから Artinの定理（過去スレpart1の438）より L/S はGalois拡大（過去スレpart4の844）で G = Aut(L/S) である。 過去スレpart1の317より |G| = [L ： S] であるから [L ： S] = n！ である。
猫 0189Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/11(日) 07:31:52.43 命題 K を可換体とする。 L = K(α_1、．．．、α_n)（過去スレpart4の539）とする。 このとき α_1、．．．、α_n が K 上代数的独立（>>119）であるためには n = tr.dim L/K（過去スレpart5の36）となることが必要十分である。
証明 必要性： 自明である。
十分性： n = tr.dim L/K とする。 α_1、．．．、α_n が K 上代数的独立でないとする。 n = tr.dim L/K であるから α_1、．．．、α_n の中に K 上代数的でないものがある。 よって、過去スレpart5の34より {α_1、．．．、α_n} の部分集合で L/K の超越基底（過去スレpart5の9）であるものが存在する。 {α_1、．．．、α_n} は L/K の超越基底でないから tr.dim L/K ＜ n となり矛盾である。 証明終 0190Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/11(日) 07:38:02.79 命題 K を可換体とする。 B = K[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。 s_k（1 ≦ k ≦ n）を B における次数 k の基本対称多項式（>>66）とする。 このとき s_1、．．．、s_n は K 上代数的独立（>>119）である。
証明 L = K(X_1、．．．、X_n) を n 変数の有理関数体（>>8）とする。 S = K(X_1、．．．、X_n)_sym（>>178）とおく。 M = K(s_1、．．．、s_n）とおく。
証明 A = K[X_1、．．．、X_n] を n 変数の多項式環とする。 s_k（0 ≦ k ≦ n）を A における次数 k の基本対称多項式（>>66）とする。 M = K(X_1、．．．、X_n) を n 変数の有理関数体（>>8）とする。 G を {1、．．．、n} 上の対称群とする。 >>10より G は Aut(M/K)（過去スレpart4の847）の部分群と見なされる。 S = K(s_1、．．．、s_n）とする。 >>185より S = K(X_1、．．．、X_n)_sym（>>178）である。 よって、S は G の固定体（過去スレpart4の863）だから Artinの定理（過去スレpart1の438）より M/S はGalois拡大（過去スレpart4の844）で G = Aut(M/S) である。
>>189より s_1、．．．、s_n は K 上代数的独立である。 よって、K-同型（過去スレpart4の514）ψ：L → S で各 i （1 ≦ i ≦ n）に対して ψ(a_i) = s_i となるものがある。 (ψf)(X) を f(X) の各係数にψを作用させた多項式とする。 ψf = g(X) であるから>>192より Aut(E/L) は G = Aut(M/S) に同型である。 証明終 0205Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/11(日) 15:15:06.00 定義 G を I = {1、．．．、n} 上の対称群（>>6）とする。 i_1 ＜ i_2 ＜ ．．．＜ i_r を I の元の列とする。 J = {i_1、．．．、i_r} とする。 σ ∈ G で σ(i_1) = i_2、．．．、σ(i_(r-1)) = i_r、σ(i_r) = i_1 となり I - J の任意の元 j に対して σ(j) = j となるものを G の巡回置換と呼び、 σ = (i_1、．．．、i_r) と書く。 r を σ の長さと呼ぶ。 0206１３２人目の素数さん垢版2012/03/11(日) 15:21:28.52>>205 通常の巡廻置換の定義と違うがな 例えば (1324) 0207Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/11(日) 15:22:28.90 定義 G を集合 {1、．．．、n} 上の対称群（>>6）とする。 σ = (i_1、．．．、i_r) を G の巡回置換（>>205）とする。 集合 {i_1、．．．、i_r} を σ の台と呼ぶ。 0208Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/11(日) 15:29:34.78>>206 有難うございます 見てる人もいるということでｗ 0209１３２人目の素数さん垢版2012/03/11(日) 15:29:47.78 定義だから自由と云えば自由だが。 0210Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/11(日) 15:38:08.87>>205の修正
定義 G を I = {1、．．．、n} 上の対称群（>>6）とする。 J = {i_1、．．．、i_r} を I の空でない部分集合で |J| = r とする。 σ ∈ G で σ(i_1) = i_2、．．．、σ(i_(r-1)) = i_r、σ(i_r) = i_1 となり I - J の各元 j に対して σ(j) = j となるものを G の巡回置換と呼び、 σ = (i_1、．．．、i_r) と書く。 r を σ の長さと呼ぶ。 0211Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/11(日) 15:43:15.39>>207の修正
定義 G を I = {1、．．．、n} 上の対称群（>>6）とする。 σ = (i_1、．．．、i_r) を G の巡回置換（>>210）とする。 集合 {i_1、．．．、i_r} を σ の台と呼ぶ。 0212１３２人目の素数さん垢版2012/03/11(日) 19:21:51.35>>188 >名前：猫vs運営 ◆MuKUnGPXAY [age] 投稿日：2012/03/11(日) 06:53:09.90
猫はこんな早朝でも熊のスレに貼りついてるのか？ｗｗ リアルタイムで追っていたら笑える。
猫と熊って似てるｗ 0213Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/11(日) 19:30:11.47 命題 G を I = {1、．．．、n} 上の対称群（>>6）とする。 G の任意の元は台（>>211）が互いに交わらない巡回置換（>>210）の積として一意に表される。
証明 σ を G の任意の元とする。 σ で生成される G の巡回部分群を H とする。 H は I 上の置換群（>>7）と見なされる。 よって、過去スレpart5の92より I は H による軌道により直和分割される。 i を I の任意の元とする。 Z を有理整数環とする。 O(i) = {σ^m(i)； m ∈ Z} を i の H に関する軌道（過去スレpart5の92）とする。 σ^m(i) = i となる最小の整数 m ≧ 1 を r とする。 任意の整数 m に対して m = rq + k、0 ≦ k ＜ r となる整数 q、k が存在する。 σ^m(i) = σ^k(i) である。 よって、O(i) = {i、σ(i)、．．．、σ^(r-1)(i)} となる。 このとき τ = (i、σ(i)、．．．、σ^(r-1)(i)) は長さ r の巡回置換（>>210）であり、 σ は O(i) 上で τ と一致する。 I は軌道により直和分割されるから σ は台が互いに交わらない巡回置換の積として表される。 これが一意であることは明らかである。 証明終 0214あのこうちやんは始皇帝だった垢版2012/03/11(日) 19:58:03.24 ニート・無職の、ゴミ・クズ・カスのクソガキどもは、福島原発の作業員となって、
少しでも、人の役に立て！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！ 0215Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/12(月) 05:42:34.10 定義 G を I = {1、．．．、n} 上の対称群（>>6）とする。 G の長さ 2 の巡回置換（>>210）を互換と言う。 0216１３２人目の素数さん垢版2012/03/12(月) 05:48:12.63 >>Kummer 朝から屑みたいなカキコをしおって…
被災者の方への謝罪はどうなったんだ？ 0217Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/12(月) 05:53:24.45 命題 G を I = {1、．．．、n} 上の対称群（>>6）とする。 G の任意の元は互換（>>211）の積として表される。
証明 n に関する帰納法による。 n = 1 のときは任意の元は 0 個の互換の積として表される。 n ＞ 1 とする。 σ を G の任意の元とする。 σ(n) = n なら σ は {1、．．．、n - 1} 上の対称群の元と見なされる。 よって、帰納法の仮定より互換の積として表される。 σ(n) = m、n ≠ m とする。 τ を互換 (n, m) とする。 τσ(n) = n だから τσ は {1、．．．、n - 1} 上の対称群の元と見なされる。 よって、帰納法の仮定より τσ は 互換の積として表される。 よって、σ = τ(τσ) は 互換の積として表される。 証明終 0218１３２人目の素数さん垢版2012/03/12(月) 06:43:14.94 >>Kummer 朝から屑みたいなカキコをしおって…
証明 >>231と>>232から明らかである。 0235Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/12(月) 09:53:28.67 定義 G を集合 {1、．．．、n} 上の対称群（>>6）とする。 >>231より sgn：G → {-1、1} は準同型であるから sgn の核 H は G の部分群である。 H を {1、．．．、n} 上の交代群と呼ぶ。 H は G の全ての偶置換（>>233）からなる。 0236Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/12(月) 09:58:48.88 定義 G を集合 I = {1、．．．、n} 上の対称群（>>6）とする。 H を I 上の交代群（>>235）とする。 このとき H は G の指数 2 の正規部分群である。 よって、H の位数は n！/2 である。
このスレでは方程式のGalois理論をもう少しやってからGrothendieckのGalois理論をやる予定。 0 次元の場合はいいとして 1 次元以上のGrothendieckのGalois理論を本格的にやろうとすると スキーム論をやらなくてはならなくなる。 その場合はスレタイを変えたほうがいいかもしれない。 0266あぼーん垢版NGNGあぼーん0267Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/24(土) 10:45:59.89 定義 G を群とする。 X を集合とする。 準同型 f：G → Sym(X)（>>6）を G の X 上の置換表現という（過去スレpart5の77参照）。 0268あぼーん垢版NGNGあぼーん0269Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/24(土) 10:50:24.02 定義 G を群とする。 X を集合とする。 f：G → Sym(X) を G の X 上の置換表現（>>267）とする。 f により X は G-集合（過去スレpart5の77）となる。 このとき X は置換表現 f に付随する G-集合という。 0270あぼーん垢版NGNGあぼーん0271Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/24(土) 10:59:31.35 定義 G を群とする。 Set を小さい集合（代数的整数論017の321）全体の圏とする。 Set における G-対象（過去スレpart5の75）X とは G-集合（過去スレpart5の77）に他ならない。 このとき標準射（過去スレpart5の75）f：G → Sym(X) を G-集合 X に付随する置換表現（>>267）という。 0272あぼーん垢版NGNGあぼーん0273Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/24(土) 11:04:00.84 定義 G を群とする。 X を集合とする。 f：G → Sym(X) を G の X 上の置換表現（>>267）とする。 X の濃度 |X| を f の次数と呼ぶ。 0274あぼーん垢版NGNGあぼーん0275Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/24(土) 11:08:45.63 定義 G を群とする。 X を G-集合（過去スレpart5の77）とする。 f：G → Sym(X) を X に付随する置換表現（>>271）とする。 f の次数（>>273）即ち |X| を X の次数という。 0276Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/24(土) 11:11:45.30 定義 G を群とする。 X を G-集合（過去スレpart5の77）とする。 f：G → Sym(X) を X に付随する置換表現（>>271）とする。 f の核を G-集合 X の核という。 0277あぼーん垢版NGNGあぼーん0278Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/24(土) 11:24:10.64 定義 X を集合とする。 G を X 上の置換群（>>7）とする。 包含写像 f：G → Sym(X) は G の X 上の置換表現（>>267）である。 f を G の標準置換表現という。 f の次数（>>273）即ち |X| を G の次数という。 0279Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/24(土) 11:26:57.96 定義 G を群とする。 過去スレpart5の77より G-集合全体は圏 C をなす。 G-集合の射 f：X → Y は C における同型射のとき同型射または同型写像または同型と呼ぶ。 即ち f は写像として全単射であり、任意の σ ∈ G と任意の x ∈ X に対して f(σx) = σf(x) となる。 このとき X と Y は G-集合として同型であるという。 0280Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/24(土) 11:30:51.89 定義 G を群とする。 集合としての G は G の正則表現（>>11）により G-集合と見なされる。 X を G-集合（過去スレpart5の77）とする。 X が G-集合として G と 同型（>>279）なとき X を正則（regular）な G-集合という。 0281Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/24(土) 11:37:40.59 定義 G を群とする。 X を G-集合（過去スレpart5の77）とする。 このとき G は集合 X に作用するという。
X が忠実（過去スレpart5の843）な G-集合のとき G は X に忠実に作用するという。 X が推移的（過去スレpart5の107）な G-集合のとき G は X に推移的に作用するという。 X が正則（>>280）な G-集合のとき G は X に正則に作用するという。 0282Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/24(土) 11:43:44.04 定義 G を群とする。 X を G-集合（過去スレpart5の77）とする。 x の安定化部分群（過去スレpart5の93）St(x) を Stab_G(x) または Stab(x) とも書く。 0283Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/24(土) 11:47:42.06 命題 G を群とする。 X を G-集合（過去スレpart5の77）とする。 σ ∈ G、x ∈ X とする。 H = Stab(x)（>>282） とする。 このとき Stab(σx) = σHσ^(-1) である。
証明 自明である。 0284Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/24(土) 11:53:29.36 命題 G を群とする。 X を G-集合（過去スレpart5の77）とする。 X が正則（>>280）なためには X が推移的（過去スレpart5の107）であり、 X のある元 x に対して Stab(x) = 1 となることが必要十分である。
0287あぼーん垢版NGNGあぼーん0288あぼーん垢版NGNGあぼーん0289あぼーん垢版NGNGあぼーん0290１３２人目の素数さん垢版2012/03/24(土) 21:03:29.27 保 0291あぼーん垢版NGNGあぼーん0292Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/25(日) 08:11:54.77 命題 G を群とする。 X を正則（>>280）な G-集合とする。 このとき X は忠実（過去スレpart5の843）な G-集合である。
証明 f：G → Sym(X) を G-集合 X に付随する置換表現（>>271）とする。 Ker(f) = ∩{Stab(x)：x ∈ X} である。 よって、>>284より Ker(f) = 1 である。 証明終 0293Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/25(日) 08:17:12.07 定義 G を群とする。 X を G-集合（過去スレpart5の77）とする。 X の各元 x に対して Stab(x)（>>282）= 1 となるとき X を半正則（semiregular）という。 0294Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/25(日) 08:21:34.98 命題 G を群とする。 正則（>>280）な G-集合 X は半正則（>>293）である。
証明 >>284より明らかである。 0295Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/25(日) 08:35:01.11 定義（過去スレpart5の92の修正） G を群とする。 X を G-集合（過去スレpart5の77）とする。 x、y ∈ X に対して y = σx となる σ ∈ G があるとき x ～ y と書く。 これは明らかに同値関係である。 商集合 X/～ を G-集合 X の軌道空間（orbit space）と呼び、X/G と書く。 この同値関係による各同値類を軌道（orbit）または G-軌道（G-orbit）と言う。 x ∈ X が属す軌道を x の軌道または G-軌道と言い、Gx または O(x) と書く。 0296Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/25(日) 08:41:29.24 命題 G を群とする。 X を半正則（過去スレpart5の77）な G-集合とする。 このとき X は正則（>>280）な G-集合の直和となる。
証明 X の各 G-軌道（>>295）は推移的（過去スレpart5の107）かつ半正則であるから >>284より正則である。 証明終 0297Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/25(日) 08:44:03.95 定義 G を群とする。 X を G-集合（過去スレpart5の77）とする。 X 上の同値関係 ～ は任意の x、y ∈ X と任意の σ ∈ G に対して x ～ y ⇒ σx ～ σy となるとき G-不変であるという。 0298あぼーん垢版NGNGあぼーん0299あぼーん垢版NGNGあぼーん0300あぼーん垢版NGNGあぼーん0301Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/25(日) 10:32:55.77 定義 G を群とする。 Set を小さい集合（代数的整数論017の321）全体の圏とする。 Set における G-対象（過去スレpart5の75）とは G-集合（過去スレpart5の77）に他ならない。 Set における G-対象間の G-射（過去スレpart5の76）を G-写像という。 0302Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/25(日) 10:43:35.75 命題 G を群とする。 X を G-集合（過去スレpart5の77）とする。 ～ を X における G-不変（>>297）な同値関係とする。 x ∈ X のとき [x] を x の属す同値類とする。 σ ∈ G のとき σ[x] = [σx] と定義する。 ～ は G-不変であるからこの定義は x の取り方に寄らない。 このとき商集合 X/～ は G-集合である。
証明 自明である。 0303あぼーん垢版NGNGあぼーん0304Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/25(日) 11:03:43.84 命題 G を群とする。 f：X → Y を G-写像（>>301）とする。 X における関係 ～ を x ～ y ⇔ f(x) = f(y) で定義する。 このとき関係 ～ は G-不変（>>297）な同値関係である。
証明 自明である。 0305Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/25(日) 11:15:18.53 定義 C を圏とする。 f：X → Y r：Y → Z s：Y → Z をそれぞれ C における射とする。 rf = sf となるとき (r, s) を f-等価対と呼び、 (r, s) は f を等価するという。 0306Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/25(日) 11:19:52.96 定義 C を圏とする。 f：X → Y とする。 r：Z → X s：Z → X をそれぞれ C における射とする。 fr = fs となるとき (r, s) を f-余等価対と呼び、 (r, s) は f を余等価(coequalize)するという。 0307Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/25(日) 11:24:00.34 定義 C を圏とする。 f：X → Y とする。 g：Z → Y とする。 任意の f-等価対（>>305）が g-等価対であるとき g を f-等価射と呼ぶ。 0308Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/25(日) 11:26:53.04 定義 C を圏とする。 f：X → Y g：X → Z をそれぞれ C における射とする。 任意の f-余等価対（>>305）が g-余等価対であるとき g を f-余等価射と呼ぶ。 0309Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/25(日) 11:30:21.53 例 C を圏とする。 f：X → Y u：Z → X をそれぞれ C における射とする。 このとき fu：Z → Y は f-等価射（>>307）である。 0310Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/25(日) 11:34:47.35 例 C を圏とする。 f：X → Y u：Y → Z をそれぞれ C における射とする。 このとき uf：X → Z は f-余等価射（>>308）である。 0311Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/25(日) 11:39:43.96 定義 C を圏とする。 f：X → Y を C-射とする。 g：Z → Y を任意の f-等価射（>>307）とする。 このとき u：Z → X で g = fu となるものが一意に存在するとき f を強単射（strict monomorphism）と言う。 0312Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/25(日) 11:44:48.67 定義 C を圏とする。 f：X → Y を C-射とする。 g：X → Z を任意の f-余等価射（>>308）とする。 このとき u：Y → Z で g = uf となるものが一意に存在するとき f を強全射（strict epimorphism）と言う。 0313Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/25(日) 11:54:02.52 定義（代数的整数論018の558） f：X → Y を圏 C における射とする。 f がある二つの射の差余核（coequalizer）（代数的整数論017の850）と一致するとき f を正則全射（regular epimorphism）と言う。 即ち次の完全な図式（代数的整数論017の870）があるとき f を正則な全射と言う。
Z ⇒ X → Y
ここで ⇒ は２本の射を表す。 0314Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/25(日) 12:00:36.64 定義（代数的整数論018の580） C を圏とする。 f：X → Y を C における全射とし、次の性質（E）を持つとする。
（E）： f = mg：X → T → Y と分解し、m が単射なら m は常に同型である。
このとき f を極値的全射（extremal epimorphism）と言う。 0315Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/25(日) 12:53:35.14 次の例が示すように強全射（>>312）は全射写像の自然な一般化である。
例 Set を小さい集合（代数的整数論017の321）全体の圏とする。 Set における全射は強全射である。
証明 f：X → Y を Set における全射とする。 f は写像として全射である。 g：X → Z を任意の f-等価射（>>307）とする。 f(x) = f(y) とする。 P = {p} を一点からなる集合とする。 r：P → X を r(p) = x で定義する。 s：P → X を s(p) = y で定義する。 fr = fs であるから gr = gs である。 よって、g(x) = g(y) である。
f は全射であるから任意の y ∈ Y に対して y = f(x) となる x ∈ X がある。 上記から g(x) は y のみで決まり y = f(x) となる x の取り方によらない。 よって、写像 u：Y → Z を u(f(x)) = g(x) で定義出来る。 このとき g = uf である。 f は全射であるからこのような u は一意である。 証明終 0316Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/25(日) 13:07:59.66 例（正則全射の例） Grp を小さい集合（代数的整数論017の321）上で定義された群全体の圏とする。 G ∈ Grp とする。 N を G の正規部分群とする。 f：G → G/N を標準射とする。 このとき f は正則全射（>>313）である。
証明 r：N → G を包含写像とする。 s：N → G を各 x ∈ N に対して s(x) = 1 となる写像とする。 fr = fs である。 H ∈ Grp とし g：G → H を gr = gs となる準同型とする。 各 x ∈ N に対して g(x) = 1 である。 よって、準同型 u：G/N → H で g = uf となるものが存在する。 f は全射だから u は一意である。 証明終 0317Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/25(日) 13:12:08.44 命題 正則全射（>>313）⇒ 強全射（>>312）
証明 f：X → Y を強全射とする。 u：Y → Z v：Y → Z g = uf = vf とする。 >>310より g は f-余等価射（>>308）だから一意性より u = v 証明終 0319Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/25(日) 13:22:53.90 命題 強全射（>>312）⇒ 極値的全射（>>314）
証明 f：X → Y を強全射とする。 g：X → Z m：Z → Y f = mg で m は単射とする。 r：T → X s：T → X fr = fs なら mgr = mgs m は単射だから gr = gs よって、g は f-余等価射（>>308）である。 よって、u：Y → Z で g = uf となるものが一意に存在する。 f = mg = muf >>318より f は全射だから mu = 1 よって、mum = m m は単射だから um = 1 よって、m は同型 証明終 0320Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/25(日) 14:06:11.59 命題 f：X → Y を強全射（>>312）とする。 g：Y → Z を極値的全射（>>314）とする。 このとき gf は極値的全射である。
証明 h：X → T m：T → Z gf = mh で m は単射とする。 m が同型であることを示せばよい。
r：S → X s：S → X fr = fs なら gfr = gfs よって、mhr = mhs m は単射だから hr = hs よって、h は f-余等価射（>>308）である。 f は強全射だから h = uf となる u：Y → T が一意に存在する。 gf = mh = muf >>318より f は全射だから g = mu g は極値的全射だから m は同型である。 証明終 0321Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/25(日) 14:09:54.72 命題 f：X → Y と g：Y → Z をともに強全射（>>312）とする。 このとき gf は極値的全射（>>314）である。
証明 >>319より g は極値的全射である。 よって、>>320より gf は極値的全射である。 証明終 0322Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/25(日) 14:51:23.74 C を圏とする。 f: X → Y を C における射とする。 fg = 1 となる g：Y → X があるとき f を引き込み（過去スレpart4の296）といった。 0323Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/25(日) 15:16:02.38 命題 C を圏とする。 f：X → Y と g：Y → Z を C における射とする。 gf が全射なら g も全射である。
証明 r：Z → T s：Z → T をそれぞれ C における射とし、rg = sg とする。 rgf = sgf である。 gf は全射だから r = s である。 証明終 0324Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/25(日) 15:18:03.89 命題 引き込み（>>322）は全射である。
証明 f: X → Y を引き込みとし、g: Y → X は fg = 1 となる射とする。 f = Coker(gf, 1_X)（代数的整数論017の850）を証明しよう。
fgf = f(1_X) である。 h：X → Z を hgf = h(1_X) となる射とする。 k = hg：Y → Z とおく。 kf = hgf = h である。 >>324より f は全射であるから k は kf = h となる唯一の射である。 以上から f = Coker(gf, 1_X) である。 証明終 0326Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/25(日) 17:38:26.35 命題 f：X → Y を引き込み（>>322）とする。 g：Y → Z を強全射（>>312）とする。 このとき gf は強全射である。
証明 h：X → W を任意の gf-余等価射（>>308）とする。 h = kgf となる k：Z → W が一意に存在することを示せばよい。 >>324より f は全射だから gf は全射である。 よって、h = kgf となる k は一意に定まる。
f は引き込みだから fu = 1 となる u：Y → X がある。 r：T → Y s：T → Y gr = gs とする。 gfur = gr = gs = gfus よって、hur = hus よって、hu は g-余等価射である。 g は強全射だから hu = kg となる k：Z → W が一意に存在する。
一方、gfuf = gf であり h は gf-余等価射であるから huf = h よって、h = huf = kgf 証明終 0327Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/25(日) 17:58:53.90 命題 C を圏とする。 f：X → Y と g：Y → Z を C における射とする。 gf は強全射（>>312）で f は全射とする。 このとき g は強全射である。
猫 0335Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/25(日) 20:58:53.42 定義 G を群とする。 Set を小さい集合（代数的整数論017の321）全体の圏とする。 Set における G-対象（過去スレpart5の75）全体 Func(G, Set)（代数的整数論017の372）は 自然変換を射とすることにより圏となる（代数的整数論017の372）。 Set における G-対象とは G-集合（過去スレpart5の77）に他ならない。 よって、Func(G, Set) は G-集合と G-写像（>>301）からなる圏に他ならない。 この圏を Set^G と書く。 0336Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/25(日) 22:04:07.57 命題 G を群とする。 Set^G（>>335）は終対象（代数的整数論017の288）をもつ。
証明 X = {x} を１個の元 x からなる Set の対象とする。 Sym(X)（>>6）は単位群である。 よって、準同型 f：G → Sym(X) が一意に定まる。 f により X は G-集合（過去スレpart5の77）となる。 明らかに X は Set^G の終対象である。 証明終 0337Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/25(日) 22:14:25.72 命題 G を群とする。 X と Y を Set^G（>>335）の対象とする。 σ ∈ G、(x, y) ∈ X×Y のとき σ(x, y) = (σx, σy) と定義することにより X×Y は G-集合となる。 このとき X×Y は Set^G における X と Y の積である。
証明 ほとんど自明である。 0338Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/25(日) 23:24:39.70 命題 G を群とする。 X と Y を Set^G（>>335）の対象とする。 f：X → Y を G-写像（>>301）とする。 f が集合間の写像として全射なら f は Set^G における強全射（>>312）である。
証明 P = {(x, y) ∈ X×X；f(x) = f(y)} とおく。 σ ∈ G、(x, y) ∈ P のとき σ(x, y) = (σx, σy) と定義することにより P は G-集合となる。 写像 p_1：P → X を p(x, y) = x により定義する。 写像 p_2：P → X を p(x, y) = y により定義する。 p_1 と p_2 は G-写像である。 このとき、明らかに (P, p_1, p_2) はファイバー積（代数的整数論017の800）である。
P → X ↓ ↓ X → Y
g：X → Z を f-余等化射（>>308）とする。 >>330より g(p_1) = g(p_2) である。 よって、(x, y) ∈ X×X、f(x) = f(y) のとき g(x) = g(y) である。 f は全射であるから写像 h：Y → Z で g = hf となるものが一意に存在する。 σ ∈ G、x ∈ X のとき h(σf(x)) = h(f(σx)) = g(σx) = σg(x) = σh(f(x)) f は全射であるから h は G-写像である。 よって、f は強全射である。 証明終 0339あぼーん垢版NGNGあぼーん0340１３２人目の素数さん垢版2012/03/26(月) 00:40:32.26 朝鮮人犯罪があまり報道されない、そしてテレビが日常的に嘘を吐く理由。
Ruffini(1799)が最初らしい。 0350Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/26(月) 02:55:19.88 命題 G を群とする。 X を G-集合（過去スレpart5の77）とする。 H を G の正規部分群とする。 X は H-集合と見なされる。 x、y ∈ X に対して y = ηx となる η ∈ H があるとき x ～ y と書く。 このとき ～ は X 上の G-不変（>>297）な同値関係である。
証明 x ～ y とする。 y = ηx となる η ∈ H がある。
任意の σ ∈ G に対して σy = σηx = (σησ^(-1))σx
H は G の正規部分群であるから σησ^(-1) ∈ H である。 よって、σx ～ σy 証明終 0351Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/26(月) 03:06:49.77 定義 G を群とする。 X を集合とする。 f：G → Sym(X) を G の X 上の置換表現（>>267）とする。 Ker(f) = G のとき f を自明な置換表現という。 0352Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/26(月) 03:16:39.52 定義 G を群とする。 X を G-集合（過去スレpart5の77）とする。 f：G → Sym(X) を G-集合 X に付随する置換表現（>>271）とする。 f が自明（>>351）なとき X は自明な G-集合という。 また、G は X に自明に作用するという。 0353Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/26(月) 03:25:44.60 命題 G を群とする。 X を原始的（>>343）な G-集合（過去スレpart5の77）とする。 H を G の正規部分群とする。 このとき H は X に自明（>>352）に作用するかまたは推移的（>>281）に作用する。
証明 >>350より各 H-軌道（>>295）は 1 点からなるか X 全体と一致する。 各 H-軌道が 1 点であれば H は X に自明に作用する。 そうでなけれ H は X に推移的に作用する。 証明終 0354Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/26(月) 04:02:22.51 命題 G を群とする。 X を原始的（>>343）な G-集合（過去スレpart5の77）とする。 X が推移的でなければ |X| = 2 であり G は X に自明（>>352）に作用する。
証明 >>353より G は X に自明に作用するかまたは推移的に作用する。 X に自明に作用するなら X 上の任意の同値関係は G-不変（>>297）である。 |X| ≧ 3 なら自明（>>342）でない同値関係があるから |X| = 2 である。 証明終 0355Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/26(月) 04:07:25.77>>354に鑑みて>>343を以下のように修正する。
定義 G を群とする。 X を推移的（過去スレpart5の107）な G-集合（過去スレpart5の77）とする。 |X| ≧ 2 であり X 上の G-不変な同値関係で自明（>>342）でないものは存在しないとき X を原始的（primitive）な G-集合という。 0356Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/26(月) 05:05:17.09 定義 G を群とする。 X を G-集合（過去スレpart5の77）とする。 P(X) を X の冪集合とする。 Q を P(X) の部分集合とする。 X 上の G-不変（>>297）な同値関係 ～ があり Q がその同値類全体と一致するとき Q を G-集合 X のブロック系（block system）という。 Q の各要素をそのブロックという。 0357Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/26(月) 06:23:54.15 定義 G を群とする。 X を G-集合（過去スレpart5の77）とする。 B を X の部分集合とする。 G-集合 X のあるブロック系（>>356）Q があり B ∈ Q となるとき B を X のブロックという。 0358Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/26(月) 06:32:53.14 命題 G を群とする。 X を G-集合（過去スレpart5の77）とする。 Q を X のブロック系（>>356）とする。 任意の B ∈ Q と任意の σ ∈ G に対して σB = {σx； x ∈ B} は Q のブロック（>>356）である。
証明 X 上の G-不変な同値関係 ～ があり Q はその同値類全体と一致する。 x ∈ B を固定する。 σx を含むブロックを C とする。 y ∈ B に対して x ～ y だから σx ～ σy となる。 よって、σy ∈ C よって、σB ⊂ C
逆の包含関係を示せば良い。 z を C の任意の元とする。 σx ～ z である。 よって、x ～ σ^(-1)z よって、σ^(-1)z ∈ B よって、z = σσ^(-1)z ∈ σB よって、C ⊂ σB 証明終 0359Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/26(月) 06:52:16.56 命題 G を群とする。 X を推移的（過去スレpart5の107）な G-集合（過去スレpart5の77）とする。 Y を G-集合とし、f：X → Y を G-写像（>>301）とする。 このとき f が全射であれば Y は推移的である。
証明 s と t を Y の任意の元とする。 f は全射だから s = f(x)、t = f(y) となる x、y ∈ X がある。 X は推移的だから y = σx となる σ ∈ G がある。 t = f(y) = f(σx) = σf(x) = σs よって、Y は推移的である。 証明終 0360Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/26(月) 06:56:00.71 命題 G を群とする。 X を推移的（過去スレpart5の107）な G-集合（過去スレpart5の77）とする。 ～ を X における G-不変（>>297）な同値関係とする。 >>302より X/～ は G-集合である。 このとき G は X/～ に推移的（>>281）に作用する。
証明 π：X → X/～ を標準写像とする。 π は G-写像（>>301）であり全射である。 よって、>>359より X/～ は推移的である。 証明終 0361１３２人目の素数さん垢版2012/03/26(月) 06:59:12.10 >>Kummer 挨拶しろ。 0362Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/26(月) 07:06:43.23 命題 G を群とする。 X を推移的（過去スレpart5の107）な G-集合（過去スレpart5の77）とする。 ～ を X における G-不変（>>297）な同値関係とする。 B をその同値類の一つとする。 このとき |X| = |X/～||B| である。
証明 >>359より X/～ は推移的である。 よって、>>358より関係 ～ による各同値類は σB、σ ∈ G の形である。 |B| = |σB| であるから |X| = |X/～||B| である。 証明終 0363Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/26(月) 07:11:24.85 命題 G を群とする。 X を素数次数（>>275）の推移的（過去スレpart5の107）な G-集合（過去スレpart5の77）とする。 このとき X は原始的（>>355）である。
証明 >>362より明らかである。 0364あぼーん垢版NGNGあぼーん0365Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/26(月) 09:10:43.74 補題 G を群とする。 X を G-集合（過去スレpart5の77）とする。 B を X の空でない部分集合とする。 任意の σ ∈ G に対して σB = B または σB ∩ B = φ とする。 Y = ∪{σB； σ ∈ G} とおく。 このとき以下が成り立つ。
（1）Y は X の G-部分集合（過去スレpart5の94）である。
（2）Y は σB、σ ∈ G の形の部分集合により直和分割される。
（3）x、y ∈ σB となる σ ∈ G があるとき x ～ y と書けば ～ は Y 上の G-不変（>>297）な同値関係である。
証明 （1）は自明である。
（2） σ、τ ∈ G、σB ∩ τB ≠ φ とする。 τ^(-1)σB ∩ B ≠ φ だから τ^(-1)σB = B である。 よって、σB = τB である。 よって、Y は σB、σ ∈ G の形の集合に直和分割される。
（3） 上記より ～ は Y 上の同値関係である。 x ～ y のとき x、y ∈ σB となる σ ∈ G がある。 任意の τ ∈ G に対して τx、τy ∈ τσB であるから τx ～ τy である。 証明終 0366あぼーん垢版NGNGあぼーん0367Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/26(月) 09:29:17.17 命題 G を群とする。 X を G-集合（過去スレpart5の77）とする。 B を X の空でない部分集合とする。 B がブロック（>>357）であるためには 任意の σ ∈ G に対して σB = B または σB ∩ B = φ となることが必要十分である。
十分性： P = {σB； σ ∈ G} とおく。 Y = ∪{σB； σ ∈ G} とおく。 X = Y なら>>365より P は X のブロック系（>>356）である。 よって、B はブロックである。
X ≠ Y なら C = X - Y とおくと任意の σ ∈ G に対して σC ⊂ C となる。 よって、x、y ∈ C のとき任意の σ ∈ G に対して σx、σy ∈ C となる。 よって、Q = {C} ∪ P はブロック系である。 よって、B はブロックである。 証明終 0368あぼーん垢版NGNGあぼーん0369Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/26(月) 09:41:32.13 命題 G を群とする。 X を G-集合（過去スレpart5の77）とする。 x を X のある元とする。 G_x を x の安定化部分群（過去スレpart5の93）とする。 B を x を含むブロック（>>357）とする。 このとき H ={σ ∈ G；σB = B} は G_x を含む G の部分群である。
証明 σ を G_x の任意の元とする。 σx = x ∈ B であるから x ∈ σB ∩ B よって、>>365より B = σB よって、σ ∈ H である。 証明終 0370Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/26(月) 09:59:28.82 命題 G を群とする。 X を G-集合（過去スレpart5の77）とする。 x を X のある元とする。 G_x を x の安定化部分群（過去スレpart5の93）とする。 H を G_x を含む G の部分群とする。 Hx = {ηx； η ∈ H} と書く。 このとき Hx は X のブロック（>>357）である。
証明 x ∈ Hx だから Hx は空でない。 σ ∈ G に対して σHx ∩ Hx ≠ φ とする。 σηx = ρx となる η、ρ ∈ H がある。 ρ^(-1)σηx = x だから ρ^(-1)ση ∈ G_x ⊂ H よって、σ ∈ ρHη^(-1) = H よって、σHx = Hx よって、>>367より Hx は X のブロックである。 証明終 0371Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/26(月) 10:07:20.84 命題 G を群とする。 X を G-集合（過去スレpart5の77）とする。 x を X のある元とする。 G_x を x の安定化部分群（過去スレpart5の93）とする。 H を G_x を含む G の部分群とする。 Hx = {ηx； η ∈ H} と書く。 このとき H = {σ ∈ G； σHx = Hx } である。
証明 σ ∈ H のとき σHx = Hx である。
逆に σ ∈ G、σHx = Hx とする。 σηx = ρx となる η、ρ ∈ H がある。 ρ^(-1)σηx = x だから ρ^(-1)ση ∈ G_x ⊂ H よって、σ ∈ ρHη^(-1) = H
以上から H = {σ ∈ G； σHx = Hx } 証明終 0372あぼーん垢版NGNGあぼーん0373１３２人目の素数さん垢版2012/03/26(月) 11:14:50.55 保守 0374あぼーん垢版NGNGあぼーん0375Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/26(月) 12:55:04.50 命題 G を群とする。 X を推移的な G-集合（過去スレpart5の77）とする。 x を X のある元とする。 G_x を x の安定化部分群（過去スレpart5の93）とする。 B を x を含むブロック（>>357）とする。 >>369より H ={σ ∈ G；σB = B} は G_x を含む G の部分群である。 このとき B = Hx である。
証明 Hx ⊂ B であるから逆の包含関係を示せばよい。 y ∈ B を任意の元とする。 G は X に推移的に作用するから y = σx となる σ ∈ G がある。 y ∈ σB ∩ B だから σB = B である。 よって、σ ∈ H である。 よって、y = σx ∈ Hx である。 証明終 0376あぼーん垢版NGNGあぼーん0377Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/26(月) 13:05:26.03 命題 G を群とする。 X を推移的な G-集合（過去スレpart5の77）とする。 x を含むブロック（>>357）全体の集合を Λ(x) とする。 G_x を含む G の部分群全体の集合を Γ(x) とする。 >>369より B ∈ Λ(x) に対して H = {σ ∈ G；σB = B} は Γ(x) に属す。 このとき B に H を対応させる写像 ψ：Λ(x) → Γ(x) は全単射である。
証明 >>370より H ∈ Γ(x) のとき Hx ∈ Λ(x) である。 H ∈ Γ(x) に Hx ∈ Λ(x) を対応させる写像を φ：Γ(x) → Λ(x) とする。 >>371と>>375より ψ と φ は互いに逆写像である。 証明終 0378あぼーん垢版NGNGあぼーん0379Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/26(月) 13:28:18.42 命題 G を群とする。 X を推移的な G-集合（過去スレpart5の77）で |X| ≧ 2 とする。 x を X の任意の元とする。 G_x を x の安定化部分群（過去スレpart5の93）とする。 X が原始的（>>355）な G-集合であるためには G_x が G の極大部分群であることが必要十分である。
証明 >>377より明らかである。 0380あぼーん垢版NGNGあぼーん0381Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/26(月) 20:24:17.25 記法 X を集合とする。 m（1 ≦ m ≦ |X|）を整数とする。 X^m を X の m 重の直積集合とする。 X^m の元 (x_1、．．．、x_m) で i ≠ j （1 ≦ i、j ≦ m）なら x_i ≠ x_j となるもの全体からなる X^m の部分集合を X^[m] と書く。 0382Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/26(月) 20:30:54.70 定義 G を群とする。 X を G-集合（過去スレpart5の77）とする。 m（1 ≦ m ≦ |X|）を整数とする。 σ ∈ G、x = (x_1、．．．、x_m) ∈ X^[m]（>>381）のとき σx = (σx_1、．．．、σx_m) と定義することにより X^[m] は G-集合となる。 X^[m] が 推移的（過去スレpart5の107）な G-集合のとき X を m 重推移的な G-集合という。 0383Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/26(月) 20:36:40.01 命題 G を群とする。 X を m 重推移的（>>382）な G-集合とする。 k を 1 ≦ k ≦ m となる整数とする。 このとき X は k 重推移的な G-集合である。
証明 k ＜ m と仮定してよい。 x = (x_1、．．．、x_k) と y = (y_1、．．．、y_k) を X^[k]（>>381）の任意の元とする。 x’= (x_1、．．．、x_k、x_(k+1)、．．．、x_m) ∈ X^[m] となる x_(k+1)、．．．、x_m ∈ X がある。 同様に y’= (y_1、．．．、y_k、y_(k+1)、．．．、y_m) ∈ X^[m] となる y_(k+1)、．．．、y_m ∈ X がある。 X は m 重推移的であるから σx’= y’となる σ ∈ G がある。 このとき σx = y である。 よって、X^[k] は推移的な G-集合である。 証明終 0384Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/26(月) 20:42:27.84 命題 X を n 個の元からなる有限集合とする。 G = Sym(X)（>>6）とする。 このとき X は G-集合として n 重推移的（>>382）である。
証明 x = (x_1、．．．、x_n) を X^[n]（>>381）の任意の元とする。 任意の y = (y_1、．．．、y_n) ∈ X^[n] に対して σx = y となる σ ∈ G がある。 よって、X^[n] は推移的な G-集合である。 証明終 0385Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/26(月) 20:59:33.59 補題 G を群とする。 X を推移的（過去スレpart5の107）な G-集合とする。 m ≧ 2 を整数とする。 x と y を X の元とする。 G_x と G_y をそれぞれ x と y の安定化部分群（過去スレpart5の93）とする。 G_x が X - {x} 上 m - 1 重推移的（>>382）なら G_y は X - {y} 上 m - 1 重推移的である。
証明 G は X 上推移的だから σx = y となる σ ∈ G がある。 z = (z_1、．．．、z_(m-1)) と w = (w_1、．．．、w_(m-1)) を (X - {y})^[m-1] の元とする。 z’= σ^(-1)z w’= σ^(-1)w とする。 z’、w’∈ (X - {x})^[m-1] だから τz’= w’となる τ ∈ G_x がある。 τσ^(-1)z = σ^(-1)w よって、στσ^(-1)z = w στσ^(-1) ∈ σG_xσ^(-1) = G_y よって、G_y は (X - {y})^[m-1] 上推移的である。 証明終 0386Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/26(月) 21:16:18.15 命題 G を群とする。 X を G-集合とする。 x を X の元とする。 G_x を x の安定化部分群（過去スレpart5の93）とする。 m ≧ 2 を整数とする。 X が m 重推移的（>>382）であるためには G が X 上推移的で G_x が X - {x} 上 m - 1 重推移的であることが 必要十分である。
証明 必要性： >>383より G は X 上推移的である。 Y = X - {x} とおく。 a = (a_1、．．．、a_(m-1)) と b = (b_1、．．．、b_(m-1)) を Y^[m-1]（>>381）の任意の元とする。 a’= (a_1、．．．、a_(m-1)、x) b’= (b_1、．．．、b_(m-1)、x) とおく。 a’、b’∈ X^[m] である。 X は m 重推移的であるから σa’= b’となる σ ∈ G がある。 このとき σx = x であるから σ ∈ G_x である。 σa = b であるから G_x は Y 上 m - 1 重推移的である。
十分性： >>385より X の任意の元 y に対して G_y は X - {y} 上 m - 1 重推移的である。 a = (a_1、．．．、a_m) と b = (b_1、．．．、b_m) を X^[m] の任意の元とする。 σ(a_1、．．．、a_(m-1)、a_m) = (b_1、．．．、b_(m-1)、a_m) となる σ ∈ G_(a_m) がある。 τ(b_1、．．．、b_(m-1)、a_m) = (b_1、．．．、b_(m-1)、b_m) となる τ ∈ G_(b_1) がある。 よって、τσa = b よって、G は X 上 m 重推移的である。 証明終 0387Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/26(月) 22:15:35.40 定義（>>210の拡張） X を空でない有限集合とする。 G = Sym(X)（>>6）とする。 J = {i_1、．．．、i_r} を X の空でない部分集合で |J| = r とする。 σ ∈ G で σ(i_1) = i_2、．．．、σ(i_(r-1)) = i_r、σ(i_r) = i_1 となり X - J の各元 x に対して σ(x) = x となるものを G の巡回置換と呼び、 σ = (i_1、．．．、i_r) と書く。 r を σ の長さと呼ぶ。 0388Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/26(月) 22:33:22.87 命題 X を空でない有限集合とする。 Z を有理整数環とする。 {-1、1} を Z の乗法に関する可逆元からなる群とする。 G = Sym(X)（>>6）とする。 このとき準同型 ε：G → {-1、1} で G の任意の互換（>>240）σ に対して ε(σ) = -1 となるものが一意に存在する。
証明 |X| = n とする。 I = {1、．．．、n} とする。 f：X → I を任意の全単射とする。 σ ∈ G に fσf^(-1) ∈ Sym(I) を対応させることにより 同型 ψ：G → Sym(I) が得られる。 σ ∈ Sym(I) に sgn(σ)（>>230）を対応させる写像を sgn：Sym(I) → {-1、1} とする。 ε = sgnψ とおく。 G の任意の互換 σ に対して ψ(σ) は Sym(I) の互換だから>>232より ε(σ) = sgn ψ(σ) = -1 である。 >>222と同様に G の任意の元は互換の積として表されるからこのような ε は一意に決まる。 証明終 0389Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/26(月) 22:39:07.13 定義 X を空でない有限集合とする。 G = Sym(X)（>>6）とする。 >>388より準同型 ε：G → {-1、1} で G の任意の互換（>>240）τ に対して ε(τ) = -1 となるものが一意に存在する。 σ ∈ G のとき ε(σ) を σ の符号と呼び sgn(σ) と書く。 0390Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/26(月) 22:42:04.89 定義（>>233の拡張） X を空でない有限集合とする。 σ を Sym(X)（>>6）の元とする。 sgn(σ) = 1 のとき σ を偶置換という。 sgn(σ) = -1 のとき σ を奇置換という。 0391Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/26(月) 22:47:15.85 定義（>>235の拡張） X を空でない有限集合とする。 G = Sym(X)（>>6）とする。 σ ∈ G に sgn(σ)（>>6）を対応させる写像を sgn：G → {-1、1} とする。 sgn：G → {-1、1} は準同型であるから sgn の核 H は G の部分群である。 H を X 上の交代群と呼ぶ。 H は G の全ての偶置換（>>390）からなる。 0392Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/26(月) 22:49:33.90 記法 X を空でない有限集合とする。 X 上の交代群（>>391）を Alt(X) と書く。 0393Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/26(月) 23:13:20.75 命題 X を空でない有限集合とする。 |X| = n とする。 n ≧ 3 のとき Alt(X)（>>392）は X 上推移的（過去スレpart5の107）である。
証明 a と b を X の元とし a ≠ b とする。 n ≧ 3 だから c ∈ X - {a, b} がある。 σ = (a, b, c) を X 上の巡回置換（>>238）とする。 σ = (a, c)(a, b) ∈ Alt(X) である。 b = σa だから Alt(X) は X 上推移的である。 証明終 0394Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/26(月) 23:33:40.49 命題 X を空でない有限集合とする。 Y を X の空でない部分集合とする。 任意の τ ∈ Sym(Y)（>>6）に対して τ’∈ Sym(X) を次のように定義する。 x ∈ Y のとき τ’x = τx x ∈ X - Y のとき τ’x = x τ ∈ Sym(Y) に τ’∈ Sym(Y) を対応させる写像を f：Sym(Y) → Sym(X) とする。 このとき f は単射準同型であり、 f(Sym(Y)) = {σ ∈ Sym(X)；各 x ∈ X - Y に対して σx = x} である。
以上から f(Alt(Y)) = H 証明終 0398Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/27(火) 00:41:14.31 命題 X を空でない有限集合とする。 |X| ≧ 3 のとき Alt(X)（>>392）は n - 2 重推移的（>>382）である。
証明 G = Alt(X) とする。 |X| = n とする。 n に関する帰納法を使う。 n = 3 のとき>>393より G は X 上推移的である。 n ≧ 4 とする。 x を X の元とする。 G_x を x の安定化部分群（過去スレpart5の93）とする。 >>397より G_x は Alt(X - {x}) と同一視される。 よって、帰納法の仮定より G_x は n - 3 重推移的である。 >>393より G は X 上推移的である。 よって、>>386より G は n - 2 重推移的である。 証明終 0399Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/27(火) 01:03:51.62 命題 G を群とする。 X を 2 重推移的（>>382）な G-集合とする。 x を X の任意の元とする。 H を x の安定化部分群（過去スレpart5の93）とする。 σ ∈ G - H とする。 このとき G = H ∪ HσH と直和分割される。
証明 >>393より G は X 上推移的である。 よって、過去スレpart5の121より X は G-集合として G/H と同型である。 よって、>>386より H は G/H - {H} 上推移的である。 よって、任意の τ ∈ G - H に対して τH = hσH となる h ∈ H がある。 τ ∈ HσH であるから G = H ∪ HσH である。 H ∩ HσH = φ であるからこれは G の直和分割である。 証明終 0400Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/27(火) 01:17:43.69>>399の修正
命題 G を群とする。 X を 2 重推移的（>>382）な G-集合とする。 x を X の任意の元とする。 H を x の安定化部分群（過去スレpart5の93）とする。 σ ∈ G - H とする。 このとき G = H ∪ HσH と直和分割される。
証明 >>383より G は X 上推移的である。 よって、過去スレpart5の121より X は G-集合として G/H と同型である。 よって、>>386より H は G/H - {H} 上推移的である。 よって、任意の τ ∈ G - H に対して τH = hσH となる h ∈ H がある。 τ ∈ HσH であるから G = H ∪ HσH である。 H ∩ HσH = φ であるからこれは G の直和分割である。 証明終 0401Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/27(火) 01:19:20.30 命題 G を群とする。 X を 2 重推移的（>>382）な G-集合とする。 このとき X は原始的（>>355）な G-集合である。
証明 x を X の任意の元とする。 H を x の安定化部分群（過去スレpart5の93）とする。 X は 2 重推移的だから |X| ≧ 2 である。 >>383より G は X 上推移的である。 よって、>>379より H が G の極大部分群であることを証明すればよい。 K を H を含む G の部分群で H ≠ K とする。 σ ∈ K - H とする。 >>400より G = H ∪ HσH と直和分割される。 K は H と HσH を含むから G = H である。 よって、H は G の極大部分群である。 証明終 0402Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/27(火) 02:35:25.41 G を群とする。 H を G の正規部分群とする。 Aut(H) を H の自己同型群とする。 G の各元 σ に対して φ(σ) ∈ Aut(H) を φ(σ)(x) = σxσ^(-1) により定義する。 φ：G → Aut(H) は準同型である。 よって、H は G-集合（過去スレpart5の77）と見なされる。 0403Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/27(火) 02:39:35.78 補題 G を群とする。 X を G-集合（過去スレpart5の77）とする。 x を X の元とする。 G_x を x の安定化部分群（過去スレpart5の93）とする。 H を G の正規部分群とする。 H は X 上正則（>>280）であるとする。 >>402より H は (G_x)-集合と見なされる。 このとき H と X は (G_x)-集合として同型である。
証明 写像 f：H → X を f(η) = ηx により定義する。 H は X に正則に作用するから f は全単射である。 よって、f が (G_x)-射であることを示せばよい。 σ ∈ G_x、η ∈ H のとき f(σησ^(-1)) = σησ^(-1)x = σηx = σf(η) よって、f は (G_x)-射である。 証明終 0404Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/27(火) 02:50:38.40 定義 G を群とする。 Aut(G) を G の自己同型群とする。 H を G の部分群とする。 任意の λ ∈ Aut(G) に対して λ(H) ⊂ H となるとき H を G の特性部分群（characteristic subgroup）という。 0405Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/27(火) 02:59:28.41 命題 G を群とする。 H を G の正規部分群とする。 K を H の特性部分群（>>404）とする。 このとき K は G の正規部分群である。
証明 σ ∈ G のとき τ(σ) を G の内部自己同型（過去スレpart5の749）とする。 H は G の正規部分群であるから τ(σ) は H の自己同型 φ(σ) を引き起こす。 φ(σ)(K) ⊂ K であるから τ(σ)(K) ⊂ K である。 よって、K は G の正規部分群である。 証明終 0406Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/27(火) 03:05:28.66 定義 p を素数とする。 位数 p の巡回群の有限個の直積 G を基本アーベル群という。 p を G の指数という。 0407Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/27(火) 03:20:27.02 命題 G を群とする。 Z(G) を G の中心（過去スレpart5の751）とする。 Z(G) は G の特性部分群（>>404）である。
命題 G を群とする。 Z(G) を G の中心（過去スレpart5の751）とする。 Z(G) は G の特性部分群（>>404）である。
証明 任意の λ ∈ Aut(G)、z ∈ Z(G)、σ ∈ G に対して σ = λ(x) となる x ∈ G がある。 λ(z)σ = λ(z)λ(x) = λ(zx) = λ(xz) = λ(x)λ(z) = σλ(z) よって、λ(z) ∈ Z(G) よって、λ(Z(G)) ⊂ Z(G) 証明終 0409Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/27(火) 09:14:53.10 G を指数 p の基本アーベル群（>>406）とする。 Z を有理整数環とする。 π：Z → Z/pZ を標準写像とする。 x ∈ G を任意の元とする。 px = 0 であるから n、m ∈ Z、n ≡ m (mod p) のとき nx = mx である。 よって、n ∈ Z のとき π(n)x = nx と定義することにより G は Z/pZ 上の線型空間となる。 0410Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/27(火) 09:20:20.35 命題 G を有限アーベル群とする。 p を素数とする。 G - {0} の各元の位数は p であるとする。 このとき G は基本アーベル群（>>406）である。
証明 アーベル群の基本定理から明らかだが以下のように証明することも出来る。
>>409と同様に G は Z/pZ 上の有限次元の線型空間である。 G の Z/pZ 上の次元を n とすれば G は巡回群 Z/pZ の n 個の直積に同型となる。 証明終 0411Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/27(火) 09:30:18.27 命題 G を有限群とする。 X を 2 重推移的（>>382）な G-集合とする。 H を G の正規部分群で X に正則（>>280）に作用するとする。 このとき H は基本アーベル群（>>406）である。 よって、|X| = |H| は素数冪である。
証明 |H| = |X| であり |X| ≧ 2 であるから |H| ≠ 1 である。 x を X の任意の元とする。 G_x を x の安定化部分群（過去スレpart5の93）とする。 >>386より X - {x} は推移的な (G_x)-集合である。 よって、>>403より H - {1} は推移的な (G_x)-集合である。 よって、H - {1} の元は全て同じ位数 m である。 p を m の任意の素因子とすると H は位数 p の元をもつ。 よって、H - {1} の各元の位数は p である。 よって、Cauchyの定理（過去スレpart5の775）より H の位数は p の冪である。 Z(H) を H の中心（過去スレpart5の751）とすると過去スレpart5の781より Z(H) ≠ 1 である。 >>408より Z(H) は H の特性部分群（>>404）であるから>>405より G の正規部分である。 H は X に正則に作用するから Z(H) の X への作用は自明（>>352）ではない。 >>401より G は X に原始的（>>355）に作用する。 よって、>>353より Z(H) は X に推移的に作用する。 Z(H) ⊂ H であるから Z(H) における x の安定化部分群は 1 である。 よって、>>284より Z(H) は X に正則に作用する。 よって、|X| = |Z(H)| = |H| である。 よって、Z(H) = H である。 よって、H はアーベル群である。 よって、>>410より H は基本アーベル群である。 証明終 0412Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/27(火) 09:47:23.62 定義 G を群とする。 H ≠ 1 を G の正規部分群とする。 H に含まれる G の正規部分群は H と単位群だけであるとき H を G の極小正規部分群という。 0413Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/27(火) 09:49:22.49 命題 G ≠ 1 を有限群とする。 G は極小正規部分群（>>412）を持つ。
証明 自明である。 0414Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/27(火) 09:55:46.01 定義 G を群とする。 x、y ∈ G のとき xyx^(-1)y^(-1) を [x, y] と書き x と y の交換子（commutator）という。 0415Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/27(火) 10:02:07.08 定義 G を群とする。 {[x, y]；x、y ∈ G} で生成される G の部分群を G の交換子部分群と呼び [G, G] と書く。 0416Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/27(火) 10:05:20.83 命題 G を群とする。 x、y ∈ G のとき [x, y]^(-1) = [y, x] である。
証明 >>418より x、y ∈ G のとき f([x, y]) = [f(x), f(y)] である。 H はアーベル群であるから>>430より [f(x), f(y)] = 1 である。 よって、f([x, y]) = 1 である。 よって、>>417より f([G, G]) = 1 である。 証明終 0433Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/27(火) 15:10:32.99 命題 G を群とする。 N を G の正規部分群とする。 G/N はアーベル群であるとする。 このとき [G, G] ⊂ N である。
証明 π：G → G/N を標準準同型とする。 >>432より π([G, G]) = 1 である。 よって、[G, G] ⊂ N である。 証明終 0434Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/27(火) 15:15:17.78 命題 G を群とする。 >>428より [G, G] は G の正規部分群である。 π：G → G/[G, G] を標準準同型とする。 H をアーベル群とする。 f：G → H を準同型とする。 このとき準同型 g：G/[G, G] → H で f = gπ となるものが一意に存在する。
証明 >>432より f([G, G]) = 1 である。 よって、g：G/[G, G] → H で f = gπ となるものが存在する。 π：G → G/[G, G] は全射だからこのような g は一意に決まる。 証明終 0435Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/27(火) 15:26:31.30 命題 G ≠ 1 を可解群（過去スレpart1の550）とする。 このとき G ≠ [G、G] である。
証明 G の正規部分群 N、G ≠ N で G/N がアーベル群となるものがある。 >>433より [G, G] ⊂ N である。 よって、G ≠ [G、G] である。 証明終 0436Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/27(火) 15:35:16.05 命題 G ≠ 1 を有限可解群（過去スレpart1の550）とする。 N を G の極小正規部分群（>>412）とする。 このとき N は基本アーベル群（>>406）である。
証明 過去スレpart1の565より N は可解群である。 よって、>>435より [N、N] ≠ N である。 >>429より [N、N] は N の正規部分群である。 N は G の極小正規部分群であるから [N、N] = 1 である。 よって、>>431より N はアーベル群である。 a ≠ 1 を N の元で位数 m とする。 p を m の任意の素因子とすると H は位数 p の元をもつ。 H = {x ∈ N；x^p = 1} とおく。 N はアーベル群であるから H は N の部分群である。 H は位数 p の元をもつから H ≠ 1 である。 >>410より H は基本アーベル群である。 H は明らかに N の特性部分群（>>404）である。 よって、>>405より H は G の正規部分群である。 N は G の極小正規部分群であるから H = N である。 証明終 0437Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/27(火) 16:48:46.95 命題 G を群とする。 X を推移的（過去スレpart5の107）な G-集合（過去スレpart5の77）とする。 |X| ≧ 2 とする。 このとき G ≠ 1 である。
証明 自明である。 0438Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/27(火) 16:57:09.49 命題 G を群とする。 X を忠実（過去スレpart5の843）かつ原始的（>>355）な G-集合とする。 H ≠ 1 を G の正規部分群とする。 このとき H は X に推移的（>>281）に作用する。
証明 G は X 上忠実で H ≠ 1 だから H の作用は X 上自明（>>352）ではない よって、>>353より H は X に推移的に作用する。 証明終 0439Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/27(火) 17:18:49.94 命題 G を有限可解群（過去スレpart1の550）とする。 X を忠実（過去スレpart5の843）かつ原始的（>>355）な G-集合とする。 このとき |X| は素数冪である。
証明 G は X 上原始的だから X 上推移的で |X| ≧ 2 である。 よって、>>437より G ≠ 1 である。 よって、>>413より G は極小正規部分群（>>412）H を持つ。 H ≠ 1 だから>>438より H は X に推移的に作用する。 よって、過去スレpart5の122より |X| は |H| の約数である。 >>436より H は基本アーベル群（>>406）であるから |H| は素数冪である。 よって、|X| も素数冪である。 証明終 0440Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/27(火) 17:48:32.79 命題 G をアーベル群とする。 X を忠実（過去スレpart5の843）かつ推移的（過去スレpart5の107）な G-集合とする。 このとき X は正則（>>280）な G-集合である。
証明 x を X の任意の元とする。 G_x を x の安定化部分群（過去スレpart5の93）とする。 >>284より G_x = 1 を証明すればよい。
G は X 上推移的であるから、任意の y ∈ X に対して y = σx となる σ ∈ G がある。 >>283より G_y = σ(G_x)σ^(-1) である。 G はアーベル群であるから G_x = G_y である。 よって、G_x = ∩{G_y； y ∈ G} G は忠実だから、この右辺 = 1 証明終 0441１３２人目の素数さん垢版2012/03/27(火) 22:17:52.35 テレビで 女性に人気の とか言っているのを見て真に受けて買い求めに走る女とか見てると テレビっ言う宗教の信者なのかと思ってしまう
世の中のしくみや、不公平なんかに気づかず、 テレビや漫画でもぼーっと見て何も考えず、会社に入ったら、上司の言うことを大人しく聞いて、 戦争が始まったら、真っ先に危険な所に行って戦ってくれればいいの。 0442あぼーん垢版NGNGあぼーん0443Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/28(水) 06:48:24.06 命題 G を有限可解群（過去スレpart1の550）とする。 X を忠実（過去スレpart5の843）かつ原始的（>>355）な G-集合とする。 H を G の極小正規部分群（>>412）とする。 >>436より H は基本アーベル群（>>406）である。 このとき H は X に正則（>>280）に作用する。 特に |X| = |H| である。
証明 H ≠ 1 だから>>438より H は X に推移的に作用する。 H はアーベル群であるから>>440より H は X に正則に作用する。 証明終 0444Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/28(水) 06:53:57.89 定義 A を必ずしも可換とは限らない環とする。 n ≧ 1 を整数とする。 A 上の n 次の正方行列全体のなす環を Mat(n, A) と書いた（過去スレpart1の814）。 Mat(n, A) の乗法に関する可逆元全体のなす群を A 上の一般線型群（general linear group over A）といい GL(n, A) と書く。 0445Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/28(水) 07:18:57.15 命題 A を可換環とする。 n ≧ 1 を整数とする。 A^n を A 上の n 次の列ベクトルの集合と見なす。 GL(n, A)（>>444）は A^n の A-加群としての自己同型群と見なされる。 σ ∈ GL(n, A) と α ∈ A^n に対して写像 f：A^n → A^n を f(x) = σx + α で定義する。 この写像を φ(σ, α) と書く。 このとき、φ(σ, α) ∈ Sym(A^n)（>>6）である。 写像 φ：GL(n, A)×A^n → Sym(A^n) は単射であり、 φ(GL(n, A)×A^n) は Sym(A^n) の部分群である。
（2) ⇒ （1） G は X に推移的に作用するから、任意の y ∈ X に対して y = σx となる σ ∈ G がある。 G = N(G_x) だから σ = τρ となる τ ∈ N、ρ ∈ G_x がある。 y = σx = τρx = τx よって、N は X に推移的に作用する。
（2) ⇔ （3） N が G の正規部分群であることから明らか。 証明終 0448Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/28(水) 09:16:08.39 補題 G を群とする。 X を忠実（過去スレpart5の843）な G-集合（過去スレpart5の77）とする。 N を G の正規部分群とする。 N は X に推移的（>>281）に作用するとする。 x を X の任意の元とする。 H を G に関する x の安定化部分群（過去スレpart5の93）とする。 Int：G → Aut(G) を内部表現（過去スレpart5の749）とする。 σ ∈ H のとき Int(σ)(N) = N であるから Int(σ) は N の自己同型を引き起こす。 これを φ(σ) と書けば準同型 φ：H → Aut(N) が得られる。 このとき φ は単射である。
証明 σ ∈ Ker(φ) とする。 N は X に推移的に作用するから任意の y ∈ X に対して y = τx となる τ ∈ N がある。 一方、φ(σ) = 1 であるから任意の τ ∈ N に対して φ(σ)(τ) = στσ^(-1) = τ よって、στ = τσ よって、σy = στx = τσx = τx = y G は忠実だから σ = 1 証明終 0449Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/28(水) 10:25:18.85 命題 G を指数 p の基本アーベル群（>>406）とする。 |G| = p^n とする。 Aut(G) を G の自己同型群とする。 このとき Aut(G) は GL(n, Z/pZ)（>>444）に同型である。 ここで、Z は有理整数環である。
証明 >>450と>>457と>>458による。 0461Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/28(水) 15:46:23.95 命題 G を群とする。 N をその正規部分群で指数 p の基本アーベル群（>>406）とする。 |N| = p^n とする。 H を G の部分群とする。 G = NH、N ∩ H = {1} とする。 Int：G → Aut(G) を内部表現（過去スレpart5の749）とする。 σ ∈ H のとき Int(σ)(N) = N であるから Int(σ) は N の自己同型を引き起こす。 これを ψ(σ) と書けば準同型 ψ：H → Aut(N) が得られる。 このとき ψ が単射であれば G は AGL(n, Z/pZ) （>>446）の部分群に同型である。
証明 >>459より G は (N⊿H)_ψ （>>452）に同型である。 >>460より (N⊿H)_ψ は AGL(n, Z/pZ) の部分群に同型である。 証明終 0462Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/28(水) 15:58:20.97 命題 G を有限可解群とする。 X を忠実（過去スレpart5の843）かつ原始的（>>355）な G-集合とする。 >>439より |X| は素数冪 p^n である。 このとき G は AGL(n, Z/pZ) (>>446) の部分群に同型である。 ここで、Z は有理整数環である。
証明 N を G の極小正規部分群（>>412）とする。 >>436より N は基本アーベル群（>>406）である。 >>443より N は X に正則（>>280）に作用する。 よって、|X| = |N| = p^n である。 x を X の任意の元とする。 H を G に関する x の安定化部分群（過去スレpart5の93）とする。 >>447より G = NH である。 >>443より N は X に正則（>>280）に作用する。 よって、>>284より N ∩ H = 1 である。
Int：G → Aut(G) を内部表現（過去スレpart5の749）とする。 s ∈ H のとき Int(s)(N) = N であるから Int(s) は N の自己同型を引き起こす。 これを ψ(s) と書けば準同型 ψ：H → Aut(N) が得られる。 >>448より ψ は単射である。 よって、>>461より G は AGL(n, Z/pZ) の部分群に同型である。 証明終 0463Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/28(水) 16:11:30.34 命題（Galois） G を有限可解群とする。 X を素数次数（>>275）の忠実（過去スレpart5の843）かつ推移的（過去スレpart5の107）な G-集合（過去スレpart5の77）とする。 このとき G は AGL(1, Z/pZ) (>>446) の部分群に同型である。 ここで、Z は有理整数環である。
証明 >>363より G は X に原始的（>>355）に作用する。 よって、>>462より G は AGL(1, Z/pZ) の部分群に同型である。 証明終 0464Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/28(水) 17:00:45.09 命題 G を有限可解群（過去スレpart1の550）とする。 X を忠実（過去スレpart5の843）かつ原始的（>>355）な G-集合とする。 このとき G は唯一の非自明な（即ち単位群でない）アーベル正規部分群 H を持つ。 H は G の唯一の極小正規部分群（>>412）であり基本アーベル群（>>406）である。
証明 G は X 上原始的だから X 上推移的で |X| ≧ 2 である。 よって、>>437より G ≠ 1 である。 よって、>>413より G は極小正規部分群（>>412）N を持つ。 >>436より N は基本アーベル群である。 >>438より N は X に推移的に作用する。 >>440より N は正則に X に作用する。 よって、|N| = |X| である。
H ≠ 1 を G のアーベル正規部分群とする。 N = H を示せば良い。 >>438より H は X に推移的に作用する。 よって、>>440より H は正則に X に作用する。 よって、|H| = |X| である。 N は G の極小正規部分群だから H ∩ N = 1 または H ∩ N = N である。 H ∩ N = 1 なら HN は G のアーベル正規部分群であり |HN| = |H||N| = |X|^2 となる。 他方 NH は正則に X に作用するから |NH| = |X| である。 これは矛盾である。 よって、N ∩ H = H である。 よって、H ⊂ N である。 |H| = |N| = |X| であるから H = N である。 証明終 0465Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/28(水) 18:24:45.55 定義 G を群とする。 X を G-集合（過去スレpart5の77）とする。 m（1 ≦ m ≦ |X|）を整数とする。 σ ∈ G、x = (x_1、．．．、x_m) ∈ X^[m]（>>381）のとき σx = (σx_1、．．．、σx_m) と定義することにより X^[m] は G-集合となる。 X^[m] が正則（>>280）な G-集合のとき X を m 重強推移的（sharply m-transitive）な G-集合という。 0466Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/28(水) 18:48:57.01 命題 Z を有理整数環とする。 p を素数とする。 G = AGL(1, Z/pZ) (>>446) とおく。 X = Z/pZ とおく。 G は Sym(X) の部分群である。 よって、X は忠実（過去スレpart5の843）な G-集合と見なせる。 このとき X は 2 重強推移的（>>465）な G-集合である。
証明 任意の b ∈ X に対して X 上の置換 x → x + b は 0 を b に写すから G は X に推移的に作用する。 H を G に関する 0 の安定化部分群（過去スレpart5の93）とする。 H は X 上の置換 x → ax 全体からなる。 ここで a ∈ X - {0} である。 任意の x、y ∈ X - {0} に対して y = ax となる a ∈ X - {0} が存在する。 よって、H は X - {0} に推移的に作用する。 よって、>>386より G は X に 2 重推移的（>>382）に作用する。 a ∈ X - {0} に対して ax = x となる x ∈ X - {0} が存在するなら a = 1 である。 よって、>>284より X は 2 重強推移的な G-集合である。 証明終 0467Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/29(木) 04:49:31.37 命題 N を指数 p の基本アーベル群（>>406）とする。 |N| = p^n とする。 Aut(N) を N の自己同型群とする。 H を群とする。 ψ：H → Aut(N) を同型とする。 このとき (N⊿H)_ψ （>>452）は AGL(n, Z/pZ) （>>446）に同型である。
証明 >>450と>>457と>>458による。 0468Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/29(木) 05:02:49.30 命題 G を群とし、N をその正規部分群、H をその部分群とする。 G = NH、N ∩ H = {1} とする。 π：G → G/N を標準射とする。 ι：H → G を包含写像とする。 このとき πι：H → G/N は同型である。
証明 f = πι とおく。 f(H) = NH/N = G/N であるから f は全射である。 Ker(f) = H ∩ N = {1} よって、f は同型である。 証明終 0469Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/29(木) 05:13:06.81 命題 G を群とし、N をその正規部分群、H をその部分群とする。 G = NH、N ∩ H = {1} とする。 このとき G が可解（過去スレpart1の550）であるためには N と H が可解であることが必要十分である。
証明 必要性： 過去スレpart1の565より N は可解である。 過去スレpart1の560より G/N は可解である。 >>468より G/N は H と同型であるから H は可解である。
十分性： >>468より G/N は H と同型であるから G/N は可解である。 よって、過去スレpart1の566より G は可解である。 証明終 0470Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/29(木) 05:16:59.70 命題 N と H を群とする。 Aut(N) を N の自己同型群とする。 ψ：H → Aut(N) を準同型とする。 このとき (N⊿H)_ψ （>>452）が可解（過去スレpart1の550）であるためには N と H が可解であることが必要十分である。
証明 >>453と>>469による。 0471Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/29(木) 05:24:09.48 命題 N を素数位数 p の巡回群とする。 Aut(N) を N の自己同型群とする。 このとき Aut(N) は Z/pZ の乗法群 (Z/pZ)^* に同型である。
証明 >>449より明らかである。 0472１３２人目の素数さん垢版2012/03/29(木) 05:24:42.02 >>Kummer うるせぇインキン野郎が 0473Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/29(木) 05:28:45.50 命題 N を素数位数 p の巡回群とする。 Aut(N) を N の自己同型群とする。 このとき Aut(N) は位数 p - 1 の巡回群である。
命題 K を有限体（過去スレpart4の681）とする。 b ∈ K のとき K 上の置換 x → x + b を τ_b と書く。 このとき N = {τ_b； b ∈ K} は K と群として同型であり、 AGL(1, K) （>>446）の唯一の非自明な（即ち単位群でない）アーベル正規部分群である。 さらに N は AGL(1, K) の唯一の極小正規部分群（>>412）であり基本アーベル群（>>406）である。
証明 G = AGL(1, K) とおく。 >>492の証明より Gは (K⊿K^*)_ψ （>>452）と同型である。 写像 f：K → (K⊿K^*)_ψ を f(b) = (b, 1) で定義する。 >>453より f は単射準同型であり f(K) は (K⊿K^*)_ψ の正規部分群である。 f(K) に対応する G の部分群は N であるから N は K と同型であり G の正規部分群である。
>>483より G は K に忠実（過去スレpart5の843）かつ 2 重推移的（>>382）に作用する。 よって、>>401より G は K に原始的（>>355）に作用する。 >>492より G は可解群（過去スレpart1の550）である。 よって、>>464より本命題の主張が得られる。 証明終 0496Kummer ◆SgHZJkrsn08e 垢版2012/03/29(木) 13:11:35.56 命題 K を有限体（過去スレpart4の681）とする。 |K| = q とする。 G = AGL(1, K) （>>446）とする。 G の単位群でない正規部分群の全体を Ω^* とする。 このとき Ω^* から q - 1 の約数全体への全単射が存在する。
