0001１３２人目の素数さん垢版
2011/11/08(火) 01:49:00.00算数・数学できない人何とかしよう
探検
算数＆数学が全くできない人のスレ パート2
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算数・数学できない人何とかしよう
それは、普通の直角三角形なら、角度45°なら辺の長さの比が 1：1：√２ で、角度60°なら 1：2：√3 なのですが
数学Iでは単位円ってのをもちだして、「斜辺の長さを１にすれば、辺の長さが sin 45°とか cos 45°、sin60°とか cos 60°と一致する！」
と考えられる訳ですね。
だから、無理やり半径１の単位円を考え わざわざ難しく見える数値を扱うわけです。
回答ありがとうございます。そういうものだからと覚えるしかないのですね。
読んでる参考書には2/√2≒0.7と決まっていて
y軸に0.7の位置で垂直な点線を引くと45°の直角三角形を2つ書くことが出来る。
とあるのですが0.7とは0.7mmのことでしょうか？
定規で図っても明らかに1.2cmでよく分かりません；；
https://imgur.com/a/cQBy16H
画像消えてたすいません
0.7は0.7です。単位はありません。
あえて言うなら、そこに書いてある半径1の円、約16㎜ぐらいでしょうか、
その長さを基準、つまり1とした時の約0.7のことですから、その図での長さでいえば11㎜ぐらいです。
あなたがこれからグラフを書くのなら、基準の長さは好きなようにとることができます。
その図と同じに16㎜を１としてもいいし
ノートの5行分を1としてもいいし、
方眼紙の20目盛り分を１としてもいい。
その、それぞれの基準の長さに対して、
16㎜を1としたのなら0.7は11㎜ぐらいだし、
5行を1としたのなら0.7は3.5行分ぐらいだし
20目盛りを1としたのなら07は14目盛りぐらいです。
よくみるとその半径1の円の半径は17㎜ぐらいでした。
なので、17㎜を基準の長さ、つまり１とした時の0.7はあなたの書いている通り、約12㎜です。
その図でいうと、半径１が1.7cmの円に該当するのですから、√2/2=0.7 は比を作って(分子分母が逆ですね)
1:1.7 = √2/2 :x
とやると x=1.2 ぐらいになって図とだいたい一致しますね。
回答ありがとうございます
長さじゃなくて比なのか
単位円の半径1という数字も長さじゃなくて比？
斜辺の1に0.7掛けた数字の垂線降ろせばいいのですね
次スレ建てようとしたのですがVPNじゃ無理みたいです
どなたかお願いします…
言ってしまえば量を表す数はすべて単位量に対する比なわけですが、
長さ1は長さですよ、単位のついていない長さ
数学でも算数でもそうですが、
長さ1m、長さ1ヤード、長さ1尺、長さ1キュービット、長さ1光年
これらに共通する「長さ1」という部分を取り出して、その性質を考える
そういう抽象化して考えることがが数学であり、算数です。
斜辺の長さ1と高さ(の長さ)(√2)/2の直角三角形で成り立つことは、
斜辺の長さ1インチと高さ(の長さ)(√2)/2インチの直角三角形でも成り立つし、
斜辺の長さ1フィートと高さ(の長さ)(√2)/2フィートの直角三角形でも成り立つし、
斜辺の長さ1ヤードと高さ(の長さ)(√2)/2ヤードの直角三角形でも成り立つし、
斜辺の長さ1マイルと高さ(の長さ)(√2)/2マイルの直角三角形でも成り立つ
（10進法でない単位を例として挙げてみました)
このうち、数学で扱うのは、基本的には「斜辺の長さ1と高さ(の長さ)(√2)/2の直角三角形で成り立つこと」までです。
√5cosθって一体型になってるやつは何？ なんで6/1になった？
後半の練習問題の解説お願いします…
まず、分数の書き方を勘違いしていませんか
6/1とかいたとき、左側が分子で、右側が分母ですよ
3行使って書くと、
1
― = 1/6
6
ろくぶんのいちの書き方は1/6です。
√5cosθは文字の式でやってる「かけ算記号の省略」をしています。
a×bをabと書くのと同じように
√5×cosθを√5cosθと書いています。
sin,cosの定義は、直角三角形について
sinθ=高さ/斜辺
cosθ=底辺/斜辺
さて、直角三角形なので、三平方の定理が成り立ちます。
(斜辺)^2=(高さ)^2+(底辺)^2
(斜辺)^2は斜辺の二乗と読みます。右上の小さい2が書けないときの表し方です
この両辺を(斜辺)^2でわると
(斜辺)^2÷(斜辺)^2=(高さ)^2÷(斜辺)^2+(底辺)^2÷(斜辺)^2
(斜辺/斜辺)^2=(高さ/斜辺)^2+(底辺/斜辺)^2
sin、cosの定義の式を代入すると
1=(sinθ)^2+(cosθ)^2
ここで、サインシータ全体の2乗(sinθ)^2と角度の2乗のサインsin(θ^2)を区別するために、(sinθ)^2は
sinとθの間に2乗を書いて、サインにじょうシータと読みます。
つまり、サインにじょうシータたすコサインにじょうシータは１、となります。
これはθがどんな角度でも、斜辺がどんな長さでも、そうなります。
tanθについて、定義より
tanθ=高さ/底辺
sinθの定義の両辺に斜辺をかけると
sinθ×斜辺=(高さ/斜辺)×斜辺
斜辺sinθ=高さ
cosθの定義の両辺に斜辺をかけると
cosθ×斜辺=(底辺/斜辺)×斜辺
斜辺cosθ=底辺
高さと底辺をtanθの式に代入して
tanθ=(斜辺sinθ)/(斜辺cosθ)
tanθ=sinθ/cosθ
これはθがどんな角度でも、斜辺がどんな長さでも、そうなります。
つづく
tanθ=sinθ/cosθの両辺にcosθをかけると
tanθ×cosθ=(sinθ/cosθ)×cosθ
tanθcosθ=sinθ
これを、先ほどの三平方の定理から出てきた式
(sinθ)^2+(cosθ)^2=1 (文章で1行で書くために手書きとは違う書き方をしています)
に代入すると
(tanθcosθ)^2+(cosθ)^2=1
変形して
(tanθ)^2(cosθ)^2+(cosθ)^2=1
(cosθ)^2で左辺をまとめて
{(tanθ)^2+1}(cosθ)^2=1
ここで、もともとの問題を考えるとtanθ=√5ですので、代入して
{(√5)^2+1}(cosθ)^2=1
(5+1)(cosθ)^2=1
6(cosθ)^2=1
(cosθ)^2=1/6
となります。
納得できました。ありがとうございます。
しかし理屈は分かっても簡単じゃないですね…練習あるのみか…。
→以下↓のスレの1
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1626002195/1
4/sin30°= b/sin45°
4×√2/2=b×1/2
2√2=1/2b
4√2=b
と途中式はやってるんですが最初からsin45°を両方にかけたほうが早いみたいなんですが、その場合どうやって計算すればいいですか？
何が疑問なのかよくわかりませんが、bについての方程式を解くだけですね
正弦定理より
a/sinA=b/sinB
両辺にsinBをかけて
b=(a/sinA)sinB
A=30°、B＝45°,a=4を代入して
b=(4/sin30°)sin45°
={4/(1/2)}×(√2/2)
=4√2
ありがとうございます
={4/(1/2)}×(√2/2)
{4/(1/2)} ＝分母の2と４で約分して2になって
＝ 2×(√2/2) で 2√2/2 を約分して1√2になってしまうのですが…
何処が間違えてこうなってるのでしょうか？
{4/(1/2)}は、4/X、エックス分の4のXのところに2分の1(表記1/2)を代入したものですから
約分は、分子、分母に2をかけて
{4/(1/2)}={4×2/[(1/2)×2]}
=8/1=8
です。
何故横向きから縦になるのか分かりません
https://imgur.com/a/oNIv8Kw
sinはX軸上に垂線を下ろして、という
三角比から円関数に切り替える思考でいかないと破綻する
0°から90°までの角度なら x= cosθ y=sinθとなることが確認できるんだ。
これを利用してsin,cos 関数を90°以上の角度にも対応出来るように拡張する。つまり一般角θになるような半径に
対して単位円上の点Pを考えると、その座標が（cosθ,sinθ)となると定義できるわけだ。
で、90°以上の角度に対しては直角三角形が考えにくいから、>>970みたいにｙ軸と挟まれた直角三角形を考えると
必然的に縦になるって話。
簡単な計算でいいので例もお願いいたします
90°＝π/2 , 180＝π , 360°＝2π ってカンジ
普通の角度から弧度法にするには180で割ってπを掛ける。だから 1°=1/180×π=π/180
弧度法から普通の角度にするにはπで割って180を掛ける。だから 3/2π= 3/2π/π×180=270°
使い方は普通の角度と同じ感覚で使う。よく使う角度は暗記しておくと便利。π/4 とか π/6 とか π/3 とか…
なぜこれを使うのかというと、弧度法を使えば三角関数を級数することができるから。たとえば sin は
sin x = x^1/1 - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! … とできる
さっそくのご説明、解説ありがとうございます！
この説明を基本にして、教科書を読み問題を解いていきたいと思います
弧度法の意味というか、そもそも度数法に意味がない
地球の1年が365日だからそれに近い約数の多い数字で、数学的に意味がないただの慣習
円周(弧)と半径の比は角度が同じなら必ず同じ
三角関数も長さの比、弧度法も長さの比で考え方がそろっている
弧度法だと、y=sinxの傾きがcosxに一致する。x=0の時y=sinxの傾きは1、x=π/3のときy=sinxの傾きは1/2
ありがとうございます！
弧度法に苦手意識があったので度数法に意味がないという指摘、説明が新鮮でした
計算や練習問題をやって慣ればいいと思いました
級数に使うというのは、しばらくは置いておいて
πって3.14で円周率ですよね
角度を表す式ですね
別々の決め方で角度を決めた
その変換の式がそうなるという話
たとえば1ヤードが91.44㎝とか
その変換の式に数学的な意味はありません。単に変換する、というだけです。
2600年ぐらい前、地球の1年が365日だからそれに近い約数の多い数字で、1周の角度を360度と決めた
人間の手指が10本だから10進法を使ってるのと同じ、別に他の数字でもよかった。
300年ぐらい前、角度が同じ扇形は弧と半径の比が同じになることから、弧が半径の何倍かを角度を表す量として決めた
弧が半径の1倍の時1ラジアン
必ず1周の円周は直径のπ倍であるから、つまり半径の2π倍となり、1周の角度は2πラジアン
よって、1周の角度は360度であり、2πラジアン
そうだからそう。っていう覚え方でいいのですね。ありがとうございました！
数学IＡIIBまでで止めると面倒さが増しただけでメリットが見えない
高校の頃は疑問持たずに大学でやっと疑問を持ってフーリエ解析や関数論を勉強して
疑問が氷解した
半径１のおうぎ形の弧の長さが弧度法の角度に一致するんだろ？
だから、半円の弧の長さがπで、半円の中心角が180°。要するにπ＝180°という話。
何だか分からないけど、sinxがｙ軸、cosxがｘ軸に変わっていた不思議
sinは正弦、cosは余弦、弦といえば扇形
もともとは、扇形のことを考えてたら、三角形がでてきた、のかもね
なんかこんなかんじで
tps://www.uja.jp/2004/10/trigonometric-sin-cos-tan.html
半径が１の単位円のおうぎ形を考えていることをしっかり押さえて、x座標がcos 、y座標がsinになっていることを、
しっかりと教科書なりの説明図から納得するしかないかと。
弦(chord)は線分だよ
歴史的な弦関数(crd θ)との関係を知ると分かりやすい、矢関数も同様
扇関数は弧度法の元では必要がない、敢えていえば角度θと等しいから恒等関数
孤関数はarc*
半径１の円の中に９０°・６０°・３０°の直角三角形を書きます。
サインは２分の１、コサインは２分の√３なので計算すれば１になります。
中３レベルの計算なのでそれはいいのですが
サインを２乗するってどういうこと？
コサインを２乗するってどういうこと？
数学のできる人は頭の中で（サインの２乗だからこうだな）みたいに何かイメージしてやっているんですか？
それともΠのように「ただの記号」として扱っているだけなんですか？
何を考えながら三角比の問題を解いているのか、素朴に知りたいです。
サイン、コサインの２乗ってその例から言うと…文字どうりその数値の２乗ですから…
サインの２乗=(1/2)^2 = 1/4 , コサインの２乗=(√3/2)^2=3/4 となりますから、それらを足すと 1/4+3/4=4/4=1 となります。
図形的に解釈すれば sinθ、cosθの値は、x軸との角度θの単位円上の点P (cosθ,sinθ) になるわけですね。
点Pからx軸に垂直に下ろした点をA、原点をOとすれば△OAPは∠Aが直角の直角三角形になりますから、三平方の定理が成り立って
OA^2+AP^2=OP^2 （^2は2乗の意味）となりますから
cosθ^2+sinθ^2=1^2=1 となるわけです。
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1629326202
乙です
>>962にとてもわかりやすい説明が書かれていますよ。
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