円周率について語り合おう【π】
lim_[n→∞]n*cos(90-180/n)=π
>>1
といって出してる例が一番しょぼいっていう(悲)
それって、度数法の定義に依存してるだけじゃん… π/4=5arctan(1/7)+2arctan(3/79)
y=x^2/(1+x^2)として
arctanx=(y/x)(1+(2/3)y*(1+(4/5)y*(1+(6/7)y*(1+...
を使えば手計算でもπを1時間で20桁は求められるらしいな
どんなに精密な物作りでもπの小数点以下十数桁くらい分かってれば十分らしいし
手計算で必要な分を求められてしまうのか > どんなに精密な物作りでもπの小数点以下十数桁くらい分かってれば十分らしいし
それは10年以上前の話
現在は、ある種の問題(逆問題、ある微分方程式、etc)で数百桁から数千桁の計算を
しないと実用的に意味のある結果が出ないケースが知られているらしい。
海外の応用数学ではそういった多い桁数の研究が盛んに行われているという話を
聞いたことがある。
今後、ある物作りでπの値が1億桁必要になるというケースが出てくるかもしれない。 ホンマカイナ。
あのアポロ計画でも、アポロ13という映画では技術者は計算尺で計算していた。
つまり、おおよその計算では有効桁3桁で充分ということだ。 0ではない任意の代数的数a、bに対してae+bπは超越数です。
ついでに、e/π、eπも超越数です。
ほ〜ら、超越数が作れちゃいました。
あとは証明するだけですが、これだけでは公表に値しないのでやめます。
証明は、長くて恐らく正しいでしょうが、書く気がしません。
書くのは本当に萎えます。
byコーン e/π=0.8952559794…
eπ=8.5397934223… __ノ)-'´ ̄ ̄`ー- 、_
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. | \ ∠イ ,イイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l^,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'\ ー' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l __/ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| (:::::`‐-、__ |::::`、 ヒニニヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| / `‐-、::::::::::`‐-、::::\ /,ニニ、\ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら?
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よしっ、予想してみよう
円周率を使った公式で正解な円の面積は求められる
しかしシンプソンの公式を使えば円の正解な面積は求められない
P=log(640320^3+744)/√163 とすると
Pはπと30桁一致するがπとは異なる超越数である
N=納n=1,∞] int[n e^(π√(163)/3)]/5^n, int[x]はxを超えない整数とすると
Nは10億桁以上の精度で整数200100と一致するが整数ではない
Q=log(10){(1/10^10)納n=-∞,∞] 10^(-(n/10^10)^2)}^2 とすると
Qはπと1垓8615京2283兆桁一致するがπとは異なる > しかしシンプソンの公式を使えば円の正解な面積は求められない
反例を示す
π=2∫[0,∞] sin(x)/x dx を台形公式で近似したもの
S=1+2納n=1,∞] sin(n)/n
は近似ではなく等式S=πである(複素積分と留数定理より示せる)
同様に π=4納n=0,∞] sin(2n+1)/(2n+1) である
したがって、この積分のシンプソン公式での近似は近似ではなく等式
π=2/3+(4/3)納n=1,∞] sin(2n)/(2n) + (8/3)納n=0,∞] sin(2n+1)/(2n+1)
となる >>18
πをπ以外で割り切れる証明ができるってこと? >>21
有限和ではπの近似になるが、無限和ではπが表せるという例
種を明かすと π=2∫[0,∞] sin(x)/x dx をステップ幅Δx=π/2で和に直すと
π=Δx+2Δx納n=1,∞]sin(nΔx)/(nΔx)
↓
π=4(1+1/3+1/5+1/7+1/9+...)
のようのグレゴリーライプニッツの級数が得られるので、
>>18 はその一般化を行っただけ >>22
π=4(1+1/3+1/5+1/7+1/9+...)
↓
π=4(1-1/3+1/5-1/7+1/9-...) __ノ)-'´ ̄ ̄`ー- 、_
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58209749445923078164062862089986280348253421170679
82148086513282306647093844609550582231725359408128
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フリーの電卓ソフトで計算させたけど、これ合ってる?
円周率が定数、つまり値が一つだけの数であることを証明するのって高校レベルを超えるって知らなかった。
一定値なのは当たり前だと思っていたがそれは勘違いだった。
高校までの数学では「相似な図形の各部の比は同じ」で証明終了。 厨房が挑戦
円周率は小数点以下30桁くらいにならないと0が出てこない!
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わいが数学嫌いになった理由が正論すぎる
http://hayabusa.2ch.net/test/read.cgi/livejupiter/1331947088/ __ノ)-'´ ̄ ̄`ー- 、_
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| ` -'\ ー' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l __/ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| (:::::`‐-、__ |::::`、 ヒニニヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| / `‐-、::::::::::`‐-、::::\ /,ニニ、\ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら?
| |::::::::::::::::::|` -、:::::::,ヘ ̄|'、 ヒニ二、 \
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| /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'、::::\ノ ヽ、 |
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| | | / / レ',二、レ′ ,ィイ|゙/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | \ ∠イ ,イイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l^,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'\ ー' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l __/ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| (:::::`‐-、__ |::::`、 ヒニニヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| / `‐-、::::::::::`‐-、::::\ /,ニニ、\ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら?
| |::::::::::::::::::|` -、:::::::,ヘ ̄|'、 ヒニ二、 \
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| | | / / レ',二、レ′ ,ィイ|゙/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | \ ∠イ ,イイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l^,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'\ ー' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l __/ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| (:::::`‐-、__ |::::`、 ヒニニヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| / `‐-、::::::::::`‐-、::::\ /,ニニ、\ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら?
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. | \ ∠イ ,イイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l^,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'\ ー' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l __/ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| (:::::`‐-、__ |::::`、 ヒニニヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
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| /:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::O::|::|::::::|:::::::::::::::/ ∫[0,1]x^4(1-x)^4/(1+x^2)dx = 22/7 - π と計算できる。
被積分関数は正なので 22/7 > π
この程度の誤差(+0.0012)での下からの評価はないだろうか?
__ノ)-'´ ̄ ̄`ー- 、_
, '´ _. -‐'''"二ニニ=-`ヽ、
/ /:::::; -‐''" `ーノ
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| /:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::O::|::|::::::|:::::::::::::::/ >>48
∫[0,1]x^4(1-x)^8/4(1+x^2)dx = π- 2419/770 になるので
π > 2419/770 = 3.141558442 となって
誤差は0.000034だ。 __ノ)-'´ ̄ ̄`ー- 、_
, '´ _. -‐'''"二ニニ=-`ヽ、
/ /:::::; -‐''" `ーノ
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. | \ ∠イ ,イイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l^,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'\ ー' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l __/ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| (:::::`‐-、__ |::::`、 ヒニニヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| / `‐-、::::::::::`‐-、::::\ /,ニニ、\ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら?
| |::::::::::::::::::|` -、:::::::,ヘ ̄|'、 ヒニ二、 \
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| /(l __/ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
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3.0121201110022130011....
10=3π + 0/π + 1/π^2 + 2/π^2 + 1/π^3 + 2/π^4 + 0/π^5 + 1/π^6 + 1/π^7 + 1/π^8 .... __ノ)-'´ ̄ ̄`ー- 、_
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何年か前の某評論社雑誌の「円周率はおよそ3.14である」特集は笑った
高校数学も円周率は3.14にすべきとかいってcos1.57=0とかcos3.14=-1とかcos6.28=1とか書いていた >>11
はやぶさの時は、3.141592653589793まで必要だった >>71
「使った」というのではなくて「必要だった」のか?
つまり「3.14159265358979」だとうまく行かなかったのか? >>72
おいおい、ちょっとは頭使えww
イトカワから帰還する精度として、1桁減らすと最後に地球に
戻るときに大気圏に撥ねられる可能性が出てくるだろ。 >>73
おい。ちょっとじゃなくて、もう少し頭を使え。
可能性というのは 必要とは別の話。
1桁減らすとかならずうまくいかないのならば その桁数必要。
1桁減らしてももしうまくいったのならその桁数は必要でなかったということになる。
さらに言うなら、 この桁数ならその撥ねられる可能性とやらは0だったのか?
>>71のいう「必要」は数学用語の「必要条件」とは異なる多分に文学的な言葉と予想 >>75
ほんとアホだな、お前。
精度の問題だから、仮に3.14であっても撥ねられない可能性は
ゼロじゃないよ。3.14の場合、そもそも地球に戻る確率がそれこそ
天文学的に小さくなるだろうけどさw __ノ)-'´ ̄ ̄`ー- 、_
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>天文学的に小さくなるだろうけどさw
できれば 天文学的は 大きい時に使ってくれ。 円周率が無理数だとすると、円を表す線を無限小の細さにしたら
つながり合わないってことなの? __ノ)-'´ ̄ ̄`ー- 、_
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あと0.3人ちょっとはどうすればいいのか。 >>87
>定まった数を値に持つ定数
頭悪い表現だな __ノ)-'´ ̄ ̄`ー- 、_
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前者は、円の直径に対する、円周の長さの比率なので
半円の半径に対する、半円周の長さの比率。
後者は、扇形が半径=弧の長さであるときの角度を1[rad]としたとき
半径のπ倍の長さを持つ半円の角度も、1[rad]のπ倍になるということですか? __ノ)-'´ ̄ ̄`ー- 、_
, '´ _. -‐'''"二ニニ=-`ヽ、
/ /:::::; -‐''" `ーノ
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C言語を勉強しているのですが、
円周率はint型に代入すれば大丈夫ですか int型に代入すると暗黙の型変換がおこなわれ精度が幾分落ちてしまいます。
もっとも落ちるといってもたかだか5%も変わりませんから実用上は問題ないことも多いでしょう。
>>94
> 後者は、扇形が半径=弧の長さであるときの角度を1[rad]としたとき
> 半径のπ倍の長さを持つ半円の角度も、1[rad]のπ倍になるということですか?
まあそういうことでもあるんだが
通常は半径が1の扇形について、その中心角を弧の長さで表現したものと考える。
(扇形の中心角と弧の長さは正比例するので、弧の長さが決まれば角度も決まる)